Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZ NA I  STOSOWANA 3,  12  (1974) WYBRANE  OSIOWO- SYM ETRYCZNE  ZAG ADN IEN IA  OBRÓBKI P L AS T YC Z N E J  M E T AL I * M AR I AN   G R Z Y M K O W S K I  (WARSZ AWA) 1. Wstę p Osiowo- symetryczne  zagadn ien ia  obróbki  plastycznej  metali  posiadają   duże  znaczenie praktyczn e.  P rawie  wszystkie  procesy  kucia  n a  m ł otach,  prasach,  kuź niarkach  oraz  pra- sowanie  n a  zim no  i  gorą co,  cią gnienie  prę tów,  wytł aczanie  i  przetł aczanie  przebiegają w  warun kach  osiowej  sym etrii. Waż n ym  i  czę sto  stosowan ym  procesem jest  kucie  swobodne  pierś cieni  i  krą ż ków  bę - dą cych  odkuwkam i  wstę pnymi  do  kucia  matrycowego  lub  gotowymi  pół fabrykatami. Procesy  obróbki  plastycznej  m etali  są   bardzo  waż ne  dla  technologii  obróbki  czę ś ci  ma- szyn  i  urzą dzeń,  pon ieważ  obniż ają   on e  koszt  ich  wytwarzania  i  wpł ywają   na  wzrost  wy- trzymał oś ci  mechanicznej poprzez  zjawisko  um ocnienia m ateriał u. P rocesy  przebiegają ce  w  warun kach  osiowej  symetrii  są ,  z  praktycznego  pun ktu  wi- dzenia,  szczególnie  istotn e.  N iewiele  z  nich  doczekał o  się   jedn ak  analizy  teoretycznej opartej  n a  teorii  plastycznoś ci.  An aliza  tych  procesów  jest  znacznie  trudniejsza  niż proce- sów  bę dą cych  w  pł askim  stan ie  odkształ cenia. Waż ność  zagadnień  osiowo- symetrycznych dla  technologii  wytwarzan ia  skł onił a  autora  do  podję cia  rozważ ań  n ad nimi. W  analizie  procesów  obróbki  plastycznej  m etali  podstawowym  zagadnieniem  jest okreś lenie  nacisków  pom ię dzy  narzę dziem  formują cym  a  materiał em,  energii  zuż ytej w  czasie  procesu  oraz  m ech an izm u pł ynię cia. Traktują c  m ateriał  jako  sztywno- plastyczny, izotropowy,  nieś ciś liwy  i  pomijają c  efekt  wzmocnienia  oraz  lepkoś ci,  moż emy  znacznie uproś cić  analizę .  Z agadn ien ie  pł ynię cia  plastycznego  moż emy  rozwią zywać  metodami teorii  plastycznoś ci,  poszukują c: 1) rozwią zań  ś cisł ych, 2)  ocen  n oś n oś ci: a)  oceny  górnej  n a  podstawie  pól  kinematycznie  dopuszczalnych  (pól  charakterys- tyk  prę dkoś ci, zadan ych analitycznych  rozkł adów prę dkoś ci lub  ruchu sztywnych  bloków), b)  oceny  dolnej  n a  podstawie  pól  statycznie  dopuszczalnych  (pól  charakterystyk naprę ż eń  lub  zadan ych  analitycznych  rozkł adów  naprę ż enia), 3)"rozwią zań  uproszczon ych. D la  celów  praktyczn ych  wię ksze  znaczenie  mają   m etody  uproszczone. W  pracy po dan o rozwią zan ia  dwóch, praktyczn ie waż nych,  zagadnień  obróbki  plastycz- nej  m et ali: 1. Wciskanie  dwóch  przeciwległ ych  cylindrycznych  stempli  w  krą ż ek  (rys.  1). 2.  Ś ciskanie  pierś cieni  mię dzy  sztywnymi  pł ytam i (rys.  2). *  Streszczenie  pracy  doktorskiej  pt.  Osiowo- symetryczne  zagadnienia  obróbki plastycznej metali,  obro- nionej  w  czerwcu  1973  r.  [9]. 6* 294 M .  G RZYMKOWSKI D o  znalezienia  nacisków  jedn ostkowych  i  mechanizm u  pł ynię cia  zastosowan o  metodę charakterystyk,  m etodę   zał oż enia  funkcji  rozkł adu  prę dkoś ci  oraz  m etodę   uproszczoną . Wyniki  teoretyczne porówn an o  z  wynikami  doś wiadczalnymi. Krą ż ek  / • _ . _ r \ 2/ Jn \  Stempel v Stempel Pł yta Rys.  1. Schemat wciskania  dwóch  przeciwległ ych cylindrycznych  stempli  w  krą ż ek Rys.  2.  Schemat  ś ciskania  pierś cienia  mię dzy sztywnymi  pł ytami P ole  statyczne  znajdziemy  wychodzą c  z  równ ań  równowagi  dla  osiowej  symetrii,  wa- run ku  plastycznoś ci  Treski  i  postulatu  peł nej  plastycznoś ci.  P o  rozwią zaniu  ukł adu równań  otrzymujemy  równania  róż niczkowe  charakterystyk  i  zwią zków  wzdł uż  cha- rakterystyk  [23, 26] (1.1) dp—2kd$  ——  (dz±dr)   dla  lin ii'a, dp+2kd&  =   - - —(dz+dr)  dla  linii /?. G órn e  znaki  dotyczą   pł ynię cia  materiał u  n a  zewną trz,  doln e  n atom iast —  d o  ś rodka przyję tego  ukł adu  osi  współ rzę dnych.  