Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z1.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  1,  11 (1973)  PODSTAWY  MECHANIKI  CIAŁ  D Y S K R E T Y Z O W A N Y C H  CZESŁAW  W O Ź N I AK  (WARSZAWA)  1.  Ciała  dyskretyzowane  Spotykane  w  przyrodzie  odksztalcalne  ciała  stałe  opisujemy  w  ramach  mechaniki  k l a ­ sycznej  najczę ś ciej  przez  zastosowanie  jednego  z  d w ó c h  nastę pują cych  p o d e j ś ć:  struktu­ ralnego,  zwanego  też  dyskretnym,  oraz  kontynualnego.  W  podejś ciu  strukturalnym,  typowym  dla  f i z y k i  ciała  stałego,  u w z g l ę d n i a my  rzeczywistą,  niecią głą  s t r u k t u r ę  materii.  Podejś cie  kontynualne  polega  na  wprowadzeniu  o ś r o d ka  cią głego  j a k o  modelu  ciała,  a  samo  ciało  wystę puje  p o d  postacią  m a t e r i a ł u ,  k t ó r e g o  własnoś ci  są  o k r e ś l o ne  w  i n f i n i ­ tezymalnym  otoczeniu  każ dej  czą stki  wprowadzonego  kontinuum.  O p r ó c z  obu  tych  podejść  warto  t a k ż e  zwrócić  u w a g ę  na  trzecie,  k t ó r e  nazwijmy  dyskretyzowanym.  W  po­ dejś ciu  dyskretyzowanym  ciało  stałe  wystę puje  p o d  postacią  zbioru  e l e m e n t ó w  material­ nych  o  wymiarach  s k o ń c z o n y c h,  przy  czym  k a ż dy  element  m a  s k o ń c z o ną  liczbę  stopni  swobody.  T o  ostatnie  podejś cie  jest  typowe  np.  dla  z a g a d n i e ń  mechaniki  konstrukcji,  gdzie  mniej  jesteś my  zainteresowani  własnoś ciami  ciała  w  infinitezymalnych  otoczeniach  jego  czą stek  (podejś cie  kontynualne,  m a t e r i a ł o w e ) ,  nie  wspominają c  j u ż  o  niecelowoś ci  wnikania  w jego  s t r u k t u r ę  a t o m o w ą ,  lecz  raczej  interesują  nas  własnoś ci  globalne  pewnych  s k o ń c z o n y ch  czę ś ci  ciała.  C e l o w o ś ć  wprowadzenia  podejś cia  dyskretyzowanego  do  me­ chaniki  uzasadnimy  w  punkcie  6.  C i a ł o  dyskretyzowane  otrzymuje  się  zwykle  w  w y n i k u  procesu  dyskretyzacji, j a k o  pewien  uproszczony  model  o ś r o d ka  cią głego, j a k  to  ma  miejsce  np.  w  znanej  metodzie  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  [7],  w  zagadnieniach  statyki  budowli  lub  dynamiki  konstrukcji  (zastą pienie  cią głego  r o z k ł a d u  masy  —  masami  skupionymi).  Jed­ n a k ż e  w  r o z w a ż a n i a c h,  w  k t ó r y c h  bę dzie  nas  i n t e r e s o w a ć  nie  sam  proces  dyskretyzacji,  lecz  to,  co  w jego  w y n i k u  otrzymujemy,  dogodniej  poję cie  ciała  dyskretyzowanego  wpro­ w a d z i ć  a  p r i o r i  (w  s p o s ó b  zupełnie  niezależ ny  od  poję cia  o ś r o d ka  cią głego),  j a k o  model  rzeczywistego  ciała  stałego.  P o s t ę p o w ać  m o ż e my  więc  podobnie,  jak  w  mechanice  k o n ­ tinuum,  gdzie  poję cie  o ś r o d ka  cią głego  wprowadzamy  niezależ nie  od  podejś cia  struktu­ ralnego.  Celem  uczynienia  w y k ł a d u  bardziej  p o g l ą d o w y m,  za  punkt  wyjś cia  przyjmijmy  tutaj  kontinuum  materialne.  Uogólniając  nieco  proces  dyskretyzacji  kontinuum  materialnego  o m ó w i o n y  np.  w  [7]  (s.  11),  podzielmy  umownie  to  kontinuum  przy  pomocy  pewnych  powierzchni  materialnych  (lub  krzywych  w  przypadku  kontinuum  dwuwymiarowego)  na  co  najwyż ej  przeliczalny  z b i ó r  otwartych  i  rozłą cznych  czę ś ci  zwanych  elementami  s k o ń ­ czonymi.  Przyjmijmy  n a s t ę p n i e,  że  elementy  s k o ń c z o ne  są  p o w i ą z a ne  wyłą cznie  przy  po­ mocy  pewnych,  dodatkowo  przez  nas  wprowadzonych,  u k ł a d ó w  materialnych.  K a ż dy  48  C z .  WOŹ NIAK  z  tych  u k ł a d ó w  nazwijmy  czą stką  ciała  dyskretyzowanego.  Z a k ł a d a m y  j e d n o c z e ś n i e,  że  cią gły  r o z k ł a d  masy  w kontinuum jest  aproksymowany  masami  zaczepionymi tylko  w  czą­ stkach  oraz  że  k a ż da  czą stka  jest  n i e z a l e ż n y m1 )  u k ł a d e m  dynamicznym,  holonomicznym,  o  tej  samej,  s k o ń c z o n e j,  liczbie  stopni  swobody  (tj.  czą stka  m o ż e  być swobodnym  punktem  materialnym,  i c h  u k ł a d e m  lub  u k ł a d e m  p u n k t ó w  materialnych  poddanych  c a ł k o w a l n y m  w i ę z o m ).  Z b i ó r  wszystkich  czą stek,  k t ó r e  łą czą  dany  element  z  innym i  elementami  s k o ń ­ czonymi,  nazwijmy  elementem  dyskretnym,  o d p o w i a d a j ą c ym  danemu  elementowi  s k o ń ­ czonemu.  Podobnie,  j a k  w  [7]  z a k ł a d a m y ,  że  ruch  k a ż d e go  elementu  s k o ń c z o n e go  jest  jednoznacznie  o k r e ś l o ny  przez  ruch  o d p o w i a d a j ą c e go  elementu  dyskretnego.  Ponadto  przyjmijmy,  że  przestrzenią  konfiguracyjną  [3]  dla  każ dej  czą stki]  jest  л ­ w y m i a r o wa  przestrzeń  wektorowa.  Rys.  1  Rys.  2  Prosty  p r z y k ł a d  ciała  (dyskretyzowanego  płaskiego)  przedstawia  rys.  1.  Elementami  s k o ń c z o n y mi  są  zaznaczone  (otwarte)  trójką ty  i  r ó w n o l e g ł o b o k i ;  ruch  k a ż d e go  z  tych  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  jest  opisany  (w  ramach  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych)  przy  pomocy  ruchu  odpowiedniego  elementu  dyskretnego,  bę dą cego  zbiorem  w i e r z c h o ł k ó w  Rys.  3  danego  t r ó j k ą ta  lub  r ó w n o l e g ł o b o k u .  Jako  czą stki  dyskretyzowanego  ciała  należy  tu  przyjąć  swobodne  punkty  materialne,  bę dą ce  w i e r z c h o ł k a m i  tych  figur,  po  zaczepieniu  w  nich  mas  skupionych  a p r o k s y m u j ą c y ch  b e z w ł a d n o ś ć  ciała.  K a ż dy  element  dyskretny  s k ł a d a  się  więc  z  trzech  lub  czterech  czą stek.  