Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  12  (1974)

N I E K T Ó R E  Z AG AD N I E N I A  T E R M O S P R Ę Ż YS T O Ś CI  W  T AR C Z AC H   M I K R O P O L AR N YC H

KRYSTYN A  M A J O R K O W S K A - K N AP  (PŁ OCK)

1.  Wprowadzen ie

W  niniejszej  pracy  rozważ ać  bę dziemy  liniowy  terrnosprę ż ysty  oś rodek  mikropolarny
poddany  dział aniu  tem peratury.

N a  podstawowe  równania niesymetrycznej  termosprę ż ystoś ci  dla zagadnień statycznych
skł adają  się:  równ an ia  równowagi,  równania  konstytutywne  oraz  równanie  przewod-
nictwa  cieplnego  [1].

Równania równowagi, przy pominię ciu sił   i momentów masowych mają  postać

0- 1)  9jt,j  =   0 ,  atfl0jk+Pfl,j  =   0 ,  (fj,  / ć =   1, 2,  3 ) ,

gdzie  symbol  £ij
K
 oznacza  alternator  Levi- Civita.

Równania  konstytutywne

ff/ i  -

gdzie

(1.3)  Yji  =  Ui,j~£k]i<pk,  Hjl- VU

zawierają  sześć stał ych materiał owych mechanicznych fi,  A, a, fi, y, e oraz stał ą v  =   a,(3A +
+2fj)  zależ ną  od wł asnoś ci mechanicznych i termicznych  (a,  —  współ czynnik liniowej  roz-
szerzalnoś ci  cieplnej).

W  równaniach  (1.2) 6  =   T —  T
o
  oznacza  wzrost  temperatury  (w  stosunku  do  tempe-

ratury  stanu  naturalnego  T
o
).  Symbol  8

tJ
  oznacza  deltę Kroneckera.

P ostać  zlinearyzowana  równania przewodnictwa  cieplnego  w przypadku  stacjonarnego
przepł ywu  ciepł a jest  nastę pują ca

—  W
(1.4)  V20  m  - jL,
gdzie  W —iloś ć  ciepł a wydzielana  przez umieszczone w  ciele  ź ródła  ciepł a, odniesiona do
jednostki  obję toś ci,  zaś  k —  współ czynnik  przewodnictwa  cieplnego.

Eliminując  z  równań  (1.1)  naprę ż enia  dji  i  jtjt  przy  wykorzystaniu  zwią zków  (1.2)
i  (1.3)  otrzymamy  sprzę ż ony  ze  sobą  ukł ad równań  róż niczkowych  [1]

( y+ e ) V2 ^ - 4a 93 +  (/ 3+ y- e)graddiv95+ 2arotw  =   0.

M amy  ukł ad siedmiu  równ ań  (1.5),  (1.4)  z  siedmioma  niewiadomymi:  trzema skł ado-
wymi przemieszczenia «,  trzema skł adowymi  obrotu <p i temperaturą 6.

Warunki brzegowe zwią zane  z równaniami (1.5) i  (1.4) przyjmujemy  w postaci

(1.6)
  Pi

  **0j,rtj  -   0,  m  -   fijiUj =   0,  6  =   y(x),  xeA.



328  K.  MAJORKOWSKA- KN AP

2.  Uogólniony  piaski  stan  naprę ż enia

W  tarczy  o gruboś ci  2h  uogólniony  pł aski  stan  naprę ż enia jest  wywoł any  temperaturą
0( J C 1 ( x2, x3) o rozkł adzie symetrycznym  wzglę dem  pł aszczyzny  ś rodkowej.

Stan  przemieszczenia  i obrotów jest  scharakteryzowany  przez  ś rednie  wartoś ci  wekto-
rów

(2.1)  u* u  («?, «|, 0),  f  =  (0, 0,  <pf).

Stan  odkształ cenia reprezentują   tensory  er* i »* o skł adowych

(2.2)  y% =   (y*,, yh),  »jl m  H & ,  (a, /?  -  1,2).

