Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  12  (1974) D RG AN IA  P O P R Z E C Z N E  U KŁAD U   D WÓ C H   BELEK  P OŁĄ CZ ON YCH E LE M E N TE M   SP R Ę Ż YSTYM Z BI G N I E W  O N I S Z C Z U K  ( K R AK Ó W) W  pracy  rozpatrzon o  poprzeczn e  drgan ia  ukł adu  zł oż onego  z  dwóch  belek  pryzma- tycznych  poł ą czonych elem entem sprę ż ystym.  G ó rn a belka  opatra jest  koń cami n a  sztyw- nych  podporach , doln a zaś jest  podwieszon a  n a pierwszej  za pomocą   sprę ż ystego  elementu n a  cał ej dł ugoś ci belki  (rys.  1). wy Rys.  1. Model  ukł adu  drgają cego W  przybliż eniu  m odel  ten  odpowiada  n iektórym  typom  suwnic  wzglę dnie  mostów, ponieważ  w  takich  kon strukcjach  dość rzadko  spotyka  się   przypadek,  aby  dź wigary noś ne miał y  stał e  przekroje  poprzeczn e,  a  takie  został y  przyję te  w  modelu.  Kratowe  (lub inne) poł ą czenie  dź wigarów  został o  zastą pione  liniowym  elementem  sprę ż ystym. D la  t ak  zbudowan ego  m odelu  rozpatrzym y  drgania  swobodne  belek  oraz  drgania wymuszone,  wywoł ane  h arm on iczn ie  zmiennymi  sił ami  skupionymi,  przemieszczają cymi się   ze  stał ą , prę dkoś cią   p o  belce  doln ej. P racę  należy  traktować ja ko  wstę pny  krok  do  szerszej  analizy  postawionego  problemu. Analiza  t a  bę dzie  przeprowadzon a  dla róż nych  sposobów  podparcia belki  górnej  i róż nych rodzajów  obcią ż eń. 1.  D rgania  swobodne Przyjmujemy  nastę pują ce  zał oż en ia:  a)  ukł ad  nie  jest  tł um ion y, b)  belki  mają   stał e przekroje  poprzeczn e i  stał e m om en ty bezwł adnoś ci. 72 Z .  ON ISZ CZ U K Ozn aczen ia: /   cał kowita dł ugość belki, Fi,F2,Ji,  J2  przekroje  poprzeczne i momenty bezwł adnoś ci belek, W L =   W i(x, i)  przemieszczenie przekrojów  górnej  belki, w 2   =   W i(x, t)  przemieszczenie przekrojów  dolnej  belki, x  współ rzę dna okreś lają ca  poł oż enie danego przekroju, t  czas, k  współ czynnik sprę ż ystoś ci  elementu sprę ż ystego, Q  gę stość  materiał u  belek, E  moduł   Younga, li  rozstaw  belek. R ó w n a n i a  r u c h u  ukł adu  (rys.  1)  mają   nastę pują cą   p o st ać: (1) - wj)  =  0, (2) (3) Warunki  brzegowe: w  tn  *\   . w 8 2 w 2 8x 2 (0,0 - wt( / 8x 2 ,t)- =   0, ri u, 8 2 w 8 3 w 2 8x 3 (0,0 (0,0 8 2 W i 8x 2 '  8x 3 Warun ki  począ tkowe: W i(x, 0) _ f^ x),  \ v 2 {x, 0)  =   f a (x), (4) dt dt (x,0) (5) U kł ad  równ ań  (1),  (2) sprowadzamy  do postaci: .  