Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA ,.  3,  12  (1974) ZASTOSOWANIE  ITERACJI  SEIDLA  W  METODZIE  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH NA  PRZYKŁADZIE OBLICZEŃ  STATYCZNYCH  PŁYT [JE R Z Y  G O Ł A Ś ,  Z YG M U N T  K A S P E R S K I ,  AN N A  P E E R - K A S P E R S K A, JE R Z Y  M A K O W S K I  (OP OLE ) 1.  Wprowadzenie W  metodzie  elementów  skoń czonych, jak  wiadom o,  zasadniczymi  czynnikami  każ dego program u  są   nastę pują ce  p o d p ro gram y:  podprogram  do  budowan ia  macierzy  sztywnoś ci poszczególnych  elementów,  podprogram  do  budowan ia  ukł adu  algebraicznych  równań liniowych  oraz  p o d p ro gram  do  rozwią zywania  ukł adu  równ ań .  Zbież ność  wyników  obli- czeń numerycznych  do rozwią zań  dokł adn ych zależy  gł ównie  od wyboru  kształ tu elementu, postaci  funkcji  przemieszczeń  oraz  gę stoś ci  podział u ustroju  cią gł ego  na  elementy.  Zwię k- "szenie  liczby  pun któw  wę zł owych  co prawda  lepiej  aproksymuje  ustrój  cią gł y, jedn ak  pro- wadzi  do duż ego  ukł adu równ ań  i  zasadniczo  limituje  moż liwość  stosowania  maszyn  cyfro- wych  do  obliczeń.  P ojawia  się   zatem  problem  opracowywania  programów  wykorzystują - cych  ja k  najoptym alniej  pojem n ość  pam ię ci  maszyny  cyfrowej.  D użą   efektywność  daje zastosowanie  iteracji  Seidla  do  rozwią zywania  ukł adu  równ ań .  Pozwala  ona  na  wielo- stopniowe  budowan ie  ukł adu  równ ań ,  bez  pam ię tan ia  cał ej  macierzy  sztywnoś ci  ukł adu, oraz  n a  etapowy  ch arakter  obliczeń,  a  po n adt o  pozwala  na  peł ne  wykorzystanie  wszyst- kich  wł asnoś ci  macierzy  sztywnoś ci,  takich  ja k:  pasmowoś ć,  symetria  oraz  regularny rozkł ad  wyrazów  zerowych  wystę pują cych  w  paś mie.  A  zatem,  każ de  równanie  zapamię - tywane jest  w  postaci  zwartej,  z pom in ię ciem wyrazów  zerowych. Z asadnicze  procedury  program u  wykorzystują cego  wyż ej  wymienione  moż liwoś ci przedstawione  zostan ą   n a  przykł adzie  pł yt izotropowych,  przyjmują c  prostoką tny  element skoń czony  o  12  param et rach  wę zł owych  [1], W  przypadku  przyjmowania  wię kszej  liczby stopni  swobody  dla  elem entu prostoką tn ego,  n p. 16, czy  też jak  dla  pł yty  z  ż ebrami  jedn o- stronnymi  i  pł yty  trójwarstwowej  m in im um 20,  podstawowa  istota  budowania  odpowied- nich  podprogram ów  n ie  ulegnie  zm ianie.  Jedynie  wymiary  podmacierzy  sztywnoś ci  ele- m en tu,  zamiast  wymiarów  (3 x  3),  przyjmą   odpowiednio  wielkoś ci  ( 4x4)  i  (5 x  5)  oraz wię ksza  bę dzie  liczba  warun ków  brzegowych,  [2], [3]. P rzedstawiony  algorytm  obliczeń  numerycznych  swą   ogólnoś cią   obejmuje  analizę statyczną   pł yt dowoln ie  obcią ż onych, pł yt o kształ tach zł oż onych z prostoką tów,  pł yt o do- wolnych  warun kach  brzegowych  i  podpartych  w  swoim  obszarze  oraz  pł yt  osł abionych otworam i  prostoką tn ym i.  