Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z1.pdf


M E C H A N I K A 
TEORETYCZNA 
I  STOSOWANA 

I,  11 (1973) 

UOGÓLNIONA  FUNKCJA  GREENA  D L A  NIESKOŃ CZONEGO  PASMA  PŁYTOWEGO 

J A N  G R A B A C K I ,  G W I D O N  S Z E F E R  ( K R A K Ó W ) 

1.  Wstęp 

W  pracy  podamy  efektywną  k o n s t r u k c j ę  funkcji  Greena  dla  n i e s k o ń c z o n e go  pasma 

płytowego  o  brzegach  swobodnych. 

Jak  wiadomo,  własnoś ci  funkcji  Greena  pozwalają  w  prosty  s p o s ó b  b u d o w a ć  rozwią­

zania  (co  najmniej  formalne)  szeregu  technicznie  waż nych  z a d a ń  klasycznej  teorii  płyt. 

Przedstawiona  metoda  konstrukcji  stanowi  p r z y k ł a d  zastosowania  teorii  ultradystry­

bucji  [2],  [3],  [6]  dostarczają cej  niezwykle  mocnego  n a r z ę d z ia  rozwią zywania  p r o b l e m ó w 

brzegowych. 

Funkcji  Greena  p o s z u k i w a ć  bę dziemy  nie  w  klasie  funkcji  zwykłych,  co  w y m a g a ł o b y 

założ eń  odpowiedniej  regularnoś ci  i  zachowania  się  w  nieskoń czonoś ci,  lecz  w  klasie 

funkcji  u o g ó l n i o n y c h ,  tzw.  ultradystrybucji,  dzię ki  czemu  uzyskane  rozwią zanie  jest  ogól­

niejsze  od  klasycznego,  a  ponadto  zezwala  na  zrę czne  stosowanie  szeregu  pozbawionych 

klasycznego  sensu  operacji.  Zaletą  metody  jest  t a k ż e  i  to,  że  obok  ogólnoś ci  zezwala  ona 

na  stosunkowo  łatwe  obliczenie  wszystkich  nieelementarnych  wyraż eń  i  p r o s t ą  interpre­

tację  fizyczną. 

Praca  jest  fragmentem  obszerniejszego  studium  a u t o r ó w  w  zakresie  nieklasycznych 

rozwią zań  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci. 

Niż ej  podano  podstawowe  okreś lenia  i  definicje,  z  k t ó r y c h  k o r z y s t a ć  bę dziemy  w  dal­

szym  cią gu: 

3  —  przestrzeń  funkcji  p r ó b n y c h  klasy  C§  o  n o ś n i k a ch  zwartych 

3  =  U  &  CG), 
o 

gdzie 

3{Q)  =  {ę {x)  : <p(x) e  Q f A s u p p  <p(x)  с  ii}, 

przy  czym  supp  q>(x)  —  oznacza  tutaj  noś nik  funkcji <p(x); 

3*  —  przestrzeń  sprzę ż ona  z  przestrzenią  funkcji  p r ó b n y c h  3,  czyli  przestrzeń  liniowych, 

cią głych  funkcjonałów  okreś lonych  na  3,  dalej  nazywana  również  przestrzenią  

dystrybucji; 

Sf  —  przestrzeń  funkcji  p r ó b n y c h  «szybko  maleją cych*, 

У  =  М х ) : ^ ) е С „ »л  Л  V  I*"ll9»(*)(ł)l  <  Cm,к ); 
т ,к Cmtk 



76  J.  GRABACKI,  G .  SZEFER 

Sf*  —  przestrzeń  s p r z ę ż o na  z  przestrzenią  funkcji  p r ó b n y c h  Łf,  dalej  nazywana  również  

przestrzenią  dystrybucji  temperowanych; 

2Ł  —  przestrzeń  analitycznych  funkcji  p r ó b n y c h ,  c a ł k o w i t y c h 

Z  =  U  %a, 
a 

gdzie 

% a  =  ( v ( z ) :  v ( z ) ­ a n a l i t  л  Д  V  |z*|lv(z)|  <  C » * " « } , 
A:  C„ 

—  przestrzeń  s p r z ę ż o na  z  przestrzenią  funkcji  p r ó b n y c h  ,  nazywana  r ó w n i e ż  prze­

strzenią  ultradystrybucji. 

