Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  13  (1975) PRZESTRZENNE  DRGANIA ELEMENTU  PRĘ TOWO- BRYŁOWEGO WAC Ł AW  P R Z Y B Y Ł O  ( K R AK Ó W) 1.  Wstę p W  pracy  [7]  p o d an o  definicję   ukł adu  prę towo- brył owego,  ja ko  wspólnego  modelu fizycznego  do  obliczeń  n ietł um ion ych,  ustalonych,  harm onicznych drgań,  trzech  rodzajów prefabrykowanych,  szkieletowych  konstrukcji  inż ynierskich  —  budynków  szkieletowych, ram owych  fun dam en tów  p o d  maszyny  o  ruchu  obrotowym  i  kopalnianych wież  wycią go- wych.  Wprowadzon o  poję cia  elem entu  prę towego,  tj.  prę ta  wraz  z  przestrzennymi,  nie- waż kimi,  liniowymi  i  ką towymi  wię zami  sprę ż ystymi  n a  koń cach, oraz  elementu prę towo- brył owego,  tj.  ukł adu  zł oż onego  z  elementu  prę towego  wraz  z  dwoma  brył ami  sztywnymi .przył ą czonymi  do  jego  koń ców. W  pracy  [8],  n a  podstawie  [7],  wyprowadzon o  macierzowe,  niejednorodne  równanie transformacyjne  elem entu  prę towego. W  niniejszej  pracy  rozważ ono  przestrzenne, n ietł um ion e, wł asne i wymuszone,  ustalone harm on iczn e  drgan ia  elem en tu prę towo- brył owego.  Obcią ż enie  przyję to  w  postaci  ukł adu harm on iczn ych  wektorów  stan u  (wektorów  ką ta  obrotu, przemieszczenia,  m om en tu i  sił y) o jedn akowych  czę stoś ciach  i  fazach  drgań.  N a podstawie  [7] i  [8] dla  elementu prę towo- brył owego  wyprowadzon o  m acierzowe,  niejednorodne  równ an ie  transformacyjne  metody przemieszczeń. P rzedstawiony w pracy sposób wyprowadzenia  powyż szego równania  transformacyjnego był   dla  autora  podstawą   d o  prostego  sformuł owania  równ ań  drgań  ukł adu  prę towo- bry- ł owego  [10] oraz równ ań drgań  sprę ż ystego,  tł um ionego ukł adu  brył owego  [9] (tzw. m etoda sztywnych  elem entów  skoń czonych,  po r.  n p .  [3,  4,  2]). Wyniki  niniejszej  pracy  mogą   być  również  wykorzystane  do  znacznego  uproszczenia opisanego  w  [1]  algorytm u  analizy  tzw.  ram  krę pych  oraz  opracowania  algorytmu  sta- tycznej  i  dynamicznej  analizy  przestrzennych  ram  krę pych. W  pracy  stosujemy  nastę pują cy  sposób  oznaczeń. M acierze oznaczamy duż ymi literami pisanymi  tł ustym  drukiem ,  przy  czym  litery  bez  kresek  poziomych  (A,  B)  oznaczają   ma- cierze  o  wymiarze  3 x 3  lub  in n ym  okreś lonym  w  tekś cie,  litery  z  jedną _kreską   poziomą (A,  B) —  macierze  o  wym iarze  6 x 6 ,  a  z  dwiema  kreskam i  poziomymi  (A, B) —  macierze o  wymiarze  12 x  12.  Wektory  (macierze  kolum nowe)  oznaczamy  mał ymi  literami  pisa- nymi  tł ustym drukiem .  Litery  bez  kreski  (a, b)  oznaczają   wektory  o  trzech współ rzę dnych lub  o  liczbie  współ rzę dn ych  okreś lonej  w  tekś cie,  litery  z  jedn ą   kreską   (a,  b)  oznaczają wektory  o  sześ ciu  współ rzę dn ych,  a  z  dwiema  kreskam i  ( 1 ,  b) —  wektory  o  dwunastu współ rzę dnych.  Z biory  elem entów  oznaczam y  duż ymi  literami  pisanymi. 530 W.  P R Z YBYŁ O W  szczególnoś ci  wektory  przemieszczeń  liniowych  i  ką tów  obrotu  mają   nastę pują ce współ rzę dne: Ac (1.1) A c  = < Pc  = (pc 'Pc Wektor  przemieszczeń  uogólnionych  pun ktu  C  wyraża  się   n astę pują co: (1.2) u c  = < pc Wektory  sił y  i  m om en tu w  punkcie  C  mają   współ rzę dne (1.3) Pc  = Pc Pyc Ph mc mc mc. (1.4) Wektor  sił   uogólnionych  w  punkcie  C  m a  postać mci Pc  = Pc Wektory  przemieszczeń  i  sił   uogólnionych  prę ta  w  pun ktach  Qj  i  Cjt  okreś lamy  na- stę pują co : 5 )  "c  = \ ~  }, Wektor  stanu  w  punkcie  C  okreś lamy  relacją #PCy\ PJ (1.6) ze  =   \ - 2.  