Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z1.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  1,  11 (1973)  O  LINIOWYCH  ZAGADNIENIACH  TEORII  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  CIAŁ  D Y S K R E T Y Z O W A N Y C H  WIESŁAW  K U F E L  ( W A R S Z A W A )  Podstawy  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych  s f o r m u ł o w a n o  w  [1].  W  niniejszej  pracy  definiuje  się  jednobiegunowe  ciała  sprę ż yste  jako  szczególny  przypadek  ciał  dyskretyzo­ wanych.  Przyjmując  za  punkt  wyjś cia  podstawowy  u k ł a d  r ó w n a ń  opisują cy  ruch  ciał  dyskretyzowanych,  wyprowadza  się  r ó w n a n i a  ruchu  oraz  r ó w n a n i a  konstytutywne  l i n i o ­ wej  teorii  sprę ż ystych  jednobiegunowych  ciał  dyskretyzowanych.  N a  gruncie  tej  teorii  formułuje  się  prawa  zachowania,  zasadę  prac  wirtualnych,  twierdzenie  o  j e d n o z n a c z n o ś ci  rozwią zań  oraz  twierdzenie  o  wzajemnoś ci  Bettiego.  W  pracy  podano  t a k ż e  prosty  przy­ kład  jednobiegunowego  ciała  dyskretyzowanego.  1.  Sprę ż yste  jednobiegunowe  ciała  dyskretyzowane.  Przypadek  ogólny  Ciało  dyskretyzowane  (D,  S)  zdefiniowane  w  [1]  nazwiemy  jednobiegunowym  ciałem  dyskretyzowanym  wtedy  i tylko  wtedy,  gdy  z b i ó r  D  bę dzie  przeliczalnym  zbiorem  p u n k t ó w  materialnych  de  D.  R u c h  takiego  punktu  opisuje  wektor  wodzą cy,  k t ó r y  w  ortogonalnym  układzie  k a r t e z j a ń s k im  przestrzeni  fizycznej  ma  w s p ó ł r z ę d ne  z*  =  fk(d,  т ).  T y m  samym  funkcje  q"(d,  т) o k r e ś l o ne  w punkcie  1 pracy  [1]  bę dą  miały  p o s t a ć  q"(d,  т )=  dlyfi(d,  r),  a  =  =  1,  2,  3,  a  wymiar  przestrzeni  wektorowej  V  bę dzie  n  =  3.  W p r o w a d z a j ą c  w  k a ż d ym  elemencie  dyskretnym  E  e  S  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  [ l ] / £  : E  ­*  (d,fAd),  Л  =  I,  II,  m, u  m o ż e my  opisać  ruch  takiego  elementu  funkcjami  y^(d,  x)  AAf k(d,  r).  W  dalszym  cią gu  założ ymy,  że jednobiegunowe  ciało  dyskretyzowane  jest  dyskretyzowanym  ciałem  sprę ż y­ stym.  Oznacza  to,  zgodnie  z  definicją  p o d a n ą  w  [1],  p. 4,  że  dla  k a ż d e go  elementu  dyskret­ nego  E  e  8  istnieje  funkcja  energii  sprę ż ystej  s[d,  y>k(d,  r),  AAip k(d,  r)].  W y k o r z y s t u j ą c  niezmienniczość  funkcji  e  wzglę dem  przesunięć  w  czasoprzestrzeni  m o ż e my  p o m i n ą ć   zależ ność  s(d,  ipk,  AAy> k)  od  y)k  przyjmując  e  =  e(d,  AAf k).  W  zwią zku  z  tym  r ó w n a n i a  konstytutywne  (wzór  (4.8)  w  pracy [1])  sprowadza  się  do  postaci  ( 1 Л >  ^ = я ^ '  cAAyr natomiast  z  r ó w n a ń  ruchu  (4.5)  otrzymamy  (1­2)  Д л Т й +fk  =  г п щ ,  1)  Wskaź niki  Л ,Ф ,...  przebiegają  ciąg  / , / / , . . . ,  m,  a  wskaź niki  A r , / , . . .  ciąg  1,2,3.  Obowią zuje  konwencja sumacyjna.  64  W .  K U F E L  gdzie  m  =  m{d)  jest  masą  punktu,  afk=fk  (d,  т)  są  siłami  zewnę trznymi  działają cymi  na  ten  punkt.  