Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS74_t12z1_4\mts74_t12z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  12 (1974) P O WO LN E  PRZEPŁYWY  CIECZY  LEPKOS PRĘ Ż YS TYCH W  OBS ZARACH  WEJŚ CIOWYCH  RUR  I  KANAŁÓW STEFAN   Z A H O R S K I  (WARSZAWA) 1.  Wstę p Z najom ość  zjawisk  wystę pują cych  w  obszarach  wejś ciowych  przewodów  o  róż nych kształ tach  posiada  istotn e  znaczenie  dla  badan ia  przepł ywów  technologicznych, a  zwł asz- cza  przepł ywów  spotykan ych  w  przetwórstwie  polimerów. W  przypadku  cieczy  n ewton owskich  lub  cieczy  czysto  lepkich,  opisywanych  potę go- wymi  równ an iam i  kon stytutywn ym i,  najczę ś ciej  stosowano  metody  opierają ce  się   n a sformuł owanej  przez  P R AN D TLA  i  von  KAR M  ANA  teorii  warstwy  przyś ciennej  (por.  [1, 2, 3, 4, 5]).  Szeroko  równ ież  wykorzystywano  podejś cia  polegają ce  n a  numerycznym  cał ko- waniu  zlinearyzowanych  równ ań  N aviera- Stokesa;  pozwalał y  one  ocenić  przybliż enia i  ograniczenia  wynikają ce  ze  stosowania  koncepcji  warstwy  przyś ciennej.  N ależy  pod- kreś lić,  że  wyniki  uzyskiwane  dla  lepkich  cieczy  nienewtonowskich  nie  wniosł y  wiele n o- wego  do  jakoś ciowego  opisu  przepł ywów  w  porówn an iu  z  wcześ niejszymi  wynikami uzyskanymi  dla  cieczy  n ewton owskich  przy  um iarkowan ie  duż ych  liczbach  Reynoldsa. Z  drugiej  stron y,  zachowan ie  się   cieczy  newtonowskich  w  obszarach  wejś ciowych  nie  wy- daje  się   być  charakterystyczn e  dla  cieczy  lepkosprę ż ystych. N iewiele  opublikowan o  prac  dotyczą cych  analizy  lepkosprę ż ystych  warstw  przy- ś ciennych  (n p.  [6,  7]), ja k  również  rozważ ań  zwią zanych  z  lepkosprę ż ystymi  przepł ywami w  obszarach  wejś ciowych  przewodów  pł askich  oraz  koł owosymetrycznych  (np.  [8,  5]). Taki  stan  rzeczy  spowodowan y  został   przede  wszystkim  trudnoś ciami  spotykanymi  przy próbach  rozwią zan ia  zagadn ień  dla  bardziej  ogólnych  równań  konstytutywnych.  N ie  bez znaczenia  pozostaje  również  kwestionowana  sł uszność  innych  zał oż eń,  zwykle  przyjmo- wanych  w  przybliż eniach  warstwy  przyś ciennej. D otychczasowe  wyniki,  uzyskiwane  gł ównie  dla  cieczy  typu  Rivlina- Ericksena  (por. [9]),  nie wyjaś niają   zadowalają co  stosun kowo  dł ugich  obszarów  wejś ciowych  oraz  duż ych strat  ciś nienia,  obserwowanych  doś wiadczalnie  dla  roztworów  i  stopów  polimerów  cha- rakteryzują cych  się   dużą   lepkosprę ż ystoś cią   [10,  11,  8]. N iektórzy  autorzy,  n a  przykł ad  M E TZ N E R  i  WH I T E  [8],  donieś li  o  moż liwoś ci  wystę - powan ia  dodatkowych  podobszarów  w  czę ś ci  wejś ciowej,  w  których  zachowanie  się   cie- czy  przypom in a  bardziej  zachowan ie  się   oś rodków  «pół sztywnych»  lub  «ciał a  stał ego», jeś li  tylko  charakterystyczn y  czas  cieczy  (n p.  reprezentatywny  czas  relaksacji)  jest wię kszy  od  czasu  potrzebn ego  n a  przepł yw.  W  takiej  sytuacji  nie  są   ogólnie  sł uszne  an i przybliż enia  przyjm owane  dla  warstwy  przyś ciennej,  ani  też  równania  konstytutywne typu  cieczy  Rivlina- Ericksena. 10* 562  .  S.  ZAHORSKI W  niniejszej  pracy  rozważ ono  zagadn ien ia  przepł ywów  lepkosprę ż ystych  w  obszarach wejś ciowych  ru r  lub  pł askich kan ał ów, bez  korzystan ia  z  koncepcji  warstwy  przyś ciennej. Z ał oż ono  przy  tym,  że  liczby  R eyn oldsa  charakteryzują ce  przepł ywy  są   m ał e,  co  uzasad- n ia  stosowanie  przybliż enia  quasi- statycznego,  oraz  że  stosun ek  poprzecznych  wymiarów przewodu  do  dł ugoś ci  obszaru  wejś ciowego  jest  również  m ał y,  co  m oże  m ieć  miejsce przy  przepł ywach  przez  stosun kowo  wą skie  szczeliny  lub  kapilary.  P rzedstawion y  sposób podejś cia  stanowi  rozszerzenie  rozważ ań  zapropon owan ych  przez  n as  dla  pł askich prze- pł ywów  w  kan ał ach  [12]. P rzy  statycznej  analizie  zagadnień  nie  zakł adan o  ż adn ych  istotn ych  ograniczeń  na równ an ia  konstytutywne  cieczy  lepkosprę ż ystej;  są   t o  równ an ia  opisują ce  zachowanie się   nieś ciś liwej  cieczy  prostej  (por.  [9,  13]). Przy  kinematycznej  analizie  przepł ywów,  prowadzą cej  d o  przybliż onego  okreś lenia pól  prę dkoś ci  w  obszarach  wejś ciowych, dla  poprzedn io  okreś lon ych  rozkł adów naprę ż eń ś cinają cych  i  n orm aln ych,  ogran iczon o  się   do  m odelu  nieś ciś liwej  cieczy  prostej  stopnia drugiego.  