Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z4.pdf
M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
4, 13 (1975)
WPŁYW WSTĘ P N YCH U G IĘ Ć NA PRACĘ TARCZY PROSTOKĄ TN EJ
P O D D AN E J N I E LI N I OWE M U ROZKŁAD OWI OBCIĄ Ż EŃ
TEOFIL S I E G M U L L E R (G DAŃ SK)
1. Wstę p
W procesie budowy konstrukcji stalowych, przy powszechnym stosowaniu spawania,
odkształ cenia wstę pne tarcz nie dadzą się praktycznie wyeliminować, przy czym dochodzą
one n awet do 50% gruboś ci tarcz.
Wstę pne ugię cia odgrywają znaczną rolę w zagadnieniach statecznoś ci tarcz prosto-
ką tnych i mają poważ ny wpł yw n a pracę tych tarcz w warun kach obcią ż eń ponadkry-
tycznych. D otyczy to tych przypadków obcią ż enia, gdy oprócz obcią ż enia poprzecznego
dział ają również sił y w pł aszczyź nie ś rodkowej tarczy, bą dź też gdy stanowią one jedyne
obcią ż enie tych tarcz. Wpł yw tych sił n a koń cowy stan naprę ż enia i odkształ cenia zależy
bowiem nie tylko od ugię cia w^ wywoł anego przył oż onym obcią ż eniem, lecz również od
ugię cia wstę pnego w
0
. D latego też przeprowadzenie w przypadku takiego obcią ż enia
analizy wpł ywu wstę pnych ugię ć n a stan naprę ż enia i odkształ cenia tarczy wydaje się nie-
zbę dne.
P raca cienkoś ciennej tarczy prostoką tn ej po utracie statecznoś ci, przy nieliniowym
rozkł adzie obcią ż eń, został a szczegół owo przeanalizowana w pracy [7] przy zał oż eniu
pł askiej postaci tej tarczy w stanie począ tkowym.
Celem niniejszej pracy jest zbadan ie wpł ywu wstę pnego ugię cia takiej tarczy poddanej
nieliniowemu rozkł adowi obcią ż eń n a jej stan koń cowy.
2. Podstawy teoretyczne oraz przyję te zał oż enia
P rzedm iotem rozważ ań jest cienka, prostoką tn a, izotropowa tarcza o stał ej gruboś ci h,
swobodnie p o d p art a n a cał ym obwodzie.
Z agadnienie wpł ywu wstę pnych ugię ć n a pracę tarczy prostoką tnej poddanej nie-
liniowemu rozkł adowi obcią ż eń n a brzegach x = ±a, dział ają cych w jej pł aszczyź nie
ś rodkowej i zmieniają cych się wedł ug równ an ia
(2.1) a - K
zwią zane jest z koniecznoś cią rozwią zania równ an ia biharm onicznego
(2.2) V2V2<Z> = 0.
5 6 2 T . SlEG MULLER.
Rozwią zania równ an ia (2.2) bę dziemy poszukiwali w postaci
(2.3) Q(p,y) - 0
o
(x,y)+ ^ A
n
0
n
(x,y).
n
F un kcja naprę ż eń &(x,y) powinna speł niać nastę pują ce warun ki brzegowe:
dla x — ±a
B
2
& _. / y
2
(2.4)
dla j = +
F unkcja (?0(^> j ) powin n a również speł niać warun ki brzegowe podan e w wyraż eniu
(2.4). <P„{x,y) jest to funkcja speł niają ca jedn orodn e warun ki brzegowe:
dla x — ±a
By
2
dxdy
Ł - O ,
(2.5)
dlaj = ±b
dx
2
dxdy
F unkcję naprę ż eń przyję to w postaci
(2.6)
D o przybliż onego rozwią zania równ an ia biharm onicznego (2.2) zastosowan o zasadę
.minimum energii.
W oparciu o funkcję naprę ż eń (2.6), ograniczają c się do pierwszego skł adn ika szeregu,
otrzym an o wyraż enie okreś lają ce n aprę ż en ie
(2.7) a
x
m K
o
laC-
W P Ł YW WST Ę P N YCH U G I Ę Ć N A P RAC Ę T AR C Z Y 563
D la param et ru K
Q
przyję to zał oż enie, że jest on liczbowo wię kszy od wartoś ci odpowia-
dają cej obcią ż eniu krytycznem u. Z ał oż on o, że powierzchnia ś rodkowa tarczy nie jest
powierzchnią idealnie pł aską , lecz m a począ tkową krzywiznę . W każ dym jej pun kcie istnieje
zatem pewne wstę pne ugię cie w
0
. Przyję to, że jest ono mał e w porówn an iu z gruboś cią
tarczy.
