Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  12  (1974) WYMIAN A  M ASY,  PĘ DU   I  EN ERG II  M IĘ D ZY  CZĄ STKĄ KU LISTĄ   A  OTOC Z EN IEM   G AZOWYM S T AN I S Ł AW  M A Y  ( W AR S Z AW A) 1.  Wstę p Jedn ym  z  istotn ych  problem ów  pojawiają cych  się   w  badan iach  przepł ywów  w  oś rod- kach  wielofazowych  jest  problem  wymiany  masy,  pę du  i  energii  mię dzy  poszczególnymi fazami.  Opis  m atem atyczn y  takiej  wymiany  w  przypadku  ogólnym  jest  niezwykle  zł oż o- ny.  Z adan ie  przyjmuje  jed n ak  znacznie  prostszą   postać,  gdy  poszczególne  fazy  wystę pują w  postaci  regularn ych  geom etrycznie  skupień,  n p.  w  postaci  czą stek  kulistych,  oraz  gdy rozpatrywać  zagadnienie  w  postaci  zlinearyzowanej. W  ostatn ich latach literatura dotyczą ca przepł ywów wielofazowych  rozwija  się   szczegól- nie  gwał townie. P owstał o wiele m odeli ruchu  oś rodka  wielofazowego.  Z samej  tylko  litera- tury  monograficznej  poś wię conej  przepł ywom  wielofazowym  wymienić  moż na  m.in. prace  [4,  6,  8,  14,  17, 22,  27].  Jedn ą   z  nowszych  jest  praca  SZAN IAWSKIEG O  [25], w  której dla  dość  ogólnego  przypadku  p o d an o  ukł ad  równ ań  rzą dzą cy  przepł ywem  oś rodka  wielo- fazowego.  P rzyję to,  że  oś rodek  skł ada  się   z  jednej  fazy  spójnej  i  pewnej  liczby  faz  roz- proszon ych,  przy  czym  w  każ dej  fazie  może  wystę pować  jeden  lub  wię ksza  liczba  skł ad- ników  chemicznych.  P o n ad t o  zał oż on o,  że  fazy  rozproszon e  wystę pują   w  postaci  jpewnej liczby  frakcji  —  każ da  frakcja  skł ada  się   z  kulistych  czą stek  o  identycznych param etrach (w  dan ym  miejscu  przepł ywu  i  w  dan ej  chwili).  U kł ad  równ ań  dla  przepł ywu  takiej  mie- szaniny  zawiera  równ an ia  opisują ce  zachowanie  mieszaniny  jako  cał oś ci,  jak  również równ an ia  opisują ce  zjawiska  t ran spo rt u  mię dzy  poszczególnymi  frakcjami  a  fazą   spójną (oddział ywania  bezpoś redn ie  mię dzy  fazami  rozproszon ym i  został y we  wspomnianym mo- delu pom in ię te). R ozpatrywanie  zjawisk  t ran sport u  upraszcza  się   istotnie, jeż eli  badać  zjawiska,  w  któ- rych  wystę pują   tylko  niewielkie  odchylenia  od  stan u  równowagi  termodynamicznej i  me- chan iczn ej.  Szukane  strum ien ie  term odyn am iczn e  są   wtedy  funkcjami  liniowymi  jedn o- rodn ym i  odpowiednich  sił  term odyn am iczn ych i  zadanie  wyznaczenia  takich funkcji  spro- wadza  się   do  znalezienia  odpowiedn ich  współ czynników.  Wartoś ci  tych  współ czynników zależą   od  skł adu  mieszaniny,  wachlarza  uwzglę dnianych  zjawisk  fizycznych  (lepkoś ć, przewodnictwo  cieplne,  dyfuzja,  termodyfuzja  itp.),  geometrii  przepł ywu,  zakresu  zmien- noś ci  param etrów  (zwł aszcza liczby  Kn udsen a). Z agadn ien iom  parowan ia  i  kondensacji  n a  kroplach  (dla  ustalenia  uwagi  bę dziemy uż ywać  term in u «kropla»  zam iast  «czą stka  kulista»,  aczkolwiek  wszystko,  co zostanie po- wiedziane  o  kroplach ,  odn osić  się   bę dzie  także  do  czą stek  kulistych  ciał a  stał ego, n a któ- rych  zachodzi  sublimacja  lub  kondensacja)  poś wię cono  już  wiele  prac.  C elem  niniejszej pracy  jest  krótkie  lecz  systematyczne  przedstawienie  istnieją cych  wyników  w  zakresie teorii zlinearyzowanej,  a  także —  t am ; gdzie  to bę dzie  niezbę dne —  ich rozszerzenie i adap- 314  S.  M AY towanie  do  takiej  postaci,  która  stanowił aby  uzupeł nienie  ukł adu  równ ań  przepł ywu mieszaniny  podanego w  [25]. W  dalszym  cią gu  bę dziemy  zajmować  się   zadaniem ,  w  którym  pojedyncza  kulista kropla  porusza  się   w  nieskoń czonym  oś rodku  gazowym  jedn oskł adn ikowym  (para),  lub dwuskł adnikowym  (para  +   gaz,  nie  biorą cy  udział u  w  przem ianie  fazowej).  Ograniczymy się   do  przypadku  ustalonego,  ponieważ  przy  niewielkich  odchyleniach  od  stan u  równo- wagi  termodynamicznej  i  niewielkich  prę dkoś ciach  wzglę dnych  kropel,  szybkoś ci  paro- wania  i kondensacji  są   także  mał e,  co pozwala  traktować  zjawiska  nieustalone jako  quasi- ustalone. 2.  P odstawowe  zależ noś ci  ogólne Jak  już  wspomnieliś my,  istotn ym  param etrem  od  którego  zależy  obraz  zjawiska,  jest liczba  Knudsena  K n  =   ljr 0 ,  gdzie  /  jest  ś rednią   drogą   swobodną   czą steczek,  r 0   zaś  pro- mieniem  kropli.  