C i a ł o  dyskretyzowane  zaznaczone  na  rys.  2  u w z g l ę d n ia  te  same  elementy  s k o ń c z o n e,  j a k  na  rys.  1,  lecz  poszczególne  elementy  dyskret­ ne  zawierają  teraz  6  lub  9  czą stek,  z  k t ó r y c h  k a ż da  jest,  j a k  poprzednio,  swobodnym  punktem  materialnym;  n i e k t ó r e  z czą stek  należą  tu  tylko  do jednego  elementu  dyskretnego.  Inny  p r z y k ł a d  ciała  dyskretyzowanego  pokazano  na  rys.  3,  gdzie  mamy  do  czynienia  z  p o w ł o k ą  z ł o ż o ną  z  c z w o r o k ą t n y ch  płytek,  k t ó r e  przyjmijmy  j a k o  elementy  s k o ń c z o n e.  *)  Dwa  układy  dynamiczne nazywamy niezależ nymi,  gdy  nie  zawierają  ani jednego Wspólnego  punktu  materialnego oraz gdy  ruch  punktów  należ ą cych  do  róż nych  układów  nie jest poddany wspólnym  wię zom.  PODSTAWY  MECHANIKI  CIAŁ  DYSKRETYZOWANYCH  49  Stosując  z a ł o ż e n ia  L o v e ' a ­ K i r c h h o f f a ,  j a k o  czą stki  ciała  dyskretyzowanego  m o ż e my  przyjąć  zaznaczone  na  rysunku  pary  p u n k t ó w  materialnych  (wraz  z  p r z y p o r z ą d k o w a n y mi  i m  masami)  o  stałej  odległoś ci,  k t ó r ą  jest  g r u b o ś ć  p o w ł o k i .  L i c z b a  stopni  swobody  każ dej  czą stki  wynosi  5,  a  k a ż dy  element  dyskretny  jest  zbiorem  czterech  czą stek  (czterech  par  w i e r z c h o ł k ó w  c z w o r o k ą t n e go  elementu  s k o ń c z o n e g o ).  Z  punktu  widzenia  powyż szych  r o z w a ż ań  ciało  dyskretyzowane  jest  p a r ą  (D,  S),  gdzie  D  jest  s k o ń c z o n ym  lub  przeliczalnym  zbiorem  czą stek  d,  d  e  D,  D  >  1,  oraz  S'  jest  pokryciem  zbioru  D  elementami  dyskretnymi  E,  D  • =>  E  e  S.  Z a k ł a d a m y ,  że  czą stki  oddziaływują  wyłą cznie  w  podzbiorach  E  e  S2).  Przyjmiemy  j e d n o c z e ś n i e,  że  k a ż dy  element  dyskretny  zawiera  s k o ń c z o ną  i  nie  mniejszą  o d  d w ó c h  liczbę  czą stek  oraz  że  dowolna  czą stka  m o ż e  należ eć  do  przecię cia  najwyż ej  s k o ń c z o n ej  liczby  e l e m e n t ó w  dy­ skretnych.  Liczbę  stopni  swobody  dowolnej  czą stki  oznaczymy  przez  n  i  nazwiemy  liczbą   lokalnych  stopni  swobody  ciała  dyskretyzowanego.  U o g ó l n i o n e  w s p ó ł r z ę d ne  czą stki  d  oznaczamy  przez  q"(d,  r),  a  =  1,  2  n  ( т  jest  współrzę dną  czasową)  oraz  z a k ł a d a m y ,  że  są  one  w s p ó ł r z ę d n y mi  wektora  w  и ­wymiarowej  przestrzeni  wektorowej  Vя,  tej  same  d l a  k a ż d e go  d  e  D.  Postulujemy  wię c,  że  istnieje  przestrze ń  V,  k t ó r a  jest  przestrzenią   konfiguracyjną  dla  każ dej  czą stki  d  e  D3>.  P o n i e w a ż  czą stki  d  e  D  oddziaływują  t y l k o  w  podzbiorach  E  с  D,  (tj.  w  poszczególnych  elementach  dyskretnych),  dlatego  siły  we­ w n ę t r z ne  w  ciele  dyskretyzowanym  m o ż e my  okreś lić  dla  k a ż d e go  elementu  dyskretnego  niezależ nie.  Zgodnie  z  z a s a d ą  przyczynowoś ci,  siły  w  elemencie  dyskretnym  E  i  w  c h w i l i  T  zależą  od  historii  ruchu  tego  elementu  aż  do  chwili  т,  a  zależ ność  tę  nazwiemy  r ó w n a ­ niem  konstytutywnym  danego  elementu  dyskretnego  (por.  pkt  3  tej  pracy).  Celem  otrzy­ mania  r ó w n a ń  ruchu  dowolnej  czą stki  d  należy  natomiast  uwzglę dnić  siły  w e w n ę t r z ne  działają ce  na  t ę  czą stkę  ze  wszystkich  e l e m e n t ó w  dyskretnych,  do  k t ó r y c h  czą stka  ta  należ y­ R ó w n a n i a  ruchu  czą stki  d  otrzymujemy  więc  r o z p a t r u j ą c  p a r ę  (Dd,  8j),  gdzie  &d  <=.  S  jest  zbiorem  wszystkich  e l e m e n t ó w  dyskretnych  zawierają cych  czą stkę  d,  8  5=  1,  oraz  Di  jest  zbiorem  czą stek,  dla  k t ó r e g o  SA  jest  pokryciem  (por.  pkt  4).  N a l e ż y  tu  p a m i ę t a ć,  że  własnoś ci  b e z w ł a d n e  ciała  dyskretyzowanego,  jako  modelu  ciała  rzeczywistego,  nie  są   rozdzielone  na  poszczególne  elementy  dyskretne,  lecz  są  charakteryzowane  masami  posz­ czególnych  czą stek.  J e d n o c z e ś n ie  widzimy,  że  nie  zachodzi  k o n i e c z n o ś ć  rozpatrywania  całego  ciała  dyskretyzowanego  w  ramach  r o z w a ż ań  teoretycznych,  lecz  wystarczy  się   o g r a n i c z y ć  w  r ó w n a n i a c h  konstytutywnych  do  dowolnego  elementu  dyskretnego  E,EeS,  a  w  r ó w n a n i a c h  ruchu  do  dowolnej  pary  (Dd,  gt),  d  e  D.  Z  powyż szych  uwag  w y n i k a ,  że  m e c h a n i k ę  ciała  dyskretyzowanego  m o ż e my  s c h a r a k t e r y z o w a ć j a k o  t e o r i ę  ciała  o d k s z t a ł ­ calnego  o p i s a n ą  na  podstawie  założ eń  i  r ó w n a ń  mechaniki  analitycznej,  przy  wykorzy­ staniu  zasady  determinizmu.  Zwią zek  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych  z  m e c h a n i k ą   2)  Mówimy,  że  czą stki  de  D  oddziaływują  wyłą cznie  W podzbiorach Е е  S,  gdy  siły wzajemnego oddzia­ ływania  mię dzy  czą stkami  należ ą cymi  do  każ dego  podzbioru E,  nie  zależą  od  ruchu (od  położ enia,  prę dkoś ci,  przyspieszenia itp.)  czą stek  nie  należ ą cych  do  E,  oraz gdy  siły  te  zależą  od  ruchu Wszystkich czą stek  należ ą­ cych do  E.  3)  W  przypadku bardziej ogólnym,  którym  nie  bę dziemy  się  tu  zajmować,  dla  każ dej  czą stki  postulu­ jemy  istnienie  osobnej  przestrzeni  konfiguracyjnej  Vjj,  wprowadzając  jednocześ nie  koneksję  W  wią zce  takich przestrzeni nad  zbiorem D,  osobno dla  każ dego  elementu dyskretnego E  (por.  [5]).  4  Mechanika  Teoretyczna  50  Cz.  WOŹ NIAK  o ś r o d k ów  cią głych  oraz  uzasadnienie  celowoś ci  wprowadzenia  poję cia  ciała  dyskrety­ zowanego  podamy  w  punkcie  6.  