Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z4.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
1  STOSOWANA

4,  12  (1974)

STATYKA TARCZ M1KROPOLARNYCH

KRYSTYN A  M A J O R K O W S K A - K N AP  (PŁOCK)

1.  Wprowadzenie

W  niniejszej  pracy  rozważ ać  bę dziemy  zagadnienie  pł askiego  stanu  naprę ż enia mikro-
polarnej  elastostatyki  na  przykł adzie  tarczy  pół nieskoń czonej, pasma  tarczowego  i  tarczy
prostoką tnej,  n a  podstawie  teorii  podanej  w  [1].

2.  Zagadnienie  tarczy  pół nieskoń czonej

W  przypadku,  gdy  wysokość  dź wigara  tarczowego  jest  duża  w  stosunku  do  rozpię -
toś ci  przę seł   (a/ b >  1), przebieg  naprę ż eń  wykazuje  daleko  idą cą   zgodność  z rozkł adem
naprę ż eń  w  tak  samo  obcią ż onej  tarczy  pół nieskoń czonej.

; ; WJ J , , I

* - *—ł —S—Jf  •   a

L - Za - X- L '2a

Rys.  1
,

Rozpatrzymy  zagadnienie  tarczy  pół nieskoń czonej  o  pł aszczyź nie  ś rodkowej  ogra-
niczonej  prostą   x

t
  — 0,  która  cią gnie  się   w  nieskoń czoność  w  obszarze  x

x
  >  0-   Tarcza

jest  obcią ż ona  równomiernie  wzdł uż  brzegu  xx  =   0  i  podparta  w  odstę pach  2a,  zgodnie
z  rys.  1.



578  K .  M AJ O R K O WS K A- K N AP

Obcią ż enie  brzegowe  rozwijamy  w  szereg  F ouriera

(2.1)  p(pc
2
)  = ]?a„cosa

n
x

2
,  a„  = - ^ ,  n =   1 , 2 , 3 , . . . ,

n - l  °

gdzie

2pa(- iy  .
a„ =   —- ——si n a „ c.

C/ OT

Warunki  brzegowe  przy  braku  sił  poprzecznych  na  brzegu  x
t
  =  0  są   nastę pują ce:

(2.2)  fffj^Oj  ^ 2)  =   P(Xz)>  ffi2  =   ( 0) x
2
)  =  0>  pisCd,  x

2
)  — 0 .

F unkcje  naprę ż eń Airy'ego- M indlina  przyjmujemy  w postaci

F  =  ]?  (A
n
+B

n
a.

n
x

i
)e- '

a
«

x
^ o5a.

n
x

2
,

(2.3)
vi  /   1  \ " 2

ty  —  >  (C  p~ anXi.Ą .  n  - a n* x

n- l

F unkcje  te  speł niają   równania
V\ V\ F  = 0 ,

( 2 > 4 )  Vf(l- /2Vf)
gdzie

oraz  są   zwią zane  zwią zkami

(  }
  d

2
(l- PVf)W  =  A

0
8

t
W

gdzie

( 2^ +  A0) ( y+ e)

P o  wyznaczeniu  stał ych  cał kowania z  warunków  brzegowych  (2.2)  i  zwią zków  (2.5),
funkcje  F  i  ?? mają   postać

gdzie



STATYKA  TARCZ  MKROPOLARNYCH   579

Skł adowe  n aprę ż en ia  wyraż one  są  wzoram i:

n= l

oo

~ £   an L~"
n = l

2A
0
oij  u

n
  _

ax

i  r  i_
a  x

O
n
  I 57  ——fi ™""**  —

I  jo

(2 . 7 )

00

4—i  An

n= l

00

=  _ A
o

gdzie  wprowadzon o  oznaczenie  rj  =   2y40 a„  11  —

Otrzym ane  rozwią zanie  w  teorii  m ikropolarn ej  jest  sumą  dwu  rozwią zań:  rozwią za-
n ia  «klasycznego»  i  rozwią zan ia  dodatkowego  uwzglę dniają cego  wszystkie  warunki  brze-
gowe  oś rodka  C osseratów.

