Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 3,  12  (1974) OTRZYMYWAN IE  M ACIERZY  ELEM EN TU   PŁYTY  ZG IN AN EJ  DLA  M OD ELU   MIESZAN EG O M ETOD Ą   OR TOG ON AU Z AC JI BOG D AN   W  O S I E W I C  Z  (P O Z N AŃ ) 1.  Wstę p Ogólne  sformuł owanie  m odelu  mieszanego  m etody  elementów  skoń czonych  w  oparciu 0  twierdzenia  wariacyjne  m oż na  znaleźć  w  pracach  P IAN A  i  TON G A  [1] oraz  H AN STEN A  [2]. W  m odelu  m ieszanym  aproksym uje  się   w  elemencie  w  sposób  niezależ ny  zarówno  prze- mieszczenia,  jak  i  n aprę ż en ia.  W  teorii  konstrukcji  uzyskano  szereg  interesują cych  wyni- ków  za pom ocą   tego  m odelu.  Wymienić  tu  m oż na  pracę   D U N H AM A  i  PISTERA  [3] dotyczą cą zagadnień  pł askich,  prace  H ER R M AN N A  [4]  [5],  H ELLAN A  [6],  BACKLU N D A  [7],  CRISFILD A [8],  COOKA  [9],  BR ON A  i  D H AT T A  [10],  VISSERA  [11]  oraz  CH ATTERJEE  i  SETLURA  [12]  poś wię- cone  róż n ym  zagadn ien iom  teorii  pł yt  i  róż nym  elementom, a  także  artykuł y  H ERRMAN N A 1  CAMPBELLA  [13]  oraz  H ERRMAN N A  i  M ASON A  [14]  dotyczą ce  analizy  statycznej  powł ok. W  wię kszoś ci  cytowan ych  prac,  przy  wyprowadzeniu  macierzy  elementu  korzystano z twierdzenia  wariacyjnego  REISSN ERA  [15]. N atom iast w pracach  [6] i  [7]  zasadnicze zwią zki wyprowadzono  korzystają c  z  m etody  bezpoś redniej. W  pracy  niniejszej  wyprowadzon o  macierz  elementu  w  postaci  ogólnej  dla  problemu zginania  cienkich  pł yt  izotropowych  wychodzą c  z  ukł adu  równań  róż niczkowych  za- gadnienia  i  stosują c  m etodę   ortogonalizacji  [16,  17].  D alej  pokazan o  zastosowanie  otrzy- m anych  wzorów  do  tworzen ia  macierzy  róż nych  elementów. 2.  Z ależ n oś ci  podstawowe P roblem  zgin an ia  cienkich  pł yt  izotropowych  m oż na  opisać  poniż szym  ukł adem  rów- n ań  róż niczkowych  czą stkowych  (2.1),  z  których  trzy  pierwsze  wyraż ają   zależ noś ci  po- mię dzy  m om en tam i  pł ytowym i  (m x ,m y ,m xy )  a  krzywiznami  (w, xx ,  w, yy ,  w, xy ),  ostatnie jest  równaniem  równ owagi w, xx +K(m x - vm y )  =   0 w, yy +K(m y —vm x )  =   0 (2.1)  w, xy +K(l+v)m xy   =   0 12 m x , xx +m y , yy +2m xy , xy +q  =  0,  gdzie  K P rzez  E,  h, v  ozn aczon o  odpowiedn io  m oduł   sprę ż ystoś ci,  grubość  pł yty  i  liczbę   P oissona. R ówn an ia  (2.1)  muszą   być  toż sam oś ci owo  speł nione  przez  funkcje  w,  m x ,  m y ,  m xy w  obszarze  pł yty  A  ogran iczon ym  brzegiem  F. 280 B.  WO SI E WI C Z D o  dalszych  rozważ ań  obszar  pł yty  podzielimy  na  /  podobszarów  Ak  o  brzegach  Fk, gdzie  k  =   1, 2,  ...,  I (rys.  1). Podobszary  te  nazywane  są  elementami  skoń czonymi  pł yty. W  każ dym elemencie aproksymować  bę dziemy ugię cia  (w)  i momenty pł ytowe (m x ,  m y ,  m xy ) przez poniż sze  wyraż enia  macierzowe  (zapisane  dla  / c- tego elementu): f » -   [0]{M X } ą  =   m{M y ) (2. 