D rogę   swobodną   okreś limy  za  pomocą   kinem atycznego  współ czynnika lepkoś ci  v  (p. n p.  [5]) Ż -  — gdzie  o jest  prę dkoś cią   ś rednią   czą steczek v  = n Z atem  dla  oś rodka  skł adają cego  się   tylko  z  pary,  liczba  K n udsen a  wyraża  się   w  postaci Kn„   sa  — ' M oż na  za  pomocą   analogicznego  wzoru  okreś lić  liczbę   K n udsen a  dla  mieszaniny 2R m T   ' należy  jedn ak  pam ię tać,  że  wprowadzon a  przez  ten  wzór  «droga  swobodna»  czą steczek w  mieszaninie  m a  charakter  umowny.  W  powyż szych  wzorach  i  niż ej  wskaź nik  v  wystę - puje  przy  wielkoś ciach  dotyczą cych  pary,  wskaź nik  m  przy  odpowiedn io  uś rednionych wielkoś ciach  odpowiadają cych  gazowi  dwuskł adnikowem u.  P ominię cie wskaź ników  v  lub m we  wzorze  wskazuje,  że  odpowiedni wzór  odnosi się   do  gazu  zarówn o jedn o- , ja k  i  dwu- skł adnikowego. W  dalszym  cią gu  bę dziemy  rozważ ać  bezwymiarowe  sił y  i  strum ienie term odyn am icz- ne.  Jako  wielkoś ci  odniesienia  dla  strumieni  term odyn am iczn ych  przyjmiemy  strumienie przenoszone  przez  padają ce  n a  powierzchnię   czą steczki  o  rozkł adzie prę dkoś ci  M axwella. Tak  okreś lone  jedn ostkowe  strumienie  masy,  energii  i  pę du  mają   odpowiedn io  postać nastę pują cą   (p. n p .  [11]): gdzie p  oznacza  ciś nienie,  T —  tem peraturę ,  R  —  sfał ą   gazową ,  «  —  wykł adn ik  adiabaty. WYM I AN A  MASY,  P Ę DU   I  E N E R G I I  315 Zastę pując  w  powyż szych  wzorach  wskaź nik  v  przez  m  otrzymamy  odpowiednie  wyraż e- nia  dla  mieszaniny.  Bezwymiarowe  strumienie  termodynamiczne  moż emy  teraz  okreś lić wzorami J  E  P Ą jzroJ'  4ra'o£   '  AnrlP Strumień  energii  w  gazie  m oż na przedstawić jako  sumę  2 skł adników:  strumienia  ciepł a  Q (tzn.  strumienia  energii  w  ukł adzie  ś rodka  masy)  i-  konwekcyjnego  strumienia  energii (1)  E  =  Q + c p T J. Wprowadzimy  także  bezwymiarowy  strumień ciepł a  ą AnrlE  ' Jako  sił y termodynamiczne przyjmiemy  3 niezależ ne  wielkoś ci: Wskaź niki  vii  odnoszą  się  odpowiednio  do  pary  i  cieczy, p s (T ,)  oznacza  prę ż ność  pary nasyconej  w tem peraturze powierzchni kropli, Au  —  prę dkość kropli wzglę dem  gazu  w nie- skoń czonoś ci.  Wszystkie  3  wprowadzone  wyż ej  wielkoś ci  są  w  myśl  przyję tych  zał oż eń dużo  mniejsze  od  1. Z  termodynamiki  wiadom o,  że  przy  niewielkich  odchyleniach  od  stanu  równowagi strumienie  termodynamiczne wyraż ają  się  liniowo  przez  odpowiednie  sił y termodynamicz- ne, przy  czym  (w  oś rodku  izotropowym)  sił y termodynamiczne bę dą ce  tensorami róż nych rzę dów  nie  mogą  wystę pować  w  tym  samym  wyraż eniu  liniowym.  Otrzymujemy  więc zwią zki: i  =   AAT +BAp,  e  =  CAT +DAp,  IJ  =   Hń U. Korzystając  z  równoś ci  (1) m oż na  zamiast  strumienia  energii  wprowadzić  strumień  ciepł a q=KAT +L Ap. Tak  więc  w  przybliż eniu  liniowym  wymiana  masy  i  energii  (lub  ciepł a) z jednej  strony, a  wymiana  pę du  z  drugiej  strony  nie  są  ze  sobą  sprzę ż one  (zależą  od róż nych sił  termody- namicznych).  Znaczy  t o ,  że  dla  kropli  poruszają cej  się  z  niewielką  (wzglę dem  prę dkoś ci termicznej  czą steczek), prę dkoś cią,  strumienie masy  i  energii  są  identyczne, jak  dla  kropli spoczywają cej,  jednocześ nie  zaś  sił a  oporu  przy  ruchu  kropli  parują cej  jest  identyczna z  oporem, jaki  doznaje  czą stka  nie wymieniają ca  masy  i  energii. Z  ogólnych  rozważ ań  termodynamicznych  wynika,  że  współ czynniki  w  zwią zkach liniowych  mię dzy  sił ami  i  strumieniami  termodynamicznymi  są  powią zane  przez  pewne zależ noś ci.  Zależ noś ci  te  przybierają  szczególnie  prostą  postać  (zależ noś ci  symetrii  Onsa- gera),  gdy  sił y  i  strumienie  termodynamiczne  są  odpowiednio  dobran e  (sprzę ż one);  taka sytuacja  zachodzi  n p.  wtedy,  gdy  dla  sił   termodynamicznych  AT   i  Ap  jako  strumienie termodynamiczne przyjąć  J  oraz Q,  Zwią zki  mię dzy  sił ami i  strumieniami termodynamicz- nymi  oraz  zależ noś ci  Onsagera  dla  zjawisk  tran sportu w  oś rodku  wielofazowym  omówió- 316  S.  