D efinicje  elementów  ukł adu  prę towo- brył owego Rozważ amy  ustrój  zł oż ony  ze  zbioru  waż kich  brył   sztywnych,  poł ą czonych  mię dzy sobą   za  pomocą   dowolnej  liczby jedn orodn ych,  izotropowych,  liniowo  sprę ż ystych,  bisy- metrycznych  prę tów  pryzmatycznych  o  przekroju  zwartym .  P rę ty  oraz  brył y  wę zł ów  są dowolnie poł oż one w przestrzeni. Koń ce prę tów  poł ą czone są   z brył am i wę zł ów  przestrzen- nymi,  nieważ kimi,  liniowymi  i  ką towymi  wię zami  sprę ż ystymi.  Peł ną   definicję   ukł adu prę towo- brył owego  podan o  w  [7].  Tutaj  przytoczymy  tylko  niezbę dne  poję cia. U kł ad  prę towo- brył owy  %  =   (- f,  # ">  jest  parą   uporzą dkowan ą,  w  której  "V  jest ustrojem  prę towo- brył owym,  a  J ^ jest  zbiorem  sił  zewnę trznych  dział ają cych  n a  ustrój  "f. U strój  prę towo- brył owy  "f  =   (if,  0>,  H o >  jest  trójką   uporzą dkowan ą,  w  której if  =     okreś lony jest  cią giem  param etrów (2 . 2 ) l ,  r e CJl ,  A,,  F r , I", / "', Er,  vr,  yr,  S ri,  Sry), w  którym  ic tJ   i  tej,  są  wektoram i  wodzą cymi  począ tku  i  koń ca  prę ta p Or   wzglę dem  przy- ję tego  w przestrzeni  globalnego,  ortogonalnego  ukł adu współ rzę dnych  (e),  A r   jest macierzą cosinusów  kierunkowych  wersorów  przyję tego  na  prę cie  lokalnego  ortogonalnego  ukł adu współ rzę dnych  (s r )  (moż emy  ją  okreś lić  n p.  za  pomocą  wektorów  r£ ( J i  x e Cjl   oraz  ką ta obrotu przekroju  poprzecznego  prę ta  wokół  jego  osi  [11]), F r ,  I",  C",  I", Ę v  oznaczają  pole oraz  momenty  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego  prę ta  wzglę dem  ukł adu  (s,)  [5], E r ,  v r ,  y r   oznaczają  stał e  materiał owe  prę ta,  Sri(SrJ- ) jest  diagonalną  macierzą  sztywnoś ci wię zów  sprę ż ystych  s r i(s,j): (2- 3)  Sn  =  diagK", tą ,  «r,  cf,  ch  cf], wzglę dem  ukł adu  współ rzę dnych  (s r ). 532 W.  P R Z YBYŁ O Brył a  wę zła  w t   e ifk  c if  (rys.  1)  okreś lona  jest  nastę pują cym  cią giem  param etrów (2.4)  wi  -   < r5(, oi, T «,  yi> , w  którym  r j;  jest  wektorem  wodzą cym  ś rodka  cię ż koś ci  ^4; brył y  VI>J wzglę dem  ukł adu współ rzę dnych  (e), wt jest  obję toś cią   brył y  wt,  T 0 ; jest  macierzą   centralnych,  geometrycz- nych  momentów  bezwł adnoś ci  brył y  H>; wzglę dem  ukł adu  współ rzę dnych  (e<)  o  począ tku w  punkcie  A t   i  osiach  równoległ ych  do  osi  ukł adu globalnego  (e), y t   jest  cię ż arem  wł aś ci- wym  brył y  vi';. Element prę towo- brył owy  s r   — (w u   p r ,  wj) jest ł ań cuchem, zł oż onym z brył  vi'; i  W j  e  if poł ą czonych  elementem  prę towym  p r   (rys.  1).  U kł ad  prę towo- brył owy  ^  jest  ukł adem Clapeyrona  ([5]).  U strój  prę towo- brył owy  "f  jest  kinematycznie  niezmienny. Rozważ amy  drgania  ustalone,  zatem  dalej  bę dziemy  rozważ ać  am plitudy  poszczegól- nych  wielkoś ci  fizycznych. 3.  Tran sform acje  przemieszczeń  i  sił   w  elemencie  prę towo- brył owym Rozważ my  element  prę towo- brył owy  s r   =    Ar] oznacza  blokowo- diagonalną  macierz  o  wymiarze  12 x  12,  a  blok  Ar  o  wymiarze  3 x 3 jest  macierzą  cosinusów  kierun kowych  ukł adu  lokalnego  (s r )  wzglę dem  ukł adu  globalnego (e). N a  podstawie  relacji  (3.4)  i (3.6) ł ą czną  transformację  wektora  u^ n a  wektor  Tlf, przed- stawiamy  wzorem  ([6]) (3.8)  1 B  = A r C r l ^  = B / 0 ^ , w  którym  macierz (3.9)  B r  =  l r e r , czyli [ D   .  0  1  -   fAr  , 0  1  |"A,  , 0 1 D r =   £ " ' £  ,   D r i =   /   '  \ ,  D „ =   '  I. L0  ,D rj \   [A r Cij,A r \   LArQi,ArJ (3.10) 3.3.  Transformacja  sil  w  bryle  wę zł a.  