Stan naprę ż enia opisują   tensory  o;* i /** o skł adowych

(2.3)  ffjj  •   ffj,  / ^ •  Q&, p&,  ( a, /? =   1, 2),

które  speł niają   równania  równowagi

(2.4)  o*,,.  =  0,  e ^ ^ + ^ 3 , ^  =  0,  ( «, / ? =   1, 2),

symbol  ea/ , oznacza symbol  Ricciego.
Zwią zki  konstytutywne  przyjmują   postać

a%  = (p + a) y% + (p- a)  y% +  (Xyf
k
  -   v6*) d

Jt
,

( 2 > 5 )
  p% =  (y+B)xf

t
+(y- e)xtj+W ji,  (hj -   1, 2, 3),

gdzie  fl*(^!,  Jf2) =   - isr* /   ®(
x
i >

  X
2>

 x
zddXs  J e s t  ś rednią   wartoś ciową   tem peratury wzdł uż

gruboś ci  tarczy.
Zwią zki  geometrycznej  zgodnoś ci  mają   postać

ySi.i—y?i,a- «ifa  =  0,

(2.6)  y22.1- yf2.2- xh  =  0,

Równania  (2.6)  moż na przekształ cić do  postaci

ył a.u+ yfi.aa  ==  (y?»+ y!i), iai

( 2 - 7 )  7*2,22- ^*1,11 =   (yŁ - y!i), ia~ (»!l3lI i+ »^s, a)i

Wyraż ając  zwią zki  (2.7)  poprzez  tensory  o$, pf, przy  pomocy  równań  (2.5)  otrzymujemy
warunki  geometrycznej  zgodnoś ci  wyraż one  w naprę ż eniach.  Te  ostatnie  w poł ą czeniu
z równaniami  równowagi  (2.4)  oraz z równaniem  przewodnictwa  cieplnego  (2.8)

(2.8)  vf 0* =  - W *

i z warunkami  brzegowymi  (1.6)  stanowią   naprę ż eniowe  sformuł owanie  problem u  mikro-
polarnej  termosprę ż ystoś ci.



N TE KTÓR E  Z AG AD N I E N U   TERMOSPRĘ Ż YSTOŚ CT  W  T AR C Z AC H   329

Wprowadzają c  reprezentację  naprę ż eń za pomocą  funkcji  F,  W  [1] w postaci

(2.9)

rozwią zanie  problemu w naprę ż eniach sprowadza  się  do rozwią zania  równań (2.10) i (2.8)
z odpowiednimi warunkami  brzegowymi.

VlVjF+2/ j.m Vf0*  =  0,
(2- 10)  V? ( l - /2 Vf) ^ = O ,

gdzie

m  =

Funkcje  F  i !f  oraz 0* zwią zane  są   zależ noś ciami  l

- dxil- PViYF  =  A8
2
VlF+B8

2
6*,

gdzie

( Ą + ^ ) ( y+g)
( 3 1 + 2 )  '

Inny  sposób  rozwią zania  zagadnienia  pł askiego  to  rozwią zanie  w przemieszczeniach-
obrotach.  Podstawiają c  do  równań  równowagi  (2.4)  zwią zki  (2.5)  i  wykorzystują c  defi-
nicję   (1.3) otrzymujemy  ukł ad równań  róż niczkowych

(2.12)  0« +  a)V?«ł +Pod
2
e*- 2ud

l
<pt  =   2/ md

2
6*,

[ ( y+ «) V!- 4a l9t f+ 2a ( 31H f- a2 iif)  =   0,
gdzie

Rozwią zanie  problemu w przemieszczeniach- obrotach sprowadza  się   do rozwią zania  rów-
nań  (2.12) i  (2.8) z warunkami  brzegowymi.

3.  Z agad n ien ie  t arczy  pół nieskoń czonej

Rozpatrzymy  zagadnienie tarczy pół nieskoń czonej x
±
  >  0 ograniczonej prostą  x

t
  =  0.

Przyjmujemy,  że na brzegu  Xi  =   0 dział a pole  temperatur  0&rf,  które  moż na  traktować
jako  superpozycję   dwóch stanów  obcią ż eń zgodnie z rys.  1.

D ział anie  stał ej temperatury  <  zgodnie z rys.  la  nie wywołuje  w  ciele naprę ż eń,

rozpatrzymy zatem tylko drugi skł adowy stan obcią ż enia zgodnie z rys.  lb.



