Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  12  (1974) ANALIZA  NIELINIOWYCH  S AMOWZBUDNYCH  CYKLÓW  GRANICZNYCH DRGAŃ  POWŁOKI  O  MAŁYM  WZNIOS IE  W  NIELINIOWYM  OPŁYWIE NADDŻ WIĘ KOWYM BARBARA  G A J L  (WAR SZ AWA) 1.  Wstę p W  dotychczasowej  literaturze, zajmują cej  się   zagadn ien iam i  aerosprę ż ystoś ci  ukł adów powierzchniowych  w  opł ywach  n addź wię kowych,  zajmowano  się   wyznaczaniem  krytycz- n ych wartoś ci param et rów, okreś lają cych  granice  statecznoś ci drgań  samowzoudzonych  — był y  to  badan ia  ukł adów  zlin earyzowan ych;  rozpatrywan o  także  cykle  graniczne  w  pro- blem ach  nieliniowych  dla  pł askich  pł yt  przy  zał oż eniu  liniowoś ci  sił   aerodynamicznych i  bez  uwzglę dnienia  tł um ien ia  m ateriał owego  [3]. N ieliniowe  zagadn ien ie  drgań  sam owzbudn ych  powł ok  o mał ym wzniosie  i  skoń czonej dł ugoś ci  wymaga  zastosowan ia  nieliniowej  aerodyn am iki  z  uwzglę dnieniem  wpł ywu  opł y- wu  stacjonarnego  n a  opł yw  n iestacjon arn y.  Jak  wykazał y  analizy  przeprowadzone w  pra- cach  [ l i i  12], wartość  poprawek  wynikł ych  z  uwzglę dnienia  kształ tu powł oki  i  nielinio- woś ci  drgań jest  n iepom ijaln a. W  niniejszej  pracy  okreś lono  cykl  graniczny  dla  pewnych  warunków  począ tkowych, pokazan o  zm ienność  w  czasie  przemieszczeń  pun któw  powł oki  i  zmienność  w  czasie funkcji  A„(t),  bę dą cych  skł adowym i  szeregu  okreś lają cego  wielkoś ci  przemieszczeń  nor- m aln ych  powierzchni  powł oki.  U wzglę dn iono  tł umienie  materiał owe wg  modelu  Voigta oraz  nieliniową   zależ ność  ciś nienia  od  drgań  powierzchni  powł oki i  wpł yw  opł ywu  stacjo- n arn ego  n a  opł yw  n iestacjon arn y.  Przyję to  stał e  krzywizny  w  kierunku  podł uż nym i  po- przecznym .  Z astosowan o  techniczną   nieliniową   teorię   powł ok. Rozwią zanie  n a  przem ieszczenia  n orm aln e  powierzchni  powł oki  przedstawiono  w  po- staci  podwójnego  szeregu  funkcji  wł asnych  i  zastosowano  ortogonalizacyjną   metodę G alerkin a  w  celu  sprowadzen ia  nieliniowego  równ an ia róż niczkowego  czą stkowego  czwar- tego  rzę du  do ukł adu równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  drugiego  rzę du. U kł ad  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  przedstawiony  w  postaci  bezwymiarowej rozwią zano  n um eryczn ie. Obliczenia  został y wykonan e  n a elektronowej  maszynie  cyfrowej G I E R .  D o  program u  wł ą czono  duń ską   procedurę   M ersno  opartą   n a  znanej  metodzie numerycznej  R un gego- Kutta. P rzykł ad  obliczon o  dla n astę pują cych  p aram et ró w: liczba  M ach a M   =   3; L jh  oznacza stosun ek  dł ugoś ci  powł oki  do  jej  gruboś ci  =   240;  dla  wartoś ci  krzywizny  poprzecznej 1 podł uż nej k x   =   k z   =   0,08  oraz  dla  wzniosu  s  =  0,08.  