Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  12  (1974) WPŁYW  NEEJEDNORODNOŚ CI  STAN U   N APRĘ Ż EN IA  W PRZEKROJU  POPRZECZNYM POŁĄ CZENIA  NA OBCIĄ Ż ENIE  ZWOJÓW  G WIN TU * M AR I A  B A C Z Y Ń S KA  (K R AK ÓW) 1.  Wstę p W  analizie  rozkł adu  obcią ż eń  w  zwojach  gwintu  poł ą czeń  ś rubowych  ogólnie  przyj- m owan e  jest  zał oż enie  o  równ om iern oś ci  rozkł adu  sił y  w  przekroju  poprzecznym  ś ruby i  n akrę tki  [ 1 , 2 , 4 , 5, 6, 7, 9].  W  rzeczywistoś ci  rozkł ady  są   nierównomierne,  a  podan e rozwią zania  obarczon e  wynikają cym  stą d  bł ę dem.  Obecnie  podejmiemy  próbę   oceny tego  bł ę du, w n awią zan iu  do rzeczywistych  stan ów  n aprę ż en ia w trzpieniu ś ruby  i  korpusie n akrę tki.  Z e wzglę du  n a trudn oś ci  teoretyczne  i  doś wiadczalne  nie analizowano  obiektu koł owosym etrycznego,  jakim  jest  rozpatrywan e  poł ą czenie ś rubowe,  zastę pując  go mode- lem  pł askim ,  dla  którego  dyspon owan o  niem al  gotowym  rozwią zaniem  teoretycznym, ł atwym  do weryfikacji  doś wiadczalnej.  M o ż na  oczekiwać,  że  rozkł ady  naprę ż eń  w prze- kroju  wzdł uż nym  poł ą czen ia  {a x ,  a r ,  x xr )  i  n aprę ż eń  w  m odelu  pł askim  o  tym  samym kon turze  (a x ,  a y ,  r xy )  są  jakoś ciowo  iden tyczn e.  P ozwala  t o n a  wycią ganie  interesują cych n as  wn iosków  dla poł ą czen ia ś rubowego  na podstawie  wyników  analizy  stosowanego  m o- delu  pł askiego. W  praktyczn ie  realizowan ych  poł ą czeniach  ś rubowych  n a  dł ugoś ci  skrę cania  pracuje wiele  zwojów,  a  n aprę ż en ia  poch odzą ce  od obcią ż enia  poszczególnych  zwojów  nakł adają się   n a siebie.  An aliza  takiego  zł oż onego pola  n aprę ż eń nastrę czał aby w naszym  przypadku duże  trudn oś ci  zwią zane  z  koniecznoś cią   wyodrę bnienia  skutków  obcią ż enia  poszczegól- nych  zwojów,  tym wię ksze,  że rozkł ad  tych  obcią ż eń  n ie jest  z  góry  znany.  Trudność tę om inię to  przez  zastosowan ie  m odelu z jedn ym  zwojem  pracują cym.  Przyję to  go w postaci pł askiej  pł ytki  z  symetrycznie  wzglę dem  jej  osi  rozmieszczonymi  wystę pami,  modelują - cymi  zwój.  Sym etria  uł atwia  tu  an alizę   zarówno  teoretyczną ,  jak  i  doś wiadczalną,  nie powodują c  dodatkowych  trudn oś ci  w  interpretacji  wyników.  Wspom n ian a  pł ytka  mode- luje  zasadn iczo  tylko  ś rubę.  P on ieważ  jedn ak  ch arakter  współ pracy  zwoju  z  trzpieniem ś ruby  i  korpusem  n akrę tki  jest  analogiczny,  wnioski  uzyskane  z  analizy  jedn ego  z tych elementów  m oż na  bez  trudn oś ci  rozszerzyć  n a  cał e  poł ą czenie. Stan  n aprę ż en ia  w  om ówion ym  m odelu  okreś lono  niezależ nie  od  siebie  teoretycznie i  doś wiadczalnie,  kon fron tują c  otrzym an e  w  obu przypadkach  wyniki. ;  . .  .  . , . . • • • *  Praca  został a  wyróż niona  n a konkursie  n a prace  doś wiadczalne z mechaniki  technicznej — zorga- nizowanym  przez  Oddział   PTM TS  w Krakowie  w 1973 r.  ' 474 M .  BACZYŃ SKA 2.  Teoretyczna  analiza  stanu  naprę ż enia  w  pł askim  modelu  ś ruby  obcią ż onej  na  jednym  zwoju M odel  ś ruby  przyję to  tu  w  postaci  nieskoń czenie  dł ugiego  pasma  z  symetrycznie rozmieszczonymi  wystę pami  (rys.  la ) .  Pomijają c,  jako  nieistotną   w  obecnej  analizie, skł adową   promieniową   obcią ż enia  ś ruby,  przyję to  obcią ż enie  wystę pów  sił ami  P  równo- legł ymi  do  pasma.  P o  myś lowym  odcię ciu  wystę pów,  otrzymujemy  pasmo  gł adkie,  obcią - a •   ' i  >  .   - 2P b r 1 • Rys.  1 zone symetrycznie na odcinkach 2a sił ami stycznymi  T   =  Pi  momentami M  =   Pe  (rys.  lb) . Przyję to  nastę pnie, że  sił y  T   rozkł adają   się   równomiernie  n a  odcinkach 2a,  oraz moment M  realizowany  jest  przez  liniowo  rozł oż one n a  tych  odcinkach  obcią ż enia  norm alne '  .  .  j  •   •   ' • ' . ' ' (2.1)  t  =  T ~'  P^ J'- fX- D la  obu  powyż szych  rodzajów  obcią ż enia  podan o  oddzielnie  rozwią zania,  adaptują c odpowiednie  wzory  z  monografii  [8]  TEOD ORESCU .  Interesują ce  nas  wzory  n a  naprę ż enia podane  są   tam  w  formie  cał ek  F ouriera,  a  funkcje  podcał kowe —  stabelatryzowań e. '  • ' . '  •   "  •   '  '  '  : Rys.  2 I  '  •   ', ' • " . ' •   .  . p x • - .  { N iestety musiano zrezygnować  z korzystania  z tablic, gdyż nie pozwalał y  one n a  uzyskanie wymaganych  dokł adnoś ci.  Spowodował o  to  konieczność  okreś lenia  wyraż eń  podcał ko- wych  w  formie  jawnych  funkcji  zmiennych przestrzennych  (x,  y)  i  param etru  rozwinię cia (a) i w konsekwencji  dokonania odpowiednich podstawień  i przekształ ceń. W P Ł YW  N I E JE D N O R O D N O Ś CI  STAN U  N AP R Ę Ż E N IA 475 D la  pasm a  obcią ż onego  symetrycznie  n a  brzegach  sił ami  stycznymi  t(x),  rys.  2,  po wykorzystan iu  wzorów  (7.354)  TEOD ORESCU   i  dokon an iu  przekształ ceń  omówionych bliż ej  w  pracy  doktorskiej  BACZYŃ SKIEJ  [3]  ot rzym an o: UL n  J sinA,8  ch/ 9 P  shpchp  + P (2.2) o v   =  - - sin ch/ 9 o oo 2?0  f  sir n  J shpchp+p chp [(1  -   /S th p) s cos  A/Jf  dp, w  których (2.3) f. W  interesują cym  n as  przypadku  (rys.  1)  pasm o  po dpart e jest  jedn ostron n ie.  P rzypadek ten  otrzym am y  n akł adają c  n a  stan  n aprę ż eń  opisany  funkcjami  (2.2) jedn orodn e, jedno- osiowe  rozcią ganie  w  kierun ku  osi  x  n aprę ż en iem  - j- t 0   (rys.  3),  ską d CO ot  r  sit (2.4)  ax = ii°-   iH 31  J shpchp+p Rys.  3 P- 2t o a . Rys.  4 Obcią ż enie  m om en towe  sprowadzon o  do  liniowo  rozł oż onego  obcią ż enia  norm alnego, antysymetrycznego  wzglę dem  osi  y  (rys.  4).  P o  stosowanych  przekształ ceniach  [3]  otrzy- m a n o : •   . 476 M .  