M AY no  bliż ej  w  [25]. W  naszych  oznaczeniach zależ noś ci  mię dzy  współ czynnikam i fenomeno- logicznymi  przyjmują   postać 2  %- \ A W  nastę pnych  rozdział ach  rozpatrzym y  bliż ej  współ czynniki  fenomenologiczne  dla kropli  w  róż nych zakresach  liczb  Kn udsen a. 3.  Krople  m ał e  (Kn §> 1) W  tym  przypadku  zjawiska  tran sportu  przebiegają   w  warun kach  swobodnie  moleku- larnych,  co znacznie upraszcza  analizę   zagadnienia.  Pierwsze  próby  rozpatrywan ia  zjawisk w  tym  zakresie  znane  są   ju ż  od  dawna  (LAN G M U IR,  H E R Z ,  K N U D SE N ,  E P ST E I N ;  por.  [7, 9,  10]), jednakże  peł niejszą   analizę   procesów  wymiany  mię dzy  kroplą   mał ą   a  otoczeniem zawierają   dopiero stosunkowo  niedawne prace  BROCKA  [1, 2]  (dla  oś rodka wieloskł adniko- wego),  a  także  KON ORSKIEG O  [12]  i  SZAN IAWSKIEG O  [24]  (dla  oś rodka jednoskł adnikowe- go). D la  duż ych  liczb  Kn udsen a  o  intensywnoś ci  wymiany  mię dzyfazowej  decydują   wy- ł ą cznie  zjawiska  zachodzą ce  n a  powierzchni  rozdział u  faz.  D o  uję cia  tych  zjawisk  sł użą współ czynniki  kondensacji  cc, akomodacji  energii  fS e  i  akom odacji  pę du  ji p .  Przyjmuje  się że  czę ść  (a)  czą steczek  padają cych  na  powierzchnię   zostaje  poch ł on ię ta  przez  ciecz, po- został a  zaś  czę ść  ulega  odbiciu  od  powierzchni.  P onieważ  dysponujemy  tylko  ograniczo- nymi  informacjami  o  energii  i  pę dzie  czą steczek  odbitych  od  powierzchni,  przyjmuje  się zazwyczaj,  że  ich  wartoś ci  są   zawarte  mię dzy  wartoś ciami  skrajnymi  odpowiadają cymi odbiciu  zwierciadlanemu  i  dyfuzyjnemu,  przy  czym  zm ian a  wartoś ci  poszczególnych strumieni  przy  odbiciu  scharakteryzowana  jest  przez  odpowiedn i  współ czynnik  adaptacji zawarty  mię dzy  0  a  1.  Współ czynniki  te  okreś lone  są   nastę pują cymi  równ oś ciam i: W  powyż szych  wzorach  S  oznacza  ś rednią   energię ,  0> ś redni  m oduł   pę du  przypadają ce na  jedną   czą steczkę,  wskaź nik  i dotyczy  czą steczek  padają cych  n a  powierzchnię ,  wskaź nik /•  —  czą steczek  odbitych,  wskaź nik  s  charakteryzuje  strum ień  bę dą cy  w  równowadze z  powierzchnią .  N iekiedy  czyni  się   rozróż nienie  mię dzy  współ czynnikam i  akomodacji fł r   skł adowej  stycznej  pę du  i  /?„  skł adowej  norm alnej  pę du in ̂ nr ni < s ns a  także mię dzy współ czynnikami akomodacji  / ?w wewnę trznych  stopn i swobody  i  / ?(1.energii ruchu  postę powego K = 1 wi ® wr a ® tri ® trr WYM I AN A  MASY,  P Ę DU   I  E N E R G I I 317 Wś ród  czą steczek  poruszają cych  się   od  powierzchni  kropli,  oprócz  czą steczek  odbi- tych,  wyróż nia  się   także  czą steczki  emitowane  przez  ciecz.  Wł asnoś ci  czą steczek  emito- wanych  zależą   wył ą cznie  od  param etrów  powierzchni  cieczy,  nie  zależą   natomiast  od pa- rametrów  czą steczek  padają cych  n a  powierzchnię   cieczy  (w  szczególnoś ci  emisja  z  po- wierzchni  zachodzi  także  i  wtedy,  gdy  n a powierzchnię   nie padają   ż adne czą steczki).  Stru- mienie masy,  energii  i  skł adowych  pę du przenoszone przez  czą steczki  emitowane  są   równe co  do  moduł u  odpowiednim  strumieniom przenoszonym  przez  czą steczki  padają ce  w  wa- runkach  równowagi. Tablica  1 Strumień masy i Strumień energii e Strumień p ę d u iT Brock  [1],  [2] - «.Ap+  —AT — AU Konorski  [12] - a.Ap+  —A T 2 — uAp K , . „ - „ ]. Szan iawski  [24] — ocAp l  o  l  A- 4- i L  '  2  ' W  tablicy  1  podan o  w  ujednoliconym  zapisie  wyraż enia  dla  strumieni  otrzymane w  [1, 2,  12,  24]  dla  mał ych  róż nic  ciś nień  i  tem peratur  i  dla  mał ych prę dkoś ci  (wyniki BROCKA  zlinearyzowano  n a  uż ytek  tej  pracy).  Przyrosty  Ap  i  AT   są   bezwymiarowymi róż nicami  ciś nień i tem peratur AT   = T .- T x Wskaź niki  v  i  /   odnoszą   się   odpowiednio  do  pary  i  powierzchni  cieczy,  p s (T i)  oznacza prę ż ność  pary  nasyconej" odpowiadają cą   temperaturze  T u   zaś  prę dkość  bezwymiarowa AU  =   — — ,  gdzie Au  oznacza  prę dkość  kropli  wzglę dem  pary, jest  dużo mniejsza  od  1. Porównują c  wyniki  róż nych  autorów  zawarte  w  tabl.  1 należy  stwierdzić  co  nastę puje: 1.  Wyraż enie  dla  strumieni  masy  są   we  wszystkich  przypadkach  identyczne i  stanowią zlinearyzowaną   postać znanego  wzoru  H erza- Knudsena. 2.  D la  / 3W =   / S,M wyraż enia  dla  strumienia  energii  także  są   identyczne. 3.  D la  /?