Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z1.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  1, 11  (1973)  PODSTAWY  TEORII  KONSTRUKCJI  P R Ę T O W Y CH  N A  O Ś R O D KU  G Ó R N I C Z Y M  J A N  K U B I K  (GLIWICE)  1.  Wstęp  Wzrastają ce  cią gle  wydobycie  wę gla  na terenie  G ó r n o ś l ą s k i e go  O k r ę gu  P r z e m y s ł o w e g o  stwarza  nieznane  w  innych  regionach  kraju  zagadnienia  teorii  konstrukcji,  k t ó r e  urastają   do  problemu  wymagają cego  szybkiego  rozwią zania.  O d m i e n n o ś ć  s f o r m u ł o w a ń  z a g a d n i e ń   i  metod  zabezpieczeń  stawia  nowe  zadania  przed  m e c h a n i k ą ,  k t ó r e  są tym bardziej  palą ce,  że  sytuacja  ulega  cią głemu  pogorszeniu,  nastę puje  bowiem  wzmo ż en ie  eksploatacji  pod  terenami  zabudowy  miejskiej  i skupiskami  wielkiego  p rzemy s łu .  W tej  sytuacji  p r a w i d ł o w e  rozeznanie  z a g a d n i e ń ,  oparcie  ich na  sensownych  założ eniach,  zgodnych  z  rzeczywistą  na­ t u r ą  tych  p r o b l e m ó w ,  musi  być właś ciwą  p o d s t a w ą  do  rozwijania  teorii  zabezpieczeń  k o n ­ strukcji  przed  wpływem  s z k ó d  górniczych.  P o  pierwsze,  wię kszość  z a g a d n i e ń  mechaniki,  zwią zanych  z  teorią  tych  konstrukcji,  wymaga  kompleksowego  podejś cia,  k t ó r e  uwzglę dni  z ł o ż o ne  zależ noś ci  z a c h o d z ą ce  mię dzy  ruchem  i  siłami  w  g ó r o t w o r z e  z  jednej  strony  oraz  siłami  wystę pują cymi  w  konstrukcji  z  drugiej.  Jednak  k o m p l e k s o w o ś ć  podejś cia,  uwzglę dniają ca  całą  z ł o ż o n o ść  problemu,  nie  wyklucza  r o z w i ą z ań  czę ś ciowych,  k t ó r e j a k o prostsze łatwiej  u z y s k a ć , a na ich podstawie  m o ż na  b u d o w a ć  rozwią zania  z a g a d n i e ń  bardziej  skomplikowanych.  Z tej  to też  przyczyny  wybrano  do  analizy  u k ł a d y  p r ę t o w e,  j a k o  prostsze  o d  powierzchniowych,  i  zagadnienie  n i e s p r z ę ż o n e,  j a k o  łatwiejsze  od s p r z ę ż o n e g o.  P o w t ó r e ,  należy  przyjąć  j a k o  obowią zują cą   z a s a d ę ,  że  czynnik  czasu  nie m o ż e  być  pomijany  przy analizie wzajemnych  w p ł y w ó w  r u c h ó w  g ó r o t w o r u  i  konstrukcji.  Prosty  eksperyment  uczy,  że  konstrukcja  poddana  d w o m  jednakowym  programom  przemieszczeń,  p r z e s u n i ę t ym  w  czasie,  nie  bę dzie  się  z a c h o w y w a ł a  identycznie,  r ó ż n i ce  bę dą  znaczne (por. [4,5]), tym  bardziej,  że procesy wymuszania przemieszczeń  nie są k r ó t k i e .  Niewystarczają ce  są zatem  rozwią zania  uzyskane w zakresie  s p r ę ż y s t y m,  trzeba  się  o d w o ł a ć   do  teorii  ujmują cych  wpływ  czasu  w  zwią zkach  konstytutywnych.  Najprostszymi  t a k i m i  teoriami  są:  liniowa  l e pkosprę ż yst ość  i  teoria  starzenia  s i ę ł ) .  Obie  też  leżą  u  podstaw  ')  Analiza  konstrukcji  w zakresie  teorii  starzenia  napotyka  jednak  pewne  trudnoś ci  zwią zane  z  roz­ wią zywaniem  samych  równań  zagadnienia  (por.  [5]  rozdz. 4.2).  Zaproponowana  w tej  pracy metoda  dą ży  do  rozsprzę ż enia  układu  równań  całkowych  odpowiadają cych  materiałom  starzeją cym  się.  3»  J .  