Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  12  (1974)

KSZTAŁT  RÓWN AN IA  R ÓŻ N I C Z KOWE GO  CZĄ STKOWEGO  ROZWIĄ ZU JĄ CEGO
KLASĘ   P O WŁ O K  P R OSTOKR E Ś LN YCH  R OZ WI JALN YC H

STANISŁAW  B I E L A K  (G LIWICE)

1.  Wstę p

P odawan e  w  literaturze  technicznej  równ an ia  rozwią zują ce  powł oki  dotyczą   jedynie
powł ok  walcowych  i  stoż kowych,  których  powierzchnie  ś rodkowe  są   utworzone  przez
proste  przecinają ce  okrę gi  p o d  ką tem  prostym ,  na  przykł ad  [2,  3]. R ówn an ia  róż niczkowe
czą stkowe,  rozwią zują ce  te  powł oki,  posiadają   róż ną   budowę ,  zarówno  w  odniesieniu  do
ich  rzę du,  ja k  i  kształ tu  n iektórych  czł onów.  Wystę pują ce  róż nice  w  rozpatrywanych
równ an iach  rozwią zują cych  tego  samego  rzę du  uwidaczniają   się   w  kształ cie  czł onów
wewnę trznych  tych  równ ań ,  to  znaczy  czł onów  zawierają cych  niż sze  pochodne  czą stkowe
od  stopn ia  okreś lają cego  rzą d  równ an ia  róż niczkowego  z jednej  strony  i wyż sze pochodne
czą stkowe  od  wyrazu  skrajnego  prawego  o  najniż szej  pochodn ej,  z  drugiej  strony.

P rzeprowadzon a  an aliza  wykazał a,  że  o  ile  róż n ica  dotyczą ca  rzę du  równania  ma
swoje  uzasadnienie we  wprowadzon ych  przez  poszczególnych  badaczy  zał oż eniach uprasz-
czają cych,  to  kształ t  czł on ów  wewnę trznych  równ an ia  rozwią zują cego  zależy  od  sposobu
przeprowadzan ia  rach un ku  i  odrzucan ia w  trakcie  rugowan ia  zmiennych wielkoś ci mał ych
wyż szego  rzę du.  M ał a  stabilność  kształ tu  czł onów  wewnę trznych  równania  rozwią zują-
cego  nasunę ła wniosek,  że  czł ony  t e  nie  mają   istotn ego  wpł ywu  na  rozwią zania  w  ramach
teorii  uproszczonej.

Treś cią   pracy  bę dzie  mię dzy  in n ym i  wykazanie  sł usznoś ci  wysunię tego  wniosku  dają -
cego  istotn e  uproszczenie  równ an ia  róż niczkowego  czą stkowego  rozwią zują cego  klasę
powł ok  prostokreś ln ych  rozwijalnych.  P roblem  ten  nabiera  szczególnego  znaczenia  w  nu-
merycznym  sposobie  rozwią zan ia,  prowadzon ym  przy  uż yciu  maszyn  cyfrowych,  a  tylko
taki  moż emy  brać  pod  uwagę ,  bo  jak  się   okazuje,  ź le  poję ta  dokł adn ość prowadzą ca  do
równ aii  rozwią zują cych  niestabiln ych  daje  w  n iektórych  przypadkach  macierz  rozwią zują-
cą   równ an ie  róż niczkowe,  kt ó ra  jest  macierzą   osobliwą   z  uwagi  n a  wystę pują ce  «zera
maszynowe».  Rozwią zanie  n um eryczn e  równ an ia  róż niczkowego  niestabilnego,  przy
uż yciu  okreś lonej  maszyny  cyfrowej,  staje  się   wię c  czasem  niemoż liwe.

Odrzucen ie  w  równ an iu  róż n iczkowym  rozwią zują cym  czł onów  mał o  stabilnych,  nie
mają cych  istotn ego  wpł ywu  n a  wyniki,  prowadzi  d o  równ an ia  róż niczkowego  stabilnego,
dają cego  rozwią zanie  n um eryczn ie  poprawn e  również  w  tych  przypadkach,  gdzie  uprzed-
nio  był o to  niemoż liwe.

2.  Ogólny  ukł ad  równań

Ogólny  ukł ad  równ ań  powł ok  prostokreś ln ych  rozwijalnych,  podan y  w  tym  rozdziale,

jest  n apisan y  dla  param etryzacji  n aturaln ej  w  oparciu  o pracę   [1].



266  S. BIELAK

2.1.  Opis  geometryczny  powierzchni  ś rodkowej  powł oki.  R ówn an ie  wektorowe  powierzchn i

prostokreś lnej

(2.1)  7=p{u2)W liu2),

u
1
,  u

2  — współ rzę dne krzywoliniowe  n a powierzch n i;  u1  okreś la  poł oż en ie p u n kt u  n a  two-
rzą cej,  u2  wskazuje  tworzą cą,  n a której  leży  pu n kt .

Współ czynniki  pierwszej  i drugiej  formy  róż niczkowej  oraz  ich  wyróż n iki

gn  = gii  =  \ / Eiit  I,

*aa- |?a+ uł £ |a

(2.2)  z  =  *2 2 [ l- ' ( 7f)
2 ] ,

b
tl
  =  0,

b
12
  =  b

2i
  =  0,

*22  =  gamin,

b  = 0 .