P ole  kinem atyczne  znajdziemy  wychodzą c  z  wa- run ku  nieś ciś liwoś ci  i  warunku  izotropii.  R ówn an ia  róż niczkowe  charakterystyk  dla prę dkoś ci  i  zwią zków  wzdł uż  charakterystyk  dla  prę dkoś ci  przyjmują   postać (1.2) dz_ dr vrdVrCosft+dv z sin&  -   — - y-( drco s&+ dzsin # )  dla  linii  a, vr ~2r -  dr sin # )  dla  linii / ?. R ówn an ia  róż niczkowe  charakterystyk  dla  prę dkoś ci  (1.2)  są   takie  same,  ja k  równania róż niczkowe  charakterystyk  dla  n aprę ż eń  (1.1),  a  wię c  charakterystyki  dla  prę dkoś ci pokrywają   się   z  charakterystykam i  dla naprę ż eń. Wzdł uż  linii  niecią gł oś ci  prę dkoś ci  a  skok  prę dkoś ci  jest  okreś lony  wzorem (1.3) kl • w  którym  R jest  prom ieniem pun ktu  przecię cia  rozpatrywanej  linii  z  osią   r,  v a   jest  skł a- dową   prę dkoś ci  w  tym  punkcie,  r  jest  współ rzę dną   pu n kt u ,  w  którym  wartość  skoku WYBR AN E  Z AG AD N I E N I A  OBRÓBKI  P LASTYC Z N E J  METALI  295 skł adowej  prę dkoś ci  Av a   jest  obliczona.  Analogiczny  wzór  obowią zuje,  gdy  linią   niecią - gł oś ci  prę dkoś ci jest  linia /?. N acisk  jednostkowy  p  potrzebn y  do  odkształ cenia plastycznego  oblicza  się   z  bilansu energii  dysypacji  w  elementach  obję toś ci,  na  powierzchniach  kontaktu  z  narzę dziem i  na liniach  niecią gł oś ci.  N acisk  ten  oblicza  się   z równania  [1, 14] (1.4)  ^ pv 0 dF 0   =  f  o u kijdV+  j  r s v s dF s , Fo ¥ • F, a  w przypadku  przyję cia  warunku  plastycznoś ci  H ubera- M isesa z równania (1.5)  /   pv o dF o   =  J  a p eidV+  j  T s v s dF s . F* V F, Z  równań  (1.4)  i  (1.5)  oblicza  się   górną   ocenę  noś noś ci  granicznej. 2.  Wciskan ie  dwóch  przeciwległ ych  cylindrycznych  stempli  w  krą ż ek Zagadnienie  wciskania  dwóch  przeciwległ ych  cylindrycznych  stempli  w  krą ż ek  wystę - puje  w  procesie  kucia  odkuwek  swobodnie  kutych  z  otworem  w  ś rodku  oraz w  pierwszej fazie  kucia  matrycowego  wszelkiego  rodzaju  kół , pierś cieni  i  krą ż ków  również  z  otworem w  ś rodku.  Z agadnienie  to  zostanie  rozwią zane  metodą   charakterystyk  i metodą  zał oż enia funkcji  rozkł adu prę dkoś ci pł ynię cia. 2.1.  Obliczenie ś redniego nacisku jednostkowego metodą  charakterystyk. Zadanie wciskania dwóch przeciwległ ych  cylindrycznych  stempli  w  krą ż ek  moż na  rozwią zać  metodą   charakterys- tyk  przez  rozbicie  go  n a  dwa  zagadn ien ia: 1) roztł aczanie pierś cienia  o prom ien iu r s   <  r  <  r m   ciś nieniem q wynikają cym  ze ś ciska- nia  walca  o  prom ieniu  r s   stemplami  (v r   >  0,  e g   >  0, e r +e e   =  0), 2) ś ciskanie  walca  o  ś rednicy  2/- s mię dzy  stemplami z uwzglę dnieniem  dział ania boczne- go  ciś nienia  q. Ciś nienie  q  roztł aczania  pierś cieni  może przyjmować  wartoś ci  od  zera  do 2k.  M aksymalny promień  pierś cienia  /• ,„,  który  bę dzie  zależ ny  od  przyję tego  ciś nienia  q  moż na  znaleź ć z równania (2.1)  r m   =   r s e Jeś li przyjmiemy,  że  ciś nienie  q  roztł aczania pierś cienia  dział a na pobocznicę  walca  ś ciska- nego  stemplami  (q  =   — o r ),  to  wówczas  na  brzegu  walca  mamy jednorodn y  stan  naprę - ż enia  a r   =   —q,o z =  —(2k+q).  Przyjmują c  taki  stan  naprę ż enia zamiast  stanu  naprę ż e- nia  dla  ś ciskania  walca  a r   =   0,  a z   =  —2k  uwzglę dnimy  oddział ywanie  pierś cienia  na walec,  a  tym  samym  rozwią ż emy  zadanie wciskania  stempli  w  krą ż ek. 296 M .  G RZYM KOWSKr Rozwią zanie  statyczne  krą ż ka  p o d  stemplami  znajdziemy  rozwią zując  równ an ia  (1.1) dla  przyję tych  warunków  brzegowych.  P ole  charakterystyk  wraz  z  polem  kinematycznym pokazan o  na  rys.  3.  D olną   ocenę   noś noś ci  zadan ia  obliczono  ze  stan u  naprę ż enia  na ostatniej  charakterystyce  ODC  (rys.  3)  i  przedstawiono  n a  rys.  4. A'  E Rys.  3.  