2) «  =   1, 2,  . . . , «, A- 1 , 2 ,. . . , » , m =  X 1 M 1 xy +X 2 M 2 xy   +  ...  +X"M' x L y  +  ...  +M'X xy   =   [X]{M xy ] A*  =   1.2,  . . . . 1  =   1, 2, ..., , Rys.  1. W  wyraż eniach  (2.2) AfjJ,  M y, M £ y, W 1 oznaczają  odpowiednio  m  param etrów  zwią za- nych  z  momentami m x ,  n parametrów  zwią zanych  z  momentam i m y ,  r  param etrów zwią- zanych  z  momentami  skrę cają cymi  m xy   oraz  s  param etrów  zwią zanych  z  ugię ciami  w pł yty.  Parametry  te  oznaczać  mogą  n p. wartoś ci  funkcji  momentów  i  ugięć  w  wyróż nio- nych  punktach  elementu  (w  wę zł ach), wartoś ci  pochodnych  tych  funkcji  w  wę zł ach  itp. F unkcje  0"  m  $" (Xiy) ,  ff*  =   W f Xiy) ,  X"  =  X^ y)   oraz  Q'  =   Q\ x  M x y ,  W ), [Q, xy ]{W }+K(l  +v)[X]{M xy }  =  / , ( *, y , M%,  W ), [?>yy] {My}  +2[X,xy]  {Mxy}  +q  =  / 4 ( x ,  y,  M%, M k y,  M£y). O T R Z YM YWAN I E  M ACIERZ Y  ELEM EN TU   P Ł YTY  Z G I N AN E J 281 Równania  (3.1)  nie  są   toż samoś ciowo  równe  zeru, gdyż funkcje  aproksymują ce  momenty i  ugię cia  (2.2)  są   funkcjami  przybliż onymi.  D okł adność przybliż enia  równań  (2.1)  przez (3.1)  zależy  od  dokladnos'ci  opisu  rzeczywistych  momentów  i  ugię ć  przez  zwią zki  (2.2). F u n k c je / l 5 / 2 , / 3 , / 4  oznaczają   bł ą d  aproksymacji. W  naszym  przypadku  zminimalizujemy  bł ą d  aproksymacji  przez  ortogonalizację funkcji  / , , / 2 , / 3 , / 4  z  ukł adem funkcji  0",  W ;  X",  Q'  (metoda  Galerkina).•  Sposób  ten był   poprzednio  z  powodzeniem  stosowany  w  metodzie  przemieszczeń  metody  elemen- tów  skoń czonych.  D la przykł adu  SZABO i  LEE  [16]  uzyskali  na tej  drodze  macierz sztyw- noś ci  elementu  dla  zagadnienia  pł askiego,  a  MIKOŁAJCZAK i  WOSIEWICZ  [17] dla proble- mu zginania pł yt  trójwarstwowych. Rys.  2. D o  równań  (3.1)  zastosujemy  postę powanie  G alerkina  w  postaci  przedstawionej przez  zwią zki: (3. 2) A*  =  0  x  =   1 , 2 ,  . . . , / n , A k   = Q  A - 1 , 2 , . . . ,  i ł , f  S jX'fidA*  =  0  j B - I , 2 , . . . , r, /   J A k Q% dA k  =  0  i -   1,2,  . . . , *. Podstawiają c  (3.1)  do  (3.2)  otrzymamy  ukł ad  (m+n+r+s)  równań liniowych  na wyzna- czenie parametrów M x ,  M y ,  M xy ,  W : J  J Ak (0 K [Q, xx ]{W }+K0 H [0]{M x }- Kv0 x [ l P]{M y })dA 1 '  =   0,  M   -   1,2,  ...,m, J  J Ak QF^ [Q, yy ]{W }+K^ x [ l P]{M y }~Kv l [ A [0]{M x })dA k  =  0,  I  =   1,2,  ..., «, < 1 3 )  {j A k(X> i [O, X y\ {W }+Ka+v)X>'[X]{M xy })dA 11  =  0,  ix =   1,2,  ...,r, iS A km0, xx ]{M x }+QT F,yy]{M y }+2Q; (i,j =   1, 2, 3, 4) z zależ noś ci  (3.6) nale- ży  wyznaczyć  ze  wzorów: *fr  =  A:/  f Ak 0W dA\   i,j -   1,2,..., w, *ł i  =  ~Kvf f Ak &'V J dA k ,  im  \ ,2,,..,m,  j=  1,2  n, W \   i=  1, 2,...,»,  y -   1.2...., w,. ,  i,j  = 1 , 2 ,  . . . , « , ,  i,j =  1, 2  r, (3. 