Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  13 (1975) ZASTOSOWAN IE  G RAFÓW  I  LICZ B  STRU KTU RALN YCH   D O WYZNACZANIA RÓWN AN IA  CH ARAKTERYSTYCZN EG O  I  WID MA  CZĘ STOŚ CI JÓZEF   W O J N A R O W S K I ,  ANDRZEJ  B  U   C  H  A  C  Z  (GLIWICE) 1.  Wstę p Jedn ym  z  gł ównych  celów  analizy  ukł adów  mechanicznych jest  okreś lenie  równania charakterystycznego  i  widm a  czę stoś ci.  Z n an e klasyczne  m etody  dotyczą ce  tego  problemu [7,  13,  14,  21, 60]  oparte  są   n a  ustalen iu  równ ań  róż niczkowych  ruchu  ukł adu i  przez  to wymagają   szeregu  przekształ ceń .  Wykorzystanie  grafów  biegunowych  i  liczb  struktu- ralnych  umoż liwia  pom inię cie  tego  etapu, a  wię c  znacznie  upraszcza  samą   analizę . W  ta- kim  przypadku  ukł ad  opisujemy  funkcjonalnym  m odelem  i  grafem  biegunowym  [20,  24, 52,  53].  Wprowadzają c  poję cie  wę zła  i  krawę dzi  ja ko  reprezentację   zmiennej  i  zależ noś ci funkcyjnej,  M ASO N   zapoczą tkował   teorię   grafów  przepł ywu  sygnał ów  [28].  Od  tego czasu  szereg  autorów  zajmował o  się   rozwijaniem  twierdzeń  i reguł  m etody  grafów  [46, 47, 34, 41,  6,  19,  61].  Z astosowan ia  grafów  do  opisu  ukł adów  elektrycznych  i  elektromecha- nicznych  zawarte  są   w  pracach  [43,  27,  42,  24,  20].  Zwią zek  mię dzy  grafem  przepł ywu sygnał ów  i  grafem  biegun owym  m oż na  znaleźć  w  [29]. Wart o  podkreś lić,  że  ostatn io po- jawiają   się   też  prace,  w  których  omawiane  są   nowe  zastosowania  grafów  [15,  40,  49,  18, 51,  58,  57], a  także  wprowadzan e  są   in n e typy  grafów,  ja k  n p . graf  sprzę ż eń  (bond graph, zpa$  cemeti)  [22, 26]. Z auważ my,  że  szczególne  miejsce  w  teorii  grafów  zajmuje  poję cie  drzewa  i  zbioru drzew  [6,  19]. Jeś li  bowiem  przypom n im y,  że  zbiór  drzew  zawiera  peł ną   informację   o  wy- zn aczn iku  grafu,  to  m odelowan ie  liniowych  ukł adów  fizycznych  grafami  determinuje poszukiwanie  m etod  i  algorytm ów  generowania  drzew. Już  w  pracach  K I R C H H OF F A  [ 23] n  i  CAYLEYA  [8] 1' sformuł owano  metody  wyznaczania drzew  sieci  elektrycznej.  Rozwijane  w  ostatn im  dwudziestoleciu  zastosowania  grafów w  analizie  i  syntezie  ukł adów  fizycznych,  a  gł ównie  w  sieciach  elektrycznych  i  elektro- nicznych,  wpł ynę ły  n a  opracowywan ie  róż n orodn ych  algorytmów  wyznaczania  zbioru drzew  [2, 5,  10,  11, 12,  16,  17, 25,  30,  31, 32,  35, 37,  39, 48]. W  ostatn ich  ł atach  zaczę to  również  algebraizować  m etody  dotyczą ce  przekształ ceń grafów  poprzez zastosowan ie  liczb  strukturaln ych  [3, 59]. W  szczególnoś ci  należy  wyróż nić pracę   BELLERTA  i  WOŹ N I AC KI E GO  [4], w  której  po dan o podstawy  algebry  liczb  struktural- n ych  w  zastosowan iu  do  analizy  i  syntezy  ukł adów  elektrycznych. Rozwinię cie  m et od  liczb  strukturaln ych  i  wykorzystanie  maszyn  cyfrowych  do  ich. generowania  p o d an o w  pracach  [44, 45,  33, 38, 55]. W  pracy  [1] zastosowano  liczby  struk- turaln e  do  wyznaczania  reakcji  ukł adu  m echanicznego  n a  wymuszenie  kinem atyczne. "  Cytujemy  za  [18]. 546 J .  WOJN AROWSKI,  A .  