KUBIK  analizowanych  w  pracy, z a g a d n i e ń .  Trzeba  tutaj  zaznaczyć,  że  wprowadzenie  lepkosprę ż y­ stoś ci  do  obliczeń  nie  jest  krokiem  czynionym  w  s t r o n ę  teorii  z  niekorzyś cią  na  rzecz  obliczeń  inż ynierskich,  k t ó r e  powinny  być  z  natury  proste.  K o m p r o m i s  uzyskano  ł a t w o ,  na  wyją tkowych  warunkach,  zupełnie  bez  ustę pstw  ż adnej  ze  stron.  O k a z a ł o  się  mianowicie,  że  rozwią zania  lepkosprę ż ystych  u k ł a d ó w  p r ę t o w y ch  dają  się  s p r o w a d z i ć ,  po  pewnych  mo­ dyfikacjach  wpływów  zewnę trznych,  do  rozwią zań  z a g a d n i e ń  sprę ż ystych,  wykonalnych  dla  inż yniera.  K l a s a  z a g a d n i e ń  zwią zana  z  uzyskaniem  p e ł n e g o  rozeznania  stanu  n a p r ę ż eń  i  prze­ mieszczeń  konstrukcji  p o ł o ż o n y ch  na  g ó r o t w o r z e  generuje  n a s t ę p ny  problem:  ustalanie  i  k s z t a ł t o w a n i e  dopuszczalnych  r u c h ó w  g ó r o t w o r u .  Dopuszczalnych  oczywiś cie  z  punktu  widzenia  prawidłowej  eksploatacji  konstrukcji.  Ten  problem,  łą cznie  z  p r ó b ą  odpowiedzi,  jest  również  dalej  f o r m u ł o w a n y .  K a ż dy  z  tych  generalnych  p r o b l e m ó w  stawia  przed  mecha­ niką  nowe  zadania  wymagają ce  rozwią zania.  Oto  p r z y k ł a d y .  Dotychczas  nie  zosta ł  do  k o ń ca  wyjaś niony  problem  narastania  wpływu  deformacji  powierzchni  g ó r o t w o r u  na  s t r u k t u r ę  i  właś ciwoś ci  fizyczne  gruntu  pod  fundamentami.  W  tym  zakresie  nie  są  r ó w n i e ż   znane  w  pełni  zagadnienia  kontaktowe  styku  fundamentu  z  o ś r o d k i e m.  W  dalszej  kolej­ noś ci  wyłaniają  się  zagadnienia  wpływu  r u c h ó w  g ó r o t w o r u  na  samą  k o n s t r u k c j ę .  Z a u w a ż ­ my,  że  charakter  konstrukcji,  jej  obcią ż enie  i  kształt  determinują  wzajemne  relacje  mię dzy  g ó r o t w o r e m  ("Г )  a  k o n s t r u k c j ą  З й .  Wyłaniają  się  więc  tutaj  problemy  sprzę ż enia.  I.  Zagadnienie  niesprzę ż one  o k r e ś la  warunek,  aby  ruch  konstrukcji  był  bez  wpływu  na  stan  przemieszczeń  i  n a p r ę ż eń  w  g ó r o t w o r z e .  II.  Zagadnienie  sprzę ż one,  w  k t ó r y m  istnieje  wzajemny  wpływ  r u c h ó w  konstrukcji  i  g ó r o t w o r u  na  siebie.  Jak  to  najczę ś ciej  w  rzeczywistoś ci  bywa,  oba  przypadki  są  celowo  czynioną  ideali­ zacją  rzeczywistoś ci,  mają cą  jednak  duże  znaczenie  praktyczne.  W  rzeczywistoś ci  bowiem  bę dzie  istniała  zawsze  pewna  warstwa  na  styku,  w  które j  wzajemny  wpływ  obu  o ś r o d k ów  bę dzie  nie  do  pominię cia.  W  drugiej  grupie  z a g a d n i e ń  n a l e ż a ł o by  zwrócić  u w a g ę ,  że jest  celowe  o k r e ś l ać  indywi­ dualnie,  dla  każ dej  konstrukcji,  dopuszczalne  zmiany  p a r a m e t r ó w  g ó r o t w o r u  okreś lają ce  ruch  tych  konstrukcji.  R ó w n i e ż  proponuje  się  a n a l i z o w a ć  łą cznie  z  ruchem  t a k ż e  szybkoś ci  zmian  ruchu  j a k o  mają ce  r ó w n i e ż  istotny  wpływ  na  p r a c ę  konstrukcji.  