2.  Układy  współrzę dnych  i  struktury  róż nicowe  W  celu  napisania  r ó w n a ń  konstytutywnych  ciała  dyskretyzowanego  należy  uprzednio  w p r o w a d z i ć  poję cie  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y ch  w  dowolnym  elemencie  dyskretnym  E,  nato­ miast  w  celu  napisania  r ó w n a ń  ruchu  należy  w p r o w a d z i ć  poję cie  struktury  róż nicowej  dla  dowolnej  pary  (Dd,  Sd).  Poję cia  te  pełnią  p o d o b n ą  rolę,  jak  poję cie  w s p ó ł r z ę d n y ch  materialnych  w  mechanice  o ś r o d k ów  cią głych.  Oznaczmy  s  — s(E)  =  E—l.  U k ł a d e m  w s p ó ł r z ę d n y ch  w  elemencie  dyskretnym  E  nazywamy  dowolne  wzajemnie  jednoznaczne  odwzorowanie  к :  E  ­»  {0, At,  ...  ,AS)  с   cJTtAi  <  Л2  <  ...  <  As.  Oznaczmy  d  =  ^ _ 1 ( 0 ) > / л ^  =  x_1(A).  Sens  symbolu  fA,  Л  — AltA2,  ...,AS  wyjaś nimy  poniż ej  omawiając  poję cie  struktury  róż nicowej.  W  k a ż ­ d y m  elemencie  dyskretnym  istnieje  więc  nieskoń czenie  wiele  r ó ż n y ch  u k ł a d ó w  współ­ r z ę d n y c h;  dla  każ dej  pary  x:  E­»  {0, A l t А , },  х ':  E­*  { 0 , A \ , A \ }  takich  u k ł a d ó w  istnieje  założ enie  T'  =  x'ox~l:  {0, Alt  ...,AS]  ­*  {0,A\,  ...,A'S},  k t ó r e  na­ zwiemy  transformacją  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y c h.  Z b i ó r  transformacji  dla  k a ż d e go  E  tworzy  g r u p ę ,  co  u m o ż l i w ia  wprowadzenie  takich  poję ć,  j a k  obiekt  w  elemencie  dyskretnym,  obiekt  geometryczny,  komitanta  obiektu  itp.  K a ż dy  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  w  E  dogodnie  Rys.  4  p r z e d s t a w i ć  przy  pomocy  grafu  zorientowanego,  p r z y p o r z ą d k o w u j ąc  każ dej  z  s  par  czą­ stek d,  fAd,  A  =  A1,  A 2 , . . . ,  As,  wektor  o p o c z ą t ku  w d oraz  k o ń cu  w fAd.  N a rys. 4  podano  p r z y k ł a d  d w ó c h  róż nych  u k ł a d ó w  w s p ó ł r z ę d n y ch  dla  elementu  dyskretnego  o  pię ciu  c z ą s t k a c h,  oznaczając  wektor  łą czą cy  czą stkę  d  z  czą stką  fAd  symbolem  A,  gdzie  A  =  =  I,  II,  III,  IV.  N i e c h  cp: E  ­*  R  bę dzie  d o w o l n ą  d a n ą  funkcją  na  E.  K a ż d e mu  u k ł a d o w i  w s p ó ł r z ę d­ nych  w  E  m o ż na  wtedy  p r z y p o r z ą d k o w ać  ciąg  s+1  liczb  c>0  =  4>{d),AA  °  ~  \0  gdy  Г ( Л ) # 0,  / . / = 1 . 2  5.  PODSTAWY  MECHANIKI  CIAŁ  DYSKRETYZOWANYCH  51  przy  czym  m o ż na  w y k a z a ć ,  że z b i ó r  tych  macierzy  tworzy  g r u p ę .  Podobnie  ł a t w o  zauwa­ ż yć,  że  (2.1)  (  J0,\  / 1  0  \ / V ° \  / 1  O W I V' \  /1  0  Ciąg  liczb  tpAl,  \рА г,  yAs  nazwiemy  s k ł a d o w y m i  wektora  w elemencie  dyskretnym  E.  W z o r y  transformacyjne  (2.1)  oraz  (2.2)  wykorzystamy  przy  wprowadzaniu  poję cia  grupy  izotropii  w  p. 4.  Rozpatrzmy  teraz  p a r ę  (Dd,J>d),  gdzie  d jest  dowolną,  lecz  ustaloną  czą stką  zbioru  D,  oraz  oznaczmy  md  =  max (E, 6'd) — 1,  gdzie  E  przebiega  cały  z b i ó r  Sd.  D o p u s z c z a l n ą   s t r u k t u r ą  róż nicową  na  (Dd,  Sd)  nazywamy  ciąg  md  wzajemnie  jednoznacznych  odwzo­ /   '  ÓD­Ф   t  u  u  u  u  u  Rys. 5  r o w a ń  fA:D A­*  Dd A;  DA  <=  Dd,  Dj A  <=  Dd;  А  =  I , П ,  mit  jednoznacznie  o k r e ś l a­ ją cych  w  k a ż d ym  E  cz Sd  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  x: E ­*  {0, At,  A 2 , A s } ,  s —  =  E—l  md,  gdzie  А1,Л2,Л3,  Л 5  jest  podcią giem  cią gu  I, II,  III,  ...,md;  przyj­ mujemy  tutaj  =  / л ( ^ ) .  P r z y k ł a d  pary  (Dd, Sd)  oraz  dopuszczalnej  struktury  róż nicowej  na  (Dd,Sd)  podano  na  rys. 5  przy  pomocy  grafu;  obowią zują  tu  oznaczenia  podobne,  jak  na  rys. 4,  tj.  wektor  zaopatrzony  w s k a ź n i k i em  Л  łą czy  czą stkę  podzbioru  Dd  z jej  obrazem  należ ą cym  do podzbioru Dd A;  z b i ó r  wszystkich  w e k t o r ó w  zaopatrzonych  w s k a ź ­ nikiem  Л  przedstawia  więc  funkcję  fA:Dd  ­*  Dd A.  Oznaczmy  przezf_A:  Dd A  ­> Dd  funkcje  odwrotne  do fA  oraz  p o ł ó ż my f_Ad'  =  f­A(d'}  dla  k a ż d e go  d' e Dd   л  i k a ż d e go  Л .  D l a dowolnej  funkcji  rzeczywistej  :  Dd  ­»  R,  A Acp: Dd A  ­>  R  definiując  ich  wartoś ci  j a k o  Д л Ч>т  =    {О, Лх,...,  As},  s  =  E— 1 <  m,  gdzie  Л , , / 12 ,  . . . , As  jest  podcią giem  cią gu  /,  II,  ...,  m.  Rys.  6  Rys.  7  K a ż da  struktura  globalna  indukuje  dla  dowolnego  (Dd,  Sd),de  D,  s t r u k t u r ę  l o k a l n ą ;  zależ ność  odwrotna  oczywiś cie  nie  zawsze  musi  z a c h o d z i ć .  S t r u k t u r ę  róż nicową  globalną   m o ż na  w p r o w a d z i ć ,  mię dzy  innymi,  gdy  dla  k a ż d e go  EeS  mamy  E  =  m +  \  =  const  oraz  gdy  k a ż da  c z ą s t ka  de  D  należy  najwyż ej  d o m + 1  r ó ż n y ch  e l e m e n t ó w  dyskretnych.  Przypadek  ten  wystę puje  czę sto  w  praktyce.  Jeż eli  ponadto  k a ż dy  element  dyskretny  zawiera  co  najmniej  j e d n ą  czą stkę  wspólną  z  m  innymi  elementami  dyskretnymi,  to  warto  dodatkowo  zdefiniować  poję cie  brzegu  i  w n ę t r za  pary  (D,  W n ę t r z em  pary  (Z),  $)  nazywamy  p o d z b i ó r  DQ  с  D  taki,  że  d  e  D0  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  ~iu  —  m+1,  tj.  gdy  czą stka  d  należy  równocześ nie  do  m + 1 r ó ż n y ch  e l e m e n t ó w  dyskretnych.  Brzegiem  pary  (D,  S)  nazywamy  p o d z b i ó r  3D  cz  D  zdefiniowany  przez  3D  =  D — DQ.  W  przy­ padkach  szczególnych  dD  =  Ф  (por.  rys.  5 A ,  gdzie  m  =  1)  lub  D0  =  Ф  (por.  rys.  5B,  gdzie  m  =  3).  