Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  12  (1974) :  • :  .   ,   • • . ' • • ! ' • ••   • ••   '  '  „ ' , • • : • ' •   :.  '  •   O . l i . i f l i . ,  ,  • < •  •   ' . " i :  '  • ..  • • > q  '  • • . . •!  • •.  !  •   • - .  r ; ( 1 , u ,  ,  n STATECZNOŚĆ  POJAZDÓW  JEDNOŚ LADOWYCH NA  KOŁ ACH  PNEUMATYCZNYCH* JE R Z Y  M   A  R  Y  N   I  A  K,  ZD OBYSŁ AW  G   O  R  A  J  (WARSZAWA) 1. Wstęp  V\ . N a  przykł adzie  roweru  przeprowadzon o  badan ie  statecznoś ci  bocznej  pojazdów  jed- noś ladowych,  z  uwzglę dnieniem  podatn oś ci poprzecznej  pneum atyków.  Rower  pod wzglę- dem  kinem atycznym  jest  jedn ym  z  bardziej  skom plikowanych  pojazdów.  Jest  pojazdem niestatecznym,  wymagają cym  cią gł ego  sterowan ia  ze  strony  rowerzysty. Ł OJCJAŃ SKI i  Ł U I UE  [19],  przy  daleko  idą cych  uproszczeniach,  wyprowadzili  równania ruchu  i  sformuł owali  prawo  jazdy  n a  rowerze.  Traktowali  koł a  roweru  jako  idealnie sztywne  dyski,  pomijając  równ ocześ n ie  kąt  pochylenia  kolum n y  kierowniczej  i  momenty dewiacyjne  pojazdu. N ajpeł niejszą  an alizę  statecznoś ci  roweru  przeprowadzili  N EJM ARK  S,;FU FAJEW  [23] i  [24],  uwzglę dniając  wpł yw  podatn oś ci  pn eum atyków  wedł ug  teorii  KIEŁ D YSZA  [18]. W  pracach  swych  N E JM AR K  i  F U F AJE W,  przy  wyprowadzeniu  peł nych  równ ań  ruchu, przeprowadzili  rozwią zan ia  i  analizy  przy  daleko  idą cych  uproszczeniach,  pomijając kolejno  poszczególne  ruchy  roweru.  Takie  postę powan ie  rzutuje  nie  tylko  n a  wyniki iloś ciowe,  ale  m a  decydują cy  wpł yw  n a  wyniki  jakoś ciowe.  Autorzy  ci  przyję li  rower ja ko  ukł ad  m echaniczny  o  dwóch  m asach,  traktując  ł ą cznie ja ko  wspólne  m asy:  kierow- nicę  z  kolum n ą  i  koł em  przedn im  oraz  ja ko  drugą  m asę  ram ę,  rowerzystę  i  tylne  koł o. N iewydzielenie  wirują cych  m as  kó ł  przedn iego  i  tylnego  powoduje  pominię cie  efektów ż yroskopowych,  co  m a  wpł yw  n a  statecznoś ć. W  przedstawionej  pracy  rower  z  rowerzystą  i  bagaż em  traktowan o jako  ukł ad mecha- niczny  o, wię zach  n ieholon om iczn ych, zł oż ony z  czterech mas.  U wzglę dniono  cztery  stop- nie  swobody  roweru w p o st aci: przechylan ia  x> odchylania 6,  obrotów  ukł adu  kierownicy  y> i  przemieszczeń  poprzeczn ych  x.  D o d at ko wo  przyję to  cztery  stopnie  swobody,  wynika- ją ce  z  podatn oś ci  poprzecznej  i  skrę tn ej  pn eum atyków:  tylnego  koł a  £ x >  2 .  Obliczenia  n um eryczn e  wykon an o  przykł adowo  dla>polskiego  roweru  turystycz- nego «Am basador».  Z ba d a n o jaki  wpł yw  n a stateczność roweru  mają  param etry  kon struk- cyjne,  kinem atyczne  i  podat n ość  pn eum atyków. . *  F ragment  pracy  był   przedstawiony  n a  VI  International  Conference  on  N onlinear  Oscillations* Poznań  1972.  ' . '  , , U  .*#   e 1 i 7 * 514 J.  MARYN IAK,  Z .  G ORAJ 2.  D ynamika  koł a  z  pneumatykiem Z agadnieniam i  dynam iki  toczą cego  się   pn eum atyka  zajmowali  się :  D O H R I N G   [2], R OC AR D   [25],  KI E Ł D YSZ  [18].  Obecnie  zajmuje  się   tym  zagadnieniem  szereg  badaczy  i  oś- rodków  doś wiadczalnych.  D otychczas  najogólniejsza  jest  teoria  KI E Ł D YSZ A  [18], m im o  pewnych  zastrzeż eń  omówionych  w  dalszej  czę ś ci  pracy. Rozważ ono  zachowanie  toczą cego  się   pn eum atyka  p o d  dział an iem  stał ego,  pionowe- go  obcią ż enia  JV.  P n eum atyk toczy  się   bez  poś lizgu  z  m ał ym i deformacjami,  które  charak- teryzują   się   trzema  param etram i  (rys.  1).  P aram etr  f  okreś la  boczn e  znoszenie  cen trum Rys.  1.  Przemieszczenia,  sił y  i  momenty  opisują ce odkształ cenie pneumatyka  toczą cego  się  koł a w teorii Kieł dysza pola  kon taktu  wzglę dem  ś ladu  ś rednicowej  pł aszczyzny  koł a  n a  pł aszczyź nie  drogi,  ką t % przechylenie  pł aszczyzny  ś rednicowej  koł a  wzglę dem  pł aszczyzny  pionowej  a,  ką t  skrę ce- nia  pn eum atyka  q>. Sił y  i  m om en ty,  które  powodują   odkształ cenia  pn eum atyka  są   funk- cjami  stanu  odkształ cenia  w  postaci: (1) Mt  = V, STATECZNOŚĆ  POJAZD ÓW  JEDNOŚ LADOWYCH   515 D la  mał ych odkształ ceń f,  2 tak  okreś lona  energia  pn eum atyka  może  być  wykorzystana  przy  obliczaniu  cał kowitej energii  pojazdu. •   • 3.  