330 K .  MAJORKOWSKA- KN AP

Rozwinię cie  temperatury  0(*X2) w  szereg  F ouriera  m a  postać

(3. 1 )

gdzie

n - l

„x
2
,  a„-   ,  n  =   1, 2, 3. . . ,

.  nnc
cos/ m sin-

nn  a

N a  brzegu  x
t
  — O  mamy  warunki  brzegowe

(3.2)  < r?i(O,*a)  =   O,  a h  (O, X3)  -   O,
=  0.

W  pierwszej  kolejnoś ci  rozwią zujemy  równanie  Laplace'a,  którym  staje  się   równanie prze-
wodnictwa  cieplnego  dla  omawianego  zagadnienia

(3.3)  V\ 6*  =   O

z warunkiem  brzegowym

(3. 4) 0*(0,x
2
)  =

i  warunkiem  regularnoś ci  dla  | J C I + X !|  - •  °o.
Z  (3.3) wyznaczymy  tem peraturę  8*(x

1
,  x

2
)  w  postaci

(3.5) 6*(x1,x2)  =

D la  wyznaczenia  stanu  naprę ż enia  wprowadzamy  funkcje  Fi<Ą,  które,  winny  speł niać
równania  (2.10).  Rozwią zanie  tych  równań  przyjmujemy  w  postaci

(3.6)  F  =  F'



N I E K T Ó R E  Z AG AD N I E N I A  TERM OSPRĘ Ż YSTOŚ CI  W  T AR C Z AC H   331

Zakł adamy, że  W   — 0, a funkcja  F' jest cał ką  szczególną   równania

(3.7)  V\ F'+2nmQ* =   0

z warunkiem  brzegowym  F'  — 0  dla  x
L
  =  0 i  warunkiem  regularnoś ci  dla  (xl+x

2
)  -» oo.

Temperatura  6*(x
t
,  x

2
)  wystę pują ca  w  równaniu  (3.7)  dana jest wzorem  (3.5). Wobec

tego  (3.7) przyjmuje  postać

(3.8)  ViF'  =   - 2
l

u ^

Z  rozwią zania  powyż szego  równania  róż niczkowego  czą stkowego  niejednorodnego  otrzy-
mujemy

co

(3.9)  F{XliXl)  ==   V  ^ -
n  1

F unkcje  i<", W   zwią zane  z  symetrycznym  tensorem naprę ż eń prowadzą   do  nastę pują-
cych  wzorów  na n aprę ż en ia:

0 0

i"l.3  =   ("23  =   0 .

F unkcje  F",  W " powinny  speł niać  równania

ViVlF "  -   0,
( 3< 11)  v?(i- /2vf)r'  =  o,
z warunkami  brzegowymi

(3.12)  ffii  +   ffl'i- 0,  ffia  +  (ri'2  =   0,  ^ ' 3  =   O,  dla  xx  =   0

oraz z warunkami  regularnoś ci  dla  (xl+xl)  - » oo.
Jednocześ nie  powinny  być  speł nione  zależ noś ci

(3.13)  2  2  ~
  2  2  „ '

Przy  przyję ciu  W   =   O  i  speł nieniu zależ noś ci  (3.13)  speł nimy zwią zki  zachodzą ce mię dzy
funkcjami  F i  !f  (2.11), gdyż

(3.14)
•   8

2
(AVlF+B0)  m  0,

d
x
(AVlF+JB0)  =   0.



332  K.  MAJORKOWSKA- KN AP

Zastosowanie  pojedynczych  szeregów  F ouriera prowadzi  do  nastę pują cych  wzorów  na
funkcje

< 3 - 1 5 >  '  -  M/ 2

• 2,  Qn  =

n =   l

Powyż sze  wzory  zawierają   nieskoń czenie wiele  stał ych  A„, B,„ C„,D„,  które  wyznaczymy
z warunków  brzegowych  (3.12)  oraz ze zwią zków  (3.13).

Z  warunku  brzegowego  fj,'i3\
Xl=0

  —  Omamy

(3.16)  u
n
C,,+

e
„D„  =   0.

Z warunku brzegowego  a'
n
  + a i ' i U 1 = 0  =   0, po uwzglę dnieniu  (3.16) mamy

(3.17)  A„  =   0,

a  z warunku  brzegowego  a'i2 + ̂ i2\ xi^ o =   0 otrzymamy

(3.18)  fimO
n
+al(B

n
- A„  + C„+D

n
)  =   0.