P o s t a ć  r ó w n a ń  ruchu  (1.2)  oraz  r ó w n a ń  konstytutywnych  (1.1)  wykazuje  dużą   a n a l o g i ę  do  odpowiednich  r ó w n a ń  ruchu  o ś r o d ka  sprę ż ystego  w  klasycznej  teorii  sprę ż y­ stoś ci.  W  szczególnym  przypadku,  gdy  spełnione  są  warunki  podane  na  k o ń cu  p.2  [1],  jed­ nobiegunowe  ciało  dyskretyzowane  posiada  wnę trze  D0  с  D  oraz  brzeg  dD  =  DjD0.  R ó w n a n i a  ruchu  (1.2)  dotyczą  wtedy  k a ż d e go  d  e  D0.  R ó w n a n i a  te  dla  dedD  trzeba  zastą pić  odpowiednimi  warunkami  brzegowymi  (5.6)  [1],  k t ó r e  przyjmą  p o s t a ć   (1.3)  S  T ^ d '  S  T?(f­Ad>  *)+M*.  *)  =  Г ),  AeRd  Ae  La  gdzie  Rd  i  Ld  są  odpowiednimi  p o d c i ą g a mi  cią gu  I,  II,  m.  Z a u w a ż m y,  że  dla  wielkoś ci  TA  (d,  r),  Tk\f_Ad,  T) zachodzi  w z ó r  (1.4)  ~ S [ S  W >  T^>­  S  T?(f­Ad,  T ) ] =  STW­*d>  T)^'  dD  AeRd  AeLd  ADo  gdzie  deAD0o  [(d  e  D0)  л  ( V  f_Ad  ~  e  D 0 ) ] v  W  ~  e  D0)A  ( V  f_Ad  e  D0)]  oraz  (1.5)  NA  =  NA(d) a=  l d l a  {d~sD0)h{\Jf_AdeD0),  A  ­  1 dla  (d  e  D0)A  {\Jf_Ad  ~  e  D0),  0  w  p o z o s t a ł y c h  przypadkach.  Warunek  (1.3)  po  wykorzystaniu  (1.4)  m o ż na  z a p i s a ć  w  postaci  (1.6)  S ^ ­ m ^ ) = S T ^ >  dD  AD0  gdzie  7T>  =  TIT  id,  T ) =  T?(f_Ad,  T )NA.  2.  Równania  liniowe  N i e c h  dla  pewnej  chwili  т 0  istnieje  stan  naturalny  dyskretyzowanego  jednobieguno­ wego  ciała  sprę ż ystego,  tj.  stan,  w  k t ó r y m  e  =  0  i  Tk  =  0.  Oznaczając  lk  =  y>k(d,  r0),  a  s k ł a d o w e  wektora  przemieszczenia  uk  =  y>k—lk  oraz  wykorzystując  niezmienniczość   funkcji  energii  sprę ż ystej  s  wzglę dem  o b r o t ó w  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y ch  m o ż e my  przyjąć   (2.1)  e  =  ^АЛ Ф Г ЛуА Фуг а,  gdzie  (2.2)  У Л Ф  =  А (л *1ф )к   oraz  1ф к  =  Аф1к.  Uwzglę dniając  (2.1)  w y k a ż e m y,  że  w z ó r  (2.2)  dotyczy  p r z y p a d k ó w ,  w  k t ó r y c h  ruchy  sztywne  dyskretnego  elementu  E  są jedynymi  ruchami  nie  wywołują cymi  sił  w e w n ę t r z n y c h,  tym  samym  7 ?  =  0  wtedy,  gdy  уЛ Ф  =  0.  Istotnie,  niech  wektor  \ A , Л  =  O  LINIOWYCH  ZAGADNIENIACH  TEORII  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  65  =  / ,  / / ,  m,  łą czy  w  przestrzeni  fizycznej  w  chwili  r0  czą stki  d,fAd,  a  wektory  u(rf,  т)  i  u(fAd,  т) bę dą  przemieszczeniami tych  czą stek w chwili  т. Przemieszczenia u(d,  r),  u(fAd,  r)  opisują  ruch  sztywny  d  i fAdwtedy  i  tylko  wtedy, gdy  | 1 Л |  =  | 1 л + / 1 л и |.  Odrzucając  człony  nieliniowe  wzglę dem  u  ostatnia  r ó w n o ś ć  zachodzi  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  AAu­iA  =  0.  Rozpatrzmy  n a s t ę p n ie  przypadek  trzech  czą stek  d,fAd,f0d,  Л  #  Ф  p o ł ą c z o n y ch  w  c h w i l i  T 0  wektorami  1 Л ,1 Ф .  Wektory  \ A  i  1ф  tworzą  kąt  opisany  iloczynem  skalarnym  1А­1Ф.  K ą t  ten  nie  ulegnie  zmianie  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  1 Л ­1 Ф  =  (1А+Али )(1ф+Афи ),  tj.  gdy  Л (ли'<Р)  — 0,  gdzie  t a k ż e  p o m i n i ę to  człony  nieliniowe  wzglę dem  u.  