Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  12  (1974) KON STRU KC JA  F U N KC JI  G REEN A D LA  RÓWN AN IA  BIH ARM ON ICZN EG O W  OBSZ AR Z E  KOŁA  LU B  WYCINKA  KOŁOWEG O EUG EN IUSZ  W A C H N I C K I  (KRAKÓW) Celem pracy jest  efektywna  konstrukcja  funkcji  G reena dla  koł a  i pewnych  obszarów ką towych  dla  równania  A2u  =  0  z  warunkami  brzegowymi  u\ c   =  0, Au\ c   =  0,  gdzie  C jest  brzegiem  obszaru.  Zagadnienie  to  znane jest  pod  nazwą   zagadnienie  Riquiera  [1], 1.  Konstrukcja  funkcji  Greena  dla  koł a Znane  jest  rozwią zanie  problemu  Riquiera  dla  koł a  [1].  Rozwią zanie  to  uzyskane został o  bez  znajomoś ci  funkcji  G reena. Podamy jednak  konstrukcję   funkcji  G reena dla koł a  ze wzglę du  na jej  znaczenie przy  konstrukcji  funkcji  G reena dla  pewnych  obszarów ką towych. N iech  K  oznacza obszar  koł owy x2  +y2  < R2.  Niech P  i  Q  bę dą   dwoma dowolnymi punktami  tego  obszaru  oraz  niech  r  =   \ PQ\ .  Oznaczmy  przez  G{P, Q) szukaną   funkcję G reena z biegunem w punkcie P, tzn. funkcję   taką , że (1)  G(P, Q)  =   - 2r2lnr+H(P,  Q), gdzie  H(P, Q) jest  funkcją   biharmoniczną  punktu  Q  w  obszarze  K  dla P e K,  oraz (2)  ( ?( ?, g)  =  0  dla  QeC  i  PeK, (3)  A Q G(P,Q)=0  dla  Q e C  i  PeK, gdzie  C jest  brzegiem  K. W  dalszym  cią gu  rozważ ymy  dwa  przypadki: a)  punkt  P jest  dowolnym  punktem K,  róż nym  od  począ tku  ukł adu  współ rzę dnych, b)  punkt  P  jest  ś rodkiem  K. Rozważ my  najpierw  przypadek  a)  i  zał óż my, że  punkty  P,  Q  mają   w  biegunowym ukł adzie  odpowiednio  współ rzę dne  P  =  (r o ,t 0 ),  Q  =   (Q,S).  Wtedy  funkcja  G(P,Q) = =   G(r 0 ,  t 0 ,  Q,S)  speł nia  warunki: (2')  G(r o ,t Q ,e,s)  =  0  dla  Q =   R,  r Q e(0,R),  t o ,s  e[0, 27t), (3')  | ^  +   ± 4 S . +   l i r  - °   d l a    'o e( 0, *) ,  t o ,se[O,2n).acr  QX  os2  Q OQ Prawdziwe  jest  nastę pują ce: Twierdzenie  1  [2].  Jeż eli  funkcje  u o (Q),u,_(Q)  są   funkcjami  harmonicznymi  w  kole  K, to funkcja  u(Q)  =  u Q {Q)Ą - g 2 u 1 (Q)  jest  funkcją   biharmoniczną   w  K. 542  E.  WACH N ICKI Przyjmijmy  p  =  QJR.  Szeregi 00 p k (a k cosks+b k sinks),  Jj  p k (c k cosks+Ą sinks) 0  fc=O przy  odpowiednich  współ czynnikach  a k ,b k ,  c k , d k   są  funkcjami  harm on iczn ym i  w  K, zatem  w  oparciu  o  twierdzenie  1  widzimy,  że  funkcja (4)  G(P, 0  =  2r2ln ^   + ^   pk(a k cosks+b k sinks)+p 2   ^  p k (c k cosks+d k sinks), gdzie 7 =   \ PQ\ , P  oznacza  obraz  pu n kt u P w  inwersji  wzglę dem  okrę gu  C:  x2+y2  =  i? a , m a postać  (1). D obierzemy  z kolei  współ czynniki  a k ,b k ,c k ,d k ,  k  =  0, 1, 2, ... we  wzorze (4) tak,  by  speł nione był y  warun ki  (2'),  (3')- D la  Q = R  z  wł asnoś ci  inwersji  m am y f5)  =  1 zatem  warunek  (2')  równoważ ny  jest  równ oś ci 0 0  • 2J  (a k cosks+b k sinks)  + £  (c k cosks+d k sinks)  =  0. Stąd  otrzymujemy  ukł ad  równ ań (6)  a k +c k   =  0,  i k + Ą  =  O,  fc  =   0, 1, 2,  . . . . Przejdziemy  z  kolei  do warun ku  (3'). M ianowicie,  przez  proste  przeliczenie  otrzymu- jem y gdzie  r 0  oznacza  odległ ość  pun ktu  j°  od  począ tku  ukł adu. Z  (5)  wynika,  że  przy  Q  =  R i?2 gdzie  Pl   =   - £. Biorąc  pod  uwagę  wzór  (por. [3]) otrzymujemy K O N ST R U K C J A  F U N K C J I  G R EEN A  D LA  R Ó WN AN I A  BI H AR M ON I C Z N EG O  543 P onadto =  0 oraz CO  W A Q (p 2   2J  P k (,c k cosks+d k sinks)j  =  -  ̂ ^ Ostatecznie  dla Q e C,  tzn. dla  Q — R, mamy CO r 2   — R 2  \ ~1  4 A Q G(P, Q) =  S- 9- ^ 2— 2j  P^ ^ - to)  + "nr fc= 0  k=Q Z  (3') mamy co  co 2{rl- R 2 )^   p\ cosk(s~t o )+  ^   (k+l)(c k cosks+d k smks)  =  0, k = 0  k=0 więc ^ ^  ^ ( / - g- ^ ^ sin t oo +  ̂ + O ^ it  =  0. Z  równoś ci  (6) i  (7) otrzymujemy rl- R 2   k   rl- R 2   fc  . Q.k  =   2 — ;  ; —V iCOS k tn ,  bj,  —  2—z  — k+l  k+l c k   = —2~- ——p\ coskt o ,  d k  =  —2 dla  Ar =  0 , 1 , 2 , .... Stąd  ostatecznie R 2   Z J \ R 2 }  Ar+ 1 fc=0 Przejdź my  obecnie  do przypadku  b), gdy punkt P jest ś rodkiem  koł a K. Wtedy  funkcję G(P,  Q)  przewidujemy  w postaci c o  CO (8)  G(P, 0  =  2Q2lnp+  £pk{a k cosks+b k smks)+  £p k+2 (c k cosks+d k sinks). fc=0 fc=0 Przeprowadzając  rozumowanie  podobnie  jak w przypadku  a)  otrzymujemy (9)  G{P,Q)  =   2 Q 2 \ ^ - 9  Mechanika  Teoretyczna 544  E.  WACH N ICKI 2.  Funkcja  G reena  dla  obszaru  ką towego Podamy  konstrukcję   funkcji  G reena  dla  zagadnienia  Riquiera  dla  obszaru  ką towego D  =  {(x,y):x  >  0,  0  tk). Obrazy  punktów  P fe  w  inwersji  wzglę dem  okrę gu  x 2 +y 2  =   Pv2  oznaczmy  przez  P Ł  dla k  =  0,  1,  . . . , 2 M - 1.  N iech  rfc  =   \ PkQ\ . Lemat  1.  D la  A: =   1, 2,  ...,2n- l (10) gdzie  .El  '"  '  x  1 oznacza  czę ść  cał kowitą   liczby Dowód.  G dy k jest  liczbą   parzystą ,  to  pun kt P Ł powstaje  z pu n kt u P o jako  obraz  w  zł o- ż eniu k  symetrii  o  osiach y  =   U m x,  m  — 1, 2, . . . ,  k.  Z ł oż enie  k  symetrii  moż emy  zastą pić zł oż eniem  —  obrotów  o  ką cie  obrotu  — .  Stą d  t k   =  t o   + - —- r- .  Jeż eli  k jest  liczbą   pa- 2  n  n  2 rzystą ,  to  E\ —- —I  =   —,  zatem  w  tym  przypadku  zachodzi  zwią zek  (10). Jeż eli  A: jest  liczbą   nieparzystą ,  t o  pu n kt  P Ł powstaje  ż p u n kt u Pk_1  przez  obrót  o  ką t 21 —-   — 4_ 11,  wię c  t k   m •   t- ic_!.  Korzystają c  z pierwszej  czę ś ci dowodu  oraz z  faktu, \   n  1  n ( k+1  \   ifc+ 1—^ —I  =   —- z—,  gdy  k jest  liczbą   nieparzystą ,  m am y  zwią zek  (10). Lemat 2.  