Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z2.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  12  (1974)

WIELKIE  SYSTEMY  P R OC E SÓW  N IEOD WRACALN YCH   TERMOD YN AMIKI

R OBE R T  K R Z Y W I E C  (WAR SZ AWA)

1.  Wprowadzenie

Autor  w  swoich  pracach  [1  i  2]  sformuł ował   algebrę   wielocią gów  czyli  cią gów  wielo-
wskaź nikowych  ja ko  wielkich  systemów  cią gów  i  rozważ ał   elementy  analizy  wielocią go-
wej.  P race  [3- 6]  dotyczą   systemowego  sformuł owania  praw  H ooke'a,  Ohma, N ewtona,
n atom iast  w  pracach  [7- 12]  są   sformuł owane  wielocią gowe  równ an ia  Lagran ge'a  drugiego
rodzaju  w  zastosowaniu  do  kon kretn ych wielkich  systemów  mechanicznych, stereomecha-
nicznych,  elektrycznych.  Okazuje  się ,  że  algebraiczny  formalizm  przestrzeni  liniowej
o  elem entach wielocią gowych,  ja ko  poję ciach  ogólniejszych  od wektora  i macierzy, moż na
zastosować  do  sform uł owan ia  systemu  wielkiego  procesów  nieodwracalnych  termody-
n am iki.

W  pracy  niniejszej  om ówion o  nastę pują ce  zagadn ien ia:
1)  uję cie  systemowe  procesów  n ieodwracaln ych  term odyn am iki;
2)  zastosowanie  cią gów  wielowskaź nikowych  —  w  szczególnoś ci  przekształ ceń  wielo-

liniowych  —  do  przedstawien ia  t ak  pojm owanych  procesów  jako  systemów  wielkich;

3)  wykorzystanie  sform alizowanego  poję cia  u kł ad u  —  systemu  przepł ywowego  wielo-
wskaź nikowego  do  rozważ an ia  tych  procesów;

4)  podan ie  wielowskaź nikowych  schem atów  blokowych  ja ko  ilustracji  przekształ ceń
wieloliniowych;

5)  interpretację   zm ien n ych  stan u  procesów  term odyn am iczn ych  za  pomocą   grafów
wielowskaź nikowych  wielopoziom owych ;

6)  sformuł owanie  problem u  optymalizacji  wielkich  systemów  termodynamicznych
procesów  n ieodwracaln ych ;

7)  omówienie  i  uzasadn ien ie  analogii  termodynamiczno- mechaniczno- stereomechanicz-
no- elektryczno- ekonomicznej  w  klasie  przekształ ceń  wieloliniowych.

P raca  niniejsza  jest  jedn ocześ n ie  wstę pem  do  rozważ ań  ogólniejszych  n a  tem at  syste-
mowego  traktowan ia  zagadn ień  term osprę ż ystoś ci.  Autor  sformuł ował   tę   problem atykę
w  kolejnej  pracy  p o d  tytuł em  «O  term osprę ż ystych  system ach  wielkich)),  która jest  przy-
gotowan a  do  druku.  Wykorzystan o  w  niej  wprowadzon e  tu  systemy  wielkie  równ ań
fenomenologicznych  —  równ an ia  fenomenologiczne  wielocią gowe.

R ozważ my  ukł ad 1*  term odyn am iczn y2*  speł niają cy  drugą   zasadę   term odynam iki

T ds- Q  Ss 0,
1 5  W  dalszych  rozważ aniach  okaże się ,  że jest  to ukł ad  przepł ywowy  [14],  którego  pierwszym  przybli-

ż eniem jest  przekształ cenie liniowe  (wieloliniowe).
2 >  Ś ciś lej  mówią c  termostatyczny.



112  R.  KRZYWIEC

gdzie  5  oznacza  en tropię   ukł adu,  T - —temperaturę   absolutną ,  Q  —  ciepł o  wymienione
z otoczeniem podczas przem iany nieskoń czenie m ał ej,  n atom iast d jest symbolem  róż niczki.
P rzypadek  znaku  równoś ci  dotyczy  procesów  (zjawisk)  quasi- stacjonarnych,  zn ak  nierów-
noś ci  stosuje  się   w  przypadku  procesów  nieodwracalnych.

Z godnie  z  terminologią   termodynamiczną   [13]  rozróż n iamy  dwa  rodzaje  wielkoś ci
charakteryzują cych  procesy  nieodwracalne,  m ian owicie:

1)  wielkoś ci  intensywne,  takie  ja k  tem peratura  absolutn a  T , p  —  ciś nienie,  / / ,
t
 —  gra-

mowy  potencjał   chemiczny  z- tego  skł adnika  niezależ nego,  F
a
  • —  sił y  wykonują ce  pracę

przy  zmianie  param etrów  / „ ;

2)  wielkoś ci  ekstensywne,  takie jak  n p.  masą ,  energia.
Z  analizy  wyraż eń  okreś lają cych  szybkość  reakcji  tworzenia  entropii lub  ź ródła en tropii

wynika,  że wielkoś ci  te są  podan e za pomocą  sum iloczynów  róż nic lub gradien tów  pewnych
wielkoś ci  intensywnych  i  szybkoś ci  zmian  pewnych  wielkoś ci  ekstensywnych.

