Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z2.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  12 (1974)

R E OLOG I A  P Ł YT  Ż ELBETOWYCH   P O D   WPŁYWEM   P OLA  TEMPERATU RY

ADAM   M I T Z E L  I  JACEK  D Y C Z K O W S K I  (WROCŁAW)

1.  Wstę p

W  n iektórych  zakł adach  przemysł owych,  jak  n p .  w  hutach  stali  lub  miedzi,  ż elbetowe
elementy  konstrukcyjne  pom ostów  i  innych  urzą dzeń  wewnę trznych  hal  produkcyjnych
poddawan e  są   duż ym  obcią ż eniom  dł ugotrwał ym .  Wskutek  odbywają cego  się   procesu
technologicznego  wytopu  m etali  wystę pują   stosun kowo  wysokie  temperatury.  W  takich
przypadkach  wpł yw  wł asnoś ci  Teologicznych  beton u —  skurczu  i  peł zania —  na  stan
naprę ż enia  i  odkształ cen ia  ż elbetowych  elementów  konstrukcyjnych,  przy  równoczesnym
wystę powaniu  podwyż szonej  tem peratury,  n ie  jest  bez  znaczenia  dla  wymiarowania
tych  elem entów.

W  niniejszej  pracy  zan alizowan o  stan  n aprę ż en ia  w  prostoką tn ych  pł ytach  ż elbetowych
z  uwzglę dnieniem  peł zan ia  beton u  oraz  pola  tem peratury.

2.  Równania  podstawowe

Ogólne  zależ noś ci  wyraż ają ce  m om en ty  w  pł ycie  anizotropowej  z  uwzglę dnieniem
wpł ywu  tem peratury  mają   postać  [1  i  2]:

M x  =   ~  \ D i i ^

(1)  M
y
  =

A nr1

gdzie w oznacza ugię cie pł yty w dowoln ym  pun kcie  o  współ rzę dnych  x,y,  D ifc —  sztywnos'c
pł yty  an izotropowej,  a

x
,a

y
,  a.

xy
 —  współ czynniki  rozszerzalnoś ci  termicznej, AT —  róż nicę

tem peratur  powierzchni  pł yty,  h —  grubość  pł yty,  q—obcią ż enie  pionowe.

F un kcja  w(x,  y) jest  rozwią zaniem  równ an ia  róż niczkowego  powierzchni  ugię cia

(2)  P 1 ^ ^ r | ^

8
2
AT   , _  _  ,  1  8ZAT



148  A.  MlTZEL I  J. DYCZKOWSKI

D la  wstę pnego  wymiarowania  przekrojów  zginanych  pł yty  przyję to  sztywnoś ci  wedł ug

HTJBERA  [2] jak  dla  pł yty  ortotropowej:

(3)  D
12

  m  D
21

  m

D
l6
  =  D

6l
  =  D

26
  = D

62
  -   0.

Przy  zał oż eniu jedn orodn ego  pola  tem peratury  wzglę dem  x,y  (AT   =  con st),  a
x
  =

=   a
y
  =   a  oraz  a

xy
  =  0,  powierzchnia  ugię cia  pł yty  (2)  opisan a jest  nastę pują cym  równa-

n iem :

a  momenty  zależ noś ciami

Mx  =   ~

(5)  My  =  -

Mxy=   - ( l- ^yXA- ^H -.r  dxdy

3.  Wpł yw  peł zania  beton u

Odkształ cenia pł yty ż elbetowej  przy  obcią ż eniu doraź n ym bez uwzglę dnienia współ pracy
betonu  strefy  rozcią ganej  (faza  I I )  wyraż ają   się   nastę pują cymi  zależ n oś ciam i:

8
zx

(6)

-E
bx  —

gdzie E
b
,  E

2
  oznacza m oduł y sprę ż ystoś ci  beton u i  stali,  ip

x
,f

y
  —  współ czynniki  mniejsze

od  jednoś ci  uwzglę dniają ce  pracę   beton u  mię dzy  rysam i,  a
xx
, ff

zy
  —  n aprę ż en ia  w  stali,

a
bx>Gby—- naprę ż enia  w  górn ym  wł óknie  beton u,  e

zx
,  e

zy
,  e

bx
,  s

by
  —  odkształ cen ia

w  stali  i  w  beton ie, v —  współ czynnik  P oisson a  dla  beton u.