32w,  ,  , =   0 , =   0 . (6) Izie (7) EL dt 2 k i  - 1 , 2. U kł ad  równ ań  (5), (6)  rozwią zujemy  m etodą   F ouriera,  przewidują c  rozwią zania  w po- staci: (8) wi(x,t)=Xt(x)T «),  im  1,2: D R G AN I A  P OP R Z EC Z N E  U KŁAD U   D WÓC H   BELEK  73 P odstawiają c  (8) do  (5),  (6)  otrzymujemy b t   b,X 2   T ^ a\   afx["  a\ f~  >' X,  a\   'a\ Xn  aff b 3 X 1   T " i 2   a\ X 2   a\ '. gdzie  A*,  A* oznaczają   stale  rozdzielenia  zmiennych. Ostatecznie  po  rozdzieleniu  równ ań  m am y (9)  1  +a 1 A^ l  =   u ,  i  Ą - a 2 A 2 l  — u oraz a 2 Xi lv >  + (b 1 - a 2 i Af)X i - b l X 2   =   0, (1 0 )  2   2   4 F un kcja  czasu  (cał ka  ogóln a  ró wn ań  (9)) m a postać (11)  T   =  Ccoscot+Dsinwł , gdzie  co =   a t   A 2   — a 2   A"1  oznacza  czę stość  drgań  wł asnych  ukł adu. Rozwią zań  ukł adu ró wn ań  (10) poszukujemy  w  postaci (12.)  X x   =   A x e  ,  X 2   =   A 2 e  . P o  podstawieniu  (12) d o  (10) i przyrówn an iu  do zera wyznacznika  zbudowanego  ze współ - czynników  wystę pują cych  przy  stał ych A t ,A 2   otrzymujemy  równanie • ł2 «2  „ 8  t  r  S- .2/L  .2\   i  rJlCU  , *2\ T«4  i  /"Ł  ,  v2\   fL   r   v2\   Ł  L  A ^*1 " 2 '  '  L " l \ ^ 2  —O)  )  iHoyOi  —  Ct)  11/   ~r" l " l  —  ^  J  v^2  —  ^  y —  *̂ 1 ®1  = =   w» które  z  uwagi  n a  ozn aczen ia  (7)  przyjmuje  postać Jest  to  równ an ie  kwadratowe  wzglę dem  r 4 . A  zatem (14) Obydwa  pierwiastki  rf  i  r\   są   dodatn ie, jeż eli  zachodzi  nierówność + F4 Warun ek  (15)  eliminuje  z  rozważ ań  m ał o  interesują cy  przypadek  drgań  belek  jako  ciał sztywnych,  poł ą czon ych elem entem  sprę ż ystym,  oraz  przypadek,  kiedy  drgania  belek  nie są   w  ogóle  moż liwe. Oznaczmy rt  =  k\ ,  Ą   -   k\ . 74  Z .  ON ISZCZU K Równanie  charakterystyczne  (13)  m a  osiem  pierwiastków: (16)  +k ± ;  - kil  +ih;  - ikr,  +k 2 ;  - k 2 ;  +ik 2 ;  - ik 2 , gdzie i  =   i/ - =T . Cał kami  ogólnymi  równań  (10)  są   funkcje: X x   =   C 1 sh(k 1 x)+C 2 ch{k 1 x)+C 3 sm(k l x)+C 4 .cos(k 1 x)  + X 2   =»  D 1 sh.(k 1 x)+D 2 ch(k 1 x)+D 3 sm(k 1 x)+D Ą cos(k i x)  + +D 5 sh(k 2 x)+D 6 ch(k 2 x)+D 7 sm(k 2 x)+D 8 cos(k 2 x), gdzie stał e C u   A  Q •   1, 2,  ...,  8) są   zwią zane  zależ noś ciami  wynikają cymi  z równ ań  (10): (18) ki  j k ^ F ) k a  i /? są   liczbami rzeczywistymi.  M amy wię c  tylko  osiem  dowolnych  stał ych  rzeczywistych. Stał e  wyznaczamy  wykorzystują c  warunki  brzegowe  (3).  Otrzymujemy  jedn orodn y  ukł ad oś miu równań  algebraicznych: C 2 +   C 4 +   C6+  C 8  =   0, ki  C 2   —  /Ci  C4 +   K 2   C-6  k 2   Cg  =   0 , ocfcf C i- ofcf  C 3 + j5 *|C 5 - / ? *|C7  -   0, C i s h z x +   C 2 c h z 1 +   C 3sin 2r 1+   04. C 5 s h z 2 +   C 6 c h z 2 +   C 7 si n z 2 +   C 8 c o sz 2  =   0, k\ C 2 chz x —  k\ C^ va- Z 1 —  k\ CĄ .cosz x  + k 2 C 6 ch.z 2 —  fciC 7sinz2~  fc2C 8cosz2  =   0,+   fclC 5s afci C x sh zx  +  afcj  C 2 c h z x — afc| C 3 sinZj — +PklC s shz 2 +pklC 6 chz 3 - pklC 1 shiz i - pklC a