Wykorzystano  przy  tym  fakt,  że  dla  takich  cieczy  w  quasi- statycznych  przepł y- wach  przez  wą skie  rury  lub  pł askie  kan ał y,  pola  prę dkoś ci  są   takie  same  lub  zbliż one do  cieczy  newtonowskich  (por.  [14]). N ależy  podkreś lić,  że  w  niniejszych  rozważ an iach  rozkł ady  n aprę ż eń  uzyskan o  w  spo- sób  czysto  formalny.  Ogólnie  rzecz  biorą c,  nie  m oż na  rozróż n ić  efektów  n aprę ż eń  nor- malnych  od  rozkł adów ciś nienia  n a  ś ciankach  przewodu  w  obszarze  wejś ciowym.  Analizą tych  zagadnień  w  czę ś ciach  przewodów,  w  których  przepł ywy  są   ustalon e  i  wiskozyme- tryczne  zajmuje  się   praca  D AVIESA,  H U T T O N A  i  WALTERSA  [15]. 2.  U stalone przepł ywy  ś cinają ce Bę dziemy  najpierw  rozważ ać  ustalon e i  lam in arn e przepł ywy  nieś ciś liwej  cieczy  prostej przez koł owosymetryczne rury lub pł askie kanał y (uogóln ion y przepł yw P oiseuille'a  i uogól- niony  pł aski  przepł yw  P oiseuille'a),  pod  wpł ywem  stał ego  gradien tu  ciś nienia /   =   APjL , gdzie  L   okreś la  dł ugość  cał ego  przewodu.  N iech  D  oznacza  odpowiedn io  ś rednicę   rury, d  zaś  wysokość  pł askiego  kan ał u  (odległ ość  mię dzy  ś cian kam i).  P oczą tek  ukł adu współ - rzę dnych  bę dziemy  przyjmować  n a  począ tku  przewodu,  n a jego  osi.  W  walcowym  ukł a- dzie  współ rzę dnych  oś  z  pokrywa  się   z  osią   rury,  w  ukł adzie  zaś  kartezjań skim  oś  pł as- kiego  kan ał u  skierowaną   w  kierun ku  przepł ywu  oznaczymy  przez  x. M oż na  pokazać,  że  ogólne  rozwią zanie  równ ań  dyn am iczn ych (2.1)  D i vT - ggr a dy  =   qy, gdzie  T  jest  ten sorem  naprę ż enia,  Q —  gę stoś cią   cieczy,  zaś  y> —  poten cjał em  zachowaw- czych  sił   masowych,  przyjmuje,  dla  ustalon ego  i  lam in arn ego  przepł ywu  cieczy  prostej w  rurze,  postać  nastę pują cą   (por.  COLEM AN ,  M AR K O VI T Z  i  N O L L  [13]): (2.2)  T< rZ>   =   ~   Jfr'  T< rr>  ~~h~k(r)  +   Qy>   + fz' P O WO L N E  P R Z E P Ł YWY  C I E C Z Y  LEP KOSP RĘ Ż YSTYCH   563 gdzie  indeksy  w  nawiasach  trójką tnych  oznaczają   skł adowe fizyczne,  zaś (2.3)  • §•  -   7 ( T < i r > Wielkoś ci  cr^S)  oznaczają   zmodyfikowane  funkcje  naprę ż eń  normalnych,  mianowicie (2.4)  d t {S)  =   r<«>- r<»«>,  &2(s)  =  r< "> - :r< «», gdzie  5  -   - j/ r. Zupeł nie  podobnie,  rozwią zanie  równań  (2.1)  dla  ustalonego  i  laminarnego przepł y- wu  przez  pł aski  kan ał   przyjmuje  postać  (por.  [12, 13]) =   ~fy, gdzie  «  oznacza gradient  ś cinania, zaś  ofa)  —  funkcje  naprę ż eń  normalnych,  mianowicie (2.6)  - T <">,  o 2 (x)  =  T - T <">. Zwią zek  mię dzy  funkcjami  (2.4)  i  (2.6)  jest  nastę pują cy: (2.7)  3i(S)  =  < rt(x(S)J,  i  = 1 , 2 . Zależ noś ci  (2.2) i  (2.5) pozostają   w  mocy dla jakiejkolwiek  cieczy prostej, niezależ nie od  jej  wł asnoś ci  lepkosprę ż ystych.  Chcą c  okreś lić  odpowiednie  profile  prę dkoś ci  lub obję toś ciowe  wydatki  cieczy  n a jednostkę   czasu,  należy  znać  funkcje  szybkoś ci  ś cinania x  =   x(S)  lub  K  m  « ( r W ) , •   .,  o  ' .  .  •   •   •   •   '.' . ' • • . •   •   , 3.  P rzepł ywy  w  obszarach  wejś ciowych Przy  mał ych  liczbach  Reynoldsa,  tj.  dla  przybliż enia  quasi- statycznego,  w równaniach (2.1)  moż na  pominą ć  czł ony  inercyjne.  Oznacza  to,  że  dla  stosunkowo  powolnych prze- pł ywów  cieczy  o  duż ej  lepkoś ci,  jakim i  są   niewą tpliwie  liczne  stopy  i  skondensowane roztwory  polimerów,  wpł yw  efektów  lepkoś ciowych  jest  znacznie  wię kszy  niż  wpł yw inercji  cieczy. D la  ustalonych,  quasi- statycznych  przepł ywów  w  obszarach  wejś ciowych  koł owosy- metrycznych  rur  równania  (2.1)  przyjmują   postać 8 r T <">+d z T <">+~  (T < rr >- T «"»)- Qd r ip  =   0, ;  •   ••   .  toń  i •   • P odobnie,  dla  ustalonych  quasi- statycznych  przepł ywów  w  obszarach  wejś ciowych pł askich  kanał ów, mamy trkiń ,- . d x  T < xx >+d„ T < x ">- Q8 x ip  =   0, Biorąc  pod  uwagę  postać  zależ noś ci  (2.2),  (2.3),  obowią zują cych  dla  przepł ywów ś cinają cych  (wiskozymetrycznych),  bę dziemy  poszukiwać  rozwią zań  równań  (3.1)  w  po- staci  nastę pują cych  cią gów: n 2  2  Zl  (2/ - 1)!  