U o g ó l n i o n y  operator  Fouriera 

_  der 
' O 

d=  /  ...el"dx 

na  mocy twierdzenia Paleya ­ Wienera odwzorowuje  bijektywnie 

Przyjmując  definicję  uogólnionej  transformaty  Fouriera  dystrybucji 

<^o  [/].  <P>  =  <f,  M > ;  9  6  2;  J F 0 [c>] 6 З Г, 

p r z e s t r z e ń  .2?*  m o ż na  t r a k t o w a ć  j a k  przestrze ń  J* 0  —  obrazu  przestrzeni  dystrybucji. 
Wszelkie  operacje  na  elementach  wprowadzonych  wyż ej  przestrzeni  funkcji  u o g ó l ­

n i o n y c h 1 '  r o z u m i e ć  należy  dystrybucyjnie  —  w  szczególnoś ci  r ó ż n i c z k o w a n ie  jest  ope­

racją  u o g ó l n i o n ą  w  sensie  Sobolewa, 

</">,  9> -  <f,~<P°}>­

P o n i e w a ż  tradycyjnie  przyję to  o z n a c z a ć  parametr  transformacji  Fouriera  przez  a  — 

w  dalszym  cią gu  u ż y w a my  oznaczenia 

^ о =  /  •••  e'xxdx, 
- 00 

00 

r ó '  = ~ f  . . . e­^da,  a  e  Z , 

skąd  wynika  r ó w n o w a ż n o ść  

z  a  z  a 

U ż y w a my  r ó w n i e ż  tradycyjnego  oznaczenia  ^0\f]  — /•  

l )  przez funkcję  uogólnioną  rozumie się tutaj element SP* lub  9*  lub  3Ł* 



UOGÓLNIONA  FUNKCJA  GREENA  77 

2.  Sformułowanie  i  rozwią zanie  zadania 

Pasmo  płytowe  traktuje  się  j a k  r o z m a i t o ś ć  r ó ż n i c z k o w a l ną  w  E2  okreś loną  n a s t ę p u­

j ą co  (rys.  1): 

ÓD 
­b  r~ 

\ 
i  / 

b  / 
ÓD/ 

*2 

f*1 

Rys.  1 

D  =  {x1,x2:xle  {­b,  b)  л  x2  e  ( ­ o o ,  co)}; 

3D —  { x j , x2:  \Xi\  ­  b  л  x2  e  ( ­ o o ,  oo)}. 

Znalezienie  funkcji  Greena  sprowadza  się  do  rozwią zania  problemu  brzegowego 

(2.1)  V 2 V 2 R >  =  <5(x,,  x2) 

(przy  przyję ciu  sztywnoś ci  płytowej  K=  1); 

d 2 w  32и> 

2 x i 
(2.2) 

г *2  + v " ^ 2 
=  о , 

ÓD 

d3w  ,„  ,  <33и> 
_ T  +  ( 2 ­ v ) ­ =  0, 

gdzie  <5(x!,x2)  = d{xi)y. d{x2)  — dystrybucja  <5 — D i r a c a  (iloczyn  tensorowy). 

W  celu  rozwią zania  zadania  z a k ł a d a m y ,  że  w  e  2Ł*.  Z  założ enia  tego  wynika,  że  ope­

rator  V 2 V 2  działa  w  przestrzeni  ultradystrybucji,  czyli  r ó ż n i c z k o w a n ie  należy  r o z u m i e ć  

w  sensie  Sobolewa. 

Działając  na  (2.1)  oraz  (2.2)  operatorem  J 5 ^  wzglę dem  zmiennej  x2  otrzymujemy 

[d2­oc2]2w  =  <$(*!)•  1(a), 

bW­a?vw\dD  =  0 , 

(2.3) 

(2.4) 

gdzie 
u>< 3 ) ­a 2 (2­v)H> ( 1 ) U  =  0, 

[d2­a2]2  =  ­lać ­^­r + a.*, 
d2 

dx\  dx\ 

1(a)  =  tf(a)  +  # ( ­ a ) , 

H{a)  —  funkcjonał  Heaviside'a. 