Sztywność  gię tna  pł yt m oże  być  zmienna,  lecz  stał a w  obrę bie elementu. N iektóre  elementy przedstawion ego  algorytmu  mogą   być  rozszerzone  n a inne zagadnie- nia  m etody  elementów  skoń czonych. 9* 342 J.  G OŁ AŚ,  Z .  KASPERSKI,  A.  PEER- KASPERSKA,  J.  MAKOWSKI 2.  Algorytm  programu 2.1.  Dyskretyzacja  ukł adu. Rysunek  1  przedstawia  prostoką tny  obszar  pł yty,  który  po- dzielono  n a  z  =   (n — 1)  (m—l)  elementów  skoń czonych  o  dowolnych  wym iarach  oraz ilustruje  przyję tą  numerację  pun któw  wę zł owych  i  poszczególnych  elementów.  Przyję ty n a  rysunku  kształ t  nie  ogranicza  zastosowań  program u  do  pł yt  prostoką tn ych.  W  przy- padku  pł yt  o  innych  kształ tach  (ale  dają cych  się  podzielić  n a  elementy  prostoką tn e)  od- powiednim  elementom  należy  n adać  bardzo  mał ą  grubość  w  porówn an iu  do  gruboś ci (1) k 3  - - ca y (m- l)n'l 2n.1 n*l © i h, nrt)n>2 GE£> n*2 I la, „a 3® j. 1 II 1  i 1 fl'4 4  ! 1 1 II ln- 1 OfT ) n- l na- l  mn (m- i)n QmD (ED n- l  n K, X Rys.  1 pł yty  rzeczywistej.  D o peł n ien ie  o bszaru  pł yty  do  p r o st o ką ta  p o zwa la  za c h o wa ć  cią gł ość n um eracji,  a t ym sam ym m oż liwe jest  cał kowite  zau t o m at yzo wan ie  obliczeń ,  p rzy p ro st ym sposobie przygotowywan ia d an ych .  Jedyn ym i wielkoś ciami okreś lają cymi p o d zia ł   pł yty  n a elem en ty  są:  liczby  n,  m  (liczby  p u n kt ó w  wę zł owych  zn ajdują cych  się  o d p o wied n io n a poziom ej  i  pion owej krawę dzi), wym iary  a u bj  (i  =   1, 2,  ...,n;  j  =   1, 2,  ..., ni), szerokość i  wysokość  i- tego  p io n o wego  i  / - tego  po zio m ego  p a sa  p o d zia ł u  pł yty,  gru bo ść  t k (k  = =   1,2,  ..., z) poszczególn ych  elem en tów. 2.2.  Sposób  tworzenia  macierzy  sztywnoś ci  ukiadu.  Warun ki  równ owagi  dla  poszczególnych pun któw  wę zł owych  podział u  konstrukcji  prowadzą  do  ukł adu  równ ań (2- 2.1) gdzie [K] {<5} {F} macierz  sztywnoś ci  ukł adu, wektor  uogóln ion ych  przemieszczeń, wektor  obcią ż eń. ZASTOSOWANIE  ITERACJI  SEIDLA 343 M acierz  sztywnoś ci  ukł adu  [K]  buduje  się   z  odpowiednio  skł adanych  i  sumowanych podmacierzy  k pq ,  bę dą cych  elem entam i  macierzy  sztywnoś ci  poszczególnych  elementów. D la  pł yty  izotropowej  macierz  sztywnoś ci  elementu  prostoką tn ego  (rys.  2)  przyjmuje postać (2. 2. 2) Rys.  2 gdzie  elementy  lc iP   są   podm acierzam i  kwadratowym i  o  wymiarach  (3 x  3).  Podmacierze te  wyznaczono  w  postaci jawnej  i  przykł adowo  wynoszą : (2. 