Transformację  wektorów  sił   w  pun ktach  5y  i  Bj z  ukł adu  lokalnego  (s r )  do  ukł adu  globalnego  (e)  przedstawiamy  w  postaci Z  kolei  transformujemy  ^ f>%  n a  ~p^, mianowicie (3.12)  ^ = C , T 1 ^ . N a  podstawie  powyż szych  relacji  peł ną  transformację  wektora  f  |  n a  wektor  ]*5 przed- stawiamy  relacją  ([6]) (3.13)  ^ = C r T I r r B = B r r B . 4.  R ówn an ie  tran sform acyjn e  elem en tu  prę towo- brylowego D la  elementu  prę towego  w  pracy  [8]  wyprowadzono  nastę pują ce  niejednorodne, ma- cierzowe  równ an ie  transform acyjne  am plitud (4.1)  B = !f s s B + ? g s . W  powyż szym  równ an iu  pf, jest  wektorem  sił  brzegowych  w  pun ktach Ą ,-  i Bj t ,  i i | jest wektorem  przemieszczeń  brzegowych,  'pls  jest  wektorem  wyjś ciowych  sił   brzegowych (wywoł anych  obcią ż eniem  przył oż on ym  n a  dł ugoś ci  prę ta),  Kjf  jest  macierzą  sztywnoś ci dynamicznej  elementu  prę towego  p r .  N a  podstawie  [8] wielkoś ci  te  przedstawiamy  nastę- pują cymi  wzoram i: (4- 2)  E J - Ł O S r f + S , . **) -1 ^ ,  lub  Ę = IP Q ? , gdzie  macierz 534  W.  P R Z YBYŁ O W  powyż szych  relacjach  K r   jest  macierzą  sztywnoś ci  dynamicznej  prę ta  o  obu  koń cach sztywno  poł ą czonych z wę zł ami, o  ; ŝ - j  '   s '^- [o , s , są  macierzami  uwzglę dniają cymi  sztywnoś ci  wię zów  sprę ż ystych  s ri  i s rJ . M acierze  S rai   i S r/ ji   (S rxJ   i S r / y) ,  wystę pują ce  w  powyż szych  zależ noś ciach  okreś lone  są przez  ' (A  < \̂   C  H i' l g  G C " ' 1  v"  4- L  i r «f / 1(  G C " ' / / 1 / i H 5 £ 7 W / 1 1 5 1 cl / i i s er i EI W   ' cf  I 1 s Wektor  p2s  wyjś ciowych  sił   brzegowych  w  pun ktach  wę zł owych  wyraża  się  wzorem p (4. / )  PB - gdzie  wektor  p$f jest  wektorem  wyjś ciowych  sił  brzegowych,  wywoł anym  przez  wymusza- ją cy  wektor  stanu  Tsf  (/   =   1, 2,  ...,p)  wedł ug  relacji ji,  l\ M acierz FJi transformacji  wymuszają cego  wektora  stan u "f f n a wektor ^ f jest  okreś lona relacją  [8] (4.9)  Ę t- Ł OF E^Ł i, w której  macierz F r!   jest  macierzą  transformacji  wymuszają cego  wektora  stan u "zf  n a  wek- tor  wyjś ciowych  sił  brzegowych  "pc? prę ta  o  obu  koń cach  sztywno  poł ą czonych z wę zł ami (por.  [8]). D o  wyprowadzenia  równania  transformacyjnego  elementu  prę towo- brył owego  wyko- rzystamy  teraz  wzory  (3.8),  (3.13) i  (4.1).  Wstawiając  W B  z  (3.8)  do  (4.1), a nastę pnie TJS z  (4.1)  do  (3.13),  przy  wykorzystaniu  równoś ci  (3.10)  m am y  relację (4.10)  .  m = D r r l ? D P P o  wprowadzeniu  oznaczeń (4.11)  5 r  =  D r T Sf5 r  =   Ć jljKM^r, (4.12)  E w  =  Br r!?(  =   C r rI r TP ?„ równanie  transformacyjne  (4.10)  elementu  prę towo- brył owego  przedstawiam y  w  formie (4.13)  r A   =  G r %  + E„1f -   e r gdzie (4.14)  l ^ f = P R Z E ST R Z E N N E  D R G AN I A  ELEM EN TU   535 Relację   (4.14), okreś lają cą   wektor wyjś ciowych  sił  brzegowych  wyprowadzono  dla przy- padku,  gdy  prę t p Or   poddan y jest  dział aniu tylko jedn ego  "wymuszają cego  wektora stanu f.\ w  pun kcie  o  współ rzę dnej  x  =  x; .  G dy n a  prę t pOr  dział a  ukł ad  wektorów  stanu I f  (/   = =   1, 2,  • • • • ,'p),  wówczas,  korzystają c  z  zasady  superpozycji,  wektor  wyjś ciowych  sił  brze- gowych  wyrazimy  równoś cią (4.i5)  1̂}  ^  i G dy  prę t p Or   nie jest  obcią ż ony  wymuszają cym  wektorem  stanu,  równanie  (4.13)  zre- dukuje  się   do  postaci Powyż sze  równ an ie podaje  transformację   przemieszczeń  pun któw  A x   i Aj  n a  sił y w tych pun ktach .  Transform acja  t a  odbywa  się   w  brył ach  w t   i  wj,  poł ą czonych elementem prę - towym  p r .  