Rozpoczniemy  badanie  zjawisk  w  zakresie  l e p k o s p r ę ż y s t ym  (ew.  starzenia  się)  od  przy­ padku  najprostszego,  a  więc  konstrukcji  p r ę t o w y ch  w  zakresie  teorii  niesprzę ż onej,  z a k ł a ­ dając  brak  w p ł y w u  ruchu  konstrukcji  na  g ó r o t w ó r ,  nawet  w  obszarach  b e z p o ś r e d n i e go  styku.  T r u d n o ś ci  jakie  się  przy  tych  badaniach  wyłonią  z o s t a n ą  s p o t ę g o w a ne  jeszcze  bar­ dziej  przy  ustrojach  powierzchniowych  opisanych  r ó w n a n i a m i  o  znacznie  bardziej  skompli­ kowanej  strukturze  formalnej.  W i ę k s z o ść  konstrukcji  p r z e m y s ł o w y c h  to  właś nie  ustroje  p r ę t o w e,  stąd  też  znaczna  p r z y d a t n o ś ć  przeprowadzonych  w  pracy  r o z w a ż a ń.  R o z w a ż a n ia  te  z  koniecznoś ci  opierały  się  na  niewielkiej  iloś ci  f a k t ó w  ł a t w y c h  do  zaobserwowania.  Wymagają  one  jednak  weryfi­ kacji  d o ś w i a d c z a l n e j,  które j  do  chwili  obecnej  nie  przeprowadzono.  PODSTAWY  TEORII  KONSTRUKCJI  PRĘ TOWYCH  2.  Ogólne  uwagi  dotyczą ce  zabezpieczeń   Z  punktu  widzenia  eksploatacji  konstrukcji  dopuszczalne  są  wszelkie  ruchy  g ó r o t w o r u ,  k t ó r e  nie  wywołują  dodatkowych  s t a n ó w  n a p r ę ż eń  i  przemieszczeń  w  konstrukcji.  D o  r u c h ó w  tych  należą  m.in.  ruchy  sztywne  powierzchni  g ó r o t w o r u .  Istnieje  jednak  jeszcze  inna  grupa  r u c h ó w  g ó r o t w o r u ,  wyznaczona  przez  właś ciwoś ci  mechaniczne  konstrukcji,  k t ó r a  jest  t a k ż e  bez  wpływu  na  stan  n a p r ę ż eń  konstrukcji.  Podobnie  m o ż na  d o b r a ć  r ó w ­ nież  funkcje  obcią ż eń  zapewniają ce  n i e z m i e n n o ś ć  przemieszczeń  konstrukcji  wskutek  r u c h ó w  g ó r o t w o r u .  Te  przypadki  wynikają  z  niezmienniczych  właś ciwoś ci  r ó w n a ń  opisu­ j ą c y ch  zachowanie  się  konstrukcji  na  g ó r o t w o r z e  (por.  problem  4).  K a ż dy  z  nich  ma  podstawowe  znaczenie  dla  zabezpieczeń  konstrukcji  przed  w p ł y w a m i  szkód  górniczych.  Przy  analizie ruchu  powierzchni g ó r o t w o r u  istotny okazuje  się  tylko  opis lokalny,  w  pewnym  otoczeniu  posadowienia  konstrukcji.  Bę dziemy  r ó w n i e ż  wymagali,  aby  lokalnie  ruch  g ó r o ­ tworu  spełniał  ograniczenia  o d p o w i a d a j ą ce  trzem przedstawionym poprzednio  przypadkom.  T y m  samym  z o s t a n ą  sprecyzowane  wymagania  w  stosunku  do  ruchu  g ó r o t w o r u .  Z  drugiej  strony  podobne  rezerwy  istnieją  w  samej  konstrukcji,  d o k ł a d n i e j  w  sposobie  przejmowania  przemieszczeń  i  sił  poruszają cego  się  g ó r o t w o r u .  M o ż e  o k a z a ć  się  celowe  w  tym  zakresie  wymodelowanie  takiego  elementu  konstrukcji,  pracują cego  samodzielnie  i  przejmują cego  ruchy  g ó r o t w o r u ,  w  taki  s p o s ó b ,  aby  były  one  bez  wpływu  na  całą  resztę  konstrukcji.  R ó w n i e ż  m o ż e my  zabezpieczać  się  przed  skutkami  r u c h ó w  g ó r o t w o r u  przez  ś w i a d o my  d o b ó r  sił  w  konstrukcji,  np.  przez  wstę pne  sprę ż enie,  w  taki  s p o s ó b ,  aby  został  zniwelo­ wany  wpływ  ruchu  g ó r o t w o r u .  