Wię zy  kinematyczne  toczą cego  się  pneumatyka Z  analizy  zjawisk  toczenia  się  bez  poś lizgu  KJEŁ D YSZ sformuł ował   dwa  twierdzenia: 1.  Styczna  do  linii  toczenia F  (rys.  1) pokrywa  się  z  osią  powierzchni kon taktu. 2.  Krzywizna  K  linii  toczenia  F  jest  jednoznacznie  okreś lona  funkcją  KQ,  ę ,  x). Linia  toczenia jest  miejscem  geometrycznym  punktów  0  (rys.  1), bę dą cych  ś rodkiem  linii ś rednicowej  leż ą cej  n a  powierzchni  kon taktu  z  nawierzchnią.  D la  mał ych odkształ ceń I ,  =   % =   0  otrzymano (16)  « = ^ . Analogicznie  przy  zał oż en iach  podan ych  w  [23]  wyznaczono  pozostał e  współ czynniki kin em atyczn e: (17) (18) "i- 1 7   R' T ak  okreś lone  przez  N EJM ARKA  i  F U F AJEWA  zgodnie  z  KIEŁD YSZEM  i  G REJD AN U SEM [23]  param etry  kin em atyczn e  a,  /S i  y  m oż na  traktować jako  pierwsze  przybliż enie. N a podstawie fotografią fj'QBI fJ=Q88 N a podstawie przybliż onej  oceny Kieł dysza Rys.  4.  G eometria  odkształ ceń lokalnych  pneumatyka  wyznaczona doś wiadczalnie 520 J.  MARYN IAK,  Z .  G ORAJ Wykon an o  pom iary  koł a  z  pn eum atykiem  przy  róż n ych  ciś nieniach  w  pn eum atykach . P n eum atyk  był  obcią ż ony  m om entem przechylają cym  i  sił ą  boczną  F  (fot.  1 i  2).  Jak  wy- nika  z  fotografii  odkształ cenie  pn eum atyka  jest  odkształ ceniem  lokalnym  (rys.  4),  i  nie obejmuje  koł a  aż  do  ś rednicy  jak  przyję to  w  [23].  Odkształ cenie  lokaln e  i  jego  obszar zależy  od  sztywnoś ci  pn eum atyka  i  ma  wpł yw  n a  param etry  kinem atyczne  a ,  fi  i  y. D okł adne  badan ia  przeprowadzone  n a  koł ach  rowerowych,  z  uwzglę dnieniem  zmiany ciś nienia,  wykazał y  znaczne  róż nice  w  wartoś ciach  współ czynników  (tablica  1). Tablica  1 0,74 0,81 0,88 LmJ 2060 2354 2720 P N Ib  — 1LmJ 383 363 245 a 2,15 2,48 2,45 0,042 0,042 0,042 '£ ] 2,8 2,8 2,8 16 164 16 125 16 74 LmJ 5,6 18 5,6 15 5,6 12,2 K E K E K E K —  zgodnie z terią  Kieł dysza, E — wyznaczone  doś wiadczalnie. W  powyż szej  tablicy  / j,  jest  stosun kiem  ś rednicy  pn eum atyka  ugię tego  do  ś rednicy pn eum atyka  swobodn ego;  w  przypadku  idealnie  sztywnych  pn eum atyków  / u  =   1. Wartoś ci  współ czynników  ot.  i  8  mają  znaczny  wpł yw  n a  otrzym an e  wyniki,  okreś la- ją ce  wł asnoś ci  dynamiczne  pojazdów.  Współ czynniki  t e  w  duż ym  stopn iu  zależą  od  sztyw- noś ci  pn eum atyka,  a  nie  są  wył ą cznie  zależ ne  od  prom ien ia  ko ł a  sztywnego  (16),  (17) i  (18) jak  wyznaczono  w  [23]. 4.  Dynamiczne  równania  ruchu P oł oż enie  roweru  z  rowerzystą  okreś lono  oś m ioma  współ rzę dnymi  uogólnionym i (rys.  5): x  —  przemieszczenie  poprzeczne,  współ rzę dna  p u n kt u  przecię cia  pł aszczyzny  ś red- nicowej  tylnego  koł a  z  pł aszczyzną  drogi; 6 —  kąt  odchylenia  roweru,  kąt  zawarty  mię dzy  osią  y  przyję tego  ukł adu  współ - rzę dnych,  a  ś ladem  pł aszczyzny  ś rednicowej  tylnego  ko ł a; X~  kąt  przechylenia  roweru,  kąt  zawarty  mię dzy  pł aszczyzną  ś rednicową  tylnego koł a  a  pł aszczyzną  pionową  yz; y> —  kąt  obrotu  osi  kierownicy; l i  J ii  —  przemieszczenie  poprzeczne  ś rodków  pola  kon taktów,  odpowiedn io  tylnego i  przedniego  ko ł a; ST AT E C Z N O ŚĆ  P O J AZ D Ó W JED N OŚ LAD OWYCH 521 +aN 2   sin Xy> -   ag x   -   a£ 2   =   0; (22)  -   S y x+J y 0  -   J xy 'ż  + V(G t   + G 3 )x  + coN 2 %+J 4 y>  -   VG 3   sin kip -   caN 2  si +  ca£ 2 —b(p 1 —bcp 2   =   0; (23)  S x x- J xy d-   V{G 1   + G 3 )  &+J*x- (gSx- QiN )x- Jjp  ~ VG 3   cos Xy + +  (gS* -   QiN 2  sin X)f  + oN x   | j  +  oN 2   C 2   =   0; (24)  -   S$+Ą 6+VG 3   sin X6 -   / 3 % +  VG3  cos X% + (gS+ -   QX N 2  sin X -   cx  aN 2)  % + + Ą y>  + dip + (gS 0   sin X+Q X   N 2   sin 2 X + c x   aN 2  sin X)tp — — (oN 2 sinX+ac 1 )l; 2   — bcosX

