Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  12  (1974) Z ASTOSOWAN IE  R Ó Ż N IC  SKOŃ C Z ON YCH   D O  TWORZEN IA  MACIERZY  SZTYWN OŚ CI W  M E T O D Z I E  E LE M E N T Ó W  SKOŃ C Z ON YCH   N A  PRZYKŁAD ZIE  ZG IN AN EJ  PŁYTY KRZYSZTOF   D E M S ,  JANUSZ  L I P I Ń S KI  (ŁÓD Ź) 1.  Wstę p Stosowanie  m etody  elem entów  skoń czonych  prowadzi  w  efekcie  do  rozwią zania ukł adu  równ ań  liniowych  o  duż ej  liczbie  niewiadomych.  Ilość  tych  niewiadomych  zależy od  liczby  wę zł ów  wprowadzon ych  w  ciele  oraz  od  iloś ci  stopni swobody  wprowadzonych w każ dym  wę ź le i jest  on a równ a  iloczynowi  liczby  wę zł ów i iloś ci  stopni  swobody  w  wę ź le. Przyję ta  ilość  stopn i  swobody  w  wę ź le  decyduje  o  wł asnoś ciach  wprowadzonej  funkcji przemieszczeń  wewną trz  elem en tu,  a  przede  wszystkim  na  krawę dziach  elementów  sty- kają cych  się . W  zagadnieniu  zgin an ia  pł yty  przyję cie  w  wę ź le  elementu  krzywoliniowego  trzech stopn i  swobody  zapewnia  jedyn ie  cią gł ość  ugię ć  n a  granicy  elementów  [4].  Wprowadza- ją c  n atom iast  cztery  lub  wię cej  stopn i  swobody  w  wę ź le  moż na  uzyskać  cią gł ość  funkcji ugię cia  wraz  z  jej  poch odn ym i  nie  tylko  w  obszarze  jedn ego  elementu,  ale  w  obszarze cał ej  pł yty.  Odbywa  się   t o  jed n ak  kosztem  znacznego  zwię kszenia  liczby  niewiadomych w  rozwią zywanym  ukł adzie  równ ań  [2], W  pracy  podję to  pró bę   zachowan ia  cią gł oś ci  funkcji  ugię cia  i  jej  pochodnych  przy równoczesnym  zmniejszeniu  iloś ci  stopn i  swobody  każ dego  wę zł a.  Jako  stopnie  swobody wę zła  przyję to  jedyn ie  jego  ugię cie,  a  odpowiednie  pochodn e  tego  ugię cia  zastą piono ilorazam i  róż nicowym i.  P rowadzi  to  w  efekcie  do  ukł adu  równań,  w  którym  liczba niewiadomych  równ a  jest  liczbie  wę zł ów.  M etodę   opartą   n a  takich  zał oż eniach  przed- stawiono  n a  przykł adzie  wyznaczania  macierzy  sztywnoś ci  krzywoliniowego  elementu cienkiej,  izotropowej  zginanej  pł yty. 2.  F un kcje  jedn ostkowe  w  elemencie R ozpatrzm y  obszar  skł adają cy  się   z  kwadratowych  elementów  o  wymiarze  boków 2 x 2 ,  leż ą cych  w  jedn ej  pł aszczyź nie  (rys.  1). Z  każ dym  elementem zwią zany  jest  lokalny ukł ad  współ rzę dnych  |»  r\  o  począ tku  leż ą cym  w  ś rodku  cię ż koś ci  elementu  i  osiach równoległ ych  do  boków  elem entu.  Wierzchoł ki  każ dego  elementu  nazywać  bę dziemy dalej  wę zł ami.  R ozpatrzm y  jeden  z  elementów  tego  obszaru  (rys.  2).  Przyjmijmy, że  w  obszarze  tego  elementu  istnieje  cią gła  i  róż n iczkowalna  funkcja  dwóch  zmiennych 548 K.  D EM S,  J.  LIP IŃ SKI ,  rj), której  postać  nie jest  zn an a.  Z godnie  z  przyję tym  w  m etodzie  elem entów  skoń- czonych  postę powaniem,  funkcję  tę  m oż na  zastą pić  jej  przybliż eniem  w  postaci  [8] (2.1)  F(C,rj)  =  [Qik]- {f ik }, gdzie  {/ft}  jest  zbiorem  wartoś ci  w  wę zł ach  przybliż anej  funkcji  oraz  jej  pochodn ych. [Q ik ]  jest  n atom iast  macierzą  funkcyjną  tzw.  funkcji  jedn ostkowych ,  t a k  obran ych ,  aby dawał y  odpowiednie  wartoś ci  funkcji  lub  jej  poch odn ych  w  wę zł ach,  gdy  d o  (2.1) wsta- wiane  bę dą  współ rzę dne  odnoś nych  wę zł ów. A i  • J 1 D G 2 % B E H F 1 K A 1Z Zl M Rys.  1 N A11 W  dalszej  czę ś