Z a d a n i u  (2.1),  (2.2)  odpowiada  więc  w  przestrzeni  SF0  —  obrazu  zadanie  (2.3),  (2.4)  co 

oznacza,  że  w  jest  elementem  przestrzeni  В  * х  Ж *;  tutaj  S>* —  przestrze ń  dystrybucji 



78  J .  GRABACKI,  G .  SZEFER 

transponowana.  R o z w i ą z a n i em  r ó w n a n i a  (2.3)  bę dzie  funkcja  ultradystrybucyjna  zależ na 

(dystrybucyjnie)  od  parametru  a  (ś ciś le  biorąc  przez  w  r o z u m i e ć  należy  r o d z i n ę  rozwią zań  

ze  wzglę du  na  a),  gdzie  a­argument  J^o­transformacji.  D o  jego  wyznaczenia  wykorzy­

stamy  twierdzenie  [2],  [6],  na  mocy  k t ó r e g o  rozwią zaniem  r ó w n a n i a 

Lm[f}=  6(xi),  x ] e R b 

w  k t ó r y m 

dm  d 
Lm=a»­dxY  + ­ + f l ' ­ ^ 7 + f l 0 ' 

jest  funkcja  f  = f0H(x{),  gdzie  f0  —  rozwią zanie  r ó w n a n i a  jednorodnego  L
m\f\  =  0 

spełniają ce  warunki  p o c z ą t k o we 

/o(0)  = / o ( 1 ) ( 0 )  =  = / o < m ­ 2 ) ( 0 )  =  0 , 

fo^­
l\0)  =  —. 

Korzystamy  ponadto  z  twierdzenia  [2],  [6],  zgodnie  z  k t ó r y m  ultradystrybucyjne  roz­

wią zania  r ó w n a ń  róż niczkowych  liniowych  o  stałych  w s p ó ł c z y n n i k a c h  są  (z  d o k ł a d n o ś c ią  

do  m n o ż n i ka i =  (/  — 1) identyczne  z  r o z w i ą z a n i a mi  klasycznymi.  Przyjmując  więc 

w0  =  Cx  ch  OLXi +  C 2 a x i  ch  axt  +  C 3  sh  <xx, +  C^x^  sh  <xxy 

oraz  wykorzystując  w a r u n k i : 

w 0 (0)  =  wo
ł>(0)  =  Щ  =  0;  w o

3 ) ( 0 )  =  1, 
otrzymuje  się  

C i  =  C 4  =  0,  С2  =  _  3  >  C 3  =  — 
2 a 3  '  3  2 a 3 

a  stąd 

i_ 

4 a 3 
(2.5)  w0  =  — g ­ s g n x ^ a x i c h a x ,  — s h a x x ) . 

A b y  spełnić  warunki  (2.4),  do  rozwią zania  (2.5)  dodajemy  rozwią zanie  r ó w n a n i a  jedno­

rodnego.  Jest  zatem 

(2.6)  iv  =  ­ ^ ­ ^ ­ s g n x ^ a x ^ h o t X x  — s h a x 1 )  +  y4(a)chax 1  +  . S ( a ) a x 1 c h a x ł  + 
1 

4 a 3 

+  C(a)sh  a x 1 + Z ) ( a ) a x 1 s h a x 1 , 

przy  czym  stałe  A(oc), B(ot), C(a),  D(a),  wyznaczyć  należy  z  w a r u n k ó w  (2.4). 

W y k o n u j ą c  niezbę dne  przekształcenia  otrzymujemy  u k ł a d  r ó w n a ń ,  k t ó r e g o  rozwią­

zanie  daje  wynik 

в  =  с  = о, 
1  (l+v)2sh2fi­4ch2fi­(l­v)2fi2 

(2.7)  А  = 

D  =  4 a 3  (3+v)sh/?ch/3­/3(1  ­v)  ' 

gdzie  /?  =  ab. 

4 a 3  ( l ­ v ) [ ( 3 + v ) s h / S c h / 3 ­ / 3 ( l ­ ^ ) ] 

­ 1  ( l + v ) s h 2 / ? + 2 c h 2 / 3 



UOGÓLNIONA  FUNKCJA  GREENA  79 

Ostatecznie  więc  rozwią zanie  zadania  (2.3),  (2.4)  ma  p o s t a ć  

(2­8)  iv  =  „  , 
1 

4 a 3  2  2 
­ e ^ ' j s g n ^ i 

(1 + i ' ) 2 s h 2 / 3 ­ 4 c h 2 / 5 ­  (1 ­ v )
2 / 3 2 

ch  axj 
( l + ł < ) s h 2 £  +  2 c h 2 £ 

( l ­ ^ H P + r O s h / J c h ^ ­ ^ l ­ v ) ]  1  (3+v)shpchp­f3(l­v) 