Wiadom o  z  pracy  [13],  że  przyczynami  przem ian  nieodwracalnych  są   róż nice  bą dź
gradienty  wielkoś ci  intensywnych.

DEFINICJA  1.0.  Bodź cami termodynamicznymi X  {sił ami termodynamicznymi)  nazywamy
róż nice  i  gradienty  wielkoś ci  intensywnych,  wystę pują cych  w  wyraż eniach  okreś lają cych
ź ródł a  entropii  [13],

Procesy  nieodwracalne  charakteryzują   się   zm ian am i  lub  przepł ywami  okreś lon ych
wielkoś ci  intensywnych  bą dź  też  powstawaniem  jedn ych  lub  znikaniem  in n ych  substancji
w  reakcjach  chemicznych.  Spowodowane  to jest  bodź cami  term odyn am iczn ym i.

D EF IN ICJA  2.0.  Przepł ywami  termodynamicznymi nazywa  się   szybkoś ć  zjawisk, spowodo-
wanych  bodź cami  termodynamicznymi.

Poję cia  te  umoż liwiają   scharakteryzowanie  ź ródła  en tropii.
D EF IN ICJA  3.0.  Ź ródł o  entropii  & jest  sumą  iloczynów bodź ców  termodynamicznych  i prze-

pł ywów  termodynamicznych,

gdzie

są   cią gami jednowskaź nikowymi,  przy  czym  n jest  liczbą  bodź ców  lub  przepł ywów.

W  sformuł owaniu  tym  mogą   też  wystą pić  cią gi  zerowskaź nikowe,  mianowicie  wtedy,

gdy

•   '  ,  ©   =   °X- al  =XJ,

czyli  w  przypadku  jedn ego  bodź ca  i  jedn ego  przepł ywu.
I stota  uogólnienia  rozważ anych  poję ć  i  procesu  term odyn am iczn ego  nieodwracalnego

n a  wielkie  systemy  takich  zjawisk  polega  n a  wprowadzen iu  cią gów  wielowskaź nikowych
zmiennych  stanu, to jest  n a  stosowaniu  bodź ców  i  przepł ywów  term odyn am iczn ych wielo-
"wskaź nikowycł i.  W  konsekwencji  ź ródło  en tropii  S  wyrazi  się   odpowiednią   sumą   «skala-
rową »  iloczynów  takich  cią gów.





114  R.  KRZYWBC

U w a g a .  W  rzeczywistoś ci  mamy  tu  do  czynienia  z  w- krotną   formą   liniową   wspo-
mnianych  cią gów,  gdyż  należy  jeszcze  rozwiną ć  iloczyny  skalarowe  cią gów  jednowska-
ź nikowych  XJ.

Tym  samym  przekształ cenie

7t(<3, " %  V )  =  0

jest  niejako  warunkiem optymalizacji  («funkcją   celu»)  wielowskaź nikowej  funkcji  stanu.
Okazuje  się   bowiem,  że  procesy  nieodwracalne  dą żą   do  stanu  minimum ź ródła  entropii

©   =   6 ( * I ,  V )  .'

przy  danym  przekształ ceniu  (  ).
Wyniki  doś wiadczeń  (prawo  F ouriera przewodzenia  energii, zjawisko  prą du  elektrycz-

nego,  transportu  energii,  masy,  zjawiska  mechaniczne,  prawo  dyfuzji  F icka,  przepł yw
substancji  w  termodyfuzji  i  inne)  umoż liwiają,  przy  bardzo  mał ych bodź cach,  przyję cie
liniowej  zależ noś ci  przepł ywów  od  bodź ców.

Zał oż enie  liniowoś ci  w  odniesieniu  do  reakcji  chemicznych  oddalonych  od  stanu
równowagi  jest  przybliż eniem  niewystarczają cym.

2.1.  Równania  fenomenologicznc  liniowe zero-   i jednowskaź nikowe.

D EFIN ICJA  6.1.  Proces  termodynamiczny  nieodwracalny jest  liniowy,  gdy  opisuje  go
przekształ cenie liniowe [15 i  16] {jednoł iniowe  [1 i 2])

7  =   2L X,
czyli

gdzie

Ji  =  [Jj,],  A  =   1 ,  • • • >«!
jest  cią giem jednowskaź nikowym  przepł ywów, natomiast

X  =   [X
h
],  j

2
  =  1,  . . . , n

2
;  n

t
  =   n

2
  =   n

stanowi cią g jednowskaź nikowych  bodź ców termodynamicznych, przy  czym

• "11  • ••   - '- 'In

jest  cią giem dwuwskaź nikowym stał ych współ czynników («proporcjonalnoś ci», «sprę ź ystoś ci»)
niezależ nych  od  bodź ców  i przepł ywów.