7) =   1, 2,  ..., *,  ;  =  1, 2,  . . . , m , ,  i  = 1 , 2 , . . . , 5 ,  ; - l , 2 ,  . . . , r , = o, O T R Z YM YWAN I E  M ACIERZ Y  ELEM EN TU   P Ł YTY  Z G I N AN E J  285 ( 3.8)  p *  = J  j A kQ i qdA k ,  i=l,2,...,s, b\   =  J r ii0' ' ( w, „ c o s 2 a - H ' ,ssin a c o sa ) ( t f l t ,  i  =   1, 2,  ...,  m, b' 2   =  j r kW (w,„sin 2 a+w, s smacosa)cir k ,  i  =   1 , 2 ,  . . . , « , (3.9) £'3  =   jr l X' ( 2 vv, „ si n a c o sa + w, s c o s2 a ) a T J t ,  /  =   1,2,  ...,  r, # 4  =   jrkQ i (m„,„+m nSiS )dr 1i ,  i  =   1, 2  5. Otrzym an e  ogólne  formuł y  n a  poszczególne  wyrazy  macierzy  elementu  pozwalają  n a wyznaczenie  macierzy  dowoln ego  elem entu, jeż eli  funkcje  kształ tu  są  okreś lone.  N ad t o wyraż enia  te  sł uż yć  mogą  ja ko  podstawa  do  n apisan ia  procedury  dla  E M C na  budowanie macierzy  elementu. M acierz globalną  uzyskuje  się przez sumowanie wyraż eń  (3.6) po wszystkich  elementach. N a  koniec  zauważ ymy,  że  przekształ cenie  (3.4)  n akł ada  na  wybór  funkcji  kształ tu Q l ,  0",   x F k ,  X 11  pewne  ograniczenia.  M ianowicie,  funkcje  Q'  winny  być  cią głe  wraz  z  po- chodnymi  drugiego  rzę du w  obszarze  elementu Ak  oraz cią głe wraz  z pochodnymi  pierwsze- go  rzę du  n a  brzegu  / *.  F unkcje  &x,   xi/ x,  X"  winny  być  cią głe  wraz  z pochodnymi  pierwsze- go rzę du w  Ak  oraz cią głe n a brzegu  Fk.  D alsza uwaga  dotyczy  cał ek po konturze elementu. W  macierzy  globalnej  cał ki  te  sum owan e  są  z  analogicznymi  cał kami dla  są siednich  ele- mentów.  Suma  bę dzie  równ a  zeru  w  przypadku  doboru  «odpowiednio  gł adkich*  funkcji kształ tu,  to  znaczy  zapewniają cych  cią gł ość  przemieszczeń  i  ich  pochodnych  oraz  na- prę ż eń  (m om entów) pom ię dzy  elem entam i  [16,  17].  W  praktyce  korzysta  się  czę sto  także z funkcji  kształ tu, które  takiej  cią gł oś ci  nie zapewniają  [5,  7]. P oniż ej  pokaż emy  zastosowan ie  wyprowadzonych  formuł   do  tworzenia  macierzy  róż- nych  elementów. 4.  E lem en t  o  stał ych  m om en tach  i  in n e elementy  trójką tne H ERRM AN N   [5]  i  H E LLAN   [6] wyprowadzili  macierz  elementu  trójką tnego  uzależ niając ugię cia  w  elemencie  od  ugięć  wierzchoł ków  trójką ta,  a  momenty  od  momentów normal- nych  do  boków  trójką ta  w jego  ś rodku.  Przyję cie  takich  param etrów  wę zł owych  zapewnia liniową  zm ienność  ugięć  i  stał e  wartoś ci  m om en tów  wewną trz  elementu. H ERRM AN N   korzystał   z  twierdzenia  wariacyjnego  REISSN ERA,  H ELLAN   n atom iast  z  me- tody  bezpoś redniej,  W  pracy  [7] BAC KLU N D  wykazał ,  że  otrzymane macierze są identyczne. Korzystając  z  wyprowadzon ych  wzorów  i  przyjmując  funkcje  kształ tu ja k  w  [5] wyzna- czymy  poszczególne  wyrazy  macierzy  elementu, które  okazują  się identyczne z  otrzymany- mi  przez  H ERRM AN N A i  H E LLAN A.  