Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  12  (1974)

O  M OD ELOWAN IU   WAŁU   WI E LOP OD P OR OWE G O  Z  WIELOMA  TARCZAMI  ZA  POMOCĄ
WIELKIEG O  SYSTEM U   BIOSCYLATORÓW

Czę ść  I .  U wagi  ogólne.  Oscylatory  wielowskaź nikowe

ROBERT  K R Z Y W I E C  (WARSZ AWA)

1,  Wstę p

W  literaturze  technicznej  istnieje  wiele  prac  n a  tem at  dynamiki  wał ów  obcią ż onych
tarczam i.  N ie  m oż na jed n ak  do  tej  pory  zauważ yć  jednolitej  koncepcji  modelowania  tych
ukł adów  m echanicznych,  pon ieważ  autorzy  prac  zajmują   się   raczej  okreś lonymi  przy-
padkam i  szczególnymi  zjawiska  ruch u  ukł adów  wirują cych.

P raca  niniejsza  stanowi  próbę   ogólnego  sformuł owania  równ an ia  (stanu)  ruchu  sprę -
ż ystego  wał u  wielopodporowego  z  wieloma  tarczam i.  Stosuje  się   w  tym  celu  nastę pują ce
zał oż enia.

1.  Przyję cie  n a  ogół  dowoln ego  sprę ż ystego  modelu  konstrukcyjnego.
2.  Traktowan ie  tego  m odelu ja ko  systemu  wielkiego.
3.  P rzedstawienie  wielowskaź nikowego  m odelu  algebraicznego.

4.  P odan ie  równ ań  (stan u)  ruch u  dyskretnego  ukł adu  mechanicznego  wielokrotnego
dzię ki  wyprowadzeniu  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  wielocią gowych  opisują cych
badan e  zjawisko  przy  zał oż en iach:  (a)  sześ ciu  stopni  swobody  —  trzech  w  ruchu  postę -
powym  i  trzech  w  ruch u  obrotowym ,  (b)  dowolnej  liczby  naturalnej  przekrojów  podpo-
rowych  wał u,  (c) • —  dowolnej  liczby  n aturaln ej  przekrojów  wał u  obcią ż onego  tarczami,
(d) —  dowolnej  liczby  n aturaln ej  przekrojów  m as  zredukowanych  wał u;  (e) —  mał ych
ugię ć  konstrukcji,  (f) —  dopuszczen ia  dowolnej  liczby  naturalnej  obcią ż eń  konstrukcji  za
pom ocą :  (g) —  sił   o  wartoś ciach  dan ych  cią gami  wielowskaź nikowymi,  (h) — momentów
sił   o  wartoś ciach  dan ych  cią gami  wielowskaź nikowymi,  (i) —  oraz  przy  uwzglę dnieniu
wynikają cych  z  (a)  sił  i  m om en tów  sił   oporów  (tł umienia)  oś rodka  o  wartoś ciach  danych
cią gami  wielowskaź nikowymi.

W  taki  sposób,  zgodn ie  z  wielocią gowym  prawem  H ooke'a,  został   skonstruowany
bioscylator  wielowymiarowy  wielowskaź nikowy,  gdyż  funkcja  stanu  ruchu  rozważ anego
systemu  wielkiego  (wał , trzy  rodzaje  jego  przekrojów  ponumerowanych  za  pomocą   wielo-
wskaź nika  i  o  param et rach  podan ych  za  pom ocą   cią gów  wielowskaź nikowych)  jest  cią -
giem  wielowskaź nikowym  funkcji  okreś lonych  n a  zbiorze  cią gów  wielowskaź nikowych.

Stanowi  on  jedn olity  m odel  fizykalno- matematyczny  rozważ anej  konstrukcji,  ponie-
waż:  (1) —  istnieje  jej  m odel  fizykalny.  (2) —  istnieje  model  matematyczny  (zarówno
algebraiczny,  jak  i  dan y  w  postaci  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  wielocią gowych)

Wykorzystano  tutaj  prace  wł asne  [1, 2]  i  przygotowaną   do  druku  pracę   pod  tytuł em
Uogólnione prawo  wielowskaź nikowe  dynamiki  ukł adów  mechanicznych  wielokrotnych  jako
systemów  wielkich.



232  R-   K R Z YWI E C

Znają c  równania  róż niczkowe  zwyczajne  wielocią gowe  (cią gi  wielowskaź nikowe  rów-
nań)  wielowymiarowego  bioscylatora  wielowskaź nikowego  moż emy  także  sformuł ować
problem  stabilnoś ci  ruchu  rozpatrywanej  konstrukcji  wielowskaź nikowej.  U czyn ion o  to
w  pracy  pod  tytuł em  O  stabilnoś ci ruchu  wał u wielopodporowego  z  wieloma  tarczami  mo-
delowanego  za pomocą  wielkiego systemu bioscylatorów  zreferowanej  dnia  22. V. 1970  r.  n a
konferencji  naukowej  w  Warszawie  n a  tem at  «Z agadnienia  statecznoś ci  w  teorii  ukł a-
dów  dyskretnych)).

Przyję ty  model konstrukcji  moż na zbadać  n a  an alogu  elektrycznym,  co  wynika  ze  zna-
nej  analogii  elektromechanicznej  po  uzasadnieniu  jej  w  klasie  równ ań  bioscylatorów
wielowskaź nikowych.

2.  U wagi  o  kon strukcji  i  jej  elem en tach

N iech  bę dą   dane  nastę pują ce  elementy  konstrukcyjne  k
t
  —  ł oż yska  (podpory),  k

2
  —

wał  oraz k
3
  —  tarcze, poł ą czone ze sobą   w pewien  sposób  (na wale tarcze, wał  w ł oż yskach)

i  tworzą ce  zbiór  uporzą dkowany  —  cią g  jednowskaź nikowy  elementów

"-   =   I A I  J  k- 2,  k
3
],

zwany  konstrukcją   k.

2.1.  Uwagi  o geometrii  kj  i  konstrukcji  k.  Wał   jest  n a  ogół   (lecz  niekoniecznie)  walcem
o  dł ugoś ci  skoń czonej.  W  sposób  uproszczony  przedstawiam y  go  schematycznie  odcin-
kiem  jako  tworem  jednowymiarowym.  P rzy  zał oż en iach:  (1)  mał ych  krzywizn  oraz  (2)
pł askich  przekrojów  poprzecznych  otrzymujemy  [4] linię   ugię cia  prę ta  w  postaci  równ an ia
róż niczkowego  zwyczajnego  drugiego  rzę du,  liniowego  i  niejednorodnego,  o  współ czyn-
nikach  stał ych.  M oże  on o  też  być  sł uszne  w  przypadkach  (3) —  prę tów  posiadają cych
wymiary  poprzeczne skoń czone, mał e  w  porówn an iu  z dł ugoś ciami.