cosz2  =   O, + ^|C 5ch z2+ / ?jfclC 6sh z2- i3AriC 7C O SZ2+ / 9A:|C 8sm z2  =   0. Warunkiem  istnienia  niezerowych  rozwią zań  tego  ukł adu  jest  zerowanie  się   wyznacz- nika  utworzonego  ze  współ czynników  wystę pują cych  przy  poszukiwanych  stał ych: rf2shz1sinzl(l  —c h z 2 c o sz 2 ) —sh z 2 sin z 2 ( l—c h z 1 c o sz 1 )  + (21)  +  J c h z 2 [(shzj — sin zj)  ( sh z2 c o sz 2 —c h z 2 sin z2) — ( sh z2 — — si n z 2 ) ( sh z 1 c o sz 1 - c h z1 si n z 1 ) ]  ==  0, gdzie Xi- kJ,  z 2   =  k 2 l,  d=^ ±. D RG AN IA  POPRZECZNE  UKŁ ADU   DWÓCH   BELEK  75 Z  powyż szego  równ an ia  otrzym am y  ciąg  rozwią zań  n a  czę stoś ci  drgań  wł asnych ca„ (k L ,  k 2 są  funkcjami  co). Z  wyraż enia  (14)  obliczymy  cią gi  wartoś ci  dla  k ln ,k 2n . Z  ukł adu  równ ań  (19),  (20)  dla  okreś lonej  czę stoś ci  m„  wyznaczamy  stał e  C,„ (/   =   1, 2,  ...,  8) w  funkcji  jedn ej  ze  stał ych, n p. C 7 „ : C l n  =   R„C- !„- ,  C211  =   Cł u  —  ~^ 6n  —  ~(- >6n  —  G„C 7 „,  C 3„   =   N „C- j„,  C5n  =  K„Cj„, gdzie  współ czynniki  R n ,  G„, N „, K„  są  stał e  dla  okreś lonej  czę stoś ci  w n { 1 ). Ostatecznie  m am y  nastę pują ce  postacie  drgań  gł ównych  (17)  dla  okreś lonej  czę stoś ci X in   = +  [K n  sh(k 2n x)  +s'm(k 2n   x)] -   G„ [ch{k 2n  x)  +cos(k 2n x)]}, %  =  C{a([R +P„([K n sh(k 2 «x)+sin(k 2n x)]- G„[ch.(k 2n x)+cos(k 2n x)])}, gdzie  wolno  przyjąć  C 7„   =   1. Rozwią zania  (8)  rozpatrywan ego  problem u  wyraż ają  się  nastę pują cymi  szeregami: , 0  =   £Xm(x)T „(t)  =   2J  (A,,cosco„t+B„siaa>„t)  x „  sh(k ln x)  + N „ sin(k ln x)]  + G„ [ch(k ln x)  +cos(k v ,x)]  + +  [K n  sh(k 2n   x)+sin  k 2n   x)] -   G„ [ch(fc2n x)+cos(k 2n  x)]}, (23) W 2 (X,t)  =  ZX2,,(x)T n (t)  =   5J  (AnCOSm»t+jBnsina>"0X n =  l  n= l x  {a„ ([R n sh.(k in x)  + N „ sin (fc ln x)] + G„[ch(k u,x)  + cos(fclnx)]) + + ^ „ ( [K„ sh(Ar2n x)+ sin (A:2n x)] — Gn  [ch(k 2nx)+cos(fc2nx)])}, gdzie  stał e  A„,  B n   wyznaczamy  z  warun ków  począ tkowych  wykorzystując  warunek  orto- gonalnoś ci  postaci  drgań  gł ównych,  który  w  tym  przypadku  m a  postać (24)  ${F,X xi X yj +F 2 X 2l X 2j ]dx  =  Q  dla o Z  warun ków  począ tkowych  (4)  m am y: n= l ( l)  Zgodnie  z  zasadami  rozwią zywania  ukł adów  równań  jednorodnych  należ ał oby  sprawdzić  z  ilu rozwią zań liniowo niezależ nych skł ada się  podstawowy ukł ad rozwią zań. 76  Z .  ON ISZCZU K P o  odpowiednich  przekształ ceniach  otrzymujemy  wyraż en ia  n a  poszukiwan e  stał e: /   [F 1 f i (x)X 1 „+F 2 f 2 (x)X 2n )dx (25)  , Podsumowanie 1.  