N ajmniej korzystn a — z p u n kt u widzenia pracy tarczy przy obcią ż eniach ponadkry-
t yc zn yc h —jest t aka postać wstę pnego ugię cia, jaką pierwotnie pł aska tarcza przyjmuje
p o utracie statecznoś ci.
W rozpatrywan ym przypadku podparcia i obcią ż enia postać taką m oż na przedstawić
ja ko wynik n ał oż en ia się jedn ej pół fali cosinusoidy w kierun ku osi 0
x
z trzem a pół falami
wzdł uż osi 0,,, w drugim przybliż eniu jednej pół fali wzdł uż osi 0
x
z pię cioma pół falami osi
O yit d . [7].
W rozpatrywan ym zagadn ien iu zał oż ono kształ t wstę pnego ugię cia powierzchni ś rod-
kowej tarczy w postaci odpowiadają cej pierwszemu przybliż eniu
(2 . 8 ) w
0
= cos-
mnx
2a w
(O)
Jak wiadom o [2], skł adowe stan u odkształ cenia powierzchni ś rodkowej mają nastę pu-
ją cą p o st ać :
\ 2
(2.9)
du
dv
2 \ dx dx
/ \ 2 H / O \ 2
1 j OW \ II 0W
0
\
"i W) ~i\ W)'
7xy r=
du dv 8w 8w dw
0
dw
0
R ozkł ad sił wewnę trznych i n aprę ż eń podan y jest n a rys. 2.
564 T . SlEG MULLER
M om en ty gną ce i skrę cają ce oraz sił y poprzeczne zależ ą , od przyrostu ugię cia tarczy
i wyraż ają się nastę pują cymi wzoram i:
(2.10)
oraz
(2.11)
[ d
2 d
2
-
d
y (TV- M'o)J,
= M
yx
= _
e, =
Q
x
- dy 0,,- cfx
Rys. 2. Sił y wewnę trzne i naprę ż enia na krawę dziach wycię tego elementu tarczy
W P Ł YW WSTĘ P N YCH uorĘ Ć N A P RAC Ę TAR C Z Y 565
We wzorach tych D oznacza pł ytową sztywność zginania
Eh
3
(2- 12) D = W ~ ^ J ,
Błonowe siły wewnę trzne N
x
, N
y
i r okreś lono za pomocą funkcji naprę ż eń Airy'ego
0 = 0(x,y) nastę pują cymi wzorami:
d0 d0 B
2
0
v
dy
2
ax
1
dxoy
W ten sposób wszystkie sił y wewnę trzne wyraż ają się za pomocą bą dź funkcji naprę ż eń
Airy'ego 0 = 0{x,y), bą dź funkcji (w- w
o
) przyrostu ugię cia tarczy, wywoł anego przy-
ł oż onym obcią ż eniem. F un kcje te zwią zane są ze sobą ukł adem dwóch nieliniowych rów-
n ań róż niczkowych czą stkowych noszą cych nazwę równań K arm an a. D la rozpatrywanego
zagadnienia równ an ia te mają p o st ać :
(2.14)
v
' h
(2.15) V2 V2 0 = - ~[U(w, w)- U(w
0
, w
o
)].
W równ an iach powyż szych symbolem V2V2 oznaczono podwójny operator róż nicz-
kowy Laplace'a.
Symbol zaś Uv/ równ an iu (2.15) jest operatorem róż niczkowym drugiego rzę du o postaci
3. R ozwią zan ie zagadn ien ia
W celu uzyskan ia rozwią zan ia postawionego zagadnienia w oparciu o równania (2.14)
i (2.15) zał oż ono taką postać funkcji w = w{x,y) okreś lają cą koń cowe ugię cie tarczy
w stosun ku do pł aszczyzny xy, aby opisywał a ona z moż liwie dobrym przybliż eniem
kształ t, jaki przyjmie tarcza p o d wpł ywem danego obcią ż enia. W oparciu o wstę pne
uwagi dla funkcji tej przyję to postać, jak dla funkcji ugię cia wstę pnego w
0
/ • . . ' ,' , max I ny 3ny \
(3.1) iv(x, y) = c o s- 2j- 1w
m
, , c o s ~ ^ - + w, „i 3c o s - ^ - 1.
Współ czynniki H'm,i i wra> 3 wystę pują ce w powyż szym wyraż eniu, są nieznanymi parame-
tram i ugię cia. Przyję ta funkcja wstę pnego ugię cia H'o = wo(x, y), jak i funkcja koń cowego
ugię cia tarczy w — w(x, y) speł niają zał oż one warun ki swobodnego podparcia krawę dzi
tarczy. Jak wynika bowiem z wyraż eń (2.8) i (3.1)
(Wo)*- ±« = Oo)y- - ±ł = 0,
' ] ( W ) - ( w ) - b '
566 T . SlEGMtilXBR
N a- podstawie zaś zwią zku (2.4) zach odzi:
(3.3) ( M , ) , = ± a = 0 i {M y)ym±b=0.
