Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  12  (1974) OP TYM ALN E  KSZ TAŁTOWAN IE  U ST R O J Ó W  KRATOWYCH   W  WARUN KACH   PEŁZAN IA W  N AWIĄ ZAN IU   D O T E O R I I  WYBOCZEN IA  RABOTN OWA- SZESTIERIKOWA RENATA  W O J D A N O W S K A  (KRAKÓW) 1.  U wagi  wstę pne W  ustrojach  kratowych  m oż na  uzyskać  bardzo  wysoki  stopień  wykorzystania  ma- teriał u z pun ktu  widzenia  wytrzymał oś ciowego.  M oż na  przede  wszystkim,  na drodze  od- powiedniego  d o bo ru  przekroju  poszczególnych  prę tów  dla każ dej  z  góry  zadanej  kon- figuracji  kratown icy  i zadan ych  stał ych  obcią ż eń  skupionych  w  wę zł ach, uzyskać  jednako- we  n aprę ż en ia w prę tach  (kratown ica  równej  wytrzymał oś ci).  P on adto,  n a  drodze  doboru konfiguracji  m oż na  spoś ród  kratown ic  równej  wytrzymał oś ci  wybrać  konstrukcję  naj- lż ejszą.  P roblem  taki  został   sformuł owany  ju ż  w  1904  r.  przez  M ICH ELLA  [12]. H EG EMIER i  PRAG ER  [4] wykazali, że kratown ice  M I C H E LLA  wykazują   jednocześ nie  najwię kszą   sztyw- ność  przy  ustalon ym  peł zan iu.  P rzeglą d  problem atyki  optymalnego  kształ towania kra- townic  podają   prace  WASIU TYŃ SKIEGO  i  BRAN D TA  [22],  REJTM AN A  i  SZAPIRO  [17]  oraz SH EU  i  PRAG ER A  [20]. Warun ek  wytrzymał oś ciowy  n ie jest  jedn ak  z  reguł y  jedynym  warunkiem  pobocznym przy problem ie kształ towan ia ustrojów  kratowych.  Ś ciskane  prę ty kratownicy  mogą   bowiem podlegać  utracie  statecznoś ci  i  odpowiedn ie  warunki  powinny  również  być brane pod uwagę .  U ję cie  takie  zapoczą tkował   K I R STE  [9],  [10],  który  okreś lił   optymalny  kształ t kilku  prostych  ukł adów kratowych  w  nawią zaniu  d o  wzorów  Eulera i Johnsona- Ostenfelda dla  prę tów  ś ciskanych.  Obszerniejsza  praca  WOJD AN OWSKIEJ- ZAJĄ C  i  Ż YCZKOWSKIEGO [23]  dotyczył a  kształ towan ia  w  zakresie  sprę ż ystym  i  sprę ż ysto- plastycznym  w  nawią za- niu  do  wzorów  Ylin en a,  zezwalają cych  na jedn olite  uję cie  cał ego badanego  zakresu.  Auto- ram i  dalszych  prac  są   ACH M AD ALIEW  [1] (numeryczne  metody  obliczeń ),  F IED OROW  [2] (uwzglę dnienie  wstę pnego  sprę ż enia),  R AD C I G   i  ARSŁAM OW  [15],  RAJEWSKIJ  [16],  SCH MIT i  M O R R O W  [21].  Optym aln e  kształ towan ie  kratown ic  przy  uwzglę dnieniu  warunków sta- tecznoś ci  znalazł o  zastosowan ie  n p .  przy  projektowan iu  sł upów  linii  wysokiego  napię cia ( M AR T I N I  [11]).  Ogólną   problem atykę   optym alnego  kształ towania  przy  uwzglę dnieniu warun ków  statecznoś ci  om awia  praca  Ż YCZKOWSKIEGO  [27]. W  przypadku  kon strukcji  pracują cych  w  podwyż szonej  tem peraturze  lub w  przy- padku  konstrukcji  wykon an ych  z  m ateriał ów,  wykazują cych  wł asnoś ci  reologiczne  już w  tem peraturze  pokojowej,  niezbę dne  jest  uwzglę dnienie  tych  wł asnoś ci  przy  optymal- nym  kształ towan iu.  