W  rozpatrzonym  problemie  drgań  belek  m oż emy  doszukać  się  pewnej  analogi z drganiami dwóch m as poł ą czonych wię zią  sprę ż ystą. Abstrahując  od tego, że górn a  belka jest podparta (co zresztą  nie jest konieczne, gdyż rozważ an ia n asze przeprowadzim y  w opar- ciu  o wzory  ogólne, w  których  warun ki  brzegowe  jeszcze  nie ingerują ),  ukł ad  o 2n(n  - »  oo) stopniach  swobody  moż emy  sprowadzić  do  ukł adu  o  2  stopn iach  swobody  zakł adają c,  że sztywność  obu  belek  wzrasta  nieskoń czenie. Jeż eli  EJ l ,  EJ 2   - »  oo, to  musi  być  r\ n<2n   —  ~k\ „ t2n   =   0.  Wtedy  z  (14)  wynika Of  — £ więc co2  =   O  o r a z  OJ2  =   „   „   • Przyjmują c,  że  x  =   kl  oznacza  cał kowitą  sztywność  elementu  sprę ż ystego, =   QF X I,  m 2   =   QF 2 1—masy  belek,  otrzymujemy m 1 nt 2 Wyraż enie  to  okreś la  czę stość  drgań  dwóch  m as  poł ą czonych jedn ym  elementem sprę- ż ystym.  Warun ek  (15) eliminuje  ten  m ał o  interesują cy  przypadek  drgań  belek  ja ko  prę- tów  nieskoń czenie  sztywnych. 2.  N a podstawie  (14),  (15) i  (18) m oż na wykazać,  że gdzie 1  1  4fe 2 Wynika  z  tego,  że  skł adowe  wychyleń  postaci  drgań  X ln ,X 2n   przyporzą dkowane współ czynnikom  k ln   mają  kierunek  zgodny,  n atom iast  przyporzą dkowane  współ czynni- kom  k 2n   kierunek  przeciwny. D RG AN IA  POPRZECZN E  UKŁADU   D WÓCH  BELEK 77 Jeż eli  przejdziemy  teraz  d o  ukł adu  o  dwóch  stopn iach  swobody,  to  otrzymamy „   _   R   _  ^  _  «i t 2   m 2 co rzeczywiś cie m a  miejsce. O  peł nej  analogii  ukł adu skł adają cego  się  z  dwóch belek  i ukł adu dwumasowego  moż na jedn ak  m ówić  dopiero  w  przypadku,  gdy  górn a  belka  nie jest podparta. 3.  Z  wyraż enia  (14)  wynika,  że  gdy  sztywność  górnej  belki  EĄ   ~* oo,  wtedy  doln a belka  drga  jak  belka  n a  sprę ż ystym  podł ożu z  czę stoś ciami EJ 2 k$„+k 4.  N a zakoń czen ie wart o  podkreś lić, że w  oparciu  o przedstawiony  sposób  rozwią zania znalezienie  swobodn ych  drgań  belek  przy  róż n ych  typach  podparcia  zarówno  górnej, jak  i  dolnej  belki  nie  przedstawia  trudn oś ci. 2.  Drgania  wymuszone 2.1. Ogólny przypadek drgań wymuszonych. Przejdziemy  obecnie do wyznaczenia  wymuszonych drgań  belek,  wywoł anych  obcią ż eniami  dowolnym i,  przył oż onymi  n a  górnej  i  dolnej belce  (rys.  2) ; I I w \ 1 HM m TrTTrrr Wx,t) y x - JL Rys. 2 A(x,  t),  f 2 (x,  i)  oznaczają   obcią ż enia  w  odpowiednich  pun ktach  górnej  i  dolnej  belki. R uch  ukł adu drgają cego  (rys.  2)  opisują   ró wn an ia: (26) i u- wr) "Mx,  t), (27) lI- wI)  =f2{x,t). P eł ne  rozwią zania  tego  u kł ad u równ ań  są   n astę pują ce: (28)  W tmW t  + W i,  Wn = gdzie  w t ,  w 2   oznaczają   drgan ia  swobodne  belek,  a.W x iW 2   —  drgania  wymuszone. 6  M ech an ika Teoretyczn a 78  Z .  