Tarcza jest  wykuta  wspólnie  z  wał em  bą dź  osadzon a  n a  nim  stanowią c  n a  ogół   twór
dwuwymiarowy  —  koł o  z  wycię tym  współ ś rodkowo  koł em  mniejszym  o  ś rednicy  wał u.
Ś rodek  tarczy  może  pokrywać  się   ze  ś rodkiem  przekroju  wał u  lub  nie.  Tarcza  może  być
prostopadł a  do  osi  wał u lub nie.

Łoż yska  są   pł atam i  powierzchni  walcowymi  lub  kulistymi.  Wał   styka  się   z  nim i  n a
pewnym  pł acie  lub  linii. Z akł adam y dla  uproszczenia,  że  styk  ten jest  pun ktowy.

2.2.  U wagi  o  konstrukcji  /;  i  jej  elem entach  w  ukł adzie  odniesienia.  I lość  stopni  swobody  elem en tów.

Konstrukcja  k  istnieje  w  przestrzeni  euklidesowej  trójwym iarowej.  Przyjmujemy  wię c
taki  ortokartezjań ski  ukł ad  odniesienia  (0, x n ,  x2l,  x3l),  aby  m oż na  był o  w  n im  tę
konstrukcję   opisać.

Wał   o  dł ugoś ci  /  =   AB  usytuowany  jest  tak,  że  p u n kt  A  stanowi  począ tek  0  osi  Ox
xi

(a  tym  samym  począ tek  ukł adu  odniesienia)  stycznej  do  jego  osi  n ieodkształ con ej,  n a
której  leży  odcinek  AB.

Linia  ugię cia  wał u jest  n a  ogół  krzywą   przestrzenną ,  ale  czę sto  m oż na  przyją ć  ją   jako
pł aską ,  Wtedy jest  ona  interpretacją   graficzną   rozwią zania  y  =   y(x),  czyli  x

2
i  =   x

21
(x

tl
)

równ an ia  róż niczkowego

gdzie  E,  J  są   pewnymi  stał ymi  fizykalnymi.



O  MODELOWANIU   WAŁU   W1ELOPODPOROWEGO  233

P o d p o ra  pierwsza  m a  w  stanie  nieodkształ conym  współ rzę dne  A
o
  =  ( 0 , 0 ,  0) 0  =   A.

P o d p o ra  ta  styka  się   z  przekrojem  począ tkowym  wał u.  W  dalszych  rozważ aniach  przyj-
miemy,  że  wł aś nie  dzię ki  tem u  po d po ra  może  posiadać  sześć  stopni  swobody  opisanych
cią gami  współ rzę dn ych  niezależ nych

Xi  =   [x
i
,x

2
,x

3
]

1

o  ch arakterze  przemieszczeń  wzdł uż  osi  przyję tego  ukł adu  odniesienia,  oraz  cią gami
współ rzę dnych

A'2  =   [Xi,  X2,  - V3J2

o  ch arakterze  obrotów  dookoł a  osi  przyję tego  ukł adu  odniesienia.

R ozważ an ia  dotyczą ce  konstrukcji  k  są   róż nie  uproszczone  z  powodu  zastą pienia
cią gł ej  konstrukcji  trójwymiarowej  wyidealizowanym  ukł adem  dyskretnym  punktów,
które  mają   przedstawiać  trojaki  ch arakter  elementów  kj,  j  =   1, 2,  3,  mianowicie:

1)  pun kty  —  podpory  z  przekrojam i  podporowym i,  jako  elementy  sprę ż yste  w  prze-
strzeni  trójwymiarowej  posiadają ce  sześć  stopni  swobody,

2)  pun kty —  tarcze, ja ko  elementy  sprę ż yste  w  przestrzeni  trójwymiarowej  posiadają ce
sześć  stopn i  swobody,

3)  pun kty  —  masy  zredukowan e,  jako  elementy  sprę ż yste  w  przestrzeni  trójwymiaro-
wej  posiadają ce  sześć  stopn i  swobody.

Omówimy  oddzielnie  każ dy  element  kj  konstrukcji  k.  M imo  ich  róż norodnoś ci  przyj-
miemy  wspom n ian y  wyż ej jedn olity  schemat  tak  modelu  elementów  kj,  jak  też  konstrukcji
k  za  pom ocą   bioscylatora  wielowskaź nikowego.  Poję cie  to  wprowadzimy  w  dalszych
rozważ an iach  i  uogóln im y  je  korzystają c  z  cią gów  wielowskaź nikowych  [1, 2].

R easum ują c  stwierdzamy,  że  chociaż  wał   w  idealizacji  za  pomocą   prę ta  jest  tworem
jedn owym iarowym ,  to  dzię ki  zał oż eniu  przekrojów  pł askich  (dwuwymiarowych)  uwzglę -
dn iam y w pewien  sposób  jego  trójwymiarowość  —  chociaż przyjmujemy,  że ma  on  wymia-
ry  poprzeczn e  mał e  w  porówn an iu  z  dł ugoś cią.

Jeś li  nawet  mówimy  o  pł askim  przekroju  podporowym  jako  o  elemencie  granicznym
tworu  trójwym iarowego,  biorą c  pod  uwagę   tylko  jego  ś rodek  geometryczny  (póź niej
ś rodek  masy),  to  przez  przyporzą dkowan ie  m u  sześ ciu  stopni  swobody  uwzglę dniamy
w  rozpatrywan ych  przekrojach  wszystkie  moż liwe  ruchy  takiego  elementu  wał u  jako
granicznej  brył y  elem en tarn ej.

Idealizacja  taka  umoż liwia  zastą pienie  waż kiego  sprę ż ystego  wał u  trójwymiarowego
cią gł ego  —  ukł adem dyskretn ym  wyróż nionych  pun któw,  w  których  w taki  sposób  skupia-
my  masę   wał u,  podpór,  tarcz,  aż eby  ruch  przyję tego  w  ten  sposób  modelu  dyskretnego
kon strukcji  T e  (o  m asach  skupion ych  wał ów,  tarcz,  podpór —  zredukowanych  do_ punk-
tów)  z  wystarczają cym  przybliż eniem  aprolcsymował   ruch  ukł adu  rzeczywistego  k.  Tym
sam ym ,  zam iast  równ ań  róż niczkowych  czą stkowych  opisują cych  drgania  continuum
pun któw,  m am y  równ an ia  róż niczkowe  zwyczajne  opisują ce  drgania  wybranej  iloś ci
pu n kt ów  przekrojowych  po ddan ym  utwierdzeniu  n a  podporach  lub  obcią ż onych  tarcza-
m i  lub  m asam i  zredukowan ym i  prę ta.