Wobec  (2.1)  widzimy  wię c,  że  Tk  =  0  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  уА Ф  =  0,  tj.  gdy  ciało  dyskretyzowane  dozna  ruchu  sztywnego.  W  przypadku  funkcji  energii  sprę ż ystej  (2.1)  r ó w n a n i a  konstytutywne  (1.2)  przyjmą  p o s t a ć  Tk  — р Л Ф1Ф к,  gdzie  (2.3)  рЛ Ф  =  АЛ Ф Г йуГ й.  W i e l k o ś ć рл ф  nazywamy  s k ł a d o w y m i  napię cia  (4.11),  [1].  Podstawiając  zwią zki  geometrycz­ ne  (2.2)  do  (2.3)  oraz  wykorzystując  r ó w n a n i a  ruchu  (1.2)  otrzymamy  (2.4)  Ал(а Л ФАфи 1)+/к  =  mu,  gdzie  аЛ Ф  =  АЛ Г Ф Л1г к1Л 1.  R ó w n a n i a  (2.4)  stanowią  przemieszczeniową  p o s t a ć  r ó w ­ n a ń  ruchu  liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  jednobiegunowych  ciał  dyskretyzowanych.  W  szcze­ g ó l n y m  przypadku,  gdy  AAa^  x  0  z  r ó w n a ń  (2.4)  otrzymamy  a£?AAA9u l+fk  =  muk.  R o z p a t r u j ą c  ciała  dyskretyzowane,  dla  k t ó r y c h  o k r e ś l o ny  jest  brzeg  3D  podstawowy  u k ł a d  r ó w n a ń  (2.2)­(2.4)  opisują cy  liniowe  problemy  teorii  sprę ż ystych  ciał  jednobieguno­ wych  uzupełni ć  trzeba  warunkami  brzegowymi  (1.6)  w  postaci  (2.5)  2 V * ­ » ' " * )  =  I > r ) ­ ÓD  J D 0  N a  z a k o ń c z e n ie  tego  punktu  rozpatrzmy  przypadek,  gdy  struktura  r ó ż n i c o wa  ciała  dyskretyzowanego  (D,  S)  jest regularna, t).fAfi,d  =  f<»fAd  dla  k a ż d e go  d  e  £ ) л , Ф п  Д р1 Л ; [ 2 ] ,  wtedy  dla  dowolnej  funkcji  95: D  ­*  R  zachodzi  zwią zek  А[ЛАф^(р  =  0.  W  przypadku,  gdy  1А Ф к  x  0,  gdzie  1А ф к  =  АА1ф к  ł a t w o  sprawdzić,  że  prawdziwa  jest  r ó w n o ś ć   (2.6)  Л1АА1ф У п й Л  =  0 .  Zwią zki  (2.6)  są  r ó w n a n i a m i  nierozdzielnoś ci  w  liniowej  teorii  jednobiegunowych  ciał  dyskretyzowanych.  3.  Przykład  W  celu  zilustrowania  opisanych  w  punkcie  2  pojęć  liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  jedno­ biegunowych  ciał  dyskretyzowanych  rozpatrzmy  n i e j e d n o r o d n ą  t a r c z ę  złoż oną  z  czworo­ k ą t n y ch  e l e m e n t ó w  sprę ż ystych  ABCD  (rys.  1).  5  Mechanika  Teoretyczna  66  W.  KUFEL  Dyskretyzację  tarczy  przeprowadzimy  p r z y p o r z ą d k o w u j ąc  jednorodnemu  elementowi  sprę ż ystemu  ABCD  punkt  materialny  d, natomiast  elementom  są siednim  do ABCD  punkty  fAd,  gdzie Л  =  I, / / , / / / (rys. 2).  Przyjmiemy  wię c,  że w  strukturze  róż nicowej  tego  zbioru  m  = 3.  Z a ł ó ż my  dalej, że  jedynymi  zmiennymi  dynamicznymi  opisują cymi  ruch  p u n k t ó w  materialnych  d  i fAd  są   wektory  przemieszczenia  uK(d,  r), uK(fAd,  г ), К  = 1,2,  tym  samym  przyjmiemy, że ruch  elementu  ABCD  jest  o k r e ś l o ny  całkowicie  przez  przemieszczenia  jego  w i e r z c h o ł k ó w .  M a s a  punktu  d r ó w n a  bę dzie  masie  elementu  ABCD.  Rys. 1  W  celu  okreś lenia  funkcji  energii  sprę ż ystej  e zastosujemy  podejś cie  podobne  j a k  w me­ todzie  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h.  