W y k o n u j ą c  transformację  o d w r o t n ą ,  otrzymamy 

(2.9) w =&r0­1[w] =  ^ o ' t ^ ­ ^ o ' t ^ i c h a x j ­ ^ o ' t ^ a ^ i s h a x j , 

gdzie  dla  zwię złoś ci  oznaczono 

1  ( l + v ) 2 s h 2 i S ­ 4 c h
2

/ 3 ­ ( l ­ v )
2

/ 9
2 

a.Yj  s h a x j , 

(2.10) 

ф , = 

4 a 3  ( l ­ v ) [ ( 3 + v ) s h / ? c h / S ­ , 5 ( l ­ v ) ]  ' 

1  (l+v)sh 2 /9­r­2ch 2 /? 
2  4 a 3  (S + ^ s h / S c h ^ ­ ^ l ­ v ) 

Pierwszy  s k ł a d n i k  m o ż na  n a p i s a ć  w  postaci 

Xi 
'о1Ш  =  &ro1  g ^ ­ e " " 1  + ^ г о 1 

a  n a s t ę p n ie 

(2.11)  ^ ­ ' [ i v o ] 

8a 
,­­e' ­а л :, 

Wykorzystując  twierdzenie  o  splocie  [2],  [1]  dostaniemy  dla  poszczególnych  retran­

sformat  wyraż enia  [4] 

(2.12) 

gdzie  Cl  = 

1 

1 

:  Т б лГ  

1 

=  1 б тг  

1 

=  1 б я  

2 ( ­ l ) 3 

[ c 0 z
2 ­ c ,  z 2 l n | z | ] ­ ) f  < 5 ( z ­ « i ) , 

[ c 0 z
2 ­ c 1 z

2 l n | 2 | ] ­ ) f ó ( z + i j e 1 ) , 

Xi\z\y­d(z­ixj), 

x 1 | z | ^ f ó ( z + i x 1 ) > 

71 
2!  c o s 2 y = l , 

c 0  =  1. 

F u n k c j o n a ł y  (5 są  tu  retransformatami  odpowiednich  funkcji  wykładniczych. 



80  J.  GRABACKI,  G .  SZEFER 

Uwzglę dniając  w  dalszym  cią gu  własnoś ci  splotu  z  д —  funkcjonałem  i  t r a k t u j ą c 

otrzymane  retransformaty  j a k  analityczne  funkcjonały  zdefiniowane  na  przestrzeni  funkcji 

p r ó b n y c h  2£,  czyli 

ff(z)<p(z)dz, 
г  

gdzie  Г—droga  c a ł k o w a n i a  w  płaszczyź nie  zespolonej  rozcią gają ca  się  od  + 0 0  do  — oo 
oraz  przyjmują c,  że  Im  z  =  xlt  a  droga  c a ł k o w a n i a  o k r e ś l o na  jest  p r o s t ą  

argz  =  — ,  z  =  r(cos <p +1 sin 99), 

otrzymamy  (z  d o k ł a d n o ś c ią  do  m n o ż n i ka  i) 

(2.13)  J V t u o ]  =  j \ ^ r 4 n r 2  =  ­^6­(x\  + xl)\n{x\  +  xl). 

Uzyskany  rezultat  pozostaje  w  zgodzie  z  faktem,  że  przestrzeń  dystrybucji  tempero­

wanych  Sf*  jest  p o d p r z e s t r z e n i ą  właś ciwą  przestrzeni  Z*.  Należy  poza  tym  z a u w a ż y ć, 

że  wystę pują cy  w  r ó w n a n i u  (2.1)  operator  biharmoniczny  działa  w  przestrzeni  У *  П  2£*. 

P o n i e w a ż  przestrzeń  Sf*  jest  z a m k n i ę ta  ze  wzglę du  na  r ó ż n i c z k o w a n i e,  więc  i  w  tym  k o n ­

tekś cie  otrzymany  wynik  jest  poprawny. 