ci  pracy  przyjmować  bę dziemy  dwa  rodzaje  zbioru  {/ ;*}: —  zbiór  wartoś ci  wę zł owych  zawiera  jedynie  wartoś ci  funkcji  w  każ dym  wę ź le, —  zbiór wartoś ci  wę zł owych zawiera  wartoś ci funkcji  oraz wartoś ci  obu jej  pierwszych pochodnych  i  drugiej  pochodnej mieszanej  wzglę dem  £ , r\   w  każ dym  wę ź le. W  przypadku  pierwszym  funkcje  jedn ostkowe  Qik  przedstawim y  ja ko  iloczyny  wielo- mianów  Lagran ge'a  w  postaci j),  t, k  -   1, 2;(2.2)  2 " ( £ , tj) = L   jest  tu  funkcją  jednej  zmiennej  o  wł asnoś ci =   d lk , gdzie /   —  indeks  wę zła  dla  którego  opisan a  jest  funkcja, j  —in d e ks  wę zła  w  którym  obliczana  jest  wartość  funkcji, d t j  —  symbol  Kron eckera. D la  elementu  z  rys.  2  funkcje  te  mają  explicits  p o st ać : (2. 3) Z AST O SO WAN I E  R Ó Ż N IC  SKOŃ C Z ON YCH 549 W  przypadku  drugim  funkcje  jedn ostkowe  Qik  przedstawimy  jako  iloczyny  wielo- m ianów  H erm ite'a  w  postaci [2]: (2.4)  Qikpą   -   Hlp{S)HH{ri),  i, k,p, q =  1, 2; H  jest  tu funkcją   jedn ej  zmiennej  o wł asnoś ci d J H'"(z k )  .  . dz j gdzie i  —  in deks  wę zła  dla  którego  opisan a  jest  funkcja, k  —  in deks  wę zł a,  w  którym  obliczana  jest  wartość  funkcji, p  —  rzą d  wielom ian u  H erm ite'a, j  —r z ą d  poch odn ej  wzglę dem  zmiennej z. T ak  opisan a  funkcja  (2.1)  wym aga  znajomoś ci  w wę ź le  czterech param etrów.  Z biór  war- toś ci  wę zł owych  dla  rozpatrywan ego  elementu  (rys.  2) przyjmuje  zatem  postać (2.5)  {flk}  =   {/ ll/ ll,?/ ll,i;/ il,4i(/ l2 • • • f22,in\  • W  celu  zmniejszenia  iloś ci  param etrów  w  wę ź le  zastą pmy  odpowiednie  pochodne wę zł owe  ilorazam i  róż n icowym i.  D oł ą czamy w  tym  celu  do rozpatrywanego  elementu r j , An T" i i—  — ADO Am Rys. 3 i i A30 elementy  są siednie  (rys.  3).  Odpowiednie  poch odn e  funkcji  w  wę zł ach  rozpatrywanego elementu  m oż na  teraz  wyrazić  w  postaci: (2.6) flk.1  " T 550  K.  D EM S,  J.  LIP IŃ SKI Wykorzystują c  (2.6)  w  (2.5) i  przekształ cają c  nastę pnie  prawą   stronę   (2.1),  funkcje  jed- nostkowe  (2.4) wyrazimy  w  formie (2.7)  Qik  -   F- '(C)Fk( V ),  i, k =  0, 1, 2, 3, gdzie  funkcje  F  są   wyraż one  przez  wielomiany  H erm ite'a F°=~H 12 ,  F 1  =  -   ~H12- H21, px   = L H 22 - H 1 \   F 3  =   - ~H22. 4  4 Dla  elementu  z rys. 3 funkcje  te mają   explicits  postać: (2.8) 1 6  v  '  •   1 6 - 4 ( - 3 z +z  +  l l z 9 ) ,  F3  = - y, 16  16 Zauważ my,  że okreś lona  w  ten  sposób  funkcja  (2.1), w której  funkcje  jednostkowe wy- raż one są  przez  (2.7), zależy  w  dalszym  cią gu  od 16 param etrów  wę zł owych  wę zł ów da- nego  elementu i  elementów  są siednich  (rys.  3), ale liczba  param etrów  wę zł owych został a zmniejszona  do jednego — wartoś ci  funkcji  w  wę ź le. P ostać  funkcji  jednostkowych  wpł ywa  w decydują cy  sposób  n a wł asnoś ci funkcji  (2.1) przy  przejś ciu  z elementu do  elementu. Jeż eli  funkcje  jedn ostkowe  opisane są  przez  (2.2), to  n a wspólnym  brzegu  dwóch  są siednich  elementów  (rys. 1) zachowana  jest  równość jedynie  wartoś ci  funkcji  okreś lonych  w  każ dym  elemencie.  Jeż eli  n atom iast  funkcje  jed- nostkowe  okreś limy  przez  (2.7), to podobnie jak  przy  stosowaniu  wielomianów H erm ite'a i  czterech parametrów w wę ź le  [2], zachowana jest  n a wspólnym  brzegu  równość  warto- ś ci  funkcji,  jej  obu  pierwszych  podchodnych i  drugiej  pochodnej  mieszanej,  przy  stoso- waniu  tylko  jednego  param etru  wę zł owego. 