Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z1.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  1,  11 (1973)  O  P E W N Y C H  WŁASNOŚ CIACH  UKŁADÓW  A N H O L O N O M I C Z N Y C H  T Y P U  CZETAJEWA­PRZEBORSKJEGO  N .  J .  C Y G A N O W A  (WOŁGOGRAD)  1.  Ekstremalne  własnoś ci  reakcji  wię zów  w  anholonomicznych  układach  typu  Czetajewa—Przeborskiego  W  pracy  [1]  K O G A N  s f o r m u ł o w a ł  pewną  własność  reakcji  wię zów,  analogiczną  do  za­ sady  Gaussa,  mianowicie:  siły  reakcji  wię zów  w  rzeczywistym  ruchu  u k ł a d u  holonomicz­ nego  o  wię zach  idealnych  minimalizują  s k r ę p o w a n ie  u k ł a d u ,  rozpatrywane  j a k o  funkcja  reakcji  moż liwych.  W  niniejszej  pracy  bada  się  ekstremalne  własnoś ci  reakcji  w  u k ł a d a c h  o  nieliniowych  wię zach  anholonomicznych,  idealnych  i nieidealnych pierwszego  r z ę d u, j a k  r ó w n i e ż  w  u k ł a ­ dach  o  wię zach  anholonomicznych  drugiego  r z ę d u,  liniowych  wzglę dem  przyś pieszeń.  1.1.  R o z w a ż my  u k ł a d  n  p u n k t ó w  materialnych  o  nieliniowych  anholonomicznych  wię zach  idealnych  r z ę du  pierwszego  (1.1)  fji^yiyZuXiy'yu'zut)  =  0  (j­  1 , 2 ,  ...,k;  i  =  1,2  и ).  M o ż l i we  przemieszczenia  u k ł a d u  okreś la  się  w e d ł u g  CZETAJEWA  i  PRZEBORSKIEGO  [3]  zgodnie  ze  wzorami  W  Ż (̂   + ^+§t ÓZ)­°  O ' = 1 , 2 ,  . . . , * ) .  Oznaczmy  przez  7Y(  w y p a d k o w ą  reakcji  danych  wię zów  idealnych  (1.1),  działają cych  na  i­ty  punkt  u k ł a d u .  Zgodnie  z  definicją  wię zów  idealnych  suma  prac  elementarnych  reakcji  na  dowolnych  przemieszczeniach  moż liwych  u k ł a d u  r ó w n a  się  zeru  n  (1.3)  Z W i 8 ? l  =  °­ R o z w a ż my  s u m ę   n  (1 ­4)  ADI  =  —  2J  ­  У д 2,  i=\  gdzie  mt  oznacza  m a s ę  /­tego  punktu  u k ł a d u ;  wt  —  przyś pieszenia  tego  punktu  w  o k r e ś l o­ nej  c h w i l i  czasu  t  w  trakcie  ruchu  rzeczywistego  p o d  d z i a ł a n i e m  zadanej  siły  Fi  i  reakcji  4  N .  J.  CYGANOWA  Ni;  Yi —jedno  z  moż liwych  przyś pieszeń  punktu  dla  zadanych  wię zów,  przy  stałych  p o ł o ­ ż eniach  i  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  w  okreś lonej  chwili  czasu.  Suma  Ads  okreś la  miarę  odchylenia  rzeczywistego  ruchu  (d)  danego  u k ł a d u  p u n k t ó w  materialnych  od  ruchu  moż liwego  (d).  N i e c h  Adi  oznacza  odchylenie  ruchu  (d)  wyzwolonego  (czę ś ciowo  lub  całkowicie)  z  wię zów  od  tegoż  ruchu  moż liwego  (ó).  W  pracy  [2]  CZETAJEW  p o d a ł  twierdzenie  w y r a ż a­ ją ce  się  nierównoś cią   (1.5)  Ad3  <  Ad6.  Stwierdza  ono,  że  odchylenie  ruchu  rzeczywistego  od  moż liwego  jest  mniejsze  od  odchyle­ nia  tego  ostatniego  od  ruchu  wyzwolonego.  Analogiczne  twierdzenie  m o ż na  u z y s k a ć  p o r ó w n u j ą c  odchylenie  ruchu  rzeczywistego  (d)  od  ruchu  moż liwego  д  z  odchyleniem  od  niego  ruchu  (d'),  przy  tych  samych  zadanych  siłach  Fi  i  dowolnych  reakcjach  Nt,  róż nią cych  się  od  rzeczywistych  reakcji  Nt,  ale  spełnia­ j ą c y ch  warunek  (1.3).  Ostatni  z  tych  r u c h ó w  nie  bę dzie  na  ogół  ruchem  moż liwym  przy  zadanych  wię zach.  T a k  więc  ruch  (d')  jest  rzeczywistym  ruchem  u k ł a d u  p o d  d z i a ł a n i e m  zadanych  sił  Ft,  ale  przy  nowych  wię zach.  Z a ł ó ż m y,  że  przemieszczenia  moż liwe  u k ł a d u  z  tymi  wię zami  równają  się  Sr't.  