D la wyznaczenia przybliż onej postaci funkcji n aprę ż eń 0 = 0(x, y), za pom ocą której
okreś lone są bł onowe sił y przekrojowe N
x
, N
y
i r, wykorzystano równanie (2.15), które
przy uwzglę dnieniu wyraż eń (2.8) i (3.1) przyjmie p o st ać:
(3.4) V2V2# = - E~^ ~
_ wc °5w
( 0 ) ) [ c 8 5 L
M m.3 m,l ».,3 [
b
2ny I ny 2ny\ mnx\
—~ + U cos—^ + cos- V- cos +U cos + cos j \ . ,
3JIV
cos - £- 4- cos - — I .
Jeż eli do powyż szego równania wprowadzić nastę pują ce współ czynniki bezwymiarowe:
1 =s a\ b współ czynnik kształ tu tarczy;
| 0 = w
{
°\ lh stosunek wstę pnego ugię cia tarczy do jej gruboś ci;
(3.5) I = w
m
,i/ h stosunek koń cowego ugię cia tarczy do jej gruboś ci;
to funkcja naprę ż eń 0 = <5(x, y), która jest ogólnym rozwią zaniem tego równ an ia, bę dzie
miał a postać:
(3.6) 0(
X
,y) =
( ny 1cos - ~ + — coso 4 o
. « , „ . F 4 ?rv 1 27ry 1 mnx
b (4 A
2
+m
2
)
2
b a
Ostatni czł on powyż szego wyraż enia jest rozwią zaniem równania jednorodnego
d*0 B
4
0 d
A
0
(3.7) V 2 V 2 0 = 4 T + 2 ^ ? T + 4 ^ = 0 -
dx
Ą
dx
2
dy
2
dy*
Bł onowe sił y przekrojowe N
x
, N
y
i T wyraż ają się za pom ocą funkcji n aprę ż eń 0(x, y)
zwią zkami (2.13). Wykorzystując zatem wyraż enie (3.6), otrzym ujem y:
ny
WP ŁYW WSTĘ PNYCH UG IĘ Ć N A PRACĘ TARCZY 567
(3.8) „ Et,
[c.d.] s^ - CZW i)
cos - r \ c o s — } - 4^1 (3* ~a)(y ~b)h>
- r ( c- s i/ J PtHJ I I cin
+ ^T ^rsin ^- |sm - ' +̂ 16^ 1t oX^- «
2) ( 3'2- ^).
Trzecie z otrzymanych powyż ej wyraż eń staje się równe zeru dla x = ±ai y = ±b. Stą d
wynika, że n a obwodzie tarczy nie ma sił stycznych r zgodnie z przyję tymi zał oż eniami do-
tyczą cymi jej podparcia i obcią ż enia.
D la stanu począ tkowego, to znaczy, gdy | = | 0 oraz f = ̂ o, jest
(3.9) Nx = - Koh \ JŁ\ - Ą - AA,h{x
2- a2) 2(ly2- b2),
N y = 0 .
Obcią ż enie krawę dzi tarczy sił ami N
x
i N
y
sprowadza się zatem do pierwotnego, nielinio-
wo zmiennego rozkł adu sił przył oż onych jedynie do krawę dzi x — ±a (rys. 1). N atomiast
po utracie statecznoś ci, gdy wartość liczbowa param etru K
o
, obcią ż enia tych krawę dzi,
przekroczy wartość krytyczną , stan obcią ż enia wszystkich krawę dzi tarczy ulega zmia-
nie [7].
Skł adowe a
x
, a
y
i r
xy
stanu naprę ż enia w powierzchni ś rodkowej tarczy moż na wyrazić
za pomocą nastę pują cych bezwymiarowych współ czynników [7]:
(3.10) a* = a
* Eh
2
b
2
y
Eh
2
b
2
Eh
3
'
N
y
b
2
~ Eh
3
'
rb
2
Jeś li pon adto dla param etru obcią ż enia K
o
przyją ć również bezwymiarowy współ czynnik
o postaci [7]
568 T.
t o bezwymiarowe współ czynniki (3.10) bł onowego stan u n aprę ż en ia bę dą, przy wykorzy-
staniu zwią zków (3.8), okreś lone nastę pują cymi wzoram i:
n
2
m
2
16 | 2
( I 2 - &) cos ^ + (f2 W 2 - | § VI) cos
(• X\ 0\ rr* — i \ (fi2 t2\ \ ą (tHfJ2 £2Ur2\ \
cnc
, " " " " i.