R E O L O G I A  P Ł YT  Ż E LBE TOWYCH   P O D   WP Ł YWE M   P OLA  TEM PERATU RY 149

Z  warun ków  równ owagi  przekrojów  w kierun ku  X i y uzyskuje  się

Mi  =  Ozt

(7a)

(7b)

przy  czym  i przyjmuje  wartoś ci  X lub y.
Współ czynnik  rj zależy  od postaci  wykresu  naprę ż eń  w  betonie.  D la wykresu  trój-

ką tnego  9j =  1, dla wykresu  prostoką tn ego  rj — 0. P rzez  c ( oznaczono  odległ oś ci  ś rodka
cię ż koś ci  wykresu  n aprę ż eń  w  beton ie  od górnej  krawę dzi  pł yty  (rys. 1).

G
Z
F

Z
- Z

R ys.  1.  Wykres  n a p r ę ż eń  w  pł ycie  zgin an ej

P o  podstawien iu  wyraż en ia  (7a)  do zależ noś ci  (6) n a a
bx
, e

by
,  otrzymamy

—v

(8)
x

x
(l- 0,5rj)E

b
  x

y
(l- Q,5r,)E

h
'

x
y
(l- 0,5r))E

b
  " x

x
(l- 0,5

V
)E

b
  '

C ał kowite  odkształ cenie  jedn ostkowe  beton u  e
b
{t)  bez  uwzglę dnienia  odkształ cenia

skurczu  skł ada  się  z  odkształ cen ia  doraź n ego  i  z  odkształ cenia  wywoł anego  peł zaniem
betonu,  czyli

(9)  e
b
(t)=  e

b
 +  s„(i).

C h arakterystyka  peł zan ia beton u  cp{i) =  cp
t
 zgodnie  z teorią   starzenia  Whitneya- D ischin-

gera  wyraża  się   przez

00) * * &
eb

P o  uwzglę dnieniu  (10) wyraż enie  (9) przyjmuje  postać

( U )  e
b
(t)=e

b
(l+

9t
).

Krzywizna  zginanej  pł yty ż elbetowej  w fazie  drugiej  może być  wyraż ona  wzorem [3]

lub też

(12)

PO uwzglę dnieniu ( U )

1

Q

1

e

=

ht

h



150  A.  MlTZEL  I  J .  DYCZKOWSKI

gdzie  Q oznacza  prom ień  krzywizny  w  kierun ku  x  lub y,  h
x
  — wysokość  uż ytkową  prze-

kroju.
Krzywizna  pł yty w  ukł adzie współ rzę dnych x  i y  wyraża  się  n astę pują co:

dx
2  '  Q

y
  dy

2

Wykorzystując  zależ noś ci  (6) n a  e
zx
  i  s

xy
,  (8) i  (13) m oż na  n a podstawie  (12)  krzywizny

I / ?*  i  l/ £y wyrazić  w  nastę pują cy  sposób:

(14)  —  =   a
zx
a

x
~va

zy
b

2
,  —  =   a

zy
a

2
- va

zx
b

x
  .

Qx  Gy

P o  wyznaczeniu  a
zx
  lub  a

zy
  z  ukł adu  równ ań  (14) i  podstawien iu  do  (7b)  otrzymuje  się

"  Id

(15)
'd

2
w  .  d2w

gdzie

a
x
a

2
- v

2
b

i
b

2
  '

(17)
• Hl  P  C l  O . r t l. ^

6 2  =

Wzory  (15) wyraż ają ce  m om enty  zginają ce  w  kierun kach  x  i y  nie są  zupeł nie ś cisłe dla
pł yt  ortotropowych.  N ieś cisł ość  dotyczy  drugiego  skł adn ika  wyraż enia  w  nawiasie,  który

d la M
x
  m a postać —- v

y
 w

y
  zamiast v

y
 w'

y
',  a dla M

y
  ~v

x
 w"  zam iast  v

x
 w'

x
'.  P rzykł ad owo

dla  pł yt  stosowanych  w  budownictwie  przemysł owym  o  gruboś ciach  od  10 cm do 25  cm
bł ąd  wynosi  od  11% do 4,5% i jest  dodatkowo  wydatnie  zmniejszony  przez  współ czynnik
P oisson a.