Wobec  tego  wię zy  idealne  spełniają  r ó w n a n i e  л   2,N'M  =  0,  i ­ i  a  p o n i e w a ż  reakcje  N[  spełniają  warunek  (1.3),  tzn.  л   gW'ior,  =  о ,  1=1  otrzymujemy,  że  przemieszczenia  moż liwe  d?t  przy  zadanych  wię zach  zawierają  się  w  prze­ mieszczeniach  moż liwych  8f\  przy  nowych  wię zach.  M o ż e my  więc  u w a ż a ć,  że  nowe  wię zy  o d p o w i a d a j ą  u k ł a d o w i  czę ś ciowo  wyzwolonemu.  Przyś pieszenie  punktu  mt  ruchu  (d')  oznaczmy  literą  w\.  M i a r ą  odchylenia  ruchu  (d')  od  ruchu  moż liwego  6 jest  wielkość   л   (1.6)  Ad­t  =  у  У "m ^ w ' i ­ y i ) 2 ,  i=i  przyrost  zaś  odchylenia  przy  przejś ciu  o d  ruchu  rzeczywistego  (d)  do  ruchu  (d')  wynosi  л  л   (1.7)  AA  =  J>  ml(wi­yi)Awi  + — ^т ^А щ ) 2,  А щ  =  w't­wt.  (=1  i = l  D l a  rozpatrywanych  w  pracy  u k ł a d ó w  typu  Czetajewa­Przeborskiego  istnieją  prze­ mieszczenia  moż liwe  p u n k t ó w  u k ł a d u  proporcjonalne  do  r ó ż n ic  mię dzy  przyś pieszeniami  t y c h  p u n k t ó w  w  ruchu  rzeczywistym  i  w  ruchu  m o ż l i w y m,  przy  jednakowych  współrzę d­ nych  i  p r ę d k o ś c i a ch  p u n k t ó w  w  ruchu  rzeczywistym  i  m o ż l i w ym  w  zadanej  chwili  czasu  t.  O  WŁASNOŚ CIACH  UKŁADÓW  ANHOLONOMICZNYCH  5  W y n i k a  stą d,  że  róż nice  wt  — y f  we  wzorze  (1.7)  są  przemieszczeniami  moż liwymi.  Przyrost  przyś pieszeń  w  p o r ó w n y w a n y c h  ruchach  wynosi  Aw,  =  .  W  zwią zku  z  t y m ,  że  dla  dowolnych  przemieszczeń  moż liwych  wielkoś ci  N't  oraz  Ni  spełniają  warunek  (1.3),  to  warunek  ten  oczywiś cie  spełniają  r ó w n i e ż  ich  róż nice  N't—Nj,  wobec  tego  pierwszą  s u m ę  we  wzorze  (1.7)  m o ż na  p r z y r ó w n a ć  do  zera  л  л   ^ m tAw,^ i­Yi)  =  ^ W ­ J V J ) ( w , ­ y . )  =  0 .  1­1  i =  l  T a k  więc  mamy  л   AA  =­ź  ^  mt(Awd 2  >  0,  i=l  skąd  wynika  n i e r ó w n o ś ć  A D I <  A D ­ F .  Innymi  słowy,  w  przypadku  rzeczywistych  reakcji  wię zów  Nt  suma  (1.4),  traktowana  j a k o  funkcja  reakcji  dla  ustalonych  sił  F ; ,  przyjmuje  w a r t o ś ć  minimalną .  1.2.  Udowodnione  twierdzenie  m o ż na  u o g ó l n i ć  również  na  u k ł a d y  o  idealnych  wię­ zach  anholonomicznych drugiego  rzę du,  liniowych  wzglę dem  przyś pieszeń,  opisane wzorem  я   (1.8)  £  (axi'xt+buyi+Cuzt)  =  ak  (A =  1 , 2 ,  к ),  i = l  gdzie  współczynniki  a Xb  b M,  cu  oraz  a x  z a leż ą ,  od  czasu,  w s p ó ł r z ę d n y ch  i  p r ę d k o ś ci  ruchu  p u n k t ó w  u k ł a d u .  W  pracy  [3]  PRZEBORSKI  w p r o w a d z i ł ,  po  raz  pierwszy  dla  r o z w a ż a n y ch  u k ł a d ó w  de­ finicję  przemieszczeń  moż liwych,  uogólniają cą  definicję  (1.2);  mianowicie,  że  przemiesz­ czenia  moż liwe  są  definiowane  zwią zkami  n  (1.9)  ^(a ub Xi  +  bxby i  +  c M  =  0  (A  =  1 , 2 , . . .  k ).  Zagadnienie  to  z o s t a ł o  rozwinię te  w  pracy  KIRGETOWA  [4].  Ł a t w o  spostrzec,  że  przemieszczeniem  m o ż l i w ym  jest  r ó ż n i ca  przyś pieszeń  p u n k t ó w  u k ł a d u  w  ruchu  rzeczywistym i  w  ruchu  m o ż l i w y m,  przy jednakowych  w a r t o ś c i a ch  współ­ rzę dnych  oraz  jednakowych  p r ę d k o ś c i a ch  w  obydwu  ruchach  w  ustalonej  chwili  czasu.  