Znalezienie  retransformat  p o z o s t a ł y c h  d w ó c h  s k ł a d n i k ó w  (2.9)  nastrę cza  znacznie 

wię cej  t r u d n o ś c i.  M o ż na  je  obejść  przez  łą czne  zastosowanie  twierdzenia  o  splocie  i  metody 

K R Y L O W A  [5]  przybliż onego  obliczania  całek  Fouriera.  W  tym  celu  b io rą c 

(2.14)  j F o M ^ i C h  coc,]  =  . ^ [ ^ i R ^ o ' t c h a x J , 

^ о Ч ^ а *!  shear,]  =  x ^ z  &Ъ1  [shear,] 

z a u w a ż y m y,  że  wystarczy  s k u p i ć  u w a g ę  na  obliczeniu  retransformat  funkcji  Ф ,  i  а Ф2, 

bowiem  transformacje  odwrotne  funkcji  hiperbolicznych  daje  się  z  łatwoś cią  wyznaczyć  

podobnie  j a k  w  (2.12) 

(2.15)  ^ о Ч с Ь а д г ,]  =  ó(z +  / x , ) + ó ( z ­ / x , ) ,  ^ [ s h o o : , ]  =  ó(z +  / x , ) ­ ó ( z ­ / x 1 ) . 

D l a  zastosowania  metody  K r y l o w a  funkcje  Ф ,  oraz  а Ф2  p r z e k s z t a ł c a m y  do  postaci 

# 1  *  ®2 

[(1 ­ r r ) 2 s h 2 / S ­ 4 c h 2 f f ­  (1  ­У)2Р2]  (1 +  а )2 

4 a 3 ( l ­ v ) [ ( 3 + v ) s h j 8 c h i e ­ / ? ( l ­ i ' ) ]  ' 

[(1 +r)sh 2 /3+2ch 2 ft](l  +  a ) 2 

4 a 2 [ ( 3 + v ) s h / ? c h 0 ­ / 3 ( l ­ v ) ]  ' 

(2.16) 

gdzie 

(2.17) 

Ф , 

Ф2 



UOGÓLNIONA  FUNKCJA  G R E E N A  81 

D z i ę ki  temu,  a p r o k s y m u j ą c  funkcje  Фг  oraz  Ф2  wielomianami  Legendre'a  m o ż e my 

n a p i s a ć  

n ­ l  n ­ l 

A=0  A:=0  0 

Л —1 И —1 00 

^ ­ 1 [ а ф 2 ]  =  ­ ^ ^ Ф 2 ( « к Ь )j  s i n a z ( l +  a ) ­ ' ­ 2 r f a . 
k = 0  1=0 

N a l e ż y  tutaj  zaznaczyć ,  że w oryginale  [5] procedura  K r y l o w a  dotyczy  zwykłej  tran­

sformacji  Fouriera.  J e d n a k ż e  dystrybucja  temperowana  istnieje  j a k o  ultradystrybucja 

(droga  c a ł k o w a n i a  m o ż e  być p r z e s u n i ę ta  do dowolnej  prostej  Im z =  const),  adaptacja 

metody  sprowadza  się więc  do formalnego  zastą pienia  zmiennej  rzeczywistej  x  z m i e n n ą  

zespoloną  z. 

W e  wzorach  (2.17)  Ф ^ а ^ о г аг  Ф2(а ф )  oznaczają  w a r t o ś ci  funkcji  odpowiednio 

Фх  oraz  Ф2  w  wę złach  interpolacji,  za ś Atk  są  stabelaryzowanymi  w s p у ł c z y n n i k a m i , 

и  oznacza  ilość  wę złуw  interpolacji,  k t у r a  m o ż e  być przyję ta  dowolnie  w  zależ noś ci o d 

założ onej  z  g у r y  d o k ł a d n o ś c i. 

Przyjmując  n =  9, a  n a s t ę p n ie  wykonując  c a ł k o w a n i e  przez  czę ś ci  otrzymujemy 

(2.19)  3FZ
1Ш  =  | { i ? o +  + j B 2 + ~B3  +  l f i 4  + j B , + j B 6 + j B 7 + j B 8 + 