Dzieląc  c z w o r o k ą t ny  element  sprę ż ysty  ABCD  na  dwa  t r ó j k ą t ne  elementy  s k o ń c z o ne  ABC i ACD wyliczymy  najpierw  energię  dla elementu  ABC.  Przyjmiemy,  że wektor  przemieszczenia  w dowolnej  czą stki  elementu  s k o ń c z o n e go  o  współ­ r z ę d n y ch  Lagrange'a  xl,  x2,  aproksymuje  się funkcją  liniową   (3.1)  wK(d,  xl,  x \  r)  =  ~д  {(a+bxl+cx2)uK(d,  т) +  +  (aI+bIx l  + Ci X2)uK(f1d,  r) + (anl  + b m x 1  + cIIIx 2)uK(find,  r)},  <2  III'  gdzie  a  b  l 2  — !2  I1  —l1 hu  'i'  =  l\ll+l\ii)­l\l2  +  l2iii\  l2  'ni '  с   ai  b,  Ci  ani  bin  cni  oraz  gdzie  2zl  = det  ~lui'  / 4 / 2 + / / ) + / 2 ( / ł + / i ) ,  П   i  / l  i 2  i  l 2+l f  1  l 2 +  l 2m.  O  LINIOWYCH  ZAGADNIENIACH  TEORII  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  67  Wektor  w(d, xK,  r)  dla  X х   =  /*,  x K  =  / * + /*,  xK  =  1к+1ш ,  przyjmuje  odpowiednio  w a r t o ś ci  uK(d,  т ), uK(fjd,  r),  uK(fII2d,  т ).  S k ł a d o w e  odkształcenia  yKL  = w(K,L)  w  do­ wolnej  czą stce  elementu  s k o ń c z o n e go  ABC o współrzę dnych  Lagrange'a  x1,  x2  mają  p o s t a ć   У н  =­^(Aiu4fII­AIIIu4f),  (3.2)  y21  =  —  ( / J m " 2 / ; ­ ^ / " 2 / / 1 / / ) ,  У 12  =  ­ ^ ­ ^ / / / " ' / i ­ ^ m " 2 / ^ ^ / " 2 / / 2 . / ­ ^ / " 1 / / 1 / / ) .  Energia  elementu  s k o ń c z o n e go  ABC,  po  s c a ł k o w a n i u  po  obszarze  t r ó j k ą ta  wynosi  (3.3)  e =  у ^ [ ( Я + 2 у м ) у1 1 у 1 1 + 2 Я у1 1 у 2 2 + 4 / и у1 2 у 1 2 ­ г ­ ( Я + 2 ^ ) у2 2 У 2 2 ],  gdzie  /1 jest  polem  Л .В С.  Podstawiając  do  (3.3) zwią zki  (3.2) otrzymuje  się  wystę pują cą   w  (2.4) macierz  ал?',  gdzie  Л ,  Ф =  I, III;  K, L  =  1, 2,  o  s k ł a d o w y c h :  _  М ' ш )2  (А +  2 я К /2 „ ) 2  "1  1  ~л  Г  AA  N  4A  „11  _  Mliii)2  ,  (Я +  2 / 0 ( & , ) 2  U2 2  л   л  ** 4/1  T  4 J  n i  1 —  11  /2  "12  —  'III'III  \4ZI  +  4 J / '  "2  1  —  ^12  .  (3.4)  „i m  "11  "22  _  M i * k  .  ( A + 2 / « ) / 2 / f / 2 \  \  4zl  +  4Zl  / '  \ "  4zl  +  4/1  / '  „1 ni   _  Я /2 / 7 / /  ft l jl i n  "12  — — „ ^  h  „I  III  "2 1  2 Л  T  2/d  '  2^1  tfu  ,  Я /2 / / / /  2/1  1  2 J  (Я +  2 Л ) ( / 2 ) 2  "1  i  —  i ­ ^  г   4A  '  4A  nmi n  _  M ' 2 ) 2  .  ( Я + г ^ ) ^1 ) 2  °2  2  т л  г   „ni   i n  "1  2  4/1  '  4 Л   68  W .  K U F E L  (3.4)  [Cd.]  „III  III  "2  1  „IIII  "1  1  „IIII  "2  2  „IIII  "1  2  NIIII  "2  1  =  a  ni   ni   ­  „ i m  „i   III  "2  2  >  m  2,1  2 d  „i  ш   "2  1  •  A b y  o t r z y m a ć  dla t r ó j k ą ta  ACD  o d p o w i e d n i ą  macierz  a^f,  Л ,Ф  = III, II; K,L  =  1, 2,  wystarczy w (3.4)  zmienić  wskaź niki  I na  III i III na  / / oraz А na. A *m,  gdzie  A * jest  polem  t r ó j k ą ta  ACD. W  szczególnym  przypadku,  gdy c z w o r o k ą t n y mi  elementami  sprę ż ystymi  są  kwadraty  o  boku  a, równoległym  do jednej z osi  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y m,  mamy  l\  = а ,  li  = °> lii  = °.  