Jeż eli  zdefiniujemy  wię zy  idealne  jako  takie,  przy  k t ó r y c h  dla  dowolnego  przemieszczenia  л   moż liwego,  spełniają cego  warunek  (1.9),  jest  spełnione  r ó w n a n i e  ^Nidrt  =  0  oraz  jeś li  (=i  p o w t ó r z y m y  r o z w a ż a n ia  dotyczą ce  u k ł a d ó w  typu  Czetajewa­Przeborskiego,  to  m o ż e my  u d o w o d n i ć ,  że  dla  u k ł a d ó w  o  wię zach  idealnych  (1.8)  słuszne  jest  twierdzenie,  w y r a ż o ne  nierównoś cią  Am  <  A D ­ B .  1.3.  R o z w a ż my  u k ł a d  p u n k t ó w  materialnych  z  wię zami  anholonomicznymi  pierwsze­ go  lub  drugiego  r z ę du  (w  ostatnim  przypadku  —  liniowymi  wzglę dem  przyś pieszeń)  б   N .  J.  CYGANOWA  z  tarciem.  W zbiorze  przemieszczeń  moż liwych  u k ł a d u  w y r ó ż n i my  p o d z b i ó r  takich  prze­ mieszczeń,  na k t ó r y c h  siły  tarcia  nie wykonują  pracy.  Są to tak zwane  (c) — przemieszcze­ nia,  k t ó r e  rozpatrują  PRZEBORSKI  [5] i  CZETAJEW  [6]. D l a (c) — przemieszczeń  zachodzi  r ó w n a n i e  n  (1.10)  j T y ^ f  =  o,  gdzie  Rt  są  reakcjami  wię zów,  zaś Srf (c) — przemieszczeniami.  Rozpatrzmy  ruch  (d')  u k ł a d u ,  z a c h o d z ą cy  przy  tych  samych  zadanych  siłach  Ft  i  do­ wolnych  reakcjach  R'it  r ó ż n y ch  od rzeczywistych,  ale spełniają cych  warunek  (1.10).  R u c h  (d') jest  ruchem  m o ż l i w y m,  na  ogół  przy  innych  wię zach.  Z a ł ó ż m y,  że  przemieszczenia  moż liwe  dla tych  wię zów  równają  się §r\. Wydzielmy  z  rodziny  tych  przemieszczeń  z b i ó r  (c) — przemieszczeń,  na k t ó r y c h  siły  reakcji  R\  nie wykonują  pracy,  to  znaczy  spełniony  jest  zwią zek  n  (1.11)  ^R'MC  =  V­ i — l  S p o ś r ód  w e k t o r ó w  przyś pieszeń  y ; w ruchach  moż liwych  przy  zadanych  wię zach  obierzemy  takie  ych  by  wektory  róż nic  w, — у \  zawierały  się w  zbiorze  (c) — przemieszczeń.  Takie  ruchy  moż liwe  są  nazywane  (c) — ruchami  [7].  Ograniczając  się do (c) — r u c h ó w  otrzymujemy  zależ ność   n  (1.12)  j Ł j « , ( w , ­ y f ) ­ 0 .  Przyrost  przyś pieszeń  w  p o r ó w n y w a n y c h  ruchach  wynosi  R'i — Ri  A\V: =  .  lYli  Wobec  tego, że wielkoś ci  R(  oraz  R'i  spełniają  warunek  (1.9)  mamy  r ó w n a n i e  л  л   (1.13)  ^rmAwityi­yl)  =  E  ( * ; ­ * 0 ( ^ ­ y f )  =  o.  1=1  1=1  Z  r ó w n a ń  (1.7)  i  (1.12)  otrzymujemy  wzór  л   Д А  = у ^ т ; № ) 2 ,  i=i  z  k t ó r e g o  wynika,  że Ads <  Ad­S.  T a k  więc  dla rzeczywistych  reakcji  R{  wię zów  z  tarciem  suma  л   i=i  traktowana  j a k o  funkcja  reakcji  przy  ustalonych  siłach  przyjmuje  w a r t o ś ć  minimalną .  8  N .  J.  CYGANOWA  W y r a ż a  j ą  n i e r ó w n o ś ć  (2.2)  • Add  < ­^(ddd +  dt­d.d­d)­ Jeż eli  wię zy  są idealne,  to z  nierównoś ci  (2.2)  wynika  n i e r ó w n o ś ć  (2.1).  W tej  samej  pracy  podano  u o g ó l n i o n ą  z a s a d ę  najmniejszego  s k r ę p o w a n ia  w  postaci  (2.1)  dla  u k ł a d ó w  z  tarciem,  przy  ograniczeniu  z b i o r u  przemieszczeń  moż liwych  do  (c) —  przemieszczeń.  W  pracy  [6]  CZETAJEW  w y p r o w a d z i ł  ogólną  z a s a d ę  dynamiki  dla  u k ł a d ó w  z  tarciem,  nie  zawierają cą  w  jawnej  postaci  sił reakcji  wię zów  dla  przemieszczeń  moż liwych,  orto­ gonalnych  do rzeczywistych  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u ,  to znaczy  spełniają cych  warunki  xtd xi+  y id y i  +  ż id z i  =  0  ( / =  1 , 2 ,  ...,ri).  Z b i ó r  takich  przemieszczeń  nazywa  CZETAJEW  (C) —  przemieszczeniami.  