Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z1.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  1,  U  (1973)  P R Z Y K Ł A D Y  U L T R A D Y S T R Y B U C Y J N Y C H ROZWIĄ ZAŃ  P A S M A  P Ł Y T O W E G O  J A N  G R A B A C K I ,  G W I D O N  S Z E F E R  ( K R A K Ó W )  1.  Wstęp  W  pracy  przedstawione  bę dą  rozwią zania  wybranych  z a d a ń  klasycznej  teorii  płyt,  uzyskane  przy  uż yciu  transformacji  Fouriera  w przestrzeni  ultradystrybucji.  T r a n s f o r m a c j ę   tego  typu  n a z y w a ć  bę dziemy  dalej J 5 ^ —  transformacją.  Znaczenie  teorii  dystrybucji  w  problemach  brzegowych  mechaniki  jest  powszechnie  znane;  uogólnienie  rozwią zań  na  przestrze ń  dystrybucji  temperowanych  i  ultradystry­ bucji  niesie  ze  sobą  dalsze  korzyś ci.  W  pracy  chcemy  p o k a z a ć ,  że zastosowanie  aparatu  ultradystrybucji  ma  nie  tylko  cechy  zabiegu  formalnego  i matematycznej  elegancji,  ale  r ó w n i e ż  znamiona  zrę cznego  i  wygodne­ go  algorytmu  praktycznego.  Istotnym  elementem  stanowią cym  o  przewadze  omawianej  metody  nad  klasyczną  transformacją  Fouriera jest  to,  że  zastosowany  aparat  nie  wymaga  ż a d n y ch  założ eń  dotyczą cych  regularnoś ci,  zachowania  w  n i e s k o ń c z o n o ś ci  itp.  Fizyczne  znaczenie  tak  otrzymanych  rozwią zań  p o d k r e ś la  przy  tym  twierdzenie,  k t ó r e  orzeka,  że  ultradystrybucyjne  rozwią zania  p r o b l e m ó w  brzegowych  są  identyczne  z  r o z w i ą z a n i a mi  klasycznymi,  o  ile  te  ostatnie  istnieją.  W y n i k a  stą d,  że  nawet  wtedy,  gdy  zadanie  m o ż na  rozwią zać  metodami  tradycyjnymi,  stosowanie  ultradystrybucji  prowadzi  do  w y n i k ó w  identycznych.  Jeś li  zatem  uda  się  p o k a z a ć ,  że  operowanie  tymi  u o g ó l n i o n y m i  poję ciami  prowadzi  poza  w s p o m n i a n ą  ogólnoś cią  r ó w n i e ż  do  wygodnych,  ł a t w y c h  i  efektywnych  obliczeń  —  to  korzyś ci  wynikają ce  ze  stosowania  tych  ś r o d k ów  b ę dą  bezsporne.  Te  ostatnie  walory  ł a t w o  z a d e m o n s t r o w a ć  na  prostym  p r z y k ł a d z i e .  Mianowicie ,  w  wielu  zadaniach  płaskiej  teorii  sprę ż ystoś ci  (tarcze,  płyty)  przy  zastosowaniu  transformacji  Fouriera  napo­ tykamy  w y r a ż e n ia  typu g(a.)h(zx),  k t ó r y c h  retransformaty^' _ 1 [g , (a)A(ax)]  istnieją  (w  zwy­ kłym  sensie),  lecz  obliczenie  k t ó r y c h  nastrę cza  duże  t r u d n o ś ci  rachunkowe  (zazwyczaj  są   to  złoż one  całki  nieelementarne).  