Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4, 13 (1975)

WPŁYW  WSTĘ P N YCH   U G IĘ Ć  NA  PRACĘ   TARCZY  PROSTOKĄ TN EJ
P O D D AN E J  N I E LI N I OWE M U   ROZKŁAD OWI  OBCIĄ Ż EŃ

TEOFIL  S I E G M U L L E R  (G DAŃ SK)

1.  Wstę p

W  procesie  budowy  konstrukcji  stalowych,  przy  powszechnym  stosowaniu  spawania,
odkształ cenia  wstę pne  tarcz  nie  dadzą   się   praktycznie  wyeliminować,  przy  czym  dochodzą
one  n awet  do  50% gruboś ci  tarcz.

Wstę pne  ugię cia  odgrywają   znaczną   rolę   w  zagadnieniach  statecznoś ci  tarcz  prosto-
ką tnych  i  mają   poważ ny  wpł yw  n a  pracę   tych  tarcz  w  warun kach  obcią ż eń  ponadkry-
tycznych.  D otyczy  to  tych  przypadków  obcią ż enia,  gdy  oprócz  obcią ż enia  poprzecznego
dział ają   również  sił y  w  pł aszczyź nie  ś rodkowej  tarczy,  bą dź  też  gdy  stanowią   one  jedyne
obcią ż enie  tych  tarcz.  Wpł yw  tych  sił  n a  koń cowy  stan  naprę ż enia  i  odkształ cenia  zależy
bowiem  nie  tylko  od  ugię cia  w^   wywoł anego  przył oż onym  obcią ż eniem,  lecz  również  od
ugię cia  wstę pnego  w

0
.  D latego  też  przeprowadzenie  w  przypadku  takiego  obcią ż enia

analizy  wpł ywu  wstę pnych  ugię ć  n a  stan  naprę ż enia  i  odkształ cenia  tarczy  wydaje  się  nie-
zbę dne.

P raca  cienkoś ciennej  tarczy  prostoką tn ej  po  utracie  statecznoś ci,  przy  nieliniowym
rozkł adzie  obcią ż eń,  został a  szczegół owo  przeanalizowana  w  pracy  [7]  przy  zał oż eniu
pł askiej  postaci  tej  tarczy  w  stanie  począ tkowym.

Celem  niniejszej  pracy  jest  zbadan ie  wpł ywu  wstę pnego  ugię cia  takiej  tarczy  poddanej
nieliniowemu  rozkł adowi  obcią ż eń  n a jej  stan  koń cowy.

2.  Podstawy  teoretyczne  oraz  przyję te  zał oż enia

P rzedm iotem  rozważ ań jest  cienka, prostoką tn a,  izotropowa  tarcza  o  stał ej  gruboś ci  h,
swobodnie  p o d p art a  n a  cał ym  obwodzie.

Z agadnienie  wpł ywu  wstę pnych  ugię ć  n a  pracę   tarczy  prostoką tnej  poddanej  nie-
liniowemu  rozkł adowi  obcią ż eń  n a  brzegach  x  =   ±a,   dział ają cych  w  jej  pł aszczyź nie
ś rodkowej  i  zmieniają cych  się   wedł ug  równ an ia

(2.1)  a  -   K

zwią zane jest  z  koniecznoś cią   rozwią zania  równ an ia  biharm onicznego

(2.2)  V2V2<Z>  =   0.



5 6 2  T .  SlEG MULLER.

Rozwią zania  równ an ia  (2.2)  bę dziemy  poszukiwali  w  postaci

(2.3)  Q(p,y) -   0
o
(x,y)+  ^ A

n
0

n
(x,y).

n

F un kcja  naprę ż eń  &(x,y)  powinna  speł niać nastę pują ce  warun ki  brzegowe:

dla x  —  ±a

B
2
&  _.  /   y

2

(2.4)
dla j  =  +

F unkcja  (?0(^> j )  powin n a  również  speł niać  warun ki  brzegowe  podan e  w  wyraż eniu
(2.4).  <P„{x,y) jest  to funkcja  speł niają ca jedn orodn e warun ki  brzegowe:

dla x  —  ±a

By
2
  dxdy

Ł - O ,

(2.5)
dlaj  =  ±b

dx
2
  dxdy

F unkcję   naprę ż eń przyję to  w postaci

(2.6)

D o  przybliż onego  rozwią zania  równ an ia  biharm onicznego  (2.2) zastosowan o  zasadę
.minimum  energii.

W  oparciu o funkcję   naprę ż eń  (2.6), ograniczają c  się   do  pierwszego  skł adn ika  szeregu,
otrzym an o  wyraż enie  okreś lają ce  n aprę ż en ie

(2.7)  a
x
 m K

o
 laC-



W P Ł YW  WST Ę P N YCH   U G I Ę Ć  N A  P RAC Ę   T AR C Z Y 563

D la  param et ru  K
Q
  przyję to  zał oż enie, że jest  on  liczbowo  wię kszy  od  wartoś ci  odpowia-

dają cej  obcią ż eniu  krytycznem u.  Z ał oż on o,  że  powierzchnia  ś rodkowa  tarczy  nie jest
powierzchnią   idealnie pł aską ,  lecz m a począ tkową   krzywiznę .  W każ dym jej pun kcie  istnieje
zatem  pewne  wstę pne  ugię cie  w

0
.  Przyję to,  że  jest  ono  mał e  w  porówn an iu  z  gruboś cią

tarczy.