Zwią zki  (3.13) po  uwzglę dnieniu  (3.15) prowadzą   do

(3.19)  C„   - 2Aa2
n
B„  =  0 .

Z  czterech równań  (3.16),  (3.17),  (3.18),  (3.19) wyznaczymy  cztery  stał e cał kowania

(3.20)  A
n
  =   0,  B

n
  =  -   Ę OjL ,  C„  -   -   ~ixm%

n
,  D

n
  -   -

gdzie

P o  uwzglę dnieniu  (3.20) funkcje  F"  i  S3"" przyjmują   postać

(3.21)

Wzory  n a  naprę ż enia bę dą   nastę pują ce:

(3.22)  aji  B  - fan



N I E K T Ó R E  Z AG AD N I E N I A  TERM OSP RĘ Ż YSTOŚ CI  W  T AR C Z AC H 333

(3.22)  fffi  =

-  - %- '- *)] sin  a „ *2 ,

n= l

=   - 2/ mtA  y*- f- ttJe-a"Xi- —e- i>«xi\ cosa„

Ł atwo  zauważ yć,  że w przypadku  szczególnym  ciał a H o o ke'a, gdy  a  =   0(g
n
  =   «„, A

o
  =  1),

naprę ż enia  dą żą   do  zera.

Analiza  naprę ż eń  <rf2  dla  teorii  mikropolarnej.  Z badan o  zmienność  naprę ż eń  a*2 dla  punk-
tów  tarczy  o  współ rzę dn ych  x

1
  =   0  -H   2a,  x 2  =   0  i  o  współ rzę dnych  xx  =   0  •*•   2a,

x 2  =   3a.  Obliczenia  szczegół owe  przeprowadzon o  n a  elektronowej  maszynie  cyfrowej
«OD RA- 1204».

Z  uwagi  n a  br a k  dokł adn ych  wartoś ci  stał ych  materiał owych  przyję to  do  obliczeń:
a) dan e  z  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  (dla  beton u)

v  =   0,16

' =   0, 18.106[kG / cm 2]

«,  =   M 0 - 5 [ l / o C ]

E

2(1+ / M )
=   0,077- 107  [ r / m 2 ] ,

—- ^  =   0,036- 107  [T / m 2],

f/ SSm/ t "
8 > ^  [ T / ° c > m 2 ] ;

b) liczbowe  stosun ki  stał ych  sprę ż ystoś ci  wzorują c  się   n a  pracy  [5]

1
a  = y / «  =   0,0154- 107 [T / m 2]

y  = e  =   0,0154- 107[T] =   0 > 6 0 0



334 K.  MAJORKOWSKA- KN AP

Z mienność  naprę ż eń  przedstawiono  graficznie  n a  rys.  2.  D la  uproszczenia  przyję to

grubość  tarczy  równą   jedn oś ci.  W  in n ym  przypadku  należ ał oby  podzielić  otrzym an e  wy-

niki  przez  grubość  tarczy.

L =2a*- 2,0m L - 2a- 2,0m L=2a=2,0m

m
- 0,4726

- 0, 2755

- 0,1110

0,0036

0.0732

0,1202

0,1360

0,1363

0,1262

0.1105

Rys.  2

Analizują c  zmienność naprę ż eń a%%  dochodzimy  do nastę pują cych  wn iosków:

a) dla  pun któw  przekroju  o  współ rzę dnej  x
2
  =  0:  naprę ż enie  przyjmuje  najwię kszą

wartość  ujemną   w  punkcie  o  współ rzę dnej  jt t  =   0,  nastę pnie  zmienia  zn ak  w  punkcie

0  współ rzę dnej  x
t
  =   ~  0,4  m,  osią gając  najwię kszą   wartość  dodatn ią   w  pun kcie  o współ -

rzę dnej x
±
  =   0,7 m. Wraz z oddalan iem się  od obcią ż onego  brzegu  wartość n aprę ż eń zmniej-

sza  się , dochodzą c do  wartoś ci  bliskiej  zeru  w  pun kcie  o współ rzę dnej  x
t
  — 2a.