ON ISZ C Z U K Wobec  tego  funkcje  W x ,  W 2   muszą  speł niać równ an ia (29)   E (30)  E J ^ ^   +   ^ ^ W ~   +k<  +J 2 X 2k X^ )S„+Q(F 1 X lll X 1 „  +F 2 X 2k X 2 „)S' K ' + fc ( Z 2 t - xl t ) ( z 2 n - xl n ) s n ]  =Mx,  t)x11c+f2{x,  t)x2k. Wiemy,  że funkcje  X ln ,X 2 „  speł niają  równania  (10) <8  l B  +k(X2n- Xln),E (  30) Z  równań  (36) moż na  otrzymać nastę pują cą  zależ noś ć: D R G AN I A  P OP RZ ECZ N E  U KŁ ADU   D WÓC H   BELEK  79 którą  wprowadzamy  do  wyraż enia  (35). U zyskane w ten  sposób  równanie e  £  {F,xlkxln+F1x2kx2n)  [s;; +m 2 n  s n ]  -   A(x,  t)x lk   +f 2 (x,  t)x 2k n = l cał kujemy  obustronnie  po  dł ugoś ci  belki.  Przyjmując  teraz  k =  n i  biorąc  pod uwagę warunek  ortogonalnoś ci  (24),  otrzymujemy  równanie  róż niczkowe  zwyczajne  na poszuki- waną  funkcję  czasu (37)  SX+a>*S n =jH n (f), gdzie /   [fi(x,  t)X ln (x)+f 2 (x,  t)X 2 „(x))dx (38)  H n (t) -   °  ;  • /  (F.Xl+F^ Ddx o Rozwią zanie  równania  (37) przy  warunkach  począ tkowych  (31) ma  postać t (39)  S„ ( 0  =  —  f  tf„ (T)sinK(ć -  r)]dz. Zatem  drgania  wymuszone  belek  wyraż ają  się nastę pują cymi  wzorami: W x(x, t) =  2J  x^ S n   -   2J  - ^ -XI»J  Hn(^ m[co n (t- r)]dr, (40) CO  CO t W 2 (x, 0  =  2J  X2"S"  =   / -  — ^ .  I  H„(T )ń n[w n (t- x)]dr. Cał kowite drgania  belek  mają  postać Wl  = (41) n= l Qa>>  0 f  H n (r)sin[m n (t-  T )]dr\ . 6 * 80 Z .  ON ISZCZU K 2.2.  D rgania  poprzeczne  przy  obcią ż eniu  skupionymi  sił ami  harmonicznymi  przemieszczają cymi  się ze  stał ą   prę dkoś cią Tpo  dolnej  belce. Wyprowadzone  wzory  ogólne  (38),  (39),  (40)  wykorzysta- my  teraz  do  znalezienia  drgań  belek  w  przypadku  sił   przemieszczają cych  się   (rys.  3). O z n a c z e n i a :  P x  =   Pxsincot,  Pn  =   P2ń nmt  oznaczają   sił y  wymuszają ce,  »  . czę stość  wymuszenia,  a —  ustaloną   odległ ość  mię dzy  sił ami,  c —  stał ą   prę dkość  prze- mieszczania  się   sił   (kierunek jej  oznaczony jest  na  rys.  3). (42) Rys. 3 Z akł adamy,  że  w  chwili  t  =  0  poł oż enie sił  jest  takie  ja k  n a  rys.  3. Rozpoczniemy  od ^obliczenia  funkcji  (38),  kt ó ra  w  tym  przypadku  m a  p o st ać : z JMx,t)X 2n dx H«(t) =   — j  [F.Xl M ianownik  tego  wyraż enia  p o  wprowadzeniu  X ln ,  X 2 „  z  (22)  daje: +G„ [R n  s h 2 Z l n +N n si n 2 Z l n +  (N n+R„)  s h Z l n si n Z l B +  (i?