s  K}  +  2  ZJ  k\ n i 2 &2 fc=0 2  Z /   ifcl  l z ; r  2  Z J  k\   K)r  ' k\   fti gdzie  c,h  są  stał ymi,  g(z),  M(z),N (z)—  trzema  dowolnymi  funkcjami  speł niają cymi wymagane  warunki  brzegowe  (por.  p .  4),  funkcja  k(r)  zaś  okreś lona  jest  wyraż eniami (2.3). Wskaź niki  w nawiasach  oznaczają  odpowiednie pochodne funkcji  wzglę dem  zmiennej z.  Z  uwagi  na  postać  równań  równowagi  (3.1),  nie  wszystkie  pochodne  funkcji  M(z) i  N {ź )  wystę pują  w  (3.3).  W  tym  celu  należy  przyją ć,  ze  współ czynniki  a*,  ...,  £* równe są  zeru,  z  wyją tkiem  nastę pują cych: at  =   1  dla  k  — 6m—3,  6m—l,  fa  — 1  dla  k  — 6m—5,  6m—3, (3.4)  y k   =   1  dla  fc  =   6/ n- 4,  6m - 2,  <5k =   1  dla  k  =  6m- 6,  6m- 4, e k  =   1  dla  k  =  6m—6,  6m- 2,  J k  =   1  dla  k  =   6 m - 4,  6 w- 2, gdzie  w  =   1, 2,  3 , . . . . M oż na  bezpoś rednio  sprawdzić,  że  wyraż enia  (3.3)  ł ą cznie  z  warunkami  (3.4)  speł - niają  równania  (3.1)  z  dokł adnoś cią  do  czł onów pomijalnych  jako  mał e  wyż szego  rzę du, jeś li  tylko  stosunek  ś rednicy  rury  D  do  dł ugoś ci  czę ś ci  wejś ciowej  /   jest  wystarczają co mał y.  Bliż sza  analiza  wymiarowa  wyraż eń  zawierają cych  pochodne  funkcji  g(z),M(z), N (z)  dowodzi,  że  pominię te  czł ony  są  proporcjonalne  do  e",  przy  czym  6  =   D/ l.  Ł atwo również  zauważ yć,  że  T <"> zawiera  wył ą cznie  pochodne  nieparzystych  rzę dów,  podczas gdy  r < r r >  i  T <"~>  zawierają  pochodne  rzę dów  parzystych.  P ochodn e  rzę du  k  funkcji g(z),  M(z),N (z)  okreś lają  czł ony rzę du  e*"1. Wyraż enia  (3.3) i  (3.4)  pozostają  również  w  mocy  dla  ukł adu równań  (3.2), jeś li  po- minąć funkcję  k(r),  mnoż niki 1/2 wystę pują ce  przy c w  (3.3)i i przy wszystkich  znakach sum P O WO L N E  P R Z E P Ł YWY  C I E C Z Y  LEP KOSP RĘ Ż YSTYCH   565' w  (3.3)  oraz  zastą pić  formalnie  z  przez x, zaś  r przez y. Wówczas  e =  d\ l,  gdzie  d ozna- cza  odległ ość  mię dzy  ś ciankami  pł askiego  kan ał u. P rzedstawiony  wyż ej  sposób  podejś cia  pozwala  na formalną  budowę  wyraż eń  okre- ś lają cych  naprę ż enia w  obszarach  wejś ciowych  rur  lub  pł askich  kanał ów, z dokł adnoś cią do  czł onów  dowolnego  rzę du  wzglę dem  e. Z uwagi  n a uproszczenie  zapisów  oraz moż liwość  przeprowadzenia  analizy  kinematycz- nej,  ograniczymy  się w  dalszych  rozważ aniach  do przypadku  wą skich  rurek  (kapilar). lub  szczelin,  dla których  pominię cie  czł onów  rzę du  O ( e 2 ) wydaje  się wystarczają co  uza- sadnione. Otrzymamy  wówczas  dla obszaru  wejś ciowego  kapilary  nastę pują ce  wyraż enia: T< ">   =  Lcr+   jg'(z)r+   ~N '{z)r, (3.5)  T<">=   - h- k(r)  +  e V - cz- g(z)- M(.z)- jr 2 (g"(z)+N "(z)), T  m  - h- k(r)+ey>- cz- g(z)- N (z)- jr 2 (g"(ź )+M"(z)+N "(z)), (3.6)  T <">- T <"- >  m  ffi- 02  m  M(z)~N (z)- jr2M"(z). P odobnie,  dla  obszaru  wejś ciowego  pł askiej  szczeliny  otrzymamy  (por.  [12]): =   cy+g\ x)y+N \ x)y, (3.7) T ~cx- g(x)-  M(x) -   jy 2 (g"(x. (3.8)  T <**> -   T   = a x -  — T  znika  dla r  = 0, z  =  /  oraz  pominię to  czł ony rzę du O ( e 2 ) .  N a podstawie  (3.6)  otrzymamy  także (4.6)  $ 1 - Z 2 ) w  =  T <">- T <«> = - ~M"(.l)  dla  z = l, lo gdzie  wskaź nik  w  oznacza,  że dan a  wartość  jest  okreś lona  n a ś ciance  kapilary,  tj.  dla r  =   D / 2. Rozważ ając  przypadek  przepł ywu  w pł askiej  szczelinie,  dla którego  sł uszne  są   zależ- noś ci  (2.5),  (3.7),  (4.1) i  (4.2),  otrzymamy  warunki  identyczne jak  w (4.4) i  (4.5). Zamiast okreś lonej  n a ś ciance  róż nicy  naprę ż eń normalnych  (4.6),  otrzymamy  n a podstawie (3.8) (4.7)  (ffi- ff2) w  =  T <**>- T   =  - CM"Q)  dla  x  =  / ,  y  -   ±d/ 2. Powyż sze  warunki  wystarczają   do przewidywania  realistycznych  rozkł adów  funkcji M i N  w  obszarach  wejś ciowych  przewodów  pł askich i  koł owosymetrycznych.  Z  uwagi n a zależ noś ci  nastę pują ce: a, rw|.. o  =  N'(O)- M'(o)-eg  >   o, K  '  ^  d, r< "> I f= ,  =  N '(0)- q-Qg  =f- Qg  > 0, P O WO L N E  P R Z E P Ł YWY  C I E C Z Y  LEPKOSPRĘ Ż YSTYCH   567 oraz  wymaganą  dodatn ią  wartość  róż nicy  naprę ż eń  normalnych dla z =  I, ł atwo  zauwa- ż yć, że musi  istnieć w otoczeniu z =  0 przynajmniej  niewielki  obszar, w którym  ( | z = 0  -   A + M - y) +M(0)  =  Pw, (5.2)  —T „   z - i  =   h + k\ - - - )  +pgl—N '(0)l- \  gl+M(l), \   2 I  ni gdzie  P v   jest  ciś nieniem  n a począ tku  przewodu  dla z =  0. Z  drugiej  stron y  ciś nienie  n a koń cu  obszaru  wejś ciowego  musi  być  równe  wartoś ci wynikają cej  z  rozwią zania  ustalonego  przepł ywu  ś cinają cego  (2.2) 2. W czę ś ci,  w  której przepł yw jest  wiskozymetryczny  rozkł ad  nacisków  n a  ś ciance jest  liniowy,  a ich  wartość n a  koń cu  cał ego  przewodu,  tj. dla  z  — L ,  wyraża  się nastę pują cym  wzorem  (por.  [15]): gdzie  T£rz>  oznacza  naprę ż enie  ś cinają ce,  p(0,  L ) —  ciś nienie  na  osi  rury  dla  z =  L , zaś T L   zdefiniowano  ja ko B/ 2 (5.4)  TL=   f  T< "> (r,L)d(nr 2). o P orównując  zatem  nacisk  (5.2) z wartoś cią  począ tkową  wynikają cą  z  (2.2)2  dla  usta- lonego  przepł ywu  ś cinają cego,  otrzymamy (5.5)  h+kl^ - )  + e gl- N '(0)l +—ql+M(ł ) =  (f- Qg)(L - l)+Q„. \   2 /   m Ponieważ  poziom  odniesienia  dla  stał ej  h jest w gruncie  rzeczy  dowolny,  moż na uniknąć korzystania  ze zł oż onego  wyraż enia  n a Q w ,  licząc  wartość  P w  jako  nadwyż kę  ciś nienia na  począ tku  przewodu  (z =  0),  w  stosunku  do jego  wartoś ci  koń cowej  Q w   (z =  L ). Jest to równoznaczne z pominię ciem wyrazu Q w  w wyraż eniu  (5.5). Odpowiednie rozkł ady nacisków  n orm aln ych  pokazan o  schematycznie  n a  rys. 1. Wykorzystując  ( 4.5) j,  mamy  w  dalszym  cią gu (5.6)  P w - fL +MQ)  -   M (0)  = a  po uwzglę dnieniu  (4.6) 568 S.  ZAH ORSKI >(°i- Ok)w R ys.  I (5.7)  Pw- (f przy  czym  musi  być speł niona  nastę pują ca  równ oś ć: D 2 (5.8)  M(0)  =  N (l) + - rr- M'^ l). l o Ostatnie  wymaganie  nie zmniejsza  w  ż adnym  stopniu  ogólnoś ci  rozważ ań  (N (ł ) i M(0) są   w dalszym  cią gu  dowolne)  oraz  nie jest  sprzeczne  z ż adnym  z  warun ków  dyskutowa- nych  w  p.  4. N a  podstawie  (5.7)  otrzymujemy  wyraż enie  n a dł ugość  obszaru  wejś ciowego: (5.9) / aa m q{m- \ ) gd z i e / =  / — Qg oznacza  zredukowany  gradient  ciś nienia  dla ustalonego  przepł ywu  ś ci- nają cego. Zależ ność  (5.9) moż na  zapisać  w  bardziej  uż ytecznej  postaci (5.10) gdzie (5.11) i _  i 1   py- fL (Pw- fL)v  (Pw- fL)v  \ l v   — — m • {P w - fL ) v oznacza  dł ugość obszaru  wejś ciowego  dla czysto  lepkiej  cieczy,  dla której ( ć r i- przepł ywają cej  przez  przewód  o  identycznej  geometrii. w  = 0> POWOLN E  PRZEPŁYWY  CIECZY  LEPKOSPRĘ Ż YSTYCH   569 Wzór  (5.10)  umoż liwia  okreś lenie  dł ugoś ci  obszaru  wejś ciowego  dla  cieczy  lepko- sprę ż ystej,  jeś li  zn an a  jest  odpowiednia  dł ugość  /„  dla  cieczy  czysto  lepkiej  oraz  spadki ciś nienia P w —fL   dla  cieczy  lepkosprę ż ystej  i  (P w —fL )„  dla  cieczy  lepkiej. Ponieważ znane są   dobrze  metody  doś wiadczalne  prowadzą ce  do  okreś lenia  /„  (por.  [16,  17, 5]),  pozostaje wył ą cznie problem  wyznaczenia  P w   i / w  dwóch niezależ nych doś wiadczeniach. P otrzebna jest  również  znajomość  pierwszej  róż nicy  naprę ż eń  normalnych  a ±  — a 2   wyznaczana  n a podstawie  pom iarów  wypł ywają cej  strugi  lub  innych  metod  wiskozymetrycznych  (por. n p .  [13,  15])1). Warto  również  nadmienić,  że  w  wyraż eniu  (5.10)  nie  wystę pują   ż adne  funkcje  lub param etry  opisują ce  zachowanie  się   cieczy  lepkosprę ż ystej,  z  wyją tkiem  róż nicy  naprę - ż eń  normalnych  (a 1 —a 2 ) w .  N a  istotną   rolę  jaką   odgrywają   naprę ż enia  normalne w  róż- nych  przepł ywach  cieczy  lepkosprę ż ystych,  a  w  szczególnoś ci  w  przepł ywach  ze  stał ą historią   deformacji,  zwrócono  uwagę   m.in.  w  naszej  pracy  [18]. Rozważ ania  dla  koł owosymetrycznego  przepł ywu  w  kapilarze,  przedstawione  w  ni- niejszym  punkcie,  m oż na  bez  trudu  przenieść  n a  przypadek  przepł ywu  w  szczelinie  lub pł askim  kanale.  P odobn e rozumowanie  prowadzi  do  wzoru  niemal identycznego  z  (5.10), z  tą   tylko  róż nicą,  że  zamiast  (o^ — G 2 ) w   należy  wstawić  (o 1 ~a 2 )w  (por.  [12]). 6.  Uproszczona  analiza  kinematyczna D okł adn a  analiza  kinem atyczna  rozważ anych  przepł ywów  wymaga  stosowania zł o- ż onych  równań  konstutywnych,  co  komplikuje  znacznie  cał e  zagadnienie.  Kiedy korzysta się   z  metod  warstwy  przyś ciennej,  nawet  stosunkowo  proste  równania  konstytutywne mogą   prowadzić  do  bardzo  ż mudnych  obliczeń  (por.  n p.  [8]). W  niniejszych  rozważ aniach,  nie  pretendują c  do  ś cisł ego  rozwią zania  zagadnienia, bę dziemy  starali  się   okreś lić  przybliż one  pole  prę dkoś ci  w  obszarach  wejś ciowych,  wyni- kają ce  z  poprzedn io  wyznaczonych  rozkł adów naprę ż eń  ś cinają cych  i  normalnych. N asza uproszczona  analiza  kinematyczna  bazuje  n a  zał oż eniu, że  stosunkowo  powolne przepł y- wy  cieczy  lepkosprę ż ystych  mogą   być  opisane  równaniami  konstytutywnymi  nieś ciś liwej cieczy  stopnia  drugiego  w  postaci  nastę pują cej  (por.  [14, 9]): (6.1)  T ^  =^ pl+r ]o A 1 - rj o 6A 2 +ri o (0+6*)Al,  trAx  =   0, gdzie  p  jest  ciś nieniem  hydrostatycznym,  A t ,  A2  oznaczają   dwa  kolejne  tensory  kinema- tyczne  Rivlina- Ericksena  (por.  [9, 13]), zaś  r] 0 ,  6,6*  są   stał ymi  materiał owymi.  Stał a  rj 0 m a  wymiar  lepkoś ci  (lepkość  newtonowska),  zaś  stał e  6 i  Q*  wymiar  czasu  (czas  charak- terystyczny  cieczy). Z  drugiej  strony  m oż na  stwierdzić,  że  z  przyję tego  zał oż enia mał ego  stosunku  ś red- nicy  kapilary  do  dł ugoś ci  obszaru  wejś ciowego,  tj.  e  =   D/ l,  wynikają   nastę pują ce  relacje dla  pól  prę dkoś ci  i  ich  gradien tów: 1 }  Korelację   mię dzy  spadkami  ciś nienia  a  naprę ż eniami  normalnymi  badano  w  [19].  Stwierdzono m.in.,  że  «sprę ż ysty»  spadek  ciś nienia  jest  propocjonalny  do  3i—ai. 570  S.  ZAH ORSKI w  =   0(1),  ~  =  O(\ ),  «  =   O(e),  ~~O(e), or  or (6.2) - ^ -  =   0( e) ,  - ^  =   0 ( e 2 ) ,  - —  =   O ( e 2 ) ,  itp., dz  dz  dz* gdzie  u{r, z),  w(r,  z)  oznaczają   skł adowe  prę dkoś ci  odpowiednio  w  kierunku  r  i  z.  Ana- logiczne  relacje  moż na  również  zapisać  dla  przepł ywów  przez  wą skie  kanał y  lub  szcze- liny  (por.  [12]).  Zależ noś ci  (6.2)  przypominają   zał oż enia  zwykle  przyjmowane  w  przy- bliż onych  metodach  warstwy  przyś ciennej. Traktują c  równania  nieś ciś liwej  cieczy  stopnia  drugiego  jako  perturbowaną   postać równań  cieczy  newtonowskiej  (por.  [14, 9])  oraz  przyjmują c  pole  prę dkoś ci  w  postaci v =   Yi+ Ya+ ".»  gdzie  \ x   odpowiada  przepł ywowi  newtonowskiemu,  m oż na  równania dynamiczne  (równania  pę du)  dla  przepł ywu  quasi- statycznego  zapisać  w  postaci  nastę - pują cej : (6'3)  Zl gdzie (6.4)  S 2 ( V l ) przy  czym  A  =   AJXVJ),  B  =   A ^ v J  są   tensorami  kinematycznymi  Rivlina- Ericksena okreś lonymi  dla  newtonowskiego  pola  prę dkoś ci  Vi. Jeś li  prawa  strona  równania  (6.3) jest  wektorem  bezwirowym,  tzn.  wyraża  się   przez gradient  pewnego  potencjał u  skalarnego,  to  równanie  równowagi  drugiego  rzę du (6.3)2 może  być  speł nione przy  v2  =   0.  Oznacza  to,  że  w  celu  rozwią zania  quasi- statycznego zagadnienia  przepł ywu nieś ciś liwej  cieczy  stopnia drugiego,  z  okreś lonymi  w  prę dkoś ciach warunkami  brzegowymi,  wystarczy  znać  odpowiednie  pole  prę dkoś ci  dla  cieczy  newto- nowskiej. P I P KI N   [14] dowiódł , że jeś li D iv  A  =  V2Vj  jest wektorem  bezwirowym  oraz d i wj  =  0 (V-   Vi  =   0) ,  to  D iv(B —A2)  jest  również  wektorem  bezwirowym.  Z atem  o  równoważ- noś ci  pola  prę dkoś ci  dla  cieczy  stopnia  drugiego  i  cieczy  newtonowskiej  decydować  bę - dzie  zachowanie  się   D iv  A2. D la  pł askich  przepł ywów  quasi- statycznych,  dla  których  pon adto  divvx  =   t r A  =   0 (przepł ywy  izochoryczne), tensor  A2  wyraża  się   w  postaci (6.5)  A2  =   y 2 ( l - k k ),  y2  =   i t r  A2  =   I t r B , gdzie  k  oznacza  wektor  jednostkowy,  prostopadł y  do  pł aszczyzny  przepł ywu.  Wówczas zawsze  D iv A2  =   Vy2  i  odpowiednie  pole  prę dkoś ci  cieczy  stopnia  drugiego  jest identycz- ne jak  pole  prę dkoś ci  cieczy  newtonowskiej  (twierdzenie Tan n era, por.  [14]). Oznacza to, że  czł ony  drugiego  rzę du  w  równaniu  (6.1)  wnoszą   wkł ad  wył ą cznie  do  naprę ż eń  normal- nych,  a  zatem  mogą   być  pominię te  przy  obliczaniu  naprę ż eń  ś cinają cych. D la  koł owosymetrycznych  przepł ywów  quasi- statycznych,  takich  jakie  rozważ amy P O WO L N E  P R Z E P Ł YWY  C I E C Z Y  LEP KOSP R Ę Ż YSTYCH 571 w  obszarach  wejś ciowych,  równ oważ n ość  pół   prę dkoś ci  dla  cieczy  drugiego  stopnia i  cieczy  newtonowskiej  nie  obowią zuje  nawet  wtedy,  gdy  zaniedbujemy  wyrazy  rzę du ( 2 )  W  t  dk  (  ( 62) ) y O ( e 2 ) .  W  tym  przypadku  m am y  (por.  (6.2)) (6.6) [A 2]  = dw Or 0 r  dr 'r  dr 0 , 2 dr +  [ O(e2)] ; zatem  warun ek  bezwirowoś ci  wektora  D ivA2  nie  jest  speł niony.  