G 1 ,G 3   —  momenty  bezwł adnoś ci, N x,N 2   —  reakcje  normalne  dział ają ce  na  tylne  i  przednie  koł a. ST AT E C Z N O ŚĆ  P O J AZ D Ó W  JED N OŚ LAD OWYCH U kł ad  równ ań  (21)- (28)  m oż na  przedstawić  w  zapisie  macierzowym  w  postaci: (29)  Ax+ B x  +  Cx  =   0, gdzie  x  m  c o l[ x, 0,  %,  ip, Si,  h*  ?>i>  9>2j> A  —m a c ie r z  kwadratowa  współ czynników  bezwł adnoś ci, B  —m a c ie r z  kwadratowa  współ czynników  tł um ien ia, C  —m a c ie r z  kwadratowa  współ czynników  sztywnoś ci. P o  wprowadzen iu  dodatkowych  funkcji: 523 Rys.  6.  G eometria  roweru  oraz  przyję ty  rozkł ad  mas rowerzysty  i  roweru ukł ad  równ ań  (29)  sprowadzon o  do  nastę pują cej  postaci: (30)  P y + Q y  =   0, gdzie  y  i  y  są   t o  nastę pują ce  m acierze  kolum n owe: y  =   colly 1 ,y 2t y 3 ,y Ą ,x,d,x,W ,ii,(2,Vi>V2lf y  - P o  przekształ ceniu  i  pom n oż en iu  lewostronnie  przez  macierz  odwrotną   P " 1  otrzym an o: (31)  y  =   R y, 524  J-   MARVN IAK,  Z .  G ORAJ gdzie  macierz  stanu  R  ma  postać: (32)  R =  P - 1 ( - Q )- Rozwią zanie  ukł adu  (31)  przewiduje  się  w  postaci: (33)  y  =   yo e xp ^ , gdzie y0  jest  macierzą  kolumnową  wartoś ci  począ tkowych. Podstawiając  (33)  do  ukł adu  (31) otrzymano: (34)  [ R - ^ yo = 0 , gdzie  I jest  macierzą  jednostkową. Aby  ukł ad  równań  miał   rozwią zanie  niezerowe,  wartoś ci  wł asne macierzy  R są  tymi wartoś ciami  parametru  A,  dla  których (35)  detfR- AI]  =   0. Rozwią zanie  zagadnienia  sprowadza  się  do  wyznaczenia  wartoś ci  wł asnych  i  wekto- rów  wł asnych  macierzy  stanu  R. Wyznaczenie  wektorów  wł asnych,  odpowiadają cych  ś ciś le  okreś lonym  wartoś ciom wł asnym, pozwala  na identyfikację  odpowiednich ruchów  roweru. Rozwią zanie  ogólne  ukł adu  równań  jest  liniową  kombinacją  wszystkich  rozwią zań szczególnych  i  ma  postać: '  • (36)  y  ~ gdzie yj—jest  wektorem  wł asnym,  odpowiadają cym  wartoś ci  wł asnej, Cj — stał e  wyznaczone  z  warunków  począ tkowych,  bę dą cych  wartoś ciami  zakł ó- ceń  od  ruchu  ustalonego  dla  chwili  t  =   0,  . i—wartoś ci  wł asne  macierzy  stanu  R,  \ ~ 2n  • rjjj+i —czę stość  oscylacji  o  okresie  T j  —  —• , £j,j+i  —współ czynnik  tł umienia, jeż eli  wszystkie  gj  <0,  wahania  są  tł umione,  tzn. ruch  pojazdu  jest  stateczny,  czas  stł umienia  amplitudy  do  poł owy  T ip  = 1D 2 ii  ' przy  czym  liczba  wł asnoś ci  wł asnych  Xj  i  odpowiadają cych  im  wektorów  wł asnych  ŷ jest równa n  =  2a—b, tzn. liczbie  równań róż niczkowych  (30) rzę du pierwszego,  otrzyma- nych  z  przekształ cenia  ukł adu równań  (29).  : 5.  Równania  ruchu  uproszczonej  statecznoś ci  bocznej  roweru W  celu  wyjaś nienia  wpł ywu  liczby  przyję tych  stopni  swobody  i  uproszczeń  wynika- ją cych  z  pominię cia  podatnoś ci  pneumatyków,  wyprowadzono  równania  ruchu  uprosz- czonej  statecznoś ci  bocznej  roweru. ST AT E C Z N O ŚĆ  P O JAZ D Ó W  JED N OŚ LAD OWYCH   525 K o ł a  roweru  t rakt o wan o  ja ko  cienkie  tarcze,  idealnie  sztywne  [9,  23].  K on takt  kół z  powierzchnią  drogi  sprowadza  się  do  styku  pun ktowego.  N a  koł a  dział ają  wył ą cznie reakcje  n orm aln e TV, n at om iast  n ie  mogą  wystą pić  sił y  styczne  F,  momenty  przechylają ce M x   i  m om en ty  odchylają ce  M o . R ówn an ia  ruchu  wyprowadzon o  z  równ ań  Lagran ge'a  I  rodzaju  [4]  w  postaci d  I  dT \   8T   v- b  Q+ dla  a  =   1 , 2 , 3 , 4 ;  /S =   1, 2;  gdzie T   —  energia  kin etyczn a  ukł adu,  wyraż ona  we  współ rzę dnych  uogólnionych  ą a , Q„ —  sił y  odpowiadają ce  współ rzę dnym  uogólnionym , jup  —  m noż niki  Lagran ge'a, ap a  —  współ czynniki  wię zów  nieholonom icznych, przy  czym  . k (38)  £"t^ .+afo  =   0.  - R ówn an ia wię zów n ieholon om iczn ych dla  roweru  o  idealnie  sztywnych  koł ach otrzymano, po  przekształ ceniu  równ ań  zgodnie  z  [23],  w  postaci x+V8  =  0, (39)  • '  . cQ —c L f  — Vf  cos  % =   0. N a  podstawie  (38)  z  ró wn ań  (39)  otrzym an o  macierz  współ czynników  wię zów  nie- holonom icznych  w  p o st ac i:  •   ' ."1  0  0  0 (40) P o  obliczeniu  energii  kinetycznej  i  sił  uogólnionych, ja k  w  rozdziale  4, i  wprowadzeniu do  równ ań  (37)  m n oż n ików  ft'i,'fi2  i  współ czynników  (40), otrzym an o  nastę pują cy  ukł ad róż niczkowych  równ ań  ru c h u :  • (41)  i  •  v•   • '.'  ;• •'  mx- Syd  +  S x x- S^ yii=  fix,  r>;  . ( . • / • . -   -   • ; (42)  - (43)  S x x- J xy 6- V(G l   + G 3 )6+J x x- J a y>- VG 3 yicos).  - (44)  -   St'x+J 4 e  + VG 3   6 sin  X- Powyż sze  równ an ia  ruch u  wraz  z  równ an iam i  wię zów  nieholonomicznych (39)  opisują ruch  roweru  n a  sztywnych  koł ach. 5.1.  Równania ruchu uproszczonej statecznoś ci bocznej  z  uwzglę dnieniem  przechylania  i  obrotów  kie- rownicy.  Eliminując  z  równ ań ruch u  (41)- (44)  m noż niki  Lagran ge'a  i  wyznaczając  z  rów- 526  J.  MARYN IAK,  Z .  G ORAJ n ań  wię zów  x  i  6  otrzym an o  równ an ia  uproszczonej  statecznoś ci  boczn ej,  sprzę gają ce ruchy  przechylają ce  roweru  % z  obrotam i  kierownicy y>, (45)  A x + B i + C x  =   0, gdzie x  =   c o lfo . y] , przy  czym  wyrazy  macierzy  współ czynników  A, B  i  C  są   n astę pują ce: flu  =   cJ x , a 12   =   a 2 i  —  —cJ3~ a 22   m bxl  =   o, b 12   =  - b 2l   = b 22   = V iciSf+AcosA+CtSy—  + J y —  cosA Cn  =   ~cgS x , c12  = \ +cd, c 22   =   » 5.2.  Równania ruchu uproszczonej  statecznoś ci  bocznej  z uwzglę dnieniem  odchylania  i  obrotów kierow- nicy.  Z ał oż on o,  że  zmiany  przemieszczeń  bocznych  x  i  przechylan ia  % są   m ał e  i  po- mijalne  w  stosunku  do  ruchów  odchylania  roweru  6 i  towarzyszą cych  im  obrotów  kierow- nicy  yj. Eliminują c  z  równ ań  ruchu  (41)- (44)  i  równ ań  wię zów  (39)  skł adn iki  odpowiada- ją ce  pomijanym  zm ian om  otrzym an o  róż niczkowe  równ an ia  ruch u  roweru,  opisują ce wę ż ykowanie. M acierz  kolum nowa  skł adowych  wektora  x  równ an ia  (45)  m a  postać x  =   c o l[ 0, y] , przy  czym  wyrazy  macierzy  współ czynników  bezwł adnoś ci  A,  tł um ien ia  B  i  sztywnoś ci  C mają   p o st ać: l i  ^  i  y  y b i2   =  cd—c t   FG b 21   =   c, b 22   =   —c lt c 12   =   cgSo sin A, c 22   =   — KcosA. STATECZNOŚĆ  POJAZDÓW  JEDNOŚ LADOWYCH   527 5.3.  Równania  ruchu  uproszczonej  statecznoś ci  bocznej  z  uwzglę dnieniem  odchylania,  przechylania i  obrotów  kierownicy.  P om in ię to przemieszczenia  boczne  x  przy  zał oż eniu, że  pozostał e  trzy ruchy, t j. :  odchylanie 6, przechylan ie % i obroty kierownicy ę , są  rucham i decydują cymi  i  wza- jem n ie sprzę ż onymi.  Z równ ań  ruch u  (41)- (44)  i  równ ań  wię zów  (39)  otrzym an o  równania opisują ce  t ak  zm odelowan y  rower  w  postaci  (45),  którego  wektor  x  posiada  nastę pują ce skł adowe: x  =  co\ [ Q,%,f] , a  wyrazy  współ czynników  A,  B  i  C  mają   nastę pują cą   p o st ać: #12 — #31 = #32 — #33 — b 2Z ~ ^32 = C 21 = C 3 1 = C 32 = 0, #11 — <̂ 4+"')i~̂ ~» ^ 1 3  - AA l # 2 1  =   "xy> O- 22  = =   «*J #23  =   ""/ if — c b 23   =  — C C l  T C22  =   —gS x , c 3 3  =  c os X. c Wykon an ie  obliczeń  n um eryczn ych  dla  uproszczonych  modeli  roweru  i  dla  modelu przyję tego  w  rozdziale  4  pozwala  n a  porówn an ie  wyników  i  ich  analizę .  P ozwala  t o  wy- cią gnąć  wnioski  odn oś n ie  sł usznoś ci  stosowanych  modeli  roweru  przez  szereg  badaczy, ja k  ŁOJCJAŃ SKI,  Ł U R I E ,  N E JM AR K  i  F U F AJE W,  ja k  również  umoż liwia  okreś lenie  wpł ywu zał oż eń  upraszczają cych  n a  poprawn oś ci  wyników. 8  M ech an ika  Teoretyczn a 528  J.  M ARYN IAK,  Z .  G OR AJ 6.  Wyniki  obliczeń  numerycznych  i  wnioski Obliczenia  przykł adowe  wykonano  dla roweru  turystycznego  «Am basador».  Rozwią- zano  peł ny  ukł ad  równ ań  (21)- (28),  ja k  również  równ an ia  statecznoś ci  uproszczonej wyprowadzone  w  pu n kt ach  5.1, 5.2  i 5.3. Wszystkie  obliczenia  wykonano  wedł ug  wł asnych  program ów  n a E M C  G I E R  w  Za- kł adzie  Obliczeń  N umerycznych  U niwersytetu  Warszawskiego. Jako  param etry  zmienne  t rakt o wan o : d  —t ł u m ien ie  w  kolumnie  kierowniczej, k  — odsą dzenie  przedniego  koł a  wzglę dem  osi  obrotu, R  —p r o m ie ń  kół  roweru, L s   — dł ugość  roweru, A  —k ą t  pochylenia  osi  kierownicy, V  — prę dkość  jazdy  roweru, (i  • — współ czynnik  okreś lają cy  ciś nienie  w  pn eum atykach . Wyniki  przedstawiono  w postaci  wykresów, n a których  linią  cią głą  n an iesion o zmiany współ czynników  tł umienia  £,-, a  przerywaną  czę stoś ci  oscylacji  rjj.  