3.  Transformacja  ukł adu  współ rzę dnych Jeż eli  rozpatrywać  bę dziemy  pł ytę   dowolnego  kształ tu, to odwzorowanie jej  poprzez zbiór  elementów  kwadratowych  wymagać  bę dzie  z jednej  strony  duż ej  liczby  elementów, a  z  drugiej — mogą   wystą pić  trudnoś ci z  dokł adnym odwzorowaniem  brzegu  pł yty. D la  stworzenia  moż liwoś ci  wprowadzania  dostatecznie  mał ej  liczby  elementów,  przy równoczesnym  dokł adnym  odwzorowaniu  brzegu  pł yty,  stosuje  się   przekształ cenie  ele- mentu  kwadratowego  n a inny,  o bardziej  dowolnym  kształ cie. Przekształ cenie to polega n a  transformacji  lokalnego  ukł adu  współ rzę dnych  f,  t]  w  elemencie  do  ukł adu  global- nego  x,y.  Wzajemna  odpowiedniość  mię dzy  ukł adem  lokalnym  i  globalnym  ma  postać: (3- 1)  * - * ( * ,   i7), y = y(i, y). N ajbardziej  wygodny  sposób  przeprowadzenia  transformacji  (3.1)  polega  n a  wykorzysta- niu  w  niej  omówionych  w  pkt.  2  funkcji  jednostkowych.  Wzory  transformacyjne (3.1) moż na  przedstawić  w  postaci  podobnej  do (2.1): (3- 2)  x=[Qik Z ASTOSOWAN I E  R Ó Ż N IC  SKOŃ C Z ON YCH 551 gdzie  zbiory  {x ik }  oraz  {y ik }  są   współ rzę dnymi  wę zł ów  elementu w ukł adzie  globalnym x,y.  P rzy  tego  rodzaju  transform acji  obszar  przedstawiony  n a rys.  1 staje  się  odwzoro- waniem  pł yty dowoln ego  kształ tu przedstawionej  n a rys.  4. Elementy kwadratowe  n a rys. 1 są   odwzorowaniem  krzywoliniowych  elementów  czworoką tnych  z rys.  4, n a  które podzie- lon a  został a  pł yta.  T aki  sposób  odwzorowania  obszaru  w metodzie  elementów  skoń czo- nych  wprowadził   p o raz pierwszy  T AI G   [5], a  uogólnili  ten  pomysł   IRON S  [3],  COON S [1] i  m m . Rys. 4 Jako funkcje  jedn ostkowe  w (3.2) wykorzystać  m oż na zarówno funkcje  (2.2) jak i funk- cje  (2.7),  uzyskują c  odpowiedn io  n a wspólnym  brzegu  są siednich  elementów  w ukł adzie lokalnym  równos'ć  współ rzę dnych  globalnych  krzywoliniowego  brzegu  elementów lub też  równość  współ rzę dn ych i ich  pierwszych  pochodn ych oraz pochodnej mieszanej  wzglę - dem  | ,  7). 4.  F un kcja  ugię cia  w  elemencie  krzywoliniowym U gię cia  wewną trz  elem en tu  pł yty  okreś lać  bę dziemy  w  lokalnym  ukł adzie  współ - rzę dnych.  F un kcję   ugię cia  ś rodkowej  powierzchni  elementu  przyjmiemy  zatem w postaci podobn ej  do  (2.1) (4.1)  w(i, v )=  lQ ik ]- {w tk }. Jako  funkcje  jedn ostkowe  przyjmiemy  funkcje  (2.7),  a za zbiór  param etrów  wę zł owych {w ik }  przyjmiemy  ugię cia  wę zł ów  danego  elementu i  elementów  są siednich  (rys.  3).  Tak okreś lona  funkcja  (4.1)  przy  przejś ciu  z elementu  do  elementu zachowuje  cią gł ość  ugię cia, obu  pierwszych  poch odn ych  i  pochodn ej  mieszanej  w  ukł adach lokalnych. P rzechodzą c  z  kolei  do ukł adu  globalnego,  w zależ noś ci  od postaci  wzorów  transfor- macyjnych  (3.2)  rozpatrywać  bę dziemy  dwa  typy  elementów [8]: —  elementy  subparam etryczn e, —  elementy  izoparam etryczn e.  .  • W  elemencie  subparam etryczn ym  jako  funkcje  jedn ostkowe  transformacji  (3.2)  wyko- rzystuje  się   funkcje  (2.2),  w  wyniku  czego  geometria  elementu  okreś lana  jest  jedynie przez  współ rzę dne wę zł ów  rozpatrywan ego  elementu. W funkcji  ugię cia  n atom iast  funkcje 552 K.  