Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA STOSOWANA 2,  12 (1974) AN ALOG IA  TARCZOWO- PŁYTOWA  W  TEORII  D Ż WIG ARÓW  SIATKOWYCH K AR O L  H .  B O J D A  ( G LI WI C E ) Wstę p •   W  pracy  [6]  sform uł owan o  an alogię   statyczno- geometryczną   w  teorii  powł ok  siatko- wych,  opisanych  za  pom ocą   równ ań  dyskretnego  oś rodka  Cosseratów.  Istnienie  analogii statyczno- geometrycznej  w  liniowej  teorii  dyskretnych  oś rodków  Cossertów  wykazano również  w  pracy  [2]. Tę  samą   analogię   dla powł ok siatkowych,  opisanych za pomocą  równań  róż niczkowych w  przypadku,  w  którym  m odelem  obliczeniowym  jest  dwuwymiarowy  wł óknisty  oś rodek Cossertów,  sform uł owan o  w  pracy  [4]. W  cytowanych  pracach  nie  an alizowan o  jed n ak  równ ań  opisują cych  stan  tarczowy i  pł ytowy;  w  pracy  [2]  ogran iczon o  się   jedyn ie  do  podan ia  równań  przemieszczeniowych dla wymienionych przypadków.  An alizę   taką  przeprowadzon o w niniejszej  pracy. Pozwolił a on a  sformuł ować  in n ą   an alogię   o  pewnym  znaczeniu  praktycznym .  Jest  nią   analogia tarczowo- pł ytowa.  Z ach odzi  t u  form aln e  podobień stwo  do  znanej  analogii  w  klasycznej teorii  tarcz  i  pł yt,  obcią ż onych  tylko  wzdł uż  brzegów,  a  polegają cej  n a  podobień stwie równ an ia  n aprę ż en iowego  tarczy -   0 i  równ an ia  przemieszczeniowego  pł yty V2V2w  =   0. Ta  klasyczna  an alogia,  jak  wiadom o,  zn alazł a  zastosowanie  w  eksperymentalnych  bada- n iach  stan u  n aprę ż en ia  tarcz. P rzedstawioną   w  tej  pracy  analogię   prawdopodobn ie  bę dzie  m oż na w podobn y  sposób wykorzystać  w  zagadn ien iach  dź wigarów  siatkowych.  W  pun ktach  1- 3  omówiono  tę analogię   oraz  równ an ia  regularn ych  tarcz i  pł yt  siatkowych,  utworzonych  z  dwóch rodzin prę tów  sztywno  ze  sobą   poł ą czon ych w  wę zł ach i  opisanych za pomocą *równań  dyskretnej teorii  sprę ż ystoś ci  [1].  Oprócz  tego  zał oż on o,  że  wszystkie  oczka  siatki  mają   jedn akowe kształ ty i wymiary. W  pun kcie 4 om ówion a jest analogia tarczowo- pł ytowa w kontynuał nej teorii  dź wigarów  siatkowych.  M odelem  obliczeniowym jest  w  tym  przypadku  dwuwymia- rowy  oś rodek  wł ókn isty  C osseratów  [3]. W  pracy  stosowan a jest  konwencja  sumacyjna.  Wskaź niki  k,  l,m,n,  ...  oraz  K,L ,M, N ,  ...  przebiegają   cią g  1, 2,  wskaź niki  A,  0,  ... przebiegają   cią g  I,  I I .  Symbole  A A (d)  oznaczają   prawe  i  lewe  róż nice  funkcji  ^- °' (2.3) A lA M^   +  e k Jl A T 0] =O. Jeż eli  z  kolei  wielkoś ci  T *,  f A ,  M A   M A   wyrazimy  przez  dowolne  funkcje  k i  B e aar> fA®  _   P aA l ,r0fJ  —  s  e  j o r . — e s aar, fA*P AN ALOG IA  TARCZOWO- PLYTOWA  W  TEORII  DŹ WIG ARÓW  SIATKOWYCH   141 Zwią zki  (2.4),  (2.17)  oraz  równ an ia  (2.11)  stanowią   ukł ad  równ ań  naprę ż eniowych  tarcz siatkowych. P odstawowym i  n iewiadom ym i  są   trzy  funkcje  naprę ż eń.  R ówn an ia  dla  tych  funkcji mają   postać H'  & 8   ̂ l  ̂ =   0, N atom iast  równ an ia  (2.5),  (2.18)  i  (2.12)  stanowią   ukł ad  równ ań  naprę ż eniowych  pł yt siatkowych.  