Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  13  (1975)

O  WARUN KU   PLASTYCZN OŚ CI  HUBERA- MISESA

Z BI G N I E W  O L E S I A K  (WARSZ AWA)

Warun ek,  czyli  kryterium  plastycznoś ci,  należy  do  podstawowych  poję ć  teorii  pla-
stycznoś ci.  R ozważ an ia  dotyczą ce  warun ków  plastycznoś ci  znajdziemy  w  każ dym  bez
wyją tku  podrę czn iku  poś wię conym  tej  teorii.  Jednym  z  najprostszych  kryteriów  osią g-
nię cia  stan u  uplastyczn ien ia,  a  równocześ nie  od  wielu  lat  cieszą cym  się   uznaniem  i  naj-
powszechniej  wykorzystywanym ,  jest  warunek  energii  odkształ cenia postaciowego.  Auto-
rzy  podrę czników  i  prac  z  tej  dziedziny  nazywają   go  róż nie,  n p . :  warunkiem  H U BERA,
M I SE SA,  LEVY'EG O,  H E N C K Y'E G O , H —M —H i t p .  Również w sposób  niejednolity  traktowane
są   zasł ugi  uczonych,  których  prace  są   fundam entalne  dla  rozwoju  teorii  plastycznoś ci.
Kryterium  energii  odkształ cen ia  postaciowego  sformuł ował   M . T.  H U BER,  niestety  do
obecnej  chwili  jego  zasł ugi  są   czę sto  pomijane  milczeniem,  pomniejszane  lub  przeina-
czan e.

D latego  przeanalizujm y,  co  piszą   najwybitniejsi  autorzy  monografii  i  podrę czników
z  dziedziny  teorii  plastycznoś ci,  uczeni  o  ś wiatowej  sł awie,  i  porównajmy  z  prawdą   histo-
ryczną .

W  ś wietnej  m on ografii  W.  W.  SOKOŁOWSKIEG O  [27]  znajdziemy  n a  ss.  43  i  44  stwier-
dzenia,  że  warun ek  stał ej  intensywnoś ci  dewia.tora  n aprę ż en ia  został  podan y  przez  M . T .
H U BERA  i R.  M ISESA,  a interesują cą,  energetyczną   interpretację  podał  H .  H E N C KY.  Z arówn o
pierwsze,  jak  i  drugie  zdan ie  nie jest  ś cisł e.  M . T .  H U BE R  nie  podał   warunku  stał ej  inten-
sywnoś ci  dewiatora  n aprę ż en ia,  a  interpretacja  H EN C KY'EG O  nie  był a  pierwsza.  Tytuł
pracy  H U BERA  został  podan y  w  tł um aczeniu  niemieckim, wynika  z  niego  zresztą   wyraź nie,
o  jaką   hipotezę   chodzi  (wł aś ciwej  pracy  odkształ cenia  postaciowego).  Również  przy-
pisywanie  F .  SCH LEICH EROWI  [26], że wprowadził  n aprę ż en ia oś mioś cienne mija  się   z  praw-
dą .

W  znanym  podrę czn iku  L.  M .  KACZAN OWA  [17]  znajdziemy  w  omówieniu  «warunku
stał oś ci  intensywnoś ci  n aprę ż eń  stycznych  (warunek  M isesa)»  uwagę   nastę pują cą:  «oka-
zał o  się   póź niej,  ż e  jeszcze  w  roku  1904  Huber  zaproponował   warunek, bliski  warunkowi
(10.1)».  L.  M .  K AC Z AN Ó W  pisze  również,  że  pewne  trudn oś ci  m atem atyczne  zwią zane
z  warun kiem  TR E Ś CI  doprowadził y  von  M ISESA  do  myś li  zastą pienia  sześ ciobocznegO'
gran iastosł upa  opisan ym  walcem  koł owym  (był o  tak  istotnie).