N a  rys.  3  pokazan o  rozważ any  element.  Przyjmują c, że  m om en ty  m x ,  m y ,  m xy   są  stał e  w  elemencie  m oż na  wyznaczyć  momenty  n orm aln e do brzegów  korzystając  z  poniż szego  wyraż en ia: 284 (4.1) Przez  odwrócenie  (4.1.)  wyrazimy  m om enty  pł ytowe  wewną trz  elementu  przez  momen- ty  normalne  do brzegów M* MS Mf, =   [A] m x m y m xy B .  WOSIEWICZ c o s2 a 1  sin 2 «i  sin 2a ! c o s2 a 2  si n 2 a 2  sin 2a 2 c o s2 a 3  si n 2 a 3  sin 2a 3 m x m y m xy (4.2) m x m v m X y = [B] Mi MS 'M% [B]  =   [AY W  ten  sposób  okreś liliś my  funkcje  kształ tu 0",  W k,  jf. Rys.  3. Mają   one postać (4.3)  0"  =   B lHI X» m gdzie  «,  I, p  =   1, 2, 3. P aram etry  wę zł owe  speł niają   relację Przyjmują c,  że ugię cie  wewną trz  elementu m oż na opisać  wielomianem (4.5)  w =   a 1 +a z x+a 3 y, funkcje  kształ tu  Ql  (i -   1, 2, 3) otrzym ać  m oż na  przez  podstawienie  do  (4.5) współ rzę d- nych  wierzchoł ków  trójką ta  i  odwrócenie  t ak otrzymanej  zależ noś ci  macierzowej (4.6) W 1 w2 w3 -   [cy « 1 fl2 = 1  Xi  )'i i  x 2   y% „ i  ^3  y*_ ax a 2 a 3 O T R Z YM YWAN I E  M ACIERZ Y  ELEM EN TU   P Ł YTY  Z G I N AN E J  285 Po  odwróceniu  otrzymamy aA  W 1 (4.7)  \ a 2   -   [D]  W 2  ,  [D]=  [C]~\ a 3 ]  W \ a  funkcje  kształ tu mają   postać (4.8)  'Q'  =   D u +D 2i x+D 3 j,  i, =   1, 2,  3. D la  przykł adu Q1  wyraża  się   poniż szym  wzorem 1 Przyję te  funkcje  kształ tu (4.8) nie  zapewniają   cią gł oś ci  w,„  pomię dzy  dwoma  elementa- mi.  Z achowana jest  cią gł ość  pochodnej  stycznej.  Przy  tworzeniu  macierzy  elementu  po- miniemy  cał ki  liniowe  zawierają ce  w,„  jako  nieokreś lone,  natomiast  cał ki  z  w,„  wł ą czymy do  macierzy elementu. Wobec  (4.4)  zmniejszy  się   wymiar  macierzy  elementu,  momenty  pł ytowe  zależą   bo- wiem  od  trzech tych  samych  param etrów.  Stą d  w wyraż eniu  (3.6) należy zsumować  pewne wyrazy. Przepiszemy  (3.6) w  postaci: m  \ MĄ   {O) oj  W- U gdzie  [M„  W f  =  [MfMZM* Poszczególne  wyrazy  (4.9) bę dą   sumami  odpowiednich wyrazów  (3.6): (4.10)  G"  =  K\ J f Ak 0 l 0 J dA k +  f  JyifPdA 1 +2(1+v)J  J ~ v   (I jĄ dĄ +  j  jj&yidAt)},  ij  -   1,  2, 3, (4.11)  H'J  =   -   {/ ^ Ą 0, l x Q,{dA\ +  f  Jyy, l y Q U  = 1 , 2 , 3 . P on adto  w  wyraż eniach  (4.11)  pozostaną   tylko  cał ki  liniowe  ponieważ  funkcje  0",  Y/A, . y  są   stał e,  a  w  cał kach  powierzchniowych  wystę pują   ich pochodne. Wykorzystują c  (4.3) i biorą c  pod  uwagę ,  że =  }J A tB u B 1J dA k  -   B u B 1} j} A kdA k  =  A*B n B u   itd., gdzie  Ak  oznacza  pole  elementu,  otrzymamy  wyraż enie  n a  G'J  w  postaci  identycznej,  jak w  [5] (4.12)  G "  =   KAk[BiiB lj +B 2i B 2 j+2(l  +v)B 3i B 3J - v(B li B 2} +B lj B 2i )]. 