N ajmniej  korzystn a  —  z  p u n kt u  widzenia  pracy  tarczy  przy  obcią ż eniach  ponadkry-
t yc zn yc h —jest  t aka  postać  wstę pnego  ugię cia,  jaką   pierwotnie  pł aska  tarcza  przyjmuje
p o  utracie  statecznoś ci.

W  rozpatrywan ym  przypadku  podparcia  i  obcią ż enia  postać  taką   m oż na  przedstawić
ja ko  wynik  n ał oż en ia się   jedn ej  pół fali  cosinusoidy  w  kierun ku  osi  0

x
  z  trzem a  pół falami

wzdł uż  osi  0,,, w  drugim  przybliż eniu  jednej  pół fali  wzdł uż  osi  0
x
  z pię cioma pół falami  osi

O yit d .  [7].

W  rozpatrywan ym  zagadn ien iu  zał oż ono  kształ t  wstę pnego  ugię cia  powierzchni  ś rod-
kowej  tarczy  w  postaci  odpowiadają cej  pierwszemu  przybliż eniu

(2 . 8 ) w
0
  =   cos-

mnx
2a w

(O)

Jak  wiadom o  [2], skł adowe  stan u  odkształ cenia powierzchni  ś rodkowej  mają   nastę pu-
ją cą   p o st ać :

\ 2

(2.9)

du

dv

2  \   dx dx
/ \ 2  H / O  \ 2

1  j  OW   \   II  0W
0
 \

"i  W)  ~i\ W)'

7xy  r=

du  dv  8w  8w  dw
0
  dw

0

R ozkł ad  sił  wewnę trznych  i  n aprę ż eń  podan y jest  n a  rys.  2.



564 T .  SlEG MULLER

M om en ty  gną ce  i  skrę cają ce  oraz  sił y  poprzeczne  zależ ą ,  od  przyrostu  ugię cia  tarczy
i  wyraż ają   się   nastę pują cymi  wzoram i:

(2.10)

oraz

(2.11)

[ d
2 d

2

-
d
y  (TV- M'o)J,

=  M
yx
  =   _

e,  =

Q
x
- dy 0,,- cfx

Rys.  2.  Sił y  wewnę trzne  i  naprę ż enia  na  krawę dziach  wycię tego  elementu  tarczy



W P Ł YW  WSTĘ P N YCH   uorĘ Ć  N A  P RAC Ę   TAR C Z Y  565

We  wzorach  tych  D  oznacza  pł ytową   sztywność  zginania

Eh
3

(2- 12)  D  =   W ~ ^ J ,

Błonowe  siły  wewnę trzne  N
x
,  N

y
  i  r  okreś lono  za  pomocą   funkcji  naprę ż eń  Airy'ego

0  =   0(x,y)  nastę pują cymi  wzorami:

d0  d0  B
2
0

v
  dy

2
  ax

1
  dxoy

W  ten  sposób  wszystkie  sił y  wewnę trzne  wyraż ają   się   za  pomocą   bą dź  funkcji  naprę ż eń
Airy'ego  0  =  0{x,y),  bą dź  funkcji  (w- w

o
)  przyrostu  ugię cia  tarczy,  wywoł anego  przy-

ł oż onym  obcią ż eniem. F un kcje  te  zwią zane  są   ze  sobą   ukł adem dwóch  nieliniowych  rów-
n ań  róż niczkowych  czą stkowych  noszą cych nazwę   równań K arm an a. D la  rozpatrywanego
zagadnienia  równ an ia te mają   p o st ać :

(2.14)
v
  '  h

(2.15)  V2 V2 0  =   - ~[U(w,  w)- U(w
0
,  w

o
)].

W  równ an iach  powyż szych  symbolem  V2V2  oznaczono  podwójny  operator  róż nicz-

kowy  Laplace'a.

Symbol  zaś  Uv/   równ an iu  (2.15) jest  operatorem róż niczkowym  drugiego  rzę du  o postaci

3.  R ozwią zan ie  zagadn ien ia

W  celu  uzyskan ia  rozwią zan ia  postawionego  zagadnienia  w  oparciu  o  równania  (2.14)
i  (2.15)  zał oż ono  taką   postać  funkcji  w  =  w{x,y)  okreś lają cą   koń cowe  ugię cie  tarczy
w  stosun ku  do  pł aszczyzny  xy,  aby  opisywał a  ona  z  moż liwie  dobrym  przybliż eniem
kształ t,  jaki  przyjmie  tarcza  p o d  wpł ywem  danego  obcią ż enia.  W  oparciu  o  wstę pne
uwagi  dla  funkcji  tej  przyję to  postać, jak  dla  funkcji  ugię cia  wstę pnego  w

0

/ •   . . '  ,'  ,  max  I  ny  3ny \
(3.1)  iv(x,  y)  =   c o s- 2j- 1w

m
, , c o s  ~ ^ - + w, „i 3c o s  - ^ - 1.

Współ czynniki  H'm,i  i  wra> 3  wystę pują ce  w  powyż szym  wyraż eniu,  są   nieznanymi parame-
tram i  ugię cia.  Przyję ta  funkcja  wstę pnego  ugię cia  H'o  =   wo(x,  y), jak  i funkcja  koń cowego
ugię cia  tarczy  w  — w(x,  y)  speł niają   zał oż one warun ki  swobodnego  podparcia  krawę dzi
tarczy.  Jak  wynika  bowiem  z  wyraż eń  (2.8)  i  (3.1)

(Wo)*- ±« =  Oo)y- - ±ł  =  0,

' ]   ( W ) -   ( w ) - b '



566  T .  SlEGMtilXBR

N a- podstawie  zaś  zwią zku  (2.4) zach odzi:

(3.3)  ( M , ) , = ± a = 0  i  {M y)ym±b=0.