Przyjmując  a  =   0,  e„  =  <x
n
,  A

o
  =  I  wzory  (2.7)  stają  się  identyczne  z  klasycznym

rozwią zaniem  zad an ia  [2].

2.1.  Analiza  porównawcza  naprę ż eń crj2  dla teorii mikropolarnej  i teorii klasycznej.  Z badan o  zmien-

n ość  n aprę ż eń  a*2  dla  pu n kt ów  tarczy  o  współ rzę dnych  xt  =   0- 7- 2a, x2  =   0  i  współ -

rzę dnych  Xx  =   0~2a,  x
2
  =   3a.

Obliczenia  szczegół owe  przeprowadzon o  n a  elektronowej  maszynie  cyfrowej  OD R A-
1204



580  K.  MAJORKOWSKA- KN AP

Z  uwagi  n a  brak  dokł adnych  wartoś ci  stał ych  m ateriał owych  przyję to  d o  obliczeń:
a)  dane  z  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  (dla  beton u)

-   0,077
^ 1  TV)

£  =   0,18- 10s  [kG / cm 2])

=   0,16  \
2])

b)  h'czbowe  stosunki  stał ych  sprę ż ystoś ci  wzorując  się  n a  pracy  [3]

= J l i a  =   0,0154- 10
7 [T/ m 2]

»  e  =   0,0154- 107[T]

A
o
  =   0,172 [ m 2 ] ,

I
2  =   0,600 [ m 2 ] .

Zmienność  naprę ż eń  o*
2
  przedstawiono  graficznie  n a  rys.  2.  D la  uproszczenia  przy-

ję to  grubość  tarczy  równą  jedn oś ci.  W  in n ym  przypadku  otrzym an e  wyniki  liczbowe
należ ał oby  podzielić  przez  grubość  tarczy.

Analizując  zmienność  naprę ż eń  o%
2
  dochodzim y  do  nastę pują cych  wn iosków:

a)  dla  pun któw  przekroju  o  współ rzę dnej  x
2
  =  0  róż n ica  w  wartoś ci  n aprę ż eń  dla

obu  porównywanych  teorii  m a  najwię kszą  wartość  dla  pun któw  brzegowych,  zmniejsza
się wraz z oddalaniem się  od  obcią ż onego br7P OT% doch odząc do wartoś ci  zerowej  w punk-
cie  o  współ rzę dnej  Xi  =   okoł o  2a;

b)  dla  pun któw  przekroju  o  współ rzę dnej  x
2
  — 3o  róż n ica  n aprę ż eń  dla  teorii  m ikro-

polarnej  i  teorii  klasycznej  n a  brzegu  x
x
  =   0  wynosi  zaledwie  kilka  procen t, w  przedziale

jCi  =   0- v- 0,2a  roś nie,  osią gając  wartość  najwię kszą  dla  x
t
  =   0,2a,  n astę pn ie  w  przedziale

Xi  =   0,3a- 7- 2a,  zmniejszając  się  stopn iowo, jest  w  dalszym  cią gu  istotn a.

D okł adne  opracowanie  niniejszego  zagadnienia  zawiera  praca  [4], w  której  przepro-
wadzono  również  analizę  kilku  przypadków,  przyjmując  in n e  stosun ki  stał ych  sprę ż ysto-
ś ci  i  inne  stosunki  c/ a  (typowe  dla  konstrukcji  budowlan ych).

U ogólniają c,  m oż na  stwierdzić,  że  uwzglę dnienie  naprę ż eń  m om en towych  w  teorii
m ikropolarn ej  prowadzi  do  zmian  w  stanie  n aprę ż en ia  tarczy.  Z  uwagi  n a  d o bó r stał ych
materiał owych  nie  potwierdzony  badan iam i  doś wiadczalnymi,  uzyskan e  wyniki  n ie  mogą
sł uż yć jako  podstawa  do  iloś ciowej  oceny  róż nic  mię dzy  obu  teoriam i, pozwalają  jedn ak
n a  wycią gnię cie  wniosków  n atury  jakoś ciowej.