N ie  bę dziemy  się   przy  tym  zajmowali  redukcją   masy  wał u  do  pewnych  wybranych
n a  nim  pun któw,  an i  też  redukcją   m as  tarczy  lub  m as  podpór.  W  dynamice  elementów



234  R-   KRZYWIEC

wirują cych  jest  to  problem  najważ niejszy.  W  literaturze  technicznej  istnieje  dużo  publi-
kacji  na  ten  temat, ale  nie  m oż na  stwierdzić,  że  istnieją   zadowalają ce  rozwią zania  ogólne.

Chociaż wię c  nie zajmujemy  się   redukcją   mas  i m om en tów  bezwł adnoś ci  kon strukcji  k,
to  postaram y  się   przedstawić  tutaj  propozycję   form uł owania  dostatecznie  ogólnego  jej
modelu  dyskretnego.

1.  Przyjmijmy,  że  wał  jest  podparty  w  n
3
  przekrojach.  K aż da  podpora  (ł oż ysko)  po-

siada  współ rzę dne

L ]  q = l , . . . , n 3 ,

gdzie  n 3  —•  ilość  podpór, przy  czym

A„3  m  [ [ ( >- ,,  A
!

2 , X 3 ] I ] „ 3 ]  =   B.

0  iloś ci  stopni  swobody  każ dej  podpory  (z  odpowiednim  przekrojem )  przyjmujemy  takie
samo  zał oż enie, jak  i  w  przypadku  podpory  pierwszej  zapisanej  symbolicznie  w  postaci
A  m  A

x
.

Tak  wię c  każ da  podpora  posiadają ca  masę   skupioną   w  pun kcie  z  odpowiedn im  prze-
krojem,  jako  elementarny  twór  trójwymiarowy  o  zn ikom ych  wym iarach  poprzecznych
1 dł ugoś ci dą ż ą cej  do  zera, jest  pod  wzglę dem  moż liwoś ci  wykonywania  ruchów  scharakte-
ryzowana:

1°—jedn owskaź n ikowym  trójelementowym  cią giem  stopn i  swobody  wynikają cym
z  moż liwoś ci  zmian  (o  charakterze  przemieszczeń  wzdł uż  osi  ukł adu  odniesienia)  jedn o-
wskaź nikowego  cią gu  współ rzę dnych —  poł oż eń

h  =
  l

>
  2 > 3 ;  ^ 3 - 1 ,  • • • . »»;

2°  —jedn owskaź n ikowym  trójelementowym  cią giem  stopn i  swobody  wynikają cym
z  moż liwoś ci  zmian  (o  charakterze  obrotów  dookoł a  osi  ukł adu  odniesienia)  cią gu  współ -
rzę dnych —  ką tów

W  ten  sposób  n
3
  —  elementowy  cią g  jednowskaź nikowy  p o d p ó r  jest  scharakteryzo-

wany  cią giem  trójwskaź nikowym  stopni  swobody  wynikają cym  z  przyję cia  cią gu  trój-
wskaź nikowego  współ rzę dnych  niezależ nych

x
i  —  IX/ iJi/ ilis  Ja. "=  1»  • • • )%!  ?i  =   U 2 , 3

opisują cego  n
3
  utwierdzonych  przekrojów  ł oż ysk.

2.  Z ał óż my  nastę pnie,  że  na  wale  m am y  M 4  tarcz,  których  ś rodki  znajdują   się   w  od-
legł oś ciach

/• -   K/ J-   Pi,  ..• '.,  g
od  począ tku  ukł adu  odniesienia  przy  zał oż eniu  wał u  jedn owym iarowego.  Ś rodki  tarcz
®k

4
, fe* =   1 , . . . ,  «4  n a  ogół   nie  pokrywają   się   ze  ś rodkami  tych  przekrojów  wał u,  n a

których  są   one  osadzone.



O  MODELOWANIU  WAŁU   WIELOPODPOROWEG O  235

Oznaczmy  współ rzę dne  tych  ś rodków  za  pom ocą   cią gów  dwuwskaź nikowych  w  spo-

sób  nastę pują cy:

G dy  traktujemy  tarczę   ja ko  wycinek  (najczę ś ciej  pierś cieniowy)  pł aszczyzny,  to  czy-
nimy  pewne  uproszczenie.  D ział an ie  tarczy  n a  wał   uwzglę dnia  się   w  ten  sposób,  że  jej
ś rodek  masy  opisuje  się   n a  ogół   dwiema  wspórzę dnym i,  ską d  wynikają   równania  ruchów
postę powych.  Tarcza  posiada  p o n ad t o  m om en t  bezwł adnoś ci  wzglę dem  osi  obrotu,
ewentualnie m om enty bezwł adnoś ci wzglę dem  osi  lokalnego  ukł adu odniesienia, co umoż li-
wia  rozważ anie jej  ruchów  obrotowych .

N ajczę ś ciej  przyjmuje  się ,  że  ruchy  tarczy  są   pł askie,  gdy  jest  ona  nieodkształ calna
i  prostopadł a  do  osi  wał u.  Jest  to  bardzo  optymistyczne  zał oż enie,  z  którego  musimy
zrezygnować  przyjmują c  dowoln e  odchylenia  (ale  o  mał ych  ką tach)  począ tkowego  usy-
tuowan ia  tarczy  n a  wale.

W celu  ujednolicenia  i zach owan ia moż liwej  ogólnoś ci  rozważ ań  przyjmujemy,  że każ da
tarcza  (wraz z ewen tualn ym przekrojem  wał u, n a którym jest zawieszona), jako elementarny
twór  trójwymiarowy  o  zn ikom ych  wym iarach  poprzecznych 1*  i  dł ugoś ci  dą ż ą cej  do  zera
jest  (pod  wzglę dem  moż liwoś ci  wykonywania  ruchów)  opisana  podobnie  do  każ dej  pod-
pory  z  odpowiadają cym  jej  przekrojem ,  to znaczy  przez:

1°  «4- elementowy  cią g  jedn owskaź n ikowy  trójelementowych  cią gów  jednowskaź nikowych
poł oż eń

[
2
xAi =  [[IftJiLja  -   [[fo jjjja.  h  =  1, 2, 3;  U  = 1, ...,«*!