Przekształ cenie  to  nosi  nazwę   równań  fenonienologicznych,  przy  czym  L j j
2
  są  współ - .

czynnikami  fenomenologicznymi.
Zauważ my,  że  każ da  współ rzę dna Ą

lt
  k

x
  =  1,...», n{  =  n  jako  cią g  zerowskaź niko-

wy —  element  cią gu  jednowskaź nikowego  J—jest  kombinacją   liniową   współ rzę dnych
jednowskaź nikowych  X,  czyli

J»! =   L
kl
X=  L

kil
X

1
+  ...



WI E L K I E  SYSTEMY  P R OC E SÓW  N I E OD WR AC ALN YC H   TERM OD YN AM IKI 115

W  zwią zku  z  tym  przekształ cenie  L
klkz

X
kl
  nazywamy  przekształ ceniem  zeroliniowym

cią gów  zerowskaź nikowych.

2.2. Równania fenomenologiczne  dwuliniowe.  P rzekształ cenie  liniowe  cią gów  dwuwskaź-
nikowych  nazywamy  przekształ cen iem dwuliniowym  [1, 2].

D E F I N I C JA  6.2.  Proces  termodynamiczny  nieodwracalny  jest  dwuliniowy,  gdy  opisuje go
przekształ cenie  dwuliniowe

V  =   *L 2X,

czyli

J
x
  —

  2
L

11
X

1
+  ...  +

2
L

ln
X„,

7 — 4- 2
. . .  T

lub przy  uwzglę dnieniu  cią gów  zerowskaź nikowych

gdzie
+ L„„nlX,H+   ...  + L n l m X l n +   ...  + L„„nnX„n,

,  J\   = 7 3  =   1,  ..- ,«

cią giem  dwuwskaź nikowym  przepł ywów,  a

J i  " J A ,  — 1»  • • • »»i.

cią giem  dwuwskaź nikowym  bodź ców  termodynamicznych,  natomiast

27"  2jT

stanowi  cią g  czterowskaź nikowy  stał ych  współ czynników  fenomenoł ogicznych,  przy  czym

każ dy  skł adnik  sum  stron  prawych
  2

L
k}kA

X
kĄ

,  k
3
  =   k

4
  — 1, . . . , «,  dany jest  iloczynem

«macierzowym»  [1,2]  cią gu dwuwskaź nikowego  przez  cią g  jednowskaź nikowy.

2.3.  Równania fenomenologiczne trójliniowe.  P rzekształ cen ie  liniowe  cią gów  trójwskaź niko-

wych  nazywam y  przekształ cen iem  trójliniowyrn  [1,  2].
D E F I N I C JA  6.3. Proces  termodynamiczny  nieodwracalny jest  trójliniowy,  gdy  opisuje  go

przekształ cenie  trójliniowe

3
J  =   6L 3X,

czyli

2  r  _  4 J
n  - *i  +   • ••   • +"  L

nn
  X„,



116 R .  K R Z YWI E C <

gdzie  poszczególne  skł adniki  sum stron  prawych  moż na  przedstawić  wedł ug  definicji  6.2,

jeś li

,  i  h ~h  =Js  =  1 ,  • • • »«

'&sf  cią giem  trójwskaź nikowym  przepł ywów, a

J 2  = J *  = J 6  =   I , - - -,

jesi  cią giem  trójwskaź nikowych  bodź ców  termodynamicznych,  natomiast

2r
^1

AT  AT
L

- l\   • • •
  J

- 'ln

Aj  47 2 7
- '- 'l

2 7
• " 1

stanowi  cią g  sześ ciowskaź nikowy  stał ych  współ czynników  fenomenologicznych.

2.4. Równania fenomenologiczne  ie- liniowe. P rzekształ cenie liniowe cią gów w- wskaź nikowych
nazywamy  przekształ ceniem  w- Iiniowym  [1,  2].

D EF IN ICJA  6. w. Proces  termodynamiczny  nieodwracalny jest  w- liniowy,  gdy opisuje go
przekształ cenie  w- liniowe

V  =   2wLwX,

czyli

w—lr  2IV- 2T  w - l
J ^

w—lr
J
l  —

2w- 2r  »- l

W —IT   2u> —2r  \ v—ly  ,  \ _2\ V~2T   W— 1~
J
- ' nl  ^ - 1 '  • ••   " t ~   • L - 'nn  ^

lT
Jn  —

gdzie poszczególne  skł adniki  sum stron prawych  moż na rozwiną ć  wedł ug definicji  6 w  — 1, . . . ,
6.3,  6.1,  6.0,  jeś li

.  A =   • ••   = i 2 *+ i  =   1, ..., «;  /c =  0, l , . . .  , H ' - I

cią giem  w- wskaź nikowym  przepł ywów,

W Z =   [ ij, . „ j4 J = h =



WI E L K I E  SYSTEMY  P R OC E SÓW  N I E OD WR AC ALN YC H   TERM OD YN AM IKI 117

jest  cią giem  w- wskaź nikowym  bodź ców  termodynamicznych,  natomiast

=   [Lh...hJ  =
J l l

2w- 2
L

ln

2w- 4L

2iv- 2r  2w—2r
J- >nl  • ••   • *Jllil.

