Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  13  (1975) N IELIN IOWE  DRG AN IA  ELASTYCZN IE  POSAD OWION YCH  SILN IKÓW TŁOKOWYCH   Z  CYLIN DRAMI W  U KŁAD ZIE V JAN U SZ  K  O L E N  D  A  (G D AŃ SK) 1, Wstę p Elastyczne  posadowien ie  silników  tł okowych  stosuje  się   w  celu  zmniejszenia  poziomu drgań  i  hał asów  przen oszon ych  drogą   strukturaln ą   n a  fundament  i  dalsze  elementy  kon- strukcji.  W  wyniku  drgań  elastycznie  posadowionych  silników  powstają   w  nich dodatkowe sił y  i m om en ty m asowe,  powodują ce  obcią ż enie  poszczególnych  elementów silnika,  a także samego  silnika,  jako  nieidealnego  ź ródła  energii.  Jak  wykazał y  badan ia  PFLAU MA  [1] i  szacunkowe  obliczenia  H EM P ELA  [2],  sił y  i  m om enty  te  nie  są   duż e,  jednakże  celowe był oby  ich  uwzglę dnianie,  przede  wszystkim  w  przypadkach,  gdy  poż ą dana jest dokł ad- niejsza  analiza  drgań  i  skuteczniejsza  z  nim i  walka.  Jest  to  szczególnie  istotne  z pun ktu widzenia  ochron y  zdrowia  czł owieka,  zwł aszcza  wobec  obserwowanego  w  ostatnich  la- tach  wzrostu  m ocy  z  cylindra,  pocią gają cego  za  sobą   wzrost  sił   i  momentów  wymusza- ją cych  drgan ia.  Jest  t o  istotn e  także  z  powodu  strat  energetycznych  wynikają cych  z  ela- stycznego  posadowien ia,  zwł aszcza  wobec  znacznego  wzrostu  cen  paliwa  na  ś wiatowych ryn kach.  M inim alizacja  tych  strat  mogł aby  być  w  uzasadnionych przypadkach  stosowana jako  dodatkowe  kryterium  doboru  systemu  amortyzacji.  D okł adniejszą   analizę   drgań i  wyznaczenie  dodatkowych  sił   i  m om en tów  masowych  oraz  strat  energetycznych  umo- ż liwia  uwzglę dnienie  nieidealnego  ź ródła  energii  i  potraktowan ie  prę dkoś ci  ką towej  sil- n ika  jako  wielkoś ci  zm iennej. Wpł yw  nieidealnego  ź ródła  energii  i jego  sprzę ż enie  z  ukł a- dem  drgają cym  był y p o  raz pierwszy  analizowane  przez  ROCARD A  [3] (dla przypadku  wiru- ją cej  masy  niewyrównoważ onej,  napę dzanej  silnikiem  elektrycznym),  a póź niej  także  przez KON ON IEN KĘ   [4] i  G OŁOSKOKOWA  [5]. Z agadn ien ia  te  był y  rozpatrywane  przez  autora dla przypadków  u kł ad u  wibracyjno- uderzeniowego  [6]  oraz  silników  tł okowych  o  pionowym ukł adzie  cylindrów  [7]. N iniejsza  praca  dotyczy  silników  tł okowych z  cylindrami  w  ukł a- dzie  V. 2.  Zależ noś ci  kinematyczne R ozpatrywać  bę dziemy  ukł ad  dyskretn y;  elementy  silnika  i  odbiorn ika  mocy, sprzę gło i  fundam ent,  n a  którym  elastycznie  posadowion y  jest  silnik  wraz  z  odbiornikiem  mocy, potraktujem y  ja ko  sztywne.  Schem at  obliczeniowy  ukł adu  przedstawiono  n a  rys.  1. 580 J .  