D EM S,  J.  LIPIŃ SKI jednostkowe  okreś lone są  przez  (2.7), co  powoduje,  że ugię cie  wewną trz  elementu zależy od  ugię ć  wę zł ów  danego  elementu  i  jego  są siadów.  Tak przyję te  funkcje  jednostkowe w  (3.2) i  (4.1)  zapewniają   w ukł adzie globalnym  jedynie  cią gł ość  ugię ć  wzdł uż  krzywoli- niowego  brzegu  są siednich  elementów. W  elemencie izoparametrycznym funkcje  jednostkowe  w  (3.2) i  (4.1) są  przyję te  w tej samej  postaci (2.7). W wyniku  tego geometria elementu i ugię cia  okreś lane są  przy pomocy tych  samych  wę zł ów.  Powoduje  to zachowanie  na wspólnym  brzegu  cią gł oś ci  nie  tylko ugię ć  ale  również  ich  pierwszych  pochodnych wzglę dem  współ rzę dnych  globalnych  x, y. W  obu  omówionych  typach  elementu  przyję te  wzory  transformacyjne  (3.2) i  funkcja ugię cia  (4.1)  zapewniają   ś cisłe  odwzorowanie  przemieszczeń  jedn orodn ych,  co  stanowi kryterium  przydatnoś ci  proponowanych funkcji  jednostkowych [8]. 5.  M acierz  sztywnoś ci  elementu M acierz  sztywnoś ci  elementu  przedstawić  m oż na  w  znanej  postaci [8] (5.1)  [K]=fJ\ B]T[D]\ B]dxdy, gdzie  [D] jest macierzą   stał ych sprę ż ystych, a  [B] jest  macierzą   okreś lają cą   zwią zek  mię dzy odkształ ceniami  w dowolnym  punkcie  elementu a ugię ciami  wę zł ów elementu. W  przypadku  zginania  cienkiej  pł yty  izotropowej  macierz  stał ych  sprę ż ystych [D] przyjmuje  postać: (5 . 2 ) 1  v v  1 0 0 0 o gdzie  D jest  sztywnoś cią   pł yty. N atom iast macierz  [B] przedstawimy  w postaci "K2 '* U' (5- 3)  [B] =   [Qik],yy  , AQ lk U. gdzie Qik są  funkcjami  jednostkowymi  (2.7). U wzglę dniając  (5.2) i  (5.3) w  (5.1)  i  doko- nują c zamiany zmiennych globalnych  n a lokalne, uzyskujemy  macierz sztywnoś ci  elementu pł yty,  której  współ czynniki  okreś lone  są   wzorem: / - i  - i gdzie  /   jest  jakobianem  przekształ cenia.  Wystę pują ce  w  (5.4)  drugie  pochodn e  funkcji jednostkowych  wzglę dem  współ rzę dnych globalnych x, y wyznacza  się  w oparciu o drugie pochodne  tych  funkcji  wzglę dem  współ rzę dnych  lokalnych  f,  r\  i  wzorów  transforma- cyjnych  (3.2). Dane wejś ciowe: -   współrzę dne wę złów  elementu -  grubość elementu -  stale  materiałowe -  wskaź nik  KC me J S  1  -  element obcią ż ony  silą  powierzchniową I  2 -  brak siły  powierzchniowej  w  elemencie Obliczenie  sztywnoś ci  płyty; wyzerowanie  macierzy  sztywnoś ci / 5.4/ i  wektora sil powierzchniowych / 5.5/ m=1(1)5 i. Obliczenie  w  m- tym  wę ź le Gaussa wartoś ci funkcji i  ich pierwszej  i drugiej  pochodnej: element  izoparametryczny -   funkcje F / 2.8/ element  subparametryczny -  funkcje F / 2.8/  i L / 2.3/ n=1(D5 i. Obliczenie  w  n- tym wę ż le Gaussa wartoś ci funkcji i  ich pierwszej  i  drugiej  pochodnej: element  izoparametryczny -  funkcje F / 2.8/ element  subparametryczny -  funkcje F / 2.8/  i L 72.3/ I Obliczenie  pierwszych  i  drugich pochodnych funkcji transformują cych / 3.2/ ; obliczenie jakobianu przekształcenia. Jakobian —O? tak Obliczenie  wartoś ci funkcji Qlk  / 2.7/  i  ich drugich pochodnych wzglę dem zmiennych  globalnych x, y. KC  = 1 2 Obliczenie  sif  wę złowych  Plk  / 5.5/ ł r Obliczenie  współczynników  macierzy  sztywnoś ci K 11"' / SA/ Rys.  5 [533] 554 K.  D EM S,  J.  