286  B.  WO SI E WI C Z Wyraż enie  (4.11)  przekształ cimy  korzystają c  z zależ noś ci Q,\  =  - i2, 'xsin a + i2, yc o sa ,  i  — 1, 2,  3, gdzie Q, l x   =  D 2i ,  Q, l y   =  jD 3i  oraz  biorą c  pod uwagę , że j r k& i Q,{ń nacQsa,cir k  =  j   r kB u (- D 2 jSma+D 3J cosa)sinoccosacir k 3 Otrzymamy  ostatecznie wyraż enie  identyczne, jak w pracy  [5] 3 (4.13)  H» =   Jja k P k jF k i, gdzie Pjy  =   ~D 2 jSina k +D 3J cosa k , 3 1= 1 JEii  =   - J5ta  =   - si n a t c o sat , - C/3 =   co s2a ; . N ależy tutaj  zaznaczyć, że za pomocą  elementu trójką tnego  o stał ych m om en tach uzyskano szereg  dobrych  rezultatów  w analizie  statycznej  pł yt  [S, 6, 7], pom im o że funkcje  kształ tu nie  speł niają   kryteriów  cią gł oś ci. Zupeł nie  podobnie  uzyskać  moż na  macierze  dla  innych  elementów  trójką tnych. P o- niż ej  krótko  naszkicowano  kilka  takich elementów.  v N a  począ tek  rozpatrzymy  element  trójką tny  (rys. 4)  o  stał ych  m om entach,  którego ugię cia  opisane są  zupeł nym wielomianem  stopnia  drugiego (4.14)  w =  a,  +a 2 x+a 3 y+a 4 x 2 +a s xy+a6)> 2 . F unkcje  kształ tu  dla ugię cia  otrzymamy  przyjmują c  jako  param etry  wę zł owe  ugię cia w  sześ ciu  punktach elementu  (rys. 4). Wyraż enie  (4.12)  pozostaje  nadal  waż ne,  gdyż  funkcje  &K, W \   X"  są   identyczne, jak poprzednio.  Jednakże  cał ki liniowe  w  (4.11)  nie są  teraz ł atwe do obliczenia,  gdyż po  zróż- niczkowaniu  pozostają   jeszcze czł ony liniowe.  Przez cał kowanie numeryczne m oż na w kon- kretnych  przypadkach  ominą ć te trudnoś ci. Inne,  bardziej  zł oż one  elementy  trójką tne  dla  modelu  mieszanego  proponują   BRON i  D H ATT  [10]. Element nazywany  przez nich T l 1 powstaje  przez  przyję cie  jako  param etrów wę zł owych  ugię ć  i  momentów w wierzchoł kach  trójką ta.  Stą d  0",  !f\   X",  Q'  opisane są wielomianami  stopnia  pierwszego.  W elemencie T22 dla funkcji  kształ tu przyję to  zupeł ny wielomian  stopnia  drugiego,  zarówno  dla momentów, jak i  ugię ć. VISSER  w  pracy  [11] wprowadził   element  trójką tny  o  liniowo  zmiennych  m om entach i  parabolicznie  zmiennych  ugię ciach.  U gię cia  uzależ nione  są  w  sposób  typowy  od sześ ciu OTRZYMYWANIE  MACIERZY  ELEMENTU   PŁYTY  ZGINANEJ 287 param etrów  (jak  w  T22),  n atom iast  m om en ty  pł ytowe  od  dziewię ciu  momentów  nor- malnych,  do  linii  równoległ ych  do  boków  trójką ta  (rys.  5). Wyniki  uzyskane  za pomocą tego elementu są  szczególnie  dobre  [11]. Rys.  4. Rys.  5. Oczywiste  jest,  że  m oż na  tworzyć  elementy  jeszcze  bardziej  zł oż one,  podobn ie  jak dla  m etody  przemieszczeń,  uzyskują c  cią gł ość  nawet  drugich  pochodnych  funkcji  0", !P *.  