2iv—4~r
1  1

2 w -
*L

ttl

- 'ii

'- 'ni

2iv- 4r
J- 'nnI  J l l

2,V- 4L
.1 I

2w- 4
Al l

2w- 4
- '- 'In

2 H > - 4• T

2w  —  Ar

stanowi  cią g  2w'- wskaź nikowy  stał ych  współ czynników  fenomenologicznych,  przy  czym
poszczególne  skł adniki  sum  stron  prawych  są  odpowiednio  zdefiniowanymi  iloczynami
«macierzowymi»  cią gów  (2w — 2)- wskaź nikowych  i  (w—  1)- wskaź nikowych.

W  ten  sposób  przez  wprowadzen ie  cią gów  wielowskaź nikowych  zmiennych  stanu
uogólniliś my  równ an ia  fen om en ologiczn e  liniowe  termodynamicznych  procesów  nie-
odwracaln ych  n a  przypadek  ró wn ań  w- liniowych  (wieloliniowych),  gdzie  w  jest  dowolną
liczbą   n aturaln ą . Tym  sam ym  m am y  m oż ność rozważ an ia  wielkiego  systemu3*  procesów
term odyn am iczn ych  n ieodwracaln ych.  Wprowadzon y  tu  fenomenologiczny  system  wielki
jest  wykorzystany  d o  wyprowadzen ia  systemu  wielkiego  równań —  równania  wielocią -
gowego  ten n osprę ż ystoś ci  [17].

Z e  wzglę du  n a  wielokrotn ą   zł oż on ość  (w  sensie  cią gów  wielowskaź nikowych)  takich
systemów- procesów  dą ż ymy  do  podan ia  poglą dowych  interpretacji  rozważ anych  poję ć.
Okazuje  się ,  że  przekształ cen ia w- liniowe  traktowan e jako  równania zwane w- równaniami
liniowymi  lub  równ an iam i  w- liniowymi  fenomenologicznymi  m oż na  zilustrować  za  po-
m ocą :

1)  wielowskaź nikowego  schem atu  blokowego  nazywanego  też  wieloschematem  bloko-
wym  lub  wieloblokiem ,

2)  grafów  wielowskaź nikowych  z interpretacją   (2a)- zmiennych  wielowskaź nikowych
(stan u  zjawiska),  albo  (2b)- przekształ ceń  wieloliniowych.

W  zwią zku  z tym  w  p u n kt ach 3 i 4  om ówim y:
1)  wielowskaź nikowe  schem aty  blokowe  przekształ ceń  wieloliniowych,
2)  grafy  wielowskaź nikowe  przekształ ceń  wieloliniowych.

3. Wielowskaź n ikowe  sch em at y blokowe  równ ań fenomenologicznych  ic- liniowych

P rzekształ cenie  M'- liniowe  stan owi  [1, 2,  14] najprostszą   transmitancję   ukł adu konkret-
nego  przepł ywowego  w- wskaź nikowego.  M oż na  w  zwią zku  z tym  przenieść  formalizm
takiego  ukł adu  vc- liniowego  n a system y—- procesy  term odynam iczne  nieodwracalne
i  sformuł ować  kilka  twierdzeń  ł atwych  do udowodn ien ia.

3 )  W  ro zu m ien iu  definicji  4 .



118  R.  KRZYWIEC

F orm alizm  ten  [14]  przy  wykorzystaniu  poję cia  tran sm itan cji  wielowskaź nikowej
"T ,  w- grafu  (grafu  w- wskaź nikowego)  oraz  wieloboku  jest  nie  tylko  przejrzysty,  ale
umoż liwia  rozważ anie  wspomnianych  procesów  w  kategoriach  autom atyki i  program owa-
nia  ł v- liniowego  z  poszukiwaniem  rozwią zań  optym alnych  dan ych  w- równań  femonemo-
logicznych  przy istnieniu  ograniczeń przedstawionych  za pom ocą  ź ródeł  en tropii. K u  takim
rozwią zaniom  (minimum  entropii)  st eru je—jak  wiadom o —  sam a  n atura  w  procesach
termodynamicznych  nieodwracalnych,  które  m oż na  nazwać  zjawiskami  autoregulacyj-
nymi.

3.1.  Schemat blokowy  zerowskaź nikowy  równania  zeroliniowego.  P rzekształ cenie  zeroliniowe

j  =   L X

jest  najprostszą   transmitancją   zerowskaź nikową   °T,  czyli

ix  =   °T
2
x,

jeś li
  L

x  —  sygnał   wyjś cia,  a
  2

X  —  sygnał   wejś cia  ukł adu  term odyn am iczn ego  zerowskaź-
nikowego  jako  ukł adu  przepł ywowego.

Przedstawiamy  go  symbolicznie  n a  rys.  1

Rys.  1

czyli  wobec  liniowoś ci  °T'm am y  schemat przyję ty  n a rys.  2.