LIP IŃ SKI Jeż eli  element pł yty  obcią ż ony jest  sił ami rozł oż onymi  n a jego  powierzchni,  przy  wyz- naczaniu  macierzy  sztywnoś ci  korzystn ie  jest  znaleźć  sił y  wę zł owe  wywoł ane  tym  obcią - ż eniem.  Sił y  te  okreś lone  są   zależ noś ciami  [8]: (5.5) - i  - i gdzie p(C,  rj) jest  funkcją   rozkł adu  obcią ż enia  n a  powierzchni  elem entu. Wyznaczanie  współ czynników  (5.4)  oraz  sił   (5.5)  najwygodniej  przeprowadzić  jest  na drodze  numerycznej,  wykorzystują c  do  cał kowan ia  m etodę   G aussa.  Algorytm  wyzna- o  wą zet  rzeczywisty Fikcyjny Rys.  6 czania  współ czynników  macierzy  sztywnoś ci  oraz  sił  wę zł owych  przedstawion o  n a  rys.  5. Algorytm  ten został  zrealizowany  w formie podprogram u n apisan ego w ję zyku F O R T R AN - 1900. 6.  Warunki  brzegowe Przyję ta  postać  (4.1)  funkcji  ugię cia  wewną trz  elementu  n arzuca  okreś lony  sposób realizacji  warunków  brzegowych  n a  krawę dziach  pł yty.  P onieważ  funkcja  t a  zależy  od ugię ć  wę zł ów  elementu i jego  są siadów  koniecznym  staje  się   wprowadzenie  dla  elementów brzegowych  dodatkowych  wę zł ów  fikcyjnych  leż ą cych  poza  obszarem  pł yty,  podobn ie jak  w  metodzie  róż nic  skoń czonych  (rys.  6).  Siatka  linii  param etryczn ych  lokaln ego  ukł a- du  współ rzę dnych  wprowadzonego  w  elemencie  pokrywa  się   n a  jego  krawę dziach  z  kie- runkiem  stycznym  i  n orm aln ym  do  tych  krawę dzi.  N a  krawę dzi  |  =   con st  kierunek  f jest  kierunkiem  n orm aln ym  («)  d o  krawę dzi,  a  kierun ek  v\  jest  kierun kiem  stycznym (t).  N a  krawę dziach  r\  =   const jest  odwrotn ie.  R ozpatrzm y  zatem  typowe  sposoby  pod- parcia  krawę dzi  pł yty. N a  brzegu  swobodnie  podpartym  ugię cie  w,  jak  również  m om en t  zginają cy  w  pł asz- czyź nie  prostopadł ej  d o  krawę dzi  muszą   być  równ e  zeru.  Z erowan ie  się   tego  m om en tu prowadzi  do  warun ku  w, n „  =   0  [6].  Realizację   pierwszego  warun ku  (zerowe  ugię cia) zapewnia  się   przez  zał oż enie  zerowych  ugię ć  wę zł ów  leż ą cych  n a  krawę dzi  elementu. Warunek  zerowania  się   m om en tu  zginają cego  wynika  w  sposób  przybliż ony  z  rozwią ż ą- ZASTOSOWANIE  RÓŻ N IC  SKOŃ CZONYCH   555 nia.  D okł adn ość speł nienia  tego  warunku  roś nie  wraz  z  zagę szczaniem  siatki  podział u pł yty  n a  elementy. W  przypadku  brzegu  utwierdzonego  ż ą damy  aby  n a  krawę dzi  elementu ugię cie  i jego pochodn a  n orm aln a  był y  równe  zeru.  Warunek  pierwszy  realizujemy  identycznie  jak w  przypadku  brzegu  swobodnie  podpartego; natomiast speł nienie warunku  n a pochodną normalną   zapewnia  się   przez  zał oż enie równoś ci  ugię ć  wę zła fikcyjnego  i  odpowiedniego wę zła  wewnę trznego  najbliż szego  krawę dzi  elementu. N a  przykł ad  dla  wę zła  brzegowego i,k  (rys.  6)  warunek  ten  ma  postać  wi + 1, Ł  =   w; _ l l f c . Speł nienie  warunków  brzegowych  na  brzegu  swobodnym  wynika  w  sposób  przybli- ż ony  z  rozwią zania.  D okł adn ość  speł nienia tego  warunku  zwię ksza  się   wraz  z  zagę szcze- niem  siatki  podział u  pł yty  n a  elementy. Przedstawiony  sposób  realizacji  warunków  brzegowych  zapewnia  dokł adne ich speł - nienie  jedynie  dla  brzegu  utwierdzonego.  Istnieją   metody,  które  zapewniają   dokł adne speł nienie  warunków  brzegowych  dla  pozostał ych  dwóch  przypadków.  