X",  Q'  [20]. M acierze  tych  elem en tów  m o ż na  także  uzyskać  za  pomocą   zwią zków  (3.6). 5.  Elementy  prostoką tne N ajprostszy  sposób  tworzen ia  elementów  prostoką tn ych  (czworoką tnych)  polega  n a poł ą czeniu  dwóch  lub  czterech  elementów  trójką tn ych  i  wyeliminowaniu  z  otrzymanej w  ten  sposób  macierzy  elem en tu  wszystkich  param etrów  wewnę trznych.  N a  rys.  6  poka- W Rys.  6. zan o  element  czworoką tny  H ER R M AN N A  [5]  i  elem ent  prostoką tny  QT11  BRONA  i  D H ATTA [10]. Alternatywnie  m oż na  wyznaczyć  macierze  elementów  prostoką tn ych  przez  okreś le- nie wyraż eń  aproksym ują cych  w, m x ,m y ,  m xy   i wykorzystanie  zwią zków  (3.6). 288 B.  WO SI E WI C Z Pokaż emy  to  n a  przykł adzie  elementu  prostoką tn ego  o  liniowo  zm iennych  momen- tach  m x   i  m y ,  stał ym,  zależ nym  od  ugię ć  wierzchoł ków  elementu  m om encie  skrę cają cym m xy   oraz  ugię ciach  opisanych  wielomianem (5.1)  w  = Rys.  7. Element  ten  zaproponował   BACKLU N D   W pracy  [7]  (rys.  7).  Wyraż enia  aproksymują ce mają   postać  [7]: (5. 2) m xy   = [ 1 - 1  1  - 1] W 5 } W 6 w7 w8 w1 gdzie  i  =   x/ a,  r\  =   y/ b. Ponieważ  zwią zki  (5.2)  okreś lają   w  sposób  jedn ozn aczn y  funkcje  kształ tu,  moż emy bez  trudnoś ci  okreś lić  współ czynniki  macierzy  elementu.  Z  uwagi  n a  t o ,  że  ugię cia  i  mo- menty  skrę cają ce  uzależ nione  są   od  tych  samych  param etrów —  ugię ć  wierzchoł ków  — macierz  elementu  bę dzie  miał a  teraz  wymiar  8 x  8 i  postać i l LL- *1  • "  J  L " 4 1  " 4 2  |   / C3 3  + K 3 < P on adto  funkcje  X"  są   teraz  stał e w  elemencie  stą d  k l 3 J 4   = — 0 . OTRZYMYWANIE  MACIERZY  ELEMENTU   PŁYTY  ZGINANEJ  289 Poniż ej  przykł adowo  wyznaczymy  kilka  wyrazów  tej  macierzy.  Całą   macierz  nieco  w innej postaci  moż na znaleźć w  cytowanej  pracy  BACKLUNDA [7] i  i CC  ,  ,   Ł  CC k  =   K  \   ,0101dAk  — K  \   0xc - i  - i =   -   f  J Ak &,lQ,ldA k -   § rk D,!smacosadr k  = i  i - i  - i Podobnie, jak  dla  elementów  trójką tnych  moż na tworzyć  elementy prostoką tne  o  bardziej skomplikowanej  budowie. 6.  Podsumowanie N a  zakoń czenie  należy  zwrócić  uwagę ,  że  wyraż enie  (3.6)  ma  postać  ogólniejszą   od analogicznych  równań tego  typu  uzyskanych  metodami wariacyjnymi.  Postać funkcjonał u Reissnera  dla  metody  elementów  skoń czonych  zależy  bowiem  od  charakteru  cią gł oś ci funkcji  w, m x ,  m^ , m xy   pomię dzy  elementami [1], Metoda  ortogonalizacyjna  okazuje  się   dobrym  narzę dziem  budowania  macierzy  ele- mentu  dla  modelu  mieszanego  metody  elementów  skoń czonych  i  moż na ją   wykorzystać do  innych problemów  (prę ty, tarcze,  powł oki). Otrzymane  wzory  są   niezależ ne  od  kształ tu  elementu  i  pozwalają   na ł atwe  i  szybkie wyznaczenie  poszczególnych  wyrazów  macierzy  dla  konkretnych  elementów.  