„  =   /fT)  wyraż enie  dla  strumienia pę du  z  [12] róż ni się   od  odpowiednich  wyra- ż eń  z  [2]  i  [24].  Ponieważ  mię dzy  omawianymi  pracam i  brak  róż nic modelowych  uspra- wiedliwiają cych  podobn ą   rozbież noś ć,  za  ź ródło  rozbież noś ci  uznać  należy — zdaniem autora —  bł ę dy rachunkowe w  [12]. 318  S.  M AY 4.  Krople  duże  (Kn  <§ 1) Z e wzglę du  n a  istotną   rolę   mechanizmów kinetycznych  w  procesach  wymiany,  zacho- dzą cych  n a  powierzchni  kropli,  nawet  dla  Kn  ^  1  nie  zawsze  moż liwy  jest  opis procesów towarzyszą cych  przemianie  fazowej,  oparty  wył ą cznie  n a  równ an iach  oś rodka  cią gł ego. M oż na  wtedy  1"  opisywać  zjawiska  tran sportu  w  cał ym  obszarze  otaczają cym  kroplę za  pomocą   równań  kinetycznych,  bą dź  też  2°  przyją ć  istnienie  przy  powierzchni  kropli cienkiej  —  o  gruboś ci  rzę du  kilku  dróg  swobodnych  —  warstwy,  rzą dzonej  przez mecha- nizmy  kinetyczne  (warstwa  Kn udsen a),  a  w  obszarze  poza  warstwą   stosować  równania oś rodka  cią gł ego. Sytuacja jest  odm ienna w  oś rodku jedn oskł adn ikowym  i wieloskł adnikowym .  W  oś rod- ku  wieloskł adnikowym  czynnikiem  ograniczają cym  strum ień  masy  jest  dyfuzja,  procesy kinetyczne  przy  powierzchni  duż ej  kropli  nie mają   wpł ywu  n a  strum ień  masy.  Wpł yw  tych procesów  pojawia  się   dopiero  wtedy,  gdy  rozmiary  kropli  są   porówn ywaln e  ze  ś rednią drogą   czą steczek  w  gazie.  Inaczej jest  w  oś rodku  jedn oskł adn ikowym ,  warstwa  kinetyczna może  mieć  tam  istotne znaczenie  nawet  w  przypadku  powierzchni  pł askiej. Rozpatrzymy  najpierw  oś rodek  jedn oskł adn ikowy.  Pomijają c  wpł yw  niewielkiej  krzy- wizny  moż na  traktować  warstwę   Kn udsen a  przy  powierzchni  duż ej  kropli  analogicznie do  warstwy  przy  powierzchni  pł askiej.  M echanizmy  rzą dzą ce  warstwą   pł aską   badali SCH RAG E  [18],  K U C Z E R OW  i  RIKIEN G ŁAZ  [13],  M U R ATOWA  i  Ł ABU N C OW  [16].  Metody stosowane  przez  poszczególnych  autorów  są   z  koniecznoś ci  uproszczon e,  oparte  n a  mniej lub  wię cej  arbitralnych  zał oż en iach; nic  też  dziwnego,  że  i  wyniki  nie  są   identyczne. SCH RAG E  przyjmuje,  że  funkcja  rozkł adu  prę dkoś ci  czą steczek  bezpoś rednio  przy  po- wierzchni  m a  postać  maxwellowska  o  prę dkoś ci  m akroskopowej  prostopadł ej  do  po- , wierzchni.  Z wrot  wektora  prę dkoś ci  zależy  od  rodzaju  procesu  fizycznego  —  parowania lub  kondensacji.  N a  podstawie  przyję tej  funkcji  rozkł adu  w  [18]  znaleziono  strumień masy  czą steczek  padają cych  n a  powierzchnię   od  stron y  pary.  Z nają c  strum ień  masy  czą - steczek  emitowanych  przez  powierzchnię   (zależ ny  tylko  od  wł asnoś ci  powierzchni)  wyzna- czono  wypadkowy  strumień  masy.  W  tablicy  2  po dan o  zależ ność  strum ien ia  masy  od mał ych  róż nic ciś nienia  i tem peratury  n a  warstwie: A n — P"1 ~Ps(Tl)  |  „ Ty j — Tl 11 lP   =   ,  L X  I  1  —  —  —  . Pvca  1  fco Wielkoś ci  p 01   i  T vi   oznaczają   ciś nienie  i  tem peraturę  n a  brzegu  warstwy  Kn udsen a. Róż- nica  mię dzy  przemianą   fazową   n a  powierzchni  kropli  w  warun kach  swobodn ie  moleku- larnych  a przemianą   fazową   n a  powierzchni pł askiej  polega  m .in. n a tym , że  w  przypadku pierwszym  funkcja  rozkł adu prę dkoś ci  czą steczek  odpowiada  spoczynkowi  (czą steczki  pa- dają   n a  powierzchnię   z  nieskoń czonoś ci), w  drugim  n atom iast  czą steczki  padają ce  na po- wierzchnię  uczestniczą   w ruchu m akroskopowym  o prę dkoś ci  prostopadł ej do powierzchni. Wskutek  tego  odpowiednie współ czynniki  w  wyraż eniu  dla  strum ien ia masy  są   w  przypad- ku  drugim  wię ksze niż w  przypadku  pierwszym  (dla  a  — 1 —  dwukrotn ie  wię ksze). P odobn ą   m etodę   zastosowano  w  pracy  [13].  Autorzy  przyję li  t u  funkcję   rozkł adu prę dkoś ci  czą steczek  w  przybliż eniu  13 m om en tów i  wyznaczyli  strum ienie masy  i  energii. Jednakże  w  przybliż eniu  liniowym  rozkł ad taki  sprowadza  się   d o  maxwellowskiego  i  wy- niki  (we  wspólnym  zakresie)  są   identyczne jak  w  [18]. WYM I AN A  MASY,  P Ę DU   I  E N E R G I I 319 Inny,  nie  tak  uproszczony,  sposób  postę powania  przyję li  autorzy  [16]. Zamiast zakł a- dać  gotową   funkcję   rozkł adu  prę dkoś ci  czą steczek  przy  powierzchni  kropli,  zastosowali oni  metodę   momentów  do  rozwią zywania  równania  Boltzmanna  (a  także  równania mo- delowego  Krooka)  w  przybliż eniu  liniowym.  