y J . i i l u? — u~p \ ~z o~ 1 \ C sn y ' - 'V̂ -» ' D r 0 / l ^ u t ! ^
+ ni
2
)
2
TMTTA; b2 , . , , , , ,
fl)0; b )
:
. lny 1 . TMTTA; ^ , b , , , . , ,
8 k 8 i n + 1 < w ^ C x fl)0;
M om enty gną ce M
x
i M
y
oraz m om en t skrę cają cy M x y , powstają ce w wyniku zmiany
krzywizny tarczy wywoł anej przył oż onym obcią ż eniem, dadzą się również wyrazić za po-
mocą wielkoś ci bezwymiarowych o postaci, [7]:
N a podstawie wzorów (2.10) oraz wyraż eń (2.8), (3.1) i (3.5) powyż sze współ czynniki
okreś lone bę dą, p o wprowadzeniu do nich współ czynników zdefiniowanych wyraż eniami
(3.5), nastę pują cymi wzoram i:
M
* =
M
* =
WCTX
W P Ł YW WST Ę P N YCH U G I Ę Ć N A P RACĘ TAR C Z Y 569
M aksym aln e wartoś ci m om en tów M
x
, M
y
i M
xy>
bę dą cych wypadkowymi odpowiednich
skł adowych dodatkowego zgię ciowego stan u naprę ż enia, okreś lone są za pom ocą wzorów:
m v . (a ) - 6 M x (a ) -
{J.XDJ V°ifl/ max 7 2 ' \ uyoJmax — / 2 J
D la powyż szych wielkoś ci m oż na również wprowadzić bezwymiarowe współ czynniki
o postaci, [7]:
\* _ (°Wmax i \
2
| a \
\ T} >
(3- 16) < = i ^
*
9
- ( T o n , a x ) l a )
~ E I T) •
które, przy wykorzystaniu wyraż eń (3.13), okreś lone bę dą nastę pują co, [7]:
4- l
* _ 6 J W,
• Eli2
Wprowadzając współ czynniki £ 0 , W o, f i W do wyraż eń (2.8) i (3.1), m oż na funkcje w0 i w,
zarówn o wstę pnego, ja k i koń cowego ugię cia tarczy, wyrazić również bezwymiarowymi
współ czynnikami postaci, [7]:
T HT CX
(3.18) w* = - ,~ = f c o s ^ + lfcos^rf- - cos——,
h \ 2b 2b I 2a
(3.19) * * " T "
D la okreś lenia stan u n aprę ż en ia i odkształ cenia tarczy konieczne jest wyznaczenie bez-
wymiarowych współ czynników ?F i K* w zależ noś ci od współ czynników wstę pnego ugię cia
f0 i W o — dla róż n ych wartoś ci współ czynnika | ugię cia koń cowego tarczy. Wykorzystamy
w tym celu równ an ie (2.14), które rozwią ż emy stosując m etodę G ALERKIN A. W rozpatry-
wan ym przypadku m uszą być speł nione nastę pują ce dwa równ an ia:
a b
I F(w, w
0
, 0 ) c o s——c o s—j- dxdy = 0,
- a - b
a b
J J ity/ , w0, ̂ )cos- ^- cos- ^- dx4j = 0,
- a - b
(3.20)
a b
- a - b
4 M ech an ika Teoretyczn a
5 7 0 . T . SlEG MU LLER
w których symbolem F(w, w
o
,0) oznaczon o wyraż enie
3
2
w . 320 32w
(3.21) F(w,w
o>
&) = z> - v2v2(w- )v0)- /j - 5- r" ^ r r - -
2 i r 7 r " i r " 7 r +
3
2
0
+
dx
2
dy
2
y
P o wstawieniu do równań (3.20) odpowiednich poch odn ych funkcji ugię cia w
0
i w oraz
funkcji n aprę ż eń 0 i wprowadzeniu do nich bezwymiarowych współ czynników f0, W Q,
i, W i KQ przyjmą one nastę pują cą p o st ać :
~ f o H ^
+ !P ( f2 !F2 - f2 !P 3 )( n-^
P o wyrugowaniu z równań (3.22) i (3.23) bezwymiarowego współ czynnika obcią ż enia
K* otrzymuje się nastę pują ce równanie czwartego stopn ia wzglę dem współ czynnika W :
(3.24) ł j ^ 4 + z 2 ^
3 + z 3 ^
2 + 2 4 ^ + z 5 = 0,
gdzie:
~
{ oi J2
J r ^ k / i f l O I ^ O
15
) -m27t2 16
W P Ł YW WSTĘ P N YCH U G I Ę Ć N A P R AC Ę TAR C Z Y 571
4 4 1 45
256
49(m
2
+9l
2
)
2 * m2
48(1 - v2)
5(m
2
+9Z
2
)
2
2
192(1 - v2Ym
8 . , .*
45
1 / . 15
1 +
441
^ ~ I O ' 128
96(1 - v2)
- 6)a+—A*
49 1 +
l+
:
5
"16
144
16
—
15
m
2
n
2
j 1 2 ( 1 - v2 )
_ _
+ 135 A2 '
144
i E2Ę 2 |1 ,
\ 16 i^^
1+ -
15
J - 2)a + f2 |g' P 2 t ?+ - ^ Jt
2m 2A^ -
16
+ - ^- l2f§!P fo |l4
256
5 7 2 T . SlEGMULLER
m
49 5 49
5 E 2 6 49
24( l- v»)
3
1-
I [ (