R ówn an ia  dla  funkcji  n aprę ż eń  mają   w  tym  przypadku  postać  nastę pują cą: A A [a M 'A»cp+b A ?(A 0 y l   + e l m !%cp)] + e k l l k A [ff*  (A 0 y>'"  + «*,/ &?>) +b*tA~ 9 A>  x'lA  *^   'IA> q> k - (- ^ v k ,  yn- m,  r$ < Z- A  ^_,  7T/1  7,A0  .  .  J7A0  uA&  , x  *- *  i  ,  cijci  «- >  r^ i  ,  Oic  * fiPA  iA'T > to  otrzym am y  równ an ia  przemieszczeniowe  pł yt  (1.4),  (1.5),  (1.6),  (1.8). An alogia  ta  obejmuje  równ ież  pozostał e  równ an ia,  mianowicie  (2.6),  (2.7)  i  (2.13), (2.14);  (2.2),  (2.3) i  (2.8),  (2.9). Ogólnie  m oż na wię c powiedzieć,  że  zamieniają c  odpowied- n io  symbole  w  dowoln ym  równ an iu  zagadn ien ia  tarczowego,  otrzymamy  odpowiadają ce m u  równ an ie  zagadn ien ia  pł ytowego  i  odwrotn ie,  dokon ują c  takiej  zamiany  w  dowolnym równ an iu  zagadn ien ia  pł ytowego  otrzym am y  odpowiednie  równ an ie  zagadnienia  tarczo- wego. 142  '  K.  H .  BOJD A 4.  Analogia  tarczowo- plytowa  dla  dź wigarów,  których modelem obliczeniowym jest  dwuwymiarowy  wł óknisty oś rodek  Cosseratów W  poprzednim  punkcie  pracy  omówiono  analogię   tarczowo- pfytową   dla  regularn ych siatek  prę towych,  opisanych  równaniam i  dyskretnej  teorii  sprę ż ystoś ci.  W  tym  pun kcie wykaż emy  istnienie  takiej  samsj  analogii  w  kontynualnej  teorii  dź wigarów  siatkowych. Korzystają c  z reguł  aproksymacyjnych  podan ych w  [1] i w  [5] m oż na przejść  od  równ ań modelu  dyskretyzowanego  do  równań  modelu  cią gł ego.  R ówn an ia  dla  modelu  cią gł ego przedstawimy  od  razu  w  krzywoliniowym  ukł adzie współ rzę dnych  xK,  stosują c  takie  same oznaczenia  jak  w  pracy  [3]. '• • i' f* Jedn orodn e  równania  równowagi,  zwią zki  geometryczne  oraz  równ an ia  konstytutyw- ne  dla  zagadnienia  tarczowego  mają   postać  [3]: (4.1)  PKL\ K=0, (4.2)  y KL   =   u L \ K +e L K v, (4.3)   P KL  -   AKtmyMH, dla  zagadnienia  zaś  pł ytowego  postać  nastę pują cą   [3]: (4.4)  / > K |K =   0 ,  >nKL\ K +e L K p K ~0, (4.5)  •   y K   =   u\ K +e KM v M ,  x KL   =   v L \ K , (4.6)   P K  =   AKLy L ,  m KL  =   CKL MNx MN , gdzie pKL  i  mK,y K L   i  «K>  "x  i  w są   kolejno  skł adowymi  tarczowego  stan u  n aprę ż en ia, odkształ cenia i przemieszczenia,  a pK,  mKL,  y K   i x KL ,  uiv K   —•  skł adowymi  pł ytowego  stan u naprę ż enia, odkształ cenia i  przemieszczenia,  zaś  AKL MN,  CKL,  CKL MN  i  AKL  są   skł adowym i tensorów  sztywnoś ci  sprę ż ystej. R ównania  dla  skł adowych  stanu  przemieszczenia  mają   odpowiedn io  postać  [3]: (  ^  (CKMv\ M )\ K   + e KL A KmN (u N \ M +eN Mv)  =   0 dla  tarczy  oraz 1  J   (C KL m v N \ M )\ K   + e L K A™(u\ M   + e MN v»)  .  0 dla  pł yty. Równania  naprę ż eniowe  tarcz  siatkowych  został y  szeroko  omówione  w  pracy  [3], gdzie  jako  podstawowe  niewiadome  przyję to  dwie  skł adowe  stan u  n aprę ż en ia  mK  oraz jedną   funkcję   naprę ż eń.  Pomię dzy  tym i  równ an iam i  i  równ an iam i  przemieszczeniowymi pł yt  nie  zachodzi  jedn ak  analogia.  