R ówn an ie  (4.16) nazwiemy  równaniem fizycznym  elementu prę towo- brył owego. M oż emy  je  rozpisać  n astę pują co: (417)  PŁ Ek  -   G M acierze  G y,!, G y^- , G y^j, G ;J,J  ( 6 x6 )  są   blokam i  macierzy  G r  wedł ug  równoś ci (4.18)  G ,  - [ § «• " Korzystają c  z  relacji  (4.11)  powyż sze  bloki  przedstawiamy  w  postaci  nastę pują cych iloczynów  m acierzy: G y,,  =   D r riK f, D H )  G yj  =   D ^ - Df J - , W  powyż szych  wyraż eniach  K«,  Ky,  K*(,Ky  są   blokam i  ( 6x6)  macierzy  K?  wedł ug równoś ci (4.20)  K?  = Z auważ my  jeszcze,  że  n a  podstawie  wzoru  (4.11)  macierz  G r   jest  symetryczna. 5.  R ówn an ia  ukł adu  prę towo- brył owego D o  analizy  n ietł um ion ych, ustalonych, wł asnych i wymuszonych,  harmonicznych drgań ukł adu  prę towo- brył owego,  w  pracy  [10]  sformuł owano  macierzowe  równ an ia  cią gł oś ci przemieszczeń,  fizyczne  i  równ owagi  kinetostatycznej.  W  równaniach  uwzglę dniono  geo- metryczne i m echaniczn e wł asnoś ci elementów, a  także topologiczne wł asnoś ci ich  wzajem- n ych  poł ą czeń.  N a  podstawie  powyż szych  równ ań  wyprowadzono  ostateczne  macierzowe 536  W.  PRZYBYŁ O równanie kanoniczne metody przemieszczeń ukł adu  prę towo- brył owego, które przedstawia się  nastę pują co: (5.1)  (H   C A K(w)Q  AL H - w Uju^j  =  C  p^ — r i  t  A ( ^ . Poniż ej podajemy  znaczenie poszczególnych  symboli.  H  jest macierzą,  otrzymaną z ma- cierzy  przekrojów  przywę zł owych  H o ,  po  wstawieniu  do niej  n a miejsce  zer i  jedynek bloków  zerowych  i jednostkowych  o wymiarze 6 x6 . (5.2)  C= diag[C,],  (ref) jest  blokowo- diagonalną  macierzą  mimoś rodów. (5.3)  A  =  diag  [ I r ] ,  (ref) jest blokowo- diagonalną macierzą transformacji  z ukł adu  globalnego  (e) do  ukł adów lokal- nych  (j,),'  (r  e / ) . (5.4)  K =  diag[fr],  (ref) jest  blokowo- diagonalną  macierzą  sztywnoś ci. (5.5)  Q*  «=•   diag[Q£],  ( r e / ) . jest  blokowo- diagonalną  macierzą  wię zów  sprę ż ystych. (5.6)  B =  diag[BJ,  (ief) jest blokowo- diagonalną  macierzą  bezwł adnoś ci brył  wę zł ów. pf> jest wektorem sił   wymusza- ją cych  przył oż onych do brył  wę zł ów. C° jest macierzą redukcji  wektorów  sił   wymuszają cych do  ś rodków  cię ż koś ci  brył   wę zł ów.  ą ls jest  wektorem  wyjś ciowych  sił   brzegowych,  wy- woł anych  obcią ż eniami  przył oż onymi  n a dł ugoś ci  prę tów. Równanie  (5,1)  przedstawiamy  teraz  w  postaci (5.7)  Z ( »)nJ  =   pe A , w  której  Z(a>)  jest  macierzą  dynamicznej  sztywnoś ci  ukł adu  prę towo- brył owego,  u A  jest wektorem  przemieszczeń  uogólnionych  ukł adu, p£ jest  wektorem  sił  uogólnionych  ukł adu. P o  narzuceniu na  czę ść  przemieszczeń  uogólnionych  zerowych  warunków  kinematycz- nych,  równanie  (5.7)  przedstawiamy  w  formie  blokowej (5.8) z  której  otrzymamy  ukł ad  dwu  równań  macierzowych (5.9)  zt ó(ft))< "  =  p*,e, (5.10)  zpk(co)u\ e  =r\ e. W powyż szych  równaniach niewiadomymi są  wektory  ujj" —  niezerowych  przemieszczeń uogólnionych i r ^  —  reakcji  podł oża  n a  ukł ad.  Wektor  ujj" wyznaczamy  z równ an ia  (5.9), a  nastę pnie  obliczamy  wektor  r ^ z relacji  (5.10). D la  przypadku  drgań  wł asnych  musimy  rozwią zać  równanie  jedn orodn e (5.11)  za(o))v^   =  0. PRZESTRZEN N E  DRGANIA,  ELEMENTU 537 Jak  wiadomo, warunkiem istnienia niezerowego  rozwią zania  powyż szego równania jest speł nienie  relacji (5.12)  d e t ( z * » ) = 0 . Równanie  (5.12) jest  równaniem  przestę pnym.  Najprostszą   i  równocześ nie  skuteczną metodą   numerycznego  rozwią zania  tego  równania  jest  metoda  bisekcji. D o  powyż szych  obliczeń  autor  wykonał   pakiet  programów  na  EMC  ODRA  1204 w  ję zykach  MOST  i  ALG OL  1204. 