P r z y k ł a d  globalnej  struktury  róż nicowej  na  parze  (D,  $),  dla  k t ó r e j  E  =  4  (tj.  m  =  3)  podano  na  rys.  7  w  postaci  grafu,  na  k t ó r y m  wektory  « p o z i o m e »  reprezentują   PODSTAWY  MECHANIKI  CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH  53  f u n k c j ę / /,  wektory  «pionowe»  reprezentują  funkcję fu  oraz p o z o s t a ł e  wektory  reprezentują   m  funkcję  fiU.  M o ż na  w y k a z a ć ,  że D0  =  f)  (DA n D_A)  w każ dej  dopuszczalnej  struktu­ A = I  rze  róż nicowej  na (D, $).  3.  Siły  wewnę trzne  Siły  wewnę trzne  w elemencie  dyskretnym  E e i  są to  siły  działają ce  mię dzy  czą stkami  d e E.  Są one przenoszone  przez  element  s k o ń c z o ny  ciała  stałego  przy  założ eniu,  że ele­ ment  dyskretny  E jest  modelem  tego  elementu  s k o ń c z o n e go  (por. pkt 1), a sam element  s k o ń c z o ny  m o ż na  t r a k t o w a ć  niezależ nie  o d reszty  c i a ł a 4 ) .  Celem  przedstawienia  ruchu  i  sił w e w n ę t r z n y ch  elementu  dyskretnego  E w postaci  analitycznej,  wprowadzimy  w  E  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  x: E­*  {0, А1г  A2  As), s = E—l.  R u c h  elementu  dyskretnego  wyznaczają  wektory  ą (d, х ) e V,  <{(fAd,  х ) e V я, Л = Ax, Л2,  A„  o  składowych  odpowiednio  q"m(d,  т ),  q"(fAd,  x), a =  1, 2 ,  n.  Korzystając  z  u k ł a d u  współrzę dnych  x  ruch  ten dogodnie  zlokalizowa ć  w czą stce  de E,  okreś lając  go s+1  funkcjami  wekto­ rowymi  q(d,  T), AAi\(d,  т ), A = Alt  A2,  As.  Siły  wewnę trzne  w elemencie  dyskretnym  m o ż e my  okreś lić,  w przyję tym  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y ch  x,  funkcjami  Ta(d,  т ),  T^(d,  т ),  gdzie  Ta(d, r) są u o g ó l n i o n y m i  siłami  działają cymi  na czą stkę  d w danym  elemencie  dy­ skretnym  E =  {d,fA,d,  ...,fAsd}  oraz  ­Ta{d,t)  są u o g ó l n i o n y m i  siłami  działają cymi  na  czą stkę  fAd  w  t y m ż e  elemencie  dyskretnym  E 5).  Dogodniej  jednak  w p r o w a d z i ć na  miejsce  sił u o g ó l n i o n y c h  Ta(d,  т ),  siły  u o g ó l n i o n e  t„(d, r) dane  przez  (3.1)  ta(d, T) =  Ta(d,  T) ­  2  T A(d, r).  A = Ai  Siły  ta(d, T)  są, zgodnie  z  definicją  (3.1),  u o g ó l n i o n y m i  wypadkowymi  wszystkich  sił  w e w n ę t r z n y ch  w E działają cych  na element  dyskretny  E.  N a l e ż y  p a m i ę t a ć,  że wszystkie  wprowadzone  wielkoś ci  są o k r e ś l o ne  tylko  w dowolnym  lecz  przyję tym  uprzednio  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y ch  x.  Oznaczmy  przez  dL =  dL(E)  wariację  pracy  sił  w e w n ę t r z n y ch  w na £  dowolnych  prze­ mieszczeniach  wirtualnych  dq"(d,  r),  dq"(fAd, r)  elementu  dyskretnego  E. Zgodnie ze  z n a n ą  definicją  sił u o g ó l n i o n y c h  mamy  A.  (3.2)  SL =  ­T.(d,  r)dql(d, r ) +  T*{d,  r)dq°(fAd,  r) =  A.  A.  =  ­Ta(d,  r)dql(d,  т )+  £  T?(d, r)dq°(d,  r)+  £  T?{d, r)6AAq\d,  x),  A = Ai  yt = Ai  co  zgodnie  z  (3.1) prowadzi do  (3.3)  dL =  T?(d, x)6{AAq\d,  x))­t.(d,  x)dq\d, x)  przy  założ eniu,  że obowią zuje  konwencja  sumacyjna  wzglę dem  wszystkich  w s k a ź n i k ó w.  *)  Współdziałanie  danego elementu skoń czonego  z resztą  ciała  dyskretyzowanego wyraża  się  wyłą cznie  przez fakt istnienia czą stek  wspólnych  dla róż nych  elementów  dyskretnych.  *)  Wskaź niki  Л , Ф ,...  przebiegają  w tym punkcie pracy  ciąg  AltA2  As; s = s(E) = Ę —l,  na­ tomiast wskaź niki  a,b,... przebiegają  w całej  pracy ciąg  1, 2  и.  54  Cz.  WOŹ NIAK  Z  r ó w n a n i a  (3.3) wynika,  że  T„(d, r)  są,  dla  k a ż d e go  ustalonego  A, d, r,  s k ł a d o w y m i  kowektora  w przestrzeni  V*n, dualnej  do przestrzeni  konfiguracyjnej.  J e d n o c z e ś n ie  z  (2.1)  wynika,  że s+l  liczb  q"(d,  т ), AAq"(d, т) dla  k a ż d e go  ustalonego  a, r ,  m o ż na  t r a k t o w a ć   j a k o  składowe  pewnego  s +1  wymiarowego  kowektora,  gdyż   q" \  /1  V A  /  ą   K o r z y s t a j ą c  z  (3.3) m o ż e my  w y k a z a ć ,  że . y + l  liczb  T^d,  т ), fa(ć /,  т)  (dla k a ż d e go  usta­ lonego  a, d,  T), to  s k ł a d o w e  s+l  wymiarowego  wektora  o  regule  transformacji  ( 3 ­ 5 )  ­  [a*  B%)(T*);  i,j  = 1 , 2 ,  gdzie  macierz  (j+1) x ( j + 1 )  wystę pują ca  w  (3.5)  jest  odwrotna  (po transpozycji)  wzglę­ dem  odpowiedniej  macierzy  wystę pują cej  w  (3.4).  Wielkoś ci  « p r i m o w a n e »  o d n o s z ą  się   d o  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y ch  x':E­*  {О, Л [,  Л 'г,  ...,  A's},  a  wielkość  dL jest  niezmienni­ kiem  tak  wzglę dem  zmiany  u k ł a d u  współrzę dnych  w  £ , j a k  i  zmiany  bazy  w  przestrzeni  konfiguracyjnej  Vя  i  przestrzeni  dualnej V*".  Wprowadzimy  teraz  dla  dowolnego  elementu  dyskretnego  E  i  dowolnego  u k ł a d u  współrzę dnych  w  E,  ciąg  złoż ony  z  К =  K(E)  (K jest  liczbą  całkowitą  d o d a t n i ą  oraz  E  6 S)  r ó ż n i c z k o w a l n y ch  funkcji  (3.6)  yA  =  Aadq°)  =  T?dAAq a­tadq a,  w  k t ó r y m  oznaczono  И  8)  ФА  ­  д < Р л  Ф  ­  д < Р л   (3.8)  ФА а  ­  ­щ ^­,  ФА а  ­ winien  z a c h o d z i ć  dla  dowolnych  óAAq"  oraz  6q Q.  W y n i k a  stą d,  że  (3.9)  7 ?  =  рЛФ й а ,  U =  ­рЛФ л а ­ Funkcje  pA(d,  г ), A  =  1 , 2 ,  K,  spełniają ce  zwią zki  (3.9),  nazwiemy  n a p i ę c i a mi  w ele­ mencie  dyskretnym  E,  natomiast  funkcje  yA  =  yA(d,  r)  nazwiemy  o d k s z t a ł c e n i a m i  tego  selementu.  Z a r ó w n o  napię cia,  j a k i  o d k s z t a ł c e n i a  o k r e ś l o ne  są w  danym  u k ł a d z i e  współ­ t z ę d n y c h.  