Pole  naprę ż eń  i  pole  prę dkoś ci  pł ynię cia  dla  r s \ h  =  1,5 p/ 2k 3 , 0 W i 5 - ** - "  2 . 0 1   4 R 2,0  3,0 Rys.  4.  D olna  ocena  noś noś ci  krą ż ków 0 w  rm/ rs R ys.  5.  P o le  n aprę ż eń  i  prę dkoś ci  pł yn ię cia  d la  krą ż ków  o  p r o m ien iu r m   <  r s + 2 / i  j — = 1 , 5 WYBR AN E  Z AG AD N I E N I A  OBRÓBKI  P LASTYC Z N E J  M ETALI 297 Rozwią zanie  kin em atyczn e  krą ż ka  (rys.  3),  w  czę ś ci  pod  stemplem,  jest  zbudowane n a  polu  statycznym ,  n atom iast w  pierś cieniu  przyjmujemy  dowolne pole o  prostoliniowych charakterystykach.  R ozwią zanie  znajdujemy  z  równ ań  (1.2).  N a  rys.  5  przedstawiono pole  n aprę ż eń  i  prę dkoś ci  pł ynię cia  dla  krą ż ków  o  prom ieniu  ;• „,  <  r s +2h.  G órną   ocenę noś noś ci  oblicza  się  z  pola  kin em atyczn ego  wykorzystują c  równanie  (1.4). Wyniki  obliczeń przedstawion o  n a  rys.  6.  Krzywa  /   nacisków  jedn ostkowych  przechodzi  przez  pun kt obliczony  przez  EASON A  i  SH I E LD A  [7]  (rjh  =   0,274,  fx =   0,139, p  -   3,02  •   2/c). O  1 , 0   2 , 0   3 , 0   4 , 0   rs/ h Rys.  6.  G órn a  ocena  noś noś ci  krą ż ków  obliczona  metodą   charakterystyk Rys.  7.  Rozkł ad  prę dkoś ci  pł ynię cia 298 M .  G R Z YM K O WS K I 2.2.  Obliczenie górnej oceny nacisku jedn ostkowego m etodą   zał oż en ia  funkcji  rozkł adu  prę dkoś ci pł ynię cia. G órną   ocenę   noś noś ci  granicznej  dla  osiowo- symetrycznych  zadań  m oż na  znaleźć z  kinematycznie  dopuszczalnego  pola  prę dkoś ci  utworzon ego  z  przyję cia  funkcji  opi- sują cej  promieniową   v r   lub  osiową   v z   skł adową   prę dkoś ci  pł ynię cia.  F unkcje  te  muszą speł niać  warun ki  pola  kinematycznie dopuszczalnego.  D o  rozwią zania  zadan ia  wciskania dwóch  przeciwległ ych  cylindrycznych  stempli  w  krą ż ek  przyjmujemy  liniową   zmianę prę dkoś ci  wzdł uż osi  z  w  postaci (2. 2) • a o  z Rozkł ad  prę dkoś ci  pł ynię cia  w  krą ż ku  pokazan o  n a  rys.  7.  Wykorzystują c  warun ek  nie- ś ciś liwoś ci  obliczamy  skł adowe  prę dkoś ci  odkształ ceń i  intensywność  prę dkoś ci  odkształ - ceń.  Z  równ an ia  (1.5)  obliczamy  ś redni  nacisk  jednostkowy,  którego  zależ ność  od  para- metrów  geometrycznych  pokazan o  przykł adowo  dla  współ czynnika  tarcia  c  =   0,35  n a rys.  8. Rys.  8. Zależ ność  ś redniego  nacisku  jednostkowego  od  wymiarów  krą ż ka  i  ś rednicy  stempli  dla tarcia suchego  (c =   0,35) 2.3.  Analiza  wyników  obliczeń  i  ich porównanie.  D o l n a  o c e n a  n a c isku  je d n o st k o we go  krą ż- kó w  (rys.  4)  r o ś n ie  wr a z  ze  wzr o st e m  st o su n kó w  wym ia r ó w  k r ą ż ka  r s / h  i  r m / r s .  D la krą ż ków  o  promieniu  r m   >  2,72  •   r s   nacisk  zależy  tylko  od  wysokoś ci  h,  a  nie  zależy  od promienia  r m   a  zatem  zewnę trzna  czę ść  krą ż ka  o  prom ien iu  /• „, >  2,72-   r s  jest  sztywna i  nie  wpł ywa  na  noś ność  graniczną .  N a  rys.  6  przedstawiono  górną   ocenę   n oś n oś ci  krą ż- ków  obliczoną   metodą   charakterystyk.  Krzywa  /  przedstawia  nacisk  dla  krą ż ków  o  duż ej ś rednicy  (r„, >  r s +2h),  krzywe  II,  III  i  IV  okreś lają   naciski  dla  krą ż ków  o  prom ien iu r m   <  r s +2h  (wedł ug  rozwią zania  z  rys.  5),  n atom iast  krzywa  V  pokazuje  naciski  przy ś ciskaniu  walca.  N aciski  obliczone  metodą   zał oż enia  funkcji  rozkł adu  prę dkoś ci  (rys.  8) WYBR AN E  Z AG AD N I E N I A  OBR ÓBKI P LASTYC Z N EJ  M ETALI 299 zależą   od  geometrii  krą ż ków  i  od  przyję tego  tarcia  n a  kontakcie  (współ czynnika  c). N a- cisk  jedn ostkowy  roś n ie  wraz  ze  wzrostem  współ czynnika  c  i  stosunku  prom ieni  krą ż ka r m jr s . N a  rys.  9  przedstawion o  górną   i  dolną   ocenę   nacisków  obliczoną   metodą   charakte- rystyk.  