3.  Pasmo tarczowe  poddane dział aniu  obcią ż enia  brzegowego  okresowego

Rozważ ymy  zagadnienie  pasm a  tarczowego  nieskoń czonego  poddan ego  dział aniu
obcią ż enia  norm alnego  do  brzegu  w  postaci  funkcji  symetrycznej  wzglę dem  osi  x

x
  oraz

w  postaci  funkcji  antysymetrycznej  wzglę dem  osi  x
t
.  Otrzym an e  wyniki  rozwią zania

mogą  znaleźć  zastosowanie  przy  obliczaniu  dź wigarów  tarczowych  cią gł ych  i  przybli-
ż onego  rozwią zania  tarcz  prostoką tn ych.  P rzę sła  poś redn ie  dź wigara  tarczowego  cią gł e-



[58IJ



582 K.  MAJORKOWSKA- KN AP

go,  skł adają cego  się   z  duż ej  iloś ci  przę seł   o jedn akowej  rozpię toś ci,  m oż na  obliczać  przy
zał oż eniu  nieskoń czenie  wielu  przę seł.  D la  tarczy  prostoką tn ej  o  rozpię toś ci  przę sła
wię kszej  od  podwójnej  wysokoś ci  tarczy  stan  n aprę ż en ia  ś rodkowej  czę ś ci  przę sła m oż na
okreś lić  za  pomocą   wyników  rozwią zania  dla  tarczy  w  postaci  pasm a  nieskoń czonego.

3.1.  Rozwią zanie  problemu  dla  obcią ż enia  brzegowego  symetrycznego  wzglę dem  x
2
  —  0.  P a sm o

tarczowe  ograniczone  brzegami  x
x
  =  (±)h,   rozcią gają ce  się   w  n ieskoń czon ość  w  kierun-

ku  osi  (±)x
2
,  poddan e jest  dział aniu  okresowego  obcią ż enia  brzegowego  p(x

2
)  i  p(x

2
)

symetrycznego  wzglę dem  x
2
  =   0,  zgodnie  z  rys.  3.  W  gran icach  każ dego  okresu  (L   =   2a)

obcią ż enia  te  równoważą   się .

A
a

1
L.   a a  1'

4
4-

Rys.  3

Rys.  4

P rzy  wykorzystaniu  zasady  superpozycji  rozpatrzym y  powyż szy  stan  obcią ż enia  ja ko
sumę   dwóch  skł adowych  stanów  obcią ż eń:  stan u  S- S  (sym etria  wzglę dem  osi  x

t
  i  osi  x

2
)

zgodnie  z  rys.  4  i  stan u  S- A  (symetria  wzglę dem  osi  x
t
  i  an tysym etria  wzglę dem  osi  x

2
)

zgodnie  z  rys.  5.



ST AT YK A  T AR C Z  M I KR OP OLAR N YC H 583

Stan  S- S. Obcią ż enia  brzegowe  rozwijamy  w  szeregi  F o u riera:
00  00

i _ .  i  y i -   A  l  V -   n n
- KP\

X
2)  — T  / ,  a„A

n
cosa„x

2
  =  —  >  p„cosa„x

2
,  a„  =  — ,

2  2  ^- J  2  ^ —J  a
n—O  n= 0

» -   1, 0, 2, ...,

(3.1.1.)  y^ ( x2 )  =  j ^  ««^«cosa„ x2  = y  ^  j) ncosa„ x2,
«= 0  n= 0

dla  K =  0,

dla  K #  0.

P/ x
Z
l

P/ x2/

Rys.  5

Warun ki  brzegowe  n a  brzegach  x
1
  =  ±h

(3.1.2)  a ? 1 ( ± A , x 2 )  =  ,
1  •

Przyję te  funkcje  n aprę ż eń
00

(3.1.3)

x2 )  =   0 .

n= 0

vi  /

=  2J  (F
n
sha„x

1
+H

n
shQ

n
x

1
)sina

n
x

2
,  '  e„ =   \ a.l2

1 / 2

po  wyznaczeniu  stał ych  cał kowan ia z  warun ków  brzegowych  (3.1.2)  i  ze zwią zków  (2.5)

mają   post ać:

_  V1  Pn+Pn  \ L   . a„hth.a„h\
Z J  2otfcha„« l\   A

o
  j

(3.1.4)
00

'-.  Z- /   An  '

1

n x !  \  .

A i  ./ • •   •

c o sa „ x2 , .