lh  = A< !III =  fl.  tfu  = а  o r a z  A  = A*. W  tym przypadku  wzory (3.4)  zapiszą  się w postaci:  n 1 1 " i  i  n i i ­  „mi   "2  2  —  "1  1  =  o  m m  _  „III  III  "2  2  2 ^ + 2 '  (3.5)  n1  1  ­  n1  1  — n l I U  ­  n I I U  " l  2  —  "2  1  —  " l  2  —  "2  1  „III  III  _  „III  III  " 1 1  — " 2  1  ,1  m  0,  ­  / 7 7 / / /  —  "2  2  ­  n l l l u  — "1  1  „IIIII  "1  1  „i  m  _  „i m —  „II  ni —  „IIni   " 1 2  —  "1  2  —  "2  1  —  "2  1  1  A \  A  T '  III  _  „III  II  _  "2  1  —  "2  1  ~  aKL  ,11 III  _  „III  II  "1 «1  2  "2  2  —  / л //  =  „i m   =  a 7 / / /  ­ '2  2  I  1  =  m  = o.  i i  2  '  1  " 2"  *2  1 1 1 1 i i i i ­ , i i i i i i i i D  с j j i i i i i ! Ш   ' i 1 1 1 A  в ! ! i ! ! : ! i Rys.  3  W  celu  wypisania  r ó w n a ń  ruchu  (2.4) rozpatrzmy  s k o ń c z o ną  tarczę  wielowarstwową.  Obierając  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  tak, aby jedna  z osi była  r ó w n o l e g ł a  do warstw  tarczy,  dzielimy  t a r c z ę  na  elementy  ABCD  p ę k i em  prostych  p r o s t o p a d ł y c h  do  warstw  (rys.  3)  w  ten s p o s ó b ,  by c z w o r o k ą t  ABCD  był  kwadratem  o boku  1.  O  LINIOWYCH  ZAGADNIENIACH  TEORII  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  69  Przyjmują c,  że  warstwy  są  jednorodne  mamy  А{/г  =  0  i  Al%  =  0.  Wykorzystując  wzory  (3.5)  otrzymamy  z  (2.4)  nastę pują ce  r у w n a n i a  r у w n o w a g i :  (3p  +  X)A,A,ul­pAiAi.iU1  + AIl[(3fi+ł.)Anu 1­(2fi  + Z)AIIIu 1]  +  +  А1П[­  /г Аги 1  ­(fi+^.)Airu l  +(3fi+  k)AIIIu 1]­(2fi  +  X)A,  AjU 2  +  +  2XA~,Ainu 2­  AII[(ix  + X)AIIu 2]  + AKniAIIu 2  + An((jLAUIu z)  +  Ani{[iAru 2)=0,  (3­6)  _  _  _  _  ­(fi  + X)A[AIu 1  +  fiAIAlllu l­A1I[(fi+  ^.)Anu l]+  /и АшАци 1  +  +  (3fi+X)AIAIu 2­(fi+k)AIAinu 2  + A,I  [(3 fi+  Х )Аии 2  ­  ц Аши 2]­ ­  Am[(fi  +  l)AiU 2  +  ц Апи 2­O  ix +  Х )Аши 2]  +  Аш(Л А1и 1)  + Ап(Л Аши 2)  =  0.  Zbadajmy,  kiedy  u k ł a d  r у w n a ń  (3.6)  dopuszcza  rozwią zanie  postaci  u1  =  ax+by,  ( 3 ­ 7 )  2  Podstawiając  (3.7)  do  (3.6)  otrzymamy  (b  + c)Anfi  =  0,  (3.8)  ­Ъ с Аиц  + а Аи1  =  0 .  Zwią zki  (3.8)  stanowią  u k ł a d  r у w n a ń  jednorodnych  na  Anfi  i  A u l .  U k ł a d  ten  bę dzie  miał  rozwią zania  Ап/л  ф  0,  AUX  ф  0  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  jego  wyznacznik  bę dzie  r у w n y  zeru,  czyli  (3.9)  a(b  + c)  =  0.  R у w n a n i e  (3.9)  spełnione  jest  tylko  przez  b  =  — с  i  a  =  0.  W i d a ć  stą d,  że  tylko  te  spo­ ś rуd  przemieszczeń  (3.7)  spełniają  u k ł a d  r у w n a ń  (3.6),  dla  k t у r y c h  b  =  — с  lub  a  =  0.  4.  Sformułowanie  wariacyjne  —  prawa  zachowania  O k r e ś l my  w  D0  funkcjonał  działania  nastę pują cej  postaci:  (4.1)  W(D0)  ш  J  [~mu kUk­^dx.  Do  то   N i e c h  d0  W  bę dzie  wariacją  funkcjonału  d z i a ł a n i a  s p o w o d o w a n ą  wariacją  postaci  S0ip k,  a  dr  W  wariacją  s p o w o d o w a n ą  wariacją  czasu  о т.  N a s u w a j ą c  operator  <50  na  (4.1)  otrzymamy  Ti  < W ( A , )  =  ^ { H " * < W * ] T 0 ­  J  (ukd0y>k­d0e)dx}.  Wyliczając  d0e  otrzymamy  £ д 0 е  =  ]?А л*Г АуЛ Фд0уГ А  =  2т лДлд0у , к  =  2[Ал(Т лд0у , к)­ДлТ лд0у ?],  Do  Do  Do  D0  70  W .  K U F E L  gdyż  ł a t w o  wykazać, że  ( 4 > 2 )  AA