Wyników  m etody  zał oż enia  funkcji  rozkł adu  prę dkoś ci  nie  porównywano  z  wy- wyniki  teoretyczne górnej  granicy — —  wyniki  teoretyczne dolnej  granicy • to R ys.  9.  P o r ó wn a n ie  wyn ików  teoretyczn ych  m et o d y  ch arakterystyk nikam i  uzyskanymi  m etodą   charakterystyk,  ponieważ  m etoda  ta  opiera  się   n a  innych zał oż eniach  i  w  zwią zku  z  tym  krzywe  nacisków  mają   zupeł nie inny  charakter  wznoszenia i  opadan ia. 3.  Ś ciskan ie  pierś cieni  mię dzy  dwiema  sztywnymi  pł ytam i 3.1.  Obliczenie  ś redniego  nacisku  jednostkowego  metodą   charakterystyk.  Rozwią zanie  zagadnie- n ia  ś ciskania  pierś cieni  (rys.  2)  polega  n a  znalezieniu  dopuszczalnego  pola  naprę ż eń i  dopuszczalnego  pola  prę dkoś ci  pł ynię cia  dla  przyję tych  warunków  brzegowych.  Przyj- mujemy  statyczne  warun ki  brzegowe  na  swobodnej  powierzchni  bocznej  zewnę trznej i  wewnę trznej  pierś cienia,  a r   =   0,    0,  a  tym  samym  i  prę dkość  odkształ cenia  obwodowego  ś8  = =   v r / r  >  0.  Z analizy  stanu prę dkoś ci  odkształ cenia ze  stanem n aprę ż en ia wynika, że  a 3  — =   ffj,  a  gł ówne  prę dkoś ci  odkształ ceń  mają   nastę pują ce  zn aki:  hj. >  0,  e 2  <  0,  e 3  >  0. N a  swobodnej  powierzchni  bocznej  CD  pierś cienia  (rys.  10)  zn an e  są   n aprę ż en ia  a r   = =   0,  a z   =   — 2/c.  Linia  CD  nie  jest  charakterystyką   i  rodzin a  linii  a  podch odzi  do  niej pod  ką tem  $  =   3/ 4?r.  Rozwią zując  równ an ia  róż niczkowe  (1.1)  dla  odpowiednich  za- gadnień  (Cauchy'ego, charakterystycznego,  zdegenerowanego  zagadn ien ia  charakterystycz- nego  i  mieszanego)  otrzymamy  rozwią zanie  dla  n aprę ż eń  w  polu  CDEGF  dla  wypł ywu materiał u  n a zewną trz  pierś cienia.  Z rozwią zania  tego  wynika,  że  w  obszarze  CDE  istnieje jedn orodn y  stan  naprę ż enia  i  charakterystyki  są   prostolin iowe. Przy  wpł ywie  m ateriał u do  ś rodka  pierś cienia,  w  kierun ku  ujemnym  osi  r,  prę dkoś ci pł ynię cia v r   <  0  i  prę dkość  odkształ cenia  obwodowego  e 0   <  0.  Wynika  stą d,  że  a 3   =   a 2 , WYBR AN E  Z AG AD N I E N I A  OBRÓBKI  P LASTYC Z N EJ  M ETALI 301 a  gł ówne  prę dkoś ci  odkształ cen ia  speł niają   nastę pują ce  nierównoś ci:  k t   >  0,  s 2   <  0, e 3  <  0.  N a  swobodn ej,  wewnę trznej  powierzchni  bocznej  (linia  BK)  pierś cienia  (rys.  10) zn an e  są   również  n aprę ż en ia  a,  =   0,  a z   =   — 2k.  P ole  n aprę ż eń  znajdujemy  rozwią zując równania  (1.1)  ze  zn akam i  doln ym i. Z  równ ań  tych  wynika,  że  w  cał ym  polu  BJK  ką t  nachylenia  charakterystyk  a  (linie równoległ e  do  BJ)  wynosi  • &  — 3/ 4sr,  a  ciś nienie  p  jest  zmienne. W  polu BJK  mamy  cha- rakterystyki  prostolin iowe,  ale  n iejedn orodn y  stan  naprę ż enia.  Linia  BHG  i  linia  CFG wyprowadzane  są   tak  daleko,  aż  bę dzie  speł niony warun ek  równoś ci  naprę ż eń promienio- wych  a r   otrzym an ych  z  rozwią zan ia  dla  wpł ywu  m ateriał u  do  ś rodka  i  dla  wypł ywu  ma- teriał u  n a  zewną trz  pierś cienia. Z  rozwią zania  statycznego  ś ciskania  pierś cieni  (rys.  10)  obliczamy  dolną   ocenę   noś- noś ci  granicznej,  którą   pokazan o  n a  rys.  11. Rys,  11.  D olna  ocena  noś noś ci  granicznej  pierś cieni Poniż ej  zostanie  przedstawion e  rozwią zanie  kinematyczne  ś ciskania  pierś cieni.  P o- nieważ  równ an ia  róż n iczkowe  charakterystyk  dla  prę dkoś ci  (1.2)  są   takie  same, jak  rów- n an ia  róż niczkowe  ch arakterystyk  dla  naprę ż eń  (1.1),  t o  do  peł nego  wyznaczenia  pola kinematycznego  pozostaje  jedyn ie  wyznaczenie  wektorów  prę dkoś ci  we  wszystkich  punk- tach  siatki  charakterystyk  dla  n aprę ż eń.  Inaczej  mówią c,  n a  polu  statycznym  zostanie zbudowan e  pole  kin em atyczn e. P ole  kin em atyczn e  zostaje  zbudowan e  przy  zał oż eniu,  że  obszar  BCFHG  (rys.  10) jest  sztywny  i  porusza  się   pion owo  w  dół   z  prę dkoś cią   v 0   tak  jak  narzę dzie.  