Tylko  po  zaniedbaniu wyrazów  rzę du  0(e),  a  wię c  w  konsekwencji  dla  wiskozymetrycznego  przepł ywu  przez kapilarę ,  otrzym am y (6.7) + O(e). Przejdziemy  obecnie  do  okreś lenia  pola  prę dkoś ci  cieczy  drugiego  stopnia  przepł y- wają cej  przez  obszar  wejś ciowy  pł askiej  szczeliny.  Zachowują c  wyrazy  rzę du  e,  równanie (3.7)!  zapisujemy  w  postaci (6.8) -  ̂ =  j- (g'(x)- N'(P)+ N> (x))y, gdzie  u  oznacza  skł adową   prę dkoś ci  w  kierunku  osi  kan ał u. C ał ka  równ an ia  (6.8)  speł nia  nastę pują ce  warun ki  brzegowe  n a  począ tku  i  koń cu obszaru  wejś ciowego: (6.9) w(0, y)  =   con st,  u(l, y)  -   ^ ( ^  ~ gd zie/ jest  gradien tem  ciś nienia  dla  przepł ywu  wiskozymetrycznego  poza  obszarem  wej- ś ciowym.  Z ał oż enie  pł askiego  profilu  prę dkoś ci  dla  x  =  0  nie  jest  konieczne;  wynika ono  z  przyję cia  g'(0)  =   0  [por.  (4.2)]. Wykorzystują c  równ an ie  cią gł oś ci,  mianowicie (6- 10) otrzymamy  po  scał kowan iu  (6.8): < x,y)  =   L (6.11) Vo v(x,y)  = N a  podstawie  (4.4) 2  i  (4.5) 3  m am y  również (6- 12)  o ( 0 , ^ )  =   0, .  v(l,y)  = 11  Mechanika  Teoretyczna 572  S.  ZAHORSKI Z  drugiej  strony  widać,  że skł adowa  prę dkoś ci  u(x,  y)  nie  znika  n a ś ciance  kan ał u  dla 0  < x  < I,  prowadzą c  do  zależ noś ci: (6.13) Wyraż enie  to okreś la  «efektywny  poś lizg» n a  ś ciankach  kan ał u,  konieczny  do  zmiany profilu  prę dkoś ci  dla x  =   0, w profil  paraboliczny  dla x  =   /.  F akt powyż szy  nie posiada ż adnego  fizycznego  znaczenia.  Jest  on prostą   konsekwencją   przybliż onego  (liniowego wzglę dem  y)  rozkł adu  naprę ż eń  ś cinają cych  we wzorze  (3.7)i.  Zjawisko  poś lizgu nie miał oby  miejsca,  gdyby  brać  pod  uwagę   czł ony  wyż szego  rzę du  wzglę dem  e. Warto  również  podkreś lić,  że  przy  obecnej  uproszczonej  analizie  kinematycznej, zachowanie  się   cieczy w obszarze  wejś ciowym  należy  traktować ja ko  przybliż ony  schemat tego,  co ma  miejsce  w rzeczywistoś ci.  D yskutowany  schemat  przepł ywu  nie  wydaje się być  mniej  realistyczny  niż  schemat  «przepł ywu  rdzeniowego)  z pł askim profilem  prę dko- ś ci  w  czę ś ci  ś rodkowej,  przyjmowany  przy  stosowaniu  przybliż onych  metod  warstwy przyś ciennej. Jeś li  dla  koł owosymetrycznych  przepł ywów  quasi- statycznych  zał oż ymy  newtonowski zwią zek  mię dzy  naprę ż eniami  ś cinają cymi  i  odpowiednią   szybkoś cią   deformacji,  to  na podstawie  (3.5)!  mamy  nastę pują ce  wyraż enie  przybliż one: (6.14)  ~   w  - ^ (g'(z)- N '(0)+N '(z)y. Biorą c  pod  uwagę   równanie  cią gł oś ci,  mianowicie (6.15)  I I H + ^ - 0, r  dr  dz otrzymamy  po  scał kowaniu  ; przy  czym  obowią zują   takie  same jak  poprzednio  warunki  brzegowe  dla  z =  0 i z =   /. Również  n a ś ciance  przewodu  mamy  zależ ność okreś lają cą   «efektywny  poś lizg»  w  obszarze  wejś ciowym. 7.  Przykł ady  profili  prę dkoś ci  w obszarach  wejś ciowych Wię cej  informacji  o  profilach  prę dkoś ci  w  obszarach  wejś ciowych  m oż na  uzyskać, specyfikują c  funkcje  g i N  zgodnie z poprzednio przedyskutowanymi  warun kam i  brzego- wymi  i  rozkł adami nacisków  na  ś ciankach.  W tym  celu  zastosowanie  wielomianów  lub innych  szczególnie  wybranych  funkcji  zapewnia  poż ą dany  stopień dokł adnoś ci. P O WO L N E  P R Z E P Ł YWY  C I E C Z Y  LEP KOSP RC Ż YSTYCH 573 Zał óż my  dla  ilustracji,  że  rozkł ad  nacisków  w  obszarze  wejś ciowym  szczeliny  da  się dobrze  opisać  nastę pują cymi  funkcjami: (7.1) g(pc)  =- - £3  (x~2ł )x\  g'Q)  m  q,  g'(0)  =  g"(0)  -   g"( 0, (7.2)  N (x)  =  b(qx~g(x)) y   f~(b- l)q, gdzie  b  >  1 oznacza  stał y  param etr.  F unkcje  powyż sze  speł niają  wszystkie warunki  (4.4), (4.5),  a  zatem  zależ noś ci  (6.11)  m oż na  przedstawić  w  postaci: (7. 3) 6q Profile  prę dkoś ci  odpowiadają ce  wyraż eniom  (7.3)  przedstawiono  schematycznie na  rys. 2. W  tym  przypadku  skł adowa  prę dkoś ci  prostopadł a  do  osi  kanał u,  v(x,y),  jest  zawsze ujemna  dla  0  <  x  <  I,  co  oznacza,  że  prę dkość  ta  jest  skierowana  ku  osi  oraz  maleje wraz  ze  zmniejszaniem  się  «efektywnego  poś lizgu))  wzdł uż  obszaru  wejś ciowego. Ponieważ  istnieje  dość  duża  dowolność  w  doborze  funkcji  g  i  N , moż na  wyobrazić sobie  sytuacje,  w  których  zm iana  profili  prę dkoś ci  wzdł uż  obszaru  wejś ciowego  zachodzi w  sposób  dość  nietypowy.  