D l a  najczę ś ciej  spotykanych  wię zów  z tarciem  praca  sił reakcji,  działają cych  na  punkty  materialne  u k ł a d u  w danej  chwili  czasu,  wykonana  na  (c) —  przemieszczeniach,  r ó w n a  się  zeru  л   2{Rixd x e t+R„d y j+R,xó z f)  =  0.  R u g u j ą c  z  tego  warunku,  za p o m o c ą  r ó w n a ń  ruchu,  reakcje  wię zów  Rix,  Riy,  Riz,  otrzymuje  CZETAJEW  zwią zek  л   (2.3)  £  [(miXt­Xt)óxf+  (п ц у ,­У ,)д у ?+  (in,x,­Zt)dzf]  = 0  i=i  słuszny  d l a  (c) —  przemieszczeń.  Zwią zek  ten  m o ż na  r o z p a t r y w a ć  j a k o  uogólnienie  zasady  D'Alemberta­Lagrange'a  na  u k ł a d y  z  tarciem.  Zasada  (2.3)  została  dalej  rozwinię ta  w pracach  RUMIANCEWA  [7].  W y c h o d z ą c  z  niej  RUMIANCEW  w y p r o w a d z i ł  zwykłą  p o s t a ć  zasady  Gaussa,  nie  zawierają cą  jawnie  sił  reakcji.  Ograniczenie  zbioru  przemieszczeń  moż liwych  w  zasadzie  (2.3)  do  (c) —  przemieszczeń   powoduje  odpowiednie  ograniczenie  zbioru  r u c h ó w  moż liwych,  z  k t ó r y m i  p o r ó w n y w a n y  jest  w zasadzie  Gaussa  ruch  rzeczywisty.  R o z w a ż a  się  tylko  ruchy  moż liwe,  w k t ó r y c h  przyś pieszenia  p u n k t ó w  u k ł a d u  y \  speł­ niają  nastę pują cy  warunek:  róż nice  mię dzy  nimi  i  przyś pieszeniami  p u n k t ó w  w  ruchu  rzeczywistym  w t są  (c) —  przemieszczeniami.  Takie  ruchy  moż liwe  nazywa  RUMIANCEW  (C) — ruchami.  D l a  nich  zasada  (2.3)  przy­ biera  p o s t a ć   л   (2.4)  £  i(m iX,­Xd (Xi­YQ   + Mt ~^(ft­yf,)  + ( m , 2 , ­ Z , ) ( z , ­ y f , ) ]  = 0 .  i=i  Z  r ó w n a n i a  (2.4)  wynika  zwykła  p o s t a ć  zasady  Gaussa.  1.  N i e c h  dany  bę dzie  u k ł a d  n  p u n k t ó w  materialnych  o  wię zach  nieliniowych  anho­ lonomicznych  pierwszego  r z ę du  z  tarciem  fj(xt,yt,zt,  Xi, yt,ż t,t)  =  0  0 = 1 , 2 ,  ...,k;  i =  1 , 2 ,  . . . ) .  O  WŁASNOŚ CIACH  UKŁADÓW  ANHOLONOMICZNYCH  9  D l a  r o z w a ż a n e go  u k ł a d u  typu  Czetajewa­Przeborskiego  przemieszczenia  moż liwe  o k r e ś l o­ ne  są  zwią zkami  и   2 m ­ o  ( / ­ 1 . 2 . . . . . * ) .  Z  definicji  tej  wynika,  że istnieją  przemieszczenia  moż liwe  p u n k t ó w  u k ł a d u  proporcjo­ nalne  do  róż nic  mię dzy  przyś pieszeniami  tych  p u n k t ó w  w  ruchu  rzeczywistym (d) i w  ruchu  m o ż l i w ym  (<5),  przy jednakowych  w s p ó ł r z ę d n y ch  i p r ę d k o ś c i a ch  p u n k t ó w  w ruchu  rzeczy­ wistym  i m o ż l i w ym  w  rozpatrywanej  chwili  czasu  t. Ograniczmy ruchy  wirtualne  do  z b i o r u  (c) —  r u c h ó w .  Zgodnie z zasadą  Czetajewa  dla  u k ł a d ó w  z tarciem  w  postaci  (2.4)  w  ruchu  rzeczywistym  danego  u k ł a d u  bę dzie  spełniony  warunek  л   (2.5)  2j  K " 1 '  * M ~ xi)  (*" ~ *&) + ("•'З 'м ­  Yi) Cłu ­  У u) + (m  zid ­  Zt) ( z w ­  'if,)]  = 0 .  i=  i  W y z w ó l m y  u k ł a d  z czę ś ci  wię zów  i niech  d r t  oznacza  przemieszczenia  moż liwe  u k ł a d u  czę ś ciowo  wyzwolonego.  D l a u k ł a d ó w  typu  Czetajewa­Przeborskiego  przemieszczenia  moż liwe  danego  u k ł a d u  znajdują  się  w ś r ód  przemieszczeń  moż liwych  u k ł a d u  czę ś ciowo  wyzwolonego.  Jest  oczywiste,  że również  (c) —  przemieszczenia  danego  u k ł a d u  powinny  z n a j d o w a ć  się  w ś r ód  (c) —  przemieszczeń  u k ł a d u  czę ś ciowo  wyzwolonego.  Wobec  tego  z a s a d ę  (2.4)  dla  u k ł a d u  czę ś ciowo  wyzwolonego  (d ) m o ż na  zapisać  w  postaci  л   (2.6)  2j  \ .