Jedn akowym i  indek- sami  oznaczono  n a wszystkich  wykresach  odpowiadają ce  sobie  wartoś ci  wł asne,  charak- teryzują ce  te  same  ruchy  roweru: h,2  ™ £ i, a± wh , 2  —oscylacje  lub  ruchy  aperiodyczne  odpowiadają ce  o bro t o m kie- rownicy  %p, lub A2 =   f  2 A3  =  f3  — aperiodyczne  ruchy  kierownicy  y, A- 4. =  £4.  — aperiodyczne  ruchy  przechylają ce  roweru %, As,6  =  £5,6± »?5,6  —szybkie  oscylacje  odpowiadają ce  ruch om  odchylają cym  roweru, wywoł anym  skrę caniem 

2   pn eum atyka  przedn iego  koł a, A9  =   f 9  .  — aperiodyczne  ruchy  odchylają ce  roweru  0  lub  ruchy  harm onicz- lub  n e, odpowiadają ce  obrotom  kierownicy  yi, sprzę ż onym  z  odchy- • 3̂,9 =  £3,9± »?3,9  laniem  roweru  6, ho  =  fio  —aperio dyczn e  ruchy  odchylają ce  roweru  6  lub  oscylacji,  odpo- lub  wiadają ce  ruchom przechylają cym  roweru  % sprzę ż onym  z odchy- l i  o =   £ t,io +  "74,10  laniem 6. R uch  roweru  niekierowanego jest  ruchem niestatecznym ze wzglę du n a przechylanie %, Wartość  wł asna  A4  i  A4, 10  charakteryzują ca  przechylanie  posiada  czę ść  rzeczywistą — współ czynnik  tł umienia  zawsze  dodatn i  | 4  >  0  i  £ 4 j l 0  >  0  (rys. 7- 13 i  rys.  15). 6.1.  Wpł yw  parametrów konstrukcyjnych  na statecznoś ć.  Jako  zm ien n e  param etry  kon struk- cyjne  zgodnie  z rys. 6  przyję to:  prom ień  koł a  R,  dł ugość  roweru  L s ,  kąt pochylenia ko- lumny  kierowniczej  A, wyprzedzenie  przedniego  koł a  k i  tarcie  w  kolum n ie  kierownicy  d. 530 J .  M ARYN IAK,  Z .  G ORAJ 'IB - 6 - 1Z • 18 - 24 \ \ 91,2 \   10 / / / A m ba sa do r / / / —A- . _—̂——' ' /   0  i  | 2  <  0  do  tł um ion ych  oscylacji  | 1 > 2  <  0 o  wzrastają cej  czę stoś ci  (rj ll2   roś nie).  R ównocześ nie  nastę puje  ustatecznienie  przechyla- n ia  ( | 4  maleje)  i  zmniejszenie  tł um ien ia aperiodycznych  obrotów  kierownicy  ( £ 3 roś nie). K oł a  o  mał ych  prom ien iach  powodują  niestateczność  roweru,  co  potwierdzają  również doś wiadczenia. Wzrost  dł ugoś ci  roweru  L s   wpł ywa  n a  zmniejszenie  czę stoś ci  oscylacji  r\ li2   ruchów obrotowych  kierownicy  przy  niewielkim  spadku  tł um ien ia  | 1 > 2  (rys.  8).  N a  pozostał e ruchy  n ie  ma  istotn ego  wpł ywu. STATECZNOŚĆ  POJAZDÓW  JEDNOŚ LADOWYCH 531 - 1 5 - 5 6 0 30 0   5 - 3 - 6 7 - 9 - 12 - 1 5 I V- 8m/ s P- O,355rn ° 6- 0 Ls- 0,975m •  przypadek 5,1 Rys:  10.  Współ czynniki  tł umienia  I  i  czę stoś ci  oscylacji  t] w funkcji  odsą dzenia k przedniego  koł a wzglę- dem  osi  kierownicy K ąt  pochylenia  ko lu m n y  kierowniczej  k  (rys.  6)  m a  decydują cy  wpł yw  n a stateczność roweru.  Wzrost  ką ta  A powoduje  ustatecznienie roweru.  Aperiodyczne  ruchy  kierownicy z  rozbież nych  przech odzą  w  tł um ione  | 3  (rys.  9),  a  aperiodyczne  obroty  kierownicy  ro- weru  £!  <  0  i  | 2  <  0  n a  tł um ione  oscylacje  f u < 0 o  ustalają cej  się  Czę stoś ci  wahań »?1> 2.  Wzrost  ką ta  I  wpł ywa  silnie  ustateczniają co  n a  ruchy  przechylają ce  roweru, współ - czynnik  tł um ien ia  £ 4  maleje.  Widać  wyraź nie  rysują cy  się  zakres  optymalnych  ką tów pochyleń,  stosowan y  wł aś nie  przy  współ czesnych  rowerach,  okreś lony  n a  drodze  ekspe- rym en tu.  . Wyprzedzenie  ko ł a  przedn iego  k  (rys.  6) jest  stosowane  w  celu  zmniejszenia  statecz- noś ci  aby  polepszyć  sterown ość  pojazdów  koł owych.  J ak  wynika  z  rys.  10  cel  ten został 532 J .  M AR YN I AK  Z .  G O R AJ - a - 1 6 - 24 - 40 24 1 6 3 V- 2m/ s R=0355m 2=19,83° L 5 - 0,075  m k- 0,087m przypadek  5.1 9 \ 12 \ 15 - * / - 8 < S[ Nms/ rd] V- R- 2- 3 0,355 m 19,83° - 0,975 m 0,087m s ~ - — ~——• —i 9 — ^ . Zi —£u- ć [ Nms/ rd] - us R ys.  l i .  Współ czyn n iki  t ł u m ien ia  $ i czę stoś ci oscylacji  T J  W  funkcji  t ł u m ien ia  wiskotyczn ego 5 w ko lu m n ie kierown icy osią gnię ty,  bowiem  dodatn ie  wyprzedzenie,  tzn . do  przo du , zmniejsza  tł um ienie  oscylacji kierownicy  (współ czynnik  tł um ienia  | 1 ( 2 )  przy  równ oczesn ym  spadku  czę stoś ci  ( J ? 