D la  wyznaczenia  przybliż onej  postaci  funkcji  n aprę ż eń  0  = 0(x, y),  za pom ocą  której
okreś lone  są bł onowe  sił y  przekrojowe  N

x
, N

y
 i  r,  wykorzystano  równanie  (2.15),  które

przy  uwzglę dnieniu  wyraż eń  (2.8)  i  (3.1)  przyjmie  p o st ać:

(3.4)  V2V2#   =   - E~^ ~

_ wc °5w
( 0 ) ) [ c  8 5 L

M  m.3  m,l  ».,3  [
  b

2ny  I  ny  2ny\   mnx\
—~  + U cos—^ +  cos- V-   cos  +U cos  +  cos  j \ . ,

3JIV
cos - £-  4-  cos - —  I .

Jeż eli  do powyż szego  równania  wprowadzić  nastę pują ce  współ czynniki  bezwymiarowe:
1  =s a\ b  współ czynnik  kształ tu  tarczy;

| 0  =  w
{
°\ lh  stosunek  wstę pnego  ugię cia  tarczy  do  jej  gruboś ci;

(3.5)  I  =  w
m
,i/ h  stosunek  koń cowego  ugię cia  tarczy  do jej  gruboś ci;

to  funkcja  naprę ż eń 0  =  <5(x,  y),  która jest  ogólnym  rozwią zaniem  tego  równ an ia,  bę dzie

miał a  postać:

(3.6)  0(
X
,y)  =

( ny  1cos - ~  +   —  coso  4  o
. « , „ .  F   4  ?rv  1  27ry 1  mnx

b  (4 A
2
+m

2
)

2
  b  a

Ostatni  czł on  powyż szego  wyraż enia jest  rozwią zaniem  równania  jednorodnego

d*0  B
4
0  d

A
0

(3.7)  V 2 V 2 0 = 4 T + 2 ^ ? T  +  4 ^  =   0 -
dx

Ą
  dx

2
dy

2
  dy*

Bł onowe  sił y  przekrojowe  N
x
,  N

y
  i  T wyraż ają  się  za pom ocą  funkcji  n aprę ż eń  0(x, y)

zwią zkami  (2.13).  Wykorzystując  zatem  wyraż enie  (3.6),  otrzym ujem y:

ny



WP ŁYW  WSTĘ PNYCH   UG IĘ Ć  N A  PRACĘ   TARCZY  567

(3.8)  „   Et,
[c.d.]  s^ - CZW i)

cos - r \ c o s  — }  - 4^1 (3* ~a)(y  ~b)h>

- r  ( c- s i/ J  PtHJ  I I  cin

+   ^T ^rsin ^- |sm - ' +̂ 16^ 1t oX^- «
2) ( 3'2- ^).

Trzecie z otrzymanych  powyż ej  wyraż eń  staje  się   równe  zeru  dla x  = ±ai  y = ±b.  Stą d
wynika,  że n a obwodzie  tarczy nie ma  sił  stycznych r zgodnie  z przyję tymi  zał oż eniami do-
tyczą cymi  jej  podparcia  i  obcią ż enia.

D la  stanu  począ tkowego,  to znaczy,  gdy |  =  | 0  oraz  f  =  ̂ o,  jest

(3.9)  Nx =   - Koh \ JŁ\   - Ą - AA,h{x
2- a2) 2(ly2- b2),

N y = 0 .

Obcią ż enie  krawę dzi  tarczy  sił ami N
x
 i N

y
 sprowadza  się  zatem  do  pierwotnego,  nielinio-

wo  zmiennego  rozkł adu sił  przył oż onych jedynie  do  krawę dzi  x  — ±a  (rys.  1). N atomiast
po  utracie  statecznoś ci,  gdy wartość  liczbowa  param etru K

o
,  obcią ż enia  tych  krawę dzi,

przekroczy  wartość  krytyczną ,  stan  obcią ż enia  wszystkich  krawę dzi  tarczy  ulega  zmia-
nie [7].

Skł adowe a
x
, a

y
 i r

xy
  stanu  naprę ż enia w powierzchni  ś rodkowej  tarczy  moż na  wyrazić

za pomocą  nastę pują cych  bezwymiarowych  współ czynników  [7]:

(3.10)  a* =  a

* Eh
2

b
2

y
 Eh

2

b
2

Eh
3
 '

N
y
b
2

~ Eh
3
 '

rb
2

Jeś li  pon adto  dla  param etru  obcią ż enia  K
o
 przyją ć  również  bezwymiarowy  współ czynnik

o  postaci [7]



568  T.

t o  bezwymiarowe  współ czynniki  (3.10)  bł onowego  stan u  n aprę ż en ia  bę dą,  przy  wykorzy-
staniu  zwią zków  (3.8),  okreś lone  nastę pują cymi  wzoram i:

n
2
m

2

16  | 2
( I 2 -   &) cos ^  +  (f2 W 2 -   | §  VI)  cos

(• X\ 0\   rr*  —  i  \ (fi2  t2\   \  ą (tHfJ2  £2Ur2\ \
cnc

,  " " " "  i.
y J . i i l  u?  —  u~p  \ ~z  o~ 1  \ C  sn y  '  - 'V̂   -»  ' D r  0 / l ^ u t !  ^