Bezwymiarowy współ czynnik obcią ż enia K£, w zależ noś ci od współ czynników bezwy-
miarowych (3.5), wyraża się nastę pują cym wzorem :
rtin ., ^ * • * 11 +• * 12+ - ' 13+ - * 14
1 15—- ' 16
gdzie:
2 4 ( 1- v2
32
2 4 A 1
̂ ^ f n ) L 1+16
WP Ł YW WSTĘ PNYCH UGIĘĆ NA PRACĘ TARCZY 573
Z akł adając w równ an iach (3.24) i (3.25) £ 0 = O oraz W o — 0 otrzymamy zwią zki,
mają ce zastosowanie dla tarczy obcią ż onej nieliniowo, lecz pozbawionej wstę pnego ugię-
cia w
0
. Wzory te odpowiadają przypadkowi rozpatrzon em u w pracy [7] dla pierwszego
przybliż enia.
4. Obliczenia liczbowe
Szczegół owe obliczenia liczbowe dotyczą tarczy o współ czynniku kształ tu X — a\ b = 2.
D la m ateriał u tarczy przyję to liczbę P oissona v = 0 , 3 . Obliczenia przeprowadzono za-
kł adając szereg wartoś ci dla współ czynnika £ (od £ = 0,1 do 3,0), a nastę pnie przyjmując
dla każ dej z nich kilka kolejnych wartoś ci współ czynnika f0 ugię cia wstę pnego (od f0 =
= 0,01 do 0,5) oraz odpowiadają cych im wartoś ci współ czynnika V
o
.
0,02
0,5 ',5 2,0 2,5 3,0
Rys. 3. Wykresy zależ noś ci W — ?(£—f0) dla róż nych wartoś ci współ czynnika f„ wstę pnego ugię cia
tarczy
D la przyjmowanych wartoś ci współ czynników f0 zachowano warunek | 0 < f, war-
toś ci zaś współ czynników !?o wyznaczono z równ an ia (3.26) odpowiadają cego przypad-
kowi tarczy bez ugię cia wstę pn ego. Przyję to zatem , że W
o
= CP)i
a
=o- Takie przyję cie
odpowiada najniekorzystniejszemu przypadkowi, w którym wstę pne ugię cie powierzchni
ś rodkowej tarczy m a taką postać, jaką począ tkowo pł aska tarcza przyjmuje po utracie
statecznoś ci. Wartoś ci liczbowe współ czynników W , w zależ noś ci od zał oż onych wartoś ci
współ czynnika f, wyznaczone został y na podstawie równ an ia (3.24) dla róż nych wartoś ci
współ czynników f 0 ugię cia wstę pnego. N astę pn ie w t aki sam sposób wyznaczono wartoś ci
574 T . SlEG MU LLER
bezwymiarowego współ czynnika K$ n a podstawie równ an ia (3.25). Obliczenia liczbowe
wykonane został y n a E M C Odra —1204, a wyniki przedstawion o n a wykresach.
N a rys. 3 podan o wykresy funkcji !P = !?(£ — f 0 ) dla róż nych wartoś ci współ czynników
So ugię cia wstę pnego. D la każ dej wartoś ci tej odcię tej rzę dne krzywych rosną wraz ze
wzrostem współ czynnika £ 0 wstę pnego ugię cia tarczy, podobn ie ja k w [3]. Ozn acza t o ,
że im wię ksze jest wstę pne ugię cie tarczy, tym odpowiednio wię ksza jest am plituda trzech
pólfal cosinusoidy n ał oż on ych n a ugię tą powierzchnię ś rodkową tarczy wzdł uż osi 0,,,
reprezentowanych drugim czł onem wyraż enia (3.1). Am plituda t a jest najmniejsza wów-
czas, gdy tarcza jest począ tkowo pł aska. P rzebieg krzywych K* = K$(C — C
Q
) dla róż nych
wartoś ci współ czynnika | 0 ugię cia wstę pnego przedstawion o n a rys. 4. Krzywa górn a
przedstawia krytyczne wartoś ci współ czynnika obcią ż enia (K'£)
io=o
odpowiadają ce tarczy
bez ugię cia wstę pnego. P ozostał e krzywe, odpowiadają ce kolejnym wartoś ciom współ -
czynnika | 0 = 0, 01, . . . , 0,5, odbiegają znacznie od siebie aż do wartoś ci odcię tej (£ — £ Q) =
0,5
Rys. 4. Wykresy zależ noś ci współ czynnika obcią ż enia K* = K*(S—^ o) dla róż nych wartoś ci współ czynnika
fo wstę pnego ugię cia tarczy
W P Ł YW WST Ę P N YCH U G I Ę Ć N A P R AC Ę TAR C Z Y 575
= 1, 2. Powyż ej tej wartoś ci wszystkie krzywe asymptotycznie dą żą do krzywej | 0 = 0.
