Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  12  (1974) Z ASTOSOWAN IE  M E T O D Y M AC I ER Z Y P R Z E N I E SI E N I A  D O AN ALIZY D YN AM I C Z N E J  P R Ę T ÓW  CIEN KOŚ CIEN N YCH EUG EN IUSZ  Ś WI T O Ń SKI (G LIWICE) Oznaczenia t\   przemieszczenie  punktów  osi ś rodków  zginania  w  kierunku  osi Y, i  pizemieszczenie  punktów  osi  ś rodków  zginania  w  kierunku  osi  Z, C  przemieszczenie  punktów  osi  ś rodków  zginania  w  kierunku  osi X, q>  ką t  obrotu  przekroju, x,y, 2  gt ó wn e  c e n t r a ln e  osie  bezwł a d n o ś ci  p r ze kr o ju , y&  wsp ó ł r z ę d ne  ś r o d ka  zgin a n ia  w  kie r u n ku  o si  Y, z a   wsp ó ł r z ę d na  ś r o d ka  zgin a n ia  w  k ie r u n k u  osi  Z , E  m o d u ł   sp r ę ż yst o ś ci  p o d ł u ż n e j, G  m o d u ł   sp r ę ż yst o ś ci  p o p r ze c zn e j, y  c ię ż ar  o bję t o ś c io wy  m a t e r i a ł u ,  z  k t ó r e go  wyk o n a n o  p r ę t, A  p o wie r z c h n ia  p r z e k r o ju  p r ę t a, g  p r zysp ieszen ie  zie m skie , J y   m o m e n t  be zwł a d n o ś ci  p r z e kr o ju  wzglę dem  osi y , J y   ~  /   z2dA, J z   m o m e n t  be zwł a d n o ś ci  p r z e k r o ju  wzglę d em  o si z, J z   —  j  y 2 dA, Je,  wyc in ko wy  m o m e n t  be zwł a d n o ś ci  p r z e k r o ju  Ja, — /   w2dA, A J s   moment  bezwł adnoś ci  przekroju  przy  czystym  skrę caniu. 1.  Wstę p Z agadn ien iom  dyn am iki  i  statecznoś ci  prę tów  cienkoś ciennych  o  profilu  otwartym poś wię cono  wiele  prac.  W  wię kszoś ci  dotyczą   one prę tów  o  stał ym i  charakterystycznym przekroju,  dla  pewn ych  szczególnych  warun ków  brzegowych  [1, 2,  3, 4]. W  przypadku  prę tów  o  zm iennym  przekroju  zagadnienie  dynamiki  i  statecznoś ci sprowadza  się   do  rozwią zan ia  ukł adu  równ ań  róż niczkowych  o  współ czynnikach  funk- cyjnych,  przy  czym  funkcje  tych  współ czynników  zależą   od  charakteru zmiany  przekroju. Rozwią zanie  tego  problem u  m oż na  uzyskać  w  wyniku  pracochł on n ych  obliczeń  stosują c jedn ą   z  m etod  przybliż on ych  [5,  6].  Każ dorazowy  inny  charakter  zm ian y  przekroju  wy- m aga  w  ogólnym  przypadku  pon own ego  rozwią zania. Z astę pując  prę t  o  dowolnie  zmiennym  przekroju,  prę tem  o  przekroju  odcinkowo stał ym  (skokowo  zm ien n ym )  i  stosują c  m etodę  macierzy  przeniesienia,  moż emy  otrzymać rozwią zanie  powyż szego  problem u  w  znacznie prostszej  postaci,  nadają cej  się   stosunkowo ł atwo  zaprogram ować  n a  elektroniczną   maszynę   cyfrową   [7,  8,  9].  D odatkową   zaletą 488 E .  