Zastosowanie  twierdzenia  o  splocie  m o g ł o b y  tu  u ł a t w i ć   obliczenie,  ale  zazwyczaj  bywa  tak,  że  o  ile  wykonanie  operacji  [g(a)]  nie  sprawia  wię kszych  t r u d n o ś ci  (w  ostatecznoś ci  m o ż na  skorzystać  z  efektywnych  metod  p r z y b l i ż o­ n y c h ) —  to  retransformata  ^~1[h(ax)]  nie  istnieje.  T y p o w y m  p r z y k ł a d e m  takiej  sytuacji  m o ż e  być  funkcja  h(ouc)  =  c h a x ,  które j  retransformata  nie  istnieje  nawet  w  sensie  dystry­ bucji  Schwarza  (temperowanych).  M o ż na  jednak  p o k a z a ć ,  że  retransformata  tej  funkcji  istnieje  w  przestrzeni  ultradystrybucji.  Dzię ki  temu  m o ż na  tu  s t o s o w a ć  twierdzenie  o  splo­ cie  ( u o g ó l n i o n y m ) ,  a  wynik  operacji  uzyskuje  się  łatwiej,  niż  w  przypadku  transformacji  odwrotnej  całego  iloczynu.  96  J.  GRABACKI,  G .  SZEFER  W  pracy  niniejszej  zetkniemy  się  z  podobnym  przypadkiem  niejednokrotnie.  Celowo  ograniczyliś my  przy  tym  temat  do  takich  z a d a ń ,  k t ó r e  m o ż na  by  rozwią zać   metodami  klasycznymi,  wzglę dnie  k t ó r y c h  rozwią zania  są  wprost  znane.  Pragniemy  tu  bowiem  p o d a ć  nie  tyle  rozwią zania  nowych  z a g a d n i e ń ,  ile  z i l u s t r o w a ć  moż liwoś ci  i  zasto­ sowania  teorii  ultradystrybucji.  R o z w i ą z a no  więc  w  pracy  nastę pują ce  zadania:  zadanie  I  —  pasmo  p ł y t o w e  z jednym  brzegiem  utwierdzonym,  a  d r u g i m  swobodnym  o b c i ą ż o ne  siłą  s k u p i o n ą  (rys.  2a);  zadanie  II  —  pasmo  p ł y t o w e  j a k  wyż ej,  lecz  z  obcią ż eniem  liniowy m  (rys.  2b);  zadanie  III  —  pasmo  p ł y t o w e j a k  wyż ej,  obcią ż one  siłą  s k u p i o n ą  na  brzegu  swobodnym  (rys.  2c).  //////////////////////, W  dalszym  cią gu  podamy  definicje  i  okreś lenia  pojęć  uż ytych  w  pracy.  9)  —  przestrze ń  funkcji  p r ó b n y c h  klasy  Co  o  n o ś n i k a ch  zwartych,  czyli  9  =  U  9{0),  o  gdzie  fleRi  oraz  3i(Q)  =  {(?)\  <  C t e ­ " " } ,  к   Ck   fi  =  J m  z,  a  e  R , ;  ^f*  —  przestrzeń  sprzę ż ona  z  przestrzenią  funkcji  p r ó b n y c h  2£,  nazywana  r ó w n i e ż   przestrzenią  ultradystrybucji.  Elementy  którejkolwiek  z  o k r e ś l o n y ch  wyż ej  przestrzeni  sprzę ż onych  (bez  bliż szego  okreś lenia  o  k t ó r ą  z  nich  chodzi)  noszą  wspólną  n a z w ę  funkcji  u o g ó l n i o n y c h .  