BU CH ACZ Algorytm  analizy  w  sensie  wyznaczania  widma  czę stoś ci  oraz  zastosowanie  liczb  struktu- ralnych  do syntezy  ukł adów mechanicznych z elementami  VOI G TA  m oż na  znaleźć  w  pra- cach  [50, 54, 55].  Z astosowanie  liczb  strukturalnych  d o modyfikacji  wł asnoś ci  dynamicz- nych  liniowych  ukł adów  mechanicznych  podan o  w pracach  [56,  57]. W  niniejszej  pracy  przedstawiono  zastosowania  grafów  i  liczb  strukturaln ych  do wy- znaczania  równ an ia  charakterystycznego.  U  podstaw  m etod  topologicznych  leży  zwią zek mię dzy  zbiorem  drzew  grafu  a jego  wyznacznikiem  [36, 43, 9]. W tym  sensie  zastosowan o niektóre  elementy  przekształ ceń grafów  i  generowania  drzew.  P rezen towan e  m etody  zilu- strowano  n a przykł adach dyskretnych  liniowych  ukł adów m echanicznych. 2.  Wprowadzen ie Rozważ my  dyskretny  ukł ad  mechaniczny  o  5  stopn iach  swobody  (rys.  1). N apisanie  równań  róż niczkowych  ruchu  rozważ anego  ukł adu  a  n astę pn ie  otrzym an ie równania  charakterystycznego  jest  dość  pracochł on n e.  N atom iast graf  biegunowy  (rys. 2), ZASTOSOWANIE  GRAFÓW  I  LICZB  STRUKTURALNYCH   547 który  m oż na  otrzym ać  wprost  z  u kł adu  mechanicznego  upraszcza  ten  proces  i  stanowi pun kt  wyjś cia  do  analizy  postawion ego  problem u  [20,  24,  52,  53]. P on adto w  sposób  wy- raź ny  uwidacznia  relacje  pom ię dzy  poszczególnymi  czł onam i.  N ależy  podkreś lić,  że  przy kon struowan iu  grafu  biegunowego  wykorzystujemy  sformalizowane  poję cie  czł onu,  które jedn ozn aczn ie  prowadzi  do  m atem atyczn ego  m odelu  ukł adu  dynamicznego jako  pewnego operatora  przekształ cają cego  dan e  wejś ciowe  w  wyjś ciowe. 3.  Wyznaczenie  równania  charakterystycznego  metodą  grafów  i  liczb  strukturalnych Z godnie  z  zasadą  M AXWELLA  [43]  równ an ie  charakterystyczne  przyjmuje  postać (1)  A(s2)  =   AG  - - mit gdzie  A(s2)  =   AG  oznacza  wyznacznik  grafu,  Z k   =   []z ki   —  impedancję  drzewa  grafu, ( - 1 m k   —  liczbę  krawę dzi  / c- tego  drzewa,  z ki   —  impedancję  przyporzą dkowaną  j- tej  krawę dzi drzewa  k,t  —  liczbę  wszystkich  drzew  grafu,  s —  argum ent  przekształ cenia  Laplace'a. P onieważ  impedancję,  czyli  ilorazy  zmiennych  symetrycznych,  są  stał e  w  dowolnej  chwili czasowej,  więc  równ an ie  charakterystyczne  (1)  jako  suma  iloczynów  tych  stał ych  wiel- koś ci jest niezmiennikiem dla  an alizowan ego  ukł adu dynamicznego. W  rozum ien iu  równ an ia  (1)  zagadnienie  wyznaczania  równ an ia  charakterystycznego sprowadza  się  do  obliczenia  wyznacznika  grafu,  który  m oż na  otrzym ać: —  m etodą  redukcji  grafu  wedł ug drzewa  napinają cego, —  m etodą  rozwinię cia  wedł ug  elementarnych  ł ań cuchów, —  metodą  przecięć  grafu, —  m etodą  liczb  strukturaln ych . 3.1.  Otrzymanie równania  charakterystycznego  metodą  redukcji  grafu  wedł ug  drzewa  napinają cego. Algorytm  redukcji  grafu  przy  wykorzystaniu  rozwinię cia  wedł ug  drzewa  D o   napinają cego graf  [41, 43, 52] prowadzi  do  równ an ia  charakterystycznego  o nastę pują cej  postaci: (2)  A (s2)  =  A G(D Q ) +  £  z M  A G{D 0 ,   Si ) + ]?  z kJ z k ,AG{D 0 ,s i ,sj)+  ... + gdzie  AG(D 0 )  ozn acza  wyznacznik  podgrafu  z  usunię tym  drzewem  D Q ,  z ki ,  z kJ ,  ...,  z kl .