 R  oraz  cp~A  =  cpA(f­Ad)­  Wyliczając  z kolei  dxW(D0)  mamy  dxW(D0)  =  V  |4­и 1и *и *й т ­е йт  .  C a ł k o w i t a  wariacja  funkcjonału  (4.1) przyjmuje  p o s t a ć   Ó W ( 0 o )  =  ^ {  J  ( Л ^ 7 » ­ 1 и Ц » ) « о ^ Л + [ » и и * * о 1 Р 1 к­i  Do  ra  ' l  +  ­х ­т и *йкд т  — sdr  Ł a t w o  w y k a z a ć ,  że dla dowolnych  funkcji  q>A i Ј : i ) ­» Я jest  (4.3)  Ј ^ ( 9 ^ )  =  До  Л Do  Wykorzystując  ten zwią zek  i  oznaczając  mamy  ri  r,  Do  то  Л D 0  r 0  Ostatecznie  więc  wariacja  funkcjonału  (4.1)  ma p o s t a ć   (4.4)  S W(D0)  =  ^  I J  ( Ą 7 ? ­  mii*)  <50 у /Ут +  [ и и гЧ  V* +  Do  т о   +  ~т икйкд г ­е б А  j ­ ^ j  T^у^dr.  ADo  r 0  K o r z y s t a j ą c  z  zasady  s t a c j o n a r n o ś ci  działania  [3]  otrzymujemy  po  wprowadzeniu  sił  fk  = fk (d,  T) r ó w n a n i a  ruchu  (4.5)  AAT(t+fk  =  muk.  W y k o r z y s t u j ą c  r ó w n a n i a  ruchu  (4.5)  oraz  uwzglę dniając  niezmienniczość  funkcjonału  d z i a ł a n i a  wzglę dem  infinitezymalnej  grupy  przesunięć  i o b r o t ó w  w  czasoprzestrzeni  d0if> k  =  ek + ek lxpi —  efk,  dr  =  0,  Ekl  =  ­e'*,  O  LINIOWYCH  ZAGADNIENIACH  TEORII  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  71  mamy  T |  ri  (4.6)  6W(D0)  =  {JT  ( W i ­  / Л Л)  "  /  +  Do   To  dD0  TQ  T I  * l  Do  T 0  Л Д0  т 0  Do  z0  ADo  To  Uwzglę dniając  dalej  d o w o l n o ś ć  stałych  ek,  ekl,  a  i  zastę pując  ipk  przez  и*  otrzymujemy  z  (4.6)  nastę pują ce  prawa  zachowania  Do  ^ D 0  Do  (4.7)  ~aw У Е  m % v J  =  Ł  TłPft]+  2 У г * У о>  Do  ­̂ Do  D 0  Są  to  odpowiednio  prawa  zachowania  p ę d u,  momentu  p ę du  i  energii.  W y k o r z y s t u j ą c  zwią zek  (4.3)  i  (4.2)  prawa  zachowania  m o ż e my  z a p i s a ć  w  postaci  Do  (4.8)  £  № л7[»+/ц ­т и1к)щ +  T(k  Ллщ ]  =  О,  Do  2  [(Д л Т С +Л ­т и ^­ё +Т ^и *]  =  0.  Do  Zwią zki  (4.8)  są  prawdziwe,  gdy  z b i ó r  D0  zastą pimy  jego  dowolnym  podzbiorem  К  z  brze­ giem  BK. Ze zwią zków  (4.8)  otrzymujemy  wtedy  nastę pują cą  lokalną  p o s t a ć  praw  zachowa­ nia  Д л Т к +fk  =  muk,  (4.9) TfrArfPn = °. Prawa  zachowania  (4.7)  i  (4.9)  wykazują  analogię  do  odpowiednich  zwią zków  z  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci.  72  W .  K U F E L  5.  Zasada  prac  wirtualnych  N i e c h  60u k  bę dą  wariacjami  postaci  funkcji  zA Wariacje  d0u k  p o w o d u j ą  z m i a n ę  d0e  postaci  energii  wewnę trznej.  W  celu  otrzymania  zasady  prac  wirtualnych  z a u w a ż m y,  że  (5.1)  ё0е  = р Л фд0уЛ Ф  =  Тк лд0Али к  =  Лл(Тк Ад0и к)­АлТк лд0и к,  gdzie  wykorzystano  w z ó r  (4.2).  Oznaczając  2J e = E(D0)  oraz  stosując  r ó w n a n i a  ruchu  Do  i  wykorzystując  zwią zek  (4.3),  z  równoś ci  (5.1)  otrzymujemy  (5.2)  d0E(D0)  = £  Ti">ó0ifi+  Z  (fk­muk)d0u k.  UDo  Do  Prawa  strona  r ó w n o ś ci  (5.2) jest  pracą  sił fk  — muk  oraz  sił Tk N> na wirtualnych  przemiesz­ czeniach  у0u k.  