Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z1.pdf 8 E .  WAL I C K I przedstawić równania ruchu cieczy lepkiej  w  ukł adzie współ rzę dnych krzywoliniowych  [13] dla  osiowej  symetrii  w  postaci: (1.1) dv x 8v x +v (1.3) "  dx  y  dy  '  R 8Vy  dVy V *~8x   Vy   8y oraz równanie cią gł oś ci (1.4) I ^   + ^   + JL J^ - J^ V   RI2 V \   8x 2  r   8y 2   R  dx  R   x   R 2  J .  82v,  .  R'  8v B   R"  R' 2 R \   8p  18 2 v Q  dy  '  \ dx 2  T   dy 2 d(Rv x )  ,  dVy xQ 8y  '  'R  8x gdzie  primem  oznaczono  pochodną   wzglę dem  zmiennej  X. R 2 R'  dvĄ R  dx] W ti Rys.  1 Przyję te  wcześ niej  zał oż enie,  że  h(x)  - 4 R(x)  pozwala  po  dokonaniu  odpowiednich przejść  asymptotycznych  [10,12], wynikają cych  z oszacowania poszczególnych  skł adników, sprowadzić  równania  ruchu  (1.1)—(1.3)  do  ukł adu  równań  liniowych: (1.5) (1.6) J51 R dx  dy 2  > ' 0 8 2 Vę 8y 2   ' (\  i\   •   o  —  ^ Równań  tych  uż yjemy  do  zbadania  przepł ywu  cieczy  w  szczelinie. PRZEPŁYW  CIECZY  LEPKIEJ  W  SZCZELINIE  9 2 .  Cał ki  równań  ruchu Rozwią zania  równ ań  ruchu  powinny  speł niać  warunki  brzegowe: (2.1)  «*(x,  ±h)   =   0, (2.2)  v e (x, - h)  =  i J ( x K ,  Mx,  +h)  =  R(x)m 2 , (2.3)  v y (x, ±h)   m  0. P on adto  n a  wlocie  i wylocie  ze  szczeliny  powinny  być  speł nione warunki  brzegowe  doty- czą ce ciś nienia: (2.4)  P=Pw  dla  x =  x w , (2.5)  i> =  />*  dla  x  -   x z , gdzie  przez x w   oznaczono  współ rzę dną   wlotu  n a  linii  symetrii  przekroju  poł udnikowego szczeliny,  a  przez  x z  —  współ rzę dną   wylotu  n a  tej  linii. Cał kują c  równanie  (1.6)  wzglę dem  zmiennej y  i  wyznaczają c  stał e  cał kowania z wa- runków  brzegowych  (2.2)  otrzymamy (2.6)  © o ^ y  ( o > i + a > 2 ) - ( o ) i - a )2 ) - |-  • Z  równ an ia  (1.7) wynika,  że (2.7)  j »- * ( * ). N astę pnie  cał kują c  równanie  cią gł oś ci  (1.4) w poprzek  szczeliny  i uwzglę dniając  warunki brzegowe  dostaniemy A 1  3  „  r  , - Rix- R  J  V*dy + V h A JyJ - h a  stą d  wynika =   0 , ( Z 8 )  / Podstawiają c  wartość  skł adowej  prę dkoś ci v e   ze wzoru  (2.6) do równania  (1.5) otrzymamy po  scał kowaniu i  uwzglę dnieniu  warunku  brzegowego  (2.1)  oraz  zależ noś ci  (2.7): P o  uwzglę dnieniu  powyż szej  zależ noś ci  w  (2.8)  i  po  wykonaniu  cał kowania  znajdziemy (210)  P -   Q R 2 Q 1  I '   P  8  + 10 E.  WALICKI gdzie  ozn aczon o: (2.11) r  dx A W ~  J ~tf&)R(x)' A w   — A(X W ),  A z   =   A\ X z y, Q 2 Rl  D  .  Q 2 —  Pw~Q R w   =   R(x w ), Wprowadzają c  (2.10)  do  (2.9)  wyznaczymy 1  B„- B z   y 2 - h 2   RR' (2.12) 4v 60h 2 - (co1- (o2) 2 - y 3 - h 2 y 3h Skł adową   prę dkoś ci  v y   wyznaczymy  podstawiają c  (2.12)  do  (1.4)  i  cał kują c  otrzym an e wyraż enie  wzglę dem  zmiennej  y: R ówn an ia  (2.6), (2.10),  (2.12)  oraz  (2.13)  pozwalają   okreś lić  skł adowe  prę dkoś ci  i rozkł ad ciś nienia  w  szczelinie  mię dzy  wirują cymi  powierzchniam i  obrotowym i. 3.  Przykłady  zastosowań Wyprowadzone  wyż ej  równ an ia  zostaną   uż yte  d o  okreś lenia  param etrów  przepł ywu w szczelinach mię dzy  wirują cymi  powierzchniami  stoż kowymi  i kulistymi.  