Wynika stą d, że w zakresie zbadanej zmiennoś ci ugię cia wstę pnego, wpł yw tego ugię cia
praktycznie zanika, gdy cał kowite ugię cie tarczy wynosi okoł o 1,6 gruboś ci tarczy.
5. An aliza porówn awcza z tarczą o wstę pnym jedn ostron n ym wybrzuszeniu
W celu porówn an ia otrzymanych wyników rozpatrzono przypadek tarczy podpartej
i obcią ż onej identycznie, jak tarcza dotychczas rozpatrywana, dla której zał oż ono kształ t
wstę pnego ugię cia powierzchni ś rodkowej w postaci jednostronnego wybrzuszenia, naj-
czę ś ciej wystę pują cego w praktyce. D la tego przypadku ugię tą wstę pnie powierzchnię
ś rodkową tarczy m oż na opisać wyraż eniem przedstawiają cym nał oż enie się jednej pół fali
cosinusoidy zarówno wzdł uż osi x, jak i osi y przyję tego (rys. 1) ukł adu współ rzę dnych.
F unkcję w
0
, okreś lają cą kształ t ugię tej powierzchni ś rodkowej tarczy przed jej obcią ż e-
niem, moż na zapisać w postaci
(5.1) vv0 = w b ' c o ^ ^
gdzie w^ jest param etrem równym wstę pnemu wychyleniu ś rodka tarczy z pł aszczyzny xy.
F unkcja ta ma postać identyczną z wyraż eniem (2.8) po przyję ciu w$
3
= 0.
D o dalszych rozważ ań przyję to, że pod wpł ywem przył oż onego obcią ż enia powierzch-
nia ś rodkowa tarczy przyjmie kształ t opisany równaniem (3.1). Wówczas odpowiednie
zwią zki równ an ia dla rozważ anego obecnie przypadku moż na uzyskać z odpowiadają cych
zwią zków i równań, otrzym anych dla przypadku poprzednio rozpatrzonego, przyjmując
w nich, że param etr w$
3
lub odpowiadają cy m u współ czynnik bezwymiarowy W
o
-
= wjji/ wj?,5! są równe zeru.
Obliczenia liczbowe przeprowadzon o zakł adając te same jak poprzednio wartoś ci
współ czynnika kształ tu tarczy X oraz liczby P oissona v. D la bezwymiarowego współ -
czynnika ugię cia wstę pnego | 0 przyję to wartoś ci zmieniają ce się w granicach od | 0 = 04
do 0,5. D la współ czynnika | koń cowego ugię cia tarczy przyję to wartoś ci f = 0, 1, ..., 2,5.
Obliczenia przeprowadzon o przy zachowaniu warunku £ 0 < £. Otrzymane wyniki
zilustrowano n a nastę pują cych dwóch wykresach: pierwszy z nich, podany n a rys. 5,
przedstawia zależ ność współ czynnika W = W (£—£
o
). G órn a krzywa, dla £ 0 = 0, odpo-
wiada wstę pnie pł askiej postaci tarczy. Pozostał e krzywe, odpowiadają ce kolejnym war-
toś ciom współ czynnika fo ugię cia wstę pnego (dla f0 = 0>l> • • • >0,5), przebiegają poniż ej
tej krzywej. Wynika stą d, że w przeciwień stwie do poprzedniego rozpatrywanego przy-
padku — gdy tarcza m a ugię cie wstę pne w postaci jednostronnego wybrzuszenia — ampli-
tuda trzech pół fal cosinusoidy okreś lonych drugim czł onem funkcji (3.1) koń cowego
ugię cia tarczy jest mniejsza niż w tym przypadku, gdy tarcza jest począ tkowo idealnie
pł aska.