Ś WITOŃ SKI metody  macierzy  przeniesienia jest  moż liwość  każ dorazowego  okreś lenia  gran ic,  w  jakich powinno  zawierać  się   rozwią zanie  ś cisł e,  a  wię c  m oż na  otrzym ać  rozwią zanie  o  ż ą danej dokł adnoś ci. M etoda  macierzy  przeniesienia  polega  na  okreś leniu  macierzy  zwanej  macierzą   prze- niesienia, którą   otrzymuje  się   w  wyniku  iloczynu  macierzy  przę sła  i  macierzy  przekroju. M acierz  przę sła  buduje  się   n a  podstawie  rozwią zania  danego  problem u  dla  prę ta  o  sta- ł ym  przekroju.  N atom iast  macierz  przekroju  otrzymuje  się   z  warun ków  statycznych bą dź  kinetostatycznych  i  z  warunków  nierozdzielnoś ci  przemieszczeń  [10]. Celem  pracy  jest  rozwią zanie  zagadnienia  drgań  swobodnych  i  statecznoś ci  prostych jednoprzę sł owych  prę tów  cienkoś ciennych  za  pomocą   m etody  macierzy  przeniesienia, programują c  ją   n a  elektroniczną   maszynę   cyfrową . Zagadnienie  rozpatrzon o  w  uję ciu  liniowo- sprę ż ystyrn  przy  zał oż eniach tzw.  technicz- nej  teorii prę tów  cienkoś ciennych  [4].  Rozwią zanie  zagadn ien ia  statecznoś ci  otrzym an o jako  szczególny  przypadek  rozwią zania  zagadnienia  drgań  swobodn ych  (gdy  P  ~*  P kr to  a>„  - » 0). 2.  Okreś lenie  macierzy  przę sła M acierz  przę sła  okreś la  się   n a  podstawie  rozwią zania  równ ań  róż niczkowych  danego problemu  dla  prę ta  o  stał ym  przekroju,  przy  czym  musi  t o  być  rozwią zanie,  w  którym Rys.  1 stał ymi  cał kowania  są   wartoś ci  funkcji  w  przekroju  począ tkowym  oraz  wartoś ci  propor- cjonalne  do  kilku  pierwszych  pochodnych tej  funkcji  również  w  przekroju  począ tkowym. Z AST O SO WAN I E  M ETOD Y  M AC I E R Z Y  P R Z E N I E SI E N I A  489 P odstawowe  równ an ia  róż n iczkowe  zagadn ien ia  drgań  swobodnych  prę ta  cienko- ś ciennego  o profilu  otwartym  i  stał ym  przekroju,  obcią ż onego  sił ą P  dział ają cą  centralnie (rys.  1)  mają  postać  [4]: Ł A   dx 2   g   dt 2   ~   u > yJ z   A  yA  d2r,  d2 V   yAz a   8 2 cp  8 2 cp - J-  +  T  + FIF"~T~F  + pz d V   y A z a   8cp +F IF"~T ~dF  +pz * dt2  + F~dT2-   F ""^ 5 ""^ ""a P "=   ' y A z a   d 2 n   d 2 n   y A y a   j ^ -   d^ F+ Fz-   T~  dt2  ry*"dx2 yAr 2   8 2 w  8 2 w  «  82w I  »  J _  _ _ r ̂ T  T  i  D p *   •   tf) gdzie A   a  x>  y Pierwsze  równ an ie  wyraż en ia  (2.1) przedstawia  równ an ie  róż niczkowe  swobodnych drgań  podł uż n ych p rę ta  i jest  niezależ ne  od pozostał ych trzech. Rozwią zanie  jego moż na znaleźć w każ dym  podstawowym  podrę czn iku  dotyczą cym  dynamiki  o cią gł ym rozkł adzie m as.  