2. 3) f PP - m k  — Ką ą l- 2v Wab (1 +4v) 10a l+4v 106 "  (7- 2w) 10a6 (1- 0 10a (1 +4iO 106 [ 10a 106 I 1 1 1 1 _ , 6 a 3 a b 2 b b  a a 3  +   b 3 a b 2 b a 2 b 2a 3 a b 2 b 2a 1 a 1  6 3 (1 +4v) 10a 46(1 - v) 15a a  (1 —v) b 3   10a 6(1 — v) 15a r\ (1 +4v)  a 10a  ' b 2 46(1 - 0   Ą a ť15a  ' 36 a b z 4a 36 4 1+4 106 4a(l " +   b +   a 2 - v)  , 46 156  '  3a_ a b 2 la 36 1+4J» 106 3(1 - 0 156 (1 +4v) 106  ' o 4a{l- v) 156 -   6 ~ a 2 46 1  3a > 6 ~ 2a 2 26 3a gdzie 2a,  26, t  oznaczają   odpowiedn io:  dł ugoś ć, szerokość  i grubość  elementu prostoką tne- go  pł yty. 344 J.  G OŁAŚ,  Z .  KASPERSKI,  A.  PEER- KASPERSKA,  J.  MAKOWSKI W  dalszym  cią gu,  gdziekolwiek  bę dzie  mowa  o  wierszu  bą dź  kolum n ie  macierzy [K\ , to  bę dziemy  rozumieli  pod  tym  odpowiednią   trójkę   wierszy  lub kolum n , ja k to pokazan o na rys.  3. Przez i oznaczono numer  pu n kt u  wę zł owego  podział u pł yty, i  =  I, 2,  ...,nxm. - • i : : — - - r: _ - - - 1 4- — i f -, : T -  li J - 11 i i  ~ f. i I i - - i - - - _  h . -   ' i . ii ~ i -  li —I i - U- : ih_ ) -   i - J+r , i - J l - — ... • V 1 • i - :- Objaś nienie zapisu. Z apis (2.2.4) Rys.  3 d- k pq - *  (u,v) :  (h) bę dzie  oznaczał : należy  wzią ć  wymiary  a, b, t  elementu  skoń czonego  o n um erze d, utwo- rzyć  macierz k M ,  dodać ją   do wyrazów  macierzy  [K] leż ą cych w wierszu  u i w kolum n ie v. Z  uwagi  n a symetrię   macierzy  [K], bę dziemy  budowali  tylko  jej  wyrazy  leż ą ce  n a i  nad przeką tną,  dlatego  u < v.  Symbol  (Ii) bę dzie  wyjaś niony  w  dalszej  czę ś ci  pracy. W  zależ noś ci  od  poł oż enia  pun któw  wę zł owych  podział u  pł yty  rozróż n ia  się  nastę - pują ce  przypadki : Przypadek  I i  — 1 (wę zeł  leż ą cy  w lewym  dolnym naroż u) 1—fcw- > (l,l)  :(1), 1 - * H - * ( 1 .«  +  1 ) : ( 4 ) , 1 — k pr   —y  ( 1, n+2)  :  (5), 1- *:„ ->  (1,2)  :(2). Przypadek  II i  — 2,3,  ...,rt— 1  (wę zły  leż ą ce  n a  dolnej  poziomej  krawę dzi  pł yty,  nie  liczą c  wę zł ów n aroż n ych) i- l i—l i- l i i i K sq  ^ —  k„  - »• .  / ,  . —   k pp  ~* —  kps  - *• (i > (', (l> (i, (i, (i, (i, rt+i— n+i) i) i) rt  +  1) ; + i ) O :  (3), :( 4) , : ( 1 ) , : ( 1 ) . :( 4) , 1)  : (5), : ( 2 ) . Z ASTOSOWAN I E  I TE R AC JI  SE I D LA  345 Przypadek  III i  ~  n  (wę zeł  leż ą cy  w  prawym  doln ym naroż u) rt- 1—  fc, s- >  («, 2/ 7- 1)  : ( 3 ) , n- \  —  / cs,  - > (n,2n)  : ( 4 ) , «—1  —  k ss   - >•   ( », »)  : (1). Przypadek  IV i  =  «  +  l , 2 «  +  l ,  . . . ,  ( m —2 ) « +  l  (wę zły  leż ą ce  n a  lewej  krawę dzi  nie  liczą c  wę zł ów  n a- ro ż n yc h ). O gó ln ie :  i  =jn  + l,  gdzie./   =   1, 2, 3,  . . . , m —2 ( . / - 1 ) «- 7 +2  — V  -+  (/ ,  i +1 )  :  (2), y« - y  + 1  —  /   (f,  i+ «)  : (4), jn- j+l  - ,k pr   - +   (/ ,  J + W+ l)  : (5), Przypadek  V jn+k,  gdzie  fc  =   2,  3,  . . . , « — 1; y  =   1, 2,  . . . , m - 2  (wę zły  leż ą ce  wewną trz  obszaru pł yty) U-   l ) ( r t - 1 ) + / c~ 1 —  /c,.r  - >  (/ , 0  : (1), ( j - 1 ) ( «- 1)  + / c  —  / c,r  - *•   (/ , j +   1)  : (2), j(n- l)+k- l  - k sq   - .  (/ , / + » - !)  : (3), , / («- 1) +k- 1  —  /c.„. - >  (z, / + «)  : (4), j(n- \ )+k- \  —k ss   - > ( / , /)  : ( 1 ) , ./ (« - 1) +  A  —  fcpe - » (/ , i +  «)  :  ( 4), :  ( 5), Przypadek  VI i  =  (j+l)n,  gd ziej  =   1, 2,  ...,  m —2  (wę zły  leż ą ce  na  prawej  krawę dzi  nie  liczą c  wę zł ów n aroż n ych) ./ (rt- 1)  —  fcrr- *  (/ ,;)  - .( I ). C/ +   \ )(n-   1) -   / cs,  - .  0\   i+tt- 1)  •   (3), Przypadek  VII i  =  (m~l)n  + l  (wę zeł  leż ą cy  w  lewym  górnym n aroż u) : ( 2 ) . 346 J.  G OLAS,  Z.  KASPERSKI,  A.  PEER- KASPERSK:A, J.  MAKOWSKI Przypadek  VIII i=  (m- l)n+k,  gdzie  k  =   2,  3,  . . . , n—l  (wę zły  leż ą ce  n a  górnej  krawę dzi,  n ie  liczą c wę zł ów naroż nych) - l  —* : „ - >  {i, i)  : (1), :  (2 ). Przypadek  IX i  — mxn  (wę zeł  leż ą cy  w  prawym  górn ym n aroż u) M acierz  [AT] jest  macierzą   pasmową   o  duż ej  liczbie  wyrazów  zerowych. P rzykł adowo: / - ty  wiersz  macierzy  [K]  m a  postać  przedstawioną   na  rys.  4,  gdzie  pola  zakreskowane oznaczają   wyrazy  niezerowe. Przy  duż ych n liczba wyrazów  zerowych  wzrasta  bardzo szyb- \ •   I S L+n- 1 w; ' • Rys.  4 I  \ 2  5  4-   S \ Rys.  5 ko.  Ł atwo  zauważ yć,  że  m aksym alna  liczba  wyrazów  niezerowych  w  każ dym  wierszu  [K] (po  uwzglę dnieniu  symetrii)  wynosi  15.  D latego  też,  każ dy  wiersz  zapam ię tywany  jest w  tablicach  W l,  W 2,  W 2>  o  wymiarach  [1:15],  [1:14]  [1:13]  (rys.  5), daje  to  oszczę dność pamię ci  maszyny  cyfrowej,  a  pon adto  skraca  czas  obliczeń,  pon ieważ  n a  elem entach ze- rowych  nie  wykonuje  się   ż adnych  operacji  arytmetycznych. Z apam ię tanie  każ dego  wiersza  [K]  w  postaci  zwartej  powoduje  zm ianę   indeksów poszczególnych  wyrazów.  U jmuje  to  liczba  h  (zob.  2.2.4),  oznaczają ca  n um er pozycji,  do której  ś cią gnię to  (przesunię to) odpowiedni  wyraz  / - tego  wiersza.  Wyrazem  tym  może  być jedn a,  bą dź  suma  dwóch  i wię cej  podm acierzy (2.2.2). 2.3.  Algorytm  rozwią zywania  ukł adu  równań  liniowych  z  uwzglę dnieniem  warunków  brzegowych. Rozwią zanie  ukł adu  równ ań  (2.2.1), gdzie K lt Kit K- rt Kr, d 2 Fr F t t  m  3mxn  jest liczbą   stopni swobody  ukł adu,  otrzymuje  się   m etodą   iteracyjną   Seidla  z czynnikiem  nadrelaksacji  co. Odpowiedni  wiersz  macierzy  [K]  umieszczony  jest  w  tabli- cach  W l,  W 2,  W 3. Z ASTOSOWAN I E  I T E R AC I I  SE I D LA  347 P roces  iteracyjny  w metodzie  Seidla  odbywa  się  cyklicznie.  