+  ni
2
)

2

TMTTA;  b2  , . ,  ,  , , ,

fl)0;  b )
:

.  lny  1  .  TMTTA;  ^  ,  b  ,  ,  , . ,  ,

8 k 8 i n + 1 < w ^ C x  fl)0;

M om enty  gną ce  M
x
  i  M

y
  oraz  m om en t  skrę cają cy  M x y ,  powstają ce  w  wyniku  zmiany

krzywizny  tarczy  wywoł anej  przył oż onym  obcią ż eniem,  dadzą  się  również  wyrazić  za po-
mocą  wielkoś ci  bezwymiarowych  o  postaci, [7]:

N a  podstawie  wzorów  (2.10)  oraz  wyraż eń  (2.8),  (3.1)  i  (3.5)  powyż sze  współ czynniki
okreś lone  bę dą,  p o wprowadzeniu  do nich  współ czynników  zdefiniowanych  wyraż eniami
(3.5), nastę pują cymi  wzoram i:

M
*  =

M
*  =

WCTX



W P Ł YW  WST Ę P N YCH   U G I Ę Ć  N A  P RACĘ  TAR C Z Y  569

M aksym aln e  wartoś ci  m om en tów M
x
,  M

y
  i  M

xy>
  bę dą cych  wypadkowymi  odpowiednich

skł adowych  dodatkowego  zgię ciowego  stan u naprę ż enia,  okreś lone są za pom ocą  wzorów:

m v .  (a  )  - 6 M x  (a )  -
{J.XDJ  V°ifl/ max  7 2  '  \ uyoJmax  —  / 2  J

D la  powyż szych  wielkoś ci  m oż na  również  wprowadzić  bezwymiarowe  współ czynniki

o  postaci,  [7]:

\*  _  (°Wmax i  \
2

|  a \

\ T} >
(3- 16)  < = i ^

*
9

-   ( T o n , a x )  l a )

~  E  I T) •
które,  przy  wykorzystaniu  wyraż eń  (3.13),  okreś lone  bę dą  nastę pują co,  [7]:

4- l

*  _  6 J W,
•   Eli2

Wprowadzając  współ czynniki £ 0 , W o, f  i  W  do wyraż eń  (2.8) i  (3.1), m oż na funkcje  w0 i w,

zarówn o  wstę pnego,  ja k  i  koń cowego  ugię cia  tarczy,  wyrazić  również  bezwymiarowymi

współ czynnikami  postaci, [7]:

T HT CX
(3.18)  w* =  - ,~ = f  c o s ^ + lfcos^rf- -   cos——,

h  \   2b  2b  I  2a

(3.19)  * *  "  T  "

D la  okreś lenia  stan u n aprę ż en ia i  odkształ cenia tarczy  konieczne jest  wyznaczenie bez-
wymiarowych  współ czynników  ?F  i K* w zależ noś ci  od współ czynników wstę pnego  ugię cia
f0  i  W  o —  dla róż n ych wartoś ci współ czynnika |  ugię cia  koń cowego  tarczy.  Wykorzystamy
w  tym celu  równ an ie  (2.14),  które  rozwią ż emy  stosując  m etodę  G ALERKIN A.  W  rozpatry-
wan ym  przypadku  m uszą  być  speł nione nastę pują ce  dwa  równ an ia:

a  b

I  F(w,  w
0
,  0 ) c o s——c o s—j-   dxdy  =  0,

- a  - b

a  b

J  J  ity/ , w0, ̂ )cos- ^- cos- ^- dx4j = 0,

- a  - b

(3.20)
a  b

- a  - b

4  M ech an ika  Teoretyczn a



5 7 0  .  T .  SlEG MU LLER

w  których  symbolem  F(w,  w
o
,0)  oznaczon o  wyraż enie

3
2
w  .  320  32w

(3.21)  F(w,w
o>

&)  = z> - v2v2(w- )v0)- /j  - 5- r"  ^ r r - -
2 i r 7 r " i r " 7 r  +

3
2
0

+
  dx

2
  dy

2
y

P o  wstawieniu  do  równań  (3.20)  odpowiednich  poch odn ych funkcji  ugię cia  w
0
  i  w  oraz

funkcji  n aprę ż eń  0  i  wprowadzeniu  do  nich  bezwymiarowych  współ czynników  f0,  W Q,
i,  W   i  KQ  przyjmą   one  nastę pują cą   p o st ać :

~ f o H  ^

+ !P ( f2 !F2 - f2 !P 3 )( n-^

P o  wyrugowaniu  z  równań  (3.22)  i  (3.23)  bezwymiarowego  współ czynnika  obcią ż enia
K*  otrzymuje  się   nastę pują ce  równanie  czwartego  stopn ia  wzglę dem  współ czynnika  W :

(3.24)  ł j  ^ 4 + z 2  ^
3  +  z 3 ^

2 + 2 4  ^ + z 5  =   0,

gdzie:

~

{ oi  J2

J r ^ k / i f l O  I ^ O

15
) -m27t2  16



W P Ł YW  WSTĘ P N YCH   U G I Ę Ć  N A  P R AC Ę   TAR C Z Y 571

4 4 1 45

256

49(m
2
+9l

2
)

2  *  m2

48(1  - v2)

5(m
2
+9Z

2
)