1 J 2 ) - Wielkoś ci  odsadzeń  stosowane  przy  rowerach  są  w  zakresie  odsadzeń  optym aln ych . Wpł yw  tarcia  wiskotycznego  w  kolum n ie  kierownicy  n a  stateczn ość  przedstawion o n a  rys.  11.  Wzrost  tarcia  wyraź nie  ustateczn ia  ruchy  obrotowe  kierownicy  i  zależy  rów- nież  od  prę dkoś ci  jazdy.  N ie  m a  n atom iast  wpł ywu  n a  ruchy  przechylają ce  £ 4  i  aperio- dyczne  ruchy  kierownicy  f3.  P rzy  m ał ych prę dkoś ciach jazd y  tł um ione  ( | l i 2  <  0)  oscy- lacje  rj 1)2   przechodzą  w  ruchy  aperiodyczne  | Ł   <  0  i  f2  <  0  bardzo  silnie  tł um ion e.  N a- tom iast  przy  prę dkoś ciach  wię kszych  wystę pują  wył ą cznie  oscylacje  u kł adu  kierowniczego rj U2   charakteryzują ce  się  wzrostem  tł umienia Ę U2 .  - q  jH onfrOtsJi  3$»q$io STATECZNOŚĆ  POJAZDÓW  JEDNOŚ LADOWYCH 533 6.2.  Wpł yw  parametrów kinematycznych  na statecznoś ć.  Rozpatrywano  wpł yw  prę dkoś ci  jaz- dy  V  n a  stateczność  roweru,  dokon ując  obliczeń  trzech  przypadków  statecznoś ci  uprosz- czonej  (rys.  12)  i  peł nej  z  uwzglę dnieniem  podatn oś ci  pneum atyków  (rys.  13). Wzrost  prę dkoś ci  jazdy  wpł ywa  ustateczniają co  n a  ruchy  roweru jako  ukł adu  idealnie sztywnego  (rys.  12),  ja k  równ ież  z  uwzglę dnieniem  podatn oś ci  pneumatyków  (rys.  13). Szczególnie  zaznacza  się  silny  wpł yw  n a  szybkie  oscylacje  roweru,  odpowiadają ce  ruchom odchylają cym  n a przedn im pn eum atyku  £ 7 > g , ??7>8 i tylnym  pneumatyku | 5 l 6  i 7]5>6.  Wzrost prę dkoś ci  powoduje  'zwię kszenie  tł um ienia  ( £ 5 | 6  i  £ 7 | 8  silnie  maleją)  przy  równoczesnym wzroś cie  czę stoś ci  oscylacji  (r) St6   i  ??7ja  rosn ą ).  Szybka  jazda  jest  korzystniejsza. O"" **• is. Rys.  12. Współ czynniki  tł umienia  I  i  czę stoś ci  oscylacji  r\   w funkcji  prę dkoś ci jazdy  V i ich porównanie przy  róż nych  uproszczeniach  modelu  fizycznego  sztywnego  roweru 120   r   90 0 0 - 15 6 0   - 3 0 3 0 - 30 - 15 - o - 15 - SO  ~3 0 - 9 0  - tó - 120 R"0,355m k- ą OB7m 6=0 a.,p,  2f obliczone  wedł ug  Fotografii 2 Rys.  13. Współ czynniki  tł umienia  f  i  czę stoś ci  oscylacji  r) w  funkcji  prę dkoś ci jazdy  V dla  roweru  n a  od- kształ calnych  pneumatykach [ 5 3 4 ] STATECZNOŚĆ  POJAZD ÓW  JEDNOŚ LADOWYCH 535 6.3. Wpł yw  podatnoś ci pneumatyków  na  statecznoś ć.  U wzglę dnienie  podatn oś ci  poprzecznej pn eum atyków  daje  w  rozwią zan iu  peł nym  oprócz  wartoś ci  wł asnych  charakteryzują cych ukł ad  sztywny  Al i 2 ,  / l3  i  Ź U, dwie  n owe  pary  wartoś ci  wł asnych zespolonych  sprzę ż onych X s6   i  1 7 > 8  (rys.  13,  16,  17)  charakteryzują ce  szybkie  oscylacje  rjSi6  i  T J7I8  zawsze  silnie tł u- m ione  | 5  6  <  0  i  £7,8  <  0>  odpowiadają ce  ruch om  wywoł anym  skrę caniem  pneumaty- ków  tylnego  q>i  i  przedn iego  q> 2 . £,? 12 36 3 0 18 12 - 6 - 12 y / b X 1 1 / / . - — — • " " A x _ x  XW./T * - > - IJ- 0J4 —(J- Q81 U  V - jj'0,88 Rys. 14. Porównanie tł umienia £ 1 ) 2 i czę stoś ci oscylacji %, 2 w funkcji prę dkoś ci K, odpowiadają cych/ uchom obrotowym  kierownicy  y> 536 J.  M ARYN IAK,  Z .  G ORAJ ~?3,S  £3,9 - 14 - 3 0 Rys.  15. Porównanie  tł umienia  f  i  czę stoś ci  oscylacji  i\  w  funkcji  prę dkoś ci  jazdy  V,  odpowiadają cych ruchom  harmonicznym kierownicy  y>  sprzę ż onym z odchylaniem roweru 0  (773,3, £3,3) oraz  ruchom prze- chylają cym  roweru  % sprzę ż onym  z  odchylaniem  6  (xit tl s,  £   4 i l 0 ) Stopnie  swobody,  wynikają ce  z  podatn oś ci  pn eum atyków,  wprowadzają  dodatkowe sprzę ż enia  mię dzy  kinematycznymi  stopn iam i  swobody  X 3 , 9   i  A4> 10  (rys.  12,  13,  i  15), co  nie tylko  m a  wpł yw  n a  wyniki  iloś ciowe  ale  również  wpł ywa  n a  ch arakter  obliczonego ruchu. Wyniki  rozwią zań,  uwzglę dniają ce  wpł yw  deformacji  pn eum atyka,  przedstawion o n a  rys.  14- 15  dla  współ czynników  kinematycznych  a,  fi  i  y,  obliczonych  wedł ug  teorii KIEŁ D YSZA  i  zgodnie  z  N EJM AKKIEM  i  F U F AJEWEM  «K - N - F»  oraz  porówn an o  z  wynikami otrzym an ym i po  zmodyfikowaniu  obliczeń  przez  autorów  «A»  w  oparciu o  doś wiadczenia, ja k  również  po dan o  wyniki  statecznoś ci  uproszczonej  «U ». £  *  !