Obszary CDEGF  i  BKJGH  są   plastyczn e.  Linia  BHG  jest  charakterystyką   a,  a  linia  CFG  —  cha- rakterystyką   /?. Lin ie  t e  są   lin iam i  niecią gł oś ci  dla  prę dkoś ci.  N ajpierw  należy  wyznaczyć kin em atykę   dla  wypł ywu  m ateriał u  n a  zewną trz,  a  nastę pnie —  do  ś rodka  pierś cienia posł ugują c  się   równ an iam i  (1.3)  i  (1.2).  Z  pola  prę dkoś ci  pł ynię cia  wyznacza  się   pole prę dkoś ci  odkształ ceń  i  n astę pn ie  oblicza  się   górną   ocenę   nacisku  jednostkowego  [z  rów- n an ia  (1.4)],  którą   po kazan o  n a  rys.  12. 302 M .  G R Z YM K O WSK I N acisk jednostkowy  obliczony  z  pola  statycznego  (rys.  11), jak  i  z  pola  kinematyczne- go  (rys.  12) wzrasta  wraz ze wzrostem  stosunków  wymiarów  pierś cienia  r z / h  i r z / r w .  Inaczej mówią c,  nacisk  ten  jest  tym  wię kszy,  im  pierś cień  jest  cień szy  i  im  wię kszą   posiada  po- wierzchnię   kontaktową   z pł ytam i. plik 40 3,5 3 , 0 gja 1,5 • 10 0 y * y / /   \ 2 4 G 8 10 R ys.  12.  G ó r n a  ocen a  n oś n oś ci  gran iczn ej  pierś cieni Z/ h • 7? 3.2.  Obliczenie  n acisku  jednostkowego  metodą   zał oż en ia  funkcji  rozkł adu  prę dkoś ci.  P o d o b n i e jak  w  punkcie  2.2,  przyjmijmy  również  liniową   zm ianę   prę dkoś ci  pł ynię cia  wzdł uż osi  z  pierś cienia.  R ozkł ad  prę dkoś ci  pł ynię cia  w  pierś cieniu  pokazan o  n a  rys.  13.  Z  tak utworzonego  pola  prę dkoś ci  pł ynię cia  oblicza  się   górną   ocenę   noś noś ci  granicznej pierś cienia.  Z  najmniejszej  mocy  dysypowanej  (dDJ8r„  =   0)  w  pierś cieniu  znajduje  się R ys.  13.  R o zkł a d  prę dkoś ci  pł yn ię cia  w  pierś cien iu WYBR AN E  Z AG AD N I E N I A  OBRÓBKI  P LASTYC Z N EJ  METALI 303 prom ień  n eutraln y  r„, przy  pom ocy  którego  oblicza  się  nastę pnie  najmniejszy  nacisk  jed- n ostkowy  bę dą cy  górną   oceną   n oś n oś ci.  Zależ ność  prom ienia  neutralnego  od  geometrii pierś cienia  i  współ czynnika  c uwzglę dniają cego  tarcie  pokazan o  n a rys.  14, a  odpowiada- ją cy  mu  nacisk jedn ostkowy  — n a  rys. 15. p/ sp 2 , 0 1,2 1,0 0,8 O, S 0 , 1 / 1 y i I/ i1 / / / / / // / // / / / dla wszystkich % • 1,8 1,4 1,2 8 10 1Z 1'°, rz/ h / / V // / / / V / / / 8 10 .11 Rys.  14.  Zależ ność r„/ r w   od  rjh  i  współ czynnika  Rys.  15. Zależ ność  nacisku  jednostkowego  p\ a v c  dla r z [r w   -   2,0  o d r z jh  i  współ czyn n ika  c dla r z lr w   = 2,0 3.3.  U proszczon a  m et o d a  obliczan ia  ś redn iego  nacisku  jednostkowego  ś ciskan ia  pierś cieni.  W  t y m pun kcie  zostanie  przedstawion a  uproszczon a  m etoda  obliczania  nacisku  jednostkowego ś ciskania  pierś cieni  pom ię dzy  dwiema  sztywnymi  pł ytam i  z  prę dkoś cią   v 0 .  M etoda ta opiera  się  n a nastę pują cych  zał oż en iach: 1) stan  n aprę ż en ia w ś ciskanym  pierś cieniu  zależy  jedynie  od prom ienia r, 2)  naprę ż enie w  kierun ku  osi z, a z  jest  na cał ej  wysokoś ci  pierś cienia  H  stał e  i  równe naciskowi  jedn ostkowem u  pł yty, 3)  naprę ż enie  styczne  r rz   =  0 powoduje,  że naprę ż enie  a r ,  a e ,  a z   są   gł ównymi, 304 M .  G RZYMKOWSKI 4)  przyję cie  Iiipotezy  H aara- Karm ana  o  peł nym  uplastycznieniu  m ateriał u  (a e   =  a r przy  wypł ywie  materiał u na  zewną trz,  a 0   =   c* P rzy  wpł ywie  materiał u  do  ś rodka  pier- ś cienia). 2 , 0 1,6 II % w i 1 /  / //// / //̂ —• / // / // / / - — • 2,55 1,33 i - Plik 2,0 1,8 is 7~0 Q2 0/ 1 0,6 W spół czynnik  tarcia jj Rys.  16.  