2

  2

192(1  - v2Ym
8  . ,  .*

45
1  / .  15

1 +

441

^ ~ I O ' 128

96(1  - v2)

- 6)a+—A*

49 1 +
l+

:

5
"16

144

16

—
15

m
2
n

2
j  1 2 ( 1 - v2 )

_ _

+   135  A2  '

144

i  E2Ę 2 |1  ,

\ 16 i^^
1+ -

15

J - 2)a  + f2 |g' P 2 t ?+ - ^ Jt
2m 2A^ -

16

+   - ^- l2f§!P fo |l4
256



5 7 2  T .  SlEGMULLER

m

49  5  49

5  E 2  6  49

24( l- v»)

3

1-

I [ (

Bezwymiarowy  współ czynnik  obcią ż enia  K£,  w  zależ noś ci  od  współ czynników  bezwy-
miarowych  (3.5),  wyraża  się  nastę pują cym  wzorem :

rtin   .,  ^ *  • * 11  +• *  12+ - '  13+ - *  14

1  15—- '  16

gdzie:

2 4 ( 1- v2

32

2  4  A 1

 ̂ ^  f n ) L 1+16



WP Ł YW  WSTĘ PNYCH   UGIĘĆ  NA  PRACĘ  TARCZY 573

Z akł adając  w  równ an iach  (3.24)  i  (3.25)  £ 0  =   O oraz  W o  — 0  otrzymamy  zwią zki,

mają ce  zastosowanie  dla  tarczy  obcią ż onej  nieliniowo,  lecz  pozbawionej  wstę pnego  ugię-

cia  w
0
.  Wzory  te  odpowiadają  przypadkowi  rozpatrzon em u  w  pracy  [7]  dla  pierwszego

przybliż enia.

4.  Obliczenia  liczbowe

Szczegół owe  obliczenia  liczbowe  dotyczą  tarczy  o współ czynniku kształ tu X  —  a\ b  =   2.

D la  m ateriał u  tarczy  przyję to  liczbę  P oissona  v  = 0 , 3 .  Obliczenia  przeprowadzono  za-

kł adając  szereg  wartoś ci  dla  współ czynnika  £  (od  £   =   0,1  do  3,0),  a nastę pnie  przyjmując

dla  każ dej  z  nich  kilka  kolejnych  wartoś ci  współ czynnika  f0  ugię cia  wstę pnego  (od  f0  =

=   0,01  do  0,5)  oraz  odpowiadają cych  im wartoś ci  współ czynnika  V
o
.

0,02
0,5 ',5 2,0 2,5 3,0

Rys.  3.  Wykresy  zależ noś ci  W —  ?(£—f0)  dla  róż nych  wartoś ci  współ czynnika  f„   wstę pnego  ugię cia
tarczy

D la  przyjmowanych  wartoś ci  współ czynników  f0  zachowano  warunek  | 0  <  f,  war-

toś ci  zaś  współ czynników  !?o  wyznaczono  z  równ an ia  (3.26)  odpowiadają cego  przypad-

kowi  tarczy  bez  ugię cia  wstę pn ego.  Przyję to  zatem ,  że  W
o
  =   CP)i

a
=o-   Takie  przyję cie

odpowiada  najniekorzystniejszemu  przypadkowi,  w  którym  wstę pne  ugię cie  powierzchni
ś rodkowej  tarczy  m a  taką   postać,  jaką   począ tkowo  pł aska  tarcza  przyjmuje  po  utracie
statecznoś ci.  Wartoś ci  liczbowe  współ czynników  W , w  zależ noś ci  od  zał oż onych wartoś ci
współ czynnika  f,  wyznaczone  został y  na  podstawie  równ an ia  (3.24)  dla  róż nych  wartoś ci
współ czynników  f 0  ugię cia  wstę pnego.  N astę pn ie w  t aki  sam  sposób  wyznaczono  wartoś ci



574 T .  SlEG MU LLER

bezwymiarowego  współ czynnika  K$  n a  podstawie  równ an ia  (3.25).  Obliczenia  liczbowe
wykonane  został y  n a  E M C  Odra —1204,  a  wyniki  przedstawion o  n a  wykresach.

N a  rys.  3 podan o wykresy funkcji  !P  =   !?(£  — f 0 ) dla róż nych wartoś ci  współ czynników
So  ugię cia  wstę pnego.  D la  każ dej  wartoś ci  tej  odcię tej  rzę dne  krzywych  rosną  wraz  ze
wzrostem  współ czynnika  £ 0  wstę pnego  ugię cia  tarczy,  podobn ie  ja k  w  [3].  Ozn acza  t o ,
że  im wię ksze jest  wstę pne  ugię cie  tarczy,  tym  odpowiednio  wię ksza jest  am plituda trzech
pólfal  cosinusoidy  n ał oż on ych  n a  ugię tą  powierzchnię  ś rodkową  tarczy  wzdł uż  osi  0,,,
reprezentowanych  drugim  czł onem  wyraż enia  (3.1).  Am plituda  t a  jest  najmniejsza  wów-
czas,  gdy  tarcza jest  począ tkowo  pł aska. P rzebieg  krzywych  K*  =  K$(C — C