Wpierw  obiera  się  dowolne przybliż enie  d 0  =   [<5£ ,6%,  ..., <5Ó]T, a  nastę pnie  w  C/4- 1)  kroku  iteracyjnym  oblicza się wektor  <5J+ 1  wedł ug  wzoru r- l  I (2.3.1)  a 5 + i - . a $ - - j( gdzie Jfy są wyrazami  [K]. Czynnik  nadrelaksacji  przyś pieszają cy  zbież ność  rozwią zania  powinien  speł niać  nierów- ność  1 <   co < 2, [4]. Z e  wzoru  (2.3.1)  wynika,  że w przeciwień stwie  do metod  dokł adnych  rozwią zywania ukł adu  równań,  elementy  macierzy  sztywnoś ci  ukł adu  [K] nie  zmieniają  się.  Pozwala  to, wykorzystać  wszystkie  wł asnoś ci  tej macierzy,  ja k:  symetrię,  pasmowość  oraz  regularny rozkł ad  duż ej  iloś ci  elementów  zerowych  wystę pują cych  w paś mie.  D o  obliczenia  przybli- ż eń  r- tej  niewiadomej  potrzebn y  jest  tylko  r- ty  wiersz  macierzy [K], Tok  postę powan ia  poszczególnych  etapów  przedstawionej  metody  w  programie na maszynę  cyfrową  jest  nastę pują cy  (zob. schemat blokowy,  rys.  6): a) dla  dowolnego  pun ktu  wę zł owego i tworzy  się  tablice  W \ ,  W 2,  W 3 wedł ug sposobu podan ego w punkcie  2.2, b)  wyznacza  się  odpowiednią  trójkę  prawych  stron równania  (2.2.1), c)  sprawdza  się,  czy  dan y  wę zeł  jest  wę zł em  brzegowym,  jeś li  tak,  to jakiego  rodzaju warunek  brzegowy  wystę puje  t am . W  przypadku  n p . cienkich pł yt izotropowych  rozróż nia się  nastę pują ce  warun ki  brzegowe: I  (<5r =  0,  <5r+ 1  =  0,  <5p+ 2= = - O), I I  (0P  =  O,  ó r + 1  =  0,  .  Przy  czym  pam ię tać  należy  równocześ nie  o tym,  że w tablicach  W  wyrazy  nie ozna- czają  kolejnych  wyrazów  r- tego  wiersza  macierzy  [K], lecz są to tylko  niezerowe  elementy tego  wiersza.  W zwią zku  z tym  niewiadome  <5j+ 1  oraz  d]  we  wzorze  (2.3.1)  muszą  wystę- pować w odpowiedniej  kolejnoś ci. P o  wykonaniu  iteracji  dla wszystkich  niewiadomych  ukł adu  bada  się wartość  wyraż enia (2.3.3)  . Wielkość  powyż szego  wyraż enia  charakteryzuje  szybkość  zbież noś ci  do  rozwią zania dokł adnego  oraz  okreś la  w  pewnym  sensie  wielkość  bł ę du  bezwzglę dnego,  Jeś li  u ̂  e, gdzie  e jest  zadaną  mał ą  wielkoś cią,  wówczas  obliczanie  przemieszczeń  koń czy  się,  przy 348 J.  G OLAS,  Z .  KASPERSKI,  A.  PEER- KASPERSKA,  J.  MAKOWSKI czym  przemieszczenia  przyjmują  takie  wielkoś ci,  jakie  otrzym an o  w  ostatn im  kroku iteracji.  