W  oparciu  o  wcześ niej  przeprowa- dzon e  rozważ an ia  przyję to  ilość  fal  podł uż n ych  n  =   4  i  ilość  fal  poprzecznych  m  =   1, 2  Mechanika  Teoretyczna 18 B.  G AJL czyli  rozwią zywano  w  przykł adzie  ukł ad  czterech  równ ań .  P rogram  dla  maszyny  liczą cej n apisan o w  ten sposób,  iż moż emy  dowolnie  zmieniać warun ki  począ tkowe,  liczbę   równ ań w  ukł adzie  oraz  param etry  przepł ywu  i  powł oki.  Liczenie jest  bardzo  pracoch ł on n e,  gdyż obliczanie  jednego  pun ktu  pł aszczyzny  fazowej  trwa  dla  maszyny  G I E R  okoł o  3  m in . Z  tego wzglę du  ograniczono  się   do jedn ego  przykł adu. 2.  Równania  problemu Rozpatrujemy  powł okę   o  mał ym wzniosie  i  skoń czonej  dł ugoś ci, której  rzu t  n a  pł asz- czyznę   xz  m a  dł ugość  b  i  szerokość  L .  Przyjmujemy,  że  n a  krawę dziach  powł oki  są   speł - n ion e  warunki  podparcia  przegubowo- przesuwnego.  Przyjmujemy  pon adto,  że  powł oka stanowi  czę ść  nieograniczonej  pł aszczyzny,  która  poza  powł oką   jest  n ieodkształ caln a. P owł oka  jest  opł ywana  z  jedn ej  strony  naddź wię kowym  strum ieniem  gazu  idealnego o  prę dkoś ci  U w  kierun ku  równoległ ym  do  osi  x.  N iesprę ż ystość  m ateriał u powł oki  uw- zglę dniono  przez  wprowadzenie  m odelu  Voigta. Rys. 1 Z agadnienie  przedstawiamy  w  postaci  bezwymiarowej.  Wprowadzam y  nastę pują ce oznaczenia:  g 0   oznacza  gę stość  powietrza  w  nieskoń czonoś ci,  współ rzę dne  x,  z  i  prze- mieszczenie  ś rodkowej  powierzchni  powł oki  w  kierun ku  n orm aln ym w(x,  z,  t)  odnosim y do  szerokoś ci  powł oki  L   i  oznaczamy  odpowiednio  x,  z,  w(x,  z,  t).  G ł ówne  krzywizny k x   i  k z   odnosimy  do  l / L i  oznaczamy  przez  k x   i k z .  F unkcję   n aprę ż eń Airy'ego  0(x,  z,  t) I  _ odnosimy  do  - T - Q 0  U 2 L 3  i  oznaczamy  przez  (x,  z,  t),  ciś nienie  zaś  Ap(x,  ź,  t)  odnosim y do  ciś nienia  dynamicznego — Q 0  U 2  i  oznaczamy  przez Ap(x,  z,  t).  P rzez N   oznaczam y  sił y dział ają ce  n a jedn ostkę   dł ugoś ci przekroju  powł oki, odnosim y je  d o — Q 0  U 2 L   i  oznaczam y w  zależ noś ci  od  kierun ku  dział ania odpowiednio N x iN z .  Czas  T  odniesiony jest do  ilorazu L / U  i  oznaczony  przez  t, współ czynnik  zaś  tł um ienia  m ateriał owego  do  L ja 0   i  oznaczony przez  6;  a 0   oznacza  prę dkość  dź wię ku. AN ALIZ A  N IELIN IOWYCH   SAMOWZBUDNYCH   CYKLÓW  GRANICZNYCH   DRGAŃ   POWŁOKI  19 Stosujemy  techniczną   nieliniową   teorię   powł ok,  która  jest  szczególnym  przypadkiem nieliniowej  teorii  mał ych  odkształ ceń  (zlinearyzowanej  wzglę dem  skł adowych  wektora przemieszczenia,  stycznych  do  powierzchni  podstawowej  powł oki)  i  mieś ci  się   ponadto w  ramach  zał oż eń  Kirchhoffa- Love'a.  