6.  Przykł ad  liczbowy Rozważ my  drgania  wł asne  ustroju  prę towo- brył owego,  przedstawionego  na  rys.  2. U strój  skł ada się   z  dwu jednakowych,  ruchomych brył  wę zł ów, jednej  nieruchomej bryły tworzą cej podł oż e, oraz 24 prę tów — po 12 mię dzy każ dymi  dwoma brył ami. Jako  materiał R ys.  2 przyję to ż elbet z betonu marki Rw 200, o module sprę ż ystoś ci podł uż nej E  =  2,9 x 102Tm~  2 , współ czynniku  Poissona  v  =  1/6  i  cię ż arze  wł aś ciwym  y  =  2,4  Tm~ 3.  W  ukł adzie  SI powyż sze  stał e  materiał owe  mają   wartoś ci  E  =  28,4393 x 106  kN n T 2,  v  =   1/6,  y  = =   23,5360  kN m ~ 3. Przyś pieszenie  ziemskie  g  =  9,81  m s"2 . 2  Mechanika  Teoretyczna 538 W.  P R Z YBYŁ O Wszystkie prę ty  mają   taki  sam  przekrój  o wym iarach :  b  -   0,25 m, h  =  0,35 m (rys. 2c i  2d).  Współ czynniki  charakteryzują ce  przekrój  prę ta  mają   nastę pują ce  wartoś ci:  pole przekroju  poprzecznego F  =  6x/ i. =  0, 25x0, 35  =  0,0875 m 2 , momenty  bezwł adnoś ci  wzglę dem  ukł adu  lokalnego  (rys. 2c i 2d) '- 8, 9323 xlO- m* j * , * * 0 ' 3 5 * 0 ' 2 5 '  -   4,5573x 10- * xn* I"  = / "+ / »'  =  13,4896 xlO "4  m 4 , współ czynnik  charakteryzują cy  sztywność  prę ta  na  skrę canie  [5] C . , - 0,630 +  0,05, 0)254   Z 0 ' 3 !!  - 0,630 +  0,052 x =   10,2018 xlO - 4  m \ 3  \ 0,25  - ' — ' - •   \ O,35 ; Współ czynniki  charakteryzują ce  wł asnoś ci  geometryczne  brył   ruchom ych  mają   nastę - pują ce  wartoś ci:  obję tość  brył y »  = a x c x d  =  9 x0 , 5 x1 8  =  81 m 3 , geometryczne  momenty  bezwł adnoś ci 81( 18 2 + 0, 5 2 ) r = P = 12 12 81(0,52 12 12 =   2188,7 m 4 , -   =   548,4  in 4, geometryczne  m om enty  dewiacji M acierz  przekrojów  przywę zł owych  H o przedstawiamy  równoś cią H o  = ,  J 2, J 2 , J2J) W  której ,  o,  1,  o,  1, o 0,  1,  0,  1,  0,  1 o,   o,   o,   o,   o,   o_ M acierz tę  w  sposób  skrócony  moż emy  zapisać  w  postaci  macierzy U : 0, 1, 0 o, o, 1 0, 1, 0 o, o, 1 o, 1, 0 0 ' 0 i w  której [2,  2,  2,  2]  [1,  1,  1,  1 U l =   3  3  3  3 '  U * =   2  2  2  2 Prsyki'ad  nr 1 Tablica  1 Obliczenia  czę stoś ci  drgań  wł asnych.  I t eracje: t«  . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 + 0 0 t »  .100000000001^+01 t *  .200000000003io+01 t =  , 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 + 0 1 t =  . 400000000006, 0+01 t =  . 500000000007io +01 t =  .6OO0Q5)000013io+01 t =  .7OOOOOOOOOO4io+O1 t «  .799999999995,0+01 t=*  .900000000001^+01 t =  . 8 4 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 1 0 + 0 1 t«=  . 8 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 B + 0 1 t«  . 8 1 2 5 0 0 0 0 0 0 0 7 1 0 + 0 1 t =  . 818749999998, 0+01 t *  .815624999995io+O1 t*=  , 8 1 7 1 8 7 5 0 0 0 0 4 1 0 + 0 1 t *  . 8 1 7 9 6 8 7 5 0 0 0 1 „ + 0 1 t =  .817578124995io+O1 t =  . 8 1 7 7 7 3 4 3 7 4 9 8 ^+ 0 1 w=  .546618811749io+080 w-   .530418011105™+080 w>   .483705960124,0+080 w=  . 411929680243«+080 w=  . 3 2 3 4 4 0 5 4 1 5 1 8 ^+0 80 w=  .22847177235110+080 w=  .137838720648,0+080 w=  .614838189088,0+079 w«=  . 700947045414«+078 W= - . 2 1 6 4 6 1 1 5 9 2 5 5 I O + 0 79 w = - .  106179339456,0+079 w= - .  263198900558,0+078  x» w-   .198252216424,0+078  x= w=- .3764252O3399io+O77  x= w=  .790139785538,0+077  x= w=  .203628143192,0+077  x * w»- .872060559624TO+076  x - w=  .580092121097,0+076  x« We- .1464887963O3io+O76  x« 1«  1  omega[  1] =   . 817.675781254* 01 współ czynnik  redukcji"  , 100, 0 001 t - t= t« t= t- t« t- 100000000001,0+02 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ^+ 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 w + 0 2 11 5000000002io+02 112500000002io+02 11375OOOOOO110+O2 114375000002,0+02 1 1 4 0 6 2 5 0 0 0 0 2 1 0 +0 2 1 1 4 2 1 8 7 5 0 0 0 2 1 0 +0 2 1 H2 9 6 8 7 5 0 0 0 T O + 0 2 1 1 4 2 5 7 8 1 2 5 0 1 ^+ 0 2 1 4 2 w= - . 