W.  S.  LEN SKI J  [19]  kryterium  energii  odkształ cenia  postaciowego  nazywa  warunkiem
M I SE SA- H E N C KY'E GO  (n p.  s.  58  czę ść  I ) .  P odobn ą   nazwę   stosują   H OF F M AN N   i  SACKS  [11].

Autorzy  polscy  nazywają   kryterium ,  o  którym  m owa,  n a  ogół   warunkiem  H U BE R A- M I-
SESA- H EN CKY'EGO  (n p.  [18,  23]).  W  Encyklopedii  Techniki, tom  I,  s.  270  [24],  znajdziemy
stwierdzenie,  że  «koncepcję   wykorzystania  poję cia  energii  odkształ cenia postaciowego  jako



524  Z .  OLE SI AK

kryterium plastycznoś ci przedstawili póź niej  R.  von  Mises  i  H.  Hencky».  Otóż  M I SE S  nie
rozpatrywał   energii  odkształ cenia postaciowego.  Przy  om awian iu  hipotezy  niezmienników
nazwisko  MISESA  jest  natom iast  pom inię te,  mim o  że  był   pierwszy,  który  wykorzystał
niezmiennik  dewiatora  naprę ż enia  do  sformuł owania  warun ku  plastycznoś ci.  M ijał oby  się
z  celem  wyliczanie  wszystkich  prac  i  ksią ż ek,  w  których  z  róż nych  wzglę dów  pomija  się
nazwisko  H U BERA.  W  dalszej  czę ś ci  tego  artykuł u postaram y  się  wyjaś nić,  n a czym  polegają
zasł ugi  poszczególnych  autorów  podstawowych  prac,  które  doprowadził y  do  sformuł o-
wania  warunku  plastycznoś ci  energii  odkształ cenia  postaciowego  i  innych  warunków,
matematycznie  równoważ nych.

R.  von  M ISES  wprowadził   warunek  plastycznoś ci,  starają c  się   zastą pić  «dokł adny»
warunek  TREŚ CI  warunkiem  przybliż onym  i  nie  wykazują cym  n iedogodn oś ci  wynikają -
cych  z  niecią gł oś ci  pierwszej  pochodnej  w  wierzchoł kach  sześ cioboku  TR E Ś C I.  N ajwię ksza
róż nica  przybliż enia  sześ cioboku  TREŚ CI  elipsą   M ISESA  n ie  przekracza  15%.  D opiero
wyniki  doś wiadczeń  utwierdził y  M ISESA  W przekon an iu,  że  jego  «przybliż ony»  warunek
może  być  bliż szy  danym  eksperymentalnym  i  może  być  traktowan y  ja ko  samodzielne
kryterium.  R.  von  M ISES  sformuł ował  warun ek  plastycznoś ci  w  postaci  równ an ia  J

2
  =   k 2,

gdzie J
2
  jest  drugim  niezmiennikiem  dewiatora  n aprę ż en ia.  Jak  pisze  W.  P RAG ER  i  P h. G .