T y m  samym  zostały  ustalone  z  grubsza  problemy,  k t ó r y m i  powinna  z a j m o w a ć  się  statyka  konstrukcji  p r ę t o w y ch  w  g ó r o t w o r z e .  W  z a k o ń c z e n iu  tej  czę ś ci  sformułujemy  jeszcze  d o k ł a d n i e  problemy,  k t ó r e  bę dą  anali­ zowane  w  pracy.  D a n y  jest  u k ł a d  p r ę t o wy  lepkosprę ż ysty  Ś S,  spełniają cy  wszelkie  założ enia  klasycznej  statyki  u k ł a d ó w  p r ę t o w y c h,  k t ó r e g o  m a t e r i a ł  opisywany  jest  przez  teorię  l e p k o s p r ę ż y­ stoś ci  lub  przez  liniowe  teorie  starzenia  się.  U k ł a d  ten  jest  posadowiony  na  powierzchni  przemieszczają cego  się  g ó r o t w o r u .  R u c h  powierzchni  g ó r o t w o r u  opisany  jest  funkcjami,  w  k t ó r y c h  j a k o  zmienne  niezależ ne  wystę pują  w s p ó ł r z ę d ne  miejsca  i  czas.  R u c h  ten  deter­ minuje  przemieszczenia  p o d p ó r  u k ł a d u  36.  Problem  analizowany  jest  w  zakresie  niesprzę­ ż o n y m.  N a l e ż y:  1.  Okreś lić  stan  n a p r ę ż eń  i  przemieszczeń  w  konstrukcji  .  2.  U s t a l i ć  klasę  dopuszczalnych  r u c h ó w  konstrukcji.  3.  Z n a l e ź ć  g r u p ę  r u c h ó w  g ó r o t w o r u ,  k t ó r e  nie  b ę dą  zmieniały  stanu  n a p r ę ż e n ia  w  k o n ­ strukcji  (lub  też  obcią ż enia,  k t ó r e  nie  zmienią  stanu  przemieszczeń  konstrukcji).  Przed  podaniem  efektywnego  rozwią zania  wymienionych  p r o b l e m ó w  należy  przeanali­ z o w a ć  zagadnienia  o g ó l n e  wystę pują ce  w  statyce  lepkosprę ż ystych  u k ł a d ó w  p r ę t o w y c h.  T y m  zagadnieniom  poś wię cony jest  n a s t ę p ny  rozdział.  Z w r ó c i m y  tutaj  jeszcze  tylko  u w a g ę   na  metody  przydatne  przy  analizie  r ó w n a ń  lepkosprę ż ystych  u k ł a d ó w  p r ę t o w y c h.  Są  to  metody  rachunku  o p e r a t o r ó w  i  rachunku  macierzowego  łą cznie  z  wykorzystaniem  ele­ m e n t ó w  analizy  funkcjonalnej  i  teorii  grup,  k t ó r e  okazują  się  w  tych  wypadkach  najbar­ dziej  sposobnym  n a r z ę d z i em  r o z w a ż a ń.  38  J .  K U B I K  3.  Problemy  statyki  układów  lepkosprę ż ystych  W  pracach  [4]  i  [5]  podano  r ó w n a n i a  metody  sił i  przemieszczeń  dla  lepkosprę ż ystych  u k ł a d ó w  p r ę t o w y ch  ( r ó w n a n i a :  (2.11)  z  [4] i  (3.6)  z  [5]),  k t ó r e  mają  nastę pują ce  o g ó l n e  postacie: 2 '  (O  (2)  t  Г ^ § i j { t ­ r ) d r  +  f  ^­dri(t­x)dx  =  u,(0,  o  T  o  Х ,дц  =  Xldlj+X2d2J  +  ...  +XNdNJ,  i  '  j  *PLMlJ{t­T)dT+  f  ^MrJ(t­T)dT=T>j(0,  Xi =  (Xu,X2i,X3l),  i,j  =  1,2,...,N,  r=\,2,...,M,  Х (  = Х;(*,­,0,  dij =  eij(xj,t).  W  u k ł a d a c h  r ó w n a ń  (1) i (2) oznaczono  przez  X,(?),  ) ,  Y ( 0 ­ > Y ( / 7 ) .  3)  Równania  (3) w teorii  starzenia  mają  postać  nastę pują cą   (3')  A •  Y + B  •  P =  C ,  z  której po transformacji Laplace'a ( А ( /,  т)  a Q > ) e ~ t , ( p \  B(f,  т)  Ь (р )е ~Щ р\  A , Y , P ,  C ^ ­ A ,  Y . P i C ,  uzyskujemy a(j>)q(p)Y(j(p))+l(p)q(p)¥(q(p))  =  C(p),  (Y(0) = P(0) = 0),  natomiast  po re­ transformacie  otrzymujemy  prostszą  postać  układu  równań  podlegają cych  starzeniu  się   (80  A r j Y + B r j P  =  &­4Ę (j>)­l]*C.  40  J .  