Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  12  (1974) N I E U STALON E  P R Z E WO D Z E N I E  CIEPŁA CIAŁ  O  D U Ż EJ  P R Z E WO D N O Ś CI  C I E P LN E J  W  WARUN KACH KON WE KC JI  SWOBOD N E J  W  P OWI E TR Z U WŁADYSŁAW  S Z Y M A Ń S KI  (RZESZÓW) Ozn aczen ia X  przewo d n o ść  ciepln a  ciał a, Xp  przewo d n o ść  ciepln a  powietrza, a  współ czyn n ik  przejm owan ia  ciepł a, a  dyfuzyjność  ciepln a, t  c za s, T   t e m p e r a t u r a  c h wilo wa  ciał a, T f  t e m p e r a t u r a  p o wie t r za , 8  t e m p e r a t u r a  be zwym ia r o wa  c iał a, a  in d e ks  wskazu ją cy  wa r t o ś ci  d la  t e m p e r a t u r y  T o  =   273°K, o  i n d e k s  wska zu ją cy  wa r t o ś ci  d la  t e m p e r a t u r y  p o c zą t ko wej  ciał a c  wł aś c iwa  p o je m n o ść  c iep ln a, Q  gę st o ść  c ia ł a , (Sp  wsp ó ł c zyn n ik  r o zszer za ln o ś ci  obję toś ciowej  p o wiet rza, v p   le p ko ść  kin e m a t yc zn a  p o wiet r za , lip  lepkość  dynamiczna  powietrza, p  ciś n ien ie, R  in dywidualn a  stał a  gazowa  powietrza, g  przyspieszen ie  ziem skie, /   wym iar  ch arakterystyczn y  ciał a, / i  wym iar  ch arakterystyczn y  w  liczbie  N usselta  i  G rash ofa, A  powierzch n ia  ciał a, V  obję tość  ciał a, C ,  Ci,  C 2   stał e, n  wykł ad n ik  iloczynu  liczb  G rash ofa  i  P ran dtla, (Bi)  =   —  liczba  Biota, n at ( F o )  =   —  liczba  F o u riera, ( N u )  =   •   liczba  N usselta, Ap (P r)  =   ——  liczba  P ran d t la, ap (Gr)  =   g \   1  (T -   T f )  liczba  Grashofa. 130  W .  SZYMAŃ SKI 1.  Wstę p Rozwią zania  nieustalonego przewodzenia  ciepł a podawane są  najczę ś ciej  przy  zał oż eniu warunków  brzegowych  I I I rodzaju,  w  tym  stał ego współ czynnika przejmowania  ciepł a  a. Zał oż enie  stał ej  wartoś ci  a  jest  jedn ak  speł nione tylko  podczas  konwekcji  wymuszonej. Podczas  konwekcji  swobodnej  natomiast  a jest  w  istotny  sposób  zależ ne  od temperatury i  stą d  przyję cie  w  takim  przypadku  a  =   const  powoduje  znaczne  bł ę dy.  U wzglę dnienie zmiennoś ci  a  stwarza  natomiast znaczne  trudnoś ci  w  rozwią zaniu  problemu  i  stą d  brak rozwią zań  ogólnych  tego  rodzaju  przypadków.  Rozwią zania  szczególne  n p.  dla  pł yty pł askiej  są   na  tyle  zł oż one,  że  nie  nadają   się   do  bezpoś redniego  stosowania  w  praktyce. D la  czę ś ciowego  przynajmniej  wypeł nienia tej  luki  w  niniejszym  opracowaniu  rozpatrzon o nieustalone  przewodzenie  ciepł a w  jednym  z  przypadków,  mianowicie  ciał   o  duż ej  prze- wodnoś ci  w  warunkach  konwekcji  swobodnej  powietrza.  Ograniczenie rozwią zania  tylko do  ciał   o  duż ej  przewodnoś ci  cieplnej  pozwala  n a  zał oż enie  jednakowej  temperatury w cał ym ciele i wymaga, aby  Bi  <  0,1. Takie przypadki w czasie ogrzewania  lub  chł odzenia w powietrzu mają   czę sto miejsce, gdy  wymiary  ciał a są   niezbyt duż e, szczególnie  dla metali. 