2.2.  Zwią zki  geometryczne  powł oki.  Współ czynniki  pierwszej  i  drugiej  form y  róż n iczkowej
powierzchni  odkształ conej

g\ j

{   '  •   W

Zwią zek  skł adowych  przemieszczenia  z ten sorem  odkształ cen ia  bł on owego

(2- 4)  yij  =  - j^ Jj^ +wlhgjid- w^ ij.

2.3.  Zwią zki  fizyczne.  Zwią zki  fizyczne  wią ż ą ce  n aprę ż en ia  z  odkształ cen iam i,  dla
wersji  uproszczonej  mogą  być zadan e w  postaci

N
iJ
  =  N 'J+6HM'

J
,

M
iJ  =   M iJ+£h2HN iJ,

gdzie

(2.6)

oraz |  —  param etr  stał y.

N iezm ienniki A i i? wystę pują ce  w  (2.6) są  sum am i

(2. 7)  ^
B  =  g

<J
Qij.



KSZTAŁT  RÓWNANIA  RÓŻ NICZKOWEGO  CZĄ STKOWEGO  267

2.4.  Równania  równowagi.  U kł ad  równ ań  równ owagi  dla  powł ok  w  zapisie  ten soro-

wym :

N %- Q
l
b{+P

j
  =  0,

(2.8)  N iJb
iJ
+Q

J
\ j+P

3
  = 0,

M%- Q{  -   0.

Przejś cie  do  współ rzę dnych  fizycznych,  to  znaczy  odniesionych  do  bazy  jednostkowej,

wyglą da  n astę pują co:

2,   =

n  =  -  y  ^ j -   Mi
2,  Mi2  =   y

U waga:  po i , / n i e  sum ować.

Symbol  „ ~ 1 " ozn acza  współ rzę dną   fizyczną .

2.5.  Równania  nierozdzielnoś d.  R ówn an ia  nierozdzielnoś ci  dla  wersji  uproszczonej,  przy

zał oż eniu  2hH <̂  1 —  (2hH m ał e  w  porówn an iu  z  jednoś cią) — przyjmują   postać:

Ii = = 0,

(2.10)  flaali- G aila  -   0,

2bb
iJ
  =  2y

12
\

12
- y

n
\

22
- y

22
\

n
.

3.  Rozwią zanie  ogólnego  ukł adu  równań

Jeś li  do pierwszych  dwóch  równ ań  ukł adu  (2.8)  podstawimy  N 'J  z  (2.5), to  wówczas
otrzym am y

(3.1)  Ń tJ\
t
+pJ  = 0,

Ń %j+P
3
  m 0.

Wystę pują ce  w  (3.1) wielkoś ci  Pj,  P3  są   funkcjami  obcią ż eń,  wymuszają cymi  stan  bł o-
nowy,  jeś li  ukł ad  równ ań  równ owagi  (3.1)  potraktujem y  jako  ukł ad  równań  stan u  bł o-
nowego.  Wyjaś nienie  takiego  postę powan ia  został o podan e w pracy  [1].
F unkcje  PJ, P3  opisują   wzory:

( 3 . 2)  P
J
  =  6(HM

l
%- Q

l
b{+PJ,

P
3  =



268 S.  BI E LAK

Rozpisany  ukł ad  równ ań  (3.1)  dla  powł ok  prostokreś lnych —  rozwijalnych,  przyjmuje
postać

Ń ^ +N ^ h  + P
1  =   0,

(3.3)  N ^ lt+Ń  ̂ + P2  =  0,

N
22
b

z2
+P

3  =   0.

Z  trzeciego  równania  ukł adu  (3.3) obliczymy  AT22;

# «= -(3 . 4 )

a  nastę pnie  podstawimy  (3.4) do  drugiego  równ an ia  (3.3) i  wyznaczymy

(3. 5)
I P3

=   -
\ b

2

- P
2
.

Rugują c  z pierwszych  dwóch  równ ań  (3.3) wielkość  W1 2  otrzymamy

2\   —
12  ~

ską d  po wykorzystaniu  (3.4)  uzyskamy

(3.6)

Zróż niczkujmy  kowariantnie  wyraż enia  (3.4) i  (3.5) wzglę dem  zmiennej  w1,  pierwsze
dwukrotnie, a drugie jedn okrotn ie, a nastę pnie  utwórzmy  sumę

(3.7)

Sumę  gijN iJ  moż emy  obliczyć  z pierwszego  wyraż enia (2.6)

(3- 8)  gtjN ii  =

a  wówczas  wyraż enie  (3.7) przyjmie  postać

(3 . 7 ')

Zróż niczkujmy  kowariantnie  pierwsze  równanie  (3.1)  wzglę dem  u1

(3.9)  mŃ iJ\ ij+PJ\ j  =  0.

Obliczone  odpowiednie  pochodn e kowarian tn e  ten sora  kon trawarian tn ego  ylJ,  uzyskane-
go  z  (2.4), przy  wykorzystaniu  zależ noś ci [1];

(3.10)  A  =   w\ \
k
- 2Hw

3
,

podstawione  do pierwszego  zwią zku  (2.5), dadzą



KSZ TAŁT  RÓWNANIA  RÓŻ NICZKOWEGO  CZĄ STKOWEGO  269

Podstawiają c  powyż sze  wyraż enie  do  (3.9), otrzym am y;

—
} n  =   0.