PODSTAWY  MECHANIKI  CIAŁ  DYSKRETYZOWANYCH  55  4.  Równania  konstytutywne  R ó w n a n i a  konstytutywne  dla  dowolnego  elementu  dyskretnego  wyraż ają  zwią zek  mię dzy  siłami  wewnę trznymi  w tym elemencie  a jego  ruchem  (tj.  ruchem  wszystkich  jego  czą stek).  R ó w n a n i a  te  napiszemy  postulując  dla  k a ż d e go  E e $  z a s a d ę  determinizmu,  [4],  tj. przyjmują c,  że siły  wewnę trzne  w elemencie  dyskretnym  E  (siły  działają ce  p o m i ę d zy  c z ą s t k a mi  tego  elementu)  w  dowolnej  chwili  т  są  o k r e ś l o ne  historią  ruchu  elementu  E  aż  do  chwili  т  włą cznie.  N i e uwzglę dniamy  więc  tutaj  ż a d n y ch  c z y n n i k ó w  działają cych  na  element  s k o ń c z o ny  innych  od sił mię dzy  c z ą s t k a mi  odpowiedniego  elementu  dyskret­ nego.  W  dowolnym  układzie  w s p ó ł r z ę d n y ch  x: E ­*  {О, Л1г  As)  z a s a d ę  determinizmu  dla  ciał  dyskretyzowanych  wyraż ają  więc  nastę pują ce  r ó w n a n i a  konstytutywne  T  SA  [d, ą (d,o),  Аф^,а )},  O " — 00 T  Sa  [d,  ą (d, a), A^d,  a)],  a=  —  oo   gdzie  argument  d  oznacza,  że  ruch  elementu  dyskretnego  jest  zlokalizowany  w  czą stce  d  oraz  gdzie  SA,  Sa  nazywamy  funkcjonałami  konstytutywnymi  elementu  dyskretnego  E.  F u n k c j o n a ł y  te  opisują  jednoznacznie  pewne  globalne  własnoś ci  m a t e r i a ł o w e  i strukturalne  odpowiedniego  elementu  s k o ń c z o n e g o.  P o s t a ć  funkcjonałów  konstytutywnych  zależy  o d  wyboru  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n yc  hx w  elemencie  dyskretnym  E.  N i e c h  к : E  ­>  {О, Лх,  A2,...,  As}  omzx':E­+  {0,  A[,A2,  A's) bę dą  dowolnymi  dwoma  takimi  u k ł a d a m i .  Funkcjo­ nały  konstytutywne  w  obu  tych  u k ł a d a c h  w s p ó ł r z ę d n y ch  oznaczmy  przez  SA(d,  q,  AAq),  Sa{d,  q, AAą )  oraz  'S A'(d',ą ',  ААл \'),  S'a(d', a', AA,ą '),  gdzie argumenty  doraz*/'  oznaczają   lokalizację  r u c h ó w  odpowiednio  w c z ą s t k a ch  d lub d'.  Korzystając  ze zwią zków  transfor­ macyjnych  (3.5) i  (3.4)  napiszemy  (4.2)  SA{d,  q,  Zl^ą)  =  BAA, 'S A'(d', q',  Аф,а ')  + 'а А S'a{d', q',  Аф.а ')  =  =  BA,  'SA\d,  а +'афАфа ,  В $.Афа )  + 'а А8^,  а + 'афАфа ,  В $,Афа ),  Said,  q, Афа )  =  S'a(d', a', Аф,а ')  =  S'a(d,  а + 'а фАфа ,  В $,Афф ;  Л ,Ф  =  А ,,Л2,  ...,  As;  A',  Ф '  =  Л [,А2,  ...,A'S.  oraz  r ó w n o ś ci  (4.2)  bę dziemy  i n t e r p r e t o w a ć  nie  j a k o  t r a n s f o r m a c j ę  T =  x ' o « _ 1 :  {0,  Ay,A2,  ...,  As}  ­>  {0,  A[,A'2,  ...,  A's)  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y ch  w E,  lecz  j a k o  p r z e k s z t a ł ­ cenie  zbioru  E, w k t ó r y m  obrazem  czą stki  d  — x ­ 1 ( 0 ) jest  czą stka  d'  =  ' x ­ 1 ( 0 ) ,  a  obrazem  czą stki  fAtd  =  x~ 1(Ai)  jest  czą stka  fAtd'  =  ' а г 1 ^ ; )  d l a i  =  1 , 2 , ...,s. C z ą s t ka  d  w  tej  interpretacji  zmienia  swój  ruch  z  ą (d,  r)  na  ą {d,  r) + 'a^A0ą (d, r),  a  ruch  czą stki  fAid  wzglę dem  czą stki  d  ulega  zmianie  z  AAtą (d,  r)  na  В л ' фАфа № ,  т ).  Z a u w a ż m y,  że zawsze  istnieje  podgrupa  grupy  przekształce ń  (3.4),  k t ó r a  nie zmienia  postaci  funkcjonałó w  k o n ­ stytutywnych,  tj.  dla  które j  'SA\  =  SAl,  Sa  =  S'a.  Zgodnie  z  (4.2)  istnieją  więc  zawsze  takie  'аф  oraz  B%„  dla  k t ó r y c h  (4.3)  SA(d,  q, Афф  =  B ASA'(d,  а + 'афАфа ,  BlA^  + 'a^id,  q + V M ^ q ,  В ф,А ф ,  Sa(d,  q, Афф  =  Sa(d, а + 'а фАфа ,  В $,Афа ).  (4.1)  TA(d,  т)  =  ta{d,  т)  =  56  C z .  WOŹ NIAK  W  szczególnoś ci  zwią zki  (4.3) m o g ą  z a c h o d z i ć  tylko  gdy odpowiednia  podgrupa  grupy  przekształce ń  zawiera  tylko  element  jednostkowy  'аф  — О, В Ф'®1 =  д {.  P o d g r u p ę  grupy  przekształce ń  (3.4),  k t ó r a  spełnia  (4.3),  nazwiemy  g r u p ą  izotropii  funkcjonałó w  konsty­ tutywnych  (4.1).  G r u p a  izotropii  w mechanice  ciał  dyskretyzowanych  nie zależy  od  ż adnej  «konfiguracji  odniesienia»  ciała  (jak  to  ma  miejsce  w  mechanice  o ś r o d k ów  cią głych),  lecz  m o ż e  zależ eć  od wyboru  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y c h,  a  ś ciś lej  m ó w i ą c  od sposobu  l o k a ­ lizacji  ruchu  w  elemencie  dyskretnym  E.  Jeż eli  grupa  izotropii  zawiera  wszystkie  prze­ kształcenia  (3.4),  dla k t ó r y c h  'аф  =  0,  wtedy  element  dyskretny  nazwiemy  izotropowym  w  czą stce  d;  wszystkie  s  w e k t o r ó w  AAą ,  A  =  Alt  A2,  ...,AS,  w przestrzeni  konfiguracji  są,  m ó w i ą c  obrazowo,  jednakowo  uprzywilejowane z punktu  widzenia własnoś ci  elementu  dyskretnego.  I n t e r p r e t u j ą c  bowiem  (4.3) jako  z m i a n ę  ruchu  elementu  dyskretnego  ł a t w o  z a u w a ż y ć,  że dla elementu  E izotropowego  w  czą stce  d,  zamiana  miejscami  czą stek  fAd,  fA2d,  • • • ,fA,d  nie  zmienia  sił w e w n ę t r z n y ch  w  elemencie  dyskretnym.  Element  dyskretny  izotropowy  w  każ dej  czą stce  nazwiemy  izotropowym.  M o ż na  w y k a z a ć ,  że dla  elementu  izotropowego  w czą stce  d r ó w n a n i a  (4.3) sprowadzają  się do postaci  gdzie  (Q%.) jest  macierzą  sxs,  k t ó r a  w  k a ż d ym  wierszu  i  w  każ dej  kolumnie  ma  s—l  zer  oraz  j e d y n k ę  (macierz  permutacji).  Z b i ó r  tych  macierzy  tworzy  p o d g r u p ę  grupy  orto­ gonalnej.  Jeż eli  dla k a ż d e go  elementu  dyskretnego  w ciele  dyskretyzowanym  istnieje  taki  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y c h,  że  funkcjonały  konstytutywne  tych  e l e m e n t ó w  są  identyczne,  to  ciało  nazwiemy  r ó w n o m i e r n y m .  