Z a  powierzchnię   podstawową   przyjmujemy  ś rod- kową   powierzchnię  powł oki. Równania  ruchu  powł oki w ukł adzie  bezwymiarowym  mają   nastę pują cą   postać: • + 4 8 2 w  8*&  1 +Ap \ >8x8z  8xdz gdzie 6 oznacza tł umienie materiał owe, Aj  =   \ 2{\ - v2){L lhy Qs aljE, (2.3)  A2 =   12(.l- v 2 )(L lhy eo a 2 0 l2B, A8  =   2Eleoal{hjL ); M  oznacza  liczbę   M acha, v —  współ czynnik  P oisson a,  E —  moduł   sprę ż ystoś ci  Younga, Qs —  gę stość materiał u powł oki, h —  grubość  powł oki, zaś  Ap  jest  róż nicą   ciś nień dział a- ją cą   na  powierzchnię   powł oki i wyraża  się   wzorem (2.4)  Ap  = s i 6 są   mał ymi param etram i i mają   ten sam sens co w [11 i 12], wyraż enia  zaś na skł adowe ciś nienia są  podan e w  [12]. 3.  Okreś lenie  funkcji  naprę ż eń Rozwią zania  ukł adu równ ań  (2.1) i  (2.2) bę dziemy  poszukiwali  w  postaci  podwójnego szeregu  funkcji  wł asnych (3.1)  w(x,  z, t)  =  2J  ^ J  A nm (t)s'mn7ixsm—^ - z, n  m gdzie nim  są . liczbą   fal  w  kierunku  podł uż nym i poprzecznym, a X —  b\ L  — wydł uż eniem powł oki. Rozwią zanie  równ an ia  (2.2) przedstawiamy  ja ko  sumę   rozwią zań (3.2)  ®(x,z, t) m  0 1 (x,z,t)+0 2 (x,z,t), gdzie 0 1 (pc,z,  t) jest rozwią zaniem  ogólnym równ an ia jednorodnego, natomiast 0 2 {x, z, t) jest  rozwią zaniem  szczególnym  równ an ia peł nego. 2 * 20  B.  G AJL Rozwią zanie  ogólne  przedstawiamy  za pomocą  wzoru  [1] (3.3)  *!( *,  z, t)  -   ~(N x z 2   +Ń z x 2 - 2N xz xz), gdzie Ń X ,Ń Z ,  Ń xz   są pewnymi  stał ymi, uzyskanymi  z  cał kowania; zakł adamy mianowicie, że  ś rednie  przemieszczenie  powierzchni  w  kierunkach  x  i  z jest  równe  zeru  i  zapisujemy to  w postaci i  A  i  A 0  0   0   0 gdzie  u(x, z, t),  v(x, z, t)  oznaczają  bezwymiarowe  przemieszczenia  w  kierun kach  osi xi  z. Z a l e ż n o ść  m i ę d zy  p o c h o d n y m i  uiv  a. fu n kc ją  Ai r y' e go  je s t  n a st ę p u ją ca  [ 1 ] : (3.5) gdzie (3.6)  N x   =   "  *^ , P o  podstawieniu  (3.1) do (3.5), a nastę pnie do (3.4) i wykonaniu  cał kowania otrzymu- jemy (3. 7) Z  (3.1) drogą  prostych  przekształ ceń  otrzymujemy (k+k)  £  J^ n 2\   -   -   ć - i  ć - i  nm n  m ^ y j  *   J n  m :2  {K+ x ) 2^ 2J   n jri"'"(  o t 1 - „  •  o. AN ALIZA  NIELINIOWYCH   SAMOWZBUDNYCH   CYKLÓW  GRANICZNYCH   DRGAŃ   POWŁOKI  21 Podstawiają c  (3.7), (3.8)  i  (3.9)  do  (3.3)  otrzymujemy  nastę pują ce  wyraż enia  n a pochodne funkcji  n aprę ż eń: Rozwią zanie  szczególne  równ an ia  (2.2), a  tym  samym  i  wartoś ci  funkcji  & 2 (x> z,  t), okreś lamy  w  sposób  nastę pują cy.  