2°  «4- elementowy  cią g  jedn owskaź n ikowy  trójelementowych  cią gów  jednowskaź nikowych
ką tów

W  ten  sposób  «4- elem en towy  cią g  jednowskaź nikowy  tarcz  jest  scharakteryzowany
cią giem  trójwskaź nikowym  stopn i  swobody  wynikają cym  z  przyję cia  cią gu  trójwskaź ni-
kowego  współ rzę dnych niezależ nych

3
x

2
  =   [x

Jlh
j
A
]

2
,  j

t i
  =   1, . . . , «9 J )  ft  -   li  2 , 4

opisują cego  rc4  tarcz.

3.  Przyjmijmy  p o n ad t o , że  m asa  wał u m oże  być  skupiona  w  n
5
  jego  przekrojach,  przy

czym  nie bę dziemy  zajmowali  się   realizacją   «skupiania»  —  redukcji jego  m as  czę ś ciowych.
D odam y  tylko,  że  m asę   wał u  m oż na  redukować  d o :  (a)  przekrojów  podporowych,  (b)
przekrojów  zawieszenia  tarcz,  (c) przekrojów  innych.

P odobn ie jak  w  rozważ an iach  poprzedn ich, także  i t u  przyjmujemy,  że  każ dy  przekrój,
do  którego  redukujemy  m asę   czę ś ciową   wał u  jako  elementarny  twór  trójwymiarowy
o  zn ikom ych  wym iarach  poprzeczn ych  i  dł ugoś ci  dą ż ą cej  do  zera,  jest  pod  wzglę dem
moż liwoś ci  wykonywania  ruch ów  opisany  podobn ie  do  każ dej  podpory  z  odpowiadają -
cym jej  przekrojem  lu b  tarczy,  t o  znaczy  przez

Wię kszych  jednak  od  wymiarów  poprzecznych  przekroju  wał u.



236  R.  KRZYWIEC

1° rt5- elementowy cią g  jednowskaź nikowy  trójelementowych  cią gów  jednowskaź nikowych

poł oż eń

[ L ]  [ [ U ]  h  -   1.2,  3;  j
s
  =   1,  „ ., », ;

2°  n s- elementowy  cią g  jednowskaź nikowy  trójelementowych  cią gów  jednowskaź nikowych

ką tów

W  ten  sposób  «5- elementowy  cią g  jednowskaź nikowy  przekrojów,  do  których  reduku-
jemy  masy  czę ś ciowe  wał u,  jest  scharakteryzowany  cią giem  trójwskaź nikowym  współ -
rzę dnych  niezależ nych

3 *3  =   [Xj
lh
j
5
],  J

9i
  =   1,  . . . , ». , ;  ft  -   1, 2, 3

opisują cych  ws  m as.
Zauważ my,  że  korzystają c  z  cią gów  wielowskaź nikowych  [1, 2] wszystkie  trzy  rodzaje

przekrojów:

1)  podporowych  (z  masami  skupionymi  podpór  i  ewentualnym i  m om en tam i  bez-
wł adnoś ci  wzglę dem  osi  ukł adu odniesienia),

2)  osadzenia  tarcz  (z  masami  skupionymi  tarcz  i  m om en tam i bezwł adnoś ci  wzglę dem
osi  ukł adu odniesienia),

3) mas zredukowanych  (z m asam i czę ś ciowymi  skupionym i  i ewentualnymi m om en tam i
bezwł adnoś ci  wzglę dem  osi  ukł adu odniesienia)

moż emy  opisać  cią giem  czterowskaź nikowym  współ rzę dnych  niezależ nych

X  —  [  A1  ,  X2,  X3\   .

P am ię tamy  jedn ak,  że  w  każ dym  cią gu  trójwskaź nikowym  wystę puje  in n a  liczba  cią gów
dwuwskaź nikowych:  podpór, tarcz  oraz  m as  zredukowanych.

2.3.  Uwagi o  wł asnoś ciach  fizykalnych  tworzywa  elementów  kj  i  konstrukcji  k  oraz  o jej  funkcji  stanu.

Każ dy  element  k
qs
  q  =   1,  2,  3  posiada  pewną   liczbę   wł asnoś ci mechanicznych,  n a  przy-

kł ad  jest  izotropowy  lub  anizotropowy,  m a  przekrój  stał y  lub  zmienny,  postać jedn o-
rodną   (stał ą )  lub  niejednorodną   (zmienną ),  m om en ty  bezwł adnoś ci  stał e  lub  zmienne,
współ czynniki  sprę ż ystoś ci,  współ czynniki  tł umienia,  sił y  i  m om en ty  obcią ż ają ce  stał e  lub
zmienne.

Przypuś ć my,  że  u
x
  tych  wł asnoś ci  zapisujemy  cią giem  jedn owskaź n ikowym

W
q
  m  [W

it
  ...,W

Ul
]  =   [Wtj],  h  =   1,  ..., Wi,

przy  czym  zmieniają   się   one  na  ogół  ze  zmianą   pun któw p  kon strukcji  k  i  w  czasie  / , co
zapisujemy  symbolicznie  w

q
  =  w

q
(p,  t),  czyli

. * w =   ' [ w j l { j  -
3
w(p,t),  U =  l,...,Ui',  / 2  =   1 , 2 , 3 ,

gdzie p  jest  pun ktem przestrzeni  trójwymiarowej  p  —  (x
l}
  x

2
,  x

3
)  —  (p().

M oż na  wię c  powiedzieć,  że  istnieje  takie  przekształ cenie, które  przeprowadza  konstrukcję

k  w  cią g  (tu  dwuwskaź nikowy)  zmiennych jej  stanu  k  <= k(2w).
Jeś li  przyjmiemy  ortokartezjań ski  ukł ad  odniesienia  umoż liwiają cy  opis  kon strukcji  k,

to  mamy k  =  k(x,  t).



O  MODELOWANIU  WAŁU   WIELOPODPOROWEG O  237

Kon strukcja  k  o  wł asnoś ciach  2w  speł nia pewną   liczbę   u
3
  praw  fizyki  F

h
,  gdzie

Z n aczy  t o , że  dan a jest  rodzin a przekształ ceń

F[k{
2
w(x,  0}]  =   0  lub  F[2w(x,  t)]  =   0

okreś lona  n a  zbiorach  wielowymiarowych  zmiennych  2w,  przy  czym  poszukujemy  roz-

wią zań  takich  ukł adów  przekształ ceń ze  wzglę du  n a  wyróż nione,  interesują ce  nas  cechy  —

wł asnoś ci  m echan iczn e.  Cią g  jednowskaź nikowy  F  nazywamy  funkcją   stanu  konstruk-

cji  k.