Jako  nastę pny  przykł ad,  rozważ my  funkcję  nastę pują cą: (7.4)  g(x) =   - ~fx ,  25  ,  5 3 I v2 / vJ g'(D o, podczas  gdy  N   zmienia  się  wedł ug zależ noś ci  (7.2). Ł atwo  również  zauważ yć,  że  g"(l/ 4)= — 0,  co  oznacza,  że  skł adowa  prę dkoś ci  w  kierunku  osi  kanał u  przyjmuje  wartość  stał ą w  odległ oś ci  x  =  1/ 4 od  począ tku  obszaru  wejś ciowego.  Odpowiednie  profile  prę dkoś ci zilustrowano  n a  rys.  3. Jak  widać,  skł adowa prę dkoś ci  w  kierunku  poprzecznym  do osi  kanał u  v(x,  y) zmienia swój  zn ak  przy  x  =   1/ 4.  D la  0  <   JC <  !/ 4  prę dkość  ta  skierowana  jest  ku  ś ciankom  ka- n ał u,  podczas  gdy  dla  1/ 4  <  x  <  I  ku  jego  osi.  Oznacza  t o ,  że  w  pewnym  podobszarze 574 S.  ZAHORSKI znajdują cym  się   n a  począ tku  obszaru  wejś ciowego,  ciecz  m oże  zachowywać  się   ja k  oś ro- dek  «pół sztywny»  lub  «ciał o  stał e».  Wybierają c  odpowiedn ie postacie  funkcji  g,  m oż na otrzymać  podobszary  o  róż nej  dł ugoś ci,  a  w  szczególnoś ci  —  równej  cał ej  dł ugoś ci  ob- szaru  wejś ciowego. 0  1/ 8  1/ 4 M oż liwość  wystę powania  podobn ego  zjawiska  przy  przepł ywach  cieczy  lepkosprę - ź ystych  przewidzieli  n a  drodze teoretycznej  M E T Z N E R  i  WH I T E  [8]. Stwierdzili  oni  również, że  przy  pewnych  szczególnych  warun kach  takie  «pół sztywne»  obszary  mogą   rozcią gać się   wzdł uż  cał ego przewodu,  powodują c  zam ykan ie  wejś cia  oraz  ewen tualn e  ham owan ie cał ego  przepł ywu.  Wówczas  przepł yw  przez  przewód  jest  moż liwy  tylko  w  przypadku rzeczywistego  poś lizgu  n a  ś ciankach lub  niecią gł oś ci  wystę pują cych  w  samej  cieczy. Istnie- ją   pewne  dane  doś wiadczalne  potwierdzają ce  moż liwość  opisan ego  wyż ej  zachowan ia się   cieczy  lepkosprę ż ystych.  Zjawiska  tego  typu  prowadzą   zwykle  do  wyją tkowo  duż ych spadków  ciś nień  obserwowanych  w  obszarach  wejś ciowych. Rozważ ania  przedstawione  w  niniejszej  czę ś ci  pracy  n ie  wyczerpują   oczywiś cie  innych sposobów  dokł adniejszego  opisu  zjawisk  wystę pują cych  przy  przepł ywach  cieczy  lepko- sprę ż ystych  w  rurach  i  kan ał ach .  U proszczon a  an aliza  kin em atyczn a  dla  nieś ciś liwej cieczy  prostej  stopn ia  drugiego  m a  n a  celu  zwrócenie  uwagi  n a  moż liwość  wystę powania przepł ywów  o  róż nej  kinematyce.  N ależy  również  podkreś lić,  że  rozważ an ia  statyczne, prowadzą ce  do  okreś lenia  odpowiednich  dł ugoś ci  obszarów  wejś ciowych,  są   niezależ ne od  rozważ anych  dalej  schematów  kinematycznych. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  H .  SCH LICH TIN G , Boundary L ayer  T heory, 4  Wyd., N ew York 1960. 2.  E . g.  C H RISTIAN SEN ,H .E.  LEMMON, Entrance Region  Flow,  A.I.C h.E.J.,  11  (1965) 95. 3.  M. COLLIN S, W.  R.  SCHOWALTER, Behavior  of  N on- N ewtonian  Fluids in the Inlet  Region of  a Channel, A.I.Ch.E.J.,  9  (1963) 98. 4.  M.  COLLIN S,  W. R.  SCHOWALTER,  Behavior of  N on- N ewtonian  Fluids in the Entry  Region of  a Pipe, A.I , C h.E J.,  9  (1963)  804.  . 5.  J. L.  WH ITE,  Elastomer Rheology and  Processing,  Rubber  Chem.  Technol.,  42  (1969) 257. 6.  G . K.  RAJESWARI,  S. L.  RATH N A,  Flow  of  a  Particular  Class  of  N on- N ewtonian Visco- Elastic  and Visco- Inelastic  Fluids near a  Stagnation Point,  Z AM P ,  13  (1962)  43.  • • • - ,- POWOLN E  PRZEPŁYWY  CIECZY  LEPKOSPREŻ YSTYCH   575 7.  D . W.  BEARD , K. WALTERS,  Elastico- Viscous Boundary- L ayer Flows, P roc. Camb. Phil. So c , 60 (1964) 667. 8.  A.. B.  M ETZN ER,  J. L.  WH I TE ,  Flow Behavior of  Viscoelastic  Fluids in the Inlet  Region of  a  Channel, A.I .C h .E J.,  11  (1965) 989. 9.  C.  TRU ESD EIX,  W.  N O LL,  T he N on- L inear Field T heories of Mechanics, Encycl. of Physics  vol HT/3,3 Berlin- H eidelberg- N ew  York  1965. 10.  F . H .  G ARN ER,  A. H .  N ISSAN ,  G . F .  WOOD ,  T hermodynamic and Rheological  Behaviour  of  Elasto- Viscous Systems  under  Stress,  P roc.  Roy. So c, A  243  (1950) 37. 11.  A. B.  M ETZN ER,  W. T.  H OU G H TON , R. A.  SAILOR,  J. L.  WH I TE,  A  Method for  the Measurement of N ormal Stresses in Simple  Shearing Flow,  Trans. Soc. Rheol., 5 (1961) 133. 12.  S.  ZAH ORSKI,  On Plane  Flows of  Viscoelastic  Fluids in the Inlet Region of  a  Channel,  Symp.  