Z achodzą   równoś ci : t k   =   2n- t 2n „ 1 _- k   dla  k  =   0,  1,  . . . , « - 1, 2% —  ~t 2n+1 _ k   d la  k  =   2 , 3 ,  . . . , « . Dowód.  Zauważ my,  że  E\ n- - ^ \  =  n—Ey—^—I,  zatem K O N ST R U K C J A  F U N K C J I  G R EEN A  D LA  R ÓWN AN I A  BI H AR M ON I C Z N E G O  545 Podobnie 2n  _ /  2n + 2- k N iech  dla & =  0, 1, 2,  . . . , 2 r a - l ( 3 3 ( a a  Vn\   IS  in. 0  -   2rfc ta ̂   ^ i= 0 Przyjmijmy OD Twierdzenie 2. Funkcja  G(P 0 , Q)  okreś lona wzorem (II) jest  funkcją  Greena z  biegunem w punkcie  P o   dla  zagadnienia  Riquiera  w obszarze  D. Dowód.  N ależy  wykazać , że (12)  G(P 0 , 0  =   - 2,ilnr o +H(P o ,Q), gdzie  funkcja  H(P 0 , Q) jest  funkcją  biharmoniczną pun ktu Q w obszarze  D,  gdy P o  e D, (13)  G(P o ,Q)  = 0  dla  Q e C = l x   u l 2   u / 3 , (14)  < d< ?(P o, 0 =  O  dla  g e C =  / i u / 2  u / 3 ) Skoro każ da z funkcji  G k (P k ,  Q) jest  funkcją  G reena dla kola x2 + j 2  < R2 z biegunem odpowiednio  w  pun kcie  P k ,  więc  funkcja  G(P 0 ,Q)  jest  postaci  (12).  D la  dowodu (13) rozpatrzymy  trzy  przypadki: a)  Q e h,  wtedy s  =  0. Z pierwszej  czę ś ci  lematu 2 wynika, że G »(Ą, 0  -   GKta- i- fcCPaa- i- *! 0 ;  fc  =  0 , 1 , 2,  .... więc n - l  2n- l G(P0, 0 = 2 "  (- 1)Ł G*( P'-  0 +  S  i- ^Gk(Pk, 0 = n - l  n - l - x - *( P *i ^ ł.  0  =   0- k=0  k=0 b)  g  e / 2 ,  wtedy  f  =  — . Z  drugiej  czę ś ci  lematu 2  wynika,  że  cos I  £2,1+1- *)  = /w  \   .  -   _  In  \   In  j.  \ =   cos I  ^  ;  /c =  2, 3,  . . . , n oraz  c o sl—  —/ ,  =  cosl  t o \ ,  zatem Stą d,  podobnie ja k w przypadku  a), otrzymujemy  G ( P 0 , 0  =   0. c ) g e  / 3,  wtedy  Q = R,  zatem  G ft(Ą, 0  =  0  dla fc =  1, 2,  . . . , 2n- 1.  Zatem  rów- nież  G(P 0 ,Q)  = 0, co koń czy  dowód  równoś ci (13). 9* 546  E.  WACH N ICKI D la  dowodu  równoś ci  (14)  zauważ my,  że Postę pując  podobn ie  jak  przy  dowodzie  równoś ci  (13),  otrzymujemy  równ ość  (14). N iech  fu n kc je / j, / 2  bę dą   funkcjami  okreś lonymi  n a  brzegu  C  obszaru  D.  Wtedy, przy  pewnych  zał oż eniach o  fu n k c ja c h / t , / 2 ,  m oż na  udowodn ić,  że  funkcja jest  funkcją   biharm oniczną   w  obszarze  D  oraz  M ( P 0 ) |C  = / I ( J P O ) .   M ( ^ O ) |C  = fziPo),  gdzie «  jest  norm alną   do  brzegu  C  skierowaną   do  wn ę trza  obszaru  D. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  M. NICOLESCO,  L es fonctions polyharmoniques,  P aris 1936. 2.  M.  KRZYŻ AŃ SKI,  Partial differential equation  of  second order, Vol  I , Warszawa 1972. 3.  H . C .  rpARiHTEHH, JO. M .  PHHCHKJ  T aÓAUtĄ U  umnezpaAoe,  cyM, padoe  u  npoti3eedeHuU,  M ocraa 1963. P  e 3  IO  M e riO C T P O E H H E  O YH K I I H H   TP H H A  BH T AP M O H H ^E C K O rO  YP ABH E H H ^ flJIH   OBJIACTH   K P yr A  H   K P Yr O BO r O  CEKTOP A B  pa6oTe  noi