Klasyfikację   problem atyki  optym alnego  kształ towania  w  reologii i  kilka  prostych  przykł adów  kształ towan ia  podaje  praca  Ż YCZKOWSKIEGO  [26];  istotne róż nice  w  stosunku  do  optymalizacji  w  zakresie  sprę ż ystym  lub  sprę ż ysto- plastycznym polegają   t u n a odm ien n ym  sformuł owaniu  warun ków  pobocznych.  D la  elementów  roz- cią ganych  muszą   to być z  reguł y  warun ki  zabezpieczają ce  przed  pę kaniem  w  warunkach peł zan ia,  n atom iast  dla  elem en tów  ś ciskanych  — warun ki  zabezpieczają ce  przed  wybocze- niem  peł zają cym.  Istnieją   obecn ie  dość  liczne  teorie  zarówn o  zniszczenia  przy  peł zaniu 246  R-   WO JD AN O WSK A (zniszczenie  cią gliwe,  kruche  pę kanie,  model  kombinowany),  jak  i  wyboczenia  peł zają ce- go,  tak  że  problematyka  optymalnego  kształ towania  w  reologii  jest  niezwykle  bogata. Szczegół owych  rozwią zań  i  ich  wdroż eń  do  zagadnień  przemysł owych  jak  dotą d  jest bardzo  niewiele. N a  zjawisko  wyboczenia  peł zają cego  zwrócono  uwagę   po  raz  pierwszy  w  1946  r. w  niemal  jednocześ nie  opublikowanych  pracach  F REU D EN TH ALA  [3],  RŻ AN ICYNA  [19] i  ROSSA  [18].  Przeglą d  prac  nad  wyboczeniem  peł zają cym  podają   H U L T  [6],  H O F F  [5] i  Ż YCZKOWSKI  [25].  D wa  zasadnicze  kierunki  teorii  wyboczenia  peł zają cego  przyjmują za  kryterium  nieograniczony  wzrost  ugię ć  lub  prę dkoś ci  ugię ć  prę ta  pierwotnie  sł abo  za- krzywionego  (KE M P N E R - H OF F) oraz  utratę   statecznoś ci  prę ta  prostego,  którego  wł asnoś ci zmieniają   się   w  czasie  w  wyniku  peł zania  (RABOTN OW- SZESTIERTKOW). W  obecnej  pracy  okreś limy  optymalne  konfiguracje  kilku  prostych  ustrojów  krato- wych  przy  uwzglę dnieniu  Teologicznych  wł asnoś ci  m ateriał u.  Bę dą   to  ustroje,  których kształ towanie  w  zakresie  sprę ż ysto- plastycznym  omówiono  w  pracy  [23], a  kształ towanie w warunkach wyboczenia  peł zają cego  przy  wykorzystaniu  teorii Kempnera- H offa  —  w pra- cy  [30].  Jako  kryterium  kształ towania  przyjmiemy,  jak  zwykle,  minimalną   obję tość  (mi- nimalny  cię ż ar)  kratownicy.  Warunki  poboczne  dla  prę tów  ś ciskanych  bę dą   warunkam i statecznoś ci w nawią zaniu  do teorii  RABOTN OWA- SZESTIERIKOWA  [14], n atom iast dla  prę tów rozcią ganych  —  warunkami  wytrzymał oś ciowymi  w  nawią zaniu  do  teorii  kruchego  pę ka- nia  przy  peł zaniu,  sformuł owanej  przez  KACZAN OWA  [7,  8]. Przyjmiemy  przy  tym  pewien ustalony  czas  pracy  konstrukcji,  w  zasadzie  jednakowy  zarówno  dla  prę tów  rozcią ganych, jak  i  ś ciskanych;  rozróż nienie  tych  czasów  nie  stworzył oby  istotnych  trudn oś ci.  P rzy efektywnym  przeprowadzaniu  optymalizacji  bę dziemy  przy  tym  z reguł y  korzystali  ze  sfor- muł owania  dualnego,  prowadzą cego  do  prostych  obliczeń;  bę dziemy  mianowicie  szukali kresu  górnego  czasu  pracy  konstrukcji  przy  jej  ustalonej  obję toś ci  i  przy  „przyję tych  wa- runkach  pobocznych  (wytrzymał oś ci  i  statecznoś ci). Oprócz  optymalizacji  konfiguracji  kratownicy  m oż na  sformuł ować  problem  optymal- nej  zmiennoś ci  przekroju  poszczególnych  prę tów.  