2 5 2 3 4 0 8 6 8 6 6 6T O+ 0 7 9 w «- .  977565771267io+078 w=  .134244455940,0+079 w«  . 1 7 5 6 7 9 8 2 0 6 6 1 1 0 +0 7 8 w = - .  415001799132,o+O78 w = - .  121694724897,0+078 w=  .266751282970,0+077 W = - . 4 7 61  32861118 1 0+077 w= ~ . 1 0 4 9 1 9 5 0 2 & 4 9 w + 0 7 7 w=  .  808624823614io+O76 w = - .  120423334788,0+076 3 4 4 6 6 6 6. 1 1 4 2 7 7 3 4 3752,0+02  w=  , 3 4 4 0 6 6 7 4 0 4 6 2 , 0 +0 7 6 1=   2  omegaC wsp ó ł czyn n ik 2 ] =  .114267578127io 02 r e d u k c j i =  . 10010 001 K on iec  o b l i c z e ń  c z ę s t o ś ci  d rgań  wł asn ych L ic zba  c z e s t o s c i =   2 X * x= x = x= x= . 1 0 0 ^+ 0 0 1 .100,0+001 , 1 0 0 w + 0 0 1 . 100 TO+001 , 1 0 0 W+ 0 0 1 .100,0+001 .10010+001 . io o w+o o i . I OOTO+ 0 0 1 , 1 0 0 W+ 0 0 1 . 1 0 0 „ + 0 0 1 .100,0+001 . 1 0 0 ^+ 0 0 1 .100 TO+001 .100,0+001 .100,0+001 .100,0+001 . 1 0 0 ^+ 0 0 1 . 1 0 0 ^+ 0 0 1 , 1 0 0 W + 0 0 1 . 1 0 0 ^+ 0 0 1 .100,0+001 .100,0+001 .100,0+001 , 100 TO+001 . 1 0 0 ^+ 0 0 1 . 1 0 0 1 0 +0 0 1 . 100, 0 +001 . 100 TO+001 .  100,0+001 . 1 0 0 w + 0 0 1 Omega[ OmegaC 1 ] =  . 8 1 7 6 7 5 7 8 1 2 5 4 W 2 ] =  . 1 1 4 2 6 7 5 7 8 1 2 7 io 01 02 2 * [539] O b l i c z e n i a  c a e e t O B c i  d r ga ń  wł a sn yc h . Tablica  2 U t t i i w*  .580092121097io+ O.76 w= - .14648S7963O3i«+ 076 w«  .216675418733- u)+ O76 w*  . 350615500230^ + 075 w*- .557214971653u + O 75 w= *.1O331854O757io+ O75. w=   . 123646212846 w+ 075 w=   , 1O 16316O i326ie+ O 74 6 6 6. 4 5 7 7 3 4 H 7 4 w= - .182077792595iB+ 074 w= - .  40236591404910+ 073 w«  .30710716858216+ 073 4 7 6 2 6 9 7 9 7 7 2. 4 7 9 9 7 9 5 9 « .129738309106, 0+ 073 4 4i0549426580 i e + Q 72 6 .81757812499516+ 01 .817773437493^+ 01 .817675781254, 0+ 01 .81772460337610+ 01 .817749023444^+ 01 .81773681641018+ 01 .81773071288610+ 01 .8177337646551O+ O1 .8177352905251B+ 01 .817734527583, 0+ 01 .817734146119.1.+ 01 .8i7733955387it + 01 .817734O50746W+ P1 .817734003O7410+ O1 • 81773402691.0io+ 01 .817734038828^+ 01 ..8T77340;3287610+ 01 .817734035845W+ O i .81773403734410+ 01 .817734038086w+ 0T .817734037707^ + 01 .817734d l37897i8+ 01 1=   1  om ega[  1 ]=   . 8177340379981 0  01 wsp ó ł c z yn n i k  r e d u k c j l =   . 100 1 0  00.1 K o n ie c  o b l i c z e ń  c z ę s t o ś ci  d r ga ń  wł a sn yc h L i c z b a  c z e st o B C i =   1 Omega[  1 .• ].*»  .8177340379981 0.  01 x» 7 .1«9057442842ii+ 072 .783O84378977io+ O71 .Ż 426382121 COw+0 4 9 6 9 4 9 w=   .832;158625278W+ O7O 1 2 3 9 9 4 at- x- x» .  100,0+001 .100,0+001 .100,0+001 . 1 0 0 „ + 0 0 i .100* r+001 .100,0+001 .IOO„ +OQI , 1 0 0 , , + o o i . 1 0 0 «+0 0 1 . 1 0 0 w + 0 0 1 . 1 0 0 * + 0 0 1 , 1 0 0 ^+ 0 0 1 .IOOn+001 .1OO«+OO1 . 1 0 0 ^+ 0 0 1 .100,rt - 001 . 1 0 0 ^+ 0 0 1 . 1 0 0 ^+ 0 0 1 .1OOW+OOT .1C30.U+001 [540] Obliczenia czę stoś ci drgań własnych. Iteracjet t-   .OOOOOOOOOOOOTO+00 t«  ť500000000007«+00 t» .100000000001„+01 t«  .150000000004»+01 t«  ,200000000003«+01 %m ,25O00OOO0OO5i9+O1 %m .300000000008»+01 t» . 350000000003it>+01 ta .400000000006,0+01 t,« .4500OO000OO9„+01 t -   .50000000000710+01 t-  . 5500000000 10K,+01 %m , 600000000013n»+01 t» .650000000001«+01 ta .70000O0O00O4«+01 %m ,75O000O0OO07i«+O1 t-  . 799999999995K.+01 t«  .849999999998„+01 t-  .825000000004«+01 t-  ,81250OO0OOO7«+01 t» .818749999998»+01 t* .815624999995w+01 t«  .817187500004I,+01 t-  .817968750001„+01 t» .817578124995»+01 t-  .817773437498^4- 01 w«  .546618811749w+080 w*  .542538631190«+08O W«  . 5 3 0 4 1 8 0 1 1 1 0 5 io + 0 8 0 w«  . 5 1 0 6 1 3 1 5 6 9 5 5 K »+ 0 8 O w*  , 4 8 3 7 0 5 9 6 0 1 2 4 W+ 0 8 0 w«  . 