Definiując  u o g ó l n i o n y  operator  Fouriera  J  ...eiaxdx,  — oo  00 f  • e ­ u a d « >  gdzie  a  e  Z  (przestrzeń  zespolona),  m o ż na  dowieś ć,  że  przestrzeń  2£  j e s t ^ o  —  obrazem  przestrzeni  Os, czyli  SF0[9]  =  2£  lub  inaczej  9^>S£.  Przekształcenie  Fouriera  w  przestrzeni  dystrybucji  okreś la  definicja  operacja  #"0  jest  więc  bijektywnym  odwzorowaniem  &~0[2i*]  =  2£*  lub  3)*  >­»  2£*.  K a ż da  dystrybucja  ma  więc  swoją  ^ 0  —  t r a n s f o r m a t ę ,  k t ó r a  jest  ultradystrybucją.  R ó ż n i c z k o w a n ie  Ł  dx  r o z u m i e ć  należy  w  przestrzeni  funkcji  u o g ó l n i o n y c h  w  sensie  Sobolewa j a k o  operację     =  ­ 2.  Zadanie  I  Pasmo  p ł y t o w e  traktuje  się  j a k  r o z m a i t o ś ć  r ó ż n i c z k o w a l ną  w  E2  okreś loną  n a s t ę p u­ j ą c o:  D  =  {xL,  x2  : х ,  e  (О, Ь ) л х2  e  (—  co,  +oo)},  A  =  {*i>  x2  : Xi  =  Ь л х2  e  (—oo,  ­ł­oo)},  Г0  — {xi,x2  : xt  =  О л х2е  ( ­ o o ,  +oo)}.  7  Mechanika  Teoretyczna  ­kf  = //*)',  к  —  liczba  naturalna,  98  J .  GRABACKI,  G .  SZEFER  Formalnie  zadanie  sprowadza  się do rozwią zania  problemu  brzegowego  (2.1)  W2W2w =  d(xl­a,x2)  (przyję to  sztywność  płytową  К = 1),  dw I  Го   (2.2)  d2w  •+v­ dxt  d2w  =  o,  Г о   dxj  д х2  =  О,  2  \Г ,  83w  „  .  d3w  +  (2­v)—  0.  д х \  v~  dxidx2  \п   Tutaj  w(xy,  Xi) jest  ugię ciem  powierzchni  ś r o d k o w ej  płyty,  v — liczbą  Poissona,  a  d(xy— a, x2)  =  6{x1—a)x  ó(x2) jest  dystrybucją  ó D i r a c a  (iloczyn  tensorowy).  Rys. 2  W  celu  r o z w i ą z a n ia  zadania  z a k ł a d a m y ,  że w jest  elementem  przestrzeni  ultradystry­ bucji  (konsekwencją  tego  założ enia  jest,  że  r ó ż n i c z k o w a n ie  przepisane  operatorami  w r ó w ­ naniach  (2.1)  oraz  (2.2)  r o z u m i e ć  teraz  należy  w sensie  Sobolewa).  W y k o n u j ą c  na  r ó w n a ­ n i u  (2.1) oraz  na  warunkach  brzegowych  (2.2),  ^ 0 — operację  wzglę dem  zmiennej  x2,  otrzymujemy  r ó w n o w a ż ny  problem  w przestrzeni  SF0 — obrazu.  (2.3)  [d2­ix2]2w  =  < K * i ­ a ) ;  w i r .  ­  i ^ l r . ­  0 ,  (2.4)  wi2)­va2w[rt  = 0 ,  &3>­(2­v)*2wV>\rt  = 0 .  Tutaj  [d2­tx2] 212   A ± '  A*  def  "  iv = &0[w],  w(*i,  a.) e &* x 9*;  oznaczono  tu  ponadto  2Ł* — przestrze ń  ultradystrybucji  ze wzglę du  na z m i e n n ą  xy;  Xl  Si*  —  przestrze ń  dystrybucji ze wzglę du  na z m i e n n ą  a.  a  R o z w i ą z a n i em  problemu  (2.3),  (2.4) bę dzie  więc  rodzina  ultradystrybucji  zależ nych dy­ strybucyjnie  o d parametru  a.  