D latego  też  obecnie  przedstawim y  równ an ia,  które odpowiadają   swoją   budową   równ an iom  podan ym  w  drugim  pun kcie  pracy. Z wią zkom  (2.1)  odpowiadają   wzory: e MK a N L p Ml *,  m K   =  e MK m M , e MK   a N L m MN ,  p K   =   e MK p M , AN AL O G I A  T AR C Z O WO - P Ł YT O WA  W  TE OR I I  D Ź WI G AR ÓW  SIATKOWYCH   143 równ an iom  zaś (2.2),  (2.3),  (2.4)  i  (2.5)  równ an ia  n astę pują ce: (4.10)  ^[M |N |U ]  =   0,  W[M I K ] +  ^ [ K ^ M ] N   =   0, (4.11)  PIM\ KJ  =   0 ,  rfi [M \ N \ \ K}  + e N [K PM- i  =  0 , (4.12)  PKL =  7JL \ K,  m K   -   ip K  +  e KL cp L , (4.13)  m KL   =   y) L \ K +e L K(p,  PK =   ,  V'K, 

(4.21)  yK  =   eKM(u\ M +e ML v l ),  ~n KL   =  e KM v L \ M . Zwią zki  odwrotn e do (4.3) i  (4.6)  mają   postać (4.22)   YKh   =   B KL MN p MN ,  % K  m  D KL m L , (4.23)  y K   =  5 ^ ^ ,  %K L -   DKL MNm MN , n atom iast  równ an ia  odpowiadają ce  zwią zkom  (2.17) i  (2.18)  postać  nastę pują cą: (4.24)  7KL  =  BKL MNp MN ,  K K  =  D KL m L , (4.25)  -   yK  =   §KL ~ L !   %KL  m   j5^ ^ fh Ml!) gdzie J  D KS  =   eL KeMSD m , 144  K.  H . BOJDA Korzystają c  z  (4.12),  (4.24)  i  (4.18)  otrzym am y  równ an ia  n a funkcje  naprę ż eń  dla  zagad- nienia  tarczowego [D KL (w\ L   +  e L M

 xKL,  mK  *- » yK,  iig. <-»  y>K» • o++  m KL ,  «K  *+ PK> Ą KL MN  ^   jyKL MN   (jKM  < _^ gKM to  otrzymamy  równania  naprę ż eniowe  pł yt  (4.13),  (4.19), (4.25), (4.27)  oraz że jeż eli w rów- naniach  naprę ż eniowych  tarcz  (4.12)  (4.18),  (4.24),  (4.26)  dokon am y  zam ian y  symboli wedł ug  schem atu: PKL  *- * to  otrzymamy  równ an ia  przemieszczeniowe  pł yt  (4.4),  (4.5),  (4.6), (4.8). Wydaje  się ,  że  najistotniejsze  znaczenie  m a  an alogia  pom ię dzy  równ an iam i  (4.26) i  (4.8).  ' F unkcje  naprę ż eń  tarczy  siatkowej  muszą   speł niać równ an ia  identyczne  z  równ an iam i dla  skł adowych  stanu  przemieszczenia  odpowiednio  dobran ej  pł yty  siatkowej.  A  zatem bę dzie  m oż na  mierzą c  skł adowe  stan u  przemieszczenia  pł yty  jedn ozn aczn ie  wyznaczyć wartoś ci  funkcji  naprę ż eń  dla tarczy.  W ten sposób  m oż na  eksperymentalnie  badać  stany naprę ż enia  tarcz  siatkowych.  M oże  to  mieć znaczenie  dla tarcz  o nietypowych  kształ tach. 5.  Uwagi  koń cowe W  pracy  [6] rozważ ono  powł oki  siatkowe  zbudowan e  z  trzech  rodzin  prę tów  przy zał oż eniu,  że  róż nice  mię dzy  dł ugoś ciami  prę tów  są siednich  są   wielkoś ciami  «mał ymi» w  porówn an iu  z  dł ugoś cią   prę ta.  P rzy  takim  zał oż eniu  dokł adn ość równ ań  przemieszcze- niowych  i  naprę ż eniowych  jest  róż na  w  ram ach  tej  samej  teorii.  T ru dn o  zatem  mówić w  takim  przypadku  o peł nej  an alogii.  Z tego  też powodu  w  pu n kt ach  1- 3 niniejszej  pracy rozważ ania  ograniczono  do  siatek,  których  wszystkie  oczka  mają   jedn akowy  kształ t i  wymiary.  Jedn ak  znacznie  istotniejsze  jest  zał oż enie, że siatka  prę towa  utworzon a  jest z  dwóch  rodzin  prę tów.  