§  C  &  f j p ixii!  *  I  i  m i In \   \   \   \   /   / / / : = ,  8 f t \ \   \   \   / / / / ? ! ! •   \ \ \   / / /   III \ ^  \   /   / /   - gRB //   /   «*   f  <  H  fc  £ I f /   A  i  ri| | ^§  a  s  R  «  s  s  s  $*°"^ R 5 3 S 8 S  "o  ^  »  S W I S S ' S kv Ł\!  Ł  f  *"  1   L  4  A/ I  Ig W  \   ^  /   / / /   il v  \   x  S  r  / / /   - - S ^ \   \   \   \   /   /   / /   r§s W \   i  /   / / /   ill IN  1 w  &•:  I P i ^\ i  i /   ; ?••   if ! [ 5 3 7 ] 538  J.  M ARYN IAK,  Z .  G ORAJ :  7. Wnioski  ogólne Jak  wynika  z  przedstawionej  pracy,  stosowane  przez  wielu  autorów  (ŁOJCJAŃ SKI, ŁTJRIE,  KIEŁD YSZ ,  N EJM ARK,  F U F AJEW)  uproszczenia  m odeli fizycznych  lub  równ ań  ruchu w  celu  uł atwienia  obliczeń  przez  obniż enie  stopn ia  równ an ia  charakterystycznego  nie zawsze  mogą   być  stosowane.  U proszczenia takie  mogą   prowadzić  do  bł ę dnych  rozwią zań i  bł ę dnej interpretacji  wyników,  charakteryzują cych  przyję ty  m odel  fizyczny,  a  niejedno- krotn ie  utoż samiany  z  rzeczywistym  pojazdem .  , Współ czynniki  kinematyczne  a, i  /5 wyznaczone  zgodnie  z  «K ~ N - F»  zależą   wył ą cznie od  prom ien ia  nieodkształ calnego  koł a i  nie  uwzglę dniają   podatn oś ci  pn eum atyka — teoria  pół sztywnego  koł a  (okreś lenie  auto- rów).  N atom iast uwzglę dnienie  podatn oś ci  pn eum atyka  poprzez  przyję ty  współ czynnik fi i  wyznaczenie  doś wiadczalne  lokalnej  deformacji  pn eum atyka  m a  wpł yw  n a  współ czynni- ki  kinematyczne  (tablica  I ) , a tym  samym  n a  tł umienie i czę stoś ci  oscylacji  drgań  pojazdu (rys.  14- 17). Z  powyż szego  wynika,  ż e:  przy  wyznaczaniu  współ czynników  kinematycznych,  należ y okreś lić  lokalny  obszar  deformacji  pneumatyka. Z  obliczeń  wynika,  że dla  przykł adowo  obran ego  roweru  «Am basador»  przyję te  para- metry  konstrukcyjne  są   wielkoś ciami  optym alnym i,  n p . :  prom ień  kół   R  (rys. 7),  ką t pochylenia  osi  kierownicy  X (rys.  9), odsą dzenie  przedn iego  koł a  wzglę dem  osi  kierownicy k  (rys. 10). P rzeprowadzone  badan ia  i  opracowane  program y  n a  E M C  mogą   m ieć  praktyczn e zastosowanie  dla oś rodków  konstrukcyjnych,  bowiem  ju ż  w  fazie  kon struowan ia  m oż na obliczyć  efekty  nowych  rozwią zań  lub zm ian. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  R. E. D .  BISH OP,  G . M. L.  G LAD WELL,  S.  MICH AELSON ,  Macierzowa  analiza drgań , WN T, Warszawa 1972. 2.  E.  D OH RIN G , Die Stabilitat  von  Einspurfahrzeugen,  F orsch.  G eb.  Ingenieurwesens, B.  24.  N 2,  50—62, 1955.  : 3.  J.  R.  ELLIS,  Vehicle dynamics,  Businers Books Limited, London  1969. 4.  R.  GUTOWSKI, Mechanika analityczna,  PWN ,  Warszawa 1971. 5.  R.  G U TOWSKI,  Równania  róż niczkowe  zwyczajne, WN T,  Warszawa 1971. 6.  A.  VAN   LU N TEREN ,  H .  G .  STASSEN,  Annual Report  1969  of the  Man- Machine Systems  Group,  Labo- ratorium  Voor  Meet —E n  Regeltechnik,  D elft  21,  April 1970. 7.  J.  MARYN IAK,  Statecznoś ć  dynamiczna  podł uż na  szybowca w  zespole  holowanym,  M ech.  Teoret. i  Stos.,  3, 5 (1967). 8.  J.  MARYN IAK, M .  LECH , A. N AŁĘ CZ, Identyfikacja dynamiczna pojazdów na pneumatykach,  Proceedings of  the  Vin - th  Conference  on D ynamic  of M achines, P raha,  Liblice  1973. STATECZN OŚĆ  POJAZD ÓW  JED N OŚ LAD OWYCH   539 9,  J .  M ARYN IAK,  Analiza  dynamiczna  modeli pojazdów na pneumatykach,  Zeszyty  N aukowe  Przemysł o- wego  I n stytutu  M otoryzacji,  N r 1,1974. 10.  A.  M OR E C KI ,  J.  E K I E L ,  K.  F I D E LU S, Bionika  ruchu,  P WN , Warszawa  1971. 11.  N owoczesne  metody  numeryczne,  opracowane  przez  N ation al  Physical  Laboratory  Teddingtan Mid- dlessex,  P WN ,  Warszawa 1965. 12.  H . B.  PACEJKA,  T he wheel  shimmy  phenomenon,  R otterdam 1966. 13.  L. A.  P AR S,  A  treatis  on  analytical  dynamics,  H einem ann ,  Lon don 1964. 14.  Z .  G ORAJ,  Statecznoś ć  boczna  roweru  z  uwzglę dnieniem odksztalcalnoici poprzecznej pneumatyków, praca  m agisterska.  Z aM ad  M echaniki  I M S  P W, 1972 (nie  publikowana). 