Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  12  (1974) MACIERZ  SZTYWNOŚ CI  I  WEKTOR  OBCIĄ Ż EŃ   SUPERELEMENTU JÓZ E F   W R A N I K  (G LI WI C E ) P rzy  obliczaniu  duż ych  konstrukcji  metodą   elementów  skoń czonych —  przy  ż ą danej dokł adn oś ci  obliczeń —  m ogą   zachodzić  przypadki  otrzymywania  równań  o  liczbie  prze- kraczają cej  wielokrotn ie  liczbę   równ ań  moż liwą   do  rozwią zania  n a  maszynie  cyfrowej. W  takich  przypadkach  m oż na  zastosować  sposób  polegają cy  n a  podziale  ustroju  n a s u p e r e l e m e n t y  [1]  stanowią ce  czę ś ci  skł adowe  cał ej  konstrukcji,  obliczeniu  ma- cierzy  sztywnoś ci  tych  superelernentów  i  za  ich  pom ocą   obliczeniu  macierzy  sztywnoś ci cał ej  kon strukcji. W ę zł y grupy  „a" Rys.  1 R óż n ica  mię dzy  elem entem  skoń czonym  a  superelementem  polega  n a  odmiennym sposobie  obliczania  ich  macierzy  sztywnoś ci.  M acierz  sztywnoś ci  elementu  skoń czonego oblicza  się   n a  podstawie  funkcji  kształ tu  [2],  macierz  sztywnoś ci  superelementu  zaś  za pom ocą   macierzy  sztywnoś ci  elementów  skoń czonych.  Otrzymuje  się   ją   poprzez  elimi- nację   pewnej  liczby  dowoln ych  wę zł ów  z  ich  ogólnej  liczby  wynikają cej  z  podział u  super- elementu  n a  elementy skoń czon e. W  pracy  [2] wykazan o  moż liwość  eliminacji  wę zł ów  wewnę trznych  przy  zastosowaniu minimalizacji  funkcjonał u  %. W  pracy  niniejszej  sform uł owano  zadanie  eliminacji  dowolnych  wę zł ów — odmiennie od  Z I E N KI E WI C Z A  [2]. Z astosowan o d o tego  celu m etodę  przemieszczeń. Wykazano,  że ma- cierz  sztywnoś ci  superelem entu  może  być  obliczona  przez  eliminację   pewnej  liczby  nie- wiadom ych  z  ogólnego  ukł adu  równ ań ,  wynikają cego  ze  stosowania  metody  elementów skoń czon ych. M acierz  sztywnoś ci  superelem entu  wyprowadzimy  n a  przykł adzie  tarczy  (rys.  1). P odan y  sposób  jest  równ ież  waż ny  dla  dowolnego  dwuwymiarowego  lub  trójwymiaro- wego  superelem entu.  Liczba  wę zł ów  elementu  przedstawionego  n a  rys.  1 jest  mał a,  toteż 1 3 * 402  J .  WR AN I K obliczenie  macierzy  sztywnoś ci  tego  elementu przez  bezpoś rednie  odpowiednie  «zbieranie» macierzy  sztywnoś ci  elementów  skoń czonych  prowadził oby  do zbyt  duż ych  bł ę dów. D o- danie  pewnej  liczby  wę zł ów  (wę zły  czarne  na rys. 2) zwię ksza  dokł adn ość  obliczeń,  lecz również  liczbę   niewiadomych. Zał óż my, że grupa  wę zł ów  oznaczona indeksem a (biał e), ł ą cznie z grupą   wę zł ów  ozna- czona  indeksem  b  (czarne)  tworzą   siatkę   podział u  n a elementy  skoń czone.  Z a pomocą wszystkich  wę zł ów  a+b  znajdziemy  macierz  sztywnoś ci  elementu  wył ą cznie  z  wę zł ami a (rys.  1).  