1  _  z 2  Г1  1  1  1  1  1 
+  То в*  ­ F16"*

2 +  2ЛВ з  +  60 B * +  120 B s  +  Ш В б +  136 5 7  + 

+  540"B* +  ШВ д] + F[ T2 0 * 4 +  W * 5 +  2ШВ б  +  W * 7  + 

+  15120 B * +  "30240  5 s ]  +  " F [ " 5 O W 5 6 +  40120*7 +  Ш Ж *8  + 

+  6 0 W * 9 ] + F [ 3 6 2 Ш В °  +  3628800  B'] + [Si nłdł_ 

z  z i r  z  z 3  1  z 5  1  z 7  1  z 9 

~ c o s  У s i y J  [ ­  J B O  +  / 7 5 1 б + F T20 F  W * 6 "  F  x 

1  l [ z z  z  z 1  Г z 2  1  z 4 l 
X  362880*']  +  [ S i n Ґ s i y + C 0 S f t  C i f t j  ^ 2 Й 1 ­ М 2 4В з  + 

1  z 1 0  1  1\ 
320  7 +  6 1 0 362880  9 J j : +  6 6  720 B s  ba  40320 

б  Mechanika  Teoretyczna 



82  J .  GRABACKI,  G .  SZEFER 

(2.19)  Г о Ч «Ф Д  =  4 ­ l x 
J B I + i * 2 + i i 5 з  +  i * * +  i * 5 + + i * 7 + 

1680  7  3024  8  5040  9  ^  b5  720  5  +  5040" 

_ 1  1  1 
+  20160  7  +  "60480"  8  +  l 5 1 2 0 0 

loB9]~b^[^ 

[ w  B 

В\~т \ш ШВ 1  + 
I  z 9  1  Г .  z  .  z  z 
J  +  ^ 3 6 2 8 8 0 0  * 9  +  Г  b  C 1  A ~ C O S y  X 

.  z  ]  Г  z 2  1  z 4  1  z 6  1  z 8  1 
X  ' ' У J  [ ~  A 2 " 2  5 l  +  " F  24 * 3  _  " F " 7 2 0  5 5  +  "40320  5 7  ~ 

b10  3628800  * ]
 + [Sinłsi ł +C04dł] • [ -1*0 +  P " * 2  6 

z 7  1  ­  z 9  1  » 11 
8800  8 | ) 

1  1_  . 
+  362880  8 +  1814400" 

bs  120  B * +  b1  5040  В б  /V  362X800 

9 

Tutaj  2?t  =  ^  Aik0(l)2(^ib),  przy  oznaczeniu  Ф(1)2  =  v  Ф 2 . 
/=о  

W z o r y  (2.14)  z  uwzglę dnieniem  (2.15)  i  (2.19)  dają  łą cznie  p o s t a ć  poszukiwanych 
retransformat. 

Uwzglę dniając  j a k  poprzednio  własnoś ci  splotu  z  6 ­  funkcjonałem  i  wybierając  t ę  

s a m ą  co  poprzednio  d r o g ę  c a ł k o w a n i a  otrzymamy  w  efekcie  funkcję  zmiennych  rzeczy­

wistych  Xi,  x2  j a k o  wynik  ostateczny. 

Suma  (2.13)  oraz  (2.14)  przy  uwzglę dnieniu  (2.15)  i  (2.19)  jest  p o s z u k i w a n ą  funkcją  

Greena  dla  n i e s k o ń c z o n e go  pasma  p ł y t o w e g o ,  postawione  więc  na  wstę pie  ż ą d a n ie  u z n a ć  

należy  za  rozwią zane. 

Z a u w a ż m y,  że  wyraż enie  (2.13)  jest  znanym  rozwią zaniem  podstawowym  operatora 

biharmonicznego,  zgodnie  więc  z  okreś leniem  funkcji  Greena  stanowi  jej  czę ść  osobliwą. 

W z o r y  (2.14),  (2.15)  dają  jej  czę ść  regularną. 

3.  Zakoń czenie 

Jak  wynika  z  przytoczonych  r o z w i ą z a ń,  zastosowanie  e l e m e n t ó w  teorii  ultradystrybucji 

o k a z a ł o  się  trafnym  i  z r ę c z n ym  sposobem  konstrukcji  r o z w i ą z a n ia  problemu  (2.1),  (2.2). 

N a s u w a  się  pytanie  czy  stosowanie  tego  aparatu  było  konieczne? 