D alsze  więc  rozważ an ia  dotyczyć  bę dą  tylko  swobodnych  drgań  gię tno- skrę tnych, okreś lonych  pozostał ymi  trzem a  równ an iam i  róż niczkowymi. Stosując  m etodę rozdział u zm iennych przedstawion ą  przez  P oissona,  moż emy  w przy- p ad ku  drgań  swobodn ych  funkcje  f](x, i), £(x, t),  q>(x,  t)  wyrazić w nastę pują cej  postaci: ri(x, t) =  V  d n (x)sinw n t, n- 1 , 2 ,3 •   ,'M'  •   n i  .•   vy  ULI  t?  Ci /./•   - ,\   V  17/  /   \   • ' S n= l, 2, 3 c'„'  = 0, ­  + w 490  E .  Ś WI T O Ń SKI Wprowadź my  do  równ ań  (2.3)  nastę pują ce  ozn aczen ia: /  "fix  2  n\   yA  2 a x   =   EJ Z ,  a 2  -   I —- o ) n + P  ,  a 3  =   - - — <»„ \   £  I  o ,  a s   =  Pz a , g b3  =   - • =   EJm,  c2  =   ( p  ̂ +  ̂ ^ - G / l  c3 = c 5  =   Pza,  c6  =   ^ ^ c o n 2 5  c 7  =   - Pya. C 4  c o „ , c 5  za,   6 Wówczas  równania  (2.3)  przyjmą  postać a x 6l v +a 2 d'„'+a 3 d„+a 4 .x„+a s >c' n '  =  0, (2.4)  b x  V?  + b 2  K  +  b 3  f „ + b A   «„ + b 5   K';  =  0, Ci «2 V + c 2 K  + c3  %n+cj„  + cs  6'n'+c6W „  + c 7 W n'  =  0. Rozwią zanie  w postaci zamknię tej, n p . transformacji  Laplace'a, równ ań  róż niczkowych (2.4) prowadzi  do  bardzo  pracochł onnych  obliczeń i jest z praktyczn ego  p u n kt u  widzenia niemalże  nieosią galne.  D latego,  podobn ie ja k w  pracach  [11,  12, 13],  do  rozwią zania równań  (2.4)  zastosowano  rozwinię cie  funkcji  6„,W „,?e n  w  szeregi  potę gowe  w  postaci ...  +e s r x r , (2.5)  W n   =   y°0+?lx+W2x 2+?s3x 3+  ...  +*Ff ...  +x?rx r. Pierwsze  cztery  współ czynniki  każ dego  z szeregów  są  wartoś ciami  brzegowymi  odpo- wiednich funkcji  6„, W ,,,  x„  dla  x  = 0, pom n oż on ymi przez  liczbę   jeden ,  dwa  lub  sześ ć. Wstawiają c  funkcje  (2.5)  do  równ ań  róż niczkowych  (2.4) i przyrównują c  odpowiednie współ czynniki  do  zera  otrzymamy  nastę pują ce  wzory  rekuren cyjn e: 61 =   a 2 (r)d s r _ 2 +a 3 (r)6 s r _ 4 +a 4 (r)t< s r _i+a s (f)x s r _ 2 , (2.6)  Ą ? gdzie r(r- l)(ł - 2)(r- 3)a i' Z ASTOSOWAN I E  M ETOD Y  M AC I E R Z Y  P R Z E N I E SI E N I A 491 b 2 (r)  = b 2 K - ,  b s (r)  -   - * a v '  r ( r - l ) ( r - 2 ) C r - 3 )C l  '  " 7 V V  ~  r(r Po  dokonaniu  przekształ ceń  otrzymamy  nastę pują ce  wyraż enia  na  funkcje  0„,   xP n ,  x tt i  ich pochodne: 6„ (2.7) O'tt' On" /   /   /   /   /   /   /   /   /   /   /   / "1  "2  "3  "4.  "5  **6  "7  "8  "9  "1 0  *̂ 11  "1 2 tf  u  ^ff  u  II  tt  it  u  n  II  n  II "1  ^2  "3  "4.  "5  ^6  "7  "8  "9  "1 0  *̂ 11  "1 2 iS*!  iS*2  S- $  SĄ   J 5  i?g  J7  1S3  SQ  ^1 0  *Si 1  ^12 1  1  t  t  t  - t  - ł  1 1  1  t  1 ^ 1 3  "1 4  » 1 5  "1 6  ^1 7  "1 8  "1 9  "2  O  "2 1  * 2̂2  ^2 3  ^24 / /   "  / / II II II H II II II II II ^13  "̂14  ^15  ^16  ^17  ^18  "̂ 19  ^20  ^21  ^22  »^23  ^24 i i t  111  111  i t i  t u  i , ' "  ' "  ' "  " '  ' "  ' ' '  ' " "1 3  "14  15  "16  "17  18  "19  "20  21  "22  "23  "24 ^26  *2T  ^28  ^29 J3 2   JŚ3   • S'34 ^3 2 $ 3 3   J34. $31 gdzie  (  )'  - dx' Macierz  kwadratową   utworzoną   ze  współ czynników  Jj,— s 36   nazywamy  macierzą przę sł a.  