D la  uproszczenia Rys. 2 zał oż ymy,  że  wiruje  tylko  powierzchnia  wewnę trzna,  co  wyrazi  się   zależ n oś ciam i: (3.1)  coj  =   co  #   0 ,  OD 2   =   0. PRZEPŁYW  CIECZY  LEPKIEJ  W  SZCZELINIE 11 3.1.  Przepł yw  mię dzy  powierzchniami  stoż kowymi  o równych  ką tach  rozwarcia. R o zwa ż my  dwie równoległ e  powierzchnie  stoż kowe;  z  rys.  2  wynikają   zależ noś ci: (3 . 2 ) R  = R w   =   x w si n a , h  =   con st. U wzglę dniając  (3.1)  oraz  (3.2)  we  wzorach  okreś lają cych  skł adowe  prę dkoś ci  i  rozkł ad ciś nień  otrzym am y: (3 . 3 ) (3 . 4 ) t/   — '- RD  y2- hz x co2 sin 2 a  \   1 ~  4vh2'~l6Q h 2 y)\ x, (3 . 5 ) (3.6) co 2 sin 2 a  /  y — 5h 2vh 2 60 (y 2 - h 2 ) 2 , P = x sin a In- Otrzym an e  tutaj  zależ noś ci  dla  skł adowych  prę dkoś ci  i  ciś nienia  są   identyczne  z  zależ no- ś ciami  wyprowadzon ym i  w  pracy  [10]. 3.2.  Przepływ  mię dzy  powierzchniami  stoż kowymi  o  róż nych  ką tach  rozwarcia.  D la  szczeliny mię dzy  powierzchn iam i  stoż kowymi  o  róż nych  ką tach  rozwarcia  mają   miejsce  zależ noś ci geometryczne  (rys.  3) : (3 . 7 ) — xsinoc,  h  =   h w   + (x- x w )d,  K  =   6, Rys. 3 12 E .  WAL I C K I Podstawiają c  (3.1) i  (3.7) do  wzorów  okreś lają cych  param etry  przepł ywu  dostan iem y: (3.8)  s cosma  [  y'_ _ _ _ _  1  , (3.9) {K- . a Ą   . / x w   x z \   d 2 lx* xwAr   +   \ K  h x j  2\ h% co2 sin 2 a ~W~|60 (3.10)  », - . -• l# *\ y  Aj(jL x z h w xw  xz + • sin 2 a I  y—5h 2vh 2   \   60 0 , »_A2 ) i _  ° [5h(y 2 - h 2 )- 2(y 2 +h 2 )(5h- y)] 4^ A3 60 (3.11) x  X  \   & 2   IX 2   X 2   \ I  I  I A* /   2  \  A2  AJ D la  d =  0  (co odpowiada  szczelinie  o  stał ej  gruboś ci)  powyż sze  wzory  pokrywają   się  ze wzorami  dla poprzedniego  przypadku. 3.3.  Przepływ  mię dzy  powierzchniami  kulistymi.  Zależ noś ci  geometryczne  prowadzą   do zwią zków  (rys.  4) : (3.12) i?  =   i? o sin ^ ,  cp  = x/ R0,  R'  =   cosc>,  h  — con st. Rys. 4 PRZEPŁ YW  CIECZY  LEPKIEJ  W  SZCZELINIE  13 U wzglę dniając  (3.1)  oraz  (3.12)  we  wzorach  okreś lają cych  param etry  przepł ywu  wyzna- czym y: (3.13) pw - p z + 0 , 1  5QCOZRQ(sin 2  cp z  -   sin 2 

, (4- 6)  ^  =   D gdzie  ozn aczon o  dla  uproszczen ia: — 14 E.  WALICKI Tutaj  £>f, D\   oznaczają  współ czynniki  zależ ne  od  lokalnego  poł oż en ia  przekroju  poprzecz- nego  szczeliny.  G órn y  wskaź nik  oznacza odpowiednio  stał ą  lub zmienną  grubość  szczeliny. Z  analizy  otrzymanych  wzorów  wynika,  że  przepł yw  w  szczelinie jest  wywoł any  przez dwa  czynniki:  ruch wirowy  powierzchni  ograniczają cych  szczelinę  (w  przypadkach  szcze- / • *• ty$^ hi 02 \ , 0,1 \ \ - 0,1 It  2 2,0 to 0,0 \ > —— / - ffl  - 0,8  - 0,6  - 0,4  - 0,2  0,0  0,2  0,4  0,6  0,8  1,0 Rys. 5 gólnych —  przez ruch wirowy  powierzchni wewnę trznej)  oraz  przez  róż nicę ciś nień  mię dzy wlotem i wylotem  szczeliny. Wzofy  charakteryzują ce  skł adowe  prę dkoś ci  przepł ywu  dla  przypadków  szczególnych omówionych w  p.  3 pozwalają  stwierdzić,  że  profil  prę dkoś ci  obwodowej  v„ dla  ustalon ej 0,006 0,004 0 , 3 0,2 0 , 0 - 0,1 - 0,2 - 0 , 3 Z - 1,0  - 0,8  - O,B  - 0,4  - o£ Rys. 6 wartoś ci  współ rzę dnej x jest liniowy  (funkcja  / iO?) n a  rys.  5) niezależ nie  od  kształ tu szcze- liny.  