15.  J .  M ARYN IAK,  Z .  G OR AJ,  Bonpocu  ycmounueocmu  eenocuneda,  Zagadnienia  D rgań  N ieliniowych, N r  15/ 1973. 16.  <&. P .  FAHTMAXEPJ  T eopun  Mampuif,  H 3fl.  H ayKa,  MocKBa  1966. 17.  H .  H .  KAJI KE P J  A. R.  pp  T IAT EP,  OSsop  meopuu  jiOKajibuoio awAhoicenuB e oSjiacmuynpysoso KotimaKma c  cyxuM  mpenueM,  IIpH KJiaflH aH   MexanHKa.,  T . VI I ,  B . 5,  1971. 18.  M . B.  K E JTOBI U I ,  IHuMMU  nepedneso  Koneca  mpexKOjiecnoio tuaccu,  T p .  LVUTH,  1945. 19.  A. F .  JI OH I JH H C K H H J A. H . JlypBE, Kypc  meopemuuecKou AtexauuKU,  FocTexH3flaT  1955. 20.  J I . F .  JI O BAC ,  AHOMU3  pa,3eumuH u coepeMemioio cocmommn  dimamaai  KOMCHUX Mauim,  npuKJiaftH as MexaHHKa,  T . V I I I 5  B . 5,  1972. 2 1 .  J I . F .  JIOBAC J  ffo  meopn  UUMMI nimaKa,  flonoBifli  AirafleMii  H ayi< YKpaiHCKoi P C P ,  3 c ep ia A 1973. 22.  J I . F .  JIOBAC J  ninnxoea  cmiumcnib  pienoMipmio  npnMOJiiniuHoio  Konenun Koneca,  JJpnoBifli AH   YP C P , 4  c e p ia  A,  KwiB  1973. 2 3 .  K ) . H .  H E H M AP K ,  H . A.  O y^AE Bj  JJuHOMUKa  ueiojioHOMHux  cucmeM, H 3fl.  H ayKa,  M ocKBa  1967. 24.  I O . H .  H E H M AP K ,  H . A.  ^ y s AE B ,  YanouHuaoanb  npusommeimozo  deusiceuujt  3Kunaoica  HO  Sanomibix KO/ iecax, IIpH KJiaflH aH   iwaTeiwaTHKa  H  M examiKa.,  T . 3 5 , 1 9 7 1 . 2 5 .  H . P O K AP J  Heycmounueocmb  e  AtexanuKe,  H . J I .  M ocKBa  1959. 26.  H . B .  CTPA>KEBAJ  B . C .  M E H K VM O BJ  Beicmopno- Mampunnue  jueinodu e  MexanuKe nojiema,  M anmH O- e,  MocKBa 1973. P  e 3 io  M e BE JI O C H n E flA  H A  n H E BM ATH ^I E C KH X  U IH H AX B  paSoTe  paccM aTpH BaeTCH , H a n pn ivsepe  Ben o c n n efla ,  ycToft^HBOcTB  flByxKOJiecm.rx  TpaH cn opTH tix cpeflCTB  c jnieTOM   noflaTJiHBOCTH   rmeBM aTiraecKH X  I I I H U .  I I o n ep et iH aH  H  KpyTHJiBHan  noflawniBOCTH   n i m i 3KcnepHMeHTajn>HbiM   n yTeM . paccMaTpH BaeTCH   KaK MexaH H ^iecKaJi  cHCTeiwa  c  aHrojioHOMHtiMH   cBH3ił MH 3 cocTomrtaH H 3  JKeCTKItX  SJieiVieHTOB.  ypaBH eH H H  flBID KeH H H  BBIBOAHJIHCŁ  Ha OCHOBaHHH  ypaBHeHHH   MaflJKH   flJIH aHTOJIOHOMHBIX  CBH3e&, a  ypaBH eH H H   ITBH>KeHHH  flJIH  HCCJieflOBaHHH   ynpOIHeHHOń  yCTOftqHBOCTH   BŁI- BoflHJiHCt  H3  ypaBH eH H ii  JlarpaH H ca  n e p B o r o  pofla  c  coMHOJKHTejMMH  u  c KOStbtbffljiieHTaMH   aHTOJiOHOM- HblX  CBH3eft. rip iu wep  ^H cjieH H oro  p a c q e i a  n p o fle n a n  fljia  T ypacT H ^ecK oro  Bejiocn n efla  , jAM 6acaflo p".H ccJieH O - BanocB  n p a STOM  BUHHHJie  H a  ycToitqH BocTB  xaKHX  n apaiweipo B  KOHCTpyKiraHj  I O K p a n n yc  K o n eca, y r o n  HaKJioHa pyjiH 3  onepeH < eH H e n e p e fliie r o  K o n ec a 3  H Jn m a  BeJiocan efla  H  TpeHHe B p yn eBo ii  K O J I O H K C H c c jieso Ba n o c B  TaKHce  BjniH H H e  n a  ycroOTH BocTB  KH H eMaTH ^ecKoro  napaivseTpa  T . e .  C K opocrn H   n oflawraBocTH   i m m . H   aH ajiH 3H poBajjncB  pe3yjiBTaTbi3  n o n yq e H H iie  n p n  yn p o m eH H a x  p a3H o ro a  T a K «e  paccM aTpH BanocB  B n a m n i e  npeanojioM KeH H H , co,n;ep>KanrjHxcH  B Mop;ejm  nHeBMaTH^iecKoft H a  npaBH jn>H ocTB  n on yqeH H Lrx  pe3yjn>TaT0B. 540  J.  M ARYN IAK,  Z .  G ORAJ S u m m a r y STABILITY  PROBLEMS  OF   A  BICYCLE  EQU IP P ED WITH   P N EU M ATIC WH EELS The  pioblem  under  consideration  concerns  the  side  stability  of  a  bicycle  equipped  with  pneumatic wheels.  The  bicycle  and  the  cyclist  constitute  a  mechanical  system  with  nonholonomic  constraints  with eight  degrees  of  freedom.  Experiments  are performed  to determine  the moments  of  inertia  and side  devia- tion  of  racing  an  „ Ambasador"  bicycle  with  the  cyclist  riding  on .  Calculations  are  accomplished  for  the complete set  of  equations  as  well  as  for  a  simplified  model  with  reduced  degrees  of  freedom.  The  simpli- fication  of  the set  of  equations  which  reduces  the degree  of  the characteristic  equation  is  not always appli- cable  since  it  may cause  false solutions  and  their erroneous interpretation. POLITECHNIKA  WARSZAWSKA Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  3  kwietnia  1974  r.