D la  prę tów  rozcią ganych  optymalny jest  tu  zawsze  stał y  przekrój  (prę ty  pryzmatyczne),  n atom iast  optymalne  prę ty  ś ciskane, naraż one  na  wyboczenie,  są   z  reguł y  prę tami  niepryzmatycznymi.  P roblem  taki  był   roz- waż any  w  pracy  Ż YCZKOWSKIEGO  i  WOJD AN OWSKIEJ- ZAJĄ C  [23].  W  obecnej  pracy  ogra- niczymy  się ,  dla  uproszczenia,  do  rozpatrywania  wył ą cznie  prę tów  pryzmatycznych  o  za- danym  kształ cie przekroju  poprzecznego. 2.  Sformuł owanie  warun ków  pobocznych  optym alizacji RABOTN OW  i  SZESTIERIKOW  [14]  badają   stateczność  prę ta  ś ciskanego,  wykonanego z  materiał u  podlegają cego  równaniu  stanu  o postaci  ogólnej (2.1)  $(p,p,  a)  =   0, gdzie (2.2)  p  =   e- ~ oznacza  odkształ cenie  niesprę ż yste,  kropki  u  góry  —  róż niczkowanie  wzglę dem  czasu  /. OP TYM ALN E  KSZTAŁTOWAN IE  U STROJÓW  KRATOWYCH   247 N aprę ż enia  i  odkształ cenia  przy  ś ciskaniu  przyję to  tu  za  dodatnie.  Autorzy  ograniczają się   przy  tym  do  nastę pują cej  formy  funkcji  0 (2.3)  0  = pp"- Aa"  =   0, gdzie  A,  n i  a  są   stał ymi materiał owymi, zależ nymi  od temperatury. Przy czystym  ś ciskaniu,  gdy  a  =   const, po  scał kowaniu równania  (2.3) i  uwzglę dnieniu warunku  począ tkowego  a  =  Ee,  czyli p  =   0  dla  t  =   0  otrzymujemy 1  1  n  ffl (2.4)  p  -   (  " 5 + r " + 1 V = + r ' + 1 W  dalszym  cią gu  bada  się   moż liwość  istnienia  równowagi  w  poł oż eniu  są siednim, nieskoń czenie  mał o  wychylonym.  RABOTN OW- SZESTIERIKOW stosowali  w  pracy  [14] ogólne kinetyczne  kryterium  statecznoś ci, które jednak  w  efekcie  koń cowym  sprowadził o  się   do kryterium  statycznego.  Zmiany  (wariacje)  naprę ż eń  i  niesprę ż ystych  odkształ ceń moż na powią zać  wynikają cym  z  (2.1)  równaniem (2.5)  Ua+/ udp+vdp  =   0, gdzie ,  80  80  80 (2.6)  A  =   - 5 —,  ft  =  - z—,  V  =  —T T - . da  dp  dp Wyraż ając  p  w  funkcji  o  i  s,  po  wykorzystaniu  hipotezy  pł askich przekrojów  Bernoulliego, e  =   nz,  pomnoż eniu  przez  z  i  scał kowaniu  tego  równania  po  powierzchni  przekroju  F otrzymuje  się (2.7)  (EX- fj)M~vM+EĄ nH+vk)  =   0. Warunkiem  równowagi  w  poł oż eniu  są siednim  jest  M  =   k  =   0;  przy  uwzglę dnieniu  wa- runków  brzegowych  swobodnego  podparcia  prę ta  po  scał kowaniu  równania  (2.7) wzglę - dem zmiennej x,  otrzymuje  się   ostatecznie  zwią zek (2.8)  4~  =   l- ^r, i " gdzie P E   oznacza sił ę  eulerowską   dla  prę ta. Współ czynniki  A i \ i należy  tu  obliczyć  ze wzo- rów  (2.6).  