Natomiast  wielkość  Ó0E(D0)  = £  р л фд0уЛ Ф  przedstawia  p r a c ę  w i r t u a l n ą   ­Do  sił  w e w n ę t r z n y c h,  tj.  p r a c ę  s k ł a d o w y c h  napię cia  рЛ Ф  na  wariacjach  s k ł a d o w y c h  o d k s z t a ł ­ cenia  д0ул ф.  R ó w n a n i e  (5.2) stanowi  treść  zasady  prac  wirtualnych. M a ona  analogiczną   t r e ś ć  j a k  odpowiednia  zasada  w  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci.  6.  Twierdzenie  o jednoznacznoś ci  W y k a ż e m y,  że  r ó w n a n i a  (2.4)  rozpatrywane  w  przypadku  quasi­statycznym,  jeś li  mają  rozwią zanie,  to  rozwią zanie  to jest  jednoznaczne,  tj.  dwa rozwią zania  tego  samego  problemu  brzegowego  róż nią  się tylko  o  dowolne  ruchy  sztywne.  D l a  dowodu  z a ł ó ż m y,  że  rozwią zanie  nie jest jednoznaczne,  tj. że istnieją  dwa  r ó ż ne  od siebie  pola  przemieszczeń   uk  i  йк,  k t ó r e  spełniają  r ó w n a n i e  (2.4)  oraz  warunki  (2.5).  N i e c h  więc  przemieszczenia  uk  spełniają  z w i ą z k i:  (6.1)  AMfAoh+h  =  o,  (6.2)  2 A  =  2TV>,  ÓD  A D0  a  pole  przemieszczeń  u*  spełnia  ten  sam  u k ł a d  r ó w n a ń   (6.3)  Ал(^АФй ')+/к  = 0,  (6.4)  Zfk  =  SfkN)­ dD  Л Do  *  *  W p r o w a d z a j ą c  oznaczenia  uk  =  ик­йк,  Tk N)  =  T(k N)­Tk N)  i  odejmując  stronami  (6.1)  i  (6.3) oraz  (6.2) i  (6.4) stwierdzamy,  że przemieszczenia  uk  spełniają  jednorodny  u k ł a d  r ó w n a ń  przemieszczeniowych  (6.5)  AAipftA9vh  =  0 ,  (6.6)  2  7 ^  =  0 .  ÓAD  O  LINIOWYCH  ZAGADNIENIACH  TEORII  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  R ó w n a n i a  (6.5) o d n o s z ą  się do  ciała  dyskretyzowanego  (D,e),  w  k t ó r e g o  w n ę t r zu  brak  sił fk  i  na  k t ó r e g o  brzegu  wystę pują  jednorodne  warunki  (6.6).  N a l e ż y  w y k a z a ć ,  że  we  w n ę t r zu  ciała  znikają  o d k s z t a ł c e n i a  уЛ Ф  i  napię cia  р Л ф.  Rozpatrzmy  w  tym celu  p r a c ę   odkształcenia  ЈРЛ ФУ А Ф  =  'E  ТКАли к.  W y k o r z y s t u j ą c  zwią zki  (4.2)  oraz  (4.3)  otrzymujemy  Do  D0  ( б . ?)  1У*У Л*  =  2  T i " ) u " ­  S  ^ П ик .  Do  A D0  D0  W y k o r z y s t u j ą c  n a s t ę p n ie  (6.5) i  (6.6) z  równoś ci  (6.7) mamy  УРЛ ФУ А Ф  =  ^ А ^ ул ф у г л = 0 .  Do  Do  Skoro  АЛ Ф Г Л  tworzą  funkcję  dodatnio  okreś loną,  przeto  powyż szy  zwią zek  zachodzi  wtedy  i tylko  wtedy,  gdy  dla  k a ż d e go  de  D0  А Л Ф Г Л  У Л Ф У Г А  — 0­ P °  prawej  stronie  ostat­ niego  zwią zku  wystę puje  energia  sprę ż ysta  elementu  E e S.  Jest  ona r ó w n a  zeru  wtedy  tylko  wtedy,  gdy уЛ Ф  =  0,  a  to  oznacza,  że  wektory  przemieszczenia  u(d), u(fAd)  są   * ruchami  sztywnymi  (por.  2). W takim  razie  na  mocy  oznaczenia  u =  u —u  przemieszcze­ nia  u i  u  róż nią  się tylko  o  ruchy  sztywne.  7.  Twierdzenie  o  wzajemnoś ci.  Wzory  Somigliany  R o z w a ż my  teraz  dyskretyzowane  ciało  jednobiegunowe,  k t ó r e  poddano  d z i a ł a n i u  dwu  grup  s i ł / *  i / * .  Przemieszczenia  oraz  s k ł a d o w e  napię cia  i  o d k s z t a ł c e n i a  indukowane  przez te grupy  oznaczymy  odpowiednio uk, рЛ Ф,  уЛ Ф,  u k, рЛ Ф,  уЛ ф.  