G d y ponadto  wszystkie  te  u k ł a d y  są indukowane  przez  j e d n ą   g l o b a l n ą  s t r u k t u r ę  róż nicową,  o m ó w i o n ą  na k o ń cu  p. 2, to  ciało  dyskretyzowane  nazwie­ my  jednorodnym.  Podane  definicje  są wzorowane  na odpowiednich  definicjach  mechaniki  o ś r o d k ów  cią głych  [4].  Rozpatrzmy  teraz  przypadek  szczególny,  w  k t ó r y m  dla danego  elementu  dyskretnego  E  istnieje  potencja ł  sprę ż ysty.  W p r o w a d z a j ą c  w E  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  x: E ­»  {0,  Alt  A2,  ...,  As},  potencja ł  ten  przedstawimy  w  postaci  e[d, (d,ą т ), ą (fAd,  т )],  a  zgodnie  z  definicją  sił Ta,  T A  otrzymamy  (4.4)  S?(d, q, Афф  =  Q%S A\d,  q,  Q%.A0ą ),  S.(d, q, Афц )  =  Sa(d,  q,  Q$.A*q),  Zdefiniujmy  n a s t ę p n ie  funkcję  e(d,  ...),  zwaną  p o t e n c j a ł e m  sprę ż ystym,  k ł a d ą c  (4.6)  e[d, ą (d, r), Aą (d, т )] =  e[d, ą (d, r), ą (d, r) + AAą (d,  r)],  tj.  lokalizując  ruch  elementu  dyskretnego  w  czą stce  d. Z  uwagi na  (4.7)  de(d, ...)  ds(d, ...)  Sqa{Ud,  г) ~  dAAq­(d,  r) '  otrzymamy  ostatecznie  (4.8)  Ti(d,  r) =  dAAq°(d,  r)'  de{d, ...)  ta{d,  T)  =  ­ de(d, ...)  dqa(d, T)  *  PODSTAWY  MECHANIKI  CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH  57  R ó w n a n i a  (4.8) są  przypadkiem  szczególnym  r ó w n a ń  konstytutywnych  (4.1);  element  dyskretny,  dla  k t ó r e g o  one obowią zują,  nazwiemy  sprę ż ystym.  Jeż eli  wszystkie  elementy  dyskretne  ciała  dyskretyzowanego  są  sprę ż yste,  wtedy  ciało  to  nazwiemy  s p r ę ż y s t y m,  a  odpowiednie  r ó w n a n i a  dla takiego  ciała  —  r ó w n a n i a m i  dyskretnej  teorii  sprę ż ystoś ci  [6].  Podobnie  m o ż na  s f o r m u ł o w a ć  podstawowe  r ó w n a n i a  dyskretyzowanych  ciał  s p r ę ­ ż ysto­plastycznych  [1].  Korzystając  ze s k ł a d o w y c h  stanu  napię cia  pA(d,  т) oraz  s k ł a d o w y c h  stanu  o d k s z t a ł ­ cenia  yA(d,  T), A =  1, 2,  K,  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  a l t e r n a t y w n ą  p o s t a ć  r ó w n a ń  konsty­ tutywnych  T (4.9)  pA(d,  T) =  PA  (d, yB(d,  а )),  А , В =  1, 2 , . . . , К ,  а • ­ — со   gdzie  Рл  są  funkcjonałami  konstytutywnymi.  D l a sprę ż ystego  elementu  dyskretnego  istnieje  potencja ł  (4.10)  e =  e(d,  yB(d, T)),  a  r ó w n a n i a  konstytutywne  mają  p o s t a ć   ( 4 . „ ,  P r z y k ł a d y  r ó w n a ń  konstytutywnych  dla  n i e k t ó r y c h  dyskretyzowanych  ciał  sprę ż ystych  po­ dano  w  [2].  5.  Równania  ruchu  N i e c h  deD  bę dzie  d o w o l n ą  czą stką  ciała  dyskretyzowanego,  Qtt(d, т)  niech  oznacza  u o g ó l n i o n e  siły  działają ce  na tę  czą stkę  oraz  niech  (5.1)  T =  T(d, ...)  = iaa b{d)q\d,  r)q b{d,  r)  bę dzie  jej  energią  kinetyczną  (wskaź niki  a,  b  przebiegają  ciąg  1,2,  и ;  obowią zuje  konwencja  sumacyjna).  W  (5.1)  założ yliś my,  dla  uproszczenia,  że czą stka  d jest  u k ł a d e m  dynamicznym  skleronomicznym.  R ó w n a n i a  Lagrange'a  II  rodzaju  dla czą stki  d  mają   z n a n ą  p o s t a ć   (5.2)  Qa(d, r) =  aab(d)q\d,  r).  Celem  wyraż enia  sił Qa(d, r) przez  siły  wewnę trzne  należy  r o z w a ż yć  p a r ę  (Dd,  tfd)  i  przy­ j ą ć  na niej  d a n ą  d o p u s z c z a l n ą  s t r u k t u r ę  róż nicową  (por.  p. 1 i 2). Przyjmujemy,  że  w s k a ź ­ n i k i  Л , Ф  przebiegają  teraz  ciąg  / , / / ,  md  oraz  wprowadzamy  nastę pują ce  pomocnicze  oznaczenia:  W , T ) ^ 0 ,  TA(d',r)a=0,  gdy  w d' nie  jest  zlokalizowany  ruch  ż a d n e go  elementu  dyskretnego,  TM,  r)  = 0  gdy  d' ~  6 Di,  Т ?(f­  Ad',  т )й о  gdy  d'­eD^.  58  C z .  WOŹ NIAK  T y m  samym  wielkoś ci  TA(d',  r),  TA(f_Ad',  r),  Ta(d', т) są  okreś lone  dla k a ż d e go  d' e  6 Dd  oraz  dla Л  =  /,  II,  md  (por.  p. 3).  T a k ż e  wielkość  ta(d,  т)  m o ż na  teraz  zdefinio­ w a ć  wzorem  ma  (5.3)  ta(d,  T)  =  В Д  T) ­  № , r ) ,  wynikają cym  z  (3.1)  oraz  wyprowadzonych tu pomocniczych  definicji.  Zgodnie  z  przyję­ tymi  oznaczeniami  mamy  (5­4)  Q.(d, T) =  T) ­  ^  TA(f_Ad,  T) +/.(<*,  *) ,  g d z i e / a ( d ,  T) są  u o g ó l n i o n y m i  siłami  z e w n ę t r z n y mi  działają cymi  na  czą stkę  d,  oraz  Га(й ?, т)  i  —TA(f_Ad,  r) są siłami  w e w n ę t r z n y mi  działają cymi  na czą stkę  U? we  wszystkich  elemen­ tach  dyskretnych  E e Sd  zawierają cych  tę czą stkę.  Rugując  z  (5.3)  i  (5.4)  siły  u o g ó l n i o n e  Ta(d,  T) oraz  korzystając  z  (5.2),  otrzymamy  ostatecznie  r ó w n a n i a  (5.5)  AAT A(d,  r) + ta(d,  T)+/.(<*,  T)  =  aab(d)q b(d,  r),  w  k t ó r y c h  obowią zuje  konwencja  sumacyjna  p o d ł u g  w s k a ź n i k ów  Л  — I, II,  III,  ...,md,  oraz  b  — 1,  2,  n.  R ó w n a n i a  (5.5)  są  niezależ ne  o d własnoś ci  e l e m e n t ó w  dyskretnych  i  w zwią zku  z tym  m o ż e my  je  n a z w a ć  r ó w n a n i a m i  ruchu  ciała  dyskretyzowanego.  R ó w n a ­ nia  te powinny być  spełnione  dla  k a ż d e go  d e D,  a celem  ich  napisania  należy  w p r o w a d z i ć   d o p u s z c z a l n ą  s t r u k t u r ę  róż nicową  dla  k a ż d e go  (Dd, Sd),  deD,  lub,  gdy  to jest  moż liwe,  globalną  s t r u k t u r ę  róż nicową  na  (D,  S).  