M odelem  obliczeniowym  jest  wtedy  dyskretny  oś rodek  Cossera- tów,  którego  rzą d  struktury  róż nicowej  m  wynosi  2. AN ALOG IA, TARCZOWO- PŁYTOWA  W  TEORII  DŹ WIG ARÓW  SIATKOWYCH   145 Wydaje  się ,  że  tylko  dla  tego  przypadku  moż liwe jest  sformuł owanie  nie  tylko  analogii tarczowo- pł ytowej,  lecz  również  analogii  statyczno- geometrycznej.  Co  prawda  w  pracach [2]  i  [6]  dopuszczon o  do  rozważ ań  dyskretne  oś rodki  Cosseratów,  dla  których  m  >2, lecz  nie  wyjaś niono  istotn ych  problem ów  z  tym  zwią zanych.  M ię dzy  innymi  nie  wyjaś nio- n o  redukcji  liczby  warun ków  nierozdzielnoś ci.  N a  przykł ad  w  pracy  [2]  wzór  (3.2)2  na str.  122  m a  postać (5.1)  A VP x%  =   0 . D la  m  =  3  ukł ad  ten  zawiera  dziewię ć  niezależ nych  warun ków  nierozdzielnoś ci,  podany zaś  n a tej  samej  stron ie  ukł ad  (3.3) 2  w  postaci (5.2)  iA*A A x%  m  0 dla  m  =   3  zawiera  ju ż  tylko  trzy  warun ki  nierozdzielnoś ci. T a  sam a  uwaga  odn osi  się   także  do  pozostał ych  warun ków  nierozdzielnoś ci.  Powstaje zatem  pytan ie,  czy  rozwią zan ia  otrzym an e  n a  podstawie  równań  naprę ż eniowych,  po- dan ych  w  [2]  i  propon owan ych  w  [6],  w  przypadku  gdy  m  >  2,  bę dą   poprawne,  tzn. czy  uzyskan e  n a  ich  podstawie  skł adowe  stanu  odkształ cenia  bę dą   speł niał y  wł aś ciwe warunki  nierozdzielnoś ci.  P ytan ie  jest  o  tyle  istotn e,  że  m oż na  okreś lić  fikcyjny  stan odkształ cenia  o  skł adowych  speł niają cych  warun ki  (5.2),  a nie  speł niają cych  koniecznych warun ków  nierozdzielnoś ci  (5.1),  gdyż  równ an ia  (5.2)  są   sumami  odpowiednich  równań (5.1). G dy  m  — 2  sym bol  s"1*  przechodzi  w  symbol  eń 0  i  równoważ ność  odpowiednich ukł adów jest  oczywista.  N at o m iast w  przypadku  m odelu  cią gł ego  rozważ ania  są   poprawne dla  siatek  utworzon ych  zarówn o  z  dwóch, ja k  i  z  trzech  rodzin  prę tów. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  C z. WOŹ N IAK,  Discrete elasticity,  Arch.  Mech.  StoS., 6, 23 (1971).  , 2.  C z.  WOŹ N IAK, Discrete  elastic Cosserat media,  Arch.  Mech.  Stos., 2, 25  (1973). 3.  C z.  WOŹ N IAK,  Siatkowe  cliwigary  powierzchniowe,  Warszawa  1970. 4.  M. KLEIBER,  C Z . WOŹ N IAK,  On equations  of  the  linear  theory of  elastic  lattice  shells,  Bull.  Acad.  Polon Soi,,  Serie  Sci. Techn.,  3,  19  (1971). 5.  S.  KON IECZN Y,  F .  PIETRAS,  C Z . WOŹ N IAK,  O  liniowych zagadnieniach  dyskretnej teorii  sprę ż ystoś ci, Rozpr.  Inż .,  2, 20  (1972). 6.  M. KLEIBER, Statics  of elastic lattice- type  shells,  Arch.  Mech.  Stos.,  2, 25  (1973). P  e 3  K>  M  e n J I AC T H H O ^ H AJ I  AH AJ I O r H a  B  T E O P H H   ITOBEPXH OCTH LIX C E T ^ AT L I X  H E C Ym H X  COOPy>KEH H ft B  paSoTe  npeflcraBJieH a  iraacTHHO^HaH   aH anorH H  pflfi flH CKpeTH 30BaH H 0H  Moflerai  H  flJin H en pepH B- H OH   MOfleJiH   ceTqaTbix  niracTH H . AH anorH H   COCTOHT  B  cxoflcTBe  ypajsHeHHfi  B nepeMemeH H H x  oiracfciBaiomHX  COCTOH H IK,  Bbi3BaHHoe H arpy3KOH j  fleH CTBywmeft  B  IU IOCKOCTH   cacieM M   H  ypaBHeHHii  B  H an p»KeH H ax,  oimcMBaioiUHX  coc- TOHHHe,  BbMBaHHoe  H arpy3i