P odstawiamy  (3.1)  do  równania  (2.2)  i  otrzymujemy (3.11)  V2 V2 0 2 ( *,  z,  t)  =   - ĵ TWy  2J  ZJ  A- i  2   A «m n  m  s  Q mn  ^ ^  qn   m   n 2 n  m  s  q .  qn  ,  V-   V i F .  Im•   rmc  ,_qn  _ ,  ,.  \ ^  \   1 1 ,  /  m \   , t . , L  , ,x  ...  .  .  .  mw n  m Poszukujemy  rozwią zania  równ an ia  (3.11)  z  warun kam i  brzegowymi 2   dz  =  0,  dla  x  =  0  oraz  JC =   1; (3.12)  6  ° / 8 2 & 2   C  8 2 & 2 —T r- z- dx =  0,  -   „   dx  =   0 ,  d l a  z  =   0  o r a z  z  =   A. <9*2  '  J  8xdz  ' o  o Równanie  (3.11)  przekształ camy do  postaci (3.13)  V2 V2 0 2 ( x,  z,  0  =   ~ n  m  s  g x  cos- y(m—q)z[nq(tns+nq)cosn(n  +s)x+nq(ms~nq)cos7i(n- s)x]  + X  J ,  V  V i " ,  / > " \ 2  r  ,1  ,  ,  \   •   .  WMI  1 +n  >  / _;  *"\ T /   + ^ M  M nrnvOsm w^^sin—pzJ. Z akł adamy  rozwią zanie  (speł niają ce  warunki  brzegowe  (3.12))  w  nastę pują cej  postaci: (3.14)  & 2 (x,  z,t)  —  /   /   /   /   A„ m (t)A sq (t)  \ cos—(m  — q)z[A 1 cos7i(n+s)x  + n  m  s  Q _  j 1  '  I mn ;. 22  B,  G AJ L Przewidywane  rozwią zanie  (3.14)  podstawiamy  do (3.13)  i  otrzymujemy  równanie na współ czynniki. Z tego  równania  okreś lamy X 3 nq{ms+nq) ^ • y  " 2  > n  i *.\   r  l 3 nq{ms- nq) ( i. 15)  C i =   -   — p —  —?  .  v 2 - ,2 , X z nq{ms+nq) 2  ' rł 1  ~ Podstawiając  (3.15)  do  (3.14)  otrzymujemy  rozwią zanie  szczególne  dla  O 2 (x,  z, t). 4.  Redukcja  równań Mając  okreś loną  funkcję  naprę ż eń  <£>{x, z,  t)  moż emy  sprowadzić  róż niczkowe  czą st- kowe  równanie  ruchu  powł oki  (2.1)  do  równania  róż niczkowego  zwyczajnego  drugiego rzę du  (wzglę dem  czasu 0 podstawiając  uprzednio do  (2.1) rozwią zanie  zał oż one w  postaci szeregu  funkcji  wł asnych  (3.1) i odpowiednie pochodne funkcji  naprę ż eń (x, z, t). Zapisujemy  równanie  (2.1) w postaci (4.1)  J P [ w( *, *, f) ] «"O . P o zastosowaniu  ortogonalizacyjnej  metody  G alerkina  otrzymamy  ukł ad  równ ań  róż- niczkowych  zwyczajnych  drugiego  rzę du i  x (4.2)  /  J  J? [w(x,  z,  0 K ( x ,  z)dxdz  =  0, o  o gd zie l,r  =  1 , 2 ,  3 , ..., zaś (4.3)  W i r {x, z)  =   sintocsin—- .-z A jest funkcją  ortogonalizują cą. AN ALIZA  NIELINIOWYCH   SAMOWZBUDNYCH   CYKLÓW  GRANICZNYCH   DRGAŃ  POWŁOKI 23 Jeż eli  zał oż ymy,  że  funkcja  opisują ca  powierzchnię   f(x,  z)  =   sinwxsin(jr/ X)z  i  pod- stawimy  ją   do  (2.1), t o  ukł ad  równ ań  opisują cy  drgan ia  powł oki  przybierze  postać [ 4  V  \ n AjM 2  Z J  [|9  ( I + n ) ( '  "> P odajemy  teraz  listę   oznaczeń  symboli  wprowadzon ych  w tym równaniu.  X, X x ,  X 2 , oraz  M  są   okreś lone  wzoram i  (2.3)  i  (3.1).  