Jeś li  teraz  zróż niczkujemy  kowariantnie  powyż sze  równanie  wzglę dem  zmiennej  u1,
a  nastę pnie w  miejsce  A\

tl
  podstawimy  (3.V), to wówczas  bę dzie:

(3.11)  - giJ[gklglj~l   ̂ + 2glkP\ - P
k\ Ą +{2Eh[(2HgiJ- biJ)w3}\ ij  +

Wystę pują ce  w  (3.11) funkcje  PJ,  P3,  jak  t o zostanie wykazane,  są   funkcjami  zależ nymi
od  zadanych  obcią ż eń  PJ,  P3  i  tylko  przemieszczenia  w3.  Tak  wię c  równanie  (3.11) jest
równaniem  róż niczkowym  zawierają cym  jedynie  niewiadomą   funkcję   w3,  czyli  jest  rów-
naniem  rozwią zują cym  klasę   powł ok prostokreś lnych —  rozwijalnych.

Pierwsze  dwa  równ an ia  nierozdzielnoś ci  bę dą   speł nione, jeś li  przyjmiemy

Qlj  =   &\ ij,

gdzie  0  =   ^ (u1,  u2)  jest  funkcją   zmiennych w1,  u2.
Wychodzą c  ze  zwią zku  ten sora  gy  z  przemieszczeniami  w\   w3  — patrz  praca  [1],

moż emy  powyż szą   równoś ć,  w  ram ach  uproszczonej  teorii, zastą pić  zwią zkiem

(3.12)  gy  =   i - W «|y.

Wtedy  momenty M lJ  opisane wyraż eniem  (2.6) bę dą   równe

(3.13)  jfir« -   -   jŹ ~ ̂ [O - » ) W n  +vgiJW ],

gdzie

(3.14)  W =2B**gUw*\
tJ
.

Podstawiają c  do  trzeciego  równ an ia  (2.8)  drugi  zwią zek  (2.5)  z  obliczonymi pochod-
nymi  kowariantnym i  w  oparciu  o  wyraż enia  (3.13)  i  (3.14)  uzyskamy

(3.15)  Qj  =   -

M ają c  M tJ  i  QJ  okreś lone  wyraż eniem  (3.13)  i  (3.15),  moż emy  po  odrzuceniu  wielkoś ci
mał ej  rzę du  wyż szego  wystę pują cej  w  (3.15)  opisać  funkcje  obcią ż eń  wymuszają cych
(3.2) za  pomocą  funkcji  w3

(3 . 2 ')

Korzystają c  z  (3.9)  wprowadzimy  dalsze  uproszczenia  w  równaniach  (3.7')  i  (3.11),
bo  dla  celów  porównawczych,  okreś lają cych  rzą d  wielkoś ci,  moż na  przyją ć  w  oparciu

o  równanie  (3.9'),  ż e:  j^ W   jest  porównywalne  z  giJW \ ij,  natomiast  W   odniesione  do



270  S.  BI E LAK

g
iJ
W \ ij  jest  wielkoś cią   mał ą   rzę du  wyż szego  dla  powł ok  cienkich  speł niają cych  warunek

2hH  Ą   1.
D owód  wysunię tego  stwierdzenia  o  pomijalnoś ci  pewnych  wyrazów  ja ko  wielkoś ci

mał ych  wyż szego  rzę du  moż na  przeprowadzić  n astę pują co:  wielkość  - p-  W  jest  porówny-

walna  z  wielkoś cią   giJW \ ij  z  zał oż enia, gdyż  obie  wielkoś ci  są   tego  samego  rzę du,  czyli

moż emy  napisać

Powyż sza  równość  jest  sł uszna  jedynie  dla  okreś lenia  rzę du  wielkoś ci  W   i  dlatego  nie

moż na  się   nią   posł uż yć do  wyznaczenia  samej  wielkoś ci  W .

U twórzmy  wyraż enie

w  którym  nastę pnie  czł on  g'JW \ tj  zastą pimy  wielkoś cią   - T T W  n a  podstawie  pierwszej

równoś ci, czyli  otrzymamy

3
D la  powł ok cienkich wielkość  - rj  jest wielkoś cią   dużą   rzę du  wyż szego  w  stosun ku  do  1,

3
bo  na  przykł ad  dla  powł oki  ż elbetowej  o  gruboś ci  2/i  =   0,2  m,  bę dzie  - p-  =   300,  a  dla

powł oki  stalowej  o gruboś ci  2h  =   0,02  m, bę dzie  - p-  =   30  000.

W  ramach liniowej  teorii, pomijają c  wielkoś ci  m ał e  wyż szego  rzę du,  napiszem y

czyli  wielkość  W   odniesiona  do  giJW \ ij  jest  wielkoś cią   mał ą   wyż szego  rzę du,  czego  nale-
ż ało  dowieś ć.

Procentowy  bł ą d  odrzucenia  wyrazu  mał ego,  dla  powł oki  stosun kowo  grubej,  dla
3

której - p-  =   300,  nie przekracza  wię c  0,5%.