Q
)  dla  róż nych

wartoś ci  współ czynnika  | 0  ugię cia  wstę pnego  przedstawion o  n a  rys.  4.  Krzywa  górn a
przedstawia  krytyczne  wartoś ci  współ czynnika  obcią ż enia  (K'£)

io=o
  odpowiadają ce  tarczy

bez  ugię cia  wstę pnego.  P ozostał e  krzywe,  odpowiadają ce  kolejnym  wartoś ciom  współ -
czynnika  | 0  =   0, 01, . . . , 0,5, odbiegają  znacznie od  siebie  aż  do wartoś ci  odcię tej  (£ — £ Q)  =

0,5

Rys.  4. Wykresy zależ noś ci współ czynnika obcią ż enia K*  =  K*(S—^ o) dla róż nych wartoś ci  współ czynnika
fo  wstę pnego  ugię cia  tarczy



W P Ł YW  WST Ę P N YCH   U G I Ę Ć  N A  P R AC Ę  TAR C Z Y  575

=   1, 2.  Powyż ej  tej  wartoś ci  wszystkie  krzywe  asymptotycznie  dą żą  do  krzywej  | 0  =   0.
Wynika  stą d,  że  w  zakresie  zbadanej  zmiennoś ci  ugię cia  wstę pnego,  wpł yw  tego  ugię cia
praktycznie  zanika,  gdy  cał kowite  ugię cie  tarczy  wynosi  okoł o  1,6  gruboś ci  tarczy.

5.  An aliza  porówn awcza  z  tarczą  o  wstę pnym  jedn ostron n ym  wybrzuszeniu

W  celu  porówn an ia  otrzymanych  wyników  rozpatrzono  przypadek  tarczy  podpartej
i  obcią ż onej  identycznie, jak  tarcza  dotychczas  rozpatrywana,  dla której  zał oż ono kształ t
wstę pnego  ugię cia  powierzchni  ś rodkowej  w  postaci  jednostronnego  wybrzuszenia,  naj-
czę ś ciej  wystę pują cego  w  praktyce.  D la  tego  przypadku  ugię tą  wstę pnie  powierzchnię
ś rodkową  tarczy  m oż na  opisać  wyraż eniem  przedstawiają cym  nał oż enie  się  jednej  pół fali
cosinusoidy  zarówno  wzdł uż  osi  x,  jak  i  osi  y  przyję tego  (rys.  1)  ukł adu  współ rzę dnych.
F unkcję  w

0
,  okreś lają cą  kształ t  ugię tej  powierzchni  ś rodkowej  tarczy  przed  jej  obcią ż e-

niem, moż na zapisać  w  postaci

(5.1)  vv0  =   w b ' c o ^ ^

gdzie w^  jest param etrem równym wstę pnemu wychyleniu  ś rodka tarczy z pł aszczyzny  xy.
F unkcja  ta  ma postać  identyczną  z wyraż eniem  (2.8) po  przyję ciu  w$

3
  =   0.

D o  dalszych  rozważ ań  przyję to,  że  pod  wpł ywem  przył oż onego  obcią ż enia  powierzch-
nia  ś rodkowa  tarczy  przyjmie  kształ t  opisany  równaniem  (3.1).  Wówczas  odpowiednie
zwią zki  równ an ia  dla  rozważ anego  obecnie przypadku  moż na uzyskać  z  odpowiadają cych
zwią zków  i  równań,  otrzym anych  dla  przypadku  poprzednio  rozpatrzonego,  przyjmując
w  nich,  że  param etr  w$

3
  lub  odpowiadają cy  m u  współ czynnik  bezwymiarowy  W

o
  -

=   wjji/ wj?,5!  są  równe  zeru.

Obliczenia  liczbowe  przeprowadzon o  zakł adając  te  same  jak  poprzednio  wartoś ci
współ czynnika  kształ tu  tarczy  X  oraz  liczby  P oissona  v.  D la  bezwymiarowego  współ -
czynnika  ugię cia  wstę pnego  | 0  przyję to  wartoś ci  zmieniają ce  się  w  granicach  od  | 0  =   04
do  0,5.  D la współ czynnika  |  koń cowego  ugię cia  tarczy  przyję to  wartoś ci  f  =  0, 1, ..., 2,5.

Obliczenia  przeprowadzon o  przy  zachowaniu  warunku  £ 0  <  £.  Otrzymane  wyniki
zilustrowano  n a  nastę pują cych  dwóch  wykresach:  pierwszy  z  nich,  podany  n a  rys.  5,
przedstawia  zależ ność  współ czynnika  W  =   W (£—£

o
).  G órn a  krzywa,  dla  £ 0  =   0,  odpo-

wiada  wstę pnie  pł askiej  postaci  tarczy.  Pozostał e krzywe,  odpowiadają ce  kolejnym  war-
toś ciom  współ czynnika  fo  ugię cia  wstę pnego  (dla  f0  =   0>l> • • • >0,5), przebiegają  poniż ej
tej  krzywej.  Wynika  stą d,  że  w  przeciwień stwie  do  poprzedniego  rozpatrywanego  przy-
padku —  gdy  tarcza m a ugię cie  wstę pne  w postaci  jednostronnego wybrzuszenia  — ampli-
tuda  trzech  pół fal  cosinusoidy  okreś lonych  drugim  czł onem  funkcji  (3.1)  koń cowego
ugię cia  tarczy  jest  mniejsza  niż  w  tym  przypadku,  gdy  tarcza  jest  począ tkowo  idealnie
pł aska.

Wszystkie  omawiane  krzywe  dla  f0  ?=  0  zbliż ają   się   asymptotycznie  do  krzywej  dla
f o  =   0, przy  czym  róż nice  rzę dnych  mię dzy  nimi praktycznie  znikają   począ wszy  od  war-
toś ci  ( f - f0 )  «  1,2.