T

Rys.  2

3.2.  Schemat blokowy  jednowskaź nikowy  równania jednoliniowego.

TWIERD Z EN IE.  Ukł ad  termodynamiczny  nieodwracalny jednowskaź nikowy  jest  ukł adem
przepł ywowym  jednowskaź nikowym.

D owód  wynika  z  porówn an ia  definicji  ukł adu  term odyn am iczn ego  jedn owskaź n iko-
wego  i  ukł adu przepł ywowego  jednowskaź nikowego  [14].

U kł ad  przepł ywowy  jednowskaź nikowy  o  tran sm itan cji  ł   T ,  czyli

v.  I T 1  T:   ̂ T;  T;  ~z:

którego  funkcja  stan u  wobec  liniowoś ci  12* w  przyję tych  ozn aczen iach  dan a  jest prze-
kształ ceniem

J=
2
L X



WI E L K I E  SYSTEMY  P R OC E SÓW  N I E OD WR AC ALN YC H  TERM OD YN AM IKI  119

przedstawion o  n a  rys.  3.
Widzim y,  że  każ dy  zero wskaź nikowy  sygnał   wyjś cia  y

kl
,  k

1
  =   1,  . . . , «,  jest  kombi-

nacją   liniową   zerowskaź n ikowych  sygnał ów  wejś cia  x
k
\ ,  k

2
  <=>  \ ,...,n

2
.  Tym  samym

ukł ad  jedn owskaź n ikowy  jest  wyraż ony  przez  cią g  jednowskaź nikowy  kombinacji  linio-
wych  ukł adów  zerowskaź n ikowych.

3.3.  Sch em at  blokowy  dwuwskaź n ikowy  równ an ia  dwuliniowego.

TWI E R D Z E N I E .  Ukł ad  termodynamiczny  nieodwracalny  dwuwskaź nikowy  jest  ukł adem
przepł ywowym  dwuwskaź nikowym.

D owód  wynika  z  porówn an ia  definicji  ukł adu  termodynamicznego  dwuwskaź niko-
wego  i  ukł adu  przepł ywowego  dwuwskaź nikowego  [14].

U kł ad  przepł ywowy  dwuwskaź nikowy  o  transm itacnji  2T ,  czyli

iX  —  i
  2

x,  ix  —  y,
  2

x  —  x,

którego  funkcja  stan u  wobec  liniowoś ci  2T   w  przyję tych  oznaczeniach  dan a  jest  prze-

kształ ceniem

V  =
przedstawion o  n a  rys.  4.

Każ dy  jedn owskaź n ikowy  sygnał   wyjś cia  y- ^ ^ k  ̂ — \ ,  ...,n
x
,\   jest]  kombinacją

liniową   jedn owskaź n ikowych  sygnał ów  wejś cia  3cfc2,  k 2  =  I,  ...,n2.  Tym  samym  ukł ad
dwuwskaź nikowy  jest  wyraż ony  przez  cią g  jednowskaź nikowy  kombinacji  liniowych
cią gów  jedn owskaź n ikowych  (rys.  4)  lub  cią g  dwuwskaź nikowy  kombinacji  liniowych
ukł adów  zerowskaź nikowych,  co  pokazan o  n a  rys.  5.

Widzimy,  że  każ dy  z  podsch em atów  blokowych,  czyli  podsystemu  yk,  =  2a
kl
i

<2
x

k2
,

a  =   L , jest  systemem  p o d o bn ym d o  podan ego  n a  rys.  3.

3.4.  Sch em at  blokowy  trójwskaź n ikowy  równ an ia  trójliniowego.

TWI E R D Z E N I E .  Ukł ad  termodynamiczny  nieodwracalny  trójwskaź nikowy  jest  ukł adem
przepł y w o wy ni  trójwskaź niko  wym.

U kł ad  przepł ywowy  trójwskaź nikowy  o  tran sm itan cji  3T ,  czyli

ix  —  i
  2

x,  ix  —  y,
  2

x  —  x,

którego  funkcja  stan u  wobec  liniowoś ci  3T   w  przyję tych  oznaczeniach jest  dan a  prze-
kształ ceniem

3 7 =   6L 3X

przedstawion o  n a  rys.  6.
Każ dy  dwuwskaź nikowy  sygnał   wyjś cia  2y

kl
,  k

t
  =  1,  . . . , «i ,  jest  kombinacją   liniową ,

jedn owskaź n ikowych  sygnał ów  wejś cia  2x
kl
,  k

2
  =  1,  ..., «2.  W  ten  sposób  każ dy  z  pod-

schem atów  blokowych,  czyli  podsystem  %
l
  =   2a

klkz
x~i

2
,  a  =   L ,  jest  systemem  podob-

nym  do  pokazan ego  n a  rys.  5,  a  każ dy  podsystem  tego  systemu  (podpodsystem)  jest
systemem  podobn ym  do  pokazan ego  n a  rys.  5.  Tym  samym  ukł ad  trójwskaź nikowy  jest
wyraż ony  przez  cią g  dwuwskaź nikowy  kombinacji  liniowych  cią gów  jednowskaź nikowych
lub  cią g  trójwskaź nikowy  kom bin acji  liniowych  ukł adów  zerowskaź nikowych.  M oż na



S i

Ł

[120]



WI E L K I E  SYSTEM Y  P R OC E SÓW  N I E OD WR AC ALN YC H  TERM OD YN AM IKI 121

R ys.  5

wię c  każ dy.system  trójwskaź nikowy  przedstawić  za  pomocą   podsystemów  zerowskaź ni-
kowych.  ,

Każ dy  podsystem jedn owskaź n ikowy  takiego  systemu  jest  systemem  zł oż onym z pod-
systemów  zerowskaź nikowych,  podobn ym  do  systemu  jednowskaź nikowego  przedstawio-
n ego  n a  rys.  3.