Powyż sze  analityczne  obliczenie  bł ę du  wynikają cego  z  odrzucenia  czł onów  m ał o-
stabilnych  został o  potwierdzone  numerycznie  przeliczonymi  przykł adam i.  P rzeliczona
powł oka  walcowa  ż elbetowa,  dla  której  h  =   0,1  m ,  wzoram i  ś cisł ymi  i  uproszczonym i,
(patrz zał ą czone tablice)  wykazuje  również  róż nice  nie przekraczają ce  0,5%. '

Wersja  uproszczona  równań  (3.7')  i  (3.11)  może  wię c  przyją ć  postać

P
3

(3.16)

1133   W > 2 klij



K SZ T AŁ T  RÓWN AN IA  RÓŻ N ICZ KOWEGO  CZĄ STKOWEGO  •   271

Jeś li  do drugiego  równ an ia  (3.16)  wprowadzimy  funkcję  P3 z ukł adu  (3.2') z  odrzuconym
czł onem  6HM iJbij  jako  wielkoś cią  mał ą  w porównaniu  z gi}W \ t

]s
  to wówczas  otrzymamy

nastę pują ce  równanie  róż niczkowe  czą stkowe  rzę du  ósmego,  rozwią zują ce  powł oki prosto-
kreś lne  rozwijalne

(3.17)

gdzie
/   P3  \

i- (l+v)P
k
l

kiX
.

J22 ktij

D la  przykł adu  napiszemy  równ an ie  (3.17)  dla  powł oki  walcowej,  sparametryzowanej
w  ukł adzie ortogon aln ym  n aturaln ym .

Jeś li  a  bę dzie  prom ien iem  walca,  powierzchni  ś rodkowej  powł oki,  to jej  wielkoś ci
geometryczne  przyję te  z pracy  [1] bę dą  równe

gn  =  1.  £12  =  gn  =  0,  g
22

  =  g  = a2,
b

±1
  = b

12
  =  6 2 i  =  0,  b22  = a,  b = 0,

MT- - J,  i?, =  0.

P ochodn e  kowarian tn e  dla powł oki  walcowej  w  parametryzacji  naturalnej,  przejdą
w  pochodn e  zwykł e,  ponieważ  symbole  Christoffela  drugiego  rodzaju  są  równe  zeru.

Równanie  róż niczkowe  (3.17),  rozwią zują ce  powł oki  walcowe  dowolnie  obcią ż one
i  podparte, przyjmie  postać

(3.19)  W jjjp  l^ g
przecinek  «,» oznacza  pochodn ą  zwykł ą.

Osiowa  symetria  odkształ ceń, wystę pują ca  przy  obcią ż eniu  i podparciu  powł oki  osio-
wo- symetrycznym,  obniża  rząd  równ an ia  (3.19)  i  powoduje  jego  przejś cie  w  równanie
zwyczajne  rzę du  czwartego

(3  20)  W   i  W - ' V-   W - **P

(3- 20)  ^ , 1111+
  {ah

y  W -
  2Eh3a

  F,
gdzie

W - wiu',  P- aPfu- vPh.
D la  porówn an ia  wpł ywu  wprowadzonych  do równań  (3.7')  i  (3.11)  uproszczeń,  dają-

cych  uproszczony  ukł ad  równ ań  (3.16)  rozwią zują cy  powł oki  prostokreś lne  rozwijalne,
zostanie  przeliczony  przykł ad  liczbowy  wzorami  uproszczonymi  i  uś ciś lonymi.  W przy-
kł adzie  rozpatrzon a  zostan ie  powł oka  walcowa  odkształ cają ca  się  osiowo- symetrycznie.
Odpowiednikiem  równ an ia  rozwią zują cego  uproszczonego  (3.20),  dla tego  przykł adu,
bę dzie równanie róż niczkowe  uś ciś lone  otrzymane z (3.11), po wykorzystaniu  odpowiednich
wielkoś ci  geometrycznych  (3.18).  Równanie  uś ciś lone  rozwią zują ce  powł oki  walcowe,
odkształ calne  osiowo- symetrycznie,  przyjmie  kształ t

("O  V „ „ 1 + ^ r „ +  ̂w.  ^ g l



272 S.  BI E LAK

I n n a  droga  postę powania  podan a  w  pracy  [1]  doprowadzi  do  równ an ia  rozwią zują ce-
go  (3.21)  róż nią cego  się   jedynie  param etrem  przy  pochodn ej  wewnę trznej  W ,

lx
.  Wpro-

wadzają c  w  równaniu  (3.21)  param etr  X jako  wielkość  zależ ną   od  sposobu  upraszczania,
to  znaczy  odrzucania  wielkoś ci  mał ych wyż szego  rzę du  w  trakcie  rugowan ia  zmiennych,
moż emy  ogólnie  napisać

(3.22)  I

N iestabilność  czł onu  wewnę trznego,  lewej  strony  równ an ia  (3.22),  nasunę ła  przypusz-
czenie,  że  czł on  ten  nie  m a  istotnego  wpł ywu  na  rozwią zanie.  Bliż sze  badan ie  tego  za-
gadnienia  pozwolił o  wprowadzić  uproszczenia,  w  ram ach  przedstawionej  teorii,  dają ce
ukł ad  równań  (3.16),  z  którego  uzyskano  równanie  stabilne  (3.17),  rozwią zują ce  powł oki
prostokreś lne  rozwijalne.