— impedancję  krawę dzi  s t ,  Sj...  drzewa  D o ,  r  =   n—l  —liczbę  wierzchoł ków  bez  ogólnego bieguna  Z o , AG(D0,  s^   —wyzn aczn ik  podgrafu  z  usunię tym  drzewem  D o  i  krawę dzią  st p o  koincydencji  wierzchoł ka,  który  ta  krawę dź  ł ą czyła  z  biegunem  Z o , AG(D0,  sit  Sj) — wyznacznik  podgrafu  z  usun ię tym  drzewem  D o   i krawę dziami  s t>   Sj po  koincydencji  wierz- choł ków,  które  te  krawę dzie  ł ą czył y  z biegunem  Z o  itd., AG(D0,  st...  sr)  — 1 —  wyznacz- n ik  podgrafu  zredukowan ego  do p u n kt u . 548 J .  WOJN AROWSKI,  A .  BU CH ACZ Z astosowanie  tej  metody  zilustrujemy  n a  przykł adzie u kł ad u drgają cego  o  4  stopniach swobody  (rys.  3a). W  tablicy  1 przedstawiono  algorytm  redukcji  grafu  [równanie  (2)] dla przykł adu pokazanego  n a  rys.  3. 1J \\ knJ? \\ J \\ k34 J \t jj)  Graf biegunowy  G  ukł adu *[J3J4.(k1k12+ k12k23+ k23kl)  + + J2Mki+ k12)(k23+ k34)+ J2J3(k1+ k12)k34.+ + JiJĄ (k12k23+ k23k34r+ k34,k12)+ J1Ą (k12+ k23)k34.+ + J3(k1k12+ k12k23+ k23k1)k34+ J2(k1+ k12)k23k34.+ 1 2k2 3 k :i Ą .  =   0 . Warto  zauważ yć,  że  przedstawiony  algorytm  pozwala  uzyskać  równ an ie  charakte- rystyczne  wprost  wedł ug rosną cych  potę g  czę stoś ci. Tablica  1 Iloczyn  impe- dancji  gał ę zi drzewa Do  •   Hi 1 — JiS 2 J 2 s 2 N umery  ko- incydentnych wierzchoł ków 2 — 4,  Zo P odgraf  po  usunię ciu  drzewa  D o i  krawę dzi  Si,  ...,s r 3 tL JlL   P  hi  4,  - Z 'o 2- 0 3

s ) roz- pię ty  na  wierzchoł kach  q>i  i 2 Wyznacznik podgrafu (k l2 +J 2 s 2 )k 23   + x(J 2 s 2 +k 12 ) tp,,tp3,tp4,Zc k l J 3 s 2 k 3A . [552] ZASTOSOWANIE  GRAFÓW  I  LICZB  STRUKTURALNYCH 553 1 4 Vi  ft?  hs  P3   3̂ 4   4 ^ \ c.d. tablicy 2 2 3 i 4 1 1 krawę dzi  ł ań cuchów z' rs   i z«  pomię dzy  rozcię tymi wierzchoł kami, j —  liczbę   wierzchoł ków, poprzez  które  d o ko n an o  rozcię cia  grafu  G. W  celu zilustrowan ia  podan ych wyż ej rozważ ań  wyznaczymy  równanie  charakterystycz- n e  omawianego  ju ż  ukł adu.  : '".• •"  .- .  .  .  R y s .  4 "*  i 9  Rozcinam y  graf  G  (rys.  3b)  n a  dwa  podgrafy  (rys.  4).  • ' 2 °  Znajdujemy  bezp o ś red n io3'  zbiory  impedancji  gał ę zi  drzew  w  podgrafach  G'  i  G' :.  •   Z'  =  {{z i2 ,z 30 },  {z i2 ,  z 20 },  {Ź 20 ,z 30 }},. Z  =  \ \Z 23   , Z34., Z50} , {Z14., Z4.0, Z 23 j  , \ZĄ Q, Zs 0> 3°  D la  tak  rozcię tego  grafu  G  wyznaczamy  zbiory  impedancji  z' rs ,  z' r ' s   pomię dzy  roz- cię tymi  wierzchoł kam i.  W  rozważ anym  przypadku  mamy 3 )  G dy podgrafy  G' i  G " są  bardziej  zł oż one wówczas rozcinamy je dalej  na G\  i G'l  itd.,-  a zbiory im- pedancji  drzew  dla  nich  wyznaczamy  ze  wzoru  (5).  . . . . . .  . 3  Mechanika  Teoretyczna 554  J .  WOJN AROWSKI,  A .  BU CH ACZ wobec  czego Z ' 1 2  U Z ', 2  =   {Z 3 O ,  Z23, gdzie  u jest  sumą   zbiorów.  Ponieważ j  =  2,  to ' x Z ") 0 { Z3 0 , Z 2 3 , Z 4 0 } Biorą c pod  uwagę , że dZ*  dZ*  dZ*  dZ* - z- ,—r  = - = — ® " a —©   • ••   © " ^ —> ' d {z rs j  uZri  oz r2   oz rp gdzie  {z rs }  =  {z n ,z r2 ,  ...,z rp },  r — numer  ł ań cucha,  Z * — zbiór  impedancji  gał ę zi drzew  Z ' lub Z "  dla rozcię tego  grafu  G,  ©  — symbol  sumy  pierś cieniowej  zbiorów4', wtedy 8(Z'xZ")  ^ 8(Z'xZ")  8(Z'xZ") :  fcb>  ^  fccl  5  • d z 3 0  3 z 2 3  ^ 4 0 Róż niczkowanie  iloczynu  kartezjań skiego  zbiorów  wzglę dem  impedancji  z y rozumiemy jako dZ' xZ' ć >(Z'xZ") C x Z '  gdyẑ eZ". N atom iast  operację  róż niczkowania zbioru  okreś lamy  nastę pują co: _ 5 Z * [ Z * © z y  g d y z y s Z * 'fcij  (o  -   gd yz o ^ Z *. Wobec tego z 30   dz 23 { r\ 7" ©  [{{z- 34 , z 5 0 }, {z 3 4 , z AQ ),  {z 4 0 , z 5 0 } j © {{z 3 4 , z 2 3 }, {z 5 o, 2- 23}}] X X  {{̂ 12, ^3o}.  {̂ 12)  Z2o}> {̂ 20.  ^3o}}  =  { {Z12 »  ^23 >  ^34, Z S 0 } , lZ 1 2 )  3̂4>  Z 4 0 )  ^ S J )  ( Z 'l2 )  240J  Z 5 0 )  Z23/ >  \ ^2 0 j  ^23  > ^34>  ^50J J { Z 2 o ,  3̂4>   Z405  Z23/ >  \ Z 2 0 >  Z 4 0 j  ^5 0 , Z 2 3 ) ,  \ Z 1 2 ,  Z30, ^ 4 ,  Z5 0 ), \ Z12)  • Z20>  2 3 4 ,  Z 4 0 },  {Z 1 2 ,  Z 3 0 , Z 4 0 , Z 5 0 },  {Z 1 2 ,  Z 3 0 , Z 3 4 , Z23/ » 4 )  D la  dwóch  niepustych  zbiorów  A = {A lt   A 2 , ..., A t , ...A p }  (At -   {an,ai 2 ,  ...,a im })\ B  = =   {Bi,B 2 ,  ...,Bj,...,  B r }(Bj  =  {b n ,bij,  ...,b jm }),  A@B  =   AuB- Ar,B,  gd z i e , , - "  oznacza róż nicę zbiorów, zaś n  — przekrój zbiorów. Z ASTOSOWAN I E  G R AF ÓW  I  LI C Z B  STR U KTU R ALN YC H 555 \ Z \ Z  J i • ^'SO^ ;  2 4 0 ! Z 3 0 > >   Z 3 0 J { z' 2 ;  • 2'34>  ^50 "}>  \ Z\ 2  J )  Z 34>  ^23/ s  \ Z12i J  Z 4 O }J  {̂ 20) Z23/ J  \ Z 2 0  J  ^3 W  ten sposób,  korzystają c  ze wzoru  (1), wyznaczamy  równanie  charakterystyczne (3) zastę pując  oznaczenia  im pedancji  z tJ   przez  odpowiadają ce  im wartoś ci  m om entów  bez- wł adnoś ci i sztywnoś ci,  a n astę pn ie s przez  jco. 3.4.  Wyznaczenie  równania  charakterystycznego  przy  uż yciu  liczb  strukturalnych.  Wyko rzyst u ją c zwią zki  liczb  strukturaln ych  z grafami  i  twierdzenia  o wyznaczaniu  liczb  strukturalnych n a  podstawie  grafów  m oż na  zauważ yć,  że funkcja  wyznacznikowa  liczby  strukturalnej det  A[4,  1, 54] jest  iden tyczn a z wyznacznikiem  grafu  AG. A  wię c  równanie  charaktery- z styczne  otrzymujemy  p o przyrówn an iu jej do zera (6) det  A  = / c = l gdzie  z aik   e Z   ozn acza  zbiór  impedancji  krawę dzi  grafu  G. P raktyczne  zastosowan ie  tej m etody  pokaż emy  n a omawianym  przykł adzie  i w  tym celu  krawę dziom  grafu  (rys.  3b) przyporzą dkujemy  liczby  zbioru  a eN   (rys.  5). Z godnie z twierdzen iem  o obrazie  geometrycznym  wyznaczamy  liczbę   strukturalną  A, której  czynniki  pierwsze  wynoszą   odpowiednio P,  =   [1, 2, 6],  P 2   =  [6, 3, 7],  P 3   =  [7, 4, 8],  P 4 =  [8,  5]. Liczba  strukturaln a  równ a  iloczynowi  czynników  pierwszych  jest  nastę pują ca: A=P 1 P 2 P 3 P 4   m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 7 7 7 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 7 7 7 7 4 4 8 7 7 4 4 8 4 4 8 7 7 4 4 8 7 7 4 4 8 4 4 8  5 8 5 5 8 5 8 5 5 8 5 5 8 5 8 5 5 8 5 8 5 5 8 5 2 6 6 6 6 "6 6 6 6 7 3 3 3 3 3 7 7 7 8 7 7 4 4 8 4 4 8 5 8 5 8 5 5 8 5 5 3* 556 J .  WOJN AROWSKI,  A .  BU CH ACZ Zastę pując  oznaczenia  elementów  liczby  strukturalnej  a ik   odpowiadają cymi  im  im pedan - cjami  z aik   otrzymujemy  funkcję   wyznacznikową ,  która  przyrównywana  do  zera  daje  rów- nanie  charakterystyczne  (3). D la  pokazan ia  prostoty  m etody  liczb  strukturaln ych  skorzy- stajmy  jeszcze  raz  z  przykł adu  pokazanego  na  wstę pie  artykuł u. D okonują c  redukcji  grafu  (rys.  2)  uzyskujemy  graf  uproszczony  (rys.  6).  