H OD G E  [25], wydawał o  się   wtedy,  że  warunek  ten  m a  ch arakter  abstrakcyjny  i  staran o  się
odkryć  fizyczne  znaczenie  niezmiennika.  P onieważ  drugi  niezm iennik  dewiatora  naprę -
ż enia  ma  wymiar  kwadratu  naprę ż enia, A.  N AD AI  [22]  zał oż ył,  że  fizyczne  znaczenie  musi
mieć  pierwiastek  kwadratowy  drugiego  niezmiennika.  Wychodzą c  z  tego  zał oż enia,  A.
N AD AI  znalazł   taką   pł aszczyznę   i  takie  n aprę ż en ia  w  oś rodku  poddan ym  dział an iu na-
prę ż eń,  że  z  dokł adnoś cią   do  stał ej,  pierwiastek  kwadratowy  drugiego  niezm iennika  de-
wiatora  naprę ż enia  jest  równy  tym  naprę ż eniom.  Okazał o  się ,  że  pł aszczyzna  taka  jest
symetrycznie  nachylona  do  kierunków  gł ównych,  a pon ieważ  pł aszczyzn  takich jest  osiem,
powstaje  symetryczny  oś mioś cian  zł oż ony  z  trójką tów  równ oboczn ych.  Kwadrat  cał ko-
witego  naprę ż enia  dział ają cego"  n a  powierzchnię   oś m ioś cianu,  czyli  n aprę ż en ia  oś mio-
ś ciennego*',  jest  równy  kwadratowi  ś redniej  wartoś ci  n aprę ż eń  gł ównych,  kwadrat  oś-
mioś ciennego  naprę ż enia  stycznego  n atom iast  równ a  się   4/ 9  sumy  kwadratów  gł ównych
naprę ż eń  stycznych.  P on adto naprę ż enia  n orm aln e n a  pł aszczyź nie  oś mioś cianu  są   ś red-
nią   wartoś cią   naprę ż eń  gł ównych,  a  styczne  n aprę ż en ia  oś mioś cienne  są   dokł adn ie  równe
intensywnoś ci  dewiatora  naprę ż enia, gdzie pod  tym  term in em  rozumie  się   kwadratowy
pierwiastek  ś redniej  wartoś ci  kwadratów  skł adowych  gł ównych  dewiatora  n aprę ż en ia

f  ośm  —

H .  H EN CKY,  nie znają c  prac  M . T.  H U BERA  [12] i  [13], po dał   in n ą   interpretację   fizyczną
[9],  stwierdzają c,  że  praca  powodują ca  zmianę   postaci,  czyli  energia  odkształ cen ia  po-
staciowego,  jest  proporcjon aln a  do  drugiego  n iezm ien n ika  dewiatora  n aprę ż en ia pom n o-
ż onego  przez  odwrotność  podwojonego  m oduł u  odkształ cenia  postaciowego  (inaczej  m o-

*5  Pod  wpł ywem,  zapewne,  dosł ownego  tł umaczenia  z  literatury  rosyjskiej  przeniknę ła  ostatnio  do
piś miennictwa  polskiego  nazwa  «oktaedr»,  zamiast  ustalonego  terminu  oś mioś cian  i  «naprę ż enia  okta-
edryczne»,  zamiast  naprę ż enia  oś mioś cienne.



O  WARU N KU   PLASTYCZNOŚ CI  HUBERA- MISESA  5 2 5

dulu  KI R C H H OF F A).  I n terpretacja  H E N C KY'E G O  pochodzi  z  1924  r.,  a  praca  A.  N AD AI '-
EG O  z  1937  r.

R.  H I L L , w swojej  m on ografii  [10], podaje  chyba  najprecyzyjniejsze  omówienie  historii
kryterium ,  piszą c:  afizyczną   interpretację   warunku  Misesa  podał   Hencky  {1924),  wyka-
zują c, ż e pł ynię cie  zaczyna  się   wtedy, gdy  energia odkształ cenia postaciowego osią ga wartoś ć
krytycznej.  I  dalej:  {{kryterium Misesa  został o  w pewnym  stopniu poprzedzone przez  Hu-
bera  (1904  r.)  w  Polsce,  w  pracy,  która  nie  wzbudził a  zainteresowania przez  prawie  dwa-
dzieś cia  lat po  jej  opublikowaniu.  Huber  rozróż niał  dwa przypadki  w  zależ noś ci od  tego  czy
hydrostatyczna  skł adowa  naprę ż enia  jest  rozcią gają ca, czy  też  ś ciskają ca.  W   drugim przy-
padku  przyjmował ,  ż e pł ynię cie  okreś lone jest  sprę ż ystą  energią  odkształ cenia postaciowego;
w  pierwszym  natomiast,  ż e  zależ y  od  cał kowitej  energii sprę ż ystej  (tak, jak  to  przyjmowali
E.  Belframi  [1]  i  B.  G.  Haigh  [7]».  «N ie jest  jasne  czy  Huber  myś lał  o  plastycznym  pł y-
nię ciu,  czy  o  kruchym  pę kaniu»  (koniec  cytatu).  Powyż szy  cytat  z  monografii  R.  H I LLA
należy  skom en tować  n astę pują co:  otóż  pomysł   polegają cy  n a  rozróż nieniu  dwóch  przy-
padków  w  zależ noś ci  od  zn aku  hydrostatycznej  skł adowej  naprę ż enia  rzeczywiś cie  po-
chodzi  od  M . T.  H U BE R A,  nie  był   jedn ak  przez  niego  opublikowany.  W  oryginalnych
pracach  z  lat  1903  i  1904  jest  m owa tylko  o  hipotezie  energii  odkształ cenia postaciowego
([12,  13]).  M odyfikacja  kryterium ,  o  której  pisze  R.  H I L L ,  został a  prawdopodobnie  za-
czerpn ię ta  z  ksią ż ki  A.  F O P P LA  [5],  który  opublikował   ją ,  jak  wspom ina  H U BE R ,  pod
tytuł em  „Die  Annahme  von  Huber",  n a  podstawie  korespondencji  prywatnej  z  H U BEREM .
Z  kolei  o  tym ,  czy  H U BE R  m yś lał   o  plastycznym  pł ynię ciu czy  o  kruchym  pę kan iu  jasn o
wynika  z  opublikowan ych  prac.