4.  Przykł ady

D an a  jest  powł oka  walcowa  zamknię ta  o  prom ien iu  a  i  wysokoś ci  /  (17s.  1), zamoco-
wana  u  swej  podstawy  i  obcią ż ona  parciem  cieczy  znajdują cej  się   wewną trz  p.  Wielkoś ci
sił   wewnę trznych  i  przemieszczeń  wystę pują cych  w  powł oce,  dla  róż nych  rodzajów  ma-

Rys.  1.

teriał ów,  z  których  są   utworzone  powł oki,  i  róż nych  sposobów  obcią ż enia,  wyznaczono
wzorami  podanymi  w  pracy  [1].  Obliczenie  przykł adów  liczbowych  przeprowadzon o
w  oparciu  o  program  realizują cy  równanie  róż niczkowe  (3.22)  przy  zał oż eniu  X =   0,
lub  X =fr  0.  P odan e w  tablicach  wyniki  uwzglę dniają   X  =   0  i  X  — 1 dla  ż elbetu.

Wydrukowane  w  nagł ówkach  tablic  symbole  oznaczają :
A  =   a  prom ień  walca,

H  — h  poł owa gruboś ci  powł oki,
N I  =  v  współ czynnik  P oissona,



K S Z T AŁ T  R Ó WN AN I A  R Ó Ż N I C Z K O WE GO C Z Ą STKOWE GO  273

E  stał a  sprę ż ystoś ci,
N   obcią ż enie  stał e brzegu  górn ego,

P\   skł adowa  obcią ż enia wzdł uż prostej  tworzą cej,
P2>  skł adowa  obcią ż enia, wzdł uż prostej  n orm aln ej,

M l 2  m om en t zginają cy  w  kierun ku  tworzą cej,
M2\   m om en t zginają cy  w  kierun ku  ł uku,

Ql  sił a tn ą ca dział ają ca  w  kierun ku  n orm aln ym do powł oki,
N il  sił a  osiowa  dział ają ca  w  kierun ku  prostej  tworzą cej,
JV22  sił a  osiowa  dział ają ca  w  kierun ku  ł uku,
W \   przemieszczenie  w  kierun ku  tworzą cej  powł oki,
W i  przemieszczenie  w  kierun ku  n orm aln ym do powł oki.

Tablice  1 i  2  podają   wartoś ci  sił , m om en tów i  przemieszczeń  obliczone przy zał oż eniu
% =   1, dla zbiorn ików  n apeł n ion ych  wodą   o wym iarach : pierwszy  o promieniu A  =   2, 0 m
i  wysokoś ci  L   =   50,0  m  i  drugi  o prom ien iu A  =   10,0  m i wysokoś ci L   =  20,0  m.

Tablice  3  i  4  podają   wartoś ci  poszczególnych  wielkoś ci  fizycznych  dla  tych  samych
zbiorników  przy  zał oż en iu  1  =   0.  P orówn an ie  wyników  obliczonych  wzorami  uś ciś lony-
mi  i uproszczon ym i, potwierdza  sł uszność wprowadzonych  uproszczeń, ponieważ odchył ki
są   bardzo  m ał e  i  nie  przekraczają   0,5%  wartoś ci  uzyskanych  wzorami  uproszczonymi.

L it er a t u r a  cytowan a  w  tekś cie

1.  St.  BI E LAK ,  Ogólna  teoria  powł ok  prostokreś lnych  pracują cych  w  stanie  zgię ciowym,  P olitech n ika  Ś lą ska,

Bu d o wn ict wo  z.  33.  G liwice  1973.

2.  B .  M . flAPH EBCKH fl, CóopHUK  cmamefi,  I I po ^m o cT t  niMH H flpH qecKH x^oeojioMeK,  MocKBa  1959.

3.  H .  L U N D G R E N ,  Powł oki  walcowe,  Ar ka d y,  1963.



• M  1  1   1  1  1   I
"S  1?  S S l S S Q S S S S S S S i S S S S S S S S S S S S S S S l Q

m  g S r t - i n t ^ - c ^ o t ^ ^ r ^ c ^ ^ t r ^ ^ o o o o o c h a ^ o o O r ^ ^ r a o c s r M y oo
\ ,  o r ^ o — i t - ' * 0 \ ' * o o T - i ^ - ^ 0 ' a - m r S i - < o o o N o o m o o m C T > T j - > nt - - o

1  1 1 1 1 1 1 1 I  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I  1 1 1  1

O1!III111!!!!I13333!!!!3!III
• o1  S S S S S S S S S S S S S S S Q S S S S S Q S S S i a S ®

d » i n H M ' ł » o i n H M \ l i n H H N N N n i n l n » h l » o i r ! r i H
1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1

"g1  H H r I M N P I N N M N N M M N M r t M N N N M N M N M M N O

rt"  S S S S S S S S S S S S S S Q S Q i S S S S S S S i a S S S
ri  M m t - - O ' t M M v i M t ^ \ 0 M v i r t ^ 0 \ ' - < O o o * o o o o « - < m i n ^ D c oo