Równanie  (2.8)  z  podstawieniem  (2.3)  oraz  podstawieniem  t  — t ę ,  (/* oznacza czas  utraty  statecznoś ci  prę ta)  okreś la  zwią zek  mię dzy  sił ą   P,  a  czasem  /#•  N ie  daje  się on  efektywnie  rozwią zać  z  uwagi  na  P  (bowiem  A  i  fi  zależą   również  od  P  poprzez  a  = =   P/ F), natomiast daje  się   rozwią zać  wzglę dem  tę : t nPE  \   \ T Wzór  ten  przy  podstawieniu  P  =  N j w ,  gdzie  N   oznacza  sił ę  podł uż ną  w  ś ciskanym  prę cie kratownicy,  a  j w   —  stopień  bezpieczeń stwa  z  uwagi  na  wyboczenie,  bę dzie  stanowił   za- sadniczy  warunek  poboczny  dla  prę tów  ś ciskanych  przy  optymalizacji;  w  sformuł owaniu dualnym  bę dziemy  poszukiwali  maksimum  t #   przy  ustalonej  obję toś ci  kratownicy  V. KACZAN ÓW  [7],  [8] proces  zniszczenia  prę ta  naraż onego  na  rozcią ganie  w  warunkach peł zania  rozpatruje  jako  proces  rozprzestrzeniania  się   mikroszczelin,  powstają cych  na  tle 248 R .  WOJDAN OWSKA rosną cych  odkształ ceń peł zania. Wprowadza  pewną   funkcję   skalarową   Q  =  F/ F o ,  gdzie F  oznacza  aktualnie  pracują cy  przekrój,  Q  =   1  w  momencie  począ tkowym,  funkcja  ta z upł ywem czasu  maleje  i w  momencie kruchego  zniszczenia  Q  — 0. Podstawą   teorii  KACZAN OWA  jest  hipoteza, iż  zmiana  tej  funkcji  w  czasie  opisana jest równaniem (2.10) A dt   Al \ Q w którym  ^ 4 1 > 0 i m > 0  —  pewne  stał e. W wyniku  cał kowania powyż szego równania przy  a  =   const, oraz warunku  począ tkowym: Q  =   1, F  =   F o ,  KACZAN ÓW otrzymał  wyraż enie  na czas  zniszczenia  kruchego (2.11)  t m   =  7 p gdzie  ff0  =   — - . Czas  wyraż ony  wzorem  (2.11)  przyjmiemy  za  czas  zniszczenia  rozcią ganych  prę tów ukł adu  kratowego,  a  wię c  za  odpowiedni  warunek  poboczny  przy  probiernie  kształ to- wania. W  dalszym  cią gu  pracy  przyjmiemy,  że  oba  czasy  t%  i  / **  są   sobie  równe  i  okreś lają czas  pracy  cał ej  konstrukcji,  gdyż  projektowanie  poszczególnych  elementów  n a  róż ne czasy  wydawał oby  się  nieuzasadnione. 3.  Optymalne  kształ towanie  ustroju  kratowego,  statycznie  wyznaczalnego,  dwuprę towego,  przedstawionego na  rys.  1 Rozstę p  podpór  2a  przyję to  za  ustalony;  poszukiwać  bę dziemy  optymalnego  ką ta (p w  funkcji  pewnego  param etru  smukł oś ci  ustroju  kratowego  /?.  Sformuł owanie  problem u «wprost»  polega  na  poszukiwaniu  takiego  ką ta  y,  który  zapewnia  minimum  obję toś ci Rys.  1. kratownicy  przy  danej  sile  P o  i  danym  czasie  pracy  konstrukcji  t*  (czasie,  po  upł ywie którego  sił a P Q   wywoł ał aby  utratę   statecznoś ci  konstrukcji).  M oż liwe  są   tu  dwa sformuł o- wania  dualn e:  poszukiwanie  maksymalnego  czasu  t*  przy  danej  obję toś ci  Vi  przy  danej O P T YM AL N E  KSZ TAŁ TOWAN I E  U ST R O JÓ W  KRATOWYC H   249 sile  Po  lub  poszukiwanie  m aksim um  sił y  P o  przy  danej  obję toś ci  V  i  danym  czasie  tn. Pierwsze  z  tych  sformuł owań  dualnych  okazuje  się   najprostsze  i  wykorzystamy  je  w  ni- niejszym  paragrafie.  Wzór  n a  sił ę  P  w  danym przypadku  ma postać I  J .  1  J  • *  J W  •*  '  r\   •   3 obję tość  ustroju  kratowego  wyrazi  się   wzorem (3.2)  V=2Fl  =  2F~—,v  '  cos 