b)  dla  pun któw  przekroju  o  współ rzę dnej  x
2
  -   3a:  naprę ż enie  przyjmuje  najwię kszą

wartość  dodatnią   w  pun kcie  o  współ rzę dnej  x
t
  — 0,  zmienia  zn ak  w  pun kcie  o  współ -

rzę dnej  x
1
  =   ~  0,2  m  i  osią ga  najwię kszą   wartość  ujemną   w  pun kcie  o  współ rzę dnej

x
x
  =  0,4  m.  N astę pnie wartość  n aprę ż eń  zmniejsza  się   stopn iowo,  dochodzą c  do  wartoś ci

bliskiej  zeru  w  punkcie  o  współ rzę dnej  x
t
  =  2a.

Reasumują c  m oż na  stwierdzić,  że  uwzglę dnienie  niesymetrycznych  ten sorów  naprę ż eń

1  odkształ ceń w  oś rodku  m ikropolarn ym  prowadzi  do  zm ian  w  stanie  n aprę ż en ia  tarczy.

N aprę ż enia  ofx,  cr?2, af2,  o*t,  f*h>  / "fa.  P- ti, [i*2,  n ie  wystę pują ce  w  ciele  H o o ke'a  dla

danego  zagadnienia  wystę pują   w  oś rodku  C osseratów.  P rzedstawion e  wyniki  rozwią -

zania  numerycznego  pozwalają   n a  wycią gnię cie  wniosków  n atury  jakoś ciowej  (jedy-

nie)  z  uwagi  na  dobór  stał ych materiał owych  nie  potwierdzon y  badan iam i  doś wiadczal-

nymi.



N IEKTÓRE  ZAGADNIENIA  TERMOSPRĘ Ż YSTOŚ CI  W  TARCZACH   335

4.  D ział anie  ustalonego  ź ródła  ciepł a  na  pasmo  tarczowe

W  punkcie  (f t ,  0)  pasm a  tarczowego  dział a  ustalone  ź ródło  ciepł a  o  intensywnoś ci
W *(x

1
,x

2
,x

3
,)  =  W *d(x

1
- C

1
)d(x

2
).  Zakł adamy,  że  w  pł aszczyznach  ograniczają cych

tarczę  panuje  tem peratura zerowa  oraz naprę ż enia są   równe zeru. Mamy

(4.1) =   0 ,  af2  -   0 , =   0,  0*  =   0  dla  x,  =   ±~

Stan  obcią ż enia  termicznego  rozpatrujemy  superponują c  dwa  skł adowe  stany  obcią ż eń
zgodnie  z rys.  3.

W  pierwszej  kolejnoś ci  rozwią ż emy  zagadnienie  przedstawione  na  rys.  4  w  ukł adzie
współ rzę dnych x[,  x'

2
.

"o.

I

Rys.  3.

ji  4 -

4 4  „

Rys.>4.

Z  równania przewodnictwa  cieplnego

(4. 2) W *
h

Z  warunkiem  brzegowym  0*  =  0 dla  x[  =   0,  x[  =   a  wyznaczymy  funkcję   i



336  ,  K.  MAJORKOWSKA- KN AP

Stosując  kombinację  transformacji  skoń czonej  sinusowej  i  cosinusowej  cał kowej
F ouriera  do równania  (4.2) mamy

J
do

(4.3)  T / A  [  J  {Bl+SftB'Ot
'  do

oo  a

(*a)eoS|9*i<feS  J  3 ( *' - &) sin «„*{<&;.

o  co

Biorąc  p o d  uwagę,  że J  (5(xi — fŁ ) s in«„ a;i^i  =   s m« „ | l s  J  <5(# 2)cos/ ?X2<fa2  =  - x-,o  o  2
otrzymujemy  równanie  (4.2) w  czł onach  transformacji

-   («„ +/3- )e&.,/o -   -  - £ -y  —  — 2 — ' •(4.4)

skąd  wyznaczymy

(4.5)  0*  =   -   r •
k]/ 2n  {a„+p )