P o n ad t o (4.5)  j8 y —  wykł adnik  adiabaty,  s  jest  okreś lone  wzorem  (2.3),  A4  •   12X(L / h) 2 , ) = 0  dla =   l/ 4  dla ,,)  =   0  dla  (I+ń )2  =   0. (4.6) gdzie n  m  s  q =   0 Pmą r   = = dla dla dla  (l+s)2  =  0; 24  B.  G AJL J  r  1 — (— n w- (9Tr)  1  _ C _ 11'"+ ( 9T r ) "| d l a (4.7)  M I r  = n  m  s  q gdzie d l a dla  ( / + ^ ) 2  =   n2  #   0, j8 m s r  o kr eś lo no  wzo r em  (4.6). (4.8)  Hlr  =   ł [ ^ gdzie a )  =   0(1+ 1X1- !)  - d l a dla x (r±i)   —  O  d la  r 2  =£ 1, ^(r- i)  m- s"  dla  r  =   1, % ( r + 1 )  =   O  dla  r  =  \ , 1 — ( —l ) ł X; =   - 4——  d la  ka ż d e go  / . Uli AN ALI Z A  N IELIN IOWYCH   SAM OWZBU D N YCH   CYKLÓW  G RAN ICZN YCH   D RG AŃ   POWŁOKI  25 = 0  dla  (/±1) 2  = 1, = 0  dla  (/+1) m 0, (4.11) gdzie =  - A[ T ( 1 - (; 1 ) r ) ± ( 1 - ^f 2 )]  dia  (.ii) 2 ^, = 0  dla  (r±l) 2  = l, = —  dla  (r±l) = 0. (4.9) dla  « 2  ?* / 2 , y ( I ± B )  -  0  dla n 2 = l 2 , 1 _/ p _iV' ! "+ 1 +  ,v;:,—  dia  (/+«) = 0  dla (l+n) 2 = 1, f n )  =  0  dla  ( / + K ) =  0. (4.10)  C  =  Ak x +Bk x , gdzie n nm n  m 26  B.  G AJL (4.12)  A, =  ]££  £2  A nm (t)A sq (t n  m  s  q + j- !) +   k z (n- s) 2   +k x [—j—I gdzie  A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1   okreś lono  wzorem  (3.15), +   «+ J + /  J n + s- ,)  =  0  d k l —(—iy- (m+ «) i_f_iy+ >»+ « "I r+w J +g  J J r, d k  ( « - ap- (i»- »)ii:i+ {»4«)] =  °  d k  (n- s)2  =  I 2, X  F  i- (_iy- c»- a)  i_(_iy+ (m- ,) "l ^ ' ^ ^ ' • hl  r- ( ? K- g)   +   r +  (m- ri  J  d k  ^ "  ̂  ̂̂ Ą r+ (m- «)][r- (m-8)] =  0  d k  (jn- q) 2  =  r 2. (4.13)  F"  = 2 S S S  M0A nm (t){[(jn) 2  + (im) 2 ] x x  aini ftmr -  2ijrtmaf nl  Pj mr }  E t , gdzie Ą  okreś lono w (3.15) =   0  d k  / 2 =  (i+n)2  *  0, =   °  dk  /  =  (iT ń ) =  0, n -  ( -  iy- o= f»)  i _ AN ALI Z A  N I E LI N I OWYC H   SAMOWZBU D N YCH   CYKLÓW  G RAN ICZN YCH   D RG AŃ   POWŁOKI  27 (4.14) gdzie (4.15) 0 0 dla  r2  m  (j+m)2  *  0, dla  r  =   (j+m)  m  0, i l  = i  _ / d i a 0 0 dla  n2  =   (l+s)2  *  0, dla  B -   (l^ s)  -   0, g r  okreś lono  wzorem  (4.6). i  j  n  m  s  q i 2 (m gdzie  ^ i ,  JBX ,  C t ,  X>t  okreś lono  wzoram i  (3.15), dla dla 0 , «+ i)(ici)  =   Y  dla  (n+s)  =   (/ + / )  =   0. F ł i)  =   0  dla -   ^r  dl a "(m+qKffJ)  =   - j  d l a  (tn+q)=  (r+j)  =   0. 28  B.  G AJL =   o  d l a - - J" •   dla -   - j  d l a P(m- q)jr   = =   "( m - 9) ( r- j)  ~  "( m «(«- «)(r?J) =  °  d l a  (m- q)2 «(m- 8)("tj)  =  - J   d l a   (m- q)  = (r+j)  =  0. 5.  Obliczenia  numeryczne  i  wnioski  koń cowe W celu okreś lenia zmiennoś ci przemieszczeń drgają cej  powł oki w czasie i zbadan ia  cyklu granicznego  rozwią zano  numerycznie  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  nieliniowych  (4.4). Z astosowano  m etodę   Rungego- Kutta  jako  bardzo  dokł adn ą   i  dają cą   się   stosun kowo ł atwo zaprogramować  dla elektronowych  maszyn  liczą cych.  