KUBIK  Wtedy  z (8) otrzymujemy  (10)  A Y  =  ­ C ­ B P .  P  P o  p r z e m n o ż e n iu  z  lewej  przez  macierz  o d w r o t n ą  [ A ] ­ 1  i  retransformacji  mamy:  (11)  Y(0  =  A ­ ł * ( C ­ K ­ # ­ B * F ) .  Nieznana  macierz  A ­ 1  razem  z  macierzą  lepkosprę ż ystoś ci  A  muszą  spełniać  relację:  (12)  [A(p)]~1A(p)  =  I  (I —  macierz jednostkowa),  z  k t ó r e j  po  przekształceniach  uzyskujemy  uż yteczne  kryterium  sprawdzenia  p o p r a w n o ś ci  o b l i c z e ń :  А ­1 * А ­ Х ­ Я=  I,  I X (13)  ( /  А ­ Ч ' ­ т )/  A(r')dr'dx  =  i ) .  o  o  Problem  2. Rozwią zania  identyczne w układach  sprę ż ystych  i lepko  sprę ż ystych  Z  wszelkich  moż liwych  macierzy  wpływów  z e w n ę t r z n y ch  (P, C ) m o ż na  wydzielić  t a k ą   klasę  wpływów,  k t ó r a  zapewni  identyczność  s t a n ó w  n a p r ę ż eń  (przemieszczeń)  w  u k ł a d a c h  sprę ż ystym  S8' i  l e p k o s p r ę ż y s t ym  28 znajdują cych  się w  tych  samych  konfiguracjach.  Odpowiednie  r ó w n a n i a  w  zagadnieniach  sprę ż ystych  (s)  i  lepkosprę ż ystych  (l—s)  mają   p o s t a ć :  (14)  A Y + B P  =  С  . . . ( . с ) . . ..  (15)  A ( ( _ s ) ^ ­ Y  + B ( ( _ s ) ^ ­ P  =  C ( ( _ S ) ­ X ­ t f  ...  (l­s)....  Wtedy z p o r ó w n a n i a  r ó w n a ń  (14)  i  (15)  wynika  n a s t ę p u j ą c e:  Twierdzenie  1.  Jeż eli  elementy  macierzy  P ( i _ S )  i  C ( i _ 5 )  są  funkcjami  cią głymi  klasy  Qo. o o )  oraz  P ( , _ s )  =  P ( s ) ,  C ( , _ s )  =  C(s)yrR  + C(s)(0)R,  to  stany  n a p r ę ż eń  (przemie­ szczeń)  w  u k ł a d a c h  sprę ż ystym  i  lepkosprę ż ystym  o  tej  samej  konfiguracji  są  takie  same.  Wprowadzimy  teraz  n o r m ę  róż nicy  rozwią zań   (16)  |И ||  =  | | Y ( , _ S ) ­ Y ( S ) | | ,  k t ó r a  dla  A ( , _ s )  =  AR(t) ma p o s t a ć :  (17)  l | Y ( ; _ s ) ­ Y ( s ) | |  =  П А ­ ^ Л ­ ' ^ ^ ^ ^ ­ В ^ Р ^^  +  В Р ^ ­ С ^ } ! !.  Twierdzenie  2. R o z w i ą z a n ia  w  u k ł a d a c h  sprę ż ystych  i  lepkosprę ż ystych  są  identyczne,  jeż eli  zostanie  s p e ł n i o n a  r ó w n o ś ć   (18)  C ( s ) ­ ) f i ? ( 0 ­ B P ( s ) ­ ) f R(t)  =  C ( I _ S ) ­ B ^ P ( Z _ S ) .  PODSTAWY  TEORII  KONSTRUKCJI PRĘ TOWYCH  41  D o w ó d  wynika  z  analizy  normy  | | Д ||  róż nicy  rozwią zań   Л  =  Y ( , _ s ) ­ Y ( s ) ,  ( 1 9 )  ( | | Д ||  =  0 ) о ( Д  =  0),  czyli  / i ­ 1 ( 0 ­ 7 f ( C ( I _ s ) ­ B ­ X ­ P ( , _ , ) ) ­ B P w ­ C ( , )  =  0 ,  R­ty^tf­^RiP)­ 1],  a  stąd  j u ż  wynika  natychmiast  słuszność  równoś ci (18).  Problem  3. Sprowadzenie  zagadnień  lepkosprę ż ystych  do  sprę ż ystych  P o k a ż e my  teraz,  jak m o ż na  o m i n ą ć  rozwią zywanie  r ó w n a n i a  macierzowego  zagadnie­ nia  lepkosprę ż ystego  (8)  zastę pując  go  r ó w n a n i e m  (14),  j a k  w  zagadnieniu  sprę ż ystym.  Takie  postawienie  problematyki  ma zasadnicze  znaczenie  dla inż yniera,  gdyż  zezwala na  stosowanie  w  praktyce  projektowej  rozwią zań  uwzglę dniają cych  pełzanie  o ś r o d k a,  bez  u k ł a d a n i a  i rozwią zywania  r ó w n a ń  w zakresie  lepkosprę ż ystym,  k t ó r e  są trudniejsze  w reali­ zacji  tak pod wzglę dem  iloś ciowym,  j a k  i j a k o ś c i o w ym  z  uwagi  na nowy  aparat  formalny  nieznany  na ogół  konstruktorowi.  