F .  SCH LEICH ER  w  pracy  [26],  cytowanej  przez  wielu  autorów,  rozróż nia  wyraź nie
(w  1926  r.), w  pun kcie  8 pracy,  warun ek  H U BERA  (i tak  go  nazywa)  od  hipotezy  BELTRA-
MIEG O i  pewnej  wersji  podan ej  przez  B. P .  H AI G H A.

Warun ek  R.  von  M ISESA  n iektórzy  autorzy,  n p .  H .  G EIRIN G ER  [4], nazywają   warun-
kiem  «kwadratowym »,  w  odróż n ien iu  od  «liniowego»  warun ku  TREŚ C I.  Jak  wspomnie-
liś my  powyż ej,  celem  M ISESA  był o  znalezienie  takiego  warun ku,  który  aproksymował by
warun ek  TR EŚ C I,  usuwają c  zarazem  niecią gł oś ci  pochodn ej.  P odobn y  sposób  myś lenia
M I SE S  zadem on strował  jeszcze  raz, wiele  lat póź niej  w  pracy  z  1948  r.  Okazał o się   bowiem
w  przypadku  dwuwymiarowym,  że  w  zależ noś ci  od  poł oż enia  pun ktu  n a  krzywej  przed-
stawiają cej  «kwadratowy»  warun ek  plastycznoś ci  zagadnienie  sprowadza  się   do  hiper-
bolicznego,  parabolicznego  bą dź  też  eliptycznego.  P onieważ  powoduje  t o  trudnoś ci  ma-
tem atyczn e,  R.  von  M I SE S  zapropon ował   po  raz  drugi  przybliż enie  warun ku  TREŚ CI,
tym  razem dwom a  parabolam i, z  których  każ da  przechodzi przez  dwa  wierzchoł ki sześ cio-
boku  TR EŚ CI  leż ą ce  n a  osiach  n aprę ż eń  gł ównych.  Z aletą   tak  ustawionego  kryterium  pla-
stycznoś ci  dla  przypadku  dwuwymiarowego  jest  hiperbolicznośc  rozwią zania  we  wszyst-
kich  pu n kt ach  krzywej.