B y  w  pełni  udzielić  odpowiedzi  z a u w a ż m y,  że  retransformaty  poszczególnych  c z ł o n ó w 

w y r a ż e n ia  (2.8)  nie  istnieją  w  zwykły m  sensie,  a  nawet  j a k o  dystrybucje.  M o ż na  je  znaleźć  

jedynie  w  przestrzeni  2Ł*,  a  więc  istnieją  tylko  j a k o  ultradystrybucje.  U o g ó l n i o n a  w  sensie 



UOGÓLNIONA  FUNKCJA  GREENA  83 

przestrzeni  2Ł* p o s t a ć  funkcji  Greena  ma, j a k to  pokazano  [wzory  (2.13),  (2.14),  (2.15) 

i  (2.18)]  kształt 

(3.1) w =  ­ 1 ^ [ c 0 z
2 ­ z 2 l n | z | ] ­ X 4 ^ ( ­ ­ / x 1 )  +  ó(z + / x I ) + ^ A ­ J z | ^ [ ó ( z ­ i x 1 )  + 

n—l  П —1 

+  ó(z+iXl)]  ­ ~­ { | 2 Л с _ 2 ] * [ * ( * + i x t )  + d(z ­  ix,)] + [2  ] * 

g d z i e ś . 2  są odpowiednimi  c a ł k a m i  w (2.18).  Odsiewają ce  własnoś ci  ó­funkcjonału 

pozwalają  stąd  o t r z y m a ć  rzeczywistą  p o s t a ć  funkcji  Greena 

(3.2)  w =  J L  [(Xi ­ 1 , ) 2  +  ( x 2  ­  f  2 )
2 ]  l n [(x,  ­  ^ ) 2 +  ( x 2  ­ 1 2 )

2 ] + R(Xl,  x2,  £ , ,  f 2 ) , 

gdzie  czę ść  regularna  . R ( x i ,  x 2 , | j , £ 2 ) o k r e ś l o na  jest  zwią zkami  (2.19)  przy  podstawieniu 

л  
Im  z  =  X i ;  a r g z  =  —  oraz  x ,  s  xl—^1;  x2  =  x 2 — 1 2 . 

Warto  w tym miejscu  jeszcze  p o k a z a ć ,  że otrzymane  rozwią zanie  spełnia  warunki  r ó w n o ­

wagi.  W  tym celu  wykorzystamy  nastę pują cą  w a ł a s n o ś ć  3F0 —  transformacji: 

CO CO 

— 00 — GO 

Spełnienie  w a r u n k ó w  r ó w n o w a g i  oznacza,  że zachodzi  r ó w n o ś ć  

(3.3)  Д  /  Qn\dQ  d[dQ]  +  f  ó(xlt  x2)dQ  = O, 
OcD  dO  a 

gdzie  Qn  oznacza  siłę  poprzeczną . 

Jako kontur  c a ł k o w a n i a  w y b r a ć  m o ż na  (bez  szkody dla  ogólnoś ci)  kontur dQ = Ft  и Г2, 

gdzie 

Л  =  {*2  Ł ( ­ o o , oo);  x x  = 0+}, 

Г2  =  {x2  e  ( ­ o o , oo);  xt  = 0_}. 

Warunek  (3.3) przybiera  wtedy  p o s t a ć  

JQi(0+,x2)dx2+  j  Q i ( 0 _ , x 2 ) r f x 2  +  1  = 0 ; 
•г,  г2 

uwzglę dniając  zwią zek 

otrzymamy  po  transformacji 

Q,  =  ­  й , ( 3 )+ а 2 Л ( 1 ) # 
Stąd  po  podstawieniu  (2.8) 

­  1  1  ( H ­ v ) s h 2 a 6 + 2 c h 2 a i 
Qi  =  ­s­ s g n x . c n  а х,  —  ­ ­ — — г — ; — — ;—  —  г ­sn  а х ,, 

2  ь  2  ( 3 + » ­ ) s h a 6 c h a 6 ­ a & ( l ­ r ) 

http://sgnx.cn


84  J.  GRABACKI,  G .  SZEFER 

a  po  przejś ciu  do  granicy  a ­> 0, xt  ­* 0 

Ql  a = 0  —  X­',  Ql  a = 0 
*1 = 0+  ̂ *1=0_ 

1 

2' 
Warunek  r ó w n o w a g i  przybiera  teraz  p o s t a ć  

1 +  1  = 0 . 

Uzyskane  rozwią zanie  (3.2) spełnia  więc  warunek  r ó w n o w a g i ,  co zamierzano  p o k a z a ć . 