Wzory  na- dają   się   do  napisania  uniwersalnej  procedury  dla  EMC na  tworzenie  macierzy  elementu. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  T. H . H .  P IAN ,  P .  T O N G ,  Basis of finite  element methods for  solid continua,  I n t. J.  N um. M eth. Eng., 1  (1969),  3—28. 2.  O . E .  H AN STEN ,  Finite element  methods  as  applications  of  variationalprinciples,  roz.  15 Finite  element methods in stress analysis, (ed.  I .  H OLAN D ,  K.  BELL),  TAPIR, Throndheim, N orway,  1970. 3.  R. S. D U N H AM , K. S. PISTER,  A finite  element application of  the Hallinger — Reissner variational theorem, 2nd  Conference  on  M atrix  M ethod  in  Structural  Mechanics, Wright- Patterson  Air  F orce  Base,  Ohio 1968. 4.  L. R.  H ERRMAN N , A  bending analysis for  plates, P roc. Conf.  on M atrix M ethod in Structural M echanics, AFFD L- TR- 66- 80,  1965. 5.  L. R.  H ERRMAN N ,  Finite- element  bending analysis of  plates,  J.  Eng.  Mech.  D iv.,  93  (1967)  13—26] 6.  K.  H ELLAN ,  Analysis of  elastic plates  in flexure  by  a simplified finite  element method,  Acta  Politechnica Scandinavica,  Civil  E n g.  Series  46,  Throndheim  1967. 290  B.  WOSIEWICZ 7.  J.  BACKXUND,  Mixed finite  element analysis of plates  in  bending,  Chalmers  Tekniska  H ogskola,  Inst. f.  byggnadsstatit,  Publ.  71:  4,  G oteborg  1972. 8.  M. A.  CRISFILD , dyskusja  do  pracy  [5],  J.  Eng.  Mech.  D iv.,  94  (1968)  706—707. 9.  R . D .  COOK,  dyskusja  do  pracy  [5], J.  Eng.  Mech.  D iv.,  94  (1969)  859—898. 10.  J.  BRON ,  G .  D H ATT,  Mixed  quadrilateral  element for  bending,  AIAA  Journal,  10  (1972)  1359—1361. 11.  W.  VISSER,  A  refined mixed- type  plate  bending element,  AIAA  Journal,  7  (1968)  1801—1803. 12.  A.  CHATTERJEE,  A. V.  SETLUR,  A  mixed finite  element formulation  for  plate problems, I n t.  J.  N um. M eth.  Eng.,  4  (1972)  67—84. 13.  L. R.  HERRMAN N , D . M.  CAMPBELL,  A finite- element  analysis for  thin shells,  AIAA  Journal,  6  (1968) 1842—1847. 14.  L. R.  HERRMAN N ,  W. E.  MASON ,  Mixed  formulation  for  finite  element shell analysis, U niversity  of California. 15.  E.  REISSNER,  On  variational  theorem  in elastisity,  J.  M ath . Physics,  29  (1950)  90—95. 16.  B. A.  SZABO, G . C. LEE, Derevation  of  stiffness matrices for  problems in plane  elasticity  by  Galerkiń s method,  Int.  J.  N um.  M eth.  Eng.,  1  (1969)  301—310. 17.  H .  MIKOŁAJCZAK,  B.  WOSIEWICZ,  Macierz  sztywnoś ci elementu zginanej pł yty  trójwarstwowej,  Mech. Teoret.  Stos.,  11  (1973),  473—485. 18.  O. C.  ZIEN KIEWICZ, Metoda elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa  1972. 19.  V.  KOLAR,  J.  KRAROCHVIL,  M.  