Wykorzystując  r ó w n a n i a  konstytutywne  (2.3) mamy  рЛ ФуЛ Ф  =  Р Л ФУ Л Ф ­  Podstawiając  zwią zki  geometryczne (2.2)  i  wykorzystując  (4.2) mamy:  (7.1)  ДЛ(Т &)  ­  и КАЛ  П  =  Лл{П лик)  ­  иКАЛ  Tt A.  Sumując  n a s t ę p n ie  wielkoś ci  wystę pują ce  w  (7.1) po  zbiorze  D0  oraz  wykorzystując  r ó w n a n i a  ruchu  (4.5)  w przypadku  quasi­statycznym  otrzymamy  (7­2)  2 " T №  +  =  Z  TPN)uk+  У/к*и к.  ÓDo  Do  ADo  Do  Zwią zek  (7.2)  stanosi  treść  zasady  Bettiego.  W p r o w a d z a j ą c  siły fk*(d0)  —  du,  gdzie  / jest  ustalone  oraz  oznaczając  tik  =  M ( ( ) (d0,  d)  mamy  (7­3)  « V o )  =  2 V * « ( ° * +  Z  ( T i N ^ k ­ T ^ u k ) ,  D0  ADo  gdzie T^N)(d0,  d) są spowodowane  siłą  fk*(d0).  W z o r y  (7.3)  są wzorami  Somigliany  w  dy­ skretnej  teorii  ciał  jednobiegunowych.  W i d z i m y  t a k ż e  i tutaj  pełną  a n a l o g i ę  do  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci.  74  W .  KUFEL  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  Cz. WOŹ NIAK,  Podstawy  mechaniki cial dyskretyzowanych,  Mech.  Teor. i Stos.,  1, 11 (1973).  2.  Cz. WOŹ NIAK,  Discrete  elasticity,  Arch.  Mech.  Stos.,  6,  23 (1971), 801­816.  3.  Cz. WOŹ NIAK,  Podstawy  dynamiki  cial odkształcalnych,  PWN, Warszawa 1969.  Р е з ю ме   Л И Н Е Й Н ЫЕ  З А Д А ЧИ  Т Е О Р ИИ  У П Р У Г О С ТИ  Д И С К Р Е Т И З И Р О В А Н Н ЫХ  Т ЕЛ   В  р а б о те  д а но  о п р е д е л е н ие  о д н о п о л ю с н о го  у п р у г о го  т е л а,  я в л я щ е г о ся  ч а с т н ым  с л у ч а ем   д и с к р е т и з и р о в а н н о го  т е л а.  И с х о дя  из  о с н о в н ой  с и с т е мы  у р а в н е н и й,  о п и с ы в а ю щ их  д в и ж е н ие   д и с к р е т и з и р о в а н н ых  т е л,  в ы в е д е ны  у р а в н е н ия  д в и ж е н ия  и  о п р е д е л я ю щ ие  у р а в н е н ия  л и н е й н ой   т е о р ии  у п р у г о с ти  о д н о п о л ю с н ых  д и с к р е т и з и р о в а н н ых  т е л. В  р а м к ах  э т ой  т е о р ии  с ф о р м у л и р о­ в а ны  п р и н ц и пы  с о х р а н е н и я,  п р и н ц ип  в и р т у а л ь н ых  п е р е м е щ е н и й,  т е о р е ма  е д и н с т в е н н о с ти  р е ш е н ий   и  т е о р е ма  в з а и м н о с ти  Б е т т и.  Д а е т ся  т а к же  п р о с т ой  п р и м ер  о д н о п о л ю с н о го  д и с к р е т и з и р о в а н н о го   т е л а.  S u m m a r y  O N  T H E  LINEAR  PROBLEMS  OF  ELASTICITY  OF DISCRET1ZED  BODIES  Monopolar elastic bodies are defined  in the paper as a particular example of discretized bodies. Basing  upon the fundamental  system of equations  describing the motion of discretized  bodies,  the paper presents  the  derivation  of  equations  of motion  and the constitutive  relations  of the  linear  theory  of monopolar  discretized media. On the basis of that theory are formulated the conservation  laws, the virtual work prin­ ciple, the theorem of uniqueness  of solution and the Betti reciprocal theorem. A simple example of a mono­ polar discretized  body is given.  UNIWERSYTET WARSZAWSKI  WYDZIAŁ  MATEMATYKI  I  MECHANIKI  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia 26 kwietnia  1972 r.