Profil  ten jest  identyczny  z  profilem  przepł ywu  C ouette'a mię dzy  dwiema  pł aszczyz- n am i,  z  których  jedn a jest  nieruchoma, a  druga  posiada  lokalną  prę dkość  równą a>R(x). PRZEPŁYW  CIECZY  LEPKIEJ  W  SZCZELINIE  15 Z  postaci  wzorów  opisują cych  skł adową   wzdł uż ną   prę dkoś ci  v x   wynika,  że  gł ówną jej  czę ś cią  jest paraboliczn y  profil  pł askiego przepł ywu P oiseuille'a  (fun kcja/ ;, ^)  na rys.  5) uwarun kowan y  istnieniem  wspom n ian ej  wyż ej  róż nicy  ciś nień  i  ruchem  wirowym  po- wierzchni  wewnę trznej. N a  gł ówną   czę ść  skł adowej  prę dkoś ci  wzdł uż nej  n akł ada  się   przepł yw  wtórny,  wy- woł any  ssą cym  dział aniem wirują cej  powierzchni  wewnę trznej.  Powierzchnia  wewnę trzna zasysa  w  swoim  są siedztwie  ciecz  wywoł ują c  jej  ruch  wzdł uż ny  odś rodkowy.  Ruch  ten m usi  być  równ oważ ony  ruch em  wzdł uż nym  doś rodkowym  przy  powierzchni  zewnę trznej i  ruchem poprzeczn ym  okreś lon ym  skł adową   v y   prę dkoś ci.  Przepł yw  wtórny  opisany jest drugim  skł adnikiem prę dkoś ci  v x   i  prę dkoś cią   v y ;  profile  przepł ywu  wtórnego  reprezento- wan e  fun kcjam i/ 3(t?)  oraz/ 4(77)  pokazan o  n a  rys.  5 i  rys.  6. D la  szczeliny  o  zmiennej  gruboś ci  profil  prę dkoś ci  v y ,  zwią zanej  z  omówionym  wyż ej przepł ywem  wtórn ym ,  ulega  zm ian om  okreś lon ym  funkcjami  f s (rj)  i  f 6 (rj)  pokazanymi n a  rys.  6. R ozkł ad  ciś nień  wzdł uż  tworzą cej  powierzchni  symetrii  szczeliny  —  niezależ nie  od rodzaju  i  kształ tu  szczeliny  —  daje  się   przedstawić  w  postaci  sumy  dwóch  skł adowych: pierwszej  —  wywoł anej  ssą cym  dział aniem  wirują cej  powierzchni  i  drugiej  —  bę dą cej skutkiem  istnienia  przepł ywu  wzdł uż nego.  Wynikiem  dodawan ia  tych  skł adowych  może być  istnienie podciś n ień wewną trz  szczeliny. Wn ioski  o  podobn ym  ch arakterze jakoś ciowym  wynikają   z  analizy  wzorów  wyprowa- dzonych  w  p .  2  pracy. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W.  R I C E , An Analytical  and Experimental  Investigation of  Multiple  Disk Pumps and Compressors, J . Eng. for  Power, Trans. ASM E,  Series A, 3, 85 (1963),  191- 200. 2.  T .  VAN N ERU S,  Rotierende  Scheiben  fiir  L uftvorwarmer  mit geblasen- wirkung,  Allg.  Warmetechn.,  6 (1955),  251- 262. 3.  W.  R I C E,  An Analytical  and Experimental  Investigation  of  Multiple  Disk  T urbines,  J. Eng. for Power, Trans. ASM E, Series A, 1, 87 (1965),  29- 36. 4.  J.- L.  PEU BE,  F .  R R E I TH ,  Ecoulement  permanent  d'un fluide  visqueux  incompressible  entre  deux  disques paralleles en rotation, J. M ecanique, 2, 5  (1966),  260- 281. 5.  F . KREITH , H . VWIAN D , L aminar Source Flow Between  T wo Parallel Coaxial Disks Rotating at Different Speeds, J. Appl.  M ech., Tran s. ASM E,  Series  E,  3, 34  (1967),  541- 547. 6.  L.  MATSCH ,  W.  R I C E ,  An Asymptotic Solution for  L aminar Flow of  an  Incompressible  Fluid Between Rotating Disks,  J. Appl.  M ech.,  Tran s. ASM E, Series  E,  1, 35 (1968),  155- 159. 7.  K. E. BOYD ,  W.  R I C E ,  L aminar Inward Flow of  an Incompressible  Fluid Between Rotating  Disks with Full Periphera  Admission,  J. Appl.  