KOLEN D A Rys.  1 Wprowadzimy  oznaczenia: ,  b 0 ,  c 0 ;  a i ,  b0,  Co',  • • •  "„,  bo,c0;  • ••   flc- i:fio,  c 0  współ rzę dne punktów  przecię cia  z  osią   wał u prostych prostopadł ych  do  osi  wał u,  poprowadzonych  ze ś rodków  cię ż koś ci  kolejnych  mas  m 0 ,  w  stanie  spo- czynkowym  i  przy  fp =   0, c  ilość  wykorbień, t'xi. Cjii, Cj.;  współ czynniki  sztywnoś ci  / - tej  podkł adki  elastycznej przy  ugię ciach  w  kierunkach  osi  0x,  Oy  i Oz, e  odległ ość  osi  korbowodu  od  ś rodka  cię ż koś ci  ma- sy  m 0 , g  przyspieszenie  ziemskie, hxi, h y i,  h z i  współ czynniki  wiskotycznego  tł umienia  / - tej  pod- kł adki  elastycznej  przy  obrotach  jej  poprzecznych przekrojów  wzglę dem  osi  0'x',  0'y'  i  0V, kxi,  kyi>  kzi  współ czynniki  sztywnoś ci  / - tej  podk.adki  elastycznej przy  obrotach, jak  wyż ej, hi,  /ji()  hi  współ czynniki wiskotycznego  tł umienia/ - tej podkł adki elastycznej  przy  ugię ciach  w  kierunkach  osi  0x, Oy i  Oz, L   dł ugość  korbowodu, m  ł ą czna  masa  ukł adu  drgają cego, m 0   masa  niewyrównoważ ona,  odpowiadają ca  jednemu wykorbieniu  i  skupiona  na  osi  czopa  korbowego, iHpi/ 2  masa  niewyrównoważ ona  w  ruchu  postę powo- zwrot- nym,  odpowiadają ca  jednemu  cylindrowi  i  skupiona na  osi  sworznia  tł okowego, O  poł oż enie ś rodka  cię ż koś ci  ukł adu  w  poł oż eniu spo- czynkowym  ukł adu  drgają cego  i  przy  q>  =   0, r  dł ugość  ramienia  korby, N IELIN IOWE  DRGANIA  SILN IKÓW  TŁ OKOWYCH 581 u, v, w  przemieszczenia  ś rodka  cię ż koś ci  ukł adu  drgają cego w  kierunkach  osi 0x, Oy,  Oz, iii, vi, w i  przemieszczenia  punktów  zamocowania  / - tej pod- kł adki elastycznej  do ukł adu drgają cego  w kierunkach osi  0x,  Oy  i  Oz, 0x,  Oy,  Oz  nieruchome osie,  pokrywają ce  się z gł ównymi  osiami bezwł adnoś ci  O'x\   0'y',  Q'z'  ukł adu  drgają cego w  stanie  spoczynkowym  i  przy  cp ~ 0, x i>yi, z i  współ rzę dne  punktu  zamocowania  /- tej  podkł adki elastycznej  do ukł adu drgają cego  w stanie spoczynko- wym  i  przy  +di_7t,+nd n it,  ...(p  +  (c—  l) ^ c _ l r a k ą ty  o br o t u  kolejn ych  wykorbień . a) i.y- y' Rys.  2 W  celu  wyznaczenia  przemieszczeń  poszczególnych  pun któw  ukł adu  przy  jego  drga- n iach  rozpatrzym y  przemieszczenia  wzglę dem  nieruchomego  ukł adu  współ rzę dnych x,  y,  z  pun ktu  P  ciał a  obracają cego  się  o  ką ty  a,  p  i  y  wokół   trzech  wzajemnie  prosto- padł ych  osi, zwią zanych  z  tym  ciał em (rys.  2). N iech osie  zwią zane  z  ciał em pokrywają  się w  stanie  spoczynku  z  osiami  x,  y,  z,  a  współ rzę dne pun ktu  P  w  ukł adzie x,y,  z  vt  stanie 5 8 2  J .  KOLEN D A spoczynku  bę dą   x 0 ,  y 0 ,  z 0 .  P o dokon an iu  obrotu  ciał a  o ką t  /? wokół   osi y  (rys. 2a) osie zwią zane  z  ciał em zajmą   poł oż enia x', y'  = y, z',  a p u n kt  P  zajmie  poł oż enie P'  o współ - rzę dnych w ukł adzie x, y, z: (2.1)  x' o   =  xocosi3 +  z0sinjS,  y'o  =  y0,  z'o  =  z 0 cos/ ?- *<> sin 0. W  ukł adzie x', y', z'  pun kt  P'  m a współ rzę dne x 0 ,  y Q ,  z 0 ,  zatem  po obrocie  ciał a  o ką t a wzglę dem  osi x'  (rys.  2b) pun kt P'  zajmie  poł oż enie o współ rzę dnych w ukł adzie X', y', z': (2.2)  x 0 ,  y 0 cosa  — z 0 sma,  z0 cos a  ł y s i n a . Jeś li  pun kt  o współ rzę dnych  x Q , y 0 ,  z 0   w  ukł adzie x', y', z'  m a wzglę dem  ukł adu x, y, z współ rzę dne  (2.1),  to  pun kt  o  współ rzę dnych  (2.2) m a wzglę dem  ukł adu x,y,z  współ - rzę dne : X'Q  =  #o cos/ ? +  (z0 cos a+ j> 0 sin a) sin |8, (2.3)  y'ó =  y 0  cos a—z 0  sin a, z'ó  =  (^ocosa+ > "osin a)cos^ — xosin / S. Analogicznie  po obrocie  ciał a  o ką t y wokół  osi z"  (rys.  2c) otrzym ujem y: XQ'  — ( x0 cosy—yQ  sin y) cos § + [z0 cos « +  ( y0 cos y + xQ sin y) sin a] sin /?, (2.4)  jó " =  ( ^ 0co sy +   x0sin y) cos( X- z-0sin a, zó"  =   [ z 0 c o sa + ( j 0 c o sy  — x0 sin y) sin a] cos/ ?