R e a s u m u j ą c,  podana  zostanie  metoda,  k t ó r a  «w  s p o s ó b  sprę ż ysty»  znajdzie  siły i przemieszczenia w układzie  lepkosprę ż ystym.  Twierdzenie 3.  Jeż eli  u k ł a d y  28 i 88' znajdują  się w tej  samej  konfiguracji  oraz  zachodzi  nastę pują cy  zwią zek  mię dzy  macierzami  C ^ _ s j ,  C(s)»  P ^ _ s j ,  P ( s ) »  (20)  * ( 0 _ 1 * ( C ( I : S ) ­ X ­ # ­ B ­ X ­ P ( ( _ s ) )  =  C ( S ) ­ B P ( S ) ,  to  rozwią zania  Y ( ; _ s ) ,  Y ( s ) w u k ł a d a c h  3$ i 38' są identyczne.  A n a l i z a  równoś ci  (20) zezwala na z a s t ę p o w a n ie  w p ł y w ó w  lepkosprę ż ystych  sprę ż ystymi,  np.  w e d ł u g  relacji  (21)  C w  =  R(ty l*C0_s)*H(t),  P ( ł ) =  B ­ ^ O ­ ^ B ­ J f P p . , , .  Problem 4.  Grupowe  właś ciwoś ci  równań  statyki  lepkosprę ż ystych  układów  prę towych  A .  R o z p a t r y w a ć  bę dziemy  przekształcenia  ф  macierzy  wpływów  z e w n ę t r z n y ch  ( С , P )  (22)  [ С ­ Х ­ Я ­ В ­ Х ­ Р]  [ Ć ­Х ­ Я ­ В ­ Х ­ Р ].  P r z e k s z t a ł c e n i a  postaci  (22) wyznaczają  cią głą  g r u p ę  У  (ф e    (95 e  <&)  przekształcenia  ip  były  t o ż s a m o ś c i o w y m i.  J e d n ą  z  takich  podgrup  grupy  & skonstruujemy  wykorzystując  właś ciwoś ci  macierzy  ortogonalnych.  42  J .  KUBIK  Twierdzenie  4.  Jeż eli  przekształcenie  q>  macierzy  ( С ,  P )  jest  postaci  С ­ Х ­ Я ­ В ­ КР  ­>  Ć ­£ t f ­ B ­ ) f P  С ' ­ Х ­ Я ­ В ­ Х ­ Р'  =  D *  ( С ­ Х ­ Я ­ В ­ Х ­ Р ),  [D­)f В ­ Х ­ Р ­ В ­ Х ­Р  =  С " ­* Я  =  В ­Х ­Р "]*  [Ć  =  D ^ f C ­ C " ,  B ^ f P  =  В ­Х ­Р ]*,  gdzie  D  jest  d o w o l n ą  macierzą  o r t o g o n a l n ą ,  to  przekształcenia  у  generowane  przez  cp są   przekształceniam i  t o ż s a m o ś c i o w y m i.  Słuszność  tego  twierdzenia  ł a t w o  w y k a z a ć  po  wyko­ naniu  transformacji  Laplace'a  na  zwią zku  (24)  i  analizie  otrzymanych  macierzy.  Ogólniej  warunek,  że  %p jest  przekształceniem  t o ż s a m o ś c i o w ym  zapiszemy  nastę pują co  ( 2 5 )  Ц С­ Х ­ Я ­ В­ Х ­ Р ­ С­ Х ­ Я + В­ Х ­ Р 11  =  o,  [ B ­ ) f P ­ B ­ X ­ P  =  С ­ Х ­ Я  =  B*P"H(t­a),  B­X­P =  B­X­P]*4>,  a  >  0.  Jeż eli  natomiast  E  i  F  są  dowolnymi  macierzami  (26)  С ^ Я ­ В ^ ­Р  =  Е ­ Х ­ ( С ­ Х ­ Я ­ В * Р) +  Р ,  to  | | A ­ ł ­ ) f E ­ ) f A ­ U / | |  ­ 0  i  | | A ­ ] ­ ) f F | |  ­ » 0 .  B .  Zbadajmy  teraz  przekształcenia  postaci  (27)  u:  t  ^  at,  v:Y  ­>"Y,  na  r ó w n o ś ci  (11),  k t ó r e  tak  dobierzemy,  aby  Y  było  także  rozwią zaniem  r ó w n a n i a  (8).  M a m y  ( 2 8 )  Y(0  =  А ­ ^ ­ ^ С С ­ ^ Я ­ В ^ Р ),  Y ( / )  =  ^ ­ ^ ­ ^ ^ ( а О ­ Х ­ Я ­ В ^ Р ^ О ).  Jeż eli  teraz  C(at)  =  q(a)C(t)  i  P ( a / )  =  q(~a)P(t),  to  (29)  Y(0  =    a2gr]>  k t ó r e  p o z w o l ą  wyznaczyć  dopuszczalne  przemieszczenia  p o d p ó r  konstrukcji,  o k r e ś l o ne  darametrem  a.  P o d k r e ś l i my  tutaj  fakt,  że  r o z w a ż ań  podobnych  do  przeprowadzonych  wyż ej  (p.  b)  nie  m o ż na  p r z e p r o w a d z i ć  w  zakresie  sprę ż ystym.  