Z auważ my,  że  kon strukcja  k  tworzy  ukł ad  —  system  w  sensie  sformalizowanym  tego

poję cia  [4].  Odpowiada  m u  ukł ad  —  cią g  jednowskaź nikowy  opisu  przekształ ceń  jako

m odel  m atem atyczn y  zjawiska.

2.4.  Uwagi  o sposobach  opisu  konstrukcji.  Przekształ cenie F  w  dynamice  konstrukcji  może

mieć zasadniczo  ch arakter  dwojaki.

1°  Jeś li  badan y  ukł ad  wirują cy  posiada  model  dyskretny,  to  funkcja  stanu  zjawiska
jest  ukł adem równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych:

F(t,x(t),  x(t),  x(t),  w(x,f))  =  0,

gdzie

są   odpowiednio  wektoram i  prę dkoś ci  i  przyspieszeń  ukł adu,  zaś

w =   w(x,   f)

przedstawia  cią g  (tu jedn owskaź n ikowy)  param etrów  ukł adu k  zmiennych w  czasie  i prze-
strzeni,  ale  przy  pewnych  zał oż eniach co  do  redukcji  (skupienia)  param etrów  w  okreś lo-
nych  i wyróż nionych  p u n kt ach  kon strukcji.

Analogicznie  do  zał oż en ia cią gł oś ci  czasu  przyją ć  jedn ak  należy  cią gł ość  konstrukcji  T e,
czyli  wał u  waż kiego  obcią ż on ego  wieloma  tarczam i  cią gł ymi  i  podpartego  w  wielu  ł o-
ż yskach  przy  traktowan iu  go  ja ko  ukł adu  mechanicznego  trójwymiarowego  ze  wzglę du
n a  geom etrię .  Trzeba  przy  tym  również  poczynić  zał oż enia  co  do  uproszczeń  kształ tu,
wymiarów,  wł asnoś ci  kon strukcji  itp.,  aby  uzyskać  jej  model  cią gł y.

2°  Jeś li  badan y  ukł ad  wirują cy  posiada  m odel  cią gł y,  to  funkcja  stanu  zjawiska  jest

ukł adem  równ ań  róż n iczkowych  czą stkowych  postaci:

t, w(x,  t),  - 0= - w(x, 0,- 7^ w(x,  t),...,- ffipwCć ,  t),- |prw(x,

gdzie  w(x,  t)  jest  cią giem  (tu  jedn owskaź n ikowym)  funkcji  param etrów  charakteryzują -
cych  pod  okreś lonym  wzglę dem  stan  konstrukcji  w  czasie  i  przestrzeni.  W  równaniu
tym  pominę liś my  n iektóre  poch odn e  zaznaczają c  tylko  symbolicznie  pochodn e  cią gu
jedn owskaź n ikowego  funkcji  wzglę dem  zmiennych  x  i  oddzielnie  pochodne  wzglę dem
czasu,  aby  odróż n iać zm ian y  w  przestrzen i  geometrycznej  od  zmian  w  przestrzeni  czasu.



238  R.  KRZYWIEC

2.5. Uwagi o numeracji wielowskaź nikowej  zmiennych stanu i funkcji  stanu zjawiska.  Przyjmiemy  je-
dnolitą   nazwę   zmiennych  stanu  zjawiska  dla  zmiennych, param etrów  i  stał ych, charakte-
ryzują cych  (opisują cych)  stan  zjawiska,  gdzie  przez  stan rozumiemy  wyróż niony  podzbiór
zbioru zmiennych.

N umeracja  wł asnoś ci  iv  i  pun któw  x  ukł adu- konstrukcji  k  jako  zm iennych  stanu
okreś lonego  zjawiska  (na przykł ad ruchu) nie musi  być  dokon an a tylko  za pom ocą   cią gów
jednowskaź nikowych.  Czę sto  jest  korzystniej,  szczególnie  w  systemach  wielkich  (przede
wszystkim  ze  wzglę du  n a  przejrzystość  opisu  zjawiska,  czyli  jego  funkcji  stan u),  wprowa-
dzić cią gi  wielowskaź nikowe  tak zmiennych stanu ja k  i funkcji  stanu, a  tym  sam ym  przyją ć
model  wielowskaź nikowy  zjawiska.

Widzimy  to  n a  przykł adzie  modelu  wielowskaź nikowego  ukł adu  wirują cego  jako
systemu  wielkiego  przekrojów  podpartych, tarcz  i  mas  skupionych.  P rzygotowujemy  mia-
nowicie jego  opis  wielowskaź nikowy  w  postaci  oscylatora  wielkiego  charakteryzują c  ele-
menty  kj  konstrukcji  k  jednolicie  za  pomocą   cią gu  czterowskaź nikowego  współ rzę dnych
niezależ nych  4 x.  N ależy  przy  tym  podać  cią gi  stał ych  o  podwójnej  iloś ci  wskaź ników
[1,  2],  aby  zdefiniować  najprostsze  przekształ cenie  liniowe  (tu  czteroliniowe,  zgodnie
z pracą   [1, 2]) jako  funkcję   stanu  zjawiska.

D la  napisania  natom iast  równania  dynamiki  musimy  wprowadzić  [1,  2]  równ an ie
róż niczkowe zwyczajne  wielowskaź nikowe:

*F(t, «x(t),
  4 *( 0 ,  «x(t),   8/ «(4*>  Ą x,  t),   8K*x, *Ś, f),   8J ( 4x, *$, t),  f(*x,  %  0 )  =   4 0 ,

gdzie  afh  cią g  wielowskaź nikowy  współ czynników bezwł adnoś ci,
s
r  cią g  wielowskaź nikowy  współ czynników  tł um ien ia,

85  cią g  wielowskaź nikowy  współ czynników  sprę ż ystoś ci,
*/   cią g  wielowskaź nikowy  obcią ż eń  wymuszają cych  (sił  i  m om en tów sił ).

U wzglę dniając  przyję ty  poprzednio symbol  w, mamy
9
w  =  [ a w 1 (

8 w 2 ,
8 w 3 ] ,

gdzie  m  =   w
t
,  r  =  w

z
,  s  =   w

3
.