— ( x o c o sy—j 0  sin y) sin;?. Wyznaczymy  teraz  odpowiednie  przemieszczenia  poszczególnych  pun któw  silnika.  D la d  =  0 przemieszczenia  mas  m p t i mp2  wywoł ane  obrotem  korby  o ką t q>  wynoszą   [8] (2.5) D la  8 >  0  przemieszczenia  mas m pl   i m p 2 w  kierun kach  osi cylindrów  odpowiadają cych tym  m asom , wywoł ane  obrotem korby  o ką t   =  0  wynoszą : (rj) mpifl   = - r\ l- x =  b 0  + (r+L )cosd,  c t   -   c o   +  (r+L )sind. N IELIN IOWE  DRGANIA  SILN IKÓW  TŁOKOWYCH   583 N a  skutek  przemieszczeń u,  v,  w i  odchyleń silnika  o ką ty  p, a, y  niewyrównoważ one  masy w- tego  wykorbienia  osią gają   przy   T <5) +  — X ~ Acos2(«4> ^ +  ̂ )  cos ó |sin y  cos j3 +   K j + r  \ l- cos(nd„n +   —X—  — Ź lcos2(«c/ „w +  ̂ )  s i n ó jc o s a + l ^ ! —  r\ l—cos(nd n n — X— — Xcos2(nd n 7i  + S)\ cos  d\ sinacosy  +  (a„±e)smasmy\ sinp, =   v+   \ \ bi~ jX- - - Xcos2(ndnn  +ó) Ti : ~  — Xcos2(nd„n + S)  sin ó |sin a , (2.8)  , 4  J  ) fe)m pl/ i  =   w+   1 ^  +  /-   l- c o s( «4I 7i  +  <5) +   j l - ^ - x  c o s a +  ł bi- Ą l- cos(nd„n  + d)+- rX-  - jXcos2(nd n n+  8)  c o s ó |x x  cosy sin a— ( a „ ± e ) sin a sin y  cos/ S—  ( o „ ± e ) c o sy-   j ^ i — ~r\ l- rcos(nd n n^ d)+  - '.~X—- jXcos2(nd n n  + d)  cosó/   siny  sin 0, fcLo  =   « +  ta„  cos y -   ( i 0 +  r cos »4,5r) sin y] cos ^ +  {(c0  -   r sin 7/4, n) cos a + (zn)m0  —  w +  {(c 0 - — a„ sin y] sin a} cos p -   \ a„ cos y — (b 0   + r cos nd n  ri) sin y] sin  p. R óż n ica  współ rzę dnych  (2.8)  i  (2.7)  stanowi  przemieszczenia  niewyrównoważ onych m as w  kierun kach osi 0x,  Oy i Oz n a skutek  ruchów silnika przy cp  =   0. Współ rzę dne  n iewyrówn oważ on ych  m as  w  poł oż eniu  spoczynkowym  ukł adu  przy cp  Ą"  0  są : / 2  =  a„±e,   0v) , V/ 2  "h- ril  + j  X- fAcosd, =   a n ,  O„)„,0  =   bo  + rcos( C 0S|8 — Ua„±e)cosy   — —  Z»i  — r ( l +   - T ^ A—/ J c bsó  sin y|sin / 9, (Xn)m 9   =   «+   {««« —  [c 0 — r sin((p +  nd„  n)]  sin a, fe)ra0  =   w+[[c0- rsin( t) — sin«(/ fljr]cos  acos )3. Wypadkowe  przemieszczenia  niewyrównoważ onych  mas  n- tego  wykorbienia  są  sumą przemieszczeń  wynikają cych  z róż nicy współ rzę dnych  (2.8) i  (2.7) oraz przemieszczeń  (2.11): ( !„ ) „ V l / 2  =   z/  +  ( fl„ + e ) ( c o s/ S c o sy- l)-   U 1 - r ll  +   jX- fAco&d  co s^sin y  + +   I  c 1 ± r ( l +   ~ A - / , J s i nó  c o sa +   \ b1  - /-   1 +   jA- fAcosd  x só  ( c o s a c o s y - l ) + ( a „ ± e ) c o s a s i n y- c 1 ± r l l +   - rh—  / i)sin<5 sisin a +   r\ f^- —  —  Xcos2(nd„7C +  S)\   cos  d cos  a  c o sy, (2.12) Cn)m pl/ 2  -  w  c 1 ± r fl +   i- A- yJsind ( +   | U i - ' " |l  +  - j  A- /i  I cos ó  cosy s i n a -   (a„±e)  sin asiny> cos  P- -   U a n ± e ) c o s y -   A i - / " /^  — A- / , |co s<3  sin yjsin ^ + r  / Ł - —  — Acos2(nd„7i^ 6)  sin <5cos acos 0, )] x x  (sin a sin /5 cos y — cos ^ sin y) +  [c0 — r sin(+nd„n)]cosy  y , W i =   iv —Z j+ [ z( c o sa + ( jic o sy —Xjsiny)sina]cos/ 9—(Xfcosy- ^jsi  y)shi|S. 5  Mechanika  Teoretyrana 586  J .  