3.5.  Sch em at blokowy  w- wskaź nikowy  równ an ia  ie- liniowego.

TWI E R D Z E N I E .  Ukł ad  termodynamiczny  nieodwracalny  w- wskaź nikowy  jest  ukł adem
przepł ywowym  w- wskaź nikowym.

D owód  wynika  z  porówn an ia  definicji  ukł adu  termodynamicznego  w- wskaź nikowego
i  ukł adu  przepł ywowego  w- wskaź nikowego  [14].  -



1 L  i 1  : fi

4

[122]



WI E L K I E  SYSTEMY  P R OC E SÓW  N I E OD WR AC ALN YC H   TERM OD YN AM IKI  123

U kł ad  przepł ywowy  w- wskaź nikowy  o  tran sm itan cji  T ,  czyli

którego  funkcja  stan u  wobec  liniowoś ci  WT   w  przyję tych  oznaczeniach jest  dan a  prze-
kształ ceniem

w~r  2vv  r w y

przedstawion o  n a  rys.  7.
Każ dy  z; podsch em atów  blokowych,  czyli  podsystem

W—J.T,  2w—2~z  w—I T:  „  r  h-   i  „  j.  i
yky  ~~  "^ 1 ^ 2  • *i2»  —  '  1  —  »  " " '  "w—l'  ^2  ~  l>   • ••   )  "W)

jest  systemem  (w — l)- wskaź nikowym, który m oż na sprowadzić do systemów (w — 2)- wskaź-
n ikowych,  .., , 3,  2,  1,  O- wskaź nikowych.

4.  Grafy  cią gów  wielowskainikowych

4.1.  G rafem  cią gu  zerowskaź nikowego

jako elementu pewnego  ciał a jest  odcinek pokazan y n a rys.  8.

Rys.  8

4.2.  G rafem  cią gu  jedn owskaź n ikowego

*3Ć  =   X  =   [Xj],  j  =   1,  . . . , «,  ^  —  elementy  ciał a  liczbowego,

jest  wychodzą cy  z jedn ego  p u n kt u M- elementowy cią g  odcinków, czyli  grafów  zerowskaź-
nikowych,  pokazan y  n a  rys.  9.  N azywamy  go  grafem jednopoziom owym .

Rys.  9

2  Mechanika  teoretyczna



124 R. KRZYWIEC

4.3.  G rafem  cią gu  dwuwskaź nikowego
2
x  =   [xj]  =   [x

JlJ2
],  j \   =   1, . . . ,  »i ;

J a  =   *  >  • • • !| 1 2 J

xj  —  elementy  ciał a  liczbowego,

jest  graf  jednowskaź nikowy,  z  którego  n
L
  koń ców  poprowadzon o po  n

2
  grafów  jedn o-

wskaź nikowych.  P okazan o go  na rys.  10.  Jest  on inaczej  nazywany  grafem  dwupoziom o-
wym  albo  grafem  grafu.

Rys.  10

4.4.  G rafem  cią gu  trójwskaź nikowego
3
x  =   [xj]  =  [x

hhJ
^ ,  J

k
  =  l,...,n

k
;  k  -   1, 2,  3,

xj  —  elementy  ciał a  liczbowego,
jest  graf  dwuwskaź nikowy,  z  którego  n

x
 n

2
  koń ców  poprowadzon o po  n

3
  grafów  jedn o-

wskaź nikowych.  P okazan o go  n a  rys.  11. Jest  on  inaczej  nazywany  grafem  trójpoziom o-
wym,  albo  grafem  grafu  dwuwskaź nikowego.

Rys.  11



WI E L K I E  SYSTEMY  P R O C E SÓ W  N I E OD WR AC ALN YC H   TERM OD YN AM IKI 125

4.5.  G rafem  cią gu  w- wskaź nikowego

"
x
  =   [xj]  =   [x

Jl
...  J w ] ,  j k  =   1,  . . . , nk\   k  =  1,  , .., w,

x- j —  elementy  ciał a  liczbowego,

jest  graf  (w— l)- wskaź nikowy,  z  którego  n
l
n

3
  • • •   «w- i  koń ców  poprowadzon o  po  ww

grafów  jedn owskaź n ikowych.  P okazan o go  symbolicznie  n a  rys.  12. N azywamy  go  grafem
vp- poziomowym  albo  grafem  grafu  (w— l)- wskaź nikowego,  bą dź  też  grafem  dwuwskaź ni-
kowym  grafu  (iv —2)- wskaź nikowego  l u b . . .  (w—1)- wskaź nikowym  grafem  grafu  jedno-
wskaź nikowego.