Zależ ność  promienia  neutralnego  od współ czynnika  tarcia  / i i  stosunku  promieni  pier-  * ś cienia  r 2 / r w   dla  r z \ h  =  4 i ) / / y/ 1 '/ / '/ / yS 1 7 7 7^/ i/r/ f / / / Ą iO 0 2 4 6 8 10 12 rz/h Rys.  17,  Zależ ność  ś redniego  nacisku  jednostko- wego  od  wymiarów  pierś cienia  (r z / h,  r g / r w )  dla fl  =  0,3 Rozwią zanie  zagadnienia  ś ciskania  pierś cieni  polega  na  rozwią zaniu  równ ań  równo- wagi  pierś cienia  dla  pł ynię cia  materiał u na  zewną trz  i  dla  pł ynię cia  m ateriał u do  ś rodka pierś cienia (3.1) 7 dr '  X  TT  ' r  H przy  przyję ciu  hipotezy  H aara- Karm ana o peł nym uplastycznieniu m ateriał u (3.2)  tf8  =   ar  lub  a9  =   az, warunku  plastycznoś ci  Treski (3.3)  a r - a z =2k WYBR AN E  Z AG AD N I E N I A  OBRÓBKI  P LASTYC Z N E J  M ETALI  305 oraz jedn ostkowej  sił y  tarcia n a powierzchni  kon taktu (3.4)  t  =  - na, w przypadku  tarcia  poś lizgowego  i (3.5)  /  =  k w przypadku  tarcia  przylgowego. N a  kon takcie  pierś cienia  z  pł ytą   wystę puje  tarcie  poś lizgowe  tylko  wtedy,  gdy speł niona jest  n ierówn ość  ojlk  <  1/ 2/ i,  dla  a z / 2k  >  1/ 2^  wystę puje  tarcie  przylgowe. Z  rozwią zania  równ ań  [(3.1)  do (3.5)]  otrzymujemy  po dwa zestawy  równań dla  naprę - ż eń  a r ,  a z   (jeden  dla  pł ynię cia  m ateriał u  n a  zewną trz  pierś cienia,  a  drugi  —d o  ś rodka pierś cienia)  dla tarcia  poś lizgowego,  mieszanego  i przylgowego.  Z przyrównania  naprę ż eń prom ieniowych  a r   otrzym an ych  dla  wpł ywu  m ateriał u  do  ś rodka  pierś cienia  z  naprę ż e- niami  dla  wypł ywu  m ateriał u n a zewną trz  pierś cienia  otrzymujemy  promień neutralny  rjr w rozdzielają cy  te dwie  strefy  pł ynię cia. N a  rys.  16 pokazan o  zależ ność  prom ienia neutralne- go  od geom etrii  pierś cienia  i  warun ków  tarcia  n a kon takcie.  Z cał kowania  naprę ż eń  nor- malnych  a z   p o  powierzchni  pierś cienia  otrzymujemy  nacisk  jednostkowy,  który  przykł a- dowo  pokazan o  n a rys.  17. 3.4.  Analiza  wyników  obliczeń  i  ich  porównanie.  Wyniki  obliczeń  teoretycznych  przedsta- wione  n a rysun kach  od 11 do 17 ukł adają   się  w  sposób  przewidywany  i  zgodny  z  doś- wiadczeniem.  N acisk  jedn ostkowy  wzrasta  wraz  ze  wzrostem  stosunków  wymiarów  pier- ś cienia  ( r a / r w) i (rjh)  i tarcia  n a kon takcie.  N acisk  ten maleje,  gdy powierzchnie  czoł owe pierś cienia  maleją ,  maleje  również  gdy wysokość  pierś cienia  wzrasta.  N a rys. 18 pokaza- p/ 2k 3,5 ą o 2 , 0 Ifi * >* /   , JIT 10 rz/ h R ys.  18.  P o r ó wn a n ie  wyn ików  obliczeń górn a  ocena  obliczona  m etodą   ch arakterystyk,  doln a  ocena  obliczona  m etodą   charakterystyk,  ocena obliczona  m etodą   przybliż oną,  ocena  obliczon a  metodą   zał oż en ia  funkcji 306 M .  G R Z YM K O WSK I n o  porównanie  wyników  teoretycznych  dla  ś ciskania  pierś cieni.  Jedynie  górn a  ocena noś noś ci  obliczona  metodą   charakterystyk  wykazuje  wię kszą   rozbież ność  wyników.  N a- ciski  obliczone  metodą   zał oż enia funkcji  i metodą   uproszczoną   w  cał ym zakresie  badanych stosunków  wymiarów  pierś cieni  są   prawie  identyczne. 4.  Wyn iki  doś wiadczeń P rzeprowadzone  doś wiadczenia  miał y  na  celu  z jednej  stron y  zweryfikowanie  zał oż eń o  postaci  deformacji  metalu  próbki,  z  drugiej  —  porówn an ie  iloś ciowej  zgodnoś ci  wy- ników  doś wiadczalnych  nacisków  jednostkowych  z  wynikami  teoretycznym i. H  H Rys.  19.  Zależ ność  a- e  dla  badanego  oł owiu;  e  =   6- D oś wiadczenia  przeprowadzon o  na  próbkach  wykonanych  z  oł owiu  P b2  o  charakte- rystyce  pokazanej  na  rys.  19.  Jak  wiadom o,  oł ów jest jedn ym  z  m etali  technicznych  o naj- lepszych  wł asnoś ciach  plastycznych.  Trzeba  jedn ak  pam ię tać,  że  posiada  on  wł asnoś ci sprę ż yste,  jest  czuł y  n a  prę dkość  odkształ cenia  i  wykazuje  wzmocnienie.  Wł aś ciwoś ci plastyczne  próbek  zależą   od  technologii  ich  odlewania  i  wykon an ia  i  od  stopn ia  zanie- czyszczenia  materiał u.  