  hPo  ~ T+ 1 /   j w p o   \ "  \   2a \   2shi(p j D la  uproszczenia  zapisu  zwią zku  (3.5) wprowadzimy  oznaczenia i  wtedy  (3.5) zapiszemy  n astę pują co: (3.8)  t ę   =  y(l- Psm- 1   0;  zakł adają c  zgodnie  z  przyję tym  sformuł owaniem  dualnym  jak  najdł uż szy czas  pracy  konstrukcji,  wykorzystamy  warunek  analitycznego maksimum (3.9)  4s"  -   0- flip P rowadzi  on do równ an ia okreś lają cego  optymalny ką t 95 w funkcji  parametru smukł oś ci /S. Jest  t o  dość  zł oż one  równ an ie  trygonometryczne  z  uwagi  n a  niewiadomą   ) (3  1 0 )  g  m sin 250 R .  WOJD AN OWSKA Zależ ność  powyż szą   dla róż nych  współ czynników  n i  a  ilustruje  rys. 2. Współ czynniki n i  a  zaczerpnię to  z  pracy  RABOTN OWA,  Ż U KOWA,  C Z U R I K O WA  [24] i  zebran o  w  tablicy  1. Tablica  1 Temperatura 165°C 200°C 235°C 270°C M ateriał ;  miedź n 46,1 32,8 32,2 19,7 a 14,20 9,52 9,92 7,18 N a  rys.  2 n akreś lono  również  krzywą   /3 =  (i{cp)  dla n =  3 i  a =  0. Jest  t o przypadek graniczny, a - » 0; prawo  peł zania (2.3) przechodzi w prawo  N o rt o n a. Teoria  RABOTN OWA- fc0 n- 3;a- 0  (N orton) n- 19,7; oc- 7,18 n=32,8;tx- 9,5Z W "  m°33 l Si"3a 0 35V5Z"41 0 Rys.  2. 50° 60° 70" 80" SZESTIERIKOWA  nie prowadzi  wtedy  do efektywnych  wyników,  pon ieważ  czas  krytyczny w  każ dym  razie  zmierza  do zera.  Tym  niemniej  n a drodze  przejś cia  granicznego  m oż na okreś lić  optym alną   graniczną   konfigurację   ustroju  kratowego. 4.  Optymalne  kształ towanie  trójprę towego,  symetrycznego,  statycznie  wyznaczalnego  ustroju  kratowego, przedstawionego  na rys. 3 Odległ ość  a,  podobn ie ja k  poprzedn io,  przyjmiemy  za  ustalon ą .  W  rozpatrywan ym przypadku  poszukiwać  bę dziemy  takiego  ką ta  y,  który  zapewnia  m in im um  obję toś ci kratownicy,  przy  danej  sile  P o i  dan ym  czasie  pracy  kon strukcji  (czasie,  p o którym  sił a O P T YM AL N E  KSZ TAŁ TOWAN I E  U STR OJÓW  KR ATOWYC H 251 P o j w   wywoł uje  u t rat ę  statecznoś ci  kon strukcji).  Przyjmiemy,  że czas t%,  po upł ywie  którego nastę puje  u t rat a  stateczn oś ci  kratown icy  spowodowana  utratą   statecznoś ci  prę ta  n ara- ż on ego  n a  wyboczenie  jest  równ y  czasowi  t^ ,  po  którym  nastą pi  kruche  pę knię cie  prę - tów  n araż on ych n a  rozcią ganie. a Obję tość  kratown icy  okreś li  t u  wzór (4.1)  V  =   2F 1 c os  g? +2F 2 a. Sił y  podł uż ne  w  prę tach kratown icy  są   równ e Po(4. 2) N i- N 2  =~2sin(p  '  2 Wskaź nikiem  „ I " ozn aczon o wszystkie  wielkoś ci  charakteryzują ce  prę ty  n araż one na  roz- cią ganie,  a  wskaź nikiem  „ 2 ",  wielkoś ci  charakretyzują ce  prę ty  naraż one  n a  wyboczenie. Sił a  eulerowska  i  sił a  podł uż na  w  prę cie  (przy  współ czynniku  bezpieczeń stwa  j w )  wy- raż ają   się   n astę pują co: (4- 3)  P.- «™ Czas  pracy  kratown icy  (2.9)  bę dzie  m iał   postać 1 |B- a-l Zajmiemy  się   obecn ie  obliczeniam i  prę ta  n araż on ego  na  rozcią ganie.  