584  K.  MAJORKOWSKA- KN AP

gdzie

A
o
  =  l+2A

o
ai{l- ^ -

Stan  S- A.  Rozwinię cie  obcią ż eń  brzegowych  w  szeregi  F o u riera  m a  p o st a ć :

00

1  V -   .  1
- ^ ^ 2ja

n
A„cos«„x

2
  =  —

n= 0  n- 0

^ 2jp
n
cosa

n
x

2
,

  a »= : ~ ^ ~ '  «  =   0, 1, 2, . . . ,

(3.1.5)
00

• jp(x
2
)  -   - JZJ

  a
»dncosa„x

2
  =   — pncosa„x2.

Warunki  brzegowe  n a  brzegach  x
±
  =  ±h:

cfii+h,  x
2
)  = j[p(x

2
)- p(x

2
)],  af

2
(±h,   x

2
)  =   0,

(3.1.6)

afi(- h,x
2
)  = Yip(x

2
)- p(x

2
)],  fĄ 3(± h,  x2)  =   0.

Przyję te  funkcje  naprę ż eń

co

F  =

(3.1.7)
00  /   i  V12

p o  wyznaczeniu  stał ych  cał kowania  mają   postać

n™0

F=—  y  ?  2  ,  r  1 +   .  .  | s h a n X i + '  c o sa H x2 >

(3.1.8)

W   =
o  \   sha„/ j

gdzie

2tx„h
z i 0  =

sh2a„ / i  '

U wzglę dniając  wzory  (3.1.4)  i  (3.1.8)  otrzymujemy  nastę pują ce  wzory  n a  skł adowe
n aprę ż eń:

0 0

(3.1.9)  aft  -
n - 0



STATYKA  T AR C Z  M I KR OP OLAR N YC H   585

(3.1.9)
[c.d.]

/

00

-  z
J  1  ~T~  y|  1  z  ;  ^  j  1 1  S i n  0Cn A 2  T *

aB
2sh a

n
h[[  %  T  V ł   +

H   • —-•   1  +   —~ I —r  ;  r—r~  I / s l n  a

/ d0  J  Ao  \   sha. *  g„  8he„A  / )
* 2

13 ~  Z
M- 0

3.2.  Rozwią zanie  problemu  dla  obcią ż enia  brzegowego  antysymetrycznego  wzglę dem  x
z
  =  0.  Obcią -

ż enie  brzegowe  pasm a  tarczowego  antysymetryczne  wzglę dem  osi  x
x
  (L   =   2a)  two-

rzy  wewną trz  okresu  ukł ad  zrówn oważ ony  (rys.  6).  Stan  naprę ż enia  wywoł any  tym
obcią ż eniem  rozpatrzym y  ja ko  superpozycję   stan u  ^4- 5  (antysymetria  wzglę dem  osi  x

x

i  sym etria  wzglę dem  osi  x2 )  i  stan u  A- A  (antysym etria  wzglę dem  osi  xL  i  x2)-



586 K.  MAJORKOWSKA- KN AP

Stan  AS.  Rozwinię cie  obcią ż eń  brzegowych  w  szeregi  F ouriera ma postać

(3.2.1)
n - 1

co

,  « „ = — ,  «  =   1, 2, 3, . . . .

\ i  m>pfe<!  < m |f m

x
z

Pl*zl

ł   a  ł
Rys.  6

Rys.  7

Warunki  brzegowe  na  brzegach  x
x
  =  ±h:

(3.2.2)  ^( i / 2 ,   x2) =   [ (

Q ń P

Rys.  8

-   0,  / Ą Ą ±h,  x
2
)  =   0.



STATYKA  TARCZ  MKROPOLARN YCH   587

F un kcje  n aprę ż eń  F, W  przyjmujemy  w  postaci:

F  =

(3.2.2

n = l

a  po  wyznaczeniu  stał ych  cał kowania  m am y:

0 0

n = l

(3.2.4)

V  a„+a„  [Z  a„htb.a
n
h\   .  oCnXxShoCnXt^  .