Oprócz  tego  waż ną   zaletą   tej metody jest  moż liwość  zastosowania  zmiennego  odstę pu,  co jest  szczególnie  waż ne  przy poszukiwaniu  cyklu  granicznego. N umeryczne  obliczenia  wykonano  n a  cyfrowej  maszynie  m atem atycznej  G I E R  dla powł ok  duralowych  (JE  =   7,2-   109kG / m 2,  v  -   0,3,  Q s   =   285kG / sek2/ m 4) . W  opł ywie  n a  poziomie  m orza  a Q   — 340m/ sek,  Q 0   =   0, 125kG / sek2/ m 4.  Przyję to do  obliczeń  wydł uż enie  X  — 1, maksymalny  wznios  s  =  0,08  i  stał e  krzywizny  w  kierun ku podł uż nym  i  poprzecznym  k x   =  k.  — 0,08.  P on adto uwzglę dniono  tł umienie m ateriał owe i  przyję to  wartość  6  =  0,2.  Obliczenia  wykonano  dla  liczby  M ach a  M  =   3  i  dla  wartoś ci L / h  przyjmowanych  w  konstrukcjach  lotniczych. Wyznaczono  cykl  graniczny  dla  iloś ci  fal  poprzecznych m  =  1  oraz  liczby  fal  podł uż- nych  (w  kierunku  przepł ywu)  n  — 4.  Wybór  param etrów  e  =   0,08  i  M  =   3 jest  podykto- wany  tym, że dla tego zestawu  moż emy stosować  teorię  potencjalnego  przepł ywu  w  drugim przybliż eniu,  nie  wprowadzają c  bł ę du  w  stosunku  do  teorii  skoś nej  fali  uderzeniowej. Tł umienie  materiał owe  6  =   0,2  jest  typowym  tł umieniem  dla  konstrukcji  lotniczych, a  poza  tym  nie  m oż na go  pom iną ć ze  wzglę du  n a  t o , że  wprowadza  destabilizację   ukł adu w  zakresie  badanych  param etrów.  Obliczenie  przeprowadzon o  dla  wielkoś ci  typowych dla  konstrukcji  lotniczych,  ponieważ  w  tej  dziedzinie  istnieje  najwię cej  ustaleń  dotyczą - cych drgań  samowzbudnych  typu  f latteru. Badanie  przeprowadzono  dla  liczby  fal  podł uż nych n  =   4,  gdyż  za  pom ocą   czterech wyrazów  szeregu  F ouriera  m oż na  z  dużą   dokł adnoś cią   aproksym ować  szeroką   klasę AN ALIZA  NIELINIOWYCH   SAMOWZBUDNYCH   CYKLÓW  GRANICZNYCH   DRGAŃ   POWŁOKI  29 funkcji  gł adkich.  Wartoś ci  rozwią zań  niewiele  zmieniają   się ,  jeż eli  wprowadzimy  liczbę funkcji  wł asnych wię kszą   od czterech. P rogram  napisany  jest  w  ję zyku  G I E R  —  Algol  4. Rozwią zujemy  n  równ ań  róż niczkowych  drugiego  rzę du.  