ZLAMAL,  A.  Ź ENISEK,  T echnical,  phisical and  mathematical principles of  the finite  element methods,  Rozpr.  CSAV,  81  (1971). 20.  A.  Ż ENISEK N ektere typyprvku a ndkradnich funkci  v metodę  konecnych prvku,  Staveb. Ć asopis,  18  (1970) 48—62. P  e 3  K>  M e I I OC TP OE H H E  MATPH U .LI  5KECTKOCTH   3J I E M E H T A  H 3r H E AE M O H   n jI H T BI CM EIU AH H Ofł   M OflEJIH   C  IIOMOI1ILIO  M E TOflA  BYEH OBA- rAJIEPKH HA Ey6H OBa- rajiepKH Ha  ( [16,  17])  BbmoflHTCH   o Sm u e  BBipa»ceH tra  Ha  iwaTpHiry H 3ra6a  TOH KH X  H3OTponHbix runiT  c n oM om tio  CMemaHHoro  MeTO.ua KOH cmbix 3JieMeHT0B.  O6jiacTB  miH Tbi  pa3flejiHeTCH   Ha aJieiweHTbi,  fljia  Kawfloro  sn eM en ra  n p o r n S bi  w  H nix>   m y>  tn xy   annpoKCHMnpoBajracB  c  n oM om tra  saBHCHMOCTeii  ( 2. 2) .  I lo c jie  noflcranoBKH   (2.2)  B (JiepeH ą H antH tie  ypaBHeHHH  safla^m  ( 2.1) 3  H  nocJieflyioineH   opT oroH ajum in iH   n oJiy^eH H tix  TaKHiw  o6pa- 3OM   BWpa»eHHH   Ha OUIH6Ky  annpOKCHMaL(HH  f u   f 2i   fa  fa,  OTHOCHTentHO  CHCTeMbI W i- ^ X 11 , Q l ,  coraacH o 3aBHCHiwocrH  ( 3.2) , n on y^eH a  cucTeMa ypaBHeHHfi  ( 3. 5) . n pH   Hen3BecTHbix  HBJiJieTCH   HCKOMoft  MaTpimeft  3neMeHTa. noJiy^eH H bix  dpopMyji  noiH oro  3JieMeHTa  c  nocTOHHHbiMH (FeppMaHH   [ 5] ,  F ejijian  [6]) H  npH MoyrojiBH oro  3JieMeHTa  c  JIKH CH H O  H3ineHmomHMHCH   M °- m x   H  m y   H  C nocTOHHHHMH  m xy   (BaKJiyHfl  [7]). n p o se fle H   KpaTKidł   o63op  pa3jnTOH oro S u m m a r y D ETERM IN ATION   OF   TH E ELEM EN T M ATRIX  OF  A  PLATE  OF   BE N D I N G ,  F OR  A  M IXED M OD EL  BY  TH E  ORTH OG ON ALIZATION   M ETH OD The  method of  orthogonalization  [16,  17] is  used  to derive  a general  expression  for  the element matrix used  in  bending  problems  of  thin  isotropic  plates  solved  by  means  of  the  mixed  finite  element  model. The  plate  is  divided  into  elements.  In each  of  the  elements  deflections  w  and  moments  m x ,  m y ,  m xy   are approximated  by  Eqs.  (2.2).  Inserting  Eqs.  (2.2)  into  the  differential  Eqs.  (2.1)  and  orthogonalizing  the expressions  obtained for  f t ,  / 2 , / 3 , / 4  with the  functions  0",  V\   Xi 1 ,  Q\   we  obtain  the  set  of  Eqs.  (3.5). The  matrix  of  coefficients  at  the unknowns  is  the element matrix  sought  for. OTRZYM YWAN IE  MACIERZY  ELEMENTU  PŁYTY  ZG INANEJ  291 The  method  is  illustrated  by  the  example  of  a  triangular  with  constant  moments  (H errmann [5], H ellan  [6]) and  of  a  rectangular  element  with  linearly  variable  moments m x ,  m y   and constant m xy   (Back- lund  [7]).  Short  review  of  various  elements  is  presented. INSTYTUT  BUDOWNICTWA  WODNO- MELIORACYJNEGO  AKADEMII  ROLNICZEJ,  POZNAŃ Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  3  grudnia 1973  r.