PRZYKŁADY  ROZWIĄ ZAŃ  PASMA  PŁYTOWEGO  99  Poszukując  tego  rozwią zania  wykorzystano  nastę pują ce  twierdzenia  [7,  2]:  (a)  rozwią zania  ultradystrybucyjne  liniowych  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  zwyczajnych są   (z  d o k ł a d n o ś c ią  do stałego  czynnika) identyczne  z r o z w i ą z a n i a mi  klasycznymi;  (b)  rozwią zaniem  r ó w n a n i a  L"(u) =  ó(x), w  k t ó r y m  d"  d"'1  d  jest  funkcja  u = h(x)H(x),  gdzie  H{x) — funkcja  Heaviside'a,  h(x) — spełnia  r ó w n a n i e  jednorodne  L"[h]  =  0  oraz  warunki  p o c z ą t k o we  A U o  =  A ( 1 ) |x=o  =  =  A ( n ­ 2 ) | * = o  =  0,  hn­'\x=0  =  l/a„.  R o z w i ą z a n ie  to wyznaczone jest z d o k ł a d n o ś c ią  do dowolnej  całki  ogólnej  r ó w n a n i a  jedno­ rodnego  L"[u]  = 0.  Wykorzystując  przytoczone  twierdzenie  przyjmiemy  (2.5)  wy (*!, a) =  A ch axi  + Bax^ ch ccxt + C s h axy + Daxt  sh  axx,  а  stałe  Л (a),  5(a),  C(a), D(a) wyznaczymy z  r ó w n a ń   otrzymują c  przy  oznaczeniu  A =  aa  A  =  ­  [ A c h A ­ s h A ] ,  (2.6)  5  =  c h A ,  2 a 3  C =  ­  [ c h A ­ A s h A ] ,  D  =  ­ ^ ­ s h A .  2 a 3  Zatem  rozwią zanie  problemu  (2.3),  (2.4)  bę dzie  m i a ł o  p o s t a ć   (2.7)  iv =  ­ ^ 3 ­ { ( s h A — A c h A ) c h a x 1  + (chA)aje 1 cha;c 1  +  +  (A sh A—ch A) sh axt  — (sh X)ax,  sh axx} [#(*i—a)—#(a—*i)] +  +  C \ ch a*! + C 2 a ^ i ch axt  + C 3 sh axy  + C 4 а л̂  sh  axt.  W y r a ż e n ie  w 0  =  Clchax1  + C2ax,chax1  + C3shax1  + C 4 a ; c 1  s h a x ,  oznacza  tutaj  (zgodnie  z twierdzeniem)  całkę  ogólną  r ó w n a n i a  [d2­a2]2iv0  = 0.  100  J.  GRABACKI,  G .  SZEFER  Wyznaczając  stałe  С ,,  C2,  C 3 ,  C 4  z  w a r u n k ó w  (2.4)  otrzymuje  się  przy  oznaczeniach  c?,(a)  =  shA  — A c h A ,  c)(l  — j»)(ch Ashpc — sh  Acha:)  — 2sh  A s h x +  2ch  Ach:*,  gdzie  x  =  ab,  wielkoś ci  JPi  Ai  3  '  r  1  \ (p3[(l+v)shx  — (l—v)xchx] — i(l — v ) [ ( 3 + » ) s h x c h » — ( 1 —  + 2(1  ­ r ) c h 2 * +  (1 ­ v 2 ) s h 2 x  +  2 ( l  + v ) + ( l  ­ J > ) 2 * 2  _  — 1 I 