576 T .  SlEG MULLER

N a  rys.  6  przedstawiono  przebieg  zmian  bezwymiarowego  współ czynnika  obcią ż enia
K*  w  zależ noś ci  od  przyrostu  ugię cia  ( £ —10)  dla  kolejnych  wartoś ci  współ czynnika  £ 0
ugię cia  wstę pnego  (linie  przerywane).  Krzywe  te  przebiegają  podobn ie, jak  krzywe  W  =
=   lF(£- Co)  n a rys.  5. P rzy  mał ych wartoś ciach  przyrostu  ugię cia  tarczy  róż nice rzę dnych
mię dzy  tymi  krzywymi  a  krzywą  górną  są  znaczne. Ze wzrostem  zaś  ugię cia  tarczy  róż nice
te  maleją,  a  wszystkie  krzywe  zbliż ają  się  do  krzywej  górn ej.  D la  mniej  wię cej  tej  samej
wartoś ci  odcię tej,  co  n a  wykresie  poprzedn im  dla  funkcji  XP  =  ?(t­­C0),  róż nice  rzę d-

0,04

0,03

1,5

Rys.  5.  Wykres  zależ noś ci  XP =   W (g~$
0
)  dla  róż nych  wartoś ci  współ czynnika  I  i  dla  przypadku  tarczy

z  jednostronnym  wstę pnym  wybrzuszeniem

nych  mię dzy  wszystkimi  krzywymi  K% =   A"0 *( |- f0 )  stają   się   pomijalnie  m ał e.  Stą d  wy-
nika,  że  w  zakresie  zbadanej  zmiennoś ci  ugię cia  wstę pnego  wpł yw  tego  ugię cia  również
i  w  rozpatrywanym  przypadku  zan ika  mniej  wię cej  dla  tej  samej  wartoś ci  cał kowitego
ugię cia  tarczy, co w  przypadku  poprzedn io rozpatrzon ym .

D la  zilustrowania  powyż szego  faktu  n a  rys.  6  naniesiono  dodatkowe  krzywe  K*  =
=   K* ( | - l o)  z  rys.  4  (linie  cią gł e).  Jak  widać,  wszystkie  krzywe  cią głe  leżą   poniż ej  odpo-

wiadają cych  im krzywych  przerywanych  (dla tych samych wartoś ci  | 0 ) .  A  zatem  osią gnię cie
okreś lonego  ugię cia  koń cowego  tarczy  nastę puje  przy  mniejszej  wartoś ci  obcią ż enia
wówczas,  gdy  postać  wstę pnego  ugię cia  powierzchni  ś rodkowej  tarczy  jest  bliż sza  tej
postaci, jaką   pierwotnie pł aska tarcza przyjmuje  po  utracie statecznoś ci.

N a  podstawie  przeprowadzonej  analizy  m oż na  wnioskować,  że  w  zakresie  zbadan ych
wartoś ci  ugię cia  wstę pnego,  wpł yw  tego  ugię cia  praktycznie  zan ika,  gdy  koń cowe  ugię cie
tarczy  wynosi  okoł o  1,7  jej  gruboś ci.  Wówczas  stan  n aprę ż en ia  i  odkształ cenia  róż ni  się
pomijalnie  m ał o  od  stan u,  jaki  (przy  danym  obcią ż eniu)  pan uje  w  tarczy  począ tkowo
pł askiej.  W  praktyce  począ tkowe  ugię cie  tarczy  wynika  n a  ogół   z  przypadkowego,  mniej,



WPŁYW  WSTĘ PNYCH   UG IĘ Ć  N A  PRACĘ   TARCZY 577

lub  wię cej  nieregularnego  pofalowan ia  powierzchni. Tem u pofalowaniu  mogą   odpowiadać
zarówn o  dodatn ie, ja k  i  ujemne  wartoś ci  współ czynnika  !f0.

Z  pu n kt u  widzenia  pracy  tarczy  w  warun kach  obcią ż enia  ponadkrytycznego  najbar-
dziej  niekorzystne  są   takie  przypadki,  gdy  pofalowanie  zwią zane  jest  z  jedn ostron n ym
wybrzuszeniem  powierzchn i  ś rodkowej  tarczy;  zachodzi  to  dla  lF

0
  ^  0.  Taki  rzeczywisty

kształ t  wstę pnego  ugię cia  tarczy jedn akże  tylko  w  pewnym  przybliż eniu  odpowiada  omó-
wionym  w  pracy  przypadkom .  Z tego  też wzglę du wydaje  się   wł aś ciwe, by  stan naprę ż enia
odkształ cenia  tarczy,  przy  uwzglę dnieniu  jej  wstę pnego  ugię cia,  okreś lać  n a  podstawie
wzorów  odpowiadają cych  przypadkowi  najbardziej  niekorzystnemu.

1,5

Rys.  6.  Wykresy  zależ noś ci  współ czynnika  obcią ż enia  Kg  =  Kg(g- S
a
)

  d l a  róż nych  wartoś ci  współ -
czynnika  lo  i  dla  przypadku  tarczy  z  jednostronnym  wstę pnym  wybrzuszeniem

Jak  wynika  z  przeprowadzon ej  analizy,  należy  zatem  preferować  wzory  mają ce  za-
stosowanie  w  przypadku,  gdy  kształ t ugię tej  wstę pnie  powierzchni  ś rodkowej  tarczy  odpo-
wiada  postaci, jaką   tarcza  przyjmuje  po  utracie statecznoś ci.