M omenty  zginają ce  i  m om enty  skrę cają ce  w  pł ycie  pod  wpł ywem  pola  tem peratury
i  peł zania beton u  wyraż ają  się zależ noś ciami ( 5) :

=  - (l- v
b
)]/ D

x
D

y
dxdy'

w  których  sztywnoś ci  D
x
,  D

y
  okreś lone  są wzoram i (16).



REOLOG IA  PŁYT  Ż ELBETOWYCH   POD   WPŁYWEM   POLA  TEMPERATURY 151

Wystę pują ca  w  zależ noś ciach  (5) ś redn ia  geom etryczna  wartość  sztywnoś ci  D
x
,  D

y
  zmniej-

sza  dodatkowo  om ówion y  wyż ej  bł ą d.

4.  Przykł ady  liczbowe

D la  przykł adu  rozważ ono  pł ytę   wystę pują cą   w hutnictwie  miedzi  wedł ug  schematu
pokazan ego  n a  rys.  2.  P rzyję to  pł ytę   o  rozm iarach  4,00 x  5,00  m i gruboś ci  25  cm . Cechy
m ateriał ów:

beton  —  R
w
  =   200  kG / c m 2,  R

m
  =   180 kG / c m 2,  R

r
 =   17,5 kG / cm 2,

E
b
  =  180  000  kG / c m 2 , a =   10~ 5  1/ °C,  v

b
 =   1/ 6;

stal  —  Q
r
  =   3600  kG / c m 2,  E z  =   2  100  000  kG / c m

2.

'/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Z,

— I

Rys.  2. Schemat  pł yty  ż elbetowej.  Krawę dzie równolegle
do  osi x  zamocowane,  równoległ e  do osi y  przegubowo

podparte

Obcią ż enie  pł yty wyn osi:  cię ż ar  wł asny g  =  0,06  kG / cm 2, obcią ż enie  uż ytkowe  / ; =   0,2
kG / cm 2.  Współ czyn n ik  pewnoś ci  s =   1,8.  Tem peratury  powierzchni  pł yty  wynoszą   od-
powiednio  25°C  i  100°C,  gradien t  tem peratury  AT   =  75°C.  D la  obliczenia  sztywnoś ci
D

x
,  D

y
 przyję to  JU

X
  =  fi

y
 =   0,50%  oraz  e

x
 — e

y
 =   10  cm.  Z a pomocą   (3)  uzyskano

D
x
  =   D

y
  — 288,06 •   106  kG / cm .  Wykorzystują c  wyż ej  przyję te  dane  obliczono  za  pomocą

wzorów  (5)  m om enty  zginają ce  M
x
  i M

y
  (wywoł ane  obcią ż eniem  pionowym  i  gradientem

tem peratury):  w  dwóch  charakterystyczn ych  pun ktach ,  mianowicie  w poł owie  dł ugoś ci
krawę dzi  zam ocowan ej:

M
x
  -   - 8 3 98  kG cm / cm ,  M

y
  =   - 2 04  32 kG cm / cm

oraz  w ś rodku  rozpię toś ci:

M
x
  =  1143  kG cm / cm ,  M

y
  =   1817 kG cm/ cm.



152 A .  M lTZ E L  I  J .  D YCZKOWSKI

F
zy
  =   58,80 c m 2

Obliczony  przekrój  zbrojenia  wynosi  w  poł owie dł ugoś ci krawę dzi  zam ocowan ej:

F
zx
  =   23,01  c m 2 ,

oraz  w  ś rodku  rozpię toś ci

F
zx
  =   2,16  c m 2,  F

zy
  =  4,33  c m 2 .