Jeż eli  macierz  sztywnoś ci  elementu  skoń czonego  trójką tnego  (rys.  2) jest  znana, to  znana  jest  również  macierz  sztywnoś ci  cał ego  elementu  tarczowego  z  wę zł ami  a+b. Oznaczmy  tę  macierz  przez  A,  a macierz  sztywnoś ci  z wę zł ami a, czyli  poszukiwaną   ma- cierz  sztywnoś ci  superelementu przez K. W ę zł y grupy „ b " Rys.  2 Równanie  metody  przemieszczeń  elementu  tarczowego  z wę zł ami a+b  m oż na  zapisać w postaci (1)  Ax+b  = 0, gdzie x  wektor  niewiadomych  przemieszczeń b  wektor  obcią ż eń. Jeż eli  podzielimy  macierz A n a cztery  bloki  w ten  sposób,  by wektor  przemieszczeń  x rozdzielić  n a dwie  grupy:  xa  i x6 tzn .  tak,  by wektor  x„   był  wektorem  przemieszczeń  wę - zł ów  grupy  a (rys.  1), a wektor  x b   był  wektorem  przemieszczeń  wę zł ów  grupy  b, t o ukł ad równań  moż emy  przedstawić  w postaci - >  • *  "* Af l a xa + Ao 6 Xi, + b f l  =  0, A ba x a +A bh x b +b b   = 0. M ACIERZ  SZTYWNOŚ CI  I  WEKTOR  OBCIĄ Ż EŃ 403 Jeż eli  liczba  wę zł ów  grupy  a  wynosi  s,  a  liczba  wę zł ów  grupy  b  przy  wymiarze  ma- cierzy  A  «x«~ wyn o si  n—s,  wówczas  macierze  z  ukł adu  równ ań  (2)  przedstawiają   się n astę pują co: a s , s ...  a. %2, a S +   lift X> t,b M n oż ąc  obie  stron y  drugiego  równ an ia  ukł adu  (2) przez  Aĵ 1  i przekształ cają c je  otrzy- m am y (3)  x b   =   - A^ Aia Xa - A^ b j. P odstawiają c  relację   (3) do  pierwszego  równ an ia  (2)  otrzymamy  po przekształ ceniu (4)  (Aaa- AafcA^Aj^Xa  +  O ba- AaiA^bj)  =   0. Jeż eli  oznaczymy l v  - 1  Aga  AffbAfri)  J\ frtl- > l " wówczas  równ an ie  (4) m oż na zapisać  w  postaci (5) K xo + k p  =   0. W  dalszym  cią gu  rozważ ań  wykaż emy,  że macierze  K i k p  są   odpowiednio, macierzą   sztyw- noś ci  superelementu, tzn . elem entu z wę zł ami grupy  a, i wektorem  obcią ż eń superelementu. Jeż eli wę zł om grupy  b  n adawać  bę dziemy  kolejno  odpowiednie przemieszczenia  x b   — 1 (rys.  3a), wówczas  w  każ dym  wę ź le  grupy  a  wystą pią   sił y  tworzą ce  macierz Aa j,  a  w  każ- dym  wę ź le  grupy  b,  sił y  tworzą ce  macierz  Abb •   P odobn ie,  nadają c  przemieszczenia  jed- n ostkowe  wę zł om  grupy  a  (rys.  3b),  otrzym am y  macierz  Aofl  utworzoną   z  sił   wystę pują- cych  w  wę zł ach  grupy  a,  i  m acierz  A ba   utworzoną   z  sił  wystę pują cych  w  wę zł ach grupy  b. M oż emy  wię c  zapisać  nastę pują ce  równanie  m etody  przemieszczeń  jako  równanie równowagi  sił  w  wę zł ach grupy  b (6)  A6ŁXi,sH- A(,a  =   0, gdzie A bb   macierz  kwadratowa  utworzon a  z  wartoś ci  sił   wywoł anych  w  wę zł ach  grupy  b, kolejnymi  przemieszczeniami  jedn ostkowym i  wę zł ów  grupy  b, 404 J.  