W  przypadku  najprostszym  jest
9
w  =   9colist,   8 / =   śf(t).

Wtedy  równanie róż niczkowe wielowskaź nikowe  [1, 2], m ianowicie

s
m  •   4- x + 8r  •   4x  + ss  •   4 x  =   8f(t)

opisuje  przyję ty  model drgań  ukł adu wirują cego  —  konstrukcji  k.  Jest  on o uogólnieniem  —
za  pomocą   przestrzeni  liniowej  cią gów  wielowskaź nikowych  —  równ an ia  róż n iczkowego:

2
m- 'x  +

 2
T - -  x+

2
H  •   x  =f(t),

czyli

m
ll
x

1
+m

12
x

2
+r

ll
x

1
+r

ll
x

2
+s

11
x

1
+s

12
x

1
  - f.

%
(i),

m
2i
  x

1
  +m

22
x

2
  +r

21
  x

x
  +r

22
x

2
  +s

21
x

t
  +s

22
x

2
  =   f

2
(t)

nazwanego  równ an iem  bioscylatora  jednowskaź nikowego  lub  kr ó t ko :  bioscylatorem
jednowskaź nikowym  o  dwóch  stopn iach  swobody.



O  MODELOWANIU   WAŁU   WIELOPODPOROWEG O  239

Sens  fizykalny  bioscylatora  wyjaś niamy  niż ej  przy  formuł owaniu  bioscylatora  o  sześ ciu

stopn iach  swobody  wyprowadzają c  odpowiednie  równanie  róż niczkowe  wielowskaź ni-

kowe.

2.6.  Uwagi  o łą czeniu elementów kj  oraz  o ich odksztalcalnoś ci.  Łą czenie  ogniw  (wał , ł oż ysko)
w  pary  kinem atyczne dla uzyskan ia  m echanizm u, n a przykł ad  przekł adni zę batej  lub ma-
szyny,  jest  bardzo  róż n orodn e.  P rzy  idealizacji  tego  waż nego  zagadnienia  zakł ada  się
sztywne  lub sprę ż yste  poł ą czenie  ogniw  wzdł uż  linii  lub  w  pewnych  pun ktach .  P unkty,
a  wł aś ciwie  pł aty  powierzchn iowe,  czyli  wycinki  powierzchni,  w  których  ł ą czą   się  lub
stykają   elementy  kj  kon strukcji  k,  posiadają   odm ienne  wł asnoś ci  aniż eli  same  elementy.
Spowodowane  to jest  «przepł ywami»  bą dź  też  «wymianą »  pewnych  wł asnoś ci,  albo na
przykł ad  sm arowan iem .

I  tak,  elementy  kj  tak ja k  i  ich  poł ą czenia  mogą   być  sztywne,  sprę ż yste,  mieszane.
Przyję ty  tutaj  m odel.dyskretn y  kon strukcji  k jest  cał kowicie  sprę ż ysty  (w odniesieniu

do  ogniw  i ich poł ą czeń) przy  stosowalnoś ci  prawa  H ooke'a  uogólnionego  [5] n a wielkie
systemy  m echaniczne za  pom ocą   cią gów  wielowskaź nikówych.  W tym wł aś nie  celu  przy-
porzą dkowano  poprzedn io  każ demu  elementowi  kj  konstrukcji  k p o sześć  stopni  swobo-
dy,  z  moż liwoś ciami  sprę ż ystych  dział ań  i  oddział ywań  w  postaci  sił  oraz  momentów  sił .

2.7.  Uwagi  o działaniu otoczenia na konstrukcję   k.  Otoczeniem  konstrukcji  jest  przestrzeń

fizykalna.  Istnieją ce  w  niej  pola  fizykalne  dział ają   na  konstrukcję   Je.  P rócz  tego  kons-
trukcja  jest  pod  dział an iem  obcią ż eń  (sił  i  m om en tów  sił ) wynikają cych  z  okreś lonych
zał oż eń  co do jej  przydatn oś ci.  C h arakter  dział an ia  otoczenia  na konstrukcję   k jest naj-
czę ś ciej  przypadkowy.  W  rozważ an iach  wstę pnych  omawiamy  charakter  deterministyczny
zjawiska,  jest  wię c  oczywiste,  że czynimy  zał oż enia eliminują ce  wpł ywy  losowe.

Losowość  kon strukcji  k  jest  jed n ak  n ieun ikn ion a  i  wywoł ana  mię dzy  innymi  przez
obróbkę ,  m on taż, eksploatację   i obcią ż enia  bę dą ce  przyczyną   drgań  wymuszonych.  Współ -
czynniki  bezwł adnoś ci  charakteryzują   m aterialną   przestrzeń  fizykalną ,  w  której  istnieją
róż ne  sił y  ham ują ce  ruch  kon strukcji  k  przy  dział aniu sił  sprę ż ystych  zgodnych  z prawem
H ooke'a.

4.  O sc ylat o ry  h arm on iczn e  o  n  stopn iach  swobody  <

Przyjmujemy  ozn aczen ia: Qx
x
,  ... x„ —  ukł ad  ortokartezjań ski  M- wymiarowy,

x
x
  =   [Xx  ...,X„]x  =   [ X j ] i ,  . / =   1 ,  . . . , n

cią g  jedn owskaź n ikowy  wartoś ci  przemieszczeń  w  kierunkach  osi  przyję tego  ukł adu
odniesienia,

X2  =   l^Z  i  •  •  •  > X1J2  =   [ xJi2

cią g  jedn owskaź n ikowy  wartoś ci  ką tów  obrotu  dookoł a poszczególnych  osi  przyję tego
ukł adu  odniesienia,

• "•1  =   [ * ! >  • • • >xn]l  =   [ Xj]l



240 R.  KRZYWIEC

—  cią gjednowskaź nikowy  wartoś ci  prę dkoś ci  postę powych,

X
2
  =   [x

t
,  ...,  X„]

2
  —  [X;]2

—  cią g jednowskaź nikowy  wartoś ci  prę dkoś ci  obrotowych,

x
i
  —  [x

l}
  ...,  x„]

2
  —  [xj]

2

—  cią gjednowskaź nikowy  wartoś ci  przyspieszeń  liniowych,  w  ruchach  postę powych

X
2
  =   [X^   ,  . . . ,  X„ ] 2  —  [A"j]2

—  cią gjednowskaź nikowy  wartoś ci  przyspieszeń  ką towych  w  ruchach  obrotowych

t  —  czas  absolutny,

2
in

t
  =

...  m
la

m n i  ... m m

cią g  dwuwskaź nikowy  współ czynników  bezwł adnoś ci  (mas)  w  ruchach  postę powych,