Polegają   one na  zapewnieniu  zerowania  się   pochodnych  ugię cia  na  drodze  iteracyjnej  bą dź  też  przez nał oż enie  n a  funkcję   ugię cia  pewnych  dodatkowych  ograniczeń.  To  ostatnie  wymaga wprowadzenia  do  zbioru  wartoś ci  wę zł owych  {w ik }  dodatkowych  zmiennych pozawę zł o- wych  w  postaci  mnoż ników  Lagrange'a  [7].  N iech  ograniczenie  nał oż one  na  funkcję ugię cia  ma  post ać: (6.1) gdzie  [G ] jest  macierzą   stał ych. Wprowadzają c  mnoż niki Lagrange'a  {A}  jako  dodatkowe zmienne  pozawę zł owe,  energię   potencjalną   elementu  pł yty  przedstawimy  w  postaci  [8] U  -   i  {w ik } T [K]{w ik }-   {w ik } T {R}  + ([G].  {w ik }) T {l}  =  extremum, co  prowadzi  do  ukł adu  ró wn ań : lG]  0  J l w H o f - Pierwszy  skł adnik  (6.2)  stanowi  teraz  nową   macierz  sztywnoś ci  elementu,  uwzglę dniają cą dodatkowe  ograniczenia  nał oż one  na  ugię cia.  P rzykł adowo, nał óż my na ugię cia  wewną trz elementu  dodatkowe  ograniczenie  w  postaci: (6.3)  ( w, ^ ł - i  =   0. Ograniczenie  to  zapewnia  zerowanie  się   momentu  M„  na  krawę dzi  |  =   1,  co  powoduje dokł adne  speł nienie  warunków  brzegowych  n a  krawę dzi  swobodnie  podpartej.  Proces wyznaczania  macierzy  [G]  z  (6.1) jest  wtedy  nastę pują cy:  drugą   pochodną   w  kierunku normalnym  funkcji  ugię cia  uzyskamy  przez  dwukrotne  zróż niczkowanie  wzglę dem  f wzoru  (4.1). Jeż eli  podstawimy  nastę pnie w  miejsce  |  wartość  1,  to  pochodna ta  wyrazi się   zależ noś cią: 3 (6- 4)  (*• «)»- •»  =   4- 556 K.  D E M S,  J .  LI P I Ń SKI Z  kolei ż ą danie, aby poch odn a ta był a  równ a  zeru  wzdł uż  cał ej  krawę dzi  f  «•   1,  wymaga speł nienia  ukł adu  ró wn ań : (6.5)  w ok —4w lk   + 5w 2 k—2w 3k   =  0,  k  = 0, 1,2, 3. Macierz  [G] przyjmie  więc postać: " l _ 4  5 _ 2  0  0 0  0 0  0 0  0 0  0 0 0  0 0  0 1 - 4  5 - 2  0  0 0  0 0  0 0 (6.6) 0  0 0  0 0  0 0  0 1 - 4  5 - 2  0  0 0  0 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1 - 4 5 - 2 W podobn y sposób moż na uzyskać macierz [G ] dla warun ków n a pozostał ych krawę dziach. 7.  P rzykł ady  liczbowe Wykorzystując  macierz  sztywnoś ci  opisaną  w pkt . 5  obliczono  ugię cia  oraz momenty zginają ce  w  pł ycie  kwadratowej  przy  róż nych  sposobach  podparcia  i  przy  stosowaniu róż nej  liczby  elementów. W  tablicy  1  przedstawiono  wartoś ci  ugięć  oraz  m om en tów  zginają cych  dla  kwadra- towej  pł yty podpartej  swobodnie n a krawę dziach  (rys.  7) obcią ż onej  sił ą  skupion ą  w ś rod- TABLICA  1 P o d z i a ł   S i ł a  B k u P i o n a 2 pł yty  w1/ £f~ 0.01091. 0, 01103 O.OIII.5 .  : : : : : . : : : : : : : : : :  0.01125 D okł adne  0, 01160 - O.OO393 - O.OOO36 - 0.00011 - 0.00006 0. 0 - 0. 00118 - 0.00011. - 0. 00003 - 0. 00002 0 . 0 O b c ią ż e n i* ? i /  B O.OO396O O.OO3985 O.OO4OO9 0.004026 O.OO4O62 O.O5O84 O.O4946 0.04887 O.O4856 O.O479O c i ą głe 0.00329 0.00169 0.00102 0.00068 0 . 0 0.00099 0.00051 0.00031, 0.00020. 0 . 