N a  rys.  6 w  nawiasach  podan o elementy  zbioru  a e N ,  które  przyporzą dkowano  krawę dziom  grafu, n atom iast  poszczególne  impedancje  wynoszą .s 2 ,  z 20   =  b 2O s+m 2 s 2 , =   k 30 +m 3 s 2 , zso  = z 15   = z l2   = z iĄ   -   k 14 .+b 14 .s, Liczba  strukturaln a  grafu  (rys.  6)  wynosi A=P 1 P 2 P 3 P i P 5 , gdzie ? !  =   [1,  6,  10,  11],  P 2   .  [6,  2,  7],  P 3   =   [7,  3,  8], / >4  =   [8,  4,  9,  10],  P5  -   [9,  5,  11]. Tworzą c  funkcję   wyznacznikową   otrzymanej  liczby  strukturaln ej  i  przyrównują c  ją   do zera  moż emy  już  ł atwo  otrzymać  równanie  charakterystyczne. M etoda  t a  staje  się   efektywniejsza,  gdy  wykorzystamy  algorytm  iloczynu  liczb  struktu- ralnych  [38],  wzglę dnie  generowanie  drzew  grafu  m etodą   liczb  strukturaln ych  bin arn ych [44, 45, 33]. ZASTOSOWANIE  GRAFÓW  I  LICZB  STRUKTURALNYCH   '  557 W  przypadku  wyznaczania  równ an ia  charakterystycznego  m etodą   liczb  struktural- nych  w  postaci  n aturaln ej, ustalam y  n a  podstawie  grafu  ukł adu  mechanicznego jej  czyn- niki  Pi(i  =   1,  . . . , «- 1)  i  wczytujemy  do  program u  G E N E R O WAN I E  D R Z E W  [55]. U zyskan a w  ten sposób  liczba  strukturaln a, a  tym  samym jej  funkcja  wyznacznikowa,  roz- wią zuje  problem  wyznaczania  równ an ia  charakterystycznego. 4.  Wniosek P rzedstawione  m etody  wyznaczania  widma  czę stoś ci  drgań  wł asnych  pozwalają   n a peł ną  algebraizację ,  a przez to umoż liwiają   stosowanie  elektronicznej techniki obliczeniowej. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  K.  ARCZEWSK/ ,  T opologiczna  analiza  mechanicznych drgają cych  ukł adów liniowych  metodą   liczb struk- turalnych, Arch.  Bud. M asz.,  4, 19  (1972)  589 -  605. 2.  S. D .  BEDROSIAN ,  T rees of  a  Full Graph  as an Occupancy  Problem,  IEEE,  Trans,  on Cite.  Theory, CT- 11  (1964)  290- 291. 3.  S.  BELLERT,  T opological  analysis and synthesis  of  linear systems, J.  F ranklin  Inst.,  D ecember  (1962) 425  -  443. 4.  S.  BELLERT,  H .  WOŹ N IACKI, Analiza i synteza ukł adów elektrycznych metodą  liczb strukturalnych, WN T, Warszawa 1968. 5.  I.  BERG ER, A.  N ATH AN ,  T he algebra  of sets of trees,  k — trees and other configurations,  IEEE Trans. Circ.  Theory,  CT- 15 (1968)  221  -  228. 6.  K.  EEP>K,  T eopun spacfioe  u  ee npujuenenuH,  H3fl.  H H OCTP.  J I H T . ,  MocKBa  1962 (tł um. ksią ż ki Cla- ude  BERG E,  T hiorie  des graphes et  ses  applications,  D unod,  Paris  1958). 7.  R. H .  CAN N ON   Jr., Dynamika  ukł adów fizycznych,  WN T,  Warszawa  1973  (przekl.  ksią ż ki — Dyna- mics  of  Physical  Systems,  M cG raw- H ill,  Inc.  1967). 8.  A.  CAYLEY,  A  theorem  on  trees, Quart.  J.  M ath.,  23  (1889)  376- 378. 9.  I .  CEDERBAUM,  On network  determinant,  Proc.  JR E ,  44  (1956)  258 -  259. 10.  S. G .  C H AN , W. T.  C H AN G , Efficient  tree — listing algorithm,  Elektr.  Letters,  9 (1970) 271 -  272. 11.  J. P.  C H AR,  Generation  of trees, 2- trees and storage of master forestes, IEEE Trans.  CT., CT- 15 (1968) 228  -  238. 12.  L. E.  CLARKE,  On Cayley's formula for  countign  trees,  J. London  M ath.  So c ,  33 (1958) 471  -  473. 13.  . C. H3E, H . E.  M O P 3E ,  P . T .  