2.  Zależ ność  współ czynnika  przejmowania  ciepł a  od  temperatury  bezwymiarowej  ciał a D la  ciał a o mał ym oporze cieplnym, umieszczonego w oś rodku o stał ej tem peraturze  T f , podczas  jego  chł odzenia moż na  n apisać: (2.1)  -   cgVdT  =   aA(T -   T f )dt. P o  wprowadzeniu  temperatury  bezwymiarowej T - T f   AT(22) T f równanie  (2.1)  przybiera  postać: (2.3)  ~CQVÓB  =   aAddt. Zał oż enie stał ej wartoś ci  a.  — a 0   prowadzi  do rozwią zania  [1]: (2.4)  l n 0 ' =   - l - ( B i ) o ( F o ), gdzie  L   =   VjA. D la  konwekcji  swobodnej  a oblicza się   z równania [2]: (2.5)  (N u) -   C[(G r)  (P r)]n . Stał e C i n są  zależ ne od ilocznu liczb  G rashofa i P ran dtla. P o podstawieniu wyraż eń opisu- ją cych  liczby  podobień stwa  otrzymujemy: (2.6)  K =   i N I E U ST AL O N E  P R Z E WO D Z E N I E  CIEPŁA  131 W równaniu tym dla konkretnego przypadku  moż na przyją ć jako  stał e  wielkoś ci  C, n, I i,  g, a  dla  powietrza  w  szerokim  zakresie  tem peratur również  (P r). M oż na wię c zapisać: (2.7)  a  =   C l l " ( " ( | )  AT" oraz  odpowiednio  dla  począ tkowej  róż nicy  tem peratur  AT 0 : (2.8)  a 0   = \ Vp0 U zależ nijmy  nastę pnie  chwilową   wartość  a  od  jej  wartoś ci  począ tkowej  a 0.  Otrzymuje- m y: Wystę pują ce  w  tym  wzorze  wł asnoś ci  powietrza  bierze  się   dla jego  ś redniej  temperatury (2.10)  : Przyję to  nastę pują ce  zależ noś ci  wł asnoś ci  powietrza  od  temperatury: (2.11)  X p   =  X (2.12)  ft  =  JL, (2.13)  v p   =  J±, 6 P (2.14) P(2.15)  Q P   = Wprowadzenie  tych  zależ noś ci  oraz  temperatury  bezwymiarowej  do  równania  (2.9) pro- wadzi  do  zależ noś ci: 2 ( i L + I > _ r . ) + / l r o  1 2(r/ + c2, + / ir (2.16) a .  2\Ą+T'T)+AT'6  r IK+CJUTJ  f  I  7T+AT. ( i )  1 2(r/+c2,+/ir0  I  WIATJ> " Wprowadź my  oznaczenia: (2.17)  Z l (2.18)  z 2   -   2 ( 7 > + C 2 ) , (2.19)  z 3 (2.20)  ^ 132  W .  SZYMAŃ SKI Wówczas (2.21) lub  oznaczają c: (2.22) (2.23)  '  a  = W  ten  sposób  współ czynnik  przejmowania  ciepł a  został   uzależ niony  od  tem peratury bezwymiarowej  ciał a,  temperatury  oś rodka  i  począ tkowej  róż nicy  tem peratur. 3.  U wzglę dnienie  zmiennoś ci  a  w  rozwią zaniu  n ieustalon ego  przewodzen ia  ciepł a Wyznaczoną  wartość  a  wedł ug  (2.23)  moż na  wstawić  do  (2.3)  otrzymując (3.1)  - cgVdd  =   Au o f^ 6)0  dt. Wprowadzając  nastę pują ce przekształ cenia: j*o_  A  « o l  X  1  J_  I  a { •   '  CQ v~  X  ~ź fl 2 T fA~   T K  h i  oznaczają c: (3.3)  f(6)  = 9ft(0) m am y: (3- 4)  Ą 6)dB=—L - (M)o- £dt. Ostatnie  równanie  daje  po  scał kowaniu  zależ ność  bezwymiarowej  tem peratury  ciał a  od liczby  F ouriera.  Otrzymuje  wię c: (3- 5) Cał ki  f(6)  dd  nie  moż na  wyznaczyć  analitycznie,  n atom iast  w  prosty  sposób  m oż na  ją obliczyć  na  maszynie  cyfrowej. 4.  