F ranco- - Polonais  de Rheologie,  N ice  1974  (w druku). 13.  B. D .  COLEMAN,  H .  M ARKOVITZ,  W.  N OLL,  Viscometric  Flows of N on- N ewtonian  Fluids,  Berlin- Hei- delberg- N ew  York  1966. 14.  A. C.  P I P K I N ,  L ectures  on  Viscoelasticity T heory, N ew York- H eidelberg- Berlin  1972. 15.  J. M .  D AVIES,  J. F . H U TTON , K. WALTERS,  T heory for  N ormal Stresses in Slits  and Capillaries, J. Phys. D :  Appl.  Phys.,  6  (1973)  2259. 16.  A. H . P.  SKELLAN D,  N on- N ewtonian Flow  and Heat  T ransfer,  N ew York- London- Sydney 1967. 17.  J. M .  M CKELVEY,  Polymer  Processing,  N ew York- London 1964. 18.  S.  ZAH ORSKI, Flows with Constant Stretch  History and Extensional  Viscosity,  Arch.  Mech., 23 (1971). 433. 19.  H . L.  LA N I E VE ,  I I I , D . C.  BOG U E,  Correlation  of  Capillary Entrance Pressure Drops with N ormal Stress  Data, J. Appl.  Polymer  Sci., 12 (1968)  353. P  e 3 w  M  e M E flJI E H H OE  T O T E H H E  B fl3 K O yn P Yr H X  ^CH flKOCTEH  B  OEJIACTflX BXOflA  TP YB  H   KAH AJIOB BH 3Koyn pyrn e  Te îeHHH  B oG Jiacrax  Bxofla  i p y6  H  U JIOCKH X  KaHaJioB n p jj  n pefln o- *ITO  tjHCJia  PeH tiojibflca  Majibi  (KBa3H cTaTH iecKoe  npH ÓiiH weH H e), a  TaKwe3  TO  fluaiweipti Tpy6  (H JI H   BBicoTa  KaH aJioB) iwajibi  n o cpaBHeHHH  c flJiH H aM H  o6jiacTeft  Bxofla.  I I pH   CTaTH êcKOM   aHajni3e 3aRaHH   He  npiaiHMajiHCŁ  KaKHe- jiH6o  tiacTH bie  npeflnoJio>KeH H a  0TH0CHTem.H0  onpeflenaioinH X  ypaBH e- HHS  JKHflKOCTHj  C nOMOmBK) KOTOpblX  MOJKeT  OlIHCblBaTBCH   KaKaH  yrOflHO  HeOKHMaelWaH  npOCTaH  HCHfl- KOCTŁ.  H eKoxopbie  p eaiem iH   pjix  Hanpa>KeHHH  mm  H an opa  Ha  CTCHKH   6BIJEH  nojiyseH Bi  B BHfle,  coflep- warqeM   Tpn npoH 3BOflH we  (hyHKiiHHj  yflOBJieTBopaiomee  KpaeBbiM   ycjioBHHM.  JU JD CJŁI  o6nacTeił   Bxofla OT  nepBośł   pa3HOCTH  HopiwajiLHbrx  H anpH meH H H j a  TaioKe  OT cooTBeTCTByiomnx  fljiim  o6jiacTeii nepenaflOB  «aBjieHHH   fljia  t n j C T 0  BH 3KOK  WH H K O C T H 3  n poieKaioin eft  n o KaHany  H U H   Tpy6e  c  TOH we  reoiweTpH eił .  Yn pom eH H bra  KHiieMaTHHecKirK  aHajiH3  3afla*in  H JIH   paH ee  onpefleneH H bix  pacnpefle- KacarejiLH Lix  H  HopManLHBix  HanpHJKeHHH  rrpeflcraBJieH   n p n npeflnoaomeH H H j  wio  pacowaipn - JKH H KOCTŁ  H BU H CTCH   H ecwaM aeM oii  WH ^KOC TBI O  BToporo  nopH flKa.  IIoKa3aH Oj  I T O B  ogjiacTHX MoryT  noaBHTBCH  HeKOTopbie  noflo6jiacTn ,  B K oiopbix  HCHflKOCTB BefleT  ce6n  noflo6HO  «TBepflOMy Teny»  HJTH   «nojrywecTKOH »  c p e n e .  TaKHMH   o6jiacTHMH   iwojKei  oxBaTLiBaTBCH   BCH  AJniHa  KaHana  H JIH Tpy6fci,  H  Torfla  flJin  noflflepwaH H H   TeneHHH   Hen36e>KHo  AOJIHCHO  BbidynH TB  aB^eH H e «pa3pbiBa»  ysxajs,- KOCTH  HJIH  me flOJD KH O npOHCXOflHTB  npOCKajIBSWBaHHe  BflOJIB  CTeHOK. S u m m a r y SLOW  F LOWS  OF  VISCOELASTIC  F LU ID S AT  TH E  EN TRIES  TO TU BES  AN D   CH AN N ELS Viscoelastic  flows  in the inlet regions  of tubes  and plane channels are discussed  under the assumption of small Reynolds numbers (quasi- static approximation) and small ratios of the  tube diameter or the channel 576  S.  ZAHORSKI height  to the entrance lengths. I n a  static  analysis  of  the  problem, nothing specific  is  assumed  about  the constitutive  equations,  which  may  be  those  describing  an  incompressible  simple  fluid.  Certain  solutions for  stresses  or  normal thrusts  on  the walls  are  obtained  in  the  form  involving  three  arbitrary  functions subjected  to boundary conditions. The entrance lengths  can  be  determined if,  apart  from  the first  normal stress  difference,  the corresponding  entrance lengths  and  pressure  drops  are  known  for  a  purely  viscous fluid  flowing  under  the same  geometry.  A  simplified  kinematic  analysis  for  previously  determined distri- butions of shear and normal stresses  is  presented under the assumption of  an incompressible  second  grade fluid. I t is shown, among other properties, that certain subregions  of  «solid- like» or «semi- rigid» behaviour may  appear just  at  the entries. These subregions  may  extend  across  the entire  duct, requiring  either  fluid fracture  or  slip  at  the  walls  for  continued  flow. INSTYTUT  PODSTAWOWYCH  PROBLEMÓW  TECHNIKI  PAN Praca został a zł oż ona  w  Redakcji  dnia  10  maja  1974  r.