ZJ  2ofić hu
n
h  [\   A

o
  I  A

o
  \   "

  2
'

jp.  V  Ao(p
n
+<Q

gdzie

Stan  A- A.  Rozwinię cie  obcią ż eń  brzegowych  w  szeregi  F ouriera  m a  postać

0 0

l  _ .  ,  i  V  -   •
yp C *2)  =  y  2_t  a

n
sma

n
x

2
,

(3.2.5)  "~*

7 1 - 1

Warun ki  brzegowe  n a  brzegach  x
x
  =  ±h:

(3.2.6)  cU±h,x
2
)  =±[p(x

2
)+p(x

2
)],  o*

12
(±h,x

2
)  = 0,  fĄ t(±h

t
X^   -   0.

Przyję ta  postać  funkcji  F  i \ P:

F  =

(3.2.7)

po  wyznaczeniu  stał ych  cał kowan ia  jest  n astę pują ca:'

F  ==  —  \   — i  1  (1 - f-  - ——- ——•  I śh cc
n
 Xi +  ———*  ''  —- 1 sin <x

n
x

2
,

ZJ  2a„ 2shanA  [\   A o  J  A o  J
(3.2.8)  " = 1

0 0   '
! f = —  \ - —°̂ a"  "  - I -—  "  Ł  ^"  l  lc o s«n xa .

/   J  /̂j  \   sha„H   gB  shgn»  /
B — 1   i  •   .   ...   «,

12  Mechanika  Teoretyczna



588  K.  M AJORKOWS KA- KNAP

P o  uwzglę dnieniu  wzorów  (3.2.4) i  (3.2.8)  otrzymujemy  skł adowe  n aprę ż eń w  postaci:

o 22   —

0 0

2
V  0̂(fl

—  X  —

2
u„hctha„h\

r  \   2 J  T / i ,   n „ j  — 1

/ I *=   1

c o sa n x 2 ,

sha„/ j
n- i

ICOS  a .

A
o
  "\   sha„h  Q„  shc„h

s i n  CC„Xy  .
2

4.  Tarcza  prostoką tna  poddana  dział aniu  obcią ż enia  na  dwóch  przeciwległ ych  brzegach

R ozpatrzym y  zagadnienie  tarczy  prostoką tn ej  obcią ż onej  n a  brzegach  x
t
  =   con st.

Powyż szy  stan  obcią ż enia  wygodnie  jest  rozpatrywać,  wykorzystują c  zasadę   superpo-
zycji,  jako  sumę   dwóch  stan ów:  dla  obcią ż enia  brzegowego  podwójnie  symetrycznego
i  symetryczno- antysymetrycznego,  zgodnie  z  rys.  9.



ST AT YK A  T AR C Z  M I KR OP OLAR N YC H 589

W  ogólnym przypadku  przy  wyznaczeniu  stan u naprę ż enia tarczy prostoką tn ej powinny
być  speł nione  warun ki  dla  czterech brzegów.  W poniż szym  rozwią zaniu,  które otrzymamy
w  postaci  szeregu,  warun ki  brzegowe  dla  n aprę ż eń norm alnych i  naprę ż eń momentowych

flftr TrrnX z / I  , .

X  a  k
R ys.  9

bę dą   speł nione wzdł uż każ dego  brzegu  w  sposób  ś cisł y,  n atom iast warunki  dla naprę ż eń
stycznych —  w  sposób  przybliż ony  (z  uwagi  n a  moż liwość  uwzglę dnienia  tylko  ograni-
czonej  iloś ci  wyrazów  szeregu).

4.1.  Rozwią zanie dla  obcią ż enia  brzegowego  podwójnie  symetrycznego.  Przedstawiamy  obcią ż e-
n ia  brzegowe  za  pom ocą   szeregów  F ouriera  (L   =   Aa),  przy  zał oż eniu,  że  cią gną   się
on e  dalej,  poza  dł ugoś cią   brzegu

(4.1.1) a*  •   T T - I  «  =   1 , 3 , 5 , . . . .

Xli

i  i li  1,1   ni

4,.,.
- k- ł   a  ł   a  ł

(4.1.2)

Rys.  10

Warun ki  brzegowe  n a  brzegach  Xi  =   ±h,x
2
  =  ±a

fffi  =   ( ± / », * 2 )  -   P'(x2),  < r f3 ( *!,  ±a)   m  0,  < T?2(±h , x2)  =   0,

oit{x
lt
  ±a)   —  0,  f*t3(±h,x

2
)  = 0,  fifiipci,  ±a)  =  0.