WRAN IK macierzmacierz  prostoką tna  utworzona  z  wartoś ci  sił   wywoł anych  w  wę zł ach  grupy  b, kolejnymi  przemieszczeniami jednostkowymi  wę zł ów  grupy  a, macierz  prostoką tna  przemieszczeń  wę zł ów  grupy  b  dla  kolejno  wymuszanych kolejnymi  przemieszczeniami jednostkowymi  wę złó x ba   macierz  prostoką tna  przemieszczeń  wę zł ów  grupy przemieszczeń  jednostkowych  wę zł ów  grupy  a H.s "'P,? Z  równania  (6)  otrzymamy (7) a ~~  * * & b  **f c a  • Rys.  3 Poszukiwana  macierz  sztywnoś ci  K  Superelementu  z  wę zł ami  a jest  macierzą   utworzoną z  wartoś ci  sił   w  wę zł ach  grupy  a  w  wyniku  wymuszonych  przemieszczeń  jednostkowych wę zł ów  grupy  a, wię c (8)  K  =  Afl(,X;,a+ A„„, gdzie A ab   macierz  prostoką tna  utworzona  z  wartoś ci  sił   wywoł anych  w  wę zł ach  grupy  a kolejnymi  przemieszczeniami  jednostkowymi  wę zł ów  grupy  b, A aa   macierz  kwadratowa  utworzona  z  wartoś ci  sił   wywoł anych  w  wę zł ach  grupy  a kolejnymi  przemieszczeniami jednostkowymi  wę zł ów  grupy  a. Podstawiają c  do  relacji  (8)  relację   (7)  otrzymamy  macierz  sztywnoś ci  K  superelementu (9)  K  =   A aa —A ab A b bAba- —K W  podobny  sposób  otrzymać  moż na  wektor  obcią ż eń  k p  w  wę zł ach  superelementu dla  dowolnych  obcią ż eń  zewnę trznych  P f .  Oznaczmy  wektor  obcią ż eń  w  wę zł ach  grupy  a przez  b a ,  a  w  wę zł ach grupy  b przez  bb,  wówczas (10)  A w x 6 + b 6  =   0, stą d ( U )   ̂ =   - Aw,1?*. M ACIERZ  SZTYWNOŚ CI  I  WEKTOR  OBCIĄ Ż EŃ   405 - • Wektor  obcią ż eń  k p  otrzym am y  w  postaci (12)  kp  =   A a 6 x 6 + b a . P odstawiają c  (11)  do  (12)  otrzym am y  wektor  obcią ż eń  superelementu (13)  kP  =   ba~AttbAbt,  bb. N a  podstawie  zn an ych  macierzy  sztywnoś ci  i  wektorów  obcią ż eń  zespoł u  superele- m en tów  obliczyć  m oż na  macierz  sztywnos'ci  i  wektor  obcią ż eń  superelementu,  n a  który skł adają   się   wszystkie  elementy  zespoł u. Obliczenie  przeprowadzić  moż na wedł ug  wzorów (12)  i  (13). M acierz  sztywnoś ci  K jest  zbiorem  sił  wystę pują cych  w  wę zł ach grupy  a  (rys.  1) w  wy- n iku  wymuszonych  przemieszczeń  jednostkowych  x a   ~  1,  wektor  k,  zaś ,  zbiorem  sił wystę pują cych  w  wę zł ach  superelem entu  (rys.  1)  wywoł anych  sił ami  zewnę trznymi  P { . R ówn an ie  (5)  m oże  być  traktowan e  również  ja ko  pewien  sposób  rozwią zywania  rów- n an ia  (1). Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A.  KOCIOŁEK,  Mechanika  budowli  w  systemie automatyzacji projektowania.  Zastosowanie  elektronicz- nych  maszyn  cyfrowych w pracach inż ynierskich, Konferencja  nauk.- techn. N OT, Katowice  1971. 2.  O. C.  ZIEN KIEWICZ,  Metoda  elementów skoń czonych,  Arkady,  Warszawa  1972. P  e 3  K)  M  e MATPHIJA  JKECTKOCTH  H   BEKTOP HATPY3KH   CyrjEP3JIEMEH TA B  paSoxe  yiKecTKocTH   cynepoJieivteHTa  H  e r o BeKTop  H arpy30K  MOH