Z  tych  powodów  wyniki  doś wiadczalne  mogą   nawet  znacznie  róż- nić  się   od  wyników  teoretycznych. Jako  kryterium  uplastycznienia  przyję to  naprę ż enie  a p   odpowiadają ce  trwał emu  od- kształ ceniu  e  =   0,1%.  Otrzym ane  w  ten  sposób  wartoś ci  pokrywają   się   z  naprę ż eniami wyznaczonymi  metodą   przedł uż enia  prostych  do  przecię cia  i  z  mefodą   najwię kszej  krzy- wizny  wykresu  a—E  (rys.  19).  N a  rys.  20  pokazan o  porówn an ie  wyników  teoretycznych z  doś wiadczalnymi  dla  zadania  wciskania  stempli  w  krą ż ek,  a  n a  rys.  21  pokazan o  po- WYBR AN E  Z AG AD N I E N I A  OBRÓBKI  P LASTYC Z N E J  M ETALI 307 równanie  dla  ś ciskania  pierś cieni.  Wyniki  przedstawione  n a  tych  rysunkach  są   zgodne z  twierdzeniemi  o  n oś n oś ci  granicznej. Jak  wykazał y  doś wiadczenia,  próbki  deformują   się   w  sposób  podobn y  do zał oż onego teoretycznie.  N a  rys.  22  pokazan o  deformację   siatki  kwadratowej  przez  wciś nię cie  cylin- drycznych stempli w krą ż ek  (prawie identyczna do zał oż onej teoretycznie, rys.  3), n atom iast Rys.  20. Porównanie  wyników  teoretycznych  z  doś wiadczalnymi  dla  wciskania  stempli  w  krą ż ek ••   wyniki  doś wiadczaln e, metodą   charakterystyk .  górn a  gran ica  obliczon a  metodą   charakterystyk,  — • —•—  doln a  granica  obliczona p/ 2k 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 • ^ ' ^ .jji^artW Rys.  21. Porównanie  wyników  teoretycznych  z  doś wiadczalnymi  dla  ś ciskania  pierś cienit • w y n i ki  d o ś w i a d c z a l n e,  —•  —  —  g ó r n a  o c e n a  o b l i c z e n i a  m e t o d ą   c h a r a k t e r y s t y k ,  —• ••  —  • ••   d o l n a  o c e n a  o b l i c z o n a" J i i i r ^ l  U U ^ W i t l U ^ i l l U C i  "—• *  —"  • —•   gU I U il  UUClIŁl  U U lJU iC U lcl  lllu it ł U i] .  L.Hrll   o3  n a p r ę ż e n ia  gł ó wn e , cr p   naprę ż enie  uplastyczniają ce, k  granica  plastycznoś ci  n a ś cianie, 7* 310  M .  G R Z YM KOWSKI p  ś rednic  naprę ż enie, p  ś redni  nacisk  jednostkowy, q  ciś nienie  wewnę trzne, T S  naprę ż enie  styczne  n a  linii  niecią gł oś ci  lub  n a  kon takcie  m ateriał u  z  narzę dziem, v r ,  v z   prę dkość  pł ynię cia  w  ukł adzie  współ rzę dnych  walcowych, vo  prę dkość  ruchu  narzę dzia, va,  vp  prę dkoś ci  pł ynię cia  wzdł uż  charakterystyk  a  i  fł , v s   prę dkość  styczna  n a  linii  niecią gł oś ci  lub  na  kon takcie  m ateriał u  z  narzę dziem, By  tensor  prę dkoś ci  odkształ cenia, e r ,  e$,  e z ,  e rz   prę dkoś ci  odkształ ceń  w  ukł adzie  współ rzę dnych  walcowych, Bi,  E 2 ,  e 3   gł ówne  prę dkoś ci  odkształ ceń , śj  intensywność  prę dkoś ci odkształ ceń , P  sił a  zewn ę trzn a, D w  m oc  sił   wewnę trznych, F o   powierzch n ia  czoł owa  n arzę dzia  lu b  powierzch n ia  począ t kowa  p ró bki, F s   powierzchn ia  niecią gł oś ci  lub  powierzchn ia  ko n t a kt u  m at eriał u z  n arzę dziem, &  ką t,  jaki  tworzy  ch arakterystyka  a. z  osią   r  w  pł aszczyź n ie  r,  z, c  współ czynnik  tarcia, H  współ czynnik  tarcia  suchego  C o u lo m ba, t  jedn ostkowa  sił a  tarcia, r  prom ień  bież ą cy, r s   prom ień  stem pla, r m   prom ień  zewnę trzny  krą ż ka, h  poł owa  wysokoś ci  H  krą ż ka  lu b  pierś cienia  (H  =   2h), r n   prom ień  n eutraln y  w  pierś cieniu, r„  promień  wewnę trzny  pierś cienia, r z   promień  zewnę trzny  pierś cienia. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  I . F .  AD I E ,  I . M .  ALEXAN D ER,  A  graphical method  of  obtaining  hodographs for  upper- bound  solutions to  axi- symmetnc  problems,  I n t .  J,  of  M ech.  Sci.,  9,  6,  (1967). 2.  B.  AVI TZ U R ,  Forging  of  hollow discs,  Israel  Jour,  of  Techn .  2,  3  (1964). 3.  G . L.  BARAYA,  W.  JOH N SON  an d  R. A.  SKATER,  T he dynamic compression  of  circular cylindres of super- pure  aluminium  at  elevated  temperatures, Appendix  I .  I n t .  J .  of  M ech.  