.  y 3 v o c S c ^ i - - t o m y 3 f ^ O c N > n O ( M C N f S r ^ f N c S f S r - i r H t ^ T - i o oo o

r*?  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
X  o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
C,  d o' o' o' d d o' o o' d o' o' d o o' d o' o' o' o o o' o o' o' d d d
i—i

s
•«  ?  M  1 . 1 1
?c\   7h"  T ł - O f ^ ^ f o o T j - o c - l o a i n ł - H o o i — : < o o o o \ \ o r n c n o o o o o o o » no

c- i  | *t  ( ^ o ^ ^ ^ o o u ^ m r - o o o o o o c h ^ i o s ^ o o o o o o o o o o o S

r^   ̂ rt  rt  H  t ^ ^  N  y> ̂ '  H  rt  N  >O N  rt  ^ ' \Ó  S£) i«  VO «)  VO V£> \O  Ô  VO* «>  o

faj  °*  1 i  I  1 1 1 i  1  1  1 1 1 1 1 i  1 1 1 1 I  1  i

00  / - *>

^  V  V 0 f 0 i ^ 0 s ^ a \ l > ^ O r ^ ' - H t ^ 0 N O O 1 n » - H ^ 0 f S t i - » t r i r n c S 0 N f - -1 T ł - 0 > l o

g  1 1 1 1 1  !  1 1 1 1 i  1 1 !  I  1 1 1 t  i  I

o"

1!  ^

V  ( S t s c s ^ t f n T f T ł - r - r - o o i - H M O N t ^ i n i - w i n - ^ ł - c ^ o o o o o ' — IO O O
O  fcń  I — i l O o o c N 1 o t ~ - T T O O ( 7 \ ' - < r ^ r o o m o \ c o 1 s O O ' ^ o o t - - ^ » n ' * o O OO
O  w  O O v O ^ f O ' T H O H r l H O O H r v l ^ f - h ^ f f i ' r i ^ ' H O O l O O l f i M n O
O  ro  v i  t n  H V  rt  K  H  H  H  H  a i \ d Tt r i M (S  es H  H  N  N  n  H  H  o i «5  t n O

8  C  i  i  i  i  i  i  i
II  ^
^  _ _  ~
"!  C  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

o  ł — i c s m ^ i n ^ o c - o o c h o o o o o o o o o o o o o o o o o o

1274]



i  nnnnnnnnnir < o
"«  '5'  Q S S S S S S S S Q S S i S i S l S S S S S S l S S l

< î  O O ^ ^ f O i - H O o o - d - o ^ O f S t ^ C v l f n o o i n r - i o o o ô

1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I

"3"  S S S S S S S S S S S S Q S S S S 8 S Q 1 3 S
H  o O CT\  <N —i m  — i o o v o i ~ - y 3 c o r ~ - . - f O a \ m a \ O N v i ?p

5 ^ - i v o m M ( s r - v o ^ o ^: « > - * ' - H O O ' * o > n o ' n r t 'o
d  N ̂   "n H r i p i < n V H H \ o M  cJ c i <o ̂   sf vi "S o  r>"

1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1

o

K>  o l O Q 1 ^ 1 J 3 ' - | ' N m O O ' - i| O r n i i t ~ - c < 1 - ^ - > o a \ o t ' < t <»

M   a \ o o t s o o \ o \ o \ O T - i N ^ t ^ y 3 ' n m t N t « o o O ' - '
CJ  m' r i vd »-i r4 c~i tń • *' «' t> »' H H H  - 4 »-i »4 »-< r4 «  u-i  I- I
<  1

rh  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
V  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
g£.  o o o' o' o' o o' o' o o ó o' o o o d o o o  o" o o

>n  <1

Q
"T.  ^  ̂ N M ' N N N N N n « F i H O H O H « i . t f N O ^ c ^ O

* 1  O  m t s t ^ ^ r - i r n o i n y j M i n o o t ^ T f c ^ n O t - i c A S j o NO
§3,  o o — i f N - * r - - » c o \ o r t r - i £ ) ' < ł - g o \ o \ r t r - ® 2 o \o

T — t o \ ^ - " ^ m r - H O ^ O < S O O o a N r « ) ^ - r ^ e ^ i r o » - < o o ^ . r - io

«,  ^  |   1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  I I I  1

o "
II

u  l ' - o o - ^ ' ^ c ^ o r ^ ^ o o o o T - H O o r f o o f - t ^ x f O ' ^ o o c Ô
rh  ^ o o r ^ < o o o f ^ " o c ^ o o o \ r ^ - " « t - T - 4 i — i o o o \ o \ T ( f l r i - ô

^  o  c ^ ^ o m o ^ o T j - i o o o r ^ r ^ ^ o ^ o c ^ i t - ł c ^ r - o t ^ ^ r ô

,i  g  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i

°  O  r - ( O C S ' O ( N O \ 0 0 - ^ - < n O O Cv l O ' — i i - H C N r - i ^ O \ 0 \ 00
co  r i oi K  in Tf N H i> H  in H  p|   O \ V H  K  M '  cn  r i ̂   m d11  C  1 1 1 1  1

H  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
Z  ,O  rtM mrtirt'BC ĈOCTsOOOQOOOOOOOO

o  b

5  Mechanika  Teoretyczna  3/74  [275]



~  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1   1•9 •   c  S S S S S S S S S Q S S S S Q S S S S S S S S S S S S S
' - '  o  >n O  — ( r i ^ H ? 5 o ^ - 0 1 n t ^ t ^ - 0 ' 0 0 ' ^ i O ' * O v r n t - - 0 2 0 0 r o > - <o

i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i

"a1  S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S l S

—  o r J o o o - H O N i - i O ^ o u - i r - H ^ F c n f N r - i o o r i - o u i ^ ^ f ^ C T i - d - O- s i - in