12*



590  K.  M AJORKOWSKA- KN AP

Z e  wzglę du  n a  dwuosiową  symetrię  stan u  n aprę ż en ia  przyjmujemy  funkcje  F  i  W

w  postaci:

F  =  / ,  (/ 4Bch a„ x1 +   a n A: 1 5 n sh a n x1 ) c o sa n X2-

'  (K
m
chp

m
x

2
+p

m
x

2
M

m
shp,„x

2
)cosp

m
x

1>

(4.1.3)

W   =  ]£  (F
n
sh.a„x

l
 + H„shQ„x

1
)sina„x

2
 +

n- l

gdzie: .

a„ =  - ^ -,  » -   1, 3, 5...,  ft„   =  ^ ,  m -   1, 3, 3...
za  2/2

1/2  /   ,  \ l/ 2

/ Jm — odpowiada  okresowi  L =  2A. Stale  ^ „ ,  5 n , iś :m,  M m , F„, Pm,  Rm, Hn  t ak  ustalimy,
ż eby  był y  speł nione  warun ki  brzegowe  (4.1.2) i zwią zki  (2,5).

P onieważ  obran e  funkcje  n aprę ż eń  odpowiadają  wa r u n ko m  symetrii,  wystarczy  uwz-
glę dnić  tylko  warun ki  brzegowe  dla  brzegów  x

2
  =   +ct  i  JCJ. =   +h.  Jeż eli  bę dą one

speł nione,  to bę dą  również  speł nione  podobn e warun ki  dla brzegów  x
2
  =  ~a\   x

x
  —  —h.

Z  warun ków  brzegowych  dla naprę ż eń n orm aln ych cr?i i a ? 2 i z warun ków  brzegowych
dla  naprę ż eń momentowych fĄ

3
  i [Ą

3
  otrzym ujem y:

a„F„cha„h + Q
n
H

n
chQ„h =  0,

P
m
P

m
chp

m
a+y

m
R

m
chy

m
a  -   0,

(4.1.4)
  a

>
A h h  +  h B h h

  n
a

K
m
chp

m
a+p

m
aM

m
shp

m
a  =  0.

Wykorzystanie  zwią zków  wią ż ą cych  funkcje  F i W  [wzory  (2.5)] prowadzi  do  nieskoń-
czonego  ukł adu  równ ań

(4.1.5)  « ( F „ - 2 0̂

Z  równ ań  (4.1.5)  otrzymujemy  dwa warun ki

(4- 1.6)
-   0,

P
m
+2A

0
p

2

m
M

m
  -   0.



STATYKA  TARCZ  MIKROPOLARNYCH 591

Speł niają c  cztery  warunki  brzegowe  (4.1.4)  oraz  równania  (4.1.6)  otrzymujemy  stał e
cał kowania  w  postaci:  A„ = f(B„),H„  =f(B„),K,„  =  / (M,„),  R

m
  =  / (M,„)  jak  poniż ej:

A
a
" H-

2A°a"  cł loc"h

Speł nienie  pozostał ych warunków  brzegowych  dla  naprę ż eń  sf
2
,  o*i  po  uwzglę dnie-

niu  (4.1.7)  i  przedstawieniu  funkcji:  sha„x
1)
x

1
cha„x

1
  ...it p.  za  pomocą , szeregów Fou-

riera,  prowadzi  do  algebraicznych  równań  w  postaci:

L  * I I

Sn  li

2 ffi"

(4 . 1 . 8 )
- 2a'

  Sm
~2~~  2a

—2A
o
tx„B

mn

2r,  2a
n

P» 0 .

Wprowadzono  tu  oznaczenia:

^ - ,  M,„„ =   Afm ch / Sm flsin —.

Z  nieskoń czonego  ukł adu  równ ań  (4.1.8)  m oż na  okreś lić  poszukiwane  stał e  B„,M
m
.