D o  program u  wł ą czona jest duń ska  procedura  M ersn o  rozwią zują ca  z dowolną   dokł adnoś cią  n równań  róż niczkowych zwyczajnych  pierwszego  rzę du. P rogram  przystosowany  jest  do  dział ania n a  pamię ci  szybkiej  (operacyjna  plus bę ben). Realizacja  program u  wym aga  wprowadzenia  z  taś my  oś miokanał owej  nastę pują cych danych  w  kolejn oś ci: n  liczba  równań drugiego  rzę du, y[l:  2n]  warunki  począ tkowe  n a zmienne, a nastę pnie na pochodne, x  wartość począ tkowa  czasu, x 2  wartość czasu, od którego  liczymy, x 3  dł ugość kroku, x 4  koń cowa wartość  czasu, M   liczba M acha, L jh  stosunek  dł ugoś ci powł oki do jej  gruboś ci, k x   krzywizna  w kierunku  podł uż nym, k z   krzywizna  w kierunku poprzecznym, dok  dana dokł adnoś ć. Wyniki  otrzymujemy  n a  drukarce wierszowej  w  nastę pują cej  kolejnoś ci:  A t (t)...  A„(t), A±(t)   ...  A„{t).  Są   one  pun ktem  wyjś ciowym  do  obliczenia  przemieszczenia  W (t)  i  prę d- koś ci  przemieszczenia  W {t)  w  każ dym  pun kcie  badan ego  obszaru  powł oki.  N a  tej  pod- stawie  sporzą dzono  wykresy  n a  pł aszczyź nie  fazowej  dla  punktów  o  współ rzę dnych  x  = =   0,75;  z  =  0,52  oraz  x  =   0,25;  z  =   0,5A  (rys.  2,  rys.  8)  oraz wykresy  zmiennoś ci  funkcji A n {t)  (rys.  4,  5, 6, 7). P okazan o  zm ienność przemieszczeń  w  czasie  n a  rys.  3 i  rys.  9  dla  wyż ej  wymienionych pun któw. Z  podan ych  przebiegów  n ależ ał oby  wnioskować,  że  ustalenie  się   drgań  samowzbudzo- nych  nastę puje  mię dzy  siódm ym  a  dziewią tym  cyklem  i  dla  danych  param etrów,  n p.  dla pun ktu  x  =   0,75,  z  =   0,5,  m aksym aln e  wychylenie  przyjmuje  wartość  dziesię ciokrotnie wyż szą   od  dan ych wychyleń  począ tkowych. Obliczenia  w  zakresie  rozważ an ego  tem atu  wykon an o  dla  zał oż onych  nastę pują cych warun ków  począ tkowych: A^ O)  =  0,1  •   10"2 ,  A 2 (0)  m  0,08  •   10- 2, A 3 (0)  m  0,06  •   10- 2 ,  AM  =  0,04  •   lO "2 , 4. ( 0)  =   0, gdzie  n  =   1, 2, 3, 4,  co  daje  dla  pu n kt u  x  =   0,75,  z  =   0,5  wartość  wychylenia  W ifS) = =   0,03  •   10- 2 ,  W (Q) =  0. Obliczenia te mają   n a celu ustalenie ch arakteru zm ian zachodzą cych w  okresie  ustalania się   drgań  sam owzbudnych. / / / i II l i i  lj U/ ft  ' \  1 V K 1 sl \ /i i, if 7 i j / / \ \ \\ \ \ (/ / n s \ w(t)­1Oz' / / i n i \ z' ,/ / / • ^ ^ s \ 0,15 Ifo 0,05 • ' 0 ­0,05 ­0,10 ­0,15 ~o?a ­— * • — . — — s —  ^ s s N \ \ )r°y 00' ­ ­ •* X'O,75  . Z­Q5Z \ V V V \ \ \  N \ \ \ 0.1 \ li / / y y I 1 1 / // / M'3 Llh­Z4L 8­0,2 'e4,08 \ \ \ \ \ V 0,15 / // 11 1 \ \X \ wlt)1  \a,20' f Rys. 2 Ą 0,1 0 ą z o/ t - IO2- wft) \   J U / \ u  \ 1 //z J z- 0,5X 0 130 1  1 n*4,  n 9=0,2 I \ l A / r\ k i \ \ \^ \ s / ' / f / i * * * * * y / / U- k y h i i - 0,05 \ W \ \ \ ^ • < \ ^ ^ — > m • Ę JO / ' \ - Oflb - a® - 0,2(1 w(t) wo _^ 1O Z - - -- / \ \ \ V 1s ! // / \ \ \/ ^- £ 15 z- 0,52 N \ T~ i 1 ; r« / ł i / / \ a i rn- 1 Z=1 M'3 L / h=24 B=QZ \  e- 0,t \ I5 - 4 i ~t~ \ \ \ \ i i i 10,, 11 1 0 18 Mt) 0 Rys. 8 [ 3 2 ] AN AL I Z A  N I E LI N I O WYC H   SAM O WZ BU D N YC H   C YK L Ó W  G R AN I C Z N YC H   D R G AŃ   P OWŁ OKI  33 i 0 , 3 0 , 2 0 , 1 0 0 , 1 0,2 cm \ \ YlD \ j\ \\\ f i VJ 3 z~0,5A \ \ V.r * L/ h \ \ V 4,  m =240, r f 6=0,2,  kx=kz= • !