Wyn iki  obliczeń D okon an o  obliczeń  na  maszynie  cyfrowej  dla  dwóch  charakterystycznych  najczę ś ciej spotykanych  przypadków: a)  chł odzenia  ciał   o  temperaturze  począ tkowej  T o   =   T f +AT 0   w  powietrzu  o  stał ej temperaturze  T f   =   20°C, b)  ogrzewania  ciał   o  temperaturze  począ tkowej  T o   =  20°C  w  powietrzu  o  stał ej temperaturze  T f   =   T 0 +AT 0 . NIEUSTALONE  PRZEWODZENIE  CIEPŁA 133 W  obu  tych  przypadkach  wykon an o  obliczenia  dla  AT 0   -   40,  80,  120,  160,  200  deg oraz  wykł adnika  n  =   1/ 8,  1/ 4,  1/ 3.  Obliczono  przy  tym  nie  wartość  temperatury  bezwy- miarowej,  lecz  stosun ek  logarytm u  n aturaln ego  tej  tem peratury  (ln0)  otrzymanej  z  (3.5), do  logarytmu  n aturaln ego  tem peratury  bezwymiarowej  (ln 0')  otrzymanej  ze  wzoru  (2.4) (tzn.  przy  stał ej  wartoś ci  a)  dla  tej  samej  liczby  F ouriera. O zn aczon o: (4.1) as os O.7 0.6 0.5 In B Ind 7 % • - > % . . ' " " N Chł odzenie —  AT0=40deg. —AT0=ZOOdeg. • ~«s, s s \ - • / n- i/ 4] P'1/ 8 / / 7=i/ 3> *"—. 0.4  OS  1.2  1.6  2.0  2Ą   2 8 Rys.  1 Z ależ ność  e  = / [ ( Bi) 0 ( F o ) ] dla  chł odzen ia przedstawiono  n a  rys.  1, n atom iast  dla  ogrzewa- nia  n a  rys.  2.  P odan e  n a  wykresach  krzywe  m oż na  aproksym ować  równaniem : (4.2)  , = os 0.7 as V - -.~̂ . s N . —  AT0~- 40 deg, AT0=200deg. Ogrzewanie • "- . " \ " X , n~1/ 32 : / > ^ nH/ S n=1/ 4 * —. 0.4  0.8  1.2  1.6  2.0  2.4  2.8 Rys.  2  ' 134 W .  SZYMAŃ SKI P opeł niony  przy  tym  bł ą d jest  mniejszy  od 1% w przypadku  chł odzenia i mniejszy  od  2% w  przypadku  ogrzewania.  Wielkoś ci  X  i  Y są  funkcją   A T o   i  dla danej  wartoś ci  n mogą być  wyraż one  wzoram i: (4.3)  X=X 1 +X 2 AT 0 , (4.4)  Y=Y i +Y 2 AT 0 . Stał e  Xi,X 2 ,  Y lt   Y 2   podan o  w tablicy  1. Tablica 1 Xi x2 10* 104 Jedn. — 1 deg — 1 deg 1„ = _ 0,888 - 1, 50 0,905 - 7, 63 Chł odzenie 1 0,810 1,50 0,817 2,81 1 n  =  — 3 0,767 3:00 0,829 6,31 1 0,888 1,90 0,895 6,75 Ogrzewanie 1 0,803 - 0, 95 0,775 - 1, 65 1 n  =  — 0,757 - 2, 00 0, 747  • - 3 , 90 5.  Zastosowanie  wyników  obliczeń Wyznaczone  wartoś ci  poprawek  pozwalają   n a  obliczenie w prosty  sposób  rzeczywistej temperatury  bezwymiarowej  ciał a  dla  podan ych poprzedn io warun ków  z  wykorzystaniem równania  (4.1). Podstawiają c  w tym  równaniu  zależ ność  (2.4)  otrzym ujem y: (5.1) ln 0  =   - W  równaniu  powyż szym  liczbę   Biota  należy  liczyć  dla  warun ków  w chwili  począ tkowej. Wartość  e należy  wzią ć  dla AT 0   oraz n wynikają cego  z począ tkowej  wartoś ci  [(G r) (P r)]. Jeż eli  podczas  wymiany  ciepł a  wystę puje  taka  tem peratura ś rednia  powietrza, że przy obliczaniu  a  nastę puje  zm iana  C i n, cał y  proces  należy  podzielić  n a czę ś ci  w granicach stosowania  danej  wartoś ci  C i n. D la  każ dej  czę ś ci  procesu  należy  stosować  procedurę podaną   w  niniejszej  pracy. G raniczną   tem peraturę   bezwymiarową   6 g ,  do  której  m oż na  stosować  począ tkową wartość  C i n, m oż na obliczyć z przybliż onego  wzoru: (5.2) [(G r)  (Pr)]„ jest  wartoś cią   graniczną ,  przy  której  należy  dokon ać zm iany  C i n. NIEUSTALONE  PRZEWODZENIE  CIEPŁA  135 6.  