5 7 8  T .  SlEG MU LI.ER

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  Z.  BRZOSKA,  Statyka  i  statecznoś ć  konstrukcji  prę towych  i  cienkoś ciennych, Warszawa  1961.
2.  A. LL  BOJI Ł M H PJ  yanounueocmb  de$opMupyeMt>ix cucmSM,  M ocKBa  1967.
3.  W.  WALCZAK,  W pł yw wstę pnych  ugię ć  na pracę pł yty prostoką tnej,  zginanej w swej pł aszczyź nie,  Mech.

Teoret.  Stos.,  3,  11  (1973).
4.  M.  KMIECIK,  W pł yw  odkształ ceń  wstę pnych na  wytrzymał oś ć  osiowo- ś ciskanych  pł yt  prostoką tnych

(praca  doktorska),  Politechnika  G dań ska,  1970.
5.  A.  LL  BojibMHP, FuÓKue  n/ iacmumu u  OBOJIOHKU,  F H T T J I ,  Moci<Ba  1956.
6.  S.  TIMOSHENKO,  T heory  of  Elastic Stability,  McG raw- H ill  Company,  1961.
7.  T.  SIEGMULLER,  Analiza statecznoś ci  i  stanu nadkrytycznego tarczy prostoką tnej poddanej  nieliniowemu

rozkł adowi obcią ż eń , (w  druku,  Arch.  Bud.  M asz.).

P  e  3  IO  M  e

BJII- MH HE  H A^AJI LH O rO  I I P O rH E A  H A  P AEOTY  I I P £ M O yr O J I B H O r O  flH CKA
I1OJX BO3flE ftC TBH E M   H E JI H H E H H O  P AC n P E flE JI E H H OM   H ATP V3KH

B  pa6oTe  npHEOflHTCH   TeopeTiraecKiii- i  aH aim s  BJI H H H H H   H a^auBtioro  n po rji6a  n a  nanp*i>KeHHoe
COCTOHHHC  H  flecjjopM auH io n o cn e  noTepu  ycioitaHBOCTH   npH iwoyroji&H oro  flucKa  cBo6oflHO  on epT oro n o
KOHTypy  H  noflBep»ceH H oro  n arpy3Ke  c HeJiHueSHMM  pacnpeaejieH H eM .  PaccywfleH H H   BeflyTCfl  c
H6HneM   cbyHKimH   Hanpfl>i<eHHH   3p H   0(x,y).  ITpHHHMaioTcH  yflOBneTBopmomne  KpaeBbiM
3&fs,SMa  npencTaBneH H H   cjtyHKicra  n p o r n Sa  cepeflH imoii  noBepxHOCTH   RHCKa —  KCXOH H OTO  WO(X3 y)
H   KOH equoro  w(x,y).

onpefleneH iiH   3TH X  cpyHKqHH   H cnojit3OBanocb flH ttidpepeH qH aJiBH oe ypaBHeHHe  KapM aua  n e -
TeopHH   njiacTHHOKj  a H eH 3BecTnwe  napaM ei'pbi  co^epwamH CCH   B npHHHTbix  djyHKiflaax  n p o -

rti6a  i- iaxoflHJiHCb  c  npHiweiremieM   MeTofla  F ajiepKim a.
IIojiyqeH H bie  BŁ ipa>i<eHHH  flJia H anpnweH H H  a fledpopiwaqH H  B aaKpiiTOTecicoM   COCTOHHHH  SbiUH

Bbipa>KeHŁ i  nocpeflcTBOM   6e3pa3iwepH bix  Bejmwn.  ^H CJieiiH bie  npH M epbi  p ein eu bi  fljra  AByx  BH AOB
HCxoAKoro  n poraG a cepeflHHHoii  noBepxiiocTK flH CKa, pjifi  3TH X  cjiynaeB  H ań fleHH  ycnoBH H  n p n  KOTopwx
MO>KHO  npeH e6pe^B

S u m  m a r y

IN F LU EN C E  OF   I N I TI AL  D EF LECTION S ON   TH E  WORK  OF   A  REC TAN G U LAR  PLATE
SU BJECT  TO  TH E  N ON - LIN EAR  LOAD

This  paper  presents  a  theoretical  analysis  of  the  influence  of  initial  deflections  on  the  state  of  stress
and  strain in an isotropic, rectangular  plate simply  supported  along  the edges  and subject  to the non- linear
load —  after  the stability  loss. The Airy stress  function  0(x,  y) is introduced, and the form  of initial  deflec-
tion  w

o
(x,y)  and final  deflection  w(x, y)  is  assumed  to  satisfy  the  boundary  conditions.

These functions  are then determined by  means of  the  Karman equations  of  the non- linear plate  theory,
the  unknown  parameters  appearing  in  the  function  of  deflection  being  found  by  means  of  the  G alerkin
method.

The  final  formulas  determining the stresses and- strains  in the post- critical  state  of  the plate  are written
in  terms  of  dimensionless  coefficients.

N umerical  calculations  are  performed  for  two  different  forms  of  the  initial  deflection  of  the  middle
surface  of  the  plate;  conditions  are  also  derived  under  which  the  influence  of  initial  deflections  may  be
disregarded.

P OLI TE C H N I KA  G D AŃ SKA

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  13  grudnia 1974  r.