XH H KJIJ  MexammecKue  Kojiedanun,  I- tofl.  MauiHHOcrpoeHHe,  M o- CKBa  1966 (przekl.  ksią ż ki  F rancis S. TSE, Ivan  E.  MORSE,  Rolland  T.  H I N KLE , Mechanical vibrations, Allyn  and Bacon,  I n c.  Boston  1963). 14.  D E N   H ARTOG   J . P ., Drgania mechaniczne,  PWN ,  Warszawa  1971,  (tł um. ksią ż ki — Mechanical  vibra- tions,  McG raw- H ill  I n c., N ew  York  1956). 15.  A.  C . fpHTAHOB., A.  B .  C H H E B J  npoepaMMUpoeamie sadau  duuaMwm meeMamuuecKux  jtaiuunydapuoio deiicineuH djin  anajiozosux  3/ ieKmponHoebiHucjiume/ ibHUx  MOIUUH  MemodaMU  meopuu  epatfjoe,  C6opHHK  — HenHHeftHŁie  Kojie6aHHJi  u  ITepexoflHbie  npcmeccH   B ManiiiHax,  H3fl.  «H ayKa»,  MocKBa  1972, 242  -   252. 16.  S. L.  H AKI M I ,  On trees of  a graph and their generation,  J . F ranklin Inst., 270,  (1961) 347 -  359. 17.  S. L.  H AKI M I , D .  G .  G R E E N , Generation and realisation of  trees andk- tree, IEEE Trans, on Circ. Theory, CT- 11,  (1964)  247  -  255. 18.  F .  H ARARY, N ew  direction in the theory of  graphs,  Academic  Press,  N ew  York  and  London,  1973. 558  j  WOJN AR OWSKI , A.  BU C H AC Z 19.  .  XAP AP H ,  T eopun  zpacpos, H 3fl.  «M n p »,  MocKBa 1973  (przekł .  ksią ż ki  F ran k  H AR AR Y,  Graph theory,  R eading, M assachusetts 1969). 20.  H .  .  H JI H H C KH Ś IJ  B. K .  U AI TE H KH H ,  npu/ iooicetiue  meopuu  epacfios K  3adauaM  3/ ieianpoMexaHUKu s 3H eprH fl,  MocKBa  1968. 21.  S.  KALI SKI  i  in., Drgania  i fale  w  ciał ach stał ych, P WN , Warszawa  1966. 22.  D . C.  K AR N O P P ,  Power —  conserving transformations,  Physical Jou rn al  of  th e  F ran klin  I n stitute,  288, 3  (1969)  175- 201. 23.  G .  KI R C H H OF F , Ober die Auflosung  der  Gleichungen, auf  welche  man bei  der  Untersuchung  der  linearen Verteilung  galvanischer  strome  gefuhrt  wird, An n .  F h ys.  C hem .,  72  (1847)  497- 508. 24.  H . E .  K O E N I G ,  Elektromechanical  system  theory,  M cG raw- H ill  I n c., N ew  York  1961. 25.  K.  K O N K O L,  Generacja drzew  kompletnych,  Arch.  E lektrot.,  4  (1973)  843 -  860. 26.  fl.  K spn on ,  P .  Po3EiiBEPr,  T IpuMenenue  spafioe  censeii  e  MexauuKe,  MocKBa 1974  (tł um .  z ję z.  an g.: Bond  graph  modeling for  engineering  systems,  E d.  by  D .  K AR N O P P  an d R .  ROSEN BERG ,  N ew  York, U SA,  1972). 27.  J.  LAG ASSE,  Metoda  wykresu  przepł ywu  sygnał ów  w  zastosowaniu  do  analizy  obwodów  elektrycznych, Z N .  P oi.  Ś L, Autom atyka,  3  (1963). 28.  S. J.  M ASON ,  Feedback theory:  Some properties ofsignalflow  graphs,  P roc.  I R E . ,  41 (1953) 1144 - 1156. 29.  C .  M E 3O H 3  F .  U H MMEPMAH , 9jieKinpOHHue  ą enus  amianu  u cucrneMU, M3flaTejiŁCTB0 H H Ocip. Jlirrepa- Typti,  1963  (tł um.  ksią ż ki  S.  M ASON ,  H .  ZIM M ERM AN :  Electronic  circuits,  signals  and  systems,  N ew York  1960). 30.  W.  M AYED A,  S. L.  H AH I M I ,  W. K.  C H E N ,  N -   D E O ,  Generation  of  complete  trees,  I E E E  T ran s.  C T., CT- 15  (1968)  101 - 105. 31.  W.  M AYED A,  S. SESH U , Generation of trees without duplication, I E E E  T ran s.  C T ,  CT- 12  (1965) 181 -  185. 32.  G . J.  M I N T Y,  A  simple algorithm for  listing all  the trees of  a graph,  I E E E  T ran s.  C T , CT- 12  (1965) 120. 33.  J.  