4.2. Rozwią zanie dla obcią ż enia  brzegowego symetryczno- antysymetrycznego.  Postę pując  w  podo-
bn y  sposób jak w  pun kcie  4.1  przedstawiam y  obcią ż enia  brzegowe  za  pomocą   szeregów
F ouriera  (L  =  2a)

(4.2.1) P"{x
2
)  -

n- i

a„  =  - —,  n  »  1 , 2 , 3  ....

Warunki brzegowe na brzegach x
y
  =   ± / J,  X2 =  ±a:

«ł i ( ± Ai *a ) - i
fff(*,  ± a)  =  0,

-   0 ,



592 K.  MAJORKOWSKA- KN AF

F unkcje  naprę ż eń  Fi  Ą  przyjmujemy  w  postaci:

F~ x1Bnsha„x1)sma„x2  +

(4.2.3)

gdzie

a„ =  — ,  n  ­  1 , 2 , 3 ,  , . . ,  /S„,  =  ­^r­»  '  w  =  1 , 3 , 5 . . . ,
a  z/z

1  \V2

I2

|5m —  odpowiada  okresowi  L  =  4h,  co  umoż liwia  speł nienie  w  sposób  ś cisły  warun ków

brzegowych  dla  skł adowych  naprę ż enia  o*i,p*
3
.

- £ Ql

Rys.  11

Tok  rozwią zania  zagadnienia  jest  t a ki  sam  ja k  w  pun kcie  (4.1).  Biorąc  p o d  uwagę
wzory  (4.2.3)  speł niamy  najpierw  cztery  warun ki  brzegowe  ( 4 . 2 . 2 ) 1 ( 2 i 5 ( 6  i  równ an ia  wią-
ż ą ce  funkcje  F  i  W   (2.5),  otrzymując  stał e  cał kowan ia  w  postaci  A„  =  f(B„),  H„  —  f(B„),
K

m
  — f(M

m
),  R

m
  = f(M

m
).  N astę pn ie speł niając  dwa  ostatn ie warun ki  brzegowe  (4.2.2) 3> 4

dochodzimy  do  nieskoń czonego  ukł adu  równ ań .



STATYKA  TARCZ  MIKROPOLARNYCH   593

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  W.  N OWACKI,  T eoria niesymetrycznej sprę ż ystoś ci,  PWN ,  Warszawa  1971.
2.  K.  G IRKM AN , Dź wigary powierzchniowe,  Arkady,  Warszawa  1957.
3.  S. KALISKI, J. KAPELEWSKI, S.  RYM ARZ,  Surface waves on an optical branch  in a continuum with rotational

degrees of  freedom,  P roc.  Vibr.  P robl.,  2,  9  (1968).
4.  K.  MAJORKOWSKA- KN AP,  Pł askie  zagadnienia mikropolarnej sprę ż ystoś ci, Praca  doktorska  zł oż ona

w  Bibliotece  G ł ównej  Politechniki  Warszawskiej,  Warszawa  1972.

P  e 3 10  M e

C TATH KA  M H KP On OJM P H Ł D C  flH CKOB

B  pa6oTe  paccMaTpHBaeTCH  Ha  npH iwepe  flucna,  n on ySecKOH cm oro ffH CKa H  AHCKOBOH   n o n o cw 3a-
MH KponojrapH oił   yn pyro cT H .

p e m a e i c a  c  noiwombio  ^ y H ^ n H   3pn- MH H fflnH H a.  CooTBeTCTByiomne  flH 4>4)eP el!H H aJiBin.ie
B  nacxabix  npoH 3BOflH tix  peuiaJiacŁ  c  IIOM OIU BIO  oflmiapH bix  H  ^ B O H H B K  pHflOB  <t>yp&e.

S u m m a r y

STATICS  O F   M ICROPOLAR  PLATES

I n  the  paper  the  static  problems  of  micropolar  elasticity  for  a  semi- infinite  plate,  a  plate- strip  and
a right- angled  plate in a plane state of  stress  are considered.  Solved  are the problems by means of  the Airy-
M indlin  function.  The  differential  partial  equations  of  the  problems  are solved using  a single and  double
F ourier  series.

P OLI TE C H N I K A  WARSZAWSKA,  F I LI A  W  P Ł O C K U

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  22  grudnia  1973  r.;  w  wersji  ostatecznej — dnia  15  maja  1974  r.