1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 1

' g '  H n N N P l N N N N N N M N N M M N N N M N N N N H N M O

^  S S ? » S » l ~ - N I » O O « l » N n N M H H O « J H M 0  5 » ! f j O
^ i  i n ^ O r o - ^ - t ^ - O f N r ^ l O t ^ C ^ C O - ^ - f N O O O ^ C T t - r ^ O O O O O O O OO

i
r f  O O O O o O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
O  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
^  o o ' o ' o o ' o o o ' o o o ' o o ' o o ' o o ' o o o o o ' o o o o o o '

®

fc]   r K  f n ^ c s c o i n H ^ r * - o o o m o
| J 3 M | n M o \ ' - < © | n O O O O C > O C - - o

^  v j  o > ^ T ^ T ^ o c ^ v o v o T t " o o « o i - H f n c 7 \ C S o o i o f ^ a N O o c y \ O N O \ O Nc r \ o > o o o
K><  O f O U ^ O N m w - i ^ t T ł - o O N ^ ^ O O ^ ^ i n O C ^ r S O O O O O O O OO
l*<  T - H r H V ^ ^ O O f n r H O O f ^ O N t ^ O O O O O O O O N ^ O O O O O O O O O O O O

oo  O l  1  1  •   1  1  1  1 •  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1

o"

II  •   — —  —

8  S Q Q i s i s i s Q i S i s i s i s i S i a i s i a Q i S Q i s i a t a s i s s s o i s s
S  X  y ? c < < ^ o o o \ t S ^ O O ' - < v o o e \ O O i n - H V D { N | . t ~ - i< - i m r M O \ t - ~ ; * MO
o  d '  O ^ o t ^ ^ t n T f c o r - ł o o f ^ o t ^ y ^ ł n i n i O T ł - ^ ^ i - d c s o ^ o o ł - H ^ t ô
II  g  1  1  1  1  1  1  I  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
hi  ^

^  f O f n r o C N l c ^ r ^ r n c o f o m ( N ' - ( ^ H i - i ł - i1 - < i - - i T - ( T - i r - i r - < T - t r Ht - H O O OO

O  2 1 - 1 2 3 l t s c r i ^ l r i o 0 r f l M O ^ O O T | - f r i ^ C O t s . \ D r t ^ M C O ^ O \ 0 0

«  X  c M O O \ ( N i — i » o o o o o M 3 t > a \ m r o ( S f O i - H i n ' « ^ - c - i o o o o O ' — < oo o
O  M  ' ^ l O 1 O C S T - - ( ^ 0 r n t ^ " 0 0 O V 0 ^ 0 O V - i 0 N r n ' O O * ^ * 0 0 t * - V j D i / - > T t * OO O O
O  O  O O V O ^ C ^ l » O r H O T ^ T ^ T ^ t ^ t ^ O l 1 O t ^ - l > V D V O « O T j - i - H O O < r i r - ) fr l C N l ' - HO

u  5  i  i  i  i  i  i  i

^  S  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
< z  . o,  ' - < f N f r i ^ - > o ^ r - o o a \ o o o o o o o o o o o o o o o o oo
r,  ^ ^  r - i M c n t i n v o t ^ K i c ^ O ' n O ' ^ O ' ^ O ^O

[276]



LZ  G  g ( N ( N U - i O - H V O O \ ^ O f ^ i n l n c ^ —i  CO  Ô  O  \£>   <S  t- -   O

t o  o ^ ' ^ ' v l ' n r t ^ o o r f i C h ' O O M ^ N m i x j i n H M a o

O r n r ^ H T } - ^ " o ^ ' - i T - ( r - - ( ł - H r n T }: r n r O f o r n r 4 f S r 4 ' — t o

1  1  1  I  1  1  1 I  I  1  |   |   |   M  | . |   |   |  |

G  0 0 o r n 1 > O f S o o t N i ^ t " r - t ~ - - r n c i n o o f Sl n o o 1 O r n - ^ l - 1 o c r \ D O

r"1  o  (?\   h  M  r-1  i n  - - i i - H t ^ - c ~ - o c N ( N y p ^ t - c ^ " v h o o r - ( S c o ^o

c J N H f i H N f ń i o ^ ł H H y s H N r i f n T f ^ i r i i n ^ h'

i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i

Sr  S S S S S Q Q S S S S S S i S S S l S S S a S S
^  o ) m O t » ^ < N c T i m m o m ' - i m r ~ o o ' * i y - r t O l ' i o \ « 3

esl  o \ o O ' N ' 0 0 \ o \ o O ' - H r - l « n c - ~ ^ > i n m t s i T - i o o o —i

O  o g o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

> j  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
SS  •   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

- §.  s S S S S Q S S Q l S S S S S S S S S S S I S S
U  t T J o r - - G o o o o c > l ( N ^ * v o f n o o \ ^ H r o ^ O M ' r ^ v o o o r - HO