KOLEN D A Energię  kinetyczną  ukł adu  drgają cego  wyrazić  m oż na  n astę pują co: r.„  ../ _..  ,  ...  ,  . . .  M/.- .2  ,  ',2  i  ,;,2\   i  *  Ji  "2  ,  _  r ' fl2  _L  .  i"  „',2.(2.1.4)  r 0  =  j[m- c(mpl+mp2  +  m0)](u 2   +  v 2   +  w 2 )+  - ~  I x a 2   +  -  ̂ IyP 2  +-  ̂ I' z y )£ „   + (Vn)m Pl gdzie  I x ,  T y,  I'z  oznaczają  gł ówne  m om enty bezwł adnoś ci  ukł adu  drgają cego  bez  m as nie- wyrównoważ onych,  / ' —  m om ent  bezwł adnoś ci  wirują cych  mas  wyrównoważ onych wzglę dem  osi wał u. Przyjmiemy,  że  w  poł oż eniu spoczynkowym  i  przy  ), k gdzie  T   oznacza  ś rednią  wartość  sił y  gazowej  dział ają cej  prostopadle  do  jedn ego  wykor- bienia  na  prom ieniu  r,  bę dą cą  nieliniową  funkcją  prę dkoś ci  ką towej  o  postaci  [9]:  T  — —  A 0 +A 1 cos< 5+ y Isin295cos2<5| +m o shicp  — — m p r  \ rw 2 \ - ~  X si L  \ 2 — —  A2sin 4c3C os4^j  +   2g(sin c?cos< 5 +   — / Isin2(jocos2<51  +rcp I  — 1   \ 1 +   cos2wcos2ó  +   A cos  3 ci cos  3 (5+   — ^2cos4< pcos45  \ —m o gr  sin cp  — 4  I \ U wzglę dniają c,  że niewyrównoważ enie  silnika  i  tł umienie  w  ukł adzie amortyzacji  mają w  praktyce  mał e  wartoś ci,  moż emy  do  rozwią zania  równ ań  typu  (3.3)  i  (3.4)  zastosować asymptotyczną  metodę  KRYŁ OWA- BOG OLU BOWA- M ITROPOLSKIEGO  [10,  11], W  celu umoż li- wienia  analizowania  zachowania  się  drgają cego  ukł adu także  w  obszarze  rezonansowym , w  którym  róż nica  faz  pomię dzy  drganiam i  wł asnymi  i  wymuszeniem  okazuje  istotny wpł yw  n a  zmiany  amplitudy  i  fazy  drgań,  poszukiwać  bę dziemy  rozwią zań  równ ań  (3.6) i  (3.7)  w  pierwszym  przybliż eniu  w  postaci (3.8) cp = co, gdzie  s  oznacza  mał y  param etr,  u l   jest  mał ą  funkcją  okresową,  n atom iast  a, f  i  co są pł ynnie  zmieniają cymi  się  wielkoś ciami,  okreś lonymi  równ an iam i: (3.9)  ip =   b- co  + eBtia,  y>,  co),  b2  = %- , i  co =   eDx{a,  y>, co). N IELIN IOWE  DRGANIA  SILN IKÓW  TŁOKOWYCH   589 Z  dokł adn oś cią   d o czł on ów  pierwszego  rzę du  m ał oś ci  m o ż emy  z  uwzglę dn ien iem  zależ- n oś ci  (3.8)  i  (3.9)  n a p isa ć : [ a^cos( y +  yj) g^sin ( y  +  y)  +  6  Ul dcp J (3.10)  'i  =   - a62cos(9) +  i/)) +   fi|  (b- w)~^ - 2abB 1 +2bA]sin( J  d(cp + ip)2 dcpty P o  wpro wad zen iu  d o  r ó wn a ń  (3.6) i  (3.7)  m ał ego  p a r a m et r u i  p o  podstawien iu  zależ noś ci (3.10)  otrzym ujem y  r ó wn a n ia : (3.11)  a>2~ — R^  b 2 rcos((p  + tp) \ 2m p  lsin ( p c o s( 5+ — / Isin2c?cos2ó  + m o sin q 5(3.12)  2 \   — A&irupcosd — sin2c?cos2(5— — Z  r ó wn a n ia  (3.11)  m o ż na wyzn aczyć  funkcje  Ux,A^ '\ B x ,  przy  czym w celu jedn ozn aczn ego ich  wyzn aczen ia  po st awim y  waru n ek,  aby a  był a  peł n ą   am plitudą   pierwszej  h arm o n iki zm ien n ej  ( 2  „ (3.14)  MX = —T ^ f—r - —-   cos 2 o cos o cos 2© .w ( p z —4to2)  . P o ró wn u ją c  współ czyn n iki  stoją ce  przed  fun kcjam i  sin ( c ?