Rys.  12

P odan e  w  rozważ an iach  niniejszych  przekształ cenia  wielocią gowe  mogą   być  także
zilustrowane  za pom ocą   pewnych  par  grafów  [14]. P on iech am y tu tej  ilustracji  ze  wzglę du
n a  przytoczone  wielowskaź nikowe  schematy  blokowe.

5.  Zagadnienie  optymalizacji  ukł adu  wieloliniowego

P rzedstawiony  wyż ej  opis  zjawiska  za  pom ocą   operatora  wieloliniowego,  zwanego
równ an iem  fenom enologicznym  w- wskaź nikowym,  umoż liwia  sformuł owanie zagadnienia
jego  optym alizacji.

5.1.  Optymalizacja  układu zerowskaź nikowego.  Wprowadzam y  formę   liniową   (zeroliniową )

°7i:  =   T : ( C , X )  =   cX

zwaną   funkcją   celu zerowskaź nikowego,  gdzie x  >  0, oraz ż ą damy speł nienia tego warunku
przez  operator

J  =  L X.

2*



126  R. KRZYWIEC

5.2.  Optymalizacja  ukł adu  jednowskainikowego.  Wp r o wa d ź my  fo r m ę  lin iową

XTC »  ltt(fi
t
X)  =   c Z =  c t X , +   ...  +cnX„,

zwan ą  fun kcją  celu  je d n o wsk a ź n i k o we go,  gd zie

X=0.

Poszukujemy  ekstremum tej formy  przy  danym  operatorze  liniowym

7 =   ZL X.

Jest  t o  powszechnie  znany  problem  program owan ia  liniowego,  czyli  program owan ia  przy
zastosowaniu  cią gów  jednowskaź nikowych  zmiennych  (niewiadomych)  stan u  zjawiska.

5.3.  Optymalizacja  ukł adu  dwuwskaź nikowego.  Wprowadzam y  formę  dwuliniową

27t  =   2iz(2ć ,2T )  =  2c2X  =   C&+  ...  c,X  =  c
u
X

u
  + ... +  c

m
X

m
,

zwaną  funkcją  celu  dwuwskaź nikowego,  gdzie

2
X  >  2 0 .

Poszukujemy  ekstremum  tej  formy  przy  dan ym  operatorze  dwuliniowym

2 J  =   4L 2X.

N ależy tu zdefiniować  problem  program owan ia  dwuliniowego,  czyli  z uż yciem  cią gów
dwuwskaź nikowych  zmiennych  (niewiadomych)  stan u  zjawiska.

5.4.  Optymalizacja  ukł adu  trójwskaż nikowego.  Wprowadzam y  formę  trójliniową

37t  =   3n{3c,   3X)  =   3 c ^ £ =   %  *X
}
  +  ... +2c£X

:i
  «  C

1U
X

1U
+  ...  +c

nnn
X„

m
,

zwaną  funkcją  celu  trójwskaż nikowego,  gdzie

3 Z =   3 0 .

Poszukujemy  ekstrem um  tej formy  przy  dan ym  operatorze  trójliniowym

3 7  >   6L 3X.

N ależy  tu zdefiniować  problem  program owan ia  trójliniowego,  czyli  z  uż yciem  cią gów
trójwskaź nikowych  zmiennych  (niewiadomych)  stan u  zjawiska.

5.5.  Optymalizacja  ukł adu  ip- wskaż nikowego  Wprowadzam y  formę  w- liniową

w
%  =  w  K(WC, WX) =  wcwX  m  W- 1Ć

1

V
>-

1
X

1
+  ...  +

w
-

1
c„

w
~

1
X„  =

w  '  w_j,l  1  w _ x l  1

—  ... =  Cl ... lXy  ...
 1
 +   ...  + C „ ,,.  „X„ ...  „

zwan ą  fun kcją  celu  w- wskaź n iko wego,  gd zie

W
X  >   w 0 .



WI E LKI E  SYSTEMY  PROCESÓW  N IEOD WRACALN YCH   TERMODYNAMIKI  127

Poszukujemy  ekstrem um  tej  formy  przy  dan ym  operatorze  w- liniowym

W 7 =   2wZwX.

N ależy  tu  zdefiniować  problem  program owan ia  w- liniowego,  czyli  programowania
z  uż yciem  cią gów  w- wskaź nikowych  zmiennych  (niewiadomych)  stanu  zjawiska.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  R .  KR Z YWI E C ,  W ieł ocią gi {cią gi wielowskaź nikowe),  praca  doktorska, nie  publikowana.

2.  R .  KR Z YWI E C ,  Cią gi  wielowskaź nikowe,  Z agad. D rgań  N iel.,  P WN , Warszawa  1970.

3.  R .  KR Z YWI E C ,  W ielowskaź nikowe  prawo  Hooke'a  wielkich  systemów  stereomechanicznych, Arch. Bud.

M aszyn  (w  druku).