Wykorzystamy wzór  n a  czas  zniszczenia  przy  rozcią ganiu  (2.11)  podan y  przez  KACZAN OWA  [7]; (4.5) gdzie  m  jest  pewn ym  wykł adn ikiem  potę gowym;  A x   —  pewną   stał ą ,  ff0  jest  naprę ż eniem w  prę tach  rozcią ganych,  odpowiadają cym  sile  dział ają cej  mnoż onej  przez  współ czynnik bezpieczeń stwa  z  uwagi  n a  pę kan ie j p (4.6) er0  = 252 R .  WO JD AN O WSK A Wprowadzimy  nowe  oznaczenie ( 4 7 ) Wtedy  (4.5) zapiszemy  krótko (4.8)  / «  -   j9i2Tain"c> . Ze  zwią zku  (4.8)  obliczymy  F t   i  wprowadzimy  do  (4.1);  otrzymamy  wyraż enie  n a  obję- tość (4.9)  r Poszukujemy  minimum  tej  funkcji  z  warunkiem  pobocznym  (4.4).  Rugowanie  warunku pobocznego  uzyskamy  przez  stosowną  parametryzację.  Wprowadzamy  mianowicie  bez- wymiarowy param etr: (4.10)  „ £ ^ i wstawiamy  go  do  (4.4), skąd  obliczamy  tgcp gdzie stalą  5 jest  okreś lona  wzorem (4.12)  5 =   - ipI i  ma znaczenie bezwymiarowej  sił y. Wstawiamy  tgc?  okreś lony  wzorem  (4.11)  i  obliczony  przekrój  F 2   z  (4.10)  do  wyra- \ llm 1 ż enią  na  obję tość  (4.9); dzielimy  równanie  przez  2a I - ~-  ]  i  otrzymujemy  bezwymiaro- wą  obję tość 2(«+: (4.13)  V  =   V(S,  u)  m  (u+l)U*~*~ l (u +1)2«  Bu gdzie  B  jest  pewną  stał ą,  zależ ną  od  stał ych  materiał owych  i  czasu  pracy  konstrukcji, okreś loną  nastę pują co: (4.14) B  = Poszukujemy  teraz  minimum  obję toś ci  V  jako  funkcji  jednej  zmiennej  u  bez  warunku pobocznego <4.15) =   0 , OPTYMALN E  KSZTAŁTOWANIE  USTROJÓW  KRATOWYCH 253 co  prowadzi  do  równ an ia (4.16)  S>  -   (u + ir- ^ [l  +   T «  2T« +  l ) ( ,  +   l ) + H ( n - a - l ) j- Ogólne  rozwią zanie  równ an ia  (4.16)  ze  wzglę du  n a  poszukiwany  param etr  u  nie  jest moż liwe.  Wyniki  przedstawim y  jed n ak  graficznie,  dysponują c  funkcją   odwrotną   S1 =   S(u). 50° Rys.  4. 0,5 iO  U Rys.  5. 254 R .  WOJDAN OWSKA Zależ ność  S  =   S(n)  dla  ustalonej  wartoś ci  param etru  B  uję to  n a  rys.  4.  Z ależ ność  ę   m —    -   N 2   m +2F t a. Sił a  eulerowska  i  sił a podł uż na  w  prę cie  (przy  współ czynniku  bezpieczeń stwa j w )  wyraż ają się   tutaj  wzorem   v (5.3)  r,  -   **JĘ icOS'r,  P - Tok  obliczeń jest  podobn y, jak  w  przypadku  poprzedn im . Wzór  n a  czas  pracy  kratownicy (2.9)  bę dzie  miał   postać SJLT •   2  A a+i \ 2F 2 sm

) w  którym  sin y  okreś lony jest  przez (5.9). 256 R .  WOJDAN OWSKA P odobn ie, jak  poprzedn io,  równ an ie  to  n ie  daje  się   rozwią zać  wzglę dem  u,  lecz  ko- rzystają c  z  funkcji  odwrotnej  wzglę dem  poszukiwanej  sporzą dzono  wykresy:  S  =   S(u), rys.  7 i cp  =   (ctg(p+ctgip) (6.7)  u  =   , .   p   1 i  z  (6.7)  obliczamy  F z ,  a  nastę pnie  obliczone  F 2   i  (6.7)  wstawiamy  do  (6.4)  otrzymują c zwią zek '  ;  ct gę j+ ct gy  85 w  którym  S1 podane jest  przez  (4.12). Obliczony  przekrój  F 2   z  (6.7)  wstawiamy  do  (6.6)  i  po  podzieleniu  równ an ia  przez t  \ - H " "  o t r z y m u jsm y  bezwymiarową   obję tość  kratownicy  VP -   2  1 1  /   M- j-I K  •   )  -   vP>W >  sin 2c3(ctg9?