&  J S o ^ - i i N - ^ - h - ^ H m i n ^ ^ ^ o ^ O N t ^ r - i o o ^ a i - H ^o

2 < - ^t ^ " k o r r i ' ^ c - > V £ ) ( N O N O O < ^ r v l r n c n r n C N l c v ' c ^ ' ^ * r H O

00  ^  |   1  I  I  1  1  1  I  1  1  1  I I I  1

o"

H  Q S Q S S Q S S S Q Q S I S S S Q S S Q S S S

u  O ^ O r O C ^ O O C ^ C M f ^ ^ O N O O O N O f N r - ł r - ł ^ H ^ O T i - Ô
o  o  o s v o r n o y D ^ - » n o o r ^ ^ ; v o ' n o r ^ ^ - H a N ^ - o ^ - ^ ł - r - -o
u  q  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i  i

O  u  c o O ' ~ H ' - i m ł J D i n o ) y D r ^ o t ^ - i o O ' ^ c r \ i - H o o t - - f N i r iO

o  M  O - ^ c o - ^ t ^ H r n ^ r - H o o o o r i O N C ^ m T t r - . c o ^ r m o a NO

^ J  O  i — ( O f N 1 O c N C T \ O O ^ h i n O O ( N l O t S ' — i t S * — * O O C T \ O O

4  §  i  i  i  i  i

m  C  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
S  o.  - ^ M m - ^ - m v o t ~ o o a \ O O o o o o o o o o oo
x ^ ^  ^ H c M c o ^ ' r i ^ o t ^ - o o a N O ' o o
• 91  i- i  i- i  i- i  t s

0  to

5 *  [277]



278  S.  BIELAK

P  e  3  IO  M e

BH fl  flH *<t>EPEH miAJlBH OrO  YPABH EH H H   B  ^IACTHfeLX  IIPOH 3BOJ1.H LIX
PEU IAKH U ErO  KJIACC  JIH H EEWATBIX  P A3BE P TBI BAK)m i"lXOI  OBOJIOMEK

B  paSoTe  npe«npHHHTa nonbrara  cctopiwynHpoBaTb  eflimoe  pemeuHe  o6meft  CHweMbi  ypaBHeimii
pa3BepTbiBaioimixcH   oSwio^ieK, pa6oTaiom,nx  n p n  n3rH 6aiomH X  HanpH>KeHHJix, BbinoJiH eH -

H3  oflH opoflH oro  H3OTponHoro  M aTepaajta.  IIpHHHTa MaTeiwaTHiiecKaH   MOflejib,  onH CbiBawmaH   p a-

6oTy  OG OJIO^KH   n p n  H 3rn 6e,  ocHOBaHa Ha JiHHeiiHOH  Teopan  o6ojioH eK  OTHeceHHOH  K cpefle  T yn a .

npHBOflHMbie  B  TeXHHMeCKOH  JIHTepaType  peilieH H H j  OTHOCHTCH   JIHIUb K UHJIHHflpHHeCKHM  H   K0HH-

tiecKHM  oBojicncaM j  cepewiH H bie  noBepxH ocTH  KOTOpbix  o6pa3OBaH bi  npHMbiMH  nepeceKaioiU H MH  oi<py>K-

HOCTH   nofl  npaMbiM   yrjioM ,  n pri  ieM  flH (J)(pepeH Ł(H ajiŁH bie ypaBHeHHH,  p e m a io m a e  3TH   O S O J I O I K H ,  p a 3-

n o  crpoeH H io,  I O K B  oTH oineiuiH   HX nopH flKa,  Tai<  H   BHfla  oTflejibHbix  iraeH OB.

B  HacTOHinett paSoTe  p em em ie  3Toro  KJiacca  O6OJIOMCK  cBe^eH o  K oflHOMy  flH tJ)4)epeH -

ypaBHeHHio  BocŁMoro  n opH flio  B  tiacTH bix  npoH3BOflHbix  Ha HCH3BecTHyio  4>yHKifmo  n ep e-

ypaBH enne  oxBaTHBaioTCH   npoH 3BOJibH oro  BHfla  H arpy3KH   H   B H ^ M  on apaH H

S u m m a r y

TH E  PARTIAL  D IF F EREN TIAL  EQU ATION   SOLVIN G   A  CLASS  O F   R U LE D   D EVELOPABLE
SH ELLS

.  An  attempt  is  made  to  determine a  uniform  solution  of  the  general  system  of  equations  governing
the  theory  of  bending  of  ruled  developable  shells  made  of  isotropic  material.  The  mathematical  model
assumed which describes  the state of bending of shells is based  on the linear shell  theory referred  to H ooke's
medium.

The  corresponding  solutions  quoted  in  the  literature  concern  the  cylindrical  and  conical  shells  in
which  the middle  surfaces  are  generated  by  straight  lines  intersecting  the  circles  at  right  angles;  the cor-
responding  differential  equations  have  various  forms,  differing  by  their  order  and  the form  of  individual
terms.

The  solution given in this paper is reduced to a single eighth order differential  equation in the unknown
displacement  function  w3.  The  differential  equation  applies  to  arbitrary  loading  and  support  conditions
of  the shell.

P OLI TE C H N I KA  Ś LĄ SKA,  G LI WI C E

Praca został a zł oż ona  w  Redakcji  dnia  16  sierpnia 1973  r.