Przechodzą c  do  obliczenia  m om en tów  z  uwzglę dnieniem  peł zania  beton u,  przyję to
dodatkowo  zał oż enia:  c  =   400kG / m 3,  w je  — 0,50,  wilgotność  wzglę dna  powietrza  50%,
wiek  beton u  w  chwili  obcią ż enia  pł yty  x  =   28  dni.  Obliczono  m om enty  dla  t  =   28, 60,
180  i  360  dni.  Obliczenia  charakterystyki  peł zania  dokon an o  za  pom ocą   wzorów  CEB
[3].  U wzglę dniając  przyję ty  przekrój  zbrojenia  obliczono  nastę pują ce  wartoś ci:

F„  =   23,01  c m 2,
x

x
  —  4,60 cm,

h
ix
  =   19,8 cm,
c

x
  =   1,79  cm,

y>
x
  =   0,71,

F
zy
  =   58,80 c m 2 ,

x
y
  =   11,76 cm,

h
ly
  — 22,1 cm,

c
y
  =   4,58 cm,

V,  =   0,91.

Otrzymane wartoś ci  miary  peł zania i  sztywnoś ci  pł yty przedstawion o  w  tablicy  1.  N a  rys.

3  do  10 podan o wykresy m om entów M
x
,  M

y
,  M

xy
  dla  róż nych wartoś ci  t i  maksymalnego

kG
Rys.  3.  Wykres  momentów w  kG cm/ cm dla  q  •   0,26  - ,  AT   =   0°C,  t  =   28  dni; a)  M

x
,  b) M

gradientu  tem peratury  A T   =   75°C.  N a  rys.  3  do  7  przedstawion o  zm ienność m om en tów
w uję ciu  aksonometrycznym  dla  okreś lonych wartoś ci  /, n a rys.  8 do  10 zm ienność momen-
tów  w  zależ noś ci  od  t.  Obliczenia  wykon an o  metodą   róż n ic  skoń czonych  za  pomocą



a

Rys.  4.  Wykres  momentów  w  kGcm/cm  dla  q =  0,  AT  =  75°C,
t  =  28  dni;  a)  Mx,  b)  My

Rys.  5. Wykres momentów  w kGcm/cm  dla  q  —  0,26 kG  /cm2, /I T • •
=  75°C, /  =  28 dni;  a) Mx,  b)  My



154 A .  M lTZ E L  I  J .  D YCZKOWSKI

E M C  przy  rozstawieniu  pun któw  A
x
  — 100  cm,  A

y
  =   83,33  cm,  z  dokł adnoś cią   10~ 3

kG cm/ cm.

U zyskano  również  wyniki  dla  dalszych  dwóch  gradien tów  tem peratury  (50°C,  25°C)
nie  przedstawione  w  niniejszej  pracy  z  powodu  szczupł oś ci  miejsca.

t  [dni]

28

60

180

360

Tablica  1.

<Pt  [1]

0

1,592

2,075

2,330

M iary  peł zania  i  sztywnoś ci

D
x
  [kG cm ]

301,13  •   10°

125,32  •   10 6

108,46  •   10 6

82,83  •   10°

pł yty

D
y
  [kG c m ]

635,08  •   10 6

267,65  •   10 6

220,18  •   10 6

176,04  •   10 6

R ys.  6. Wykres  m o m en t ó w w  kG cm / cm dla  g  =   0,26  k G / c m 2 , AT   =  75°C ,  t  =   360  d n i;  a )  M
x
,  b)  M

y

R ys.  7.  Wykres  m o m e n t ó w  M
xy
  w  kG c m / c m  d la  q  =  0,26  k G / c m 2 ,  AT   =   75°C ,  t  =  28  d n i



REOLOG IA  PŁYT  Ż ELBETOWYCH   POD  WPŁYWEM   POLA  TEMPERATURY 155

60  - BO  3601[ dni]

M.

My:

- 30000

- 20000

- 10000

n

ť ť —

— — .