P o  wykonaniu  retransformacji  otrzymujemy  funkcję  d*(x[, x'
2
)  w  postaci

n= l  0  "  i

Zagadnienie  rozwią zywać  bę dziemy  w  przemieszczeniach  i  obrotach.  U kł ad  równań
róż niczkowych  (2.12)  moż na  rozwią zać  za  pomocą  potencjał ów  sprę ż ystych  [3],  korzysta-
jąc  z  moż liwoś ci  przedstawienia  wektora  «*  s  (uf,  wf,  0)  w  postaci  gradientu  pewnego
skalara  i  rotacji  pewnego  wektora.  Przyję cie

(4.7)  uf  =   8,0  + d
2
 W ,  uf  =   3

2
 0r-   8

X
 W

prowadzi  do  ukł adu równań  dla  funkcji  0,  cp%

V\ V\ 0- rN \ 6*  m  0,
( 4 8 )  v 2 r / 2 v 2 -
gdzie

F unkcja  W  wyraż ona  jest przez  qĄ  zgodnie  z  równaniem

(4.9)  V? y  = ~



N I E K T Ó R E  Z AG AD N I E N I A  TERM OSPRĘ Ż YSTOŚ CI  W  T AR C Z AC H   337

F unkcje  0  i  <p*  winny  speł niać również  zwią zki  Cauchy- Riemanna

H  r>
1 1  m  2  )H> %  ,

(4.10)

Rozwią zanie  ukł adu równań  (4.8) zł oż ymy z dwu  czę ś ci

(4.11)  0  = 0'+0",  cp%  =  <pf +  ę f.
Z akł adamy,  że  ę f  =   0,  a funkcja  0'  speł nia równanie

(4.12)  ,  Vl0'- nd*  =  0

z  warunkiem  brzegowym  0'  =   0  dla  x[  -   0,  x[  -   a.  Z  równania  (4.12)  otrzymujemy  po
uwzglę dnieniu  (4.5)

(4.13)  0'  =   -

P o  wykonaniu  retransformacji  n a  powyż szym  równaniu  otrzymamy

(4.14)
rt=   1

Zwią zane  z funkcją   0 '  naprę ż enia  bę dą

ofi  «  - —•  /   ———(l- a„ xź )sina„ fisina„ xi,
U  • (  i  Ot/ j

1

fffź  =

ff*2  =   crf i  SB  — x
2a

fĄ '
3
  =   ^   =  0 ,

gdzie  K  =   / inW / k.  N a  brzegach  x{  =   0,  *J  =   a  otrzymaliś my  of i  ==   0,  af
2
  i= 0,  n ato-

miast CT?2 =  CT*1 #   0.
D la  dwu  ź ródeł  ciepł a umieszczonych  symetrycznie  wzglę dem  osi  x

2
  zgodnie  z  rys.  3a

otrzymamy  w  ukł adzie  współ rzę dnych  x
x
,  x

2
  nastę pują ce  wzory  dla  naprę ż eń  ć rf2  na

brzegach
co

2Ka
2
  C

of2  =   ~̂-   J
o

gdzie

^ch cosh ySlicosh cach ^!  _  fia
>  f i)  ^ h ^ ,  >   tó  -   - T



338  R.  MAJORKOWSKA- KN AP

D la  dwu  ź ródeł  ciepł a umieszczonych zgodnie  z rys.  3b  otrzymamy analogicznie

co

o

gdzie

QUO,  £ 1 )  =  •
c o 2sh 2c o

D la  usunię cia  naprę ż eń  af'
2
  #   0  n a  brzegach  x

x
  =   ± a / 2 należy  do  stanu  naprę ż eń

af/ , fj.fi dodać stan naprę ż eń af",  / $"  okreś lony funkcjami  0",  <p%".
F unkcje  $ "  i  cp$" winny  speł niać  równania

V?V?< 2> "  = 0 ,

z  warunkami  brzegowymi

(4.17)  af i' =  O,  fffź +ofi'  = 0,  ^ ś ' = 0 dla x1 = ±  y .