+ ^ ) i cos( c> + ^) p o  obu  stron ach r ó wn a n ia  (3.11)  z  uwzglę dn ien iem  (3.14)  otrzym ujem y  r ó wn a n ia : 2bA 1 - \ - a(b- co)- - ~  —  ( 2m p co s 2< 5+ m 0) r( u 2sin y)  abl y ,- ~  —  ( 2m p co s 2< 5+ m 0) r( u 2sin y) dA  1 2abB 1   -   (b—w)  • ——-  , =   — — ( 2 / w p c o s 2 ó + m 0 ) r a 2 c o s^ , 5 9 0  J .  KOLEN D A s k ą d  II  •   i  • .  . / , i- v  .  2m pcos 2< 5+ m 0  ,  .  1  ,   D   2wjpcos< 5+ m 0  , (3.15)  A i  =   p  ,  ,.—- i- w2smf- - —al y ,  B l   =   ^ —  —~- rco2cosw. m(m+b)  2m   y   am(m + b)  ' F unkcję  J ) t  wyznaczamy  z równania  (3.12)  przez  uś rednienie  prawej  strony  tego  równania po  (sp+y)  w  okresie  2T C  • (3.16)  £>, = i  r T - 5 - A c o +y  (2m pcos 2(5- t- w0)a6 2rsini/ )  . N a  podstawie  równań  (3.9) i zależ noś ci  (3.15),  (3.16) wyznaczyć  m oż na wielkoś ci  a, y> i co. W  stanach  nieustalonych  posł uż yć  się  moż na  metodą  EU LERA,  zgodnie  z  którą  proces rozpoczynają cy  się w  chwili  t 0   od wartoś ci  a o ,ip o   i  m 0   okreś la  się z  zależ noś ci: i  z  analogicznych  zależ noś ci  dla wielkoś ci  ip i w. D la  stanów  ustalonych  równania  (3.9)  mają  rozwią zania: (3.17)  a -   — a  co speł nia  równanie: (3.18)  rT - B- hco  — w  którym  czł on (3.19)  (AM) 0   = stanowi  stał y, w stanach  ustalonych,  skł adnik  dodatkowego  m om entu oporowego,  powo- dują cy  spadek  prę dkoś ci  ką towej  silnika  Aw  — a> 0 —a)  i  stratę  mocy  w  porównaniu ze sztywnym  posadowieniem (3.20)  (AN ) 0  =   (AM) 0 co, gdzie  w 0   speł nia  równanie: (3.21)  rT - B- hco 0   =  0. Z  uwzglę dnieniem  zależ noś ci  (3.17)  otrzymujemy:' (3.22)  (AM) 0  =  M o^o1,  - (AN ) 0   =   M ó n o a>, gdzie  '  '  - 1   2 2 2 (3.23)  M o   = —( 2 m p c o 2mb N IELIN IOWE  DRGANIA  SILN IKÓW  TŁOKOWYCH 591 Z ależ ność wartoś ci  n 0   od wartoś ci  stosunku  czę stoś ci  (x dla róż nych wartoś ci  bezwymia- rowego  współ czynnika v przedstawion o wykreś lnie n a rys.  3. Zależ ność t a umoż liwia  dobór systemu  amortyzacji  zapewniają cego  odpowiednio  m ał e  straty  energetyczne.  Wynika z niej, że w  obszarze  rezon an sowym  korzystn e  są   duże współ czynniki  tł umienia podkł adek elastycznych,  a  w  warun kach  nierezonansowych —  m ał e. 4.  N ieliniowe  drgania  silników  wielocylindrowych  o  6  stopniach  swobody R ozpatrzym y  przypadek  drgań  silników  wielocylindrowych  o  6  stopniach  swobody, przy  czym uwzglę dnimy,  że am litudy  drgań  obrotowych  a,  p i y  są  w praktyce m ał e i w roz- kł adach  funkcji  trygon om etryczn ych  tych  ką tów  w  szeregi  potę gowe  zachowamy  tylko pierwsze  wyrazy.  Ograniczymy  się   do  analizy  stanów  ustalonych  oraz  bliskich  ustalonym, w  których  ł p jest  mał ą   wielkoś cią   i pom iniem y  czł ony proporcjon aln e do iloczynów  m pll2  

+ F ; « - F ; > ',  i?3 =   - j crT (co o )  =crT {ć p)- t(ć p R 5   =   - l yy 'p+W x w- U z u  + l xy u + l yz y,  R 6   =   - l zt y+u;ii- V x v  J \ c 0 -   [ L - - r  rX]sinó\   cm p2 c o + |L - ^ - r Al s i nó N IELIN IOWE  DRG ANIA  SILN IKÓW  TŁOKOWYCH   593 r  /  •   i  \   T  [   /   i  ,\   i 2 I c 0 -   \ L -   - ^- M lsinól  +cmp2  \ co  + \ L - —rAhino]  + ir2  + 2W(«- + «)2 1  1 + cr 2 (m pl   +m p2 )L -   + ̂ -  P jsin 2  <5 +  cm0 lcjj + +m p2 (a„~e) 2 +m 0 a 2 ], c - l (a„  +  ef  + m p2 (a n - e) 2   +  m 0 a 2 ] n = 0 c - l J +   V  [ _ 2 ^ ( 7 c o s< 3 ± ^ si n +  4A/ 3 (y cos ó + /? sinó)c3 +  2r/ 2 (y cos <5 ±  ̂ sin d)