- —

28  60  180  3601[ dni]

Rys.  8.  Wykres  zmiennoś ci  w  czasie
najwię kszych  momentów  w  kG cm/ cm n a
krawę dzi  zamocowanej  dla  q = 0,26
kG m/ cm  i  róż nych  AT ;  a)  M

x
,  b)  M

y

Rys.  10.  Wykres  zmiennoś ci  w  czasie  najwię kszych
momentów  M

xy
  w  kG cm/ cm  n a  krawę dzi  podpartej

przegubowo  dla  q  —  0,26  kG / cm 2  i  róż nych  AT

t[ dni]

Rys.  9.  Wykres  zmiennoś ci  w  czasie
najwię kszych  momentów  w  kG cm/ cm,
w  poł owie  rozpię toś ci  pł yty  dla  q  —  0,26
kG / cm 2  i  róż nych  AT ;  a)  M

x
,  b)  M

y

180 360t[ dnt]

5.  Omówienie  wyników

R ysun ki  3,  4,  5  i  7  przedstawiają   w  uję ciu  aksonometrycznym  wykresy  m om entów
M

x
,  M

y
  i  M

xy
  wywoł ane  obcią ż eniem  pionowym  oraz  dział aniem  tem peratury  przy

gradiencie  tem peratury  75°C.  P o do bn e wyniki  uzyskał   T H R U N  w pracy  [4]; dotyczył y  one
tylko  zagadn ień  tem peraturowych .  Wpł yw  peł zania beton u  przy  t  =   360  dni  na  wielkość
m om en tów  przedstawion y  jest  n a  rys.  6.  N a  rys.  8  i  9  pokazan o  zmienność  m om en tów
M

x
  i My jako  funkcję   czasu  dla dwóch wybranych  p u n kt ó w: w ś rodku  pł yty oraz w  poł owie

krawę dzi  zam ocowan ej.  R ysun ek  10  przedstawia  zmienność  momentu  skrę cają cego.

*  Mechanika  teoretyczna



156  A.  M ITZ EL  i  J.  D YCZKOWSKI

P rzechodzą c  do  analizy  uzyskanych  wykresów  m oż na  stwierdzić,  że  peł zanie  beton u
znacznie  zmniejsza  rzę dne maksymalnych  m om en tów. Wynika  t o z porówn an ia  rys.  5 i  6.
Tak  n p.  m om en t M

x
  wzdł uż  krawę dzi  maleje  o  okoł o  69%,  a  m om en t  M

y
  w poł owie

krawę dzi  zamocowanej  o  okoł o  64%.  Z  rys.  8 i  9  wynika,  że wartoś ci  m om en tów M
x

i  M
y
  maleją   przy  wzroś cie  t;  zmniejszenie  wartoś ci  tych  m om en tów jest  tym  wię ksze,  im

gradient  tem peratury jest  wię kszy.  U wagi  te  dotyczą   zarówn o  rys.  8 ja k  i rys.  9. Rysunki
8, 9 i  10 został y wykonane  w skali  logarytmicznej, jeś li  chodzi o oś t; z obliczeń  n a E M C
wynika  pewien  spadek  wartoś ci  m om en tów n a  rys.  8b,  9b  i  10  dla  AT  =   0°C,  co  nie zo-
stał o  uwidocznione  n a rysunkach  z  powodu  ich  mał ej  skali.  Z  zestawionych  wykresów
wynika,  że  wymiarowanie  tego  rodzaju  pł yt  ż elbetowych  przy  znacznych  gradien tach
tem peratury i duż ych  obcią ż eniach jest  nieekonomiczne, albowiem  m aksym aln e m om en ty
wystę pują   przy  t  — 28  dni i maleją   ze  wzrostem  t. Stą d  wynika  celowość  odpowiedniego
izolowania  powierzchni  pł yty  od  strony  ź ródła  ciepł a  lub  oddalen ie pł yty  od  ź ródła  ciepł a
tak,  aby  nie  dopuś cić  do  duż ych  gradientów  tem peratury.  P otwierdzeniem , że obliczone
wielkoś ci  momentów  zginają cych  wywoł anych  polem  tem peratury  osią gają   duże  wartoś ci
są   wyniki  eksperymentalnych  badań  elementów  zginanych  pod  wpł ywem  pola  tempera-
tury [5].