0 Z ASTOSOWAN I E  R Ó Ż N IC SKOŃ C Z ON YCH 557 ku  pł yty  oraz  równ om iern ym  obcią ż eniem  cią gł ym,  przy  podziale  jej  n a  róż ną   ilość  re- gularnych  elementów  izoparam etryczn ych. Tablica  2  przedstawia  wartoś ci  ugię ć  i  m om entów  zginają cych  dla  tej  samej  pł yty przy  dwóch  wersjach  jej  podział u  n a  tę   samą   ilość  elementów  izoparametrycznych  oraz subparam etrycznych. W  tablicy  3  przedstawion o  wartoś ci  m om entów  zginają cych  wzdł uż  krawę dzi  x  =  a/ 2 (rys.  7) oraz ugię ć  wzdł uż linii y  -   o ,  dla jednej  wersji jej  podział u n a elementy  z  uwzglę d- TABLICA  2 Podział płyty Elementy subpara— metryczne Elementy izopa.ru— metryozne Elementy subpara— metryczne f T •f Elementy iz©para- metryczne Siła skupiona o.oi  091' 0.00926 0.01069 0.00940 0.00905 - O.OO393 - O.OOO23 - O.OOOO4 0.00031 0 . 0 0 0 70 - 0.0011,8 - O.OOOO7 - 0. 00001, 0.00009 O.00021 O b c ią ż e n ie  c i ą g łe O.OO396O 0.003561 0.005872 0.003334 0.003225 0.05O84 0.04425 0.05471 0.04740 0.04532 0.00329 - O.OO247 O.OO27O 0 . 0 1 2 1 0 O.02J6O = = = = = = := :r = ::= = := = := = ;= : 0.00099 - 0.00074 0.00081 O.OO364 O.OO703 Rys.  7 Rys.  8 •   punkty podparcia Rys.  9 TABLICA  3 M x 1 / O 2 M y 1 / a a 2 H x y 1 Aa 2 M x 2 / q a 2 M   / aay2 M x y 2 / 4 a 2 M y 3 / ga 2 M x y 3 / < ia 2 4 " 5 /   B bez  dodatkowych zm iennych  poza— wę zł owych 0 . 0 0 . 0 - 0.03386 0.0031.2 0.00094 - 0,01904 0.00329 0.00099 0 . 0 0 . 0 0.002892 O.OO396O z  dodatkowym i zmiennymi  p o za - wę zł owymi 0 . 0 0 . 0 - O.O3192 0 . 0 0 . 0 - 0.01876 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0.002894 0.003962 TABLICA  4 Podział płyty trzy krawę dzie  podparte swobodnie, Jedna utwierdzona w  / V 0.0024 0.0321- y i 0.0429 p o d p arc ie  w  n aroż ach 1/   D 0.0236 0.1181 0.1548 0.0025 O.O323 O.O407 0.0242 0.1148 O.I527 0.00254 O.O325 0.0399 0.0245 0.1135 0.1516 0.0026 0.0326 O.O395 0.0248 0.11.29 O..I512 D okł adne 0.0028 0.034 0.039 0.0249 0.1090 O.HO4 1558] Z ASTOSOWAN I E  R Ó Ż N IC  SKOŃ C Z ON YCH   559 nieniem  oraz  bez  uwzglę dnienia  dodatkowych  ograniczeń  nał oż onych n a  funkcję   ugię cia, a  gwarantują cych  dokł adn e speł nienie warunków  brzegowych.  Wymagał o  to  wprowadze- nia  dodatkowych  zm iennych  pozawę zł owych  w postaci  mnoż ników  Lagrange'a. Wartoś ci  ugię ć i m om en tów zginają cych  dla  pł yty kwadratowej  obcią ż onej  równomier- nie n a  cał ej  powierzchni o  trzech krawę dziach  swobodnie  podpartych i jednej  utwierdzonej (rys.  8)  oraz  takiej  samej  pł yty podpartej  tylko  w naroż ach  (rys.  9)  przedstawiono w tab- licy  4. 8.  Wnioski  koń cowe P rzedstawion e  w  tablicach  1, 2 i  4  wyniki  wskazują   n a zbież ność  przyję tej  metody obliczeń,  dla róż n ych  sposobów  podparcia  pł yty,  wraz  ze wzrostem  liczby  elementów, n a  które  dzieli  się  rozpatrywan y  obszar.  Elementy  o  kształ tach  regularnych  zapewniają dokł adniejsze  odwzorowan ie  rzeczywistego  stan u  naprę ż eń  i  odkształ ceń  wewną trz ob- szaru  pł yty,  niż  elementy  kształ tu  dowolnego  (tablica  2). Tł umaczy się  to z jednej  strony faktem,  że w  elem en tach  regularn ych  zapewniona  jest  w  sposób  automatyczny  cią gł ość wyż szych  poch odn ych  funkcji  przemieszczeń,  a  z  drugiej  strony  równomiernym  roz- mieszczeniem  wę zł ów  wewną trz  rozpatrywanego  obszaru.  Wskazuje  to  n a  celowość stosowania  regularn ego  podział u  wszę dzie  tam  gdzie jest  to moż liwe.  Elementy  krzywo- liniowe  należy  stosować  przede  wszystkim  przy  odwzorowywaniu  krzywoliniowego  brze- gu  obszaru.  N a  dokł adn ość  odwzorowan ia  stan u  naprę ż eń  i  odkształ ceń  istotny  wpł yw m a  również  dokł adn ość speł n ian ia zał oż onych warun ków  brzegowych.  