W  szczególnym  przypadku,  gdy spełnione są   warunki  podane  na  k o ń cu  p.2,  r ó w n a n i a  ruchu  w postaci  (5.5)  dotyczą  k a ż d e go  d e D0  (nie  zachodzi  wtedy  potrzeba  definiowania  dodatkowych  «zerowych»  sił  w e w n ę t r z n y c h,  a  w s k a ź n ik  Л przebiega  ciąg  I, II, III,  ...,m),  natomiast  dla de  3D  r ó w n a n i a  ruchu  mają   p o s t a ć [6]  (5­6)  £  TA(d, r)­  £  TA(f_Ad,  T) + Ud,  T) +fa(d,  T) = aabq\d,  т ),  AeRd  AeLd  gdzie  Rd  cz  (I, II, ...,m),  Ld  c: (I,II,m)  są  p o d c i ą g a mi  cią gu  1,11, ...,m  t a k i m i ,  że  (Л  e Rd) o  {deDA)  oraz  (Л eLd)  o  (de  D_A). W pracy  [6]  zwią zki  postaci  (5.6)  nazwa­ no  umownie  « w a r u n k a m i  b r z e g o w y m i » ;  należy  jednak  zaznaczyć,  że w  mechanice  c i a ł  dyskretyzowanych  warunki  brzegowe  w  ś cisłym  tego  poję cia  znaczeniu  nie  wystę pują   ( « w a r u n k i  brzegowe»  podane  np.  w  [6] są tylko  inną  postacią  r ó w n a ń  ruchu).  A l t e r n a t y w n ą  p o s t a ć  r ó w n a ń  ruchu  otrzymamy  korzystając  z  (3.9),  tj. po wprowadze­ n i u  s k ł a d o w y c h  stanu  napię cia pA  . Zgodnie z  (5.5)  i  (3.9)  napiszemy  (5­7)  АА(Ф йар л)  ­  ФА а Р л  +fa  =  aabq b,  pomijając  argumenty  poszczególnych  funkcji;  obowią zuje  tu konwencja  sumacyjna  p o d ł u g  w s k a ź n i k ów  Л  =  I, II,  md,  A =  1,2,  K,  orazfe  =  1,  2,  n.  R ó w n a n i a  ruchu  (5.5)  oraz  r ó w n a n i a  konstytutywne  (4.1)  s t a n o w i ą  podstawowy  u k ł a d  r ó w n a ń  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych;  alternatywna  p o s t a ć  tego  u k ł a d u  w y r a ż a się   wzorami  (5.7),  (3.6)  i  (4.9).  Podstawowymi  niewiadomymi są najczę ś ciej  funkcje  q"(d,  т ),  PODSTAWY  MECHANIKI  CIAŁ  DYSKRETYZOWANYCH  59  de  D,  k t ó r y c h  liczba  jest  r ó w n a  л ­ k r o t n ej  liczbie  czą stek  w  układzie,  oraz  przez  k t ó r e  w y r a ż a my  wszystkie  p o z o s t a ł e  niewiadome  funkcje  (siły  wewnę trzne  lub  napię cia  i  od­ kształcenia).  W  przypadkach  szczególnych  n i e k t ó r e  z  funkcji  q"(d,  r)  mogą  b y ć  dane  z  g ó r y ;  wtedy  ich  miejsce  jako  niewiadomych  zajmują  odpowiednie  funkcje  fa(d,  r),  a  liczba  poszukiwanych  funkcji  nie  ulega  zmianie.  Ł a t w o  sprawdzić,  że  liczba  niewiado­ mych  funkcji  jest  r ó w n a  liczbie  r ó w n a ń ,  k t ó r y m i  dysponujemy  w  mechanice  ciał  dyskre­ tyzowanych.  N a l e ż y  podkreś lić,  że  j e d y n ą  lecz  zasadniczą  t r u d n o ś c ią  przy  f o r m u ł o w a n i u  r ó w n a ń  danego  ciała  dyskretyzowanego  jest  wyznaczenie  prawych  stron  r ó w n a ń  konstytu­ tywnych.  T r u d n o ś ć  t ę  m o ż na  p o k o n a ć  albo  korzystając  z  r ó w n a ń  mechaniki  o ś r o d k ów  cią głych  (co  dokonano  dla  pewnych  dyskretyzowanych  ciał  sprę ż ystych,  [2]  i  sprę ż ysto­ plastycznych  [1])  lub  też  ewentualnie  na  drodze  doś wiadczalnej.  6.  Uwagi  koń cowe  Dokonajmy  k r ó t k i e g o  p o r ó w n a n i a  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych  z  m e c h a n i k ą   o ś r o d k ów  cią głych.  Zaznaczmy  o d  razu,  że  problemy  dają ce  się  r o z w i ą z ać  przy  pomocy  r ó w n a ń  mechaniki  o ś r o d k ów  cią głych  nie  są  z  reguły  interesują ce  j a k o  zagadnienia  me­ chaniki  ciał  dyskretyzowanych,  a  rozpatrywanie  ich  w  oparciu  o  r ó w n a n i a  tej  ostatniej  jest  po  prostu  niecelowe.  J e d n a k ż e  mechanika  o ś r o d k ów  cią głych,  w  które j  podstawowe  r ó w n a n i a  są  najczę ś ciej  r ó w n a n i a m i  r ó ż n i c z k o w y mi  czą stkowymi,  praktycznie  u m o ż l i w ia  wyczerpują cą  analizę  i  rozwią zanie  jedynie  stosunkowo  prostych  z a g a d n i e ń ,  w  k t ó r y c h  mamy  do  czynienia z  obszarami  o  nieskomplikowanych k s z t a ł t a c h  i  regularnych  brzegach,  z  obcią ż eniami  o  niewielkiej  liczbie  niecią głoś ci  i  osobliwoś ci  oraz  z  m a t e r i a ł a m i  o  wła­ snoś ciach  nie  charakteryzują cych  się  wieloma  niecią głoś ciami  lub  defektami.  W a r u n k i  te  nie  z a c h o d z ą  jednak  w  zdecydowanej  wię kszoś ci  z a g a d n i e ń  współczesnej  techniki,  w  k t ó ­ rych  mamy  do  czynienia  z  konstrukcjami  o  złoż onych  k s z t a ł t a c h ,  o  niecią głych  i  skupio­ nych  obcią ż eniach  oraz  o  m a t e r i a ł a c h ,  k t ó r y c h  własnoś ci  doznają  wielu  skokowych  nie­ cią głoś ci  (materiały  zbrojone).  Korzystanie  w  tych  przypadkach  z  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  czą stkowych  mechaniki  o ś r o d k ów  cią głych  ogranicza  się  wtedy  praktycznie  do  zapisania  odpowiedniego  zagadnienia  granicznego  bez  moż liwoś ci  s f o r m u ł o w a n i a  nawet  najbardziej  o g ó l n y c h  w n i o s k ó w  j a k o ś c i o w y c h.  R ó w n i e ż  zastą pienie  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  c z ą s t k o­ wych  r ó w n a n i a m i  r ó ż n i c o w y m i,  przy  duż ej  liczbie  osobliwoś ci  (zwią zanych  np.  z  działa­ niem  sił  skupionych,  k o n c e n t r a c j ą  n a p r ę ż e ń,  niecią głoś ciami  etc.)  prowadzi  do  t r u d n o ś ci  numerycznych  (bardzo  wielka  liczba  r ó w n a ń )  uniemoż liwiają cych  czę sto  uzyskanie  roz­ wią zania  iloś ciowego.  W  zagadnieniach  takich  zastosowanie  r ó w n a ń  mechaniki  ciał  dy­ skretyzowanych  wydaje  się b y ć obecnie  j e d n ą  teoretyczną  drogą,  na  k t ó r e j  m o ż na  u z y s k a ć   tak  j a k o ś c i o w ą,  jak  i  iloś ciową  analizę  problemu.  Powyż sze  stwierdzenie  wynika,  mię dzy  innymi,  z  nastę pują cych  przesłanek.  Przede  wszystkim  w  mechanice  ciał  dyskretyzowa­ nych  nie  wystę pują  warunki  brzegowe  (por.  uwagi  po  wzorze  (5.6)),  a  tym  samym  nawet  najbardziej  z ł o ż o ny  kształt  ciała  nie  utrudnia  analizy  zagadnienia.  