„ ~N n)  c h Z l n c o s Z l n ]  ~ —I(JC,- 1)G  +  ~ k 2 „ \ "  " 4 -   G„ [K n  sh 2 Z 2 n +sin 2 Z 2 „+(K„  + l ) sh Z 2 „  si n Z 2 n +  (Kn -   l)chZ2ncosZ2n]  ~ 2c 3 / 1 ln K n +k 2n R n )shZ ln shZ 2n ln R„  +k 2n K n )chZ ln chZ 2n   + (k ln   +k 2n N „)smZ ln smZ 2n D RG AN IA  POPRZECZN E  UKŁADU   DWÓCH   BELEK  81 +  (k ln K n R„+k 2n Gl)chZ ln shZ 2 „- (k ln Gi~k 2n N n )smZ ln cosZ 2n - -   (k ln N n - k 2n Gt)cosZ ln smZ 2n }  + - (k ln R n +k 2n )chZ ln cosZ 2n }- (k ln GZ+k 2n R n )shZ ln cosZ 2 „  + R n +k 2n Gt)chZ ln smZ 2n   +  (k ln G*- k 2n K n N n )smZ ln chZ 2n - -   (k ln K„N „+k 2n   G B 2 ) c o sZ l n sh Z 2„ + + GA(k ln K„- k 2 „N n )sinZ Sn shZ 2n   + (k ln N „+k gdzie c ln   =  F l +a 2 n F 2 ,  Z ln =k ln l, c 3n   = J W  liczniku  wyraż enia  (42)  otrzymujemy  nastę pują cą   funkcję   czasu: L „{t)  =  Jf 2 (x,t)X 2n dx  =  smaitf  {P^ dlx- o  o =   [QinSh(k ln ct)+Q 2n ch(k ln ct)+Q 3n sm(k ln c +Q s „sh(k 2n ct)+Q 6 „ch(k 2n ct)+Q ln sm(k 2n ct)+Q B „cos(k 2tt ct)]sm(ot, gdzie fO  dla  x  ^   et,  fO; x  ^   a+c, W- *'[l  dla  x  ^ < + ^ { U i Q ln   =   +a„[R„(P 1 +P 2 ch  Qc lH a Q 2 „  =  +a„[G n (P 1 +P 2 ch  (k ln a))+R n P 2 sh(k ln a)], Qzn -   + „ )2,  n l B  -   (k 2nc) 2 - (»2n  -   ( fc ln c) 2- ( < w- co„ )2,  n 2n   =  (k 2n c) 2 - (a>- (o n ) 2 , n 3n   =   (fc2nc w 6 n  =   ( f c l B c ) 2 -   (co2  - a>l),  n 6 n   =   ( f c 2 n c ) 2  -   ( c o 2  - c a2 ) , U„(t)  =  sia(ot{v„[m ln m 2 „m 6 „(Q in sh(k ln ct)+Q 2 „ch(k ln ct))- - m 3n m 4n m Stt (Q 3n sm(k ln ct)- Q4 n cos(k u ,ct))]+u n [n in n 2n n 6n (Q 5n sh(k2 n ct)  + h(k 2n   et)) -   n 3n   n An   n 5n   (Q 7„  sin(Ar2/1 et) -   Q8n  cos(k 2l,  et))]}  - ~2mcoscot{(k ln c)v n [m in m 2n (Q ln ch(k ln ct)+Q 2n sh(k in ct))  + n  (Q 3n cos(k ln   ci)-   Q An m\ {k ln   et))]  + (k 2n   c)u„  [n ln n 2 „  (Q s „ch(k 2 „ct)  + +Q 6n sh(k 2a ct))  +n 3 „n 4 „(Q 7 „cos(k 2n ct)- Q Sn sm(k 2n ct))]}  + D rgania  wymuszone  belek  wywoł ane  sił ami przemieszczają cymi  się   mają   postać OO  0 0 Wi(*.  O  -   2jXi*(x)Sn(t)  -   ]?  - ~Y  Xln(x)Un(t), (46) W 2 (x,  t)  = Podsumowanie 1. Rozwią zania  drgań wymuszonych  (46) skł adają   się ,  ja k  to wynika  z funkcji  czasu (45), z  dwóch  czę ś ci: a) czystych  drgań  wymuszonych  (zawierają   czł ony sina>< i coscoć ), b) drgań  swobodnych  (zawierają   czł ony  sinco„ż  i  cosa>„f)>  które  powstają   w  chwili przył oż enia  sił   zewnę trznych.  N ależy  je  odróż n ić  od  drgań  swobodnych,  które wynikają   z  odpowiednich warun ków  począ tkowych. Jest  rzeczą   oczywistą ,  że  wzory  (46)  są   sł uszne  dopóki  et  <  (l—d),  t o  znaczy  dopóki zachodzi ruch obcią ż enia. W  m om en cie gdy  t  =  —(l—d),  obcią ż enie  zostaje  zdję te  i  pozo- c staną   tylko  drgania  swobodne. D RG AN IA  POPRZECZN E  UKŁADU   DWÓCH   BELEK  83 2. Zjawisko  rezon an su m oże wystą pić  dla każ dego  skł adn ika sum  (46) przy  okreś lonych wartoś ciach prę dkoś ci  przem ieszczania  się   sił  wymuszają cych.  