  — argz  =  =  ~Ą IZ  =  »*(cosy>­H'sinyO  otrzymamy  (z  d o k ł a d n o ś c ią  do  m n o ż n i ka  i)  P o  podstawieniu  w  miejsce  f 1  róż nicy  a — x ,  (2.12)  ^ o x [ w i ]  =  • T 6 ^ ­ [ ( a ­ J C 1 ) 2 + x I ] l n [ ( f l ­ x 1 ) 2 + ^ ] .  T a k  więc  pozostaje  do  wyznaczenia  retransformata  funkcji  н , 0 ( а 1  jc t ).  Stosując  twierdzenie  o  splocie  m o ż na  n a p i s a ć   ^ o ' N  =  J z r o 1 [ C 1 ( a ) c h a . v 1 ]  +  ^ 0 ­ 1 t C 2 ( a ) a A : 1 ] ^ ­ ^ o , [ c h a x 1 ] 4 .  +  1 [ С , (а )] *  1 [sh our J  +  1 [ С л (a)«jc,] ­ X ­ ^ o 1  [sh  axy].  102  J.  GRABACKI,  G .  SZEFER  R e t r a n s f o r m a t ę  stanowią cą  pierwszy  s k ł a d n i k  sumy  m o ż na  znaleźć  w  s p o s ó b  ś cisły.  Z a u w a ż my  w  tym  celu,  że  wyraż enie  Cy  [а )с а л хх  m o ż na  przekształcić  do  postaci  CiCoOchoutx  =  ­ ^3­ (shA—AchA) c h a Xi  =  ­^­cha(a—xt).  Wobec  tego  (przy  f i  =  a—xx)  а  stąd  wykorzystując  podane retransformaty  oraz  postę pując  w s p o s ó b  opisany przy  znajdo­ waniu  retransformaty  ^ ё ' И  otrzymamy  (2.13)  J V t C ^ o O c h a x , ]  =  ­^­^xj  + ia­x,)2  .  D o  wyznaczenia  pozostają  więc  retransformaty  stanowią ce  trzy  p o z o s t a ł e  składniki  sumy.  Uwzglę dniają c,  że  J ^ f c h a x , ]  =  ­2[Ó(z­ixi)+d(z  +  ixt)],  .^oMsha­v,]  =  —  [d(z­łxi)­d(z+ixt)],  pozostaje  znaleźć  retransformaty  funkcji  C 2 , C 3 , C 4  i  tutaj  w y k o r z y s t a ć  m o ż na  m e t o d ę   K R Y L O W A  [6].  Trzeba  w  tym  miejscu  zaznaczyć,  że  oryginalna  metoda  K r y ł o w a  dotyczy  funkcji  zmiennej  rzeczywistej;  inaczej  mówią c,  retransformaty  otrzymane  w  wyniku  zastosowania  tej  metody  bę dą  dystrybucjami  temperowanymi.  Korzystając  z  faktu,  że  przestrze ń  dystrybucji  temperowanych  jest  p o d p r z e s t r z e n i ą   właś ciwą  przestrzeni  ultradystrybucji,  dystrybucje  temperowane  m o g ą  być rozszerzone  do  przestrzeni  ultradystrybucji  przez  formalne  zastą pienie  zmiennej  rzeczywistej  z m i e n n ą   z e s p o l o n ą .  W  ten  s p o s ó b  w  w y n i k u  przeprowadzenia  1  —  operacji  otrzymamy  s u m ę   s p l o t ó w  retransformat  C 2 ,  C 3 , C 4  z  p r z e s u n i ę t ym  д  ­funkcjonałem.  W y k o r z y s t u j ą c  wła­ s n o ś ci  odsiewają ce  tego  rodzaju  s p l o t ó w  otrzymamy  poszukiwane  retransformaty,  a  za­ tem  {uwzglę dniając  (2.13)]  funkcję  wl(xl,x2).  W  celu  zastosowania  metody  K r y ł o w a  przedstawimy  funkcje  C2,  C 3 , C 4  w  postaci  _  axtC2(l  + a) 2  g i C g  a X l ° 2  (1 +  a ) 2  "  (1 +  a ) 2  '  _  C 3 ( l +  a ) 2  CS  C 3  —  (1 +  a ) 2  (1 +  a ) 2 '  _  a g i C 4 ( l  +  a ) 2  XiCj  ccXlC4­  ( 1  +  a ) 2  ­  ( 1  +  a ) 2  .  