Poszczególne  elementy  macierzy  przę sła są   okreś lone  przez  nastę pują ce  funkcje: s 2 ,  s 3   - r = l (2.8) r= «2 ,  s 6   = * V r - 2 r- =2 492  E.  Ś WITOŃ SKI (2.8)  s10  =  j ^ I , ^ * 2 " 1 ,  sn  =  ^Ahx*',  s12  ^ [c.d.]  r = 2  r = 2 2 2 r= 2  r= 2 m r= 2 m r= 2 m r= 2 m / 1  L2rX  ,  S2 m V c 2  x2r+ 1 m S  = 5 2 0  = *„- m r= 2 ^2 9  = m 1  + A T v3  i m T =   2 m r= 2 m y  B2r.= 2 m r= 2 3 6   x 2 r - <3  V 2 r ' 2 r A  > „2r  ^ rĄ .\ X 2 4 - 2* = 2 /n r= 2 m m j .  V1  R 3  v 2 r + 1 m Cfrx  ', - <3  2 r+ l - *2r+1  J m r- 2  ,  r= 2 r= 2 F unkcje  (2.8)  został y  wyprowadzone  n a  podstawie  zależ noś ci  (2.5) i  (2.6). Współ czynniki  A\ t ,A\ rJrU   B\ r ,B\ tJtU   C\ r , C k 2r+U   dla fc =  1, 2, 3, 4,  5, 6 i  r =   2, 3,4,5,  ...,m obliczone n a podstawie  wzorów  rekurencyjnych  (2.6) wyraż ają   się  w postaci A\ T   =   a 2 ( 2 r ) ^ | i (2.9)  . B L + I  = C L  =  c 2 (2r)  C t _ 2 +  c 3(2r) C i _ 4 +  c s ( 2 r ) 4 , - a  +  c 6( 2r)  B k 2r _t+c n CL r)B\ r _ 2 , D la  k=  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  i  f  m 0,1  współ czynniki  A\ „  Ak 2r+1 ,  Bl r ,B\ r+ i,  C\ t ,  Cl r+U są   równe  zeru  z wyją tkiem  nastę pują cych: Ah  = l,  A\  = \ ,  Al  = l,  A 2 3   = l,  B 3 0  = l,  B\  -   i ,  5 f  =  l ,  5 ^ =   1, C S - 1,  C f - 1,  C | = l ,  Cf =  l . Z AST O SO WAN I E  M ETOD Y  M AC I E R Z Y  P R Z E N I E SI E N I A 493 3.  Okreś lenie  macierzy  przekroju  i  macierzy  przeniesienia M acierz  przekroju  uł oż ymy  dla  prę ta,  którego  gł ówne  centralne  osie  bezwł adnoś ci przekroju  poszczególnych  odcin ków  leżą   w jedn ej  pł aszczyź nie, a oś prę ta jest  linią   prostą . Wykorzystują c  warun ki  statyczn e i warun ki  nierozdzielnoś ci  przemieszczeń  otrzym am y zależ noś ci  pom ię dzy  wartoś ciami  funkcji  d„, \ P n ,  x„  oraz  ich  pochodnymi  z  lewej  i  pra- wej  stron y  miejsca  (rys.  2), w  którym  nastę puje  skokowa  zmiana  przekroju. Rys.  2 ,i N a  podstawie  tych  zależ noś ci  otrzym am y  nastę pują cą   postać  macierzy  przekroju (3.1) t a o 00 'I  0 0  1 0 0 0  0   0 0  0   0 o o o o w 1   0 o  o o o o o o o  - 4  ̂ o o o 2  J in 0  0   0 0  0   0 0  0   0 0  0   0 1  Jjl 0  0   0 6  J zp 0  1 0  0 0  0  1 0 o  o oo  o  r." o-   oo  — 0  0   0 0  0   0 0  0   0 0  0   0 0  0   0 0  0  0   0 0  0  0   0 o  o  o  o o o L in 6  J, o o w 2   O o  o o o „ o  _.o o 1 0  w4  O 1  O  O o  J«  J) 0   00   0 0   0 0 ~ J ap 0  0  0   0 0  - siou 