N AD RATOWSKI,  W yznaczanie drzew grafów niezorientowanych  w oparciu o algebrę  liczb  strukturalnych, Arch.  E lektrot., 2  (1970)  325 -   341. 34.  O.  O R E ,  W stę p  do  teorii  grafów, P WN , Warszawa  1966  (tł um .  ksią ż ki  —  Graphs and  their  uses, N ew York,  R an don  H ouse  1963). 35.  A. J.  P AU L,  Generation of  directed trees and2- trees  without duplication, I E E E  T ran s.  CT,  CT- 14  (1967) 354  -  356. 36.  W. S.  PERCIVAL,  Solution of passive  electrical networks  by means of mathematical  trees, J. I E E E , P a r t  I I I , 100  (1953)  143- 150. 37.  M .  PIEKARSKI,  L isting  of  all possible trees of  linear graph,  I E E E  T ran s.  C T , CT- 12 (1965)  124 - 125. 38.  M .  PsTROKOŃ SKi,  Iloczyn  liczb  strukturalnych,  Rozprawy  E lektrot.,  1  (1968)  3 - 8. 39.  V. V. B.  R AO ,  V.  G . K.  M U R T I , Enumeration  of  trees  a graph,  E lektr. Letters, 4  (1970)  103 -  104. 40.  R. C.  R E AD ,  Graph  theory  and  computing,  Academic  P ress,  N ew  York  an d  Lon don  1972. 41.  L.  R OBI C H AU D ,  M .  BOISVERT,  J .  ROBERT,  Grafy przepł ywu  sygnał ów,  PWN, Warszawa  1968  (przekł ad ksią ż ki —  Graphes de fluence,  Applications  a  l'elektrotechnique  et a l'elektron ique.  C alculateurs ana- logiques  et  digitaux  Eyrolles,  P aris  1961). 42.  S.  SESH U ,  M . B.  R E E D ,  L inear  graphs  and  electrical  networks,  Addison —  Wesley  R eadin g,  M assa- chusetts  1961. 43.  C.  CEiny,  H .  BAJIABAH H H ,  Auajim  nuueuHUx ueneii,  H 3fl.  F oe.  3 H e p r o  MocKBa  1963  (przekł . ksią ż ki  S.  SESH U ,  N .  BALABANTAN,  L inear  network  analysis,  N ew  Yo rk  1959). 44.  Cz.  SYC ,  W yznaczanie drzew  i  wieł odrzew grafów  opisanych  metodą   liczb  strukturalnych  binarnych  za pomocą   maszyn  cyfrowych,  Biul.  WAT,  10  (1968)  73 -  98. 45.  Cz.  SYC ,  Generowanie drzew  i multidrzew  multigrafów  metodą   liczb  strukturalnych  binarnych za  pomocą maszyn  cyfrowych,  R ozpr.  E lektrot., 3  (1969)  495 -   513. 46.  H .  T R E N T ,  Isomorphisms  between  oriented  linear  graphs  and  lumped phisical  system,  J .  Acoust.  Soc. Araer.,  27,  (1955),  500 -  527. 47.  J. G .  TR U XAL,  Control  systems  synthesis,  M cG raw- H ill,  N ew  York  1955. 48.  O.  WI N G ,  Enumeration  of  trees,  I E E E  T ran s.  C T ., CT- 10  (1963)  127 - 128. ZASTOSOWAN IE  G RAFÓW  I  LICZB  STRU KTU RALN YCH   559 49.  J .  WOJN AR OWSKI ,  Metoda  «graf»  wyznaczania  obcią ż enia  w  zał oż onych  przekł adniach  zę batych,  Z N I n stytutu  M echaniki i  P odstaw  Konstrukcji  M aszyn,  P oi.  Ś l.,  17/ 51,  G liwice  1973. 50.  J .  WOJN AR OWSKI ,  A.  BU C H AC Z ,  Zastosowanie  grafów  i  liczb  strukturalnych  do  wyznaczania  widma czę stoś ci drgań  wł asnych, VI  Sympozjum —  D rgan ia w  ukł adach  fizycznych.  Z biór streszczeń, P oznań 1974,  45  -  46. 51.  J.  WOJN AR OWSKI ,  A.  L I D WI N ,  T he application of signal flow  graphs for  the  kinematic  analysis  of plane- tary  gear  trains,  J .  M ech .  an d  M ach .  Theory,  10  (1975)  17 -  31. 52.  J .  WOJN AR OWSKI ,  Analiza  dyskretnych  liniowych  ukł adów  mechanicznych  o  skoń czonej  liczbie  stopni swobody metodą  grafów, P roc.  Polish- Czechoslovak Conf.  on M achine  D ynamics, 2,  (1971)  567  -  58ll 53.  