~0,08 \ I  so\ Is 0 R ys.  9 L it e r a t u r a  cytowan a w t ekś cie 1.  B . B .  E O JI O T H H , HeKOHcepeamusubie  3adauu  tneopuu  ynpyioii  ycmouweocmu,  MocKBa  1961. 2.  C z .  WO Ź N I AK,  N ieliniowa  teoria  powł ok,  P WN , Warszawa  1966. 3.  E AR L  H .  D O W E L L ,  N onlinear  Oscillations  of  a  Fluttering  Plate,  AJ AA  J., 4,  N o .  7,  1966. — AJAA J. N o .  10, 1967. 4.  Z .  D Ż YG AD Ł O,  Analiza  drgań  nieautonomicznych  ukł adów  powierzchniowych  w oplywie  naddź wię kowym, D o d a t e k  d o Biul. WAT  N r 7  (191),  Warszawa  1968. 5.  M .  H O L T ,  S. L .  S T R AC K ,  Supersonic  Panel  Flutter  of  a  Cylindrical  Shell of  Finite  L ength,  J . A.S.,  N o . 3, 1961. 6.  M . D .  O L S O N ,  Y. C .  F U N G ,  Comparing  T heory  and  Experiment  for  the Supersonic  Flutter  of  Circular Cylindrical  Shells,  AYAA  J., N o . 10,  1967. 7.  L . L.  C AR T E R ,  R . O .  ST E AR M AN ,  Some  Aspects  of  Cylindrical  Shell  Panel  Flutter,  AYAA  J.,  N o . 1, 1968. 8.  Z .  D Ż YG AD Ł O,  S.  K AL I S K I ,  L .  S O L AR Z ,  E .  WŁ O D AR C Z YK ,  Drgania  i fale,  P WN , Warszawa  1966. 9.  N . W.  M C L AC H L AN ,  Równanie  róż niczkowe  zwyczajne  nieliniowe  w fizyce  i  naukach  technicznych, P WN ,  Warszawa  1964. 10.  B. P .  D E M D Owtcz,  Y. A.  M AR O N ,  E . Z .  SZ U WAŁ O WA,  Metody  numeryczne,  cz.  I I , P WN , Warszawa 1965. 11.  B.  G AJ L ,  Pressure  Acting  on  the  Oscillating  Surface  of  an  Airfoil  in N onlinear  Supersonic  Potential Flow,  P r o c .  Vibr.  P r o b l. ,  Warsaw,  1, 9, 1968. 12.  B.  G AJ L ,  L a pression  sur la surface  vibrante  de I'aile dans  I'dcoulement  supersonique  la deuxihne  approxi- mator,  F lu id  D yn a m ic s  T r a n sa c t io n s,  4, 191- 201, 1969. P  e 3  IO  M  e A H A J I H 3  H E J I H H E f t H L I X  AB T O K O J I E B AT E J I b H b l X  n P E fl E J I B H b l X O B O J I O ^ K H   B  H E J I H H E f t H O M   C B E P X3 B YK O B O M   I T O T O K E B  p a 6 o i e  paccMOTpeHŁi  H enjmeftH bie  3afla*in  aBioKOJie6aHHfi  n o jio rn x  oeoircraeK  KOHetmoft B  K o r o p t r x  yiH TbiBaioTca  HejiHHeHHfcie  aspoflHHaivurqecKHe  HBJieHHK  H  3aBHcHM0cib  H eciarraoH apH oro 3  Mechaaika  Teoretyczna 34  B.  G AJL OT napaMCTpoB crauiioH apH oro TetjeHHH. KpoMe  Toro  yHHTbiBaeTCH  fleiYimpH poBaH H ej CBH3aH- Hoe  c  (J)H3iraecKHMH   CBoScTBaMH   M aiepnajia  oSonomca,  oimcbiBaeM oro  MOflejitra  O o ft r r a . PemeH H e  H JIH   HopiwaJiwibix  n epeM em eion i  cpeflHHHoft  noBepxHOCTH  o6ojiot«ym