(m  *w­Xi)  (*и ­  * & ) + ( m y id ­  Yd   (yu­y f»)+(m %b  ­  Zi) ( z M ­  zf*)]  = o.  Odejmując  r ó w n a n i e  (2.6)  od  r ó w n a n i a  (2.5)  otrzymujemy  zwią zek  (2.7)  Adl  + Add­Aid  = 0 ,  gdzie  wielkość   n  /=.1  oznacza  odchylenie  rzeczywistego  ruchu  (d) u k ł a d u  z  tarciem  od ruchu  moż liwego  (8)  tego  u k ł a d u .  Analogicznie  zdefiniowane  są wielkoś ci  Add  oraz  ASd.  Z  r ó w n a n i a  (2.7)  b e z p o ś r e d n io  wynikają  dwie  nierównoś ci  (2.8)  Add  <  Aid,  (2.9)  Ads  <  ASÓ.  Pierwsza  z  nich  stanowi  wyraż enie  u o g ó l n i o n e j  zasady  Gaussa  dla  r o z w a ż a n y ch  u k ł a d ó w  z  tarciem:  odchylenie  rzeczywistego  ruchu  (d) u k ł a d u  z  tarciem  o d rzeczywistego  ruchu  (3)  u k ł a d u  czę ś ciowo  wyzwolonego jest  mniejsze  niż  odchylenie  ostatniego z tych  r u c h ó w  o d  moż liwego  (c) —  ruchu  (ó).  2.  U o g ó l n i o n ą  z a s a d ę  najmniejszego  s k r ę p o w a n ia  m o ż na  rozszerzyć  r ó w n i e ż  i na  u k ł a d y  o wię zach  liniowych  anholonomicznych  drugiego  r z ę du  z  tarciem.  10  N .  J. CYGANOWA  R ó w n a n i a  wię zów  są  postaci  л   У ] (axi'xi + bxt'yi + cxi'zi)  =  ax  (A =  1, 2 ,  k),  gdzie  współczynniki  aXi,  bXi,  cXi  oraz  ax  zależą  od  czasu,  w s p ó ł r z ę d n y ch  i p r ę d k o ś ci  u k ł a d u .  Przemieszczenia  moż liwe  w takich  u k ł a d a c h  [3],  [4] okreś lone  są przez  zwią zki  л   (aXidxt+bMdyt+cMdzt)  =  0  (A =  1 , 2 ,  k).  ;=i  D l a  tego  rodzaju  definicji  przemieszczeń  moż liwych  pozostają  słuszne  dwa  założ enia,  na  k t ó r y c h  opiera  się  d o w ó d  u o g ó l n i o n e j  zasady  Gaussa.  T a k  wię c,  w y c h o d z ą c  z  zasady  Czetajewa  dla  u k ł a d ó w  z tarciem  i p o w t a r z a j ą c  te same  r o z w a ż a n i a,  co  dla  u k ł a d ó w  o wię­ zach  anholonomicznych  rzę du  pierwszego  z  tarciem,  dojdziemy  z n ó w  do  nierównoś ci  (2.8),  wyraż ają cej  u o g ó l n i o n ą  z a s a d ę  Gaussa  dla  u k ł a d ó w  z  tarciem.  3.  Zwią zek  mię dzy  energią  przyspieszeń  w ruchu  rzeczywistym  i  czę ś ciowo  lub  całkowicie  wyzwolonym  W  pracy  [2]  CZETAJEW  w y p r o w a d z i ł  u o g ó l n i o n ą  p o s t a ć  zasady  najmniejszego  skrę­ powania  w u k ł a d a c h  o  wię zach  idealnych  nieliniowych  (w szczególnym  przypadku  l i n i o ­ wych)  anholonomicznych  pierwszego  r z ę d u.  Opisuje  ją  n i e r ó w n o ś ć   (3.1)  Adó  <  ASÓ  wyraż ają ca  nastę pują cą  t r e ś ć:  odchylenie  ruchu  rzeczywistego  (d)  u k ł a d u  o  zadanych  wię zach  od ruchu  rzeczywistego  (3)  u k ł a d u  czę ś ciowo  z  nich  wyzwolonego  jest  mniejsze  niż  odchylenie  dowolnego  ruchu  moż liwego  (ó) o d tego  samego  ruchu  (3)  u k ł a d u ,  lecz  czę ś ciowo  wyzwolonego.  O p r ó c z  nierównoś ci  (3.1)  CZETAJEW  w y p r o w a d z i ł  w  swojej  pracy  jeszcze  j e d n ą  n i e r ó w n o ś ć   (3.2)  Adi  <  Ald  wyraż ają cą  twierdzenie,  k t ó r e  nazwiemy  twierdzeniem  Czetajewa:  odchylenie  ruchu  rze­ czywistego  (с ?) u k ł a d u  od ruchu  moż liwego  (<5) jest  mniejsze,  niż  odchylenie  tego  ostatnie­ go  od  ruchu  czę ś ciowo  wyzwolonego  (3).  W  omawianej  pracy  wyprowadza  się z  nierównoś ci  (3.1) i  (3.2) zwią zek  p o m i ę d zy  energiami  przyś pieszeń  w  ruchach  (d), (6)  oraz  (3).  