Wyniki  przedsta- wione  w  tablicy  3  wskazują   n a celowość  wprowadzan ia  dodatkowych  zmiennych  poza- wę zł owych  umoż liwiają cych  dokł adn e  speł nienie  zał oż onych  warunków  brzegowych w  sposób  opisany  w  pkt.  7. Stosowanie  m etody  elem entów  skoń czonych  prowadzi  w  efekcie  do  rozwią zywania ukł adu  równ ań  liniowych  o duż ej  liczbie  niewiadomych,  zależ nej  od  iloś ci  stopni  swobo- dy  w  każ dym  wę ź le  rozpatrywan ego  obszaru.  D ą ż ąc  do zapewnienia  cią gł oś ci  funkcji przemieszczeń  w  cał ym  rozpatrywan ym  obszarze  należy  w  każ dym  wę ź le  wprowadzić dużą   liczbę   stopn i  swobody  (przemieszczenia  i  ich  pochodn e). W przedstawionej  pracy podję to  próbę   zach owan ia  wspom n ian ej  cią gł oś ci  przy  równoczesnym  ograniczeniu  liczby stopn i  swobody  wę zł a.  Z astą pien ie  pochodn ych  przemieszczenia  w wę ź łe  ilorazami  róż- nicowymi  przemieszczeń  wę zł ów  są siednich  pozwolił o,  w  przypadku  pł yty,  ograniczyć liczbę   stopn i  swobody  wę zła  do  jedn ego.  Z atem  zaletą   proponowanej  metody  jest  ogra- niczenie  wielkoś ci  rozwią zywanego  ukł adu  równ ań  w porównaniu  z tzw.  prostą   metodą elementów  skoń czonych  [4],  [8], przy  równoczesnym  zachowaniu  cią gł oś ci  przemieszczeń w  cał ym rozpatrywan ym  obszarze.  P amię tają c, że dokł adn ość odwzorowania  rzeczywiste- go  stan u  n aprę ż eń  i  odkształ ceń jest  przede  wszystkim  funkcją   gę stoś ci  podział u  ciał a n a  elementy,  przedstawion y  powyż ej  sposób  postę powan ia  m a  wię c  również  i  tę  zaletę , że  pozwala  n a  wprowadzen ie  w  rozpatrywan ym  obszarze  duż ej  liczby  elementów bez n adm iern ego  rozbudowywan ia  rozwią zywanego  ukł adu  równ ań ,  którego  maksymalna wielkość  może  być z  drugiej  stron y  ograniczona  param etram i  technicznymi  bę dą cej do dyspozycji  maszyny  cyfrowej. 10  M ech an ika  Teoretyczn a 560  K.  D EM S,  J.  LIP IŃ SKI Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  S. A.  COON S,  Surfaces for  computer aided design of  space form,  M .I.T.  Project  M AC  MAC- TR- 41, 1967. 2.  K.  D EM S,  W ielostopniowa synteza i wielomiany Hermite'a w metodzie elementów skoń czonych,  Rozprawa doktorska,  Łódź  1971. 3.  B. M .  IRON S,  Engineering  application of  numerical integration  in  stiffness  method, J.A.I.A.A.,  14, 2035—37,  1966. 4.  J.  SZMELTER,  S.  DOBROCIŃ SKI,  Zastosowanie  metody  elementów skoń czonych  do  tworzenia  macierzy sztywnoś ci elementu  pł yty,  Biuletyn  WAT,  4,  100,  1969. 5.  I. C.  TAIG ,  Structural  analysis by  the  matrix  displacement method, Engl.  Electric  Aviation  Report, SO  17,  1961. 6.  S.  TIMOSHENKO,  S.  WOIN OWSKY- KRIEG ERS,  T eoria  pł yt  i powł ok,  Arkady,  1962. 7.  R.  WEINSTOCK,  Calculus  of  variations,  McG raw- H ill,  1952. 8.  O. C.  ZIEN KIEWICZ,  T he  finite  element method in  engineering  science, McG raw- H ill,  1971. P  e 3  IO  M e n P H M E H E H H E  K O H E ^ H L I X  P A3H O C T E H   JJ,JVl I I O C T P O E H H JI  M AT P H U )KECTKOCTH   I I O  M E TOflY  K O H E ^ H L I X  3 J I E M E H T 0 B  H A n P H M E P E H 3rH EAEMOft nJIACTH H LI B  paSoTe  npefleraBjieH a,  Ha npH Mepe  narii6aeMOH   ruiacTH H bi,  n on tiT K a  npH M eH enira  MeTo^a  KOHeq- H WX  pa3H0CTeH  fljiH   onpefleiteH H H   iwaTpni(Łi  >I