Z adanie  to  rozwią zano  w  wielu  wersjach w  przybliż eniu  6  i  8  momentów,  dobierają c  róż ne  kombinacje  momentów. Jako  funkcję rozkł adu  przyję to  w  przybliż eniu  6  momentów  «dwustronny  maxwellian»  (o  róż nych parametrach  w  2  róż nych  pół przestrzeniach  prę dkoś ci,  odpowiadają cych  ruchowi  czą - Tablica  2 Strumień  masy / Strumień  energii  e dla  - «  =  J,  Pe  =   1 Strumień  ciepł a  q dla - fft-I Schrage [18] 2a / I *  n- ł- 2 - a  iP  + a. 1  2 - a  X '  — — Kuczerow, Rikiengł az  [13] dla  a  =   1 dla  a  =   1 dla  a  =   1 1  9 2  4  X Muratowa,  Łabuncow [16] 2,21a 2, 21- a - l, 8 3 4'u>+ 0 , 72 2,30a 2, 21- a  ' 0,47a 2, 21- a  l j l d  P- i-   °' 91a  i  r 2, 21- a 'A L T   dla  a  =   1 3,65- 2,59a   Ą P  2, 21—a  x  ' i^ljT  d la a  =   l 3, 65- l, 45a 2, 21- a  X  ' i T  dla  a  =   1 steczek  ku  powierzchni  i  od  powierzchni), w  przybliż eniu  8  momentów takiż  maxwellian mnoż ony  przez  pewien  wielomian  skł adowych  i/ lub  moduł u  prę dkoś ci.  Przyję to  także maxwellowski  potencjał  oddział ywania wzajemnego  czą steczek. N ajlepsze  z  otrzymanych  w  [16]  wartoś ci  współ czynników  (rekomendowane  przez autorów) podan o we  wzorach  w  tabl.  2.  Ogólnie  stwierdzić  należ y,  że rozbież noś ci mię dzy poszczególnymi  wersjami  (odpowiadają cymi  róż nym zestawom  momentów i  róż nym rów- n a n io m —  Boltzm ann a  i  K rooka)  są   niezbyt  duże —  mniejsze  niż  rozbież noś ci  mię dzy wynikami  [16] i  [13]. Otrzymane  w  wymienionych  pracach  zależ noś ci  liniowe  mię dzy  strumieniami  masy i  ciepł a  (lub  energii)  a  róż nicami  ciś nienia  i  tem peratury  n a  warstwie  Knudsena moż na przedstawić  w  postaci  ogólnej (2)  A x p  =  Ai+Bq,  AxT Stosują c  zależ noś ci  tego  typu  dla  warstwy  przy  powierzchni  duż ej  kropli  spróbujemy wyznaczyć  w  sposób  uproszczony  liniowe  zależ noś ci  strumieni  masy  i  ciepł a  od  róż nic ciś nienia  i  tem peratury  mię dzy  nieskoń czonoś cią   a  powierzchnią   kropli  ̂ = 320  S.  M AY N a  zewną trz  warstwy  przyjmiemy  równania  oś rodka  cią gł ego  w  postaci (3) 2  *  dp  du  . Q U r 2  =   COnSt,  - y-  + QU~y-   — 0, Rozwią zując  ukł ad  tych  3  równań  wraz  z  równaniami  C lapeyrona  i  F ouriera  znajdujemy dla  mał ych róż nic ciś nienia i temperatury (4) gdzie Pvaa   x  co % e  r  ^  1. x — l  P r Liczbę   P randtł a  moż na wyrazić  w  sposób  przybliż ony  przez  wykł adnik  adiabaty K  9% —  5 gdzie  k  oznacza współ czynnik  przewodzenia  tem peratury. Róż nice  (bezwymiarowe)  ciś nienia  Ap  i  temperatury  AT   mię dzy  nieskoń czonoś cią a  powierzchnią   kropli  otrzymujemy  dodają c  odpowiednie  przyrosty  wyznaczone  przez (2) i (4).  Jeś li  pominą ć  w  otrzymanych  wyraż eniach  wielkoś ci  mał e  wyż szego  rzę du,  to otrzymujemy  ukł ad  równań  liniowych  wzglę dem  /  oraz  q,  którego  rozwią zanie  ma  postać N ależy  zauważ yć,  że  pominię cie  wyrazów  mał ych  wyż szego  rzę du  doprowadził o  do  wy- niku  (5), który  moż na  otrzymać  także  prostszą   drogą ,  zastę pując  ukł ad  (3)  przez  samo tylko  równanie przewodzenia  ciepł a. Ponieważ  współ czynniki  A,  B,  C  są   rzę du  1,  zaś s <ś  1,  przeto  z  (5) wynikają   2  przy- padki  szczególne: 1. eZlTjest  mał ą   rzę du wyż szego niż Ap,  wtedy Strumień masy  i zależ y  tylko  od róż nicy  ciś nień i jest  dużo wię kszy  od  strumienia  ciepł a q. 2.  Ap  i  eAT ś ą .  tego  samego  rzę du  (AT   >  Ap),  wtedy (7)  i^ ^ +ZlAT ,  q=- eAT . Strumień  ciepł a jest wyznaczony  wył ą cznie przez przewodnictwo  w  obszarze  zewnę trznym. Przyrosty  ciś nienia  i  temperatury  w  warstwie  powierzchniowej  są   mał ymi rzę du wyż szego niż przyrost  temperatury poza warstwą . WYM I AN A  MASY,  P Ę DU   I  E N E R OI I  321 D otychczas  był a  m owa  o  tran sporcie  masy  i  ciepł a  w  oś rodku  jednoskł adnikowym. Prostszy  i  mniej  kontrowersyjny  jest  opis  zjawisk  tran sportu  w  oś rodku  dwuskł adniko- wym.  Strumień  ciepł a  jest  wtedy  dan y  przez  równ an ie  przewodnictwa  i  ma  postać  iden- tyczną   jak  w  (7),  strum ień  m asy  n atom iast  jest  okreś lony  przez  wzór  Stefana  (p.  [9]): J  =   - 47tr 0 N Dm v   Inf 1  -   • %•) —ln ( l — N gdzie  m  oznacza  m asę   molową ,  D  —  współ czynnik  dyfuzji,  N —zaś  stę ż enie  molowe, przy  czym  N v   +N g   — N   «  const,  wskaź nik  0  przy  N v   i  Q V   odpowiada  wartoś ciom  tych wielkoś ci  przy  powierzchn i  kropli.  Wzór  Stefana  dla~rr^- -> 0  przechodzi  w  znany  wzór M axwella J  — — Anr Q   D{Q m   —  Q VO )  . N ależy jedn ak  zauważ yć,  że  wzór  Stefana  nie  zapewnia  poprawnego  przejś cia  granicznego dla Ę f  -> 0. Strumień  pę du  niezależ nie  od  liczby  skł adników  w  oś rodku jest  dla  K n  4  1  okreś lony przez  wzór  Stokesa P  =   6nr 0 QvAu. Jeż eli  zam iast  /   i  P  wprowadzić  strumienie  bezwymiarowe  i  oraz II,  to  wzory  Stefana i  Stokesa  przyjmują   p o st ać : /  =   - 2 Kn v  m  \   \   N 5.  Zakres  poś redni Z adan ie  opisu  zjawisk  t ran spo rt u  wokół   parują cej  kropli  jest  najbardziej  zł oż one w  zakresie  poś redn ich  liczb  K n udsen a,  gdzie  zawodzi  zarówno  model  swobodnie  mole- kularny, ja k  i  m odel  oś rodka  cią gł ego.  Wachlarz  m etod analitycznych  stosowanych  w  tym zakresie  jest  bardzo  rozległ y.  Jedn ym  z  bardzo  prostych,  a  zarazem  dość  uniwersalnym sposobem  jest  zastosowan ie  tzw.  uniwersalnego  wzoru  SHERMAN A  [21],  który  w  wielu przypadkach  daje  zadowalają ce  wyniki.  Z godnie z  tym  wzorem  pewną   wielkość  0  opisują - cą   zjawiska  t ran spo rt u w  gazie  m oż na przedstawić  w  postaci ( 8 )  ś> =   - gdzie  wskaź niki  c i k  odnoszą   się   odpowiednio do  modelu cią gł ego  i swobodnie  molekular- nego.  Wzór  ten  zawiera  poś redn io  liczbę   Kn udsen a  i  zapewnia  przejś cie  cią głe  od  warun - ków  swobodnie  m olekularn ych  d o  oś rodka  cią gł ego. 322  S.  M AY N iż ej  rozpatrzymy  kolejno  róż ne  m etody  i  otrzym an e za ich  pom ocą   wyniki  dla  stru- mieni  masy,  ciepł a i pę du. Strumień  masy.  SH AN KAR  [19] wyznaczył   strum ień  m asy  przy  parowan iu  (kondensacji) kropli  w  oś rodku  jedn o-   lub  dwuskł adnikowym  w  szerokim  zakresie  liczb  Knudsena. Przyję ta  przez niego m etoda polega  n a zastosowaniu  uję cia  kinetycznego  w cał ym  obszarze otaczają cym  kroplę ,  a  nie tylko  w  cienkiej  warstwie  przy  powierzchni  cieczy.  SH AN KAR rozwią zuje  równanie Boltzm anna metodą  m om entów Leesa.  F un kcja rozkł adu dla  każ dego ze  skł adników  m a postać  rozważ anego  już  poprzedn io  «dwustronnego  maxwellianu», którego  jeden  czł on  obowią zuje  wewną trz  pewnego  obszaru  przestrzeni  prę dkoś ci zwa- nego  «stoż kiem  widzenia»,  drugi  zaś n a zewną trz  tego  obszaru.  D la każ dego  ze skł adni- ków  wystę pują   4  niewiadome  (wielkoś ci  typu  gę stoś ci  i  tem peratury  w  każ dej  z 2  czę ś ci przestrzeni  prę dkoś ci).  Odpowiedni  ukł ad  4  (dla  każ dego  ze skł adn ików  równ ań )  zawiera oprócz  trzech  m om entów  podstawowych  także  strumień  ciepł a  jako  m om en t  rzę du  wyż- szego.  R ównania  rozwią zywane  są  w przybliż eniu  liniowym.  Przyjmuje  się , że przy  oddzia- ł ywaniu z powierzchnią   kropli  czą steczki  gazu  nie biorą cego  udział u w przem ian ie  fazowej ulegają   odbiciu  dyfuzyjnemu,  n atom iast  dla czą steczek  pary  istnieje  pewien  nieokreś lony współ czynnik  kondensacji  i  współ czynnik  akom odacji  energii.  Z akł ada  się  maxwellowski model  oddział ywania  wzajemnego  czą steczek.  P o n ad t o przyjmuje  się , że tem peratury  obu skł adników  są  jedn akowe,  co pozwala  n a  pominię cie jedn ego  z 8 równ ań . D la  strumienia  masy  SH AN KAR  otrzymuje  zależ ność \ ń T - {\ +c 5 W ,+c 6 W a ,)Ap W   l+c 1 W v +c 2 W . e +c 3 W ,W . t   + CtW * l   ' gdzie Po*  ~Ps(T i)   Arr ,  T m  —  T i Apm W  ml  W YY   v   i  YY  VQ  — nD  n u +n g *i  -   - 5  im v +m g   nig  m v +m g   (m„+m g y  J 5  j_  m v +m g   A x   m g +m„  (m g +m v ) 2   \ 5 m„]/ m g m 0   I  _  A 2 \ (m v +m g y  V  A,  j ' 6  K  T5^ c 2  m   b 3 ~- L WYM I AN A  MASY,  P Ę DU   I  E N E R G I I  323 W  powyż szych  wzorach  /  ozn acza  ś rednią   drogę   czą steczek  pary  w  nieobecnoś ci  drugiego skł adn ika gazowego,  n —  gę stość  liczbową , D  —  współ czynnik dyfuzji,  m —  masę  czą stecz- kową .  