+ ctg^)  B]/ 2S   siry2f  V  siB]/ 2S Równanie  (6.8)  pozwala  obliczyć  smq>  i  ctg  zmierza  bardzo  szybko  do  90°,  a  optym aln y  ką t  q> do  0.  Ze wzrostem  smukł oś ci ką t  f  maleje,  a  ką t  (p roś nie. 8.  U wagi  koń cowe R ozpatrzon e  ukł ady  kratowe  są   najprostsze  z  moż liwych.  Stanowić  mogą   jedn ak podstawę   do  optymalnego  kształ towania  z  uwzglę dnieniem  peł zania  bardziej  zł oż onych ukł adów  kratowych.  M oż na  przypuszczać,  iż  otrzym am y  bardziej  skom plikowan e  rów- nania,  których  rozwią zanie  bę dzie  wymagał o  stosowania  m etod  num erycznych. Analizę   otrzymanych  wyników  m oż na  przeprowadzić  n a  drodze  porówn an ia  opty- malnych  wartoś ci  ką tów  w  funkcji  param etru  smukł oś ci  w  przypadku,  gdy  dan y  ukł ad kratowy  jest  kształ towany  w  warun kach  wyboczenia  sprę ż ysto- pł astycż nego  [23]  i  w  wa- run kach  wyboczenia  peł zają cego  przy  wykorzystaniu  teorii  peł zan ia  KEM P N ERA- H OF FA * [30] i  przy  wykorzystaniu  «teorii  wzmocnienia». I  tak  w  przypadku  najprostszego,  dwuprę towego  ukł adu  kratowego,  przedstawionego n a  rys.  1,  optymalny  ką t  cp w  przypadku  kształ towan ia  w  warun kach  wyboczenia  peł za- ją cego  przy  wykorzystaniu  «teorii  wzmocnienia)) rys.  2,  zawiera  się   w  gran icach 26°33'54"  <  ę   <  35°15'52"  ( N o r t o n ) . OPTYMALN E  KSZTAŁ TOWANIE  USTROJÓW  KRATOWYCH   261 W  przypadku  kształ towan ia  w  warun kach  wyboczenia  peł zają cego  przy  wykorzystaniu teorii  K E M P N E R A- H O F FA  (rys.  3  [30])  optym alny  kąt   ̂   35°15'52", a  w  przypadku  kształ towan ia  w  warun kach  wyboczenia  sprę ż ysto- plastycznego  (rys.  3 [23])- 26°33'54"  <   q> <  45°. Z  powyż szego  porówn an ia  wynika,  że  doln e  ograniczenie  ką ta   — 32°30; wartoś ciom  param etrów  ^  =   0,172  i  X  =   0,146  odpowiada  optymalny  kąt  EflOPOB3  K  eonpocy  o  cfiepMe  nauMenbiuezo  eeca,  GrpoHT. M ex. H  P acq.  Coopyw,,  1967,  6, 11—14. 3.  A. M .  F REU D EN TH AL, Some  time  effects in structural  analysis,  Rep.  Sixth,  I n t.  Congr.  Appl.  Mech., Paris  1946 (nie  opublikowane). 4.  G . A.  H EG EMIER, W.  PRAG ER,  On  Michell  trusses,  I n t.  J.  Mech.  Sci., 11, (1969), 209. 5.  N . J.  H OF F , A  survey of  the  theories of creep  buckling,  P roc. of  third  US n at.  Congr.  of Appl.  Mech. Brown  U niv.  1958, Pergamon  Press,  1958,  29—49. 6.  J. A.  H U L T , Creep buckling, I n st. H allfasthetslara  Kungl.  ,Tekniske  H ogskolan,  Publ. nr  111,  Stockholm 1955. 7.  JI . M .  KAMAHOB,  O  epeMemi  pa3pyuiemw  e ycAoeunx noji3yuecmu,  E t a . AH  YP C C ,  O T H , M ex. H   M ain .,  8  (1958),  26—31. 8.  J I . M .  KAIAH OBJ  O  epejueHUU  pa3pyweuuH  s ycAoeunx nojuywcmu- ,  H 3B.  AH  YC C P ,  OTH ) M ex. H   M ain .  (1960),  88—92. 4* 262  R .  WO JD AN O WSK A 9.  L.  