0 0 0 0 0 H ÓbO • I3± EJ ZP , w 4 = EJ yp   EJ yp gd zie  w i, =   — (z ap —z a i),  w 2   ~   (y ap —yai)>   v Symbole  z indeksem  „ / "  dotyczą   lewej  stron y  prę ta,  n atom iast  symbole  z indeksem „p" prawej  stron y. Jeż eli  przez D t   oznaczym y  m acierz  przę sła  / - tego, a przez F t   macierz  przekroju  z- tego (skokowa  zm ian a), wówczas  m acierz  przeniesienia  H  dla  danego  prę ta  o podziale  n a  W odcin ków  wyrazi  się  w  postaci  i (3.2)  ttrisnjl  =   J D H r F w_ 1 Z ) w_ iF M , _ 2  ... FtDi...  F1Di.s 494  E,  Ś WITOŃ SKI 4.  Okreś lenie  czę stoś ci  drgań  swobodnych  i  sił y  krytycznej Czę stoś ci  drgań  swobodnych  okreś limy  przyrównując  odpowiedn i  m in or  macierzy przeniesienia  H  (3.2), tzw. wyznacznik  charakterystyczny,  do zera.  Wartoś ci  wł asne  tego wyznacznika  są  czę stotliwoś ciami  drgań  swobodnych.  P ostać  wyznacznika  charakterys- tycznego  zależy  od warun ków  brzegowych. Z agadnienie  drgań  swobodnych  rozwią zano  dla  prę ta  obcią ż onego  sił ą  P  dział ają cą centralnie.  Jeż eli  wielkość  sił y  P  obcią ż ają cej  pręt  bę dzie  dą ż yć  do wielkoś ci  krytycznej, t o  czę stotliwoś ci  drgań  swobodnych  bę dą  dą ż yć  do zera. W  zwią zku  z  powyż szym  otrzymane  rozwią zanie  dla zagadn ien ia  drgań  swobodnych m oż na wykorzystać do  okreś lenia  obcią ż enia krytycznego  tego prę ta, wstawiając  t am w„ = =  0.  Wówczas  wartoś ciami  wł asnymi  wyznacznika  charakterystycznego  bę dą  wartoś ci obcią ż enia  krytycznego. Cał ość  obliczeń  został a zaprogram owan a  w ję zyku  O D R A- ALG OL  n a elektroniczną maszynę  cyfrową  OD RA- 1204. 5.  Przykł ady  liczbowe D la  ilustracji  przedstawionego  rozwią zania  obliczono  czę stotliwoś ci  drgań  swobod- nych  i  sił y  krytyczne  dla prę ta  skł adają cego  się z  dwóch  odcinków  o  stał ym  przekroju (rys. 3). Rys.  3 Odcinek /  m a  przekrój  przedstawiony  n a rys.  4a, a  odcinek / /  przekrój  przedstawiony n a  rys.  4b. Obliczenia  przeprowadzon o  dla  dł ugoś ci  odcinków  /  =  200 cm,  /  =  400 cm , /   = =   600  cm. R ozpatrzon o  nastę pują ce  warunki  brzegowe: x  =  O77  =  O,  |  =  0,  c> =  0,  x  = lr)  = 0,  £  =  0,  £ ln  536  k N ,  213  k N ,  102  kN , gdzie  P^ in —  macierz  przę sła  obliczona  wedł ug  [14]. 6.  Wnioski Analizuj  przedstawion y  algorytm  obliczeń  i  przykł ady  liczbowe,  m oż na  wycią gnąć nastę pują ce  wnioski. 1.  Z astosowan y  w  pracy  sposób  rozwią zania  pozwala  okreś lić  czę stotliwoś ci  drgań swobodn ych  i  obcią ż enia  krytyczne  dla  prę tów  cienkoś ciennych  o  profilu  otwartym i  zmiennym  przekroju  przy  dowoln ych  warun kach  brzegowych. 2.  