P o  drugie,  przy  odpo­ wiedniej  dyskretyzacji  t a k ż e  niecią głość  obcią ż eń  oraz  niecią głość  m a t e r i a ł u  nie  p r o w a d z ą   do  bardziej  złoż onej  postaci  r ó w n a ń ,  bowiem  r ó w n a n i a  konstytutywne  opisują  niezależ nie  własnoś ci  poszczególnych  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h,  k t ó r e  zawsze  m o ż na  t r a k t o w a ć  w przy­ bliż eniu  j a k o  jednorodne  i  n i e o b c i ą ż o n e.  Wreszcie  w  mechanice  ciał  dyskretyzowanych  60  C z .  WOŹ NIAK  nie  wystę pują  osobliwoś ci,  k t ó r e  w  mechanice  o ś r o d k ów  cią głych  są  zwią zane  z  np.  z  wy­ s t ę p o w a n i em  sił  skupionych  i  k t ó r e  czę sto  k o m p l i k u j ą  problem.  Z  drugiej  strony  należy  jednak  p a m i ę t a ć,  że  rozwią zania,  k t ó r y c h  dostarcza  mechanika  ciał  dyskretyzowanych,  zależą  od  rodzaju  dyskretyzacji  i  są  r ó ż n y mi  przybliż eniami  w  opisie  tego  samego  zagad­ nienia.  Z a u w a ż my  t a k ż e,  że  r ó w n a n i a  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych,  przy  numerycz­ nym  rozwią zywaniu  poszczególnych  z a g a d n i e ń  dotyczą cych  statyki,  d r g a ń  harmonicznych,  rozchodzenie  się  pewnych  fal  e t c ,  p r o w a d z ą  o d  razu  do  r ó w n a ń  algebraicznych  znanej  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h,  a  więc  dają  się  rozwią zywać  na  E M C . T y m  samym  me­ c h a n i k ę  ciał  dyskretyzowanych  m o ż na  w  pewnym  stopniu  t r a k t o w a ć  jako  fizyczną  nadbu­ d o w ę  nad  m e t o d ą  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  w  zakresie  mechaniki  ciał  odkształcalnych .  N a  z a k o ń c z e n ie  zaznaczmy,  że  przedstawione  w  tej  pracy  o g ó l n e  r ó w n a n i a  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych  [ r ó w n a n i a  ruchu  (5.5)  i  r ó w n a n i a  konstytutywne  (4.1)]  stanowią   tylko  punkt  wyjś cia  do  analizy  r ó ż n y ch  p r o b l e m ó w  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych  (ciała  sprę ż yste  i  plastyczne,  teoria  liniowa  i  teoria  małyc h  odkształceń ,  ciała  izotropowe,  zagadnienia  statecznoś ci,  d r g a ń  etc.)  oraz  do  rozwią zywania  r ó ż n y ch  z a g a d n i e ń  szczegól­ nych.  Moż liwe  jest  t a k ż e  uogólnienie  r ó w n a ń  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych  celem  obję cia  nimi  t a k ż e  z a g a d n i e ń  termodynamicznych.  Wszystkie  te  problemy  są  tematem  osobnych  publikacji.  Literatura  cytowana  W tekś cie  1.  M .  KLEIBER, Note  on  the discrete plastic bodies,  Arch.  Mech.  Stos.  (w  przygotowaniu).  2.  W .  KUFEL,  O  liniowych  zagadnieniach  teorii  sprę ż ystoś ci  cial dyskretyzowanych,  Mech.  Teoret.  i Stos.,  1,  11  (1973).  3.  J. L .  SYNGE,  Classical  dynamics,  Handbuch  der  Physik,  Ш / l,  Springer  Verlag,  1960.  4.  С .  TRUSDELL,  W .  NOLL,  The  non­linear  field  theories  of  mechanics,  Handbuch  der  Physik,  Ш / 3,  Springer  Verlag  1965.  5.  Cz.  WOŹ NIAK,  Basic  concepts  of  the difference geometry,  Annates Polon.  Math.,  28  (1972).  6.  C z .  WOŹ NIAK,  Discrete  elasticity,  Arch.  Mech.  Stos.,  6,  23  (1971).  7.  О . С .  ZIENKIEWICZ,  The finite element  method,  McGraw  Hill,  1967.  Р е з ю ме   О С Н О ВЫ  М Е Х А Н И КИ  Д И С К Р Е Т И З И Р О В А Н Н ЫХ  Т ЕЛ   Т е м ой  р а б о ты  я в л я е т ся  п р и б л и ж е н н ое  о п и с а н ие  д е ф о р м и р у е м о го  т е л а,  п о с т р о е н н ое  в  р а м к ах   п р е д п о л о ж е н ий  т е о р ии  с п л о ш н ой  с р е д ы,  но  с  и с п о л ь з о в а н и ем  с и с т е мы  с  к о н е ч н ым  и ли  с ч е т н ым   ч и с л ом  с т е п е н ей  с в о б о д ы.  Т а к ая  с и с т е ма  н а з в а на  д и с к р е т и з и р о в а н н ым  т е л о м.  И с х о дя  и з  о б щ ей  с х е мы  д и с к р е т и з а ц ии  с п л о ш н ой  с р е ды  в в о д и т ся  п о н я т ие  д и с к р е т и з и р о в а н­ н о го  т е л а,  а  з а т ем  в ы в о д я т ся  д ля  э т о го  т е ла  у р а в н е н ия  д в и ж е н ия  и  о п р е д е л я ю щ ие  с о о т н о ш е н и я.  О с о б ым  с в о й с т в ом  э т их  у р а в н е н ий  с л е д у ет  с ч и т а ть  irx  п р о с т ую  и  о д н о в р е м е н но  в е с ь ма  о б щ ую   ф о р м у,  а т а к же  ф о р м а л ь н ое  с х о д с т во  с  с о о т в е т с т в у ю щ и ми  у р а в н е н и я ми  м е х а н и ки  с п л о ш н ых  с р е д.  Р а с с м о т р е ны  п р е д е лы  п р а к т и ч е с к ой  п р и м е н и м о с ти  у р а в н е н ий  м е х а н и ки  д и с к р е т и з и р о в а н н ых   т е л.  PODSTAWY  MECHANIKI  CIAŁ  DYSKRETYZOWANYCH  61  S u m m a r y  BASIC  CONCEPTS  O F T H E  MECHANICS  O F DISCRETIZED  BODIES  The  paper dels with an approximate description of the deformable body within the known assumptions  of  the  continuous  media theory  and using the  additional assertion  that  the  body under consideration has  only finite  or countable number of degrees of freedom. Such body is said to be a discretized body. Starting  from the general scheme of discretization of continuous  media we arrive at the concept  of discretized body  and  then we  obtain the equations  of motion and the constitutive  equations  of such a body. The characte­ ristic  feature  of  the  equations  obtained  is their simple  and general  form  and their formal  resemblance  to  the known equations  of the continuous  media theory. At the end of the paper the problem of applications  of  the mechanics  of discretized bodies is also widely  discussed.  u n i w e r s y t e t  w a r s z a w s k i  w y d z i a ł  m a t e m a t y k i  i  m e c h a n i k i  Praca została  złoż ona  w redakcji dnia 26 kwietnia  1972  r.