Jeś li  n atom iast  u  >  e, t o  zaczyna  się  tok  postę powan ia  od  pun ktu  a)  do  d), czyli wykonuje  się  nastę pny  krok  iteracji  aż  do  otrzym ania  u  ^  s. P o  rozwią zaniu  ukł adu  równań  (2.2.1),  czyli  po  wyliczeniu  przemieszczeń  <5,  oblicza się  wielkoś ci  sił   wewnę trznych,  co  nie  przedstawia  już  wię kszych  trudn oś ci  i  nie  bę dzie omówione  w  niniejszej  pracy. JTAHT  1 Czytanie warunków brzegowych Tworzenie  uporzą dkowanego  zbioru  Z, którego  elementu sq numerami  nienia- - domych  równycti 0( warunki brzegowe) Czytanie  • •  n,m,9,Ę ,Q a; bj  ł ,  (wymiary  i  gruboii  elementu) £,d,  o(dokł .przijbl'.począ tkcme,ai/ miinak, (nadanie m UtNorzenie i- fego wiersza  macierzy ukł adu  KO'Fdla  odppw. wę zł a  i podstawienie pod  tablice  wi  wz W Czu wezetiestorzeiiomii tak me Nadanie  wartoś ci zerowych odpowiednim  niewiadomym Uizz tak keu (V  ? me tak Bruk  na  rn.ą njocz 1  oraz nitorze  I nie 'ke< j[ Q)\ tak nie me tak Obliczanie i wydruk sił  wewnę trznych 1 STOP Rys.  6.  Ogólny  schemat  blokowy  programu  zrealizowanego  na  maszynie  cyfrowej  «OD RA  1204» Zapis k e y  ( 0  oznacza  pytanie,  czy został   wciś nię ty  klawisz o numerze i dla maszyny  cyfrowej  «OD RA  1204» Z ASTOSOWAN I E  I TE R AC JI  SE I D LA 349 3.  U wagi  koń cowe Autorzy  są dzą, że  przedstawion a  m etoda  iteracji  może być  wykorzystana  wszę dzie  tam, gdzie  otrzymuje  się   dużą   liczbę   równ ań , których  rozwią zanie  metodą   dokł adną  n p. metodą eliminacji  G aussa  przekracza  moż liwoś ci  pojemnoś ci  pamię ci  maszyny  cyfrowej. ]27 120 115 106 99 02 85 76 71 54 57 50 43 J 6 29 22 15 B 1 1 ł 28 86 ff 2 29  j 8' 50 116 109 102 95 83 61 • li 57 50 53 39 32 Z5 78 11 4 Sl 89 47 J i  *  ł   ł   ł i 52  155 126 119 112 105 W K  91 u 77 70 53 50 U  49 44 35 n 21 U S  7 '  j  , i X _»»_ 4 Rys.  7 Wadą   m etody jest  t o ,  że  oblicza  się   wielokrotnie  te  same  wielkoś ci  tzn .  powtarza  się zawsze  tok  postę powan ia  od  p u n kt u  a)  aż  do  d ) .  Jest  to jedn ak  konieczne  ze  wzglę du  n a ograniczone  pojem n oś ci  m aszyn  cyfrowych.  C zas  obliczeń  zależy  od  gę stoś ci  podział u 350  J.  G OŁAŚ,  Z .  KASPERSKI,  A.  PEER- KASPERSKA,  J.  MAKOWSKI obszaru  pł yty n a  elementy  i  od  odpowiedniego  doboru  czynnika  nadrelaksacji  co.  Przykł a- dowo  dla  okoł o  1000  stopn i  swobody  i  co =  1,8  czas  obliczeń  wynosił   2,5  godziny. M oż na  pon adto wysuną ć  nastę pują ce  wn ioski: 1.  M etody iteracyjne  posiadają   waż ną   wł asność tzw.  autokorekcji. 2.  P rzedstawiony  program  m oż na  rozszerzyć  n a  zagadn ien ia  statyki  pł yt  trójwarstwo- wych,  pł yt  z  ż ebrami jedn ostron n ym i  it p. 3.  M odyfikacja  wektora  obcią ż eń  w  każ dym  kroku  iteracyjnym,  przez  wprowadzenie czynnika  nadrelaksacji  znacznie  skraca  czas  obliczeń  n a  maszynie  cyfrowej. 4.  Przykł ad  liczbowy Opracowany  program  sprawdzono  n a  szeregu  przykł adów  liczbowych.  