BAC Z YŃ SKA Ox  =   - y3+ sh ^ c h ^ (2.5)  a y   =   - 3M 3M  C  sin Aft- ft  cos Aft  shft[(l- ftcthft)chftł ?+ ft??shft??] DO J  Ap 0 0 0 3 M  C  sin Aft—ft  c o s Aft na  J  .  f^p / S+ sh^ch/ 3 0,25  0,5 0,75  1,0  rj 1 , 0   I) Rys.  5 Obliczenia  numeryczne  wartoś ci  n aprę ż eń  wykon an o  w  Oś rodku  Elektronicznej  Techn iki Obliczeniowej  P olitechniki  Krakowskiej  n a  maszynie  cyfrowej  Odra  1204,  dla  X  =  1/ 3,2. Otrzymane  rozkł ady  n aprę ż eń  zilustrowano  wykresami  n a  rys.  5 i  6. Tctr Q3\­ 0,1  V 0,25 0,5 Q3 0,2 0,1 Rys.  6 [477] 478 M .  BAC Z YŃ SKA 3.  Weryfikacja  doś wiadczalna  stanu  naprę ż enia  w  modelu  pł askim Okreś lony  w  rozdziale  poprzedn im  stan  naprę ż eń  w  m odelu  pł askim  zweryfikowano doś wiadczalnie  badan iam i  elastooptycznymi.  Wykon an o  je  n a  m odelach  o  kon turach pokazanych  n a  rys.  7,  stosują c  technikę   ś wiatła  przechodzą cego.  M odel  D,  o  dwukrotn ie Model D Model  M Ł 6 4 ,  14   ,  50 4 4 i  i r 56 Rys.  7 115 R ys.  8 W P Ł YW  N I E JE D N O R O D N O Ś CI  STAN U   N AP R Ę Ż E N IA 479 Model D Model M Rys.  9 powię kszonym  wystę pie  w  stosunku  do  ś rednicy  w  porównaniu  z  proporcjami  gwintu trapezowego  Tr 28x5,  wykonano  drogą   obróbki  mechanicznej z pł yty o gruboś ci  8  mm odlanej z ż ywicy poliestrowej.  Model M odpowiada  proporcjom  gwintu  Tr 28 x 5; wyko- nany został  z ż ywicy epoksydowej  przez  odlanie w formie  kształ towej. Badania elastoop- tyczne  przeprowadzono  na polaryskopie  Firmy Zeiss  w Instytucie  Odlewnictwa. Sposób  zamocowania  modelu D w uchwycie  pokazano  na rys.  8. N a rys.  9 pokazano fotografie  izochrom  wykonane  dla modelu  D przy  obcią ż eniu  96 kG , dla modelu  M  — przy  obcią ż eniu  45  kG . 5  Mechanika  Teoretyczna Ii! WP ŁYW  NIEJEDNORODNOŚ CI  STANU   NAPRĘ Ż ENIA 481 F otografie  izoklin  wykon an o  co  10°.  Czę ść  z  n ich  dla  modelu  D,  ką tów  0°,  20°,  40°, 60°,  80°  i  obcią ż enia  24  k G   pokazan o  n a  rys.  10.  N a  ich  podstawie  wykonano  (rys.  11) izokliny  i  wyznaczono  trajektorie  n aprę ż eń  gł ównych  (rys.  12).  Linie  cią głe  oznaczają przewagę   n aprę ż eń  rozcią gają cych,  linie  przerywane  przewagę   naprę ż eń  ś ciskają cych. Z e  wzglę du  n a  ukierun kowan y  ch arakter  om awianych  badań  nie  zachodził a potrzeba peł nego  ich  opracowan ia.  Z astosowan o  t u  postę powan ie  odwrotne,  sprowadzają c  wyniki analizy  teoretycznej  do  postaci  wyników  doś wiadczalnych,  co  pozwolił o  ominą ć ż m udne Rys.  11 Rys.  12 ł   , i  m ał o  dokł adn e operacje  obliczan ia  wartoś ci  n aprę ż eń  gł ównych  n a  podstawie  izochrom i  trajektorii  n aprę ż eń  gł ównych.  