K I R ST E ,  Beitrag  zum Problem  des  T ragwerks- Mindestgewichts,  Z . F lugwiss, 8, 12, (1960), 352—359. 10.  L. K I R ST E , Etn  weiterer  Beitrag  zum Problem  des T ragwerks- Mindestgewichts,  Z . F lugwiss, 9. I I ,  (1961), 343_347. 11.  L.  M ARTIN I,  Sł upy  linii energetycznych  z  elementów  iglicowych,  Arch.  Inż. Lą d., 3  (1969), 541. 12.  A. G .  M I C H E L L ,  T he limits  of  economy  in frame- structures,  P h il.  M a g. , 8  (1904),  589. 13.  P . P ED ER SEN , On the optimal  layout  of  multi- purpose  trusses,  I n t . J o u r n .  C o m p .  St r u c t . ,  2, 5/ 6 (1972). 14.  H . H . P ABOTH OB,  C . A.  IH ECTEPH ICOB, YcmouHuaocmb  cmepoiaieU u ruiacmmoK  e ycjioeunx  noji3yiecmu t ITpHKJi.  Max.  H  iwex.,  O T H   AH   YC C P ,  3,  21  (1957),  406—412. 15.  I O . A.  P AT O H T ,  A. I I I .  AP C JI AM OB,  Pacnern  cmamimeaai  Heonpede/ ieunwx §epM. nauMeubuieio  eeca c  yuemoM  ycmounusocmu  cmepwcmu,  C6opnH K  BcecoK>3.  K O H I J ) .  n o  npo6jieMam  YC T O H I H BO C T H , BH JIKH IOC  1967,  120. 16.  A. H .  P AE BC K H H ,  Pacnem  Mema/ iMmecKUX  $epM  c  ooecneuenueM pamoycmounueocmu  ecex  cotcamux BJieMmnioe,  CSopHHK  Bcecow3.  KoHcb.  n o  r ip o 6ji.  Y C T O M . ,  BH JIBH IOCJ  1961,  120—121. 17.  M . H . PeiiTMAHj  F . C .  I I I AI I H P OJ  T eopun  onmiwaMHozo  npoeKmupoeanuH e cmpoume/ ibHou  Mexauuue, TeopiiH   ynpyrocTH   H   nJiacTH^HOCTHj  H T O R H   H ayKH ,  M exan H Ka,  YnpyrocTB H  ITnacrH iH OCTb,  19643 M ocia3a  1966, 8—24. 18.  A. D . R oss,  T he effects  of  creep on instability  and indeterminacy  investigated  by plastic  models,  St ru ct . E n g.,  24  (1946)  413; 25  (1947),  179. 19.  A. P .  P>KAinmuH ,  Heiwmopbie  eonpocu  Mexanu'iecaux cucmcu  de^ opMupywufuxcn  no epeMenu,  ro cT ex- H3flaT3  MocKBa- JIeH H H rpafl  1949. 20.  C . J.  S H E O , W.  P K AG E R ,  Recent  developments  in optimal  structural  design,  Applied  M ec h an ic s, R eviews, 10,  21  (1968), 985—992. 21.  L. A.  SC H M I D T ,  Jr, W. M .  M O R R O W,  Structural  synthesis  with  buckling  contrains,  P r o c .  AS C E , 89 (1963),  107—126. 22.  Z . WASI U T YŃ SK I,  A.  BR AN D T ,  Aktualny  stan  wiedzy  o  kształ towaniu  wytrzymał oś ciowym  konstrukcji, R o zpr.  I n ż. 2,  10  (1962), 309—332. 23.  R .  WO JD AN O WSK A- Z AJĄ C,  M .  Ż YC Z K O WSK I,  Optymalne  kształ towanie  kratownic  przy  uwzglę dnieniu warunków  statecznoś ci.  R o zp r.  I n ż. 2, 17, (1969). 24.  A . M . JK yK O B,  H . H .  P A B O T H O B ,  .  C . ^ y p H K O B ,  3iepM,  npH BefleH H bix  Ha pHC. 1, 3,  6  H  9. B  KaqecrBe KpmepH H   onTHMH3aipm  npHHHT  MHHHiwajiBHfeiH   o6i>eM   dj>epira>i.  fljia  oKHMaeiwbix OPTYMALN E  KSZTAŁTOWANIE  USTROJÓW  KRATOWYCH   263 CTep>KHeS  KpaeBbie  yc n o Biw  cdpopMyjmpoBaH bi  Ha  OCH OBC  TeopHH   n pofloJitH oro  H 3ni6a  noJi3ynecTH PaG oTHOBa- IIIecTepHKOBa,  a  flJM   pacrariiBaeM bix  CTepwH ett  n a  ocHOBe  TeopHH   pacrpecKH Baiflra  n p n n oJM y^ec™  (Ka^aH OB).  fluarpaiwM a  noi