W  tym  istotnym  zagadnieniu  podejś cie  sprę ż yste  jest  zupełnie  niemoż liwe.  Ad.3.  Wyznaczenie  r u c h ó w  g ó r o t w o r u ,  k t ó r e  nie  zmieniają  stanu  n a p r ę ż e n ia  w  konstrukcji  38.  W  tym  przypadku  wykorzystamy  w y n i k i  zawarte  w  problemie  4,  poprzedniej  czę ś ci.  Jeż eli  znowu  r ó w n a n i a  (3)  b ę dą  interpretowane  j a k o  r ó w n a n i a  metody  sił,  to  twierdzenie  4  daje  nam  o d p o w i e d ź  na  pytanie: j a k a  musi  b y ć  wzajemna  współzależ ność  r u c h ó w  g ó r o ­ tworu  i  sił  w  konstrukcji,  aby  stan  n a p r ę ż e n ia  p o z o s t a ł  bez  zmian?  P o d o b n ą  o d p o w i e d ź   uzyskamy  wykorzystując  r ó w n o ś ć  (25).  Ś w i a d o me  ingerowanie  w  stan  n a p r ę ż eń  konstrukcji  m o ż e my  uzyskać  np.  przez  jej  w s t ę p ne  sprę ż enie.  Przy  tym  stan  n a p r ę ż eń  powinien  b y ć  tak  zrealizowany,  aby  spełnić   jeden  z  w a r u n k ó w  (24),  (25).  R e a s u m u j ą c  m o ż na  stwierdzić,  że  k a ż dy  ruch  i i , k t ó r y  jest  s u m ą  ruchu  sztywnego  u  i  ruchu  u'  spełniają cego  warunki  (24),  (25),  nie  wpłynie  na  z m i a n ę  stanu  n a p r ę ż e n ia  w  k o n ­ strukcji.  Stąd  też  należy  w y m a g a ć ,  aby  p r a w i d ł o w e  zabezpieczenie  konstrukcji  przed  w p ł y w a m i  r u c h ó w  g ó r o t w o r u  spełniało  warunek  (35)  ||и,­й|1  =  m i n (u =  u + u ' ,  u ~ C ) ,  w  k t ó r y m  u r  jest  macierzą  rzeczywistych  r u c h ó w .  PODSTAWY  TEORII  KONSTRUKCJI  PRĘ TOWYCH  45  Przedstawione  propozycje  s f o r m u ł o w a n i a  i  r o z w i ą z a n ia  tego  w a ż n e go  zagadnienia  teorii  konstrukcji  nie  m o g ą  p r e t e n d o w a ć  do  zupełnoś ci.  P o d j ę ta  w  pracy  problematyka  jest  zupełnie  nowa.  W  literaturze  obejmują cej  szeroko  poję ta  zagadnienie  brak  podejś cia  podobnego  do  przedstawionego  tutaj,  tym  bardziej,  że j u ż podstawy,  czyli  statyka  u k ł a d ó w  lepkosprę ż ystych,  są oryginalne  [6].  Konfrontacja  z  danymi  d o ś w i a d c z a l n y mi  m o ż e  wpro­ wadzić  pewne  zmiany,  lecz  wydaje  się, iż  zasadniczej  struktury  poruszanych  w  pracy  pro­ b l e m ó w  nie  zmieni.  Literatura cytowana w tekś cie  1.  D . R.  BLAND,  The Theory  of Linear  Viscoelasticity,  Pergamon Press, Oxford 1960.  2.  R.  BELLMAN,  K l .  COOKE,  Differential—Difference  Equations,  Academic  Press,  New  York  1963.  3.  I.  KISIEL,  Rozwój  reologii w Polsce  w pierwszym  dziesię cioleciu  istnienia  PTMTS,  Mech. Teor. i Stos.,  6,  3  (1968),  269­298.  4.  J.  KUBIK,  Metoda  sił dla układów  lepkosprę ż ystych,  Rozpr.  Inż ., 18, 4  (1970).  5.  J.  KUBIK,  Metoda  przemieszczeń  dla układów  lepkosprę ż ystych,  Rozpr.  Inż ., 19,  1  (1971).  6.  J.  KUBIK,  Sprzę ż one  zagadnienie  w  teorii  konstrukcji  współdziałają cej  z  górotworem,  Arch.  Górn.  (w redakcji)  7.  J.  KUBIK,  Odpowiednioś ó  mię dzy  rozwią zaniami  sprę ż ystymi  a]  lepkosprę ż ystymi  w Statyce układów  prę towych,  A.I.L.  (w  redakcji).  8.  J.  KWIATEK,  Obliczanie  sil  rozcią gają cych  fundamenty  budowli  na podłoż u  rozpełzają cym,  Inż. i Bud.,  24,  6  (1967),  214­217.  9.  J.  