Literatura  cytowana  w tekś cie

1.  W.  N OWACKI,  Zagadnienia  termosprę ż ystoś ci,  Warszawa 1956.
2.  Z . KĄ CZKOWSKI,  T eoria pł yt, Warszawa  1968.
3.  A.  M ITZEL,  Reologia  betonu, Warszawa 1972.
4.  Z .  TH RU N , T ermiczne stany odkształ cenia  i naprę ż enia  w cienkich pł ytach,  Arch.  Mech.  Stos., 6, (1954).
5.  B.  H .  CAM OH H EH KOJ  A.  A.  BOP OAH H ,  H . A.  P A3AP E H OBA, Hccjiedoeanue  paSomu  deyx-   u  mpexnpojiem-

HUX  oicejie3o6emoHHbix  6ajioi<  na cosMecmwe  deucmeue  wupy3Ku  u  uepaaHOMepuoio  uaspesa.  B  «Pa6oTa

>Kejie3o6eTOHHbix  KOHCTpyrapH   n p ii  BM COKH X  TeM nepaxypax»  pep,.  A. M njio6aH OBa,  M ocKBa,  19723
d p ,  88—98.

P  e 3 w  M  e

PEOJIOrHH   5KEJIE3OEETOHHLIX  n JlH T  n Ofl  BJIHflHHEM
TEMnEPATYPH OrO  ITOJIH

B  pa6oTe  npeaH ajiH 3npoBaH fei  3HaireHHn  H  pacnpeflejieH H H   BHyTpeHHHX  CH JI  B  wejie3o6eiOH H brx

noflBeprH yTtrx  ppncrBMa  BH C OKOH   TeivinepaTypBi  H   SOU BU IH M fljiH TejitH ŁiM  narpy3KaM .  BbiBe-

(JiopMyjiM   >KecTKocTH   «ejie3o6eioH H Ł ix  r u n u  c  ytieroiw  BJI H H H H H   nojraytiecTH   6eio ria .  M eio fl

HCnonŁ3OBaHHfl  npHBefleHHBix  tbopiwyji  H JimocrpH pyeTCH  Ha npH M epe npaMOyrojn>HOH  i u m i b i ,  CBoSoflHO-

Jie>Kameń  n a flByx  npoiH Bonono>i<H bix  Kpaax  H  3aKpenjieH H 0ń  n a  flByx.  CflejiaH   aH ajni3  H3rH6aioiB(HX

H   KpyTHiTfux  MOMeHTOB B  (J)yHKrj(HH   BpeMeim  fljiH   pa3H bK  rpaflHeiiTOB  TeM nepaTypw.  IIpeflCT

npaKTH^ecKHe  peKOMeHflaaHH   npefloxpaH eH H H   nnH T  OT  BOSH CH CTBH H   BWCOKKX  TeiwnepaTyp.



R E O L O G I A  P Ł YT  Ż E LBE TOWYCH   P O D   WP Ł YWE M   P OLA  TEM PERATU RY  157

S u m m a r y

RH EOLOG Y  O F   R E I N F O R C E D   CON CRETE PLATES  I N   TH E  TEM PERATU RE  F IELD

The  paper  presents  an  analysis  of  the magnitude  and  distribution  of  internal  forces  arising  in  reinfor-
ced  concrete  plates  subject  to  high  temperatures  and  large  long- lasting  loads.  F ormulae  for  orthotropic
concrete plate  rigidity  are  derived,  creep  of  the concrete being  taken  into consideration.

Applications  of  the  formulae  derived  are  illustrated  on  the example  of  a rectangular  plate simply sup-
ported  on  two  opposite  edges  and  clamped  at  the  remaining  edges.  Time- variation  of  the  bending  and
twisting  moments is  analyzed  at  various  temperature gradients.  Practical  recommendations concerning the
protection  of  plates  against  high  temperature influences  are  given.

P O LI T E C H N I K A  WROCŁAWSKA

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  21  wrześ nia  1973  r.