D o d a j ą c  n i e r ó w n o ś ci  (3.1)  i  (3.2)  otrzymujemy  n i e r ó w n o ś ć   (3.3)  2  <  A><>­ Podstawmy  do  nierównoś ci  (3.3)  wyraż enia  na  wielkoś ci  Adi,  Add,  А9д: 1у   Зл   Ads  =  —  V n t t ( x u ­ x u ) 2 ,  (=i  ')  Dla  skrócenia  zapisu oznaczamy  współrzę dne  punktów  układu jedną  literą x z odpowiednim indek­ sem.  O  WŁASNOŚ CIACH  UKŁADÓW  ANHOLONOMICZNYCH  11  gdzie  xid,  Х ц   s%  przyś pieszeniami  odpowiednio  w  ruchu  rzeczywistym  i  m o ż l i w y m,  przy  jednakowych  w a r t o ś c i a ch  w s p ó ł r z ę d n y ch  i  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  w  ruchu  rzeczy­ wistym  i  w  ruchu  moż liwym  w  rozpatrywanej  chwili  czasu  t.  Wielkoś ci  Ajd  oraz  Aid  są   o k r e ś l o ne  w  s p o s ó b  analogiczny.  Z  nierównoś ci  (3.3)  po  podstawieniu  otrzymujemy  3«  Зл  Зл   (3.4)  J v  т ,(хи­хи) 2  +  J £ m i i x u ­ x i d ) 2  <  2  щ С к и ­Х и )2.  i=i  i=i  i=i  W p r o w a d z a j ą c  energię  przyś pieszeń  dla  ruchu  rzeczywistego  (d ),  moż liwego  (S)  i  wy­ zwolonego  (d ),  oznaczając  je  odpowiednio  jako  Sd,  Ss  oraz  Sd  m o ż e my  zapisać  (3.4)  w  postaci:  Зл  Зл   2 Ą +  У  mixid(xia­xij)+  У  Щ Х и С х и­Х и )  <  Sa  +  Sd,  i=i  1=i  wzglę dnie  Зл  Зл   с.  ,  с  £т 1Х1д(хш­Х ц )+  J £ m t x i S C x t i ­ X t u )  (3.5)  Sd< Si±̂   +  ^  ­ i = !  .  Ostatnia  z  nierównoś ci  stwierdza,  że  energia  przyś pieszeń  w  ruchu  rzeczywistym jest  mniejsza  od  p o ł o w y  sumy  energii  przyś pieszeń  w  ruchu  wyzwolonym  i  moż liwym,  zwię k­ szonej  o  p o ł o w ę  sumy  iloczynów  przyś pieszeń  w  jednym  z  ostatnich  dwu  r u c h ó w ,  pom­ n o ż o n y ch  przez  róż nice  mię dzy  przyś pieszeniami  w  drugim  z  tych  r u c h ó w  i  w  ruchu  rze­ czywistym  (sumowanie  odnosi  się  do  wszystkich  p u n k t ó w  u k ł a d u ) .  Sumy  wchodzą ce  do  prawej  strony  ostatniej  nierównoś ci  mają  okreś l ony  sens  mecha­ niczny.  R o z w a ż my  pierwszą  s u m ę   Зл   (3.6)  ^mtxid(xu­xu).  /=1  Zawarte  w  niej  róż nice  Х ц —Х и  mię dzy  przyś pieszeniami  w  ruchu  rzeczywistym  i  w  ruchu  moż liwym  m o ż na  t r a k t o w a ć  j a k o  przemieszczenia  moż liwe  Х ц —Х и  =  d xt.  W ó w c z a s  s u m ę  (3.6)  m o ż e my  zapisać  w  postaci  Зл   (3.7)  £  miXiddxi.  i = l  Zgodnie  z  drugim  prawem  Newtona  mamy  dla  ruchu  czę ś ciowo  wyzwolonego  zwią zek  mi'xid  =  Fix+Nix,  gdzie  Nix  są  reakcjami  wię zów,  zachowanych  przy  czę ś ciowym  wyzwoleniu  u k ł a d u .  Uwzglę dnijmy  również  to,  że  przemieszczenia  moż liwe  danego  u k ł a d u  (dxt)  zawierają   się  w  zbiorze  przemieszczeń  moż liwych  (3x,)  u k ł a d u  czę ś ciowo  wyzwolonego.  T a k  więc  suma  (3.7)  przyjmuje  p o s t a ć   Зл  Зл   2]  nti xld  dxt  =  ]?(Fix+Nix)  8xi.  i=l  i=l  12  N .  J.  CVGANOWA  Jeż eli  wię zy  są  idealne,  to  mamy  Зл   ]?Nixdxt  = 0 .  Wobec  tego  suma  (3.7) r ó w n a  jest  pracy  wirtualnej  sił aktywnych  Зл  Зл   Zbadajmy  z  kolei  d r u g ą  s u m ę  zawartą  w prawej  czę ś ci  nierównoś ci  (3.5)  (3.8)  Z  drugiego  prawa  Newtona  mamy  Щ (хи ~  xid.  gdzie  N'ix  to  reakcje  wię zów  odrzuconych  przy  czę ś ciowym  wyzwoleniu  u k ł a d u .  W  takim  razie  suma  (3.8) przedstawia  sobą  p r a c ę  sił reakcji  odrzuconych  wię zów  na  przyś pieszeniach  ruchu  m oż li w e go.  