. . . m ł n

cią g  dwuwskaź nikowy  współ czynników  bezwł adnoś ci  (m om en tów  bezwł adnoś ci)  w
ruchach  obrotowych  wzglę dem  odpowiednich  osi  obrotu,

—  cią gi  dwuwskaź nikowe  współ czynników  tł umienia w ruchach postę powych  i  obrotowych,

—  cią gi  dwuwskaź nikowe  współ czynników  sprę ż ystoś ci  w  ruchach  postę powych  i  obro-
towych,

• — cią g jednowskaź nikowy  sił  wymuszają cych  w  ruchach  postę powych,

7 2 ( 0 =  LA(O..»,/ .CO] a- W(01»
—  cią gjednowskaź nikowy  momentów wymuszają cych  w  ruch ach  obrotowych.

Stosownie  do  oznaczeń przekształ cenie

Pi(f,xdt),  x
u

  2
m„

  2
~r

u
  *s

u
  A(t))  m 0,

gdzie  Ą   - [ A , . . .,  P J i  -   [P/ Jj
w  postaci  ( a) :

2W1  •   xt  +
2 r 1  •  Ś,  +

2 ^  •   x
i
  m]\ {t)

bę dziemy  nazywali  równaniem  oscylatora  harm on iczn ego  postę powego  wymuszonego
w  oś rodku  z  oporam i  i  o  n  stopn iach  swobody  wyraż onych  cią giem  jedn owskaź n ikowym
zmiennych  x

1
;



O  M O D E L O WAN I U   WAŁ U   WI E L O P O D P O R O WE G O  2 4 1

w  postaci  (b)

" • l  A l " T r l  * I T  O l  A , —  U

—  nazwiemy  równ an iem  ^- wymiarowego  oscylatora  harmonicznego  postę powego  swo-
bodn ego  w  oś rodku  z o p o ram i;
w  postaci  (c)

2
m

1
  •   x

1
+

2
s

l
  • ~x

l
 = 0

nazywamy  równ an iem  w- wymiarowego  oscylatora  harm onicznego  postę powego  swo-
bodn ego.
Korzystają c  z pracy  [1,  2]  napiszem y  powyż sze  równ an ia  za  pomocą   cią gów  zero-

wskaź nikowych  (utoż sam ian ych  ze  skalaram i)  podają c  przy  tym  reguł ę   mnoż enia ((ma-
cierzowego))  cią gów  dwuwskaź nikowych  przez  cią gi  jednowskaź nikowe.

• y  I   <•   - y  _J_  _l  M   y  l_  P  V  L.  - 1_  I 1  V  / *  (ł   \

I  - fnl  ~ri  111  - Ml T  . . .  t fi , i i - l„ , + , ) iU J C a t  . . .  - r- Sinî nl  - / n U i)

ę li  +   • ••   + »»t a i 5 ć »1 + r 1 1 i *1 I +  ...  +rlnlxia+sillxli+  ...  + s l B l ^ «i  = 0 ,

• ••   " ( " ' " M I I - f ul  " r ' " « l l ^ ' l l  T  • ••   " r / * n i | j , ^ n l  " t " J ( i H ^ l l  T  • ••   " r Ą n l ^ n l  = =   " >

lXnl+S
nll

X
u
+  ...  +S

ml
X„i  =  0.

Są   to  ukł ady  równ ań  liniowych  o  współ czynnikach  stał ych.  Stanowią   one  uogólnienie
równ an ia  oscylatora  postę powego  o jednym  stopn iu  swobody.  M oż na je  otrzymać z dru-
giego  prawa  N ewton a  ukł adów  m echanicznych  wielokrotn ych  postę powych  jako  syste-
mów  wielkich  lub  za  pom ocą   wielowskaź nikowych  równań  Lagran ge'a  drugiego  rodzaju
[8].

W  przypadku  n  — 3  m am y  oscylator harm on iczn y  postę powy  o trzech  «postę powych»
stopn iach  swobody  w  przestrzen i  ortokartezjań skiej  trójwymiarowej.  Interpretujemy  go
za  pom ocą :

1)  trzech  prostopadł ych  sprę ż ynek  postę powych,  z  których  każ da  jest  podatn a  tylko
n a  odkształ cenie liniowe  kierun ku jedn ej  osi,  gdy  ruch jest  swobodn y;

2)  trzech  prostopadł ych  tł um ików  postę powych,  z których  każ dy  przedstawia  sił ę
oporu  w  ruchu  postę powym  wzdł uż danej  osi;

3)  pary  trzech  prostopadł ych sprę ż ynek  postę powych  i  trzech  tł umików postę powych,
gdy  wystę pują   sił y  sprę ż yste  i  sił y  oporu.

Z auważ m y,  że  w  przypadku  szczególnym  ukł ad  —  cią g  równań  sprowadza  się   do
cią gu  jedn owskaź n ikowego  r ó wn a ń :

Otrzymujemy  wtedy  t ak  zwan e  drgan ia  rozprzę ż on e, podczas  gdy  w  przypadku  ogólnym
są   one sprzę ż one. M ogą   również  wystą pić  róż ne in n e przypadki  «sprzę ż enia  czę ś ciowego).



242  R.  KRZYWIEC

Stosownie  do  oznaczeń, przekształ cenie

P
2
[(t,  x

2
(t),  %,%,

  2
m

2
,

  r
r

2
,

  2
s

2
,fz(t)]  =   0,

gdzie  P
2
  =   [ J P i , . . . , i

> „ ] 2 !'
w  postaci  (d)

2
m

2
- x

2
+

2
~r

2
- x

2
  +

 2
~ś

2
- x

2
  =/

2
(t),

bę dziemy  nazywali  równaniem  oscylatora  harm on iczn ego  obrotowego  wymuszonego
w  oś rodku  z  oporam i  i  o n  stopniach swobody,  wyraż onych  cią giem  jednowskaź nikowym
zmiennych  x

2
;

w  postaci  (e)
2
m

2
  •   x

2
+

2
r

2
  •   x

z
+

z
s

2
  •   x

2
  =  0,

nazwiemy  równaniem  / / - wymiarowego  oscylatora  harm on iczn ego  obrotowego  swobodne-
go  w  oś rodku  z oporam i;

w  postaci  (f)

2
m

2
- x

[

2
+

2
s

2
- x

2
  m  0,

nazywamy  równaniem «- wymiarowego oscylatora harm on iczn ego  obrotowego  swobodnego
Korzystają c  z  prac  [1,  2]  napiszemy  powyż sze  równ an ia  za  pom ocą   cią gów  zero-

wskaź nikowych  podają c  przy  tym  reguł ę   mnoż enia  «macierzowego»  cią gów  dwuwskaź ni-
kowych  przez cią gi  jednowskaź nikowe.