1.  Р . Э Д В А Р Д С,  Ф у н к ц и о н а л ь н ы й  а н а л и з ,  т е о р и я  и  п р и л о ж е н и я ,  И з д.  М и р,  М о с к ва  1969. 
2.  Я . М .  Г Е Л Ь Ф А Н Д,  Г . Е .  Ш И Л О В,  О б о б щ е н н ы е  ф у н к ц и и ,  в ы п.  1.  О б о б щ е н н ы е  ф у н к ц и и  и  д е й с т в и я  

н а д  н и м и ,  Г о с. И з д а т.  Ф и з . ­ М а т.  л и т ., М о с к ва  1961. 

3.  Я . М . Г Е Л Ь Ф А Н Д,  Г. Е . Ш и л о в,  О б о б щ е н н ы е  ф у н к ц и и ,  в ы п.  2.  П р о с т р а н с т в а  о с н о в н ы х и о б о б щ е н ­
н ы х  ф у н к ц и и ,  Г о с. И з д а т.  Ф и з . ­ М а т.  л и т. М о с к ва  1961. 

4.  S. G .  K R E J N  i  in., Analiza  funkcjonalna,  PWN,  Warszawa  1967. 
5.  В. Я  К Р Ы Л О В,  Л . Г. К Р У Г Л И К О В А,  С п р а в о ч н а я  к н и г а  п о ч и с л е н н о м у  г а р м о н и ч е с к о м у  а н а л и з й , И з д. 

Н а у ка  и  Т е х н .,  М и н ск  1968 
6.  A . ZEMANIAN,  Teoria  dystrybucji  i  analiza  transformat,  PWN,  Warszawa  1969. 

В  р а б о те  д ан  м е т од  к о н с т р у к ц ии  о б о б щ ё н н ых  ф у н к ц ий  Г р и на  д ля  б е с к о н е ч н ой  п о л о сы  со с в о­
б о д н ы ми  к р а я м и.  Р е ш е н ие  п о л у ч е но  п у т ем  п р и м е н е н ия  о б о б щ ё н н ых  ф у н к ц ии  (т ак н а з ы в а е м ых  
«у л ь т р а ­р а с п р е д е л е н и й »).  На э т ой  о с н о ве  у д а л о сь  з н а ч и т е л ь но  о с л а б и ть  п р е д п о л о ж е н ия  о  р е г у­
л я р н о с ти  р е ш е н и я,  р а с ш и р и ть  в о з м о ж н о с ти  в в е д е н ия  м н о г их о п е р а ц и й,  не и м е ю щ их  к л а с с и ч е с к о го  
с м ы с ла  и д р.  Д а н н ый  м е т од  о к а з ы в а е т ся  э ф ф е к т и в н ы м,  а о к о н ч а т е л ь н ые  в ы ч и с л е н и я,  п о с ле  п р и­
м е н е н ия  м е т о да  К р ы л о ва  — э л е м е н т а р н ы.  Р а б о та  я в л я е т ся  п р и м е р ом  п р и м е н е н ия  у л ь т р а ­р а с п р е­
д е л е н ий  к  г р а н и ч н ым  з а д а ч ам  т е о р ии  у п р у г о с т и. 

S u m m a r y 

G E N E R A L I Z E D  GREEN'S  F U N C T I O N  F O R A N  INFINITE  P L A T E  STRIP 

In  the paper is constructed the generalized  Green  function for an infinite plate strip with free edges. 
The  solution is found by means of ultradistributions what makes it possible to weaken the assumptions, to 
increase the possibility of performing certain operations which are not applicable in the classical sense, and 
to make the considerations more compact. It should be stressed that the method presented is effective,  and 
the final results — after application of the Krylov method of approximate evaluation of Fourier integrals — 
are elementary. 

The  paper represents  an example  of  application of  the theory of  ultradistributions to  the  boundary 
value problems of elasticity. 

POLITECHNIKA  KRAKOWSKA 

Literatura cytowana w tekś cie 

Р е з ю ме  

О Б О Б Щ Ё Н Н АЯ  Ф У Н К Ц ИЯ  Г Р И НА  Д ЛЯ Б Е С К О Н Е Ч Н ОЙ  П О Л О СЫ  

Praca została  złoż ona  w Redakcji dnia 3 maja  1972 r. 

r