Sci.,  9  (1965). 4.  M .  BU RG OD ORF ,  Ober  die  Ermittlung  des  Reibwertes  fur  Verfahren  der  Massivumformung  durch  den Ringstauchversuch,  I n dustrie  Anzeiger,  89,  39  (1967)  799. 5.  R .  L.  CARLSON ,  Compression of  viscoplastic disk,  Jour,  of  Basic  E n gin .,  D ecember  1964. 6.  L.  D I E TR I C H ,  K.  T U R SK I ,  N oś noś ć  graniczna  rozcią ganych  osiowo- symetrycznych prę tów  osł abionych szeregiem  karbów  ką towych,  M ech.  Teor.  i  Stos.,  4,  6,  (1968). 7.  G .  EASOM   an d  R.  T.  SH IELD ,  T he plastic indentation of  a semi- infinite solid by  a perfectly  rough  circular punch.  Z eits.  Ang.  M at.  P hys.,  XI,  (1960)  33—43. 8.  M .  G RZYM KOWSKI,  Z .  M R Ó Z ,  Metoda  równowagi przy  górnej  ocenie  sil  w  pł askich  zagadnieniach ob- róbki plastycznej  z  uwzglę dnieniem tarcia  Coulomba, Arch.  H u t n .  ,XVII,  1,  (1972). 9.  M .  G RZ YM KOWSKI,  Osiowo- symetryczne  zagadnienia obróbki plastycznej  metali, I P P T . P raca  doktorska. 1973. 10.  J. B.  H AD D OW,  On  the  compression  of  a  thin disk, I n t . J.  M ech . Sci., 7,  10,  (1965). 11.  I .  H ALLI N G , L. A.  M I TC H E LL, An  upper- bound solution for  axi- symmetric  extrussion,  I n t . J .  M ech.  Sci., 7,  4  (1965). 12.  O.  H OF F M AN ,  G .  SACH S,  W prowadzenie do  teorii plastycznoś ci,  P WT,  Warszawa  1969. 13.  J I .  M .  KAII AH OB,  OCHOBU meopuu  nnacmwmocmu,  H 3fl.  „ H a yK a ",  MocKBa  1969. WYBRAN E  ZAG ADN IEN IA  ORRÓBKI  PLASTYCZNEJ  METALI  311 14.  S.  KOBAYASHI  and  E.  G .  TH OMSEN ,  Upper and  lower bound solutions to  axi- symmetric  compression and  extrusion problems,  I n t.  J.  M ech.  Sci.,  7,  2  (1965). 15.  H .  K U D O ,  Some  analytical and experimental  studies of  axi- symmetric  cold forging and extrusion  I, Int. J.  M ech.  Sci.,  2,  1/2  (1960). 16.  H .  K U D O ,  Some  analytical  and  experimental studies of  axi- symmetric  cold forging  and  extrusion  II. I n t.  J.  Mech.  Sci.,  3,  1/2  (1961). 17.  K.  KWASZCZYŃ SKA,  Z .  M R Ó Z ,  A  theoretical analysis  of  plastic compression  of  short circular  cylindres, Arch.  Mech.  Stos.,  5,  19  (1967). 18.  K.  KWASZCZYŃ SKA,  Z .  M R Ó Z ,  A.  D RESCH ER, Analiza ś ciskania krótkich walców z  materiał u  Coulomba. Prace  IP P T,  29,  1968.  Także  I n t.  J.  M ech.  Sci.,  (1971). 19.  E.  LEVIN ,  Indentation  pressure of  a  moth  circular punch,  Quart.  Appl.  M ath.,  13  (1955)  133—137. 20.  Z .  M R Ó Z ,  Graphical  solution of  axially  symmetric problems of  plastic flow,  Jour,  of  Appl.  Mathcm., and  Phys.  (ZAM P),  18,  2  (1967). 21.  S. K.  SAMANTA,  T he application  of  the upper bound theorem  to  the prediction  of  indenting and compress- ing  loads for  circular and  rectangular  discs, Acta  Polytechnica  Scandinavica.  Mechanical  Engineering Series,  N r  38,  1968. 22.  W.  SCHROEDER, D . A.  WEBSTER,  Press forging thin sections effect of friction, area and thickness  on pres- sures reguired,  J.  Appl.  M ech.,  16  (1949)  289—294. 23.  R. T.  SH IELD , On  the plastic flow  of  metals under conditions of  axial symmetry,  Proceedings  of the  Royal Society,  A,  233  (1955)  267—286. 24.  E.  SIEBEL,  Stahl  un d  Eisen,  43  (1925)  1295. 25.  W.  SZCZEPIN SKI,  L.  D IETRICH , E.  DRESCHER,  J.  MIASTKOWSKI,  Plastic flow  of  axially- symmetric  not- ched bars pulled  in  tension, I n t.  J.  Solids  Struct.  2  (1966),  543—554. 26.  W.  SZCZEPIN SKI,  W stą p  do  analizy procesów obróbki plastycznej, PWN ,  Warszawa  1967. 27.  E.  THOMSEN,  C. T .  YAN G ,  S.  KOBAYASHI,  Mechanics of  plastic deformation  in  metal processing,  The Macmillan  Company,  N ew  York  1965. P  e 3  IO  M e K3BP AH H LI E  OC E C H M M KTP H M E C KH E  U POBJIEM LI  n J I AC T H ^ E C K O S  OEPAEOTKH M ETAJIJIOB B  paG oTe  upoEOfliiTCH   TeopeM mecKH ii  H  3iKHbix Bon pocoB  njiacTHMecKoii  o6pa6oTi