D la  pł yty  trój- polowej,  (rys.  7),  przy  podziale  n a  108  elementów  skoń czonych  otrzym an e  wyniki  mo- mentów  zginają cych  w  porówn an iu  z wynikami  znanym i  z  literatury  [5] róż nią   się   o  okoł o 0,5%- s- 1,5%  (rys.  8). Rys.  8. Wykres momentów zginają cych  M w  przekroju A  •— A;  O  — wyniki znane z literatury, ...  A  •  •  •  — wyniki  otrzymane Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  O.  C.  ZtENKrEWicz,  Metoda  elementów  skoń czonych, Arkady,  Warszawa  (1972). 2.  R. G AN OWICZ, J. G OŁAŚ, Pewne problemy teorii pł yt z ż ebrami jednostronnymi,  Rozpr. I n ż .,  3,15,  (1967). 3.  J.  G OŁAŚ,  Pewne  rozwią zania  dla  koł owych pł yt  trójwarstwowych  obcią ż onych  na  krawę dzi, Rozpr. Inż. 19,  2,  (1971). 4.  A.  RALSTON,  W stę p do  analizy numerycznej,  Warszawa 1971. 5.  Poradnik inż yniera  i  technika budowlanego,  Praca  zbiorowa,  Arkady,  Warszawa 1968. P  e  3  IO  M e n P H M E H E H H E  H TEP A1JH H   3EH,Ii;jL$I  K  M E T O D Y  K O H E ^ H L I X  3 J I E M E H T 0 B  H A ITPH M EPE  C TATH *I E C KH X  P AC T E T O B  I U I H T B  p a 6o ie  paccMOTpena  nporpaiwiwa  craTiraecKoro  pac< jeia 3  MeTOflOM   Kone^mbix  9JieMeHTOB3 npHMO- yronBH bix  rniiiT  co  CKatmoo6pa3HO  iweiwnomeHCH   JKCCTKOCTLMJ  n p n  npoH3BOJiŁHbix  H arpy3Kax  H  n poH 3- BO JI Ł H Ł K  KpaeBwx  ycnoBHHX. P en ien H e BŁiTeKaiomeii  H3 n pon eflypŁ i flH CKpeiH 3aiiH H j CHCTeiwbi  ypaBH e- Z ASTOSOWAN I E  I T E R AC JI  SE I D LA  351 H H H   noJiy^eH O  c  npHMeHeHHeM  H Tepau,noH H oro iweTofla  3eHflJiH   co  CBepxpejiaKcaqneii.  ripH MeireH ue MeTofla  3eH,n;juł   flano  BO3M OWH OCTB  M H ororayneH ^aToro nocTpoemiH   cHCTeMM  ypaBtieHHH  n p n  oflHOBpe- MeHHOM  ee  peineH H H . TIpoi- paiwMa  n p o sep eH a  Ha pnfle  iH CJiemn.ix  n pn in epoB.  PaccMaTpuBaeMbiii  MeTOfl MOJKeT  HcnoJib3OBaTbcH   fljiH   n p yr u x  sansn  pemaeM Lix  meTOfloiw  KOHe^HLix  ajieM emoB. S  u m  m a r y APPLICATION   OF   SEID EL'S  ITERATION   TO  TH E  F I N I TE  ELEM EN T  M ETH OD ,  ON   TH E SAM PLE  OF   STATIC  PLATE  AN ALYSIS The  paper presents  a  program  of  the finite  element method applied  to the static analysis  of  rectangular plates with jumptype variable  rigidity,  under arbitrary  boundary  conditions and loads.  The  set  of  equations resulting  from  the  discretization  process  is  solved  by  the iterational  Seidel  method  with  super- relaxation. Application  of  the  Seidel  method  enables  the  multi- step  construction  of  the  set  of  equations  and  its  si- multaneous solution. The  program  is verified  on several  numerical examples. The procedure discussed  may be  applied  to  other finite  element  problems. WYŻ SZA  SZ KOŁA  I N Ż YN I E R SKA,  O P O L E Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  23  stycznia  1974  r.