Wynika  to z wyraż enia  (44). P rzyrównują c  V„ d o  zera otrzymujemy  cztery  prę dkoś ci  rezon an sowe  przy  ustalon ej  czę stoś ci  wymuszenia co 0)+C0„  \ CO — (O„\   CO+CO n   |( M —  O)„ | c\ n  —  T.  >  C 2 n  T  ,  C3n  —  r  ,   CĄ „  —  •   -   , "• In  "i n  K- 2n  K- ln z  których  podstawową   prę dkoś cią   rezonansową   jest  c 2 n . P odobn ie  m oż emy  m ówić  o  czterech  czę stoś ciach  rezonansowych  (przy  ustalonej prę dkoś ci)  wynikają cych  bezpoś redn io  z  tych  zależ noś ci.  P rzypadek  co =   co„  nie  prowadź do  rezon an su, chyba  że  c  =   0  lub  gdy  sam a  prę dkość jest już  rezonansowa. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  S. D .  PONOMARIEW,  W spół czesne  metody  obliczeń  wytrzymał oś ciowych  w budowie maszyn, PWN ,  War- szawa 1957. 2.  S. ZIEMBA, Analiza drgań , P WN ,  Warszawa 1959. 3.  A. I I .  HJinnnoBj  Kojiefimun  defiopMupyeMux  cucmeM  «ManiHHocTpoeHHe»,  MocKBa  1970. 4.  E. F . FOJIOCKOKOB, A. n .  OmiH imoBj  HecmaifuoHapHue  Ko/ te6amiH  Mexamteaaix cucmeM,  «HayKOBa flyM Ka»,  KHKB  1966. 5.  S.  KALISKI,  Drgania i fale  w ciał ach  stał ych, PWN , Warszawa 1966. P  e 3 io  M e n o n E P E ^ I H B I E  KOJIEBAHKLa C H C TE M Ł I  ^ BYX  EAJIOK,  CBH 3AH H BIX ynpyrH M   SJIEM EH TOM B  p a 6o T e  paccM aTpH BaioTca  n o n e p e ^ H b i e  Kon eSan H H   CHCTeiww,  c o wo H m eft  H 3  flByx  npM M aTmiecKH X 6ajiOK3  CBfloaH H tix  yn p yr H M   3JieMeH T0M.  B e p xa sm  6ain < a  o n n p a e T c a  KOH iiama  Ha  JKSC TKH X  o n o p a x. —  n oflBeuieH a  H a n ep Bo ft  n o  Bc e ń  fljiH H e  6a jn «i  n p n  n oiwom n  y n p y r o r o  sneiweH Ta.  AH ajiH 3H po- CHCTeMa  H BJ I H C T C H   H eKOTopoit  yn p o m e H H o ii  M OAeJttio  KpaH a  ww.  M o cra. B  p a6o T e  npH BefleH M   flH cJxfiepeH qH ajiBH bie  ypaBH eH H H  flBH >KeH H H  CH creM bi,  a  TaKHce  H aftfleH bi  p e - cBo6oflH bix  Kone6aH H ft  H   BbiH y>KfleH H bix  KOJieSaHHft  n p H   fleiicTBH H   rapiwoH H iecKH X  C H J I ,  H B H - >KymHXCH   C  nOCTOHHHOft  CKOpOCTbIO  n o  HH5KHCH  G aJIKe. S u m m a r y TRAN SVERSAL  VIBRATION   O F  T H E SYSTEM   O F  TWO BEAMS  CON N ECTED  BY M EAN S  OF  AN  ELASTIC ELEM EN T I n  this  paper is  discussed  the transversal  vibration  of the system  of  two beams connected by means of  an elastic element. The top beam's ends are  supported on rigid supports. The lower  beam is suspended by means of an  elastic element on the  first  one.  This system represents a certain simplified model of a gantry or  a bridge. There are considered the free  vibrations of th e beams and forced  vibrations  caused by har- monic forces  which move with a constant velocity on the lower beam. POLITECHNIKA  KRAKOWSKA Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 27 sierpnia  1973  r.