Wszystkie omawiane krzywe dla f0 ?= 0 zbliż ają się asymptotycznie do krzywej dla
f o = 0, przy czym róż nice rzę dnych mię dzy nimi praktycznie znikają począ wszy od war-
toś ci ( f - f0 ) « 1,2.
576 T . SlEG MULLER
N a rys. 6 przedstawiono przebieg zmian bezwymiarowego współ czynnika obcią ż enia
K* w zależ noś ci od przyrostu ugię cia ( £ —10) dla kolejnych wartoś ci współ czynnika £ 0
ugię cia wstę pnego (linie przerywane). Krzywe te przebiegają podobn ie, jak krzywe W =
= lF(£- Co) n a rys. 5. P rzy mał ych wartoś ciach przyrostu ugię cia tarczy róż nice rzę dnych
mię dzy tymi krzywymi a krzywą górną są znaczne. Ze wzrostem zaś ugię cia tarczy róż nice
te maleją, a wszystkie krzywe zbliż ają się do krzywej górn ej. D la mniej wię cej tej samej
wartoś ci odcię tej, co n a wykresie poprzedn im dla funkcji XP = ?(tC0), róż nice rzę d-
0,04
0,03
1,5
Rys. 5. Wykres zależ noś ci XP = W (g~$
0
) dla róż nych wartoś ci współ czynnika I i dla przypadku tarczy
z jednostronnym wstę pnym wybrzuszeniem
nych mię dzy wszystkimi krzywymi K% = A"0 *( |- f0 ) stają się pomijalnie m ał e. Stą d wy-
nika, że w zakresie zbadanej zmiennoś ci ugię cia wstę pnego wpł yw tego ugię cia również
i w rozpatrywanym przypadku zan ika mniej wię cej dla tej samej wartoś ci cał kowitego
ugię cia tarczy, co w przypadku poprzedn io rozpatrzon ym .
D la zilustrowania powyż szego faktu n a rys. 6 naniesiono dodatkowe krzywe K* =
= K* ( | - l o) z rys. 4 (linie cią gł e). Jak widać, wszystkie krzywe cią głe leżą poniż ej odpo-
wiadają cych im krzywych przerywanych (dla tych samych wartoś ci | 0 ) . A zatem osią gnię cie
okreś lonego ugię cia koń cowego tarczy nastę puje przy mniejszej wartoś ci obcią ż enia
wówczas, gdy postać wstę pnego ugię cia powierzchni ś rodkowej tarczy jest bliż sza tej
postaci, jaką pierwotnie pł aska tarcza przyjmuje po utracie statecznoś ci.
N a podstawie przeprowadzonej analizy m oż na wnioskować, że w zakresie zbadan ych
wartoś ci ugię cia wstę pnego, wpł yw tego ugię cia praktycznie zan ika, gdy koń cowe ugię cie
tarczy wynosi okoł o 1,7 jej gruboś ci. Wówczas stan n aprę ż en ia i odkształ cenia róż ni się
pomijalnie m ał o od stan u, jaki (przy danym obcią ż eniu) pan uje w tarczy począ tkowo
pł askiej. W praktyce począ tkowe ugię cie tarczy wynika n a ogół z przypadkowego, mniej,
WPŁYW WSTĘ PNYCH UG IĘ Ć N A PRACĘ TARCZY 577
lub wię cej nieregularnego pofalowan ia powierzchni. Tem u pofalowaniu mogą odpowiadać
zarówn o dodatn ie, ja k i ujemne wartoś ci współ czynnika !f0.
Z pu n kt u widzenia pracy tarczy w warun kach obcią ż enia ponadkrytycznego najbar-
dziej niekorzystne są takie przypadki, gdy pofalowanie zwią zane jest z jedn ostron n ym
wybrzuszeniem powierzchn i ś rodkowej tarczy; zachodzi to dla lF
0
^ 0. Taki rzeczywisty
kształ t wstę pnego ugię cia tarczy jedn akże tylko w pewnym przybliż eniu odpowiada omó-
wionym w pracy przypadkom . Z tego też wzglę du wydaje się wł aś ciwe, by stan naprę ż enia
odkształ cenia tarczy, przy uwzglę dnieniu jej wstę pnego ugię cia, okreś lać n a podstawie
wzorów odpowiadają cych przypadkowi najbardziej niekorzystnemu.
1,5
Rys. 6. Wykresy zależ noś ci współ czynnika obcią ż enia Kg = Kg(g- S
a
)
d l a róż nych wartoś ci współ -
czynnika lo i dla przypadku tarczy z jednostronnym wstę pnym wybrzuszeniem
Jak wynika z przeprowadzon ej analizy, należy zatem preferować wzory mają ce za-
stosowanie w przypadku, gdy kształ t ugię tej wstę pnie powierzchni ś rodkowej tarczy odpo-
wiada postaci, jaką tarcza przyjmuje po utracie statecznoś ci.