J.  WOJN AR OWSKI ,  Graf jako  ję zyk  struktury  ukł adu,  Z N   P oi. Ś l.  M echanika, 52  (1973)  3 -  21. 54.  J.  WOJN AR OWSKI ,  A.  BU C H AC Z ,  O  moż liwoś ci  optymalizacji  ukł adów mechanicznych przy  uż yciu  liczb strukturalnych,  Sympozjon —  Optymalizacja  w  M echanice,  Z biór  referatów,  P TM TiS  Oddział G liwice  (1974),  303 -  315. 55.  J .  WOJN AR OWSKI , A.  BU C H AC Z , Analiza  i synteza  liniowych ukł adów mechanicznych metodą  liczb struk- turalnych,  M ateriał y  Konferencji  I n stytutu  M echaniki i P odstaw Konstrukcji M aszyn, 21/ 55, 2  (1974) 63  -  89. 56.  J .  WOJN AR OWSKI ,  A.  BU C H AC Z ,  O  sposobie  modyfikacji  wł asnoś ci  dynamicznych  metodą   liczb  struk- turalnych,  Sympozjon —  Optymalizacja  w  M echanice,  Z biór  referatów,  P TM TiS  Oddział   G liwice, 1975,  s.  253  -  260. 57.  J.  WOJN AROWSKI,  A.  BU C H AC Z ,  Grafy  i  liczby  strukturalne  wyż szej  kategorii  jako  efektywny  sposób modyfikacji  wł asnoś ci  dynamicznych  ukł adów  liniowych,  Z N   P oi.  Ś L,  M echanika, 53  (1975)  8- 13. 58.  J .  WO J N AR O WS K I ,  I7po  uoeuu  juemod onpede/ teHun  uatpy3Ku  e  CJIOOICHUX  ayBnamux  nepedauax,  P r o c . I X  Conference on  D ynam ics  of  M achines,  Smolenice 1974,  231 - 241. 59.  H .  WO Ź N I AC K I, Analiza  blokowych  ukł adów elektrycznych  metodą   liczb strukturalnych, Arch.  E lekt ro t , 2(1966)  347- 365;  3  (1966)  619- 631. 60.  S.  ZIEM BA,  Analiza  drgań ,  P WN , Warszawa  1959. 61.  A.  A.  3WK O BJ  T eopun  KOHSHHUX  spacfioe,  T . I  H 3fl.  «H ayKa»,  H OBOCH 6H PCK 1969. P  e 3  IO  m e n P H M E H E H H E  TPAcPOB  H   C TP YKTyP H BI X  ^ H C E J I  J\ JW   OITPEZtEJIEIfflS XAP AKTEP H C TH ^I EC KOrO  YPABH EH H H   H   CIIEKTPA  *I AC TOT B  paSoTe  paccMaTpi- reaioTCH   neKOTopwe  TonojioriraecKH e  MeTOfltr  onpeflejreHHH   xapaiyHKqHeS  CTpyKTypHoro HcnonB3yeTCH   ryra  T oro  ^ T O 6 M   noKa3aTB,  ^ITO  MOHCHO  3Ha^rnTenBHO  n p o n ie  nony^H TE  xapaKTepn- ypaBHeHHe  6e3  cocTaBJieHHH  flH (Ł4)epeH iJ,H aJibH bix ypaBHeHHii  nBuweHHH   CHcreMŁi.  I I paK- npHMeHeH.ne  onncbiBaeM bix  MexoflOB fleM OH CTpapyeTCH  Ha  npH M epax. S u m m a r y TH E  APPLICATION   OF   G RAPH S  AN D   STRU CTU RAL  N U M BERS  F OR D ETERM IN IN G TH E  EQU ATION   OF   STATE  AN D   TH E  SPECTRU M   OF  F REQU EN CY In  the  paper  the  authors  discussed  t'opological  methods  of  determining  the  etjuation  of  state  and  the spectrum  of frequency  for  linear  discrete  mechanical  systems. D escribing  a vibrating system by  a  functional model  and  a  therminal  graph,  the  methods  of  creation  of  such  equation  were  shown. 560  J .  WOJN AROWSKI,  A .  BU CH ACZ U tilizing  the relation  between  a graph  and a determinant function  of a  structural  number, the authors proved  that the characteristic  equation  and  the frequency  spectrum  can  be found  by a simpler  procedure, without  setting  the  differential  equations  of  motion. Practical  applications  of  methods  described  were  demonstrated  on  examples. IN STYTU T  M EC H AN I KI I  P OD STAW  KON STR U KC JI M ASZ YN P OLI TEC H N I KA  Ś LĄ SKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  9  sierpnia  1974  r.;  w  wersji  ostatecznej dnia  12  lutego  1975  r.