Równania  te  stanowią   uogólnienie  równ an ia  oscylatora  obrotowego  o  jedn ym  stop-
niu  swobody.  M oż na  je  otrzymać  z  drugiego  prawa  N ewton a  ukł adów  mechanicznych
wielokrotnych  obrotowych  jako  systemów  wielkich  [9]  lub  za  pom ocą   wielowskaź niko-
wych  równań  Lagran ge'a  drugiego  rodzaju  [8].

W  przypadku  n  =  3  otrzymamy  oscylator  harm on iczn y  obrotowy  o  trzech  «obroto-
wych»  stopniach  swobody  w  przestrzeni  ortokartezjań skiej  trójwymiarowej.  I nterpretuje-
my  go  za  pom ocą :

1)  trzech  prostopadł ych  sprę ż ynek  obrotowych,  z  których  każ da  jest  p o d at n a  tylko
n a  odkształ cenia ką towe  w  ruchu  dookoł a jednej  osi,  gdy  ruch jest  swobodn y;

2)  trzech  prostopadł ych tł umików  obrotowych,  z  których  każ dy  przedstawia  m om en t
oporu  w  ruchu  obrotowym  dookoł a danej  osi;

3)  pary  trzech  prostopadł ych  sprę ż ynek  obrotowych  i  trzech  tł um ików  obrotowych,
gdy  wystę pują   m om enty  sprę ż yste  i  momenty oporu.

Także  i  tu  mogą   wystą pić  drgania  sprzę ż one,  czę ś ciowo  sprzę ż one  i  rozprzę ż on e.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  R.  KRZYWIEC,  W ielocią gi,  Praca  doktorska.
2.  R.  KRZYWIEC,  Cią gi wielowskaź nikowe,  Zagadnienia  D rgań  N ieliniowych, 1971.
3.  M . T . H U BER,  Siereomechanika  T echniczna,  (1951).
4.  R.  KRZYWIEC,  O formalizowaniu poję cia ukł adu, Arch.  Bud. M asz.,  (1971).
5.  R,  KRZYWIEC,  O  wielowskaź nikowym  uogólnieniu  prawa Hooke'a  ukł adów stereomechanicznych  wielo-

krotnych jako  systemów  wielkich,  Zesz.  N auk.  Polit.  C zę st,  (1972).



O  MOD ELOWAN IU  WAŁU   WIELOPODPOROWEG O  2 4 3

6.  L. S.  PON TRIAG IN , Równania róż niczkowe zwyczajne, Warszawa  1964.
7.  W. W.  STIEPAN OW,  Równania  róż niczkowe, Warszawa  1956.
8.  R.  RRZ YWIEC,  W ielowskaź nikowe  równania  L agrange'a  drugiego  rodzaju  ukł adów  mechanicznych  wielo-

krotnych jako  systemów  wielkich, Zagadnienia  D rgań  N ieliniowych,  1971.
9.  R.  KRZYWIEC,  W ielowskaź nikowe  uogólnione prawo  dynamiki  ukł adów wielokrotnych — wielkich  syste-

mów  mechanicznych, Zesz.  N auk.  Polit.  Czę st.,  1972.

P  e  3  IO  M e

O  M OflE JI H P OBAH H H   c  n OM OI U LK)  BOJlBIU Oń  C H C T E M H  E H O C m U I JM T O P O B

M H oronoAiiiH riH H KOBoro  BAJIA  C O  M H OITH M H   JI H C K AM H .  ^IACTŁ  i.  OBIIIH E
3AM E^AH H H .  OCD,HJIJIiITOPŁI  CO  M H OrH M H  HHflEKCAMH

B  nepBoft  qacTH   pa6oTM   o  MOflejiHpoBaHHH   yn p yr o r o ,  MHoronoflinHnHHKOBoro,  H arpy>Keioioro

flH CKajviH   Bajia

(1)  O6mH
( 2 )  J lH H eił H bie  o c q H J iJ iH T o p bi ( n o c T yn a T e n b H o r o  H   B p a m a i e n L H o r o  flBH weH H Ji)  c o  M H O I - I I MH

M,  C nOM OmblO KOTOpbIX3 BO BTOpOH  ^aC TH  p a 6 0 T H , BBOflHTCH   6H 0C qH JI JI flT0pbI  CO  MHOrHMH  HHfleKCaMH

n p e flH a 3H a q e H H bie  p.na  M OAeJiH poBaH H H  B a n a .

P a 6 o T a  H a n wc a H a  H a  H 3biK e  M H o r o n p a T H b i x n ocn eflO BaT ejiBH ocT cit j  T . e .  nocJieflOBaTenbH OC Teii  c o

MHOrHMH   HHfleKCaMH   n p H   H C n 0JI b30BaH H H   HX  a ji r e 6 p b l  H   9JieM eH T0B  ailBJIH aa  B33TbI X  H 3  flH CCepTaiJH H

a B T o p a .

S u m m a r y

M OD ELLIN G   OF   A  M U LTI- SPAN   SH AF T  WITH   SEVERAL  D ISKS  BY  MEAN S  OF   A  G REAT
SYSTEM   OF   BI- OSC1LLATORS.  P ART  I.  G EN ERAL  REM ARKS.  M U LTI- IN D ICIAL

OSCILLATORS

Part  one  of  the  paper  on  shaft  modelling  (elastic  shaft  with  several  supports  and  loaded  by  several
disks)  presents:

(1) G eneral considerations concerning the method of constructing the differential  equations of motion;
(2)  Multi- indicial  linear  oscillators  (progressive  and  rotational),  which  will  be  used  (in  the  second

part  of  the paper)  to  introduce multi- indicial  bi- oscillators  for  shaft  modelling.
The  paper  is  formulated  in  the multi- series  language,  i.e.  in  the language  of  multi- indicial  series  and

the  corresponding  algebra  and  elements  of  analysis  as  presented  in  author's  doctoral  dissertation.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  29  lipca  1972  r.\   w  wersji ostatecznej dnia  20  lutego  1974  r.

3  M ech an ika  Teoretyczn a  3/ 74