Dzię ki  temu  n i e r ó w n o ś ć  (3.5) m o ż e my  z i n t e r p r e t o w a ć  w  s p o s ó b  nastę pują cy:  energia  przyś pieszeń  w  ruchu  rzeczywistym  jest  mniejsza  o d  p o ł o w y  sumy  energii  przyś pieszeń   ruchu  wyzwolonego  i  ruchu  m o ż l i w e g o,  zwię kszonej  o  p o ł o w ę  sumy  pracy  wirtualnej  sił  aktywnych  oraz  pracy  sił reakcji  wię zów  odrzuconych  przy  wyzwoleniu  u k ł a d u  wyko­ nanej  na  przyś pieszeniach  ruchu  moż liwego.  W  rozdziale  tym  zbadamy  sens  energetyczny  twierdzenia  Czetajewa,  wyraż ają cego  j e d n ą  z  o g ó l n y c h  własnoś ci  ruchu  nieliniowych  u k ł a d ó w  anholonomicznych.  W y k a ż e m y,  ż e  twierdzenie  Czetajewa  m o ż na  r o z p a t r y w a ć  j a k o  u o g ó l n i e n i e  na  nieliniowe  u k ł a d y  anholonomiczne  twierdzenia  Bertranda  o  energii  kinetycznej.  O p r ó c z  zależ noś ci,  wyraż ają cej  u o g ó l n i o n ą  z a s a d ę  Gaussa  dla  nieliniowych  u k ł a d ó w  anholonomicznych  pierwszego  rzę du,  CZETAJEW  uzyskał  w pracy  [2] jeszcze jeden  zwią zek,  odpowiadają cy  n a s t ę p u j ą c e mu  twierdzeniu:  odchylenie  rzeczywistego  ruchu  u k ł a d u  o  wię zach  idealnych  o d  dowolnego  ruchu  moż liwego  jest  mniejsze  od  odchylenia  tego  ostatniego  od  ruchu  czę ś ciowo  wyzwolonego  (4.1)  AM  <  Adi,  gdzie  wielkość   4.  O  sensie  energetycznym  pewnego  twierdzenia  Czetajewa  Зл   (4.2)  O  WŁASNOŚ CIACH UKŁADÓW ANHOLONOMICZNYCH  13  oznacza  odchylenie  ruchu  rzeczywistego  o d ruchu  moż liwego  w czasie dt;  wielkość   Зл   (4.3)  Adi  =  2mt(dxt­dx,) 2  (=1  oznacza  odchylenie  ruchu  czę ś ciowo  wyzwolonego  o d  tego  samego  ruchu  moż liwego  w  czasie  dt;  wielkoś ci  dxh  óxt,  dx{  oznaczają  zmiany  p r ę d k o ś ci  punktu  m ( w  czasie  dt  odpowiednio  w  ruchu  rzeczywistym,  moż liwym  i  czę ś ciowo  wyzwolonym;  p r ę d k o ść  xt  punktu w  chwili  t jest  we  wszystkich  trzech  ruchach jednakowa,  przy  czym  w ruchu  czę ś cio­ wo  wyzwolonym  punkt  mt jest  p o d  d z i a ł a n i e m  tej samej  siły Fh  co w ruchu  rzeczywistym.  D l a  u k ł a d ó w  holonomicznych  i liniowych  anholonomicznych  nierównoś ci  (4.1)  m o ż na  n a d a ć  pewien  sens geometryczny.  Przyrosty  energii  kinetycznej  u k ł a d u  w czasie dt w ruchu  rzeczywistym  i  czę ś ciowo  wyzwolonym  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  z  d o k ł a d n o ś c ią  do  wielkoś ci  r z ę du  trzeciego  wzglę dem  dt przy  pomocy  w z o r ó w :  Зл  Зл   (4.4)  А T =  2  m ' *t d*t + "у  w < № )2 >  Зл  Зл   (4.5)  Л 'Т =  ^mtxrfxt+^^mtidxd2.  R ó ż n i ca  p r z y r o s t ó w  energii  kinetycznej  w  obydwu  wymienionych  ruchach  wynosi  Зл  Зл  Зл   (4.6)  AT­A'T=  ^mixi(dxi­dxl)  +  m,(dxd 2­j  ^т ^д х д2.  i=\   i=i  t =i  Z  nierównoś ci  (4.1) zapisanej  w  postaci  Зл  Зл   2j  m iid Xi­  d k i) 2  <  2j  Щ (д х( -  dxt) 2  1=1  i=l  otrzymujemy  Зл  Зл  Зл   (4.7)  mi(dxi)2 ­  mt(dxi) 2  < £  2w, dx,(dXi ­  dxt).  1 = 1  l=i  i = l  O s t a t n i ą  n i e r ó w n o ś ć  m o ż na  z a p i s a ć  na  podstawie  (4.6)  j a k o  Зл   (4.8)  Л Т ­А 'Т  <  m,(x,+  д х()(dxt­dxt),  i=i  s k ą d  Зл   AT  А 'Т  V  (4­9)  ­jf  ^ ­ <  2^   т1(х 1  +  д х ,)(хы­х(д),  i=i  gdzie  Хц jest  przyś pieszeniem  punktu mt w ruchu  rzeczywistym,  zaś xid  —  przyś pieszeniem  t e g o ż  punktu  w  ruchu  wyzwolonym.  14  N .  J.  CYGANOWA  Z  r ó w n a ń  ruchu  dla  danego  u k ł a d u  i  u k ł a d u  czę ś ciowo  wyzwolonego  mamy  zwią zek  m,Cxu­xtd)  =N&­N$,  gdzie  N$  oznacza  siły  reakcji  wię zów  danego  u k ł a d u ,  zaś  NJx  —  siły  reakcji  wię zów  w  układzie  czę ś ciowo  wyzwolonym.  