Stał e  Ai  i  A 2   są   wyznaczone  z  cał ek  zderzeń, wartoś ci  tych  stał ych nie  został y po- dan e  w  pracy  [19].  Au t o r  odsył a  czytelnika  do  swej  wcześ niejszej,  trudn o  dostę pnej  pra- cy  [20]. Z badajmy  w  co  przech odzi  wzór  (9)  w  przypadkach  asyjnptotycznych.  W  warunkach swobodnie  m olekularn ych  (W „ - *•   0,  W vg   - »  0)  otrzymujemy  zależ ność identyczną   z odpo- wiednim wzorem w tabl.  1. Obecn ość dodatkowego  skł adnika gazowego nie m a zatem wpł y- wu  n a  strumień  masy. D la  kropel  duż ych  w  oś rodku  dwuskł adnikowym  (W v ~>  oo,  W vg   - *  co) wzór  (9)  prze- chodzi  we  wzór  M axwella  z  poprawką   hydrodynam iczną .  W  przeciwień stwie  do  wzoru Stefana,  wzór  (9)  zapewn ia  sensowne  przejś cie  od  oś rodka  dwuskł adnikowego  do jedn o- skł adnikowego. D la  kropel  duż ych  w  oś rodku jedn oskł adn ikowym  (W v   - »  oo, W vg   ~*  0) wzór  (9) upra- szcza  się   do  postaci Strumień  masy  n ie zależy  w  tym przypadku  od róż nicy tem peratur. P odobną  zależ ność otrzymaliś my ju ż  poprzedn io  (p. (6)). Jeż eli  ze zwią zków  (2) i tabl. 2 wyznaczyć  wartość  A, to  okazuje  się , że  dla  a  =   ji e   =   1 otrzymujemy  l/ A  =   - 2 ,9  n a  podstawie  [16] oraz  IIA  = =   — 4  n a  podstawie  [13].  Wartość  analogicznego  współ czynnika  wyznaczona  za  pomocą wzoru  (9) wynosi  — 8/ 9. N ależy  zauważ yć,  że  w  przyję tej  przez  SH AN KARA  funcji  rozkł adu każ dy  czł on  «dwu- stron n ego  maxwellianu»  odpowiada  warun kom  gazu  spoczywają cego  (co jedn ak  nie zna- czy, że  gaz  jako  cał ość  pozostaje  w  spoczynku),  tzn .  zależy  tylko  od  2  param etrów  typu gę stoś ci  i  tem peratury.  W  odpowiedn ich  czł onach  przyjmowanych  w  [16]  wystę pował   co najmniej  jeszcze  1  param et r  typu  prę dkoś ci  m akroskopowej.  D zię ki  tem u  uproszczeniu SH AN KAR  otrzymuje  ukł ad  równ ań ,  który  potrafi  rozwią zać  analitycznie.  D la  oś rodka jedn oskł adn ikowego  ukł ad  taki  zawiera  4 równ an ia. D odan ie dodatkowej  zmiennej w  isto- tn y  sposób  kom plikuje  ró wn an ia;  w  [16]  dla  prostszego  geometrycznie  przypadku  wyniki otrzym an o  n a  drodze  n um eryczn ej. Skutki przyję cia  uproszczon ej funkcji  rozkł adu uwidaczniają   się  przy analizie przypadku asym ptotycznego,  odpowiadają cego  parowan iu  duż ych  kropel  w  oś rodku jednoskł adniko- 8  M ech an ika  Teoretyczn a  3/ 74 324  S.  M AY wym.  W  modelu  Sh an kara  (o  4  param etrach  swobodnych)  nie  tworzy  się   bowiem  przy powierzchni  kropli  warstwa  Kn udsen a, co jest  prawdopodobn ą   przyczyną   otrzym an ia  za- niż onych wartoś ci  strumienia masy,  o czym  był a m owa poprzedn io. Strumień  ciepł a.  W  pracach,  w  których  obliczano  strum ień  ciepł a  w  zakresie  poś red- nich  liczb  Kn udsen a z  reguł y  nie  uwzglę dniano  przemiany  fazowej  (a  =   0).  W  przypad- kach  asymptotycznych  mamy  wtedy  dla  K n  -> co q k   =   p t AT , i  dla  Kn  - > 0 4%  K n N a  podstawie  uniwersalnego  wzoru  SH ERMAN A (8), otrzymujemy  dla  dowolnego  K n q c   _  4x  K n q  "  «+ 1  fePF' N ieco inną   zależ ność podają   SPRIN G ER  i  TSAI  [23], mianowicie q c   1  4x  K n •   +   • q  1 + K n Wyniki  doś wiadczalne  zawiera  praca  TAKAO  [26].  N ajlepszą   zgodn ość  z  doś wiadczeniem zapewnia m etoda wariacyjna  Cercignaniego  i  współ pracowników  [3]. M etoda t a  dostarcza wyników  numerycznych,  które  został y  obliczone  przez  autorów  dla  /?„  =   1. Z e  wzglę du  n a  sprzę ż enie  wystę pują ce  mię dzy  strum ien iam i  m asy  i  ciepł a  (energii) wymienione  tu  wyniki  mogą   mieć jedynie  ograniczone  zastosowanie  do  przypadku  paru- •   ją cych  kropel.  ' Strumień  pę du.  Wymianę   pę du  mię dzy  kroplą   a  gazem  dla  m ał ych R e  badał   M I LLI KAN [15].  N a  podstawie  doś wiadczeń  z  kropelkam i  oleju  w  powietrzu,  M I LLI KAN   podał   wzór empiryczny  na  sił ę   oporu  kropli  w  szerokim  zakresie  K n .  W  naszych  oznaczeniach  wzór ten  przyjmuje  postać 1 +a  •   K n +b  •   K n exp I  - gdzie  a  =   1,234, b  =   0,414, c  =   0,876. D la  Kn  - +   oo otrzymujemy  zależ ność  asymptotyczną U niwersalny  wzór  Sherm ana, p o  uwzglę dnieniu  (10), przyjmuje  postać n_ n CERCIG N AN I i  P AG AN I  [3] stosują c  opracowaną   przez  siebie  m etodę  wariacyjną   obliczyli numerycznie  sił ę  oporu  sfery  przyjmują c,  że  współ czynniki  adaptacji  skł adowych  pę du  są równe  1.  