M .  T.  H U BE R  zajmuje  się ,  w  swoich  podstawowych  pracach  [12]  i  [13],  wytę ż eniem
m ateriał u  i  h ipotezam i  pozwalają cymi  okreś lić  jego  osią gnię cie.  Autor  utoż sam ia  wytę -
ż enie  m ateriał u  z  niebezpieczeń stwem  pę kan ia  i  stwierdza:  wytę ż enie  materiał u  mie-
rzy  się   wł aś ciwą pracą   odkształ cenia,)).  R ozpatrują c  nastę pnie  potencjał   sprę ż ystoś ci  M . T .
H U BE R  pisze  wyraź nie  w  p .  7  swojej  pracy  z  1904  r.:  «w praktyce  technicznej  nie  dopuszcza-
my  z  reguł y  odkształ ceń  poza  granicą  sprę ż ystoś ci,  chodzi  nam przeto  nie  tyle  o niebezpie-



526  Z .  OLESIAIC

czeń stwo pę knię cia,  ile  o niebezpieczeń stwo przekroczenia  granicy sprę ż ystoś ci,  które  wedł ug
wszelkiego  prawdopodobień stwa mierzy  również  wł aś ciwa  praca  odkształ cenia)),  i  dalej:
nUż ywają c wyraż enia granica sprę ż ystoś ci, mam  obecnie i  w  dalszym  cią gu na  myś li  granicę
stanu  napię cia, przy  którym  rozpoczyna się   pł ynię cie  ciał  cią gliwych  {plastycznych),  a wię c
to,  co N iemcy  nazywają   «Streckgrenze».

Przeglą d  prac  ź ródł owych pozwala  stwierdzić  zatem  co  n astę puje:
1.  Pomysł   zastosowania  potencjał u  sprę ż ystego  jako  miary  wytę ż enia  poch odzi  od

E.  BELTRAMIEG O  [1].

Okazał o  się   póź niej  z  listów  do  W.  TH OM SON A,  że  J. C .  M AXWE LL  [30]  zasugerował
w  nich  wykorzystanie  wyraż enia  n a  energię   sprę ż ystą   przy  wyznaczaniu  krytycznej  war-
toś ci  naprę ż eń zł oż onych. Wykazał   on  (patrz  [29]), że  energię  sprę ż ystą   m oż na rozł oż yć n a
energię   obję toś ciową   i  energię   odkształ cenia  postaciowego  i  stwierdził :  «mam  poważ ne
podstawy  do przekonania,  ż e  gdy  (energia odkształ cenia  postaciowego)  osią gnie pewną   gra-
nicę   to  element  ulegnie zniszczeniu.  Jestem  pierwszym,  który  pisze  na  ten  temat,  nigdy  nie
widział em  ż adnych  badań  dotyczą cych  nastę pują cego problemu:  znamy  odkształ cenia  me-
chaniczne  elementu  w  trzech  kierunkach,  kiedy  ulegnie  on  zniszczeniu7».  D o  zagadnienia
tego  M AXWELL  już  nie  powrócił ,  a  jego  idee  stał y  się   zn an e  dopiero  p o  opublikowan iu
listów.  F akt  ten  przypom niał  mi  p .  doc.  dr  Stanisł aw  STAN JSŁAWSKI  Z P olitechn iki P oz-
nań skiej  n a  zebraniu  naukowym  P T M T S.

2.  H .  von  H ELM H OLTZ  [8]  wydzielił   pracę   odkształ cenia  obję toś ciowego  ze  wzoru  n a
potencjał   sprę ż ysty.

3.  M . T.  H U BER  pierwszy  sformuł ował   kryterium  odkształ cenia  postaciowego  jako
m iarę   wytę ż enia,  utoż samiając  je  (w  zależ noś ci  od  badan ego  m ateriał u) z  osią gnię ciem
granicy  plastycznoś ci.  N ie  odpowiada  wię c  prawdzie,  że jest  niejasne,  czy  H U BE R  myś lał
o  plastycznym  pł ynię ciu, czy  też  nie.  P riorytet  H U BERA  był   zn an y  jeszcze  w  latach  dwu-
dziestych,  zwł aszcza  w  N iemczech, a  prawdopodobn ie  znacznie  wcześ niej  kilku  wybitnym
uczonym,  z  którymi  M . T.  H U BER utrzymywał   kon takt  korespondencyjny.