5 7 8 T . SlEG MU LI.ER
Literatura cytowana w tekś cie
1. Z. BRZOSKA, Statyka i statecznoś ć konstrukcji prę towych i cienkoś ciennych, Warszawa 1961.
2. A. LL BOJI Ł M H PJ yanounueocmb de$opMupyeMt>ix cucmSM, M ocKBa 1967.
3. W. WALCZAK, W pł yw wstę pnych ugię ć na pracę pł yty prostoką tnej, zginanej w swej pł aszczyź nie, Mech.
Teoret. Stos., 3, 11 (1973).
4. M. KMIECIK, W pł yw odkształ ceń wstę pnych na wytrzymał oś ć osiowo- ś ciskanych pł yt prostoką tnych
(praca doktorska), Politechnika G dań ska, 1970.
5. A. LL BojibMHP, FuÓKue n/ iacmumu u OBOJIOHKU, F H T T J I , Moci<Ba 1956.
6. S. TIMOSHENKO, T heory of Elastic Stability, McG raw- H ill Company, 1961.
7. T. SIEGMULLER, Analiza statecznoś ci i stanu nadkrytycznego tarczy prostoką tnej poddanej nieliniowemu
rozkł adowi obcią ż eń , (w druku, Arch. Bud. M asz.).
P e 3 IO M e
BJII- MH HE H A^AJI LH O rO I I P O rH E A H A P AEOTY I I P £ M O yr O J I B H O r O flH CKA
I1OJX BO3flE ftC TBH E M H E JI H H E H H O P AC n P E flE JI E H H OM H ATP V3KH
B pa6oTe npHEOflHTCH TeopeTiraecKiii- i aH aim s BJI H H H H H H a^auBtioro n po rji6a n a nanp*i>KeHHoe
COCTOHHHC H flecjjopM auH io n o cn e noTepu ycioitaHBOCTH npH iwoyroji&H oro flucKa cBo6oflHO on epT oro n o
KOHTypy H noflBep»ceH H oro n arpy3Ke c HeJiHueSHMM pacnpeaejieH H eM . PaccywfleH H H BeflyTCfl c
H6HneM cbyHKimH Hanpfl>i<eHHH 3p H 0(x,y). ITpHHHMaioTcH yflOBneTBopmomne KpaeBbiM
3&fs,SMa npencTaBneH H H cjtyHKicra n p o r n Sa cepeflH imoii noBepxHOCTH RHCKa — KCXOH H OTO WO(X3 y)
H KOH equoro w(x,y).
onpefleneH iiH 3TH X cpyHKqHH H cnojit3OBanocb flH ttidpepeH qH aJiBH oe ypaBHeHHe KapM aua n e -
TeopHH njiacTHHOKj a H eH 3BecTnwe napaM ei'pbi co^epwamH CCH B npHHHTbix djyHKiflaax n p o -
rti6a i- iaxoflHJiHCb c npHiweiremieM MeTofla F ajiepKim a.
IIojiyqeH H bie BŁ ipa>i<eHHH flJia H anpnweH H H a fledpopiwaqH H B aaKpiiTOTecicoM COCTOHHHH SbiUH
Bbipa>KeHŁ i nocpeflcTBOM 6e3pa3iwepH bix Bejmwn. ^H CJieiiH bie npH M epbi p ein eu bi fljra AByx BH AOB
HCxoAKoro n poraG a cepeflHHHoii noBepxiiocTK flH CKa, pjifi 3TH X cjiynaeB H ań fleHH ycnoBH H n p n KOTopwx
MO>KHO npeH e6pe^B
S u m m a r y
IN F LU EN C E OF I N I TI AL D EF LECTION S ON TH E WORK OF A REC TAN G U LAR PLATE
SU BJECT TO TH E N ON - LIN EAR LOAD
This paper presents a theoretical analysis of the influence of initial deflections on the state of stress
and strain in an isotropic, rectangular plate simply supported along the edges and subject to the non- linear
load — after the stability loss. The Airy stress function 0(x, y) is introduced, and the form of initial deflec-
tion w
o
(x,y) and final deflection w(x, y) is assumed to satisfy the boundary conditions.
These functions are then determined by means of the Karman equations of the non- linear plate theory,
the unknown parameters appearing in the function of deflection being found by means of the G alerkin
method.
The final formulas determining the stresses and- strains in the post- critical state of the plate are written
in terms of dimensionless coefficients.
N umerical calculations are performed for two different forms of the initial deflection of the middle
surface of the plate; conditions are also derived under which the influence of initial deflections may be
disregarded.
P OLI TE C H N I KA G D AŃ SKA
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 13 grudnia 1974 r.