4 5 0 4 8 6 5 9 1 8 1 8 «+ 0 8 0 w -   . 4 1 1 9 2 9 6 8 0 2 4 3 »+ 0 8 0 w -   .369164599496W+08O w -   . 3 2 3 4 4 0 5 4 1 5 1 8 W+0 8 0 w -   . 2 7 6 0 8 7 1 7 O3 5 5 «+0 8O w -   . 2 2 8 4 7 1 7 7 2 3 5 1 w + 0 8 0 w*  . 1 8 1 9 5 3 9 1 5 6 6 3 «+ 0 8 0 w»  . 1 3 7 8 3 8 7 2 0 6 4 8 ^+ 0 8 0 w -   . 97329904924110+079 w«  . 6 1 4 8 3 8 1 8 9 0 8 8 , 0 + 0 7 9 w -   . 3 1 1 6 5 7 1 1 5 O7 3 * + 0 7 9 w -   . 7 0 0 9 4 7 0 4 5 4 1 4 io + 0 7 8 w — .  1 0 6 1 7 9 3 3 9 4 5 6 ^ 0 7 9 w — . 2 6 3 1 9 8 9 0 0 5 5 8  + 0 7 8 w»  . 1 9 8 2 5 2 2 1 6 4 2 4 * + 0 7 8 w — . 3 7 6 4 2 5 2 0  33S9«+077 w -   . 7 9 0 1 3 9 7 8 5 5 3 8 ^ 0 7 7 w -   . 2 0 3 6 2 8 1 4 3 1 9 2 »+ 0 7 7 w — . 8 7 2 0 6 0 5 5 9 6 2 4 w + 0 7 6 w»  . 5 8 0 0 9 2 1 2 1 O9 7 »+O7 6 w «- . 1 4 6 4 8 8 7 9 6 3 0 3 »+ 0 76 1»  1  omega[  1 ] « .817675781254,0 01 współ czynnik  r e d u k c j i *  .100«  001 Koniec  obliczeń  czę stoś ci  drgań  własnych Liczba  czestoeci=  1 Oaegat  1 ] -  . 8 1 7 6 7 5 7 8 1 2 5 4 *   01 x» x - Tablica 3 . 1 0 0 ^+0 0 1 . 1 0 0 ^+0 0 1 .100,0+001 . 1 0 0 ^+0 0 1 . 1 0 0 „ + 0 0 1 , 1 0 0 W+ 0 0 1 .100t,+001 . 1 0 0 ^+0 0 1 . 1 0 0 w + 0 0 1 .100,0+001 , 1 0 0 W+ 0 0 1 .100«+001 . 1 0 0 W+ 0 0 1 ,100«+001 .100,0+001 , 1 0 0 w + 0 0 1 . 1 0 0 W+ 0 0 1 • 100^+001 .100^,+OOt io x» x * x« x» x» x» X*  .100,0+001 X*  .1GQ„+OO1 X*  .100,0+001 X-   .100«+001 X«  . 1 0 0 W+ 0 0 1 x»  . 1 0 0 , + 0 0 1 [541] 542  W.  PRZYBYŁO Wyniki  obliczeń  n a  E M C  OD RA- 1204  dwu  najniż szych  czę stoś ci  drgań  wł asnych przedstawiono  w  tablicach  1,  2  i  3.  Wszystkie  obliczenia  wykon an o  dla  wielkoś ci  wymia- rowych  okreś lonych  w  ukł adzie SI. W  tablicy  1 przedstawiono  iteracje  z począ tkowymi  wartoś ciami  czę stoś ci  drgań  m 0   = —  0 s"1  i kroku  kr  =   1 s"1 .  Czę stotliwoś ci  odpowiadają ce  czę stoś ciom  drgań,  obliczonym z  dokł adnoś cią   10~ 3  s~\   wynoszą D la  porówn an ia  w  tablicy  2  przedstawiono  obliczenia  najniż szej  czę stoś ci  drgań  wł a- snych  z  dokł adnoś cią   do  10"9  s"1,  a  w  tablicy  3  przedstawion o  obliczenie  najniż szej czę stoś ci  drgań  wł asnych  z  dokł adnoś cią   do  1 0 "3  s"1  z  począ tkowymi  wartoś ciami  czę - stoś ci  coo  =   0  s~ l  i  kroku  kr  =   0,5  s"1 . Ponieważ  w  powyż szych  obliczeniach  wartość  w  — det[z(co)] nie  przekraczał a  zakresu liczb  zmiennoprzecinkowych,  nie  stosowano  redukcji  współ czynników  macierzy  sztyw- noś ci  z,  zatem  współ czynnik  redukcji  x  =  1. Czas  obliczeń  jednej  iteracji  wynosił   okoł o  14  s. 7.  U wagi koń cowe D la  elementu prę towo- brył owego  prę ta  wraz  z  dwoma  brył am i wę zł ów przył ą czonymi do  jego  koń ców  za  pomocą   nieważ kich,  przestrzennych,  punktowych,  liniowych  i  ką to- wych  wię zów  sprę ż ystych  —  w  pracy  wyprowadzono  dynamiczne,  macierzowe,  niejedno- rodn e  równanie  transformacyjne  metody  przemieszczeń.  Okreś lono  dwie  m acierze:  ma- cierz  G r   sztywnoś ci  dynamicznej  elementu prę towo- brył owego  i macierz  L r l  transformacji wymuszają cego  wektora  stanu  n a  wektor  wyjś ciowych  sił   brzegowych,  przył oż onych w  ś rodkach  cię ż koś ci  brył .  P rzytoczono równanie  m etody  przemieszczeń  ukł adu  prę towo- brył owego.  D la  przykł adowego  ustroju  prę towo- brył owego  obliczono  dwie  najniż sze czę stoś ci  drgań  wł asnych. Peł ny  algorytm  numerycznej  analizy  drgań  ukł adu  prę towo- brył owego,  problem y stabilnoś ci  numerycznej  oraz  opis  pakietu  program ów  zostaną   przedstawione  w  oddziel- nych  opracowaniach. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  Z . BOROWIEC,  Obliczanie sił przywę zlowych  w elementach krę pej  ramy przestrzennej,  Arch. I n ż. Lą d.,  1, 18  (1972)  87- 101. 