C ał ość  bardzo  dobrze  n adaje  się  d o  zaprogram owan ia  i  przeprowadzenia  obliczeń n a  elektronicznej  maszynie  cyfrowej. 3.  P orówn an ie  wartoś ci  obcią ż enia  krytycznego  obliczonego  n a  podstawie  rozwią za- n ia zagadn ien ia drgań  swobodn ych  (40 wyrazów szeregu  potę gowego)  z wartoś ciami  obcią- ż enia  krytycznego,  obliczonego  przy  wykorzystaniu  transformacji  Laplace'a,  wskazuje n a  wystarczają cą  zbież ność  przyję tych  funkcji  przemieszczeń. 6  M ech an ika  Teoretyczn a 496  E.  Ś WJTOŃ SKI Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  T.  P E K Ó Z , G .  WI N TE R ,  T orsional- flexural buckling of  thin- walled sections  under  eccentricload,  J .  Struct. D ie.  P roc.  Amer.  Soc.  Civil  Eng.,  1969. 2.  J.  R U T E C K I ,  Cienkoś cienne konstrukcje  noś ne, P WN ,  Warszawa  1969. 3.  B.  J I . Ky3bMHH3 I I . A.  JlyKAiUj  3 .  E .  M m m iBciarti, Pacnem KoncmpyKifuu  U3 moHKOcmeimux cmepotc- ueii  u  o6ojio. n .  JlyKHHHOB,  JĘ ecfiopMaą uoHHuii  pacnem  u  yemounueocmb  tuiocKOti  (fiopMbi  U3iu6a  cmyneimamux momoanemux  cmepotcueu,  T p yflt i  H oBonepKacKoro  ITojiHTexH.  HHCTHTyTa3  1969. 8.  B.  A.  IIIM ATKOBJ  O  pacneme  mouKocmemtux  cmepsiciieu  cmynemamozo  nepemeniioio  ceueiiux,  H 3# . Bt icm .  yn e6H .  3aBefl.  C TP OH T.  H  ApxH T.3  4  (1965). 9.  B.  A.  H BO BI WJ  nepexodmie  Mampuifu  e  dwiamiKe ynpymx  cuctneM,  K J K B  1969. 10.  A.  P .  PHCAHHEibiH,  Pacuem  mouKocmeuHux  cmepoicueu  cmynemamoto nepeMeuHozo  ceuemM,  Hccjieflo- BaHHH  n o  TeopHH   coopyw.j  B t m .  V  (1951). 11.  O.  M ATEJA, Problemy statyki  i dynamiki pł yt pierś cieniowych oraz powł ok  obrotowych, Zeszyty  N aukowe WSI  w  Opolu,  4  (1972). 12.  F .  H AMAYOSH I,  On  forsion  of  I- beam  wit  aweb  of  vabiale height,  M em .  F ac.  E n g.  H o kkaid o  U niv., 2,  11  (1961). 13.  L. H . N .  LE E , N on- uniform torsion  of plate girders, P roc. ASC E ,  449,  80  (1954)  1—28. 14.  E.  Ś WITOŃ SKI, Statecznoś ć prę tów  cienkoś ciennych  o profilu  otwartym  i  stał ym  przekroju,  Z esz.  N au k. Politechniki  Ś lą skiej,  M echanika,  40  (1970). P  e  3  IO  M  e n P H M E H E H H E  M E T O flA  M AT P H I J;  I I E P E H O C A  flJM AH AJI H 3A  T O H K O C T E H H BI X  C T E P J K H E ft B  p a 6o ie  npeflciaBjieH   MeTOfl peiueHHH   3aaa^H  o  C BO 6O «H M X  K0^e6aH iiH x  H  ycToM^HBocTH   Tomto- creHHBix cTepwueft OTKpHToro npodpHJiH  H  nepeiweH H oro cenenH H   AJIH  npoH 3BOJitH Bix wpaesbix  ycjioBH ił . H J I H   pemeH H a  npHMeHHncn  MeTOfl  iwaTpnq  n ep en o c a ,  KOTopbiM  nporpaM M H posajicH   Ha  3 U . B M . B  3aBepineHHH   pa6oTbi npHBOflHTcii  n pH M epti  pacmeTOB,  yi