Pierwszą   czynnoś cią   w  tym  postę powaniu  był o  dosto- sowanie  obcią ż eń  m odelu  teoretyczn ego  do  doś wiadczalnego. Oznaczm y  odsunię cie  sił  P  od  krawę dzi  m odelu  (rys.  1) przez (3.1)  e  =   ka: Wówczas  , (3.2)  M  m  2kt o a 2 . N a  podstawie  rys.  9  oszacowan o  k  =   1,33,  Superponują c  naprę ż enia  od  sił   stycznych  T i  m om en tów  M  otrzymujemy r  - 2to(A 71 (3.3)  o x   =  — 0 - \ A x +lkB x + gdzie przez  wyraż enia  A  i B  ozn aczon o odpowiedn ie  cał ki  we  wzorach  (2.2) i  (2.5). 482 M .  BACZYŃ SKA Obliczono  bezwymiarowe  wartoś ci  n aprę ż eń (3.4)  ^f- J,  *- 2r£.  W- y- -̂ dla modelu teoretycznego i fc =   1,33  oraz  wartoś ci  izoch rom  ( 5 t - . s2)  =   ] / ( ^ + ^ ) 2 + 4 ^ y m J "h 0,01  g2Si  051 JSL N a  rys.  13  n a  tle  siatki  przestrzennej  ( £ , rf) wpisano  wartoś ci  (s t —  s 2 )  i  wykreś lono  izo- chromy.  Widoczna jest  dobra  zgodność  przebiegów  izoch rom wyznaczonych  teoretyczn ie i otrzymanych doś wiadczalnie  (rys. 9) dla modeli o tych samych proporcjach  wym iarowych. 4.  Wnioski  z  analizy  modelu W  analizie  pracy  poł ą czeń  ś rubowych  warun kiem  wyjś ciowym  jest  warun ek  odkształ - ceń (4.1) w  którym  e„e H —'Odkształ cenia  odcinkowe  odpowiedn io  rdzen ia  ś ruby  i  korpusu  n a- krę tki, / —  ugię cie  zwojów,  x  —  zm ienn a  wzdł uż  osi  poł ą czen ia  [3]. Odkształ cenia  e,,e„   okreś lone  są  przy  zał oż eniu  równ om iern ego  rozkł adu  sił y  rozcią- WP Ł YW  NIEJEDNORODNOŚ CI  STANU   NAPRĘ Ż ENIA 483 gają cej  ś rubę  N s ,  wzglę dn ie  ś ciskają cej  ko rp u s  n akrę t ki  N „  w  przekroju  poprzeczn ym poł ą czen ia (4- 2) es  — E„  — P rzean alizujem y  wyn iki  ba d a ń  w  aspekcie  ró wn an ia  (4.1). Rys.  14 R ozpatrzym y  w  t ym  celu  ro zkł ad  n aprę ż eń  a x (s x )  wzdł uż  brzegu  m odelu.  N a  rys. 14 p o kazan o  ro zkł ad  tych  n aprę ż eń  otrzym an ych  teoretyczn ie  (krzywa  a)  i  doś wiadczalnie (krzywa  b) n a tle n aprę ż eń  ś redn ich  s xir   =   - r - «—• R ó ż n ica  ich  wywoł uje  odkształ cen ia  dodat kowe (4.3)  £ ; c = ^ Z ^ ( rozł oż one  an tysym etryczn ie  wzglę dem  osi zarysu  obcią ż onego  zwoju  i  w  konsekwencji d o d at ko we  przem ieszczen ia  obcią ż on ego  zwoju  wzglę dem  są siednich.  Wynoszą  on ed o d at ko we  przem ieszczen ia u  n (4.4)  / _„  =   /   e x dx,  f h   =   /   s x dx, - h  0 odpowiedn io  wzglę dem  zwoju  poprzedn iego  i  n astę pn ego. 484  M.  BACZYŃ SKA W  rozpatrywanym  przypadku  wedł ug  rozwią zania  teoretycznego  jest (4.5)  Jl- / - »-  - / *>0, co  oznacza, że zwoje  są siadują ce z obcią ż onymi  nie zmienił y wzajemnej odległ oś ci.  D oty- czy  t o oczywiś cie tylko przemieszczeń wynikają cych z róż nicy  naprę ż eń  n a brzegu i naprę - ż eń  ś rednich.  Okazuje się , że obszar niezgodnoś ci  naprę ż eń  n a  brzegach  ze  ś rednimi  og- ranicza  się  do bezpoś redniego  są siedztwa z  odcinkiem  obcią ż onym.  Stą d  wycią gnię to wniosek,  że  nierównomierność  ta powoduje dodatkowe  przemieszczenia  zwoju  obcią ż o- nego,  a  nie  ma  istotnego  wpł ywu na zwoje  pozostał e.  