KWIATEK,  Wpływ  rozpełzania  podłoż a  pod budowlami  na jego  krzywiznę ,  Inż. i  Bud,  24.J9  (1967),  360­363.  10.  J.  KWIATEK,  Wpływ  rozpełzania  podłoż a  na siły  rozcią gają ce  w fundamentach  budowli,  Rozpr.  dokt.  G I G ,  Katowice  1965.  11.  W.  NOWACKI,  Teoria  pełzania,  Arkady,  Warszawa  1963.  12.  W.  NOWACKI,  Mechanika  budowli,  PWN, Warszawa 1960.  13.  J.  MIKUSIŃ SKI,  Rachunek  operatorów,  PWN, Warszawa 1957.  14.  T.  TRAJDOS­WRÓBEL,  Matematyka  dla  inż ynierów,  WNT, Warszawa 1965.  15.  L .  COLLATZ, Funktionalanalysis  und Numerische Mathematik, Springer­Verlag, Berlin  1964.  16.  М . H .  Г О Л Ь Д Ш Т Е Й Н,  М е х а н и ч е с к и е  с в о й с т в а  г р у н т о в ,  М о с к ва 1971.  17.  А . Г .  К У Р О Ш,  Т е о р и я  г р у п п ,  М о с к ва  1967.  18.  А . А .  И л ь ю ш и н,  Б. Е .  П о ъ е д р я,  О с н о в ы  м а т е м а т и ч е с к о й  т е о р и и  т е р м о в я з к о ­у п р у г о с т и ,  М о­ с к ва 1971.  Р е з ю ме   О С Н О ВЫ  Т Е О Р ИИ  С Т Е Р Ж Н Е В ЫХ  С О О Р У Ж Е Н ИЙ  У С Т А Н О В Л Е Н Н ЫХ   Н А  Г О Р Н ЫХ  М А С С И В АХ   В  р а б о те  ф о р м у л и р у ю т ся  о с н о вы  с т а т и ки  в я з к о у п р у г их  с т е р ж н е в ых  с и с т е м,  у с т а н о в л е н н ых   на  д е ф о р м и р у ю щ е м ся  г о р н ом  м а с с и в е.  О п р е д е л я ю т ся  о с н о в н ые  т и пы  з а д ач и м е т о ды  их р е ш е н и я.  О с о б ое  в н и м а н ие  у д е л е но  а н а л и зу  о б щ их  с в о й с тв  м а т р и ч н ых  у р а в н е н и й,  о п и с ы в а ю щ их  э ти  з а­ д а чи  [у р а в н е н ие  (3)], а  т а к же  в о п р о с ам  в з а и м о с в я зи  д в и ж е н ий  г о р н о го  м а с с и ва  и  с о о р у ж е н и я.  Р а с с м а т р и в а е т ся  в о п р ос  о  н а х о ж д е н ии  д ля д а н н ой  к о н с т р у к ц ии  д о п у с т и м ых  д в и ж е н ий  г о р н о го   м а с с и ва  (з а д а ча  4 ) .  З а д а ча  р е ш а е т ся  п у т ём  и с п о л ь з о в а н ия  г р у п пы  п р е о б р а з о в а н и й,  о т р а ж а ю щ их   в л и я н ие  с к о р о с ти  в о з р а с т а н ия  п р о ц е с с ов  д е ф о р м а ц ии  г о р н о го  м а с с и ва  на н а п р я ж е н н ое  с о с т о я н ие   к о н с т р у к ц ии  3d.  46  J .  K U B I K  S u m m a r y  FOUNDATIONS  O F T H E  T H E O R Y  O F ROD S T R U C T U R ES  BUILT  IN  MINING  AREAS  In the paper are formulated the foundations  of statics of viscoelastic rod systems founded on the ground  deforming  due  to  mining exploitation.  The principal  types of  problems  and methods of their  solution  are  presented.  Particular attention  is  paid to  the  analysis  of  general  properties  of the  matrix equations of  the  problem  (Eqs. 3) and to  the  problem of coupling of orogenic  motions  with the  structure.  Other problems  considered concern the admissible motions  of the foundation for a given structure (Problem 4). The problem  is solved  by introducing a group  of transformations  which take account  of the  influence  of the increasing  deformation rates of the rock foundation  upon the state of stress within the structure.  POLITECHNIKA  Ś LĄ SKA  Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia 29  marca  1972 r.