R ó ż n i ca  tych  wielkoś ci  tfg>­Ag>  =  Nftd)  jest  reakcją  wię zów  odrzuconych  przy  czę ś ciowym  wyzwoleniu  u k ł a d u .  N i e r ó w n o ś ć  (4.9)  m o ż e my  więc  z a p i s a ć  w  postaci  (4.10)  ~^f<2(xi+ttdN%­ d\  i=l  gdzie  ki+dki  jest  p r ę d k o ś c ią  w dowolnym  ruchu  moż liwym  w chwili  t +  dt.  P r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  w m o ż l i w ym  ruchu  u k ł a d u  o zadanych  wię zach  są j a k  w i d a ć  p r ę d­ k o ś c i a mi  moż liwymi  w ruchu  u k ł a d u  o  reakcjach  wię zów  r ó w n y c h  Nu~ó\  W  przypadku  wię zów  stacjonarnych  suma  z  prawej  strony  nierównoś ci  (4.10)  jest  proporcjonalna  do  sumy  elementarnych  prac  sił reakcji  wię zów  N%~~d^,  wykonanych  na  przemieszczeniach  wirtualnych  u k ł a d u  i wobec  tego  dla  wię zów  idealnych  r ó w n a  się  zeru  3n  ^(xt+dx,)Mt d)  = 0 .  W  ten  s p o s ó b  z  relacji  (4.10)  mamy  AT  A'T  3/i  dt  dt  wzglę dnie  <  0  AT  A'T  ~dT<~dT'  co  oznacza,  że  przyrost  energii  kinetycznej  w jednostce  czasu  w ruchu  rzeczywistym jest  mniejszy,  niż w ruchu  czę ś ciowo  wyzwolonym.  T e n  wynik  jest  analogiczny  do  twierdzenia  Bertrada [13].  Literatura  cytowana vt  tekś cie  1.  Ю . Б .  К О Г А Н,  О б о д н о м  э к с т р е м а л ь н о м  с в о й с т в е  р е а к ц и й  с в я з е й ,  П М М,  28, 5  (1964).  2.  Н .  Г .  Ч Е Т А Е В,  О п р и н ц и п е  Г а у с с а ,  И з в.  ф и з ­м а т.  о б щ.  п ри  К а з а н с к ом  у н и в е р с и т е т е,  с е р.  3 , 6 ,  1932­1933  г.  г.  3.  A .  PRZEBORSKI,  Die allgemeinsten  Gleichungen  der klassischen  Dynamik,  Math.  Zeitschrift,  В.  36,  Berlin  1933,  184­194.  4.  В.  И .  К И Р Г Е Т О В,  О в о з м о ж н ы х  п е р е м е щ е н и я х ,  м а т е р и а л ь н ы х  с и с т е м с л и н е й н ы м и  д и ф ф е р е н ц и а л ь ­ н ы м и  с в я з я м и  в т о р о г о  п о р я д к а ,  П М М,  23, 4  (1959).  5.  A .  PRZEBORSKI,  Wykłady  mechaniki  teoretycznej,  t.  II,  W . , 1935.  6.  H . Г .  Ч Е Т А Е В,  О н е к о т о р ы х  с в я з я х  с  Т р е н и е м ,  П М М, т. , 24, 1  (1960).  O  WŁASNOŚ CIACH  UKŁADÓW  ANHOLONOMICZNYCH  15  7.  В. В.  Р У М Я Н Ц Е В,  О  с и с т е м а х  с  т р е н и е м ,  П М М,  25,  6  (1961),  969­977.  В.  В .  Р У М Я Н Ц Е В,  О д в и ж е н и и  н е к о т о р ы х  с и с т е м с н е и д е а л ь н ы м и  с в я з я м и ,  В е с т н ик  М Г У,  5 (1961).  8.  К. Ф . Г А У С С,  О б о д н о м  н о в о м  о б щ е м  п р и н ц и п е  м е х а н и к и ,  С б.  В а р и а ц и о н н ые  п р и н ц и пы  м е х а­ н и к и,  М .  Ф и з м а т г и з,  1959,  170­172.  9.  Г . К.  П О Ж А Р И Ц К И Й,  Р а с п р о с т р а н е н и е  п р и н ц и п а  Г а у с с а  н а с и с т е м ы с с у х и м  т р е н и е м ,  П М М,  25,  3  (1961).  10.  Е .  А .  Б о л о т о в,  О п р и н ц и п е Г а у с с а ,  И з в.  ф и з ­м а т,  о б щ ­ва  п ри  К а з а н с к ом  у н и в е р с и т е т е,  с е р ия  2,  21,  3  (1916).  11.  Э .  М А Х,  М е х а н и к а .  И с т о р и к о ­к р и т и ч е с к и ё  о ч е р к  е ё  р а з б и т и я ,  С п б .,  1909, 306.  12.  М . Ш.  А м и н о в,  К  п р и н ц и п у  Г а у с с а ,  У ч е н ые  з а п и с ки  а в и а ц и о н н о го  и н с т и т у т а,  4 (1935).  13.  Е . Т .  У И Т Т Е К Е Р,  А н а л и т и ч е с к а я  д и н а м и к а ,  М Л,  1937, 290­291.  POLITECHNIKA  WOŁGOGRADZK А   Praca została  złoż ona  w Redakcji  dnia  20 marca  1972  r.