PRZYKŁADY  ROZWIĄ ZAŃ  PASMA  PŁYTOWEGO  103  N a s t ę p n ie  a p r o k s y m u j ą c  funkcje  C f ,  Cf,  C% wielomianami  Legendre'a  otrzymamy  n—l  n—l 00 / o ' H i C J  X  ­ g ­  Ł  Cttod^Av  J  c o s a z . ( l +  a ) ­ ' ­ 2 o ­ a ,  fc­0  /=0  o  n—1  n—1  oo  ^ о Ч С з]  S  C f ( < ч ) ^ 4 ы  /  s i n a z ­ C l +  a ) ­ ' " 2 ^ ,  fc­=0  /=0  o  n—1  n—1  oo  ^ [ w c i C J  =  C J ( a k ) ^  A , i /  s i n a z . ( l +  a ) ­ ' ­ 2 r f a ,  gdzie  Ak>{  są  w s p ó ł c z y n n i k a m i  stabelaryzowanymi  w [6].  Przy  oznaczeniach  n­l  B\ =  Ł  C?Ak,„  k=0  oo  oo  =  J  O + a)­'­2cosoczdx,  ­ / 1 , _ 2  =  /  (1+  a ) _ ' ­ 2 s i n a z a , a ,  o  o  otrzymujemy  n ­ l  I>2  Л Г£  ­l­2>  /=o  n­l  (2.14)  1 [ C 3 ]  S  ^  ^ 5 , V i , _ 2 ,  (­0  n ­ l  M o ż na  więc  n a p i s a ć   n ­ l  ^ o M C j C C d c h a ^ ] 2  S  ­ ^ ­ ^ Ą V i( _ 2 ( z ) ­ X ­ [ < 5 ( z ­ / x 1 ) + ó ( z + / x 1 ) ] ,  n ­ l  (2.15)  J V f C s s h a x , ]  ~  BtJfU_2(z)*[d(z-iXl)-d(z+iXl)], n ­ l  ^ [ Q o a n s h a x , ]  ~  ±L   Ł  BtS*_,_2(z)*[d(z-iXl)­6(z+iXl)]. 1=0  104  J.  GRABACKI,  G .  SZEFER  C a ł k i  . / i | _ 2  oraz  У 1 , _2  obliczyć  m o ż na  efektywnie;  całkując  bowiem  przez  czę ś ci  otrzymujemy  w  k o ń cu  Г  cosaz  ,  .  .  =  —  ­ a a  =  — smzsiz—cos  z c i z ,  J  (1 +  a)  o  Г  sin OLZ  J  (1 +  a)  az  .  aa  =  s m z c i z — c o s z s i z .  Jak  w i d a ć ,  poza  c a ł k o w a n i e m  wszystkie  p o z o s t a ł e  czynnoś ci  w y k o n a ć  m o ż na  na  maszynie  cyfrowej,  co  znacznie  poprawia  efektywność  metody.  P o  znalezieniu  retransformat  (2.14),  t r a k t u j ą c  je  j a k  funkcjonały  analityczne  i  wybiera­ j ą c  d r o g ę  c a ł k o w a n i a  argz  =  л/4  otrzymamy  w  wyniku  funkcje  zmiennej  rzeczywistej,  podobnie  j a k  w  przypadku  poszukiwania  funkcji  Woixx,  x2).  Ostatecznie  bę dzie  więc  (2.16)  w(Xl,x2)  =  ­A­Ka­x.r  + ximia­x.Y  +  xl]­ ­ ­ j j ^ V ( e ­ * i ) 2 + * i  +R(Xi,x2,  a,  b).  Przez  R(xy,  x2,  a,  b)  oznaczono  tu  s u m ę  retransformat  (2.15) przy  uwzglę dnieniu  własnoś ci  splotu  z  8 —  funkcjonałem.  3.  Zadanie  П   Z a c h o w u j ą c  poprzednie  oznaczenia,  zadanie  sprowadza  się  formalnie  do  problemu  brzegowego  (3.1)  V 2 V 2 w  =  ó(x2),  I  dw  w\  =  ­ 5 —  =  0 ,  \r0  dxi  si  i \  v  w  (3­3)  ­ ^ 2 ­  +  " , ,  d2w  62w  dx\  Bx  Го   =  0 ,  +  (z­v)  ­Л   =  0.  г, д х \  " v  '  д ххд х \  W  celu  znalezienia  rozwią zania  zastosowano  p o s t ę p o w a n ie  analogiczne  do  opisanego  w  punkcie  2,  a  więc  zakładając  w  e  2Ł*  i  wykonując  na  r ó w n a n i u  (3.1)  oraz  na  warunkach  brzegowych  (