T o dodatkowe  przemieszczenie moż emy  wł ą czyć  do ugię cia zwojów i przyją ć  odpowiednią   charakterystykę   (podatnoś ć) warstwy gwintowej. W  ś wietle tych  badań  nierównomierność rozkł adu  naprę ż eń w  przekroju  poprzecznym poł ą czenia  nie wpł ywa  na  charakter  rozwią zania. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  M .  BACZYŃ SKA,  W.  KR Z YŚ,  Analiza rozkł adu sil  w  zł ą czu ś rubowym z gwintem jako  warstwą  podatną , Czasopismo  Techniczne,  6  (1971). 2.  M .  BACZYŃ SKA, W. KRZ YŚ,  W pł yw wstę pnego  odstawania zwojów i luzu osiowego na rozkł ad sil  w  zł ą czu ś rubowym,  Czasopismo  Techniczne,  6- M   (159)  (1972). 3.  M .  BACZYŃ SKA,  Praca  doktorska.  Politechnika  Krakowska, 1973. 4.  H .  A.  EinTEPj  Pacnpede/ ieuue  uaipy3KU  Meotcby  eunucaMu  pe3Óu,  Bec ran K  ManiHHOcrpoeHHHj  7,  11 (1964).  ; 5.  B.  KyKJiHH,  Ymomemie  paccnemoe  pe3b6oeux  coedunemU,  Be c n m K  ManiH H OcrpoeimH j  7  ( 1957) . 6.  L .  M AD U SC H K A,  Beanspruchurtg  von  Schraubenverbindungen  und zweckmSssige  Gestaltung  der  Gewin- dertrdger,  F orsch.  Ing- Wes.,  7  (1936). 7.  A.  POÓCZA,  Kraftverteilung in axial belasteten  Gewindeverbindungen,  Technische Rundschau, 44 (1966). 8.  P . P . TEODORESCU,  Probleme Plane in  T eoria Eldś ticitatii, E AR P R ,  1960. 9.  H . E . JKyKOBCKulł ;,PacnpedeAeuue  daejiemii  na tiapeaicax mmma  u launu,ITojiH oe  co Spam ie  COH H H CH H H , O H T H ,  1937. P  e 3K>   M e BJIH flH H E  H ECWIOPCOTH OCTH   H AITPJD KEH H OrO  C OC TOJI H H JI B  I TOn E P E tfflOM   C E ^I E H H H   C OE flH H E H H H   H A  H Ar p y3 K Y BH TKOB  P E3BBŁI AHajiH3npyeTCH   pacnpefleneH H e  H arpy3KH   B  BHTKax  pe3t 6oBbix  coefflraeH H ii  c  q e m i o  npoBepKH o6menpH H H Toro  npeflnojio>KeH H a  o  paBHoiwepHocTH   pacn pefleJiem iji  ycujraił   B  nonepeiH OM   ce^eHHH 6ojiTa  u  raił KH , H  oflHOBpeMeHHo  npeflnpHHHiwaeTCH   nonBiTKa  orieHKH   n o rp en m o cT H .  AH ajm3  npoH 3BO- flH TCH  flJia njiocKofi  MOflenH   6ojiTa,  H arpyweH H oro  Ha oflHOM   B H T K C  T eopeT H iecK oe  p eu iein ie n o «- KpenjiH eTcs  pe3yjn>TaTaiviH   noJiHpH3at(HOHHo- otiTrr«ecKHX  3KcnepHMeHTOB.  AB T O P  npnxoflH T  K  BHBOflyj I T O  o6jiacTŁ3  fljiH   KOTopoił  H anpaweH H H  n o  nepHepHH   ounwaioTC H   OT  cpeflHHX  HanpHHceHHi43 orpaH H - ^ en a  K HenocpeflCTBeHHoii  oKpecmocTH   H arpyweH H oro  OTpe3Kaj  XITO  BbratiBaeT  flo6aBO*iH oe  nepeiwem e- HHe  H arpymeH H oro  BHTKa H  He BOTWCT  Ha  ocraJiBH Łie  BH T K H . vD to6aBO iiH bie  n epeM em em m  iworyT  ytiH Tbi- BaTBCfl  coBMeciHo  c  nporat6oM   BH TKOB  nyieiw  npHHHTHH   cooTBeicTByiomeft  xapaKTepncTHKH   pe3Ł6oBoń 30HBI.  BBHfly  npH BeaeH H tix  pe3ym>TaT0B  HccjieHOBaHHń  aBTop  npaxoflH T  i< 3ai«noqeH m Oj  I T O  H epaBH o- MepHocTŁ  pacnpefleneH H H   HanpHH