 + nd„ n + d), c - l n- 0 Jcos (  . { c - l  •   • - 2 c c0 u +  2c30H ' +  ̂   [2rvsm((p + ndn7i—a)- 2ancoy  — d n a—  a)+4b 0 r'dcos((p+nd„7c-   a) + +2b 0 r(+ nd n  n + 5)  x X  ( l j ) + -   2rcJ£y  cos  ( 5± 2^ sin < 5)+ 2rc 1/ 2(ycos <5±  (Ssin 8)cp 2 ±2r 2 fly 2 (y  cos ó ± ±   jSsin 8) sin ó T 2r 2 / 1/ 2 c ? 2 ( y cos <3 ±  /Ssin (5) sin <5 + 4/ - (aB ± e ) / 3 a ^ c o s 8  - N IELIN IOWE  DRG ANIA  SILN IKÓW  TŁ OKOWYCH   595 c - l Q5  =   - — \ - c r 2 P J 2  «= o +   2r  2 Pq> sin 2{ +  nd„  n)  - -   4 c 0  r/ 3sin (9?+ nd„ n) -   4 c 0 r$ip c o s (95+ nd„ n) + 2a„'w + 2c0 rp(p 2 sm( ( yc o s< 5+ / 3sin < 5) + 2rZ > 1/ jlyc o s< 5—2rix/ 2 2 r c i / i  j8 c o s  <5 +  2 r 2 c > 2 / | (y c o s  <5 ±  /S sin  S) cos ó -   2r 2fj %   ć p 2 (ycos  ó +  /? sin  ó) cos  (3 + ifx  (y cosó + ) ? si n  (5) + 4 r ( a „  ± e ) / 3  a ^ si n ó  ± 2 r ( a „  +  e ) / ! a sin  <5 + +   e ) / 2 9) 2 ( a sin ( 3 +   c o s< 3 ) - / -2 / |( 2 yc o s2 ó ± / 9 si 0 - 1 y 2 - 2cbż u- 2cb o cJ+2cr 2 Py+£  [r 2 ycos2(95+ nd„n)- 2 ( 3 ) 9 5 2 |  , c?2cos(cj  +  nd„ ri) + 2rb 0   P sin ( c3+ nd n   n) + +  4rb 0   Pq>cos(tp + nd„n)  — 2rb 0   P

• ( < ? > - a ^ c o s^ + n d n -̂  a)]} > 596  J .  KOLEN D A c - l  . 2,12r 2 f 2 f 3 q> 2 (y 2 cos 2 d  + pysin2d  + jS2sin 2ó)4- 2rbJ 3 'y(ycosd±Psind)+2rc 1 f 3   p(ycosd±Psin8)- 2r 2 f 1 f 3 (ycosd±p'sm8)   x ±pń nó)- r z

  T J  \ _l ~  lń nl(  T  Xcos(cp + 2  I  J  \ l 2(+dt  + $)  — n :rc +  8)\ a+2rf 3 v(c(.sind±cosd)+2r(a n ±e)f 3 y'(asmd±cosd)± ±2rc 1 f 3 'd(asmd±cos   d)- 2r 2 f 1 f 3 a(asmd±cos   d)ń nó — +2r(a n ±e)f 3 P(acosd+ń nd)- 2rb 1 f 3 'd( , c - l [- 2r 2 yyycos2x «=o +r 2 ppsin2(  9  =  const. W  rozwią zaniach  tych  u 0 ,  ...,y 0   są   stał ymi  skł adn ikam i  wywoł anymi  stał ą   skł adową m om en tu  reakcyjnego  crT (a> 0 ),  a  Q S (S =  1, . . . , 6)  są   sumą   skł adn ików  o  postaci (4.3)   Q f>  =   ?f> a Ac o s( V+ < S*) ,  s, k  =   1, . . . . 6, N IELIN IOWE  DRGANIA  SILN IKÓW  TŁ OKOWYCH 597 gdzie:  a k ,  d k   oznaczają  stał e  okreś lane  z  warun ków  począ tkowych,  X k   są  czę stoś ciami drgań  wł asnych  okreś lanymi  z  równ an ia  charakterystycznego  ukł adu,  zaś  ę f)  są  stał ymi speł niają cymi  ró wn an ia: 6 ( 4.4)  £   (cjs- aJs  At 2)  =   0 ,  / ,  k  =   1 , . . . ,  6 i  warun ki (4.5) [«/*]  = ortogon aln osci: ~m 0 0 0 0 0 0 m 0 0 0 0 6 I 0 0 m 0 0 0 \ Z 0 0 0 h 0 0 \ a 0 0 0 0 / , 0 0 0 0 0 0 1 6  6 ~  c x 0 0 0 u, u. 0 Cy 0 - vz 0 F . < pf = 0 0 c z W y - W x 0 0, 0 - vz W y c xx C- r - w,  o Cyy  - ( W  niniejszej  pracy  podam y  rozwią zania  równ ań  (4.1)  w  pierwszym  przybliż eniu. Wykorzystamy  tu  tę  wł aś ciwoś ć  analizowanego  ukł adu,  że  n a  skutek  istnienia  tł umienia i  wymuszeń  zwią zanych  z  obrotem  wał u  korbowego  ustalą  się  drgania  okreś lone  przez czę stość  wymuszeń  i  tę  spoś ród  czę stoś ci  drgań  wł asnych, której  wartość jest  najbardziej zbliż ona  do  wartoś ci  czę stoś ci  wymuszeń.  