2.  W.  G AWR OŃ SKI,  J .  KR U SZ E WSKI ,  Analiza  drgań  wymuszonych  zł oż onych  ukł adów  liniowych  metodą sztywnych  elementów  skoń czonych,  Arch.  Bud.  M asz., 4, 19  (1972),  623 -   641. 3.  J.  KR U SZ E WSKI ,  Metoda  sztywnych  elementów  skoń czonych  w zastosowaniu  do obliczeń  czę stoś ci  drgań wł asnych zł oż onych ukł adów liniowych, Zeszyty N aukowe P olitechniki G dań skiej, n r 165,  M echan ika  XI I , 1970. PRZESTRZEN N E  D RG AN IA  ELEMENTU   543 4.  J.  KR U SZ E WSKI ,  Zastosowanie  metody  sztywnych  elementów  skoń czonych  do  obliczeń czę stoś ci drgań wł asnych ustrojów okrę towych,  M ech. Teoret.  i  Stos.,  4,  9  (1971)  499 -  516. 5.  W.  N OWAC KI ,  Mechanika  Budowli,  P WN ,  Warszawa  t.  1,  wyd.  1,  1957,  t.  2,  wyd.  1,  1960. 6.  W.  PRZYBYŁO,  Algorytm  blokowy  obliczeń  drgań  harmonicznych  przestrzennych  ustrojów prę towych o  niecentrycznych  wę zł ach, D yn am ika  M aszyn,  Z biór  prac  I I  Konferencji  P AN   i  RzTP N   (Rzeszów, VI .  1969),  Rzeszów  1972,  35  -  43. 7.  W.  PRZYBYŁO,  Ukł ad prę towo- bryIowy jako  model fizyczny  do analizy  drgań przestrzennych  konstrukcji szkieletowych,  I n stytut  Cybernetyki  Technicznej  Politechniki  Wrocł awskiej,  Komunikat n r  145,  1974. 8.  W-   PRZYBYŁO,  Przestrzenne  drgania prę ta  o  sprę ż ystych podparciach koń ców,  Arch.  Inż.  Lą d.,  2,  20 (1974)  265 -  278.. 9.  W.  PRZYBYŁO,  Automatyzacja  obliczeń  drgań sprę ż ystych,  tł umionych ukł adów brył owych, Arch.  Bud. M asz.,  3,  21  (1974)  419- 433. 10.  W.  PRZYBYŁO,  Ustalone  drgania  ukł adu prę towo- brylowego,  Arch.  I n ż.  Lą d.  (w  przygotowaniu  do druku). 11.  J .  SZMELTER,  M .  D AC K O ,  S.  D OBROCIŃ SKT, M .  WIECZOREK,  Programy metody elementów  skoń czonych, Arkady,  Warszawa  1973. P  e 3 io  M e n P O C T P AH C T B E H H L I E  KOJIEEAH H D ł   3JTE M E H TA  C H C T E M b l  COCTO«W[EH   H 3 C TEP > KH OH   H   H E flE O O P M H P yE M BI X  M AC C B  p a S o T e  paccM aT pH BawT C H   n p o e r p a H C T Be H H bie  n efleM C pH poBaH H bie  coScT BeH H bie  H   BŁ iH yJKflen iibie ycT aH O BH Biim ecH   r a p M o m m e c i a i e  KOJie6aH H H   O JieM em a  c u c i c M b i  c o c i o n m e H   J M   6n c n M M eT p :m eC K o ro y n p y r o r o  n p n 3 M a T i r a e c K o r o  c rep > K H H ,  K O H I U > I  K O T o p o ro  c o e fl i i n e u b i  c  n oiwoiU Ł io  H eBecoiwbix H   y r n o B b i x  y n p y r u x  C BH 3eii  c  flByM H   >KecTKHMH   m accaiwn .  H a r p y3 i < a  n pH H H M an acb  B  BH fle rapM OH H ieC KH X  BeKTOpOB  COCTOHIIHH  C OflH IiaKOBblMH   tiaCTOTaMH  H  Cpa3aMH  KOJieG aH H H .  JlflSl  COCTOH iqero H 3  CTepJKH H   H   MaCC  3JieM eH Ta  BbIBOAH TCa  M aTpi- M H bie  H eOAH OpOflH Łie  TpaH,CCpOpMaUHOHHbie ypaBH eH H H MeTOfla  n e p e M e m e n i o i . S  u m  m a r y SP ATI AL  VIBRATION S  O F   ROD - BODY E LE M E N T I n  th e  paper  are  considered  spatial,  undam ped, free  and  forced,  steady- state  harmonic vibrations  of a  rod- body  element —  t h e system  composed  of  a  bisymmetric,  elastic rod the ends of  which  are connected with  two rigid  bodies  by  means  of  spatial, weightless  supports of  both th e displacement and rotation types. The  loading  is  assumed  to  form  a  system  of  harm on ic state  vectors  with  identical frequencies  and  phases of  vibrations.  A  matrix- type  nonhom ogeneous transformation  equation  is  derived,  based  on  the displace- ment m ethod. P OLI TE C H N I K A  KRAKOWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  3  lipca  1974  r.