4.  R .  KR Z YWI E C ,  O  wielowskaź nikawym  uogólnieniu prawa  Hooke'a  ukł adów  stereomechanicznych jako

systemów  wielkich, Z agad. D rgań  N iel.,  P WN , Warszawa 1971.

5.  R .  KR Z YWI E C ,  O  uogólnieniu  wielowskaź nikowym  prawa  dynamiki  ukł adów  mechanicznych wielo-

krotnych  systemów  wielkich, Z . N a u k.  P oi. Czę st.,  1971.

6.  R .  KR Z YWI E C ,  O  wielowskaź nikowym  uogólnieniu prawa  Ohma  ukł adów elektrycznych  wielokrotnych

jako  systemów  wielkich,  Z .  N a u k.  P oi. Czę st.  (w  druku).

7.  R .  KR Z YWI E C ,  Formuł owanie zagadnień  ukł adu elektrycznego  o jednym  stopniu swobody w klasie  równań

L agrange'a  drugiego rodzaju,  Arch.  Elek., P WN , Warszawa  1968.

8. R .  KR Z YWI E C ,  Analogia  mechaniczno- stereomechaniczna w klasie  dwuwskaż nikowych równań  L agrange'a

drugiego rodzaju,  M ech.  Teor.  Stos., P WN , Warszawa  1970.

9.  R.  KR Z YWI E C ,  W ielowskaź nikowe  równania  L agrange'a  drugiego rodzaju  ukł adów mechanicznych  wie-

lokrotnych, Zagad.  D rgań  N iel.,  P WN , Warszawa  1971.
10.  R .  KR Z YWI E C ,  Analogia  mechaniczno- stereomechaniczna w  klasie jednowskaź nikowych  równań  L agran-

ge'a  drugiego rodzaju,  Z agad.  D rgań  N iel.,  P WN , Warszawa  1971.

11.  R .  KR Z YWI E C ,  Analogia  elektromechaniczna  w  klasie jednowskaź nikowych  równań L agrange'a  drugiego

rodzaju, Z. N auk.  P oi.  Czę st.,  1971.
12.  R .  KR Z YWI E C , Analogia  mechaniczno- stereomechaniczna w klasie wielowskaź nikowych równań L agrange'a

drugiego rodzaju,  M ech.  Teor.  Stos., P WN , Warszawa  1971.

13.  K.  G U M I Ń SKI,  T ermodynamika procesów nieodwracalnych, P WN ,  Warszawa 1962.

14.  R.  KR Z YWI E C ,  O formalizowaniu  poję cia  ukł adu,  Arch.  Bud. M aszyn, P WN , Warszawa 1971.

15.  A.  M OSTOWSKI,  M .  STAR K,  Algebra  liniowa, P WN , Warszawa  1953.

16.  Z .  O P I AL,  Algebra  wyż sza,  Wydanie  I I , P WN , Warszawa  1964.

17.  W.  N OWAC KI ,  T eoria sprę ż ystoś ci,  P WN , Warszawa  1970.

•   P e 3  IO  M e

EOJIBIH H E  C H C T E M LI  H E OE P ATH M BI X  TEP M OflH H AM H H EC KH X
nP OD ,EC C OB

B  p a6o T e  pacciwaTpH BaeTCH   S o n t i n a n  CHCTeiwa  H eoSpaTH M bix  TepMOflHtiaMiraecKHX  n p o ijec c o B.  C H -

cieM a  orracM BaeiC H   c  noiwomBio  J I H H C H H H X  n peo6pa3OBaH H H   roiH eH U bix  n pocrpaH C TBj  sjieMeirraMH   K O -

TOpLIX  HBJIHIOTCH   ITOCJieflOBaTeJlBHOCTH   CO MHOrHMH   HHfleKcaMH.  IIpHBOAHTCH   HHTepfipeTaiJHH   3THX

paccy>K,n;eH nii  c  n oM om Ł io  6jiOK- cxeMM   H   O O JI M H O H   cu creM bi  rpaijpoB.

T ai< oe  o6o6uieH H e  TepMOflHHaMKraecKOŚł   CH CT&WŁI  H cnojit3yeTC H   aBTopoiw  B  flpyroń  pa6oTe  coflep-

nocTaH OBKy  B o n p o c a  BO JI BD I O H   T ep M o yn p yro ii



128  R.  KRZYWIEC

S u m m a r y

G REAT  SYSTEMS  OF   IRREVERSIBLE  PROCESSES  OF  TH ERM OD YN AM ICS

The  great  system  of  irreversible  thermodynamical  processes  is  investigated  by  means  of  linear tram -
formation  of  linear  spaces  the  elements  of  which  are  multi- indicial' sequences.  The  considerations  are
interpreted  by  a  block  diagram  and  a  great  system  of  graphs.

Such  a  generalization  of  thermodynamical  systems  is  applied  by  the  author  in  another  paper  aimed
at  the  formulation  of  a  great  thermoelastic  system.

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  5  marca 1973  r.