Otrzymane przez  nich wyniki  nie  róż nią   się   wię cej  niż  o  2%  od  wzoru  doś wiad- czalnego  M illikana. N ieco wię ksze  (się gają ce  10%)  odchylenia  daje  wzór  Sherm an a. WYM I AN A  MASY,  P Ę DU   I  E N E R G I I  325 6.  Współ czyn n iki  kon den sacji  i  adaptacji W  wielu  z przedstawion ych  wyż ej wzorów  dla  strum ieni  termodynamicznych  wystę pują współ czynniki  kondensacji  i  adaptacji  energii  i  pę du,  które  charakteryzują   oddział ywanie czą steczek  z  powierzchnią   cieczy.  Wyznaczenie  doś wiadczalne  tych  współ czynników  nie zawsze jest ł atwe. P orówn an ie wyników  doś wiadczalnych  (np.  M I LLI KAN ,  TAKAO)  Z teorią sugeruje,  że współ czynniki  adaptacji  energii  i pę du  są   bliskie  1. Wię ksze  trudnoś ci  powstają przy  wyznaczaniu  współ czyn n ika  kondensacji  (por.  n p.  [17]).  P om iary  dokonywane  przez róż nych  autorów  prowadzą   czę stokroć  do  bardzo  róż nych  wyników.  Szczególnie  wielkie rozbież noś ci  wykazują   pom iary  współ czynnika  kondensacji  wody,  który  wedł ug  róż nych autorów  wynosi  od  0,002  d o  1.  Wydaje  się ,  że  istotn y  wpł yw  na  wartość  współ czynnika kondensacji  mogą   wywierać  róż ne t ru d n o poddają ce  się  kon troli czynniki  uboczne, zwł asz- cza  czystość  powierzchn i  cieczy.  W  tych  warun kach  dla  uzyskania  wię kszej  jasnoś ci  w  tej sprawie  potrzebn e jest  prowadzen ie  dalszych  badań  zarówno  doś wiadczalnych,  ja k  i teore- tycznych. L it er a t u r a  cytowan a  w  tekś cie 1.  J .  R .  B R O C K ,  Evaporation  and  condensation  of  spherical  bodies  in  non- continuum  regimes,  J.  P h ys. C hem - istry,  68,  10  (1964). 2.  J .  R .  B R O C K ,  Molecule  drag  on  evaporating  or  condensating  spheres,  J .  P h ys.  C h em istry,  68,  10  (1964). 3.  C .  C E R C I G N AN I ,  Mathematical  methods  in  kinetic  theory,  L o n d o n  1969. 4.  F .  B .  I^HKJiAyPHj  B.  C .  ^ [ AH H J I H H ,  J I .  H .  C E J I E 3H E B 3  Adua6amubie  deyx$a3Hue  menenun,  M o c m a 1973. 5.  S.  C H AP M AN ,  T .  G .  C O W L I N G ,  T he  mathematical  theory  of  nonuniforme  gases,  C am bridge  1952. 6.  M .  K ) .  J&wv,  F .  A.  O m m n n o B ,  Fa3oduHauuKa  deyxtfiasHux  cped s   M o c r a a  1968. 7.  P . S.  E P ST E I N ,  On  the  resistance  experienced  by  spheres  in  their  motion  through  gases,  P h ys.  R ev.,  23, 6  (1924). 8.  A.  F O R T I E R ,  Mechanique  des  suspensions,  P aris  1967. 9.  H .  A.  <3>yKc3  Hcnapeuue  u  poem  KaneAb  e  za3oo6pa3Hoii  cpede,  M o c r a a  1958. 10.  H .  A.  yKc3  A.  r .  C yTyrH H ,  BbicoKoducnemue  a3po3OMi, M ocKBa  1969. 11.  M .  H .  KorAH j  JJuuaMUKa 3a3pewceHHozo  za3  M o c r a a  1967. 12.  A.  K O N O R S K I ,  Zjawiska  wymiany  masy  i energii  w przepł ywie  czynnika  2- fazowego, P rac e I M P ,  z.  29—31, 1966. 13.  P .  I O .  Ky^EPOB,  J I .  E .  P H K E H T J I A3 3  O  ludpodimaMimecKUX  ycAoeunx  npu  ucnapeuuu  u KOHdeHcaifuu} 2K.  SKcn ep.  H   T eop.  dj>H3.3  3 7 ,  1  ( 1959) . 14.  B .  A.  M AM AE BJ  F .  3 .  O H H I I I AP H H ,  H .  H .  C E M E H O B3  A.  A.  T O ^ H T H H J  Fa3oduHajituKa  ia3ODKudKocntmix cMeceu e  mpy6ax,  M ocKBa  1969. 15.  R .  A.  M I L L I K AN ,  T he  general  law  of  fall  of  a  small  spherical  body  through  a  gas...,  P h ys.  R ev.,  22,  1 (1923). 16.  T .  M .  MypATOBAj  JS,.  A.  JlAEyimoBj  KuHemunecKuu  auaAU3  npoiieccoa  ncnapeuun  u  KOHdeucautfu, TenJiodpH 3.  Bbic.  TeM n.3  4,  5  ( 1969) . 17.  F .  A.  C AJI TAH OBJ  Ceepx3eyKoebie dayxKflY  U I AP OBH flH Oił   tJAC TH LI Efi H   T A3O B0H   C P EflOH B  ypaBH eH H H x T e ^ e t r a a  M n orocba3H H X CM eceii  ( C M . H a n p .  [ 25] )  HiweiOTCH  3aBHCHM0CTH  ivie>Kfly  T epM o- CHJiaMH   reH epH pyio iU H M H  4'a3O Bbie  n e p e x o ^ b i  H   n oTOiOM H   M a c c b i,  S H e p r m i  H   K O J I H - flBn>Keinra.  J ^ J I H   H e6ojn> uiH X  OTKJioH eH jiii  OT p a B H O B e c M   H T H   3 B B H C H M O C T H   HMeiOT  jiH H eH H biii xa p a K T e p .  I lpH M eH iiH   yp a BH e m iH   fljm  K o m t p e T H o r o BH «a  M noroct>a3H OH   c p e fl w,  n eoSxoflH M O  3iiaT&  K03(J)- 43HIlHeHTW  n p H   COOTBeTCTByiOIUHX JIHHeHHLIX  33BHCHMOCTHX.  3 T H   KO3