Mech., Trans.  ASM E,  Series  E, 2, 35 (1968),  229- 237. 8.  R.  G . AD AMS,  W.  R I C E ,  Experimental  Investigation  of  the  Flow Between Corotating  Disks,  J.  Appl. Mech.,  Trans.  ASM E,  Series  E, 3, 37  (1970),  844- 849. 9.  W.  R I C E,  K. W.  M CALISTER,  L aminar  T hroughflow  of  N ewtonian Fluid Between  Coaxial  Rotating Cones,  J. Appl.  M ech., Tran s. ASM E,  Series  E,  1, 37  (1970),  210- 212. 10.  A.  SZAN IAWSKI,  Przepł yw  lepkiej  cieczy nieś ciś liwej w szczelinie stoż kowego  ł oż yska ś lizgowego,  Prace IP P T  P AN  15  (1970). 11.  K. W.  M CALISTER, W.  R I C E,  T hrough/ lows Between  Rotating Surfaces  of  Revolution, Having Similarity Solutions, J. Appl.  M ech., Tran s. ASM E,  Series  E, 4, 37 (1970),  924- 930. 12.  A. H .  FonyBEB,  CoepeMenHue  ynjiomueuun  epaufaroufuxcn ea/ ioe,  MocKBa 1963. 16  E .  WAUCKI 13.  H .  E .  K O H H H J  H . A.  K H BE H B,  B.  B.  P O 3 E 3  T eopetnuuecKan  tudpoMexmuKa,  i.  II,  M ooKBa  1963. 14.  J I . A. flopo&M AH j rudpodmaMtmecKoe  conpomuenemte  u  metuioombana  spaufawiauxca  men,  M ocKBa 1960. P  e  3  IO  M e TE ^I E H H E  BH 3K 0fł   JKH flKOCTH   B  3 A3 0 P E  MEHCJTy  BPAH IAIOIimM H Cfl n O BE P XH O C T H M H   BPAIHEHKM B  p a 6 o i e  BBiBefleH ti  dpopiwyjibi  o n p e s e n n i o i u H e  T a r a ie  n a p a M e i p w  jia M H H a p H o r o  C T a q n o H a p H o r o T P r e H H a  BH 3K0ił   >KHflKOCTH   B 3330p e  M OKfly  BpamaiOIltH M H Cfl  nOBepXHOCTHMH   Bp a m e H H H j  KaK  COCiaBJIH - i o m n e  ci< opocTH   vxsVOtVy  H   flasjieH H e  p. IIpH MeH H IOTCH   H H H eapH 30BaH H bie  ypaBH eH H H   flBH H CeH H H   BH3KOH   HKeiniH   n p o H J u n o c r p H p o B a H B i  n pH M epaiwH   TeqeH H H   B  3 a 3 o p e nocTOH H H ofi:  T O J I I U H H B I  Me>Kfly  B p a m a i o m e i i c H   H  H enoH BH > KH oii  KOH ycH biMH   n o Be p xn o c T H M H ,  a  TaiOKe M ewAy  Bparm aio m eflcH   H  H enoffBH >KH oft  ciJjepH ^ecKH M H   noBepxH OC TH M H .  P a c c M o i p e n o  raioKe  T e i e H H e B  3 a 3 o p e  nepeM eH H OH   T o n m m i b i j  o 6p a3yio m eM C H   Memjxy  KoiiycH M M H   n o B e p xH o c M M H   c  pa3tn> iM H   yrjiaM H S u m m a r y FLOW  OF   VISCOUS  F LU I D   BETWEEN   ROTATIN G   SU RF ACES  OF   REVOLU TION This  paper  contains  formulae  which  define  such  parameters  of  the  steady  laminar  flow  of  viscous fluid  between  rotating  surfaces  of revolution  as the velocity  components v x , ve, v y   and  pressure/ j. The linearized  equations of motion of the viscous  fluid  flow for axial  symmetry  in the intrinsic  curvi- linear  orthogonal  coordinate system  x, 0, y  are  used. The solutions of the equations of motion have  been  illustrated  by  examples  of fluid  flow  through  the slot of stable  thickness between rotating and fixed conical surfaces,  and between rotating and fixed  spherical surfaces. The flow through the slot of  variable  thickness formed  by conical surfaces  with various  angles  of  diver- gence has  also  been examined. WYŻ SZA  SZKOŁA  IN Ż YN IERSKA BYD G OSZ C Z Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  23  marca  1973  r.