Wymieniane  ciepł o P rzy  obliczaniu  ciepł a  wymienianego  pomię dzy  chł odzonym lub ogrzewanym  ciał em i  otoczeniem w dowoln ym  czasie  należy  korzystać  ze  wzoru: (6.1)  Q  =  c Q VAT o (0 1 - d 2 ), który  wynika  bezpoś redn io  z  bilan su  energii.  d x   jest  ś rednią   bezwymiarową   temperaturą ciał a  w  chwili  począ tkowej,  6 2   odpowiedn io  w  chwili  koń cowej.  P rzy  poczynionych za- ł oż eniach  są   to  równocześ nie  tem peratury  rzeczywiste  obliczone  z  (5.1). 7.  Wnioski Wprowadzenie  zmiennej  wartoś ci  współ czynnika  przejmowania  ciepł a  w  warunkach brzegowych  I I I rodzaju  do  równ ań  nieustalonego  przewodzenia  ciepł a  ciał   o  mał ym oporze  cieplnym  daje  równ an ie,  którego  nie m oż na  rozwią zać  analitycznie.  Rozwią zanie n a  maszynie  cyfrowej  pozwala  n a  wprowadzenie  wykresów  lub  zastę pczych  wzorów poprawek,  których  uwzglę dnienie  w  obliczeniach  uproszczonych  daje  temperatury  rzeczy- wiste.  P rzeprowadzon e  obliczenia  nie uwzglę dniają   wprawdzie  promieniowania, jednakże wynikają cy  stą d  bł ą d jest  stosun kowo  niewielki  dla przyję tych  tem peratur. N awet dla AT 0  — —  200 deg  nie przekracza  5% i  dlatego  obliczenia  ograniczono  do tej  wł aś nie  róż nicy tem peratur.  Przy  tem peraturach wyż szych  prom ien iowan ia  pom iną ć nie moż na. Tem peratura  ciał a  zm ien ia  się  wolniej  niż  to wynika  z  zależ noś ci  nie  uwzglę dniają cej zmiennoś ci  współ czynnika  przejm owan ia  ciepł a. Róż nice  rosną   wraz  ze wzrostem  liczby F ouriera  i  mogą   doch odzić  d o  50%.  Wykorzystują c  wię c  przedstawione  wyniki  moż na znacznie  dokł adniej okreś lić  tem peraturę  ciał a  o duż ej  przewodnoś ci  cieplnej chł odzonego lub  ogrzewanego  w  powietrzu.  P o dan e  zależ noś ci  mogą   być  stosowane  również  przy tem peraturach  odbiegają cych  od  zał oż onej  tem peratury  bazowej  20°C  o  ±  10 deg  przy zachowaniu  dokł adn oś ci  wynikają cej  z  odczytu  s. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  B.  STAN ISZEWSKI,  W ymiana ciepł a. Podstawy  teoretyczne, PWN , Warszawa  1963. 2.  W.  G OG ÓŁ,  W ymiana  ciepł a. T ablice i  wykresy, wyd.  2, Wydawnictwa  Politechniki  Warszawskiej,  War- szawa  1972. P  e 3  K>  M e H E C TAU ;H OH AP H BI H   PE>KH M  TE n jion poBOflH oera  T E JI  C BOJitmofi TEnJIOnPOBOflH OCTLK)  B YCJIOBHHX CBOEOftHOii  KOHBEKIJHH   BO3flyXA B  pa6oTe  npHBOflHTCH   p e n ie im e  Hecraî HOHapHOH  TeruionpoBOflHOCTH   Ten  c  6OJIBIIIOH   TeraionpoBOfl- HOCTBW B npHcyTcTBHH  TennooTBOfla  Ha  noBepxH ocTH   nyTBM   CBo6oflHoił   KOHBei