D rgan ia  z  innymi  czę stoś ciami  wł asnymi  bą dź wygasną,  bą dź  mogą  n ie  być  rozpatrywan e  w  pierwszym  przybliż eniu  [10,  11]. Zał oż ymy przy  tym , że n ie wystę puje  rezon an s wewnę trzny. P o  podstawien iu  (4.2)  do  równ ań  (4.1)  i  wprowadzeniu  współ rzę dnych quasi- normal- n ych  za pom ocą  podstawien ia e (4.6)  r,.(t\   mm  V  , otrzymujemy  ró wn an ia: (4.7)  &+ tffc- ~ ff[Rj+mpl(Fj)i+mp2(Fj)2+mQQj],  k  -   1,  . . . , 6 , (4.8) y- i D la  wyznaczenia  drgań  ukł adu  w  pierwszym  przybliż eniu  wystarczy  ograniczyć  się do  analizy  dwóch  r ó wn a ń :  równ an ia  (4.8)  uwzglę dniają cego  ź ródło  energii  i  jedn ego z  równ ań  (4.7). Wybór  jedn ego  z  równ ań  (4.7) zależy  od  czę stoś ci  X k ,  dla  której  wartość róż nicy  \ X k ~ip\  jest  najmniejsza.  Jeś li  taką  czę stoś cią  jest  Am,  należy  rozpatrywać  ukł ad ró wn ań : (4.9) (4.10) q„,+k 2 m q m   = [ Ą + mp l ( F ; ) j  +mp2(Fj)2+m0Q], +m p2 (F 7 ) 2 +m 0 Qi]. 598  J.  KOLEN D A D la  równ ań  (4.9) i  (4.10)  przewidujemy  w pierwszym  przybliż eniu  rozwią zanie  w postaci: q m   =   acos(=w, ń  =  sD(a,ip,co), gdzie a i ip są funkcjami  czasu i opisują  się równ an iam i: (4.12)  a  =sA(ip,a,co), f  =  X m - co  + eB(a,y>,co). P odobn ie jak w przypadku  równania  (3.6)  otrzym ujem y: (4.13)  Xl - J^ -  ̂ +2% m co  .  f.\   ,  +  co d() +iń n(d{(p+f), ską d oo  2n In  6 o o / / p —o o  0  0  m  j Rozwią zań  ukł adu  (4.20)  poszukujemy  w postaci  szeregów: 00 (4.21)  A{a,ip,m)=  ]?  C p (a,w)e i '" 1 ',  B(a,f,a>)  = p=  — co  p  =   —oo P o  podstawieniu  (4.21) do  (4.20)  otrzymujemy  rozwią zania: oo  2.T  2it 1  \ H   etp^   (  r  1 (4.22)  A(a iv co) =   /   •   i(^m—(o)ip  I  I x  [Rj+m cc  i  v  , , - 2X m   - r—  >   yPlRj+m^ iFj)! 600  J .  KOLENDA D O  2JI  2sr  6 vi  e  ̂ r  r  i [C.d.]  p= - oo  m  J  \   m  J  0  0 x  [Rj+MpxiFj)!  +m p2 (Fj) 2 +m 0 Qj]e- i <"l'sm((p+y))d)  w  okresie  2T I (4.23)  D{a,  f,  ^ )=^ jf  [R^ +mpAFi)!  +m p2 (F 7 ) 2 +m 0 Q 1 ]d(< P +y>). o N a  podstawie  (4.11),  (4.12),  (4.22),  (4.23)  wyznaczyć  m oż na  wielkoś ci  a,  tp i  w  oraz z  uwzglę dnieniem  (4.2),  (4.6) i  (4.19)  drgan ia  u kł ad u : (4.24)  u  = Z  równania  (4.10)  wyznaczyć  m oż na  wywoł any  drgan iam i  silnika  dodatkowy  m om en t oporowy,  jako  sumę   m om en tów  n a  wale  silnika,  z jakim i  oddział ywują   masy  m pl/ 2   i  m 0 przy  drganiach u,  ...,  y (4.25) 2* 1  f którego  stał y,  w  stanach,  ustalonych,  skł adnik  (AM) 0   =   —  AMdUp + w)  powoduje 2jl  o trwał y  spadek  prę dkoś ci  ką towej  silnika  i  stratę   mocy  (AN ) 0   =  (AM) o a>,  zwią zaną   z tł u- mieniem w  podkł adkach elastycznych. Powyż sze  zależ noś ci  pozwalają   dokon ać  analizy  drgań  i  obcią ż eń  silnika  oraz  doboru ukł adu  amortyzacji,  speł niają cego  wymogi  stawiane  elastycznem u  posadowien iu  i  zapew- niają cego  odpowiednio  mał e  straty  energetyczne,  przy  uwzglę dnieniu  nieliniowych  zjawisk i  nieidealnego  ź ródła  energii.  Przez  podstawienie  d  =   0  lub  d  =   n/ 2  zależ noś ci  te  mogą być  wykorzystane  także  do  analizy  silników  o  pion owym  ukł adzie cylindrów  lub  siln ików typu  bokser. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W.  P F I AU M ,  W.  H EM PEL,  Untersuchung  ueber den Verschleiss  bei Motoren  mit elastischer  L agerung, M TZ ,  23, 11  (1962). 2.  W.  H EM PEL,  Zusatzkraefte im T riebwerk von Kolbenmaschinen bei elastischer L agerung und im Seegang, F orschungsh.,  Schiffstechnik,  April 1966. 3.  Y.  ROCARD ,  Dinamique  generale des vibrations,  Masson,  P aris 1949. N IELIN IOWE  DRG ANIA  SILN IKÓW  TŁOKOWYCH   601 4.  B . O .  KOH OH E H KOJ  KoAe6amejibHue  cuemeMU c  oipammeuHun  eo36yoicdenueM,  I fafl.  H ayKa3  M o c r a a 1964. 5.  E . F . TOJI OC KOKOB,  A.  I I .  uavmnoB,  HecmatfuonapHbie KojieBmun  MexUHuuecKux  cuaneju,  HayKOBa JlyM Ka,  K n eB  1966. 6.  J.  KOLEN D A,  Analiza  wibracyjno- uderzeniowego  ukł adu  z  bezwł adnoś ciowym  wzbudnikiem  drgań . Praca  przyję ta  do druku przez Redakcję  Zeszytów N aukowych Politechniki G dań skiej « Mechanika ». 7.  J.  KOLEN D A,  N ieliniowe  drgania  elastycznie posadowionych silników  tł okowych z  mimoosiowymi  me- chanizmami korbowymi  z  uwzglę dnieniem nieidealnego  ź ródł a energii. Zeszyty  N aukowe  Politechniki G dań skiej  «  Budownictwo  Okrę towe  »,  (w  druku). 8.  J.  JĘ D RZEJOWSKI,  Mechanika  ukł adów korbowych  silników  samochodowych,  WKŁ,  Warszawa  1965. 9.  M .  CICH Y,  S.  WOJCIECH OWSKI,  Interpolacja charakterystyk silnikowych za pomocą  wielomianów,  Ze- szyty  N aukowe Politechniki G dań skiej, N r  189,  Mechanika XVI,  1972. 10.  I O .  A.  M H TPonojibCKH H ,  Hecmauiioiiapnue  npoą eccu  e  ne/ iimeuHux  KOjie6amejibHbix  cucmeMax,  H 3fl. AH   yC C P 3  KiieB  1955. 11.  H .  H .  E orojn oBOB,  K ) .  A.  M H T P O I I O J I BC K H H J  AcuMnmomimecKue  jiiemodu  e  meopuu  mmmcuubix iH3MaTrH33  M o cK Ba  1963. P  e  3  lo  M   e H E JI H H E H H BI E  KOJIEBAH H H   AM OP TH 3H P OBAH H BI X  K- 0BPA3H LIX H BH rATE JI E M   C  H EH flEAJIBH BIM  H C TOM H H KOM B  pa6o T e  paccM aTpH saioTCH   KoneSaH H H   aMopTH 3H poBaH H Łix  K- o6pa3H bix  flBH raTejieił   c  H eypaBH O- MaCCaMH  H   C  BO3BpaTH0- nOCTynaTe^ŁHWM   H   BpamaTe^BH H M   flBH H feH H H M H .  y^H TblBaeTCH H C TOM KH K3  3H eprH H   H   yr a o B a n  cKopocTŁ  HBHraTeJiH   npH H H MaeTca  nepejneH H OH .  I I o - pacciwaTpH Baerabix  CHCTeM   ormcH BaeTCfi  c  n oM om wo  H ejiraieftH bix  flH (jKJ)epeimH anŁH bix  ypaB- KCHHfi,  KOTOpwe  peniaiOTCH   c  npH MeH eH neiw  AieTofla  KpbiJiOBa- BoronioG oBa- M H TponoJibC Koro. S u m m a r y N ON - LIN EAR  VIBRATION S  O F   ELASTICALLY  M OU N TED   f- TYPE  PISTON   EN G IN ES WITH   N ON - ID EAL  POWER  SOU RCE The  paper deals with vibrations of elastically  mounted  K- type engines with reciprocating  and rotating unweighted masses. The  non- ideal power source and  variable rotating speed of engine are  taken into account. The  behaviour of  analysed  systems  is  described  by  non- linear differential  equations which  are  solved  by means  of  the  asymptotic  method  of  Krylov- Bogolubov- Mitropolsky. IN STYTU T  OKRĘ TOWY  POLITECH N IKI  G DAŃ SKIEJ Praca  został a zł oż ona  w  Redakcji  dnia 10  stycznia 1975.