Jednocześ nie powinny  być  speł nione równania

I"  =   0 ,
(4.18)

n  i

ni

D la  obcią ż enia zgodnie z rys.  3a  przyjmujemy

o

co

W  =  l / |   /   (c
Warunki  brzegowe wyraż amy  przez potencjał y sprę ż yste  0,  y  i  obrót  <p$  [3]

i  #2 ̂ ~   ^1 $ ) +  (^o + 2Ja)V
2
  0,

l
d

2
0+dl

x
P)- 2f

J
,{l

2
V

:
i-

o
(4.19)

of,  =

o ji  =

itp.,

gdzie  Ao  =

Z  warunków  brzegowych  (4.17) przy  wykorzystaniu  (4.20) i  ze zwią zków  (4.18) moż na
wyznaczyć  cztery  stał e^ał kowan ia M,  N ,  C, D,  a  nastę pnie obliczyć  naprę ż enia 'af," Jifi"
zwią zane  z funkcjami  0",  T jĄ ".



N I E KTÓR E  ZAG ADN IEN IA TERMOSPRĘ Ż YSTOŚ CI W TARCZACH   339

D la  obcią ż enia  zgodnie  z  rys.  3b  przyjmujemy

00

I "  =  l / —  f  (MshpXt+
*

  n  o

(4- 21)

J
P o  obliczeniu  stał ych  cał kowan ia  Af,  N ,  C,  D  z  warun ków  brzegowych  (4.17)  i  ze

zwią zków  (4.18) wyznaczymy zwią zane  z funkcjami  0",  q>%" naprę ż enia  £?$",  ftfi".

Rozwią zaniem  zagadn ien ia  wedł ug  rys.  3  bę dą  naprę ż enia  wyraż one  za  pomocą  wzo-

rów  (4.22)

* '  i  7 = * '  i  7 ; * "

C 4 2 2 )

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  W.  N OWACKI,  T heory  of  non- symetric  elasticity  (in  Polish),  PWN ,  Warszawa  1971.
2.  W.  N OWACKI,  Zagadnienia termosprę ż ystoś ci,  PWN ,  Warszawa  1960.
3.  W.  N OWACKI,  Plane problems  of  micropolar elasticity, Arch,  of  Mech.,  23,  5  (1971).
4.  K.  MAJORKOWSKA- KN AP,  Pł askie  zagadnienia mikropolarnej sprę ż ystoś ci, Praca  doktorska  zł oż ona

w  Bibliotece  G ł ównej  Politechniki  Warszawskiej,  Warszawa  1972.
5.  S.  KALISKI,  J.  KAPELEWSKI,  S.  RYMARZ,  Surface waves  on  an optical branch  in continuum  with  rotational

degrees of  freedom.  P roc.  Vibr.  P robl.,  2,  9  (1968).

P  e 3 K>  M   e

H EKOTOP BIE  BOI I P OC LI  T E P M O Yn p yr O Ć TH   M H KP On OJWP H LI X  flH CKOB

B  pa6oTe  pacciwaTpHBaioTCH   Bon pocbi  TepMHiecKHX  H anpH H cemrii  B  nony6ecKOHeiiHOM   ^HCKe
H   B flH CKOBoft n o jio ce.  I I p H  pemenH H  3aflaq  BBOH H TCH   cJiyHKi(HH  HanpH>KeHHH  3pH- MHHflJiHHa  H   yn p yr a e
noTeH i?H aJibi.  PeuieH H H  flH Cp(pepeH D ,H amH Ł ix ypaBH emrii  B  yacTiibix  npoH 3B0flH bix3  onH CbiBaromax
paccM aipuBaeM bie  3aflaMH3  n o n yiaiO T ca  6jia r o a a p a  npH M eneH ino  paflOB  O yp se  H  KOHe^Hbix  CHHycoBbicx

npeo6pa30BaH H H   4>ypi>e.

S u m m a r y

C ERTAIN   P ROBLEM S  O F   TH ERM OELASTICITY  I N   M ICROPOLAR  PLATES

Problems  of  thermal  stresses  in  a  semi- infinite  plate  and  in  a  plate  strip  are  considered  in  the paper.
The  solution  is  found  by  means  of  the  Airy- Mindlin  stress  functions  and  elastic  potentials.  The  partial
differential  equations  are solved  owing to the application  of  F ourier series and finite  sine  and cosine trans-
forms.

F I LI A  P O L I T E C H N I K I  WAR SZ AWSKI E J  W  P Ł O C KU   J

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 17  stycznia 1974  r.

9  M ech an ika  Teoretyczn a 3/ 74