Wedł ug  ś wiadectwa  M . T.  H U BERA  również  praca  R.  von  M ISESA  Z  1913  r.  został a
zapom n ian a  aż  do  prac  H .  H EN CKY'EG O  Z 1924  r.  i  I  Kon gresu  M echaniki  Technicznej
w  D elft,  również  w  1924  r.  Z arówn o  na I , jak  i  I I Kongresie  (w  Z urychu,  12 - 17  I X  1926)
odbył a  się   dyskusja  n a  tem at hipotez wytę ż enia  z  udział em M . T.  H U BER A.  N a I I I Kon gre-
sie  w  Sztokholmie  (24  -  29  VI I I  1930)  R.  von  M ISES  wygł osił   referat  generalny,  w  którym
stwierdził ,  że jego  warunek  plastycznoś ci  róż ni  się   od  warun ku  H U BER A.  N ieporozum ie-
nie  polegał o znowu n a tym, że  M ISES  oparł   się  n a wspomnianej  powyż ej  ksią ż ce  A.  F Ó P P LA
[5],  nie  znają c  tekstu  prac  H ubera w ję zyku  polskim .  Wypowiedź  M ISESA  został a sprosto-
wana  przez  M . T.  H U BERA,  gdyż liczbowo  i w postaci wzoru  warun ki  się   nie  róż nią.

4.  R.  von  M ISES,  wychodzą c  z  przesł anek n atury  m atem atyczn ej, n ie  znał   interpretacji
fizycznej,  a  może  po  prostu  o  nią   się   nie  troszczył .  Z auważ ył  ją   dopiero  H .  H E N C KY  [9].
Interesują ce  jest,  że  M . T.  H U BE R  wyszedł   wł aś nie  z  przesł anek  n atury  fizycznej  pokry-
wają cych  się   dokł adnie z  póź niejszą   o  21  lat  interpretacją   H .  H E N C KY'E G O.  Oryginalnym
osią gnię ciem  M ISESA  jest  wprowadzenie  do  rozważ ań  dotyczą cych  warun ku  plastycznoś ci
drugiego  niezmiennika  dewiatora  naprę ż enia.  Z arówn o  R.  von  M I SE S,  ja k  i  H .  H E N C KY
wywarli  duży  wpł yw  n a  rozwój  teorii  plastycznoś ci,  podają c  rozwią zania  szeregu  zagad-
nień  szczegół owych.  M . T.  H U BE R reprezentował  powszechny  wtedy  poglą d,  że  osią gnię cie





528  Z .  OLESIAK

23.  W.  OLSZ AK,  P .  P ERZ YN A,  A.  SAWCZU K,  T eoria Plastycznoś ci, praca zbiorowa,  P WN ,  Warszawa.  1965
24.  Podstawy  T echniki,  tom  I  z  serii  Encyklopedia  Techniki,  WN T ,  Warszawa  1974.
25.  W.  PRAOER,  Ph. G .  H O D G E ,  T heory  of  perfectly  plastic  solids,  Jo h n  Wiley  &  Son s,  1951;  także  I . L.

M oskwa  1956.
26.  F .  SCH LEICIIER,  Der  Spannungzustanć l an  der  Fliejigrenze  (Plastizitdtsbedingug),  VD I  Verlag,  Z a M M ,

6  (1926),  199  -  216.
27.  B.  B.  COKOJIOBCKHHJ  T eopun  tuiacmuvwcmu,  MocKBa  1968.
28.  T. Y.  TH OM AS,  Plastic flow  and fracture  in  solids,  Academic  P ress,  1961;  także  M ir,  M oskwa  1964.
29.  S. P .  TIMOSH EN KO,  Historia  wytrzymał oś ci  materiał ów  (tł um .  z  an g.  Z .  i  H .  OLESIAKOWIE),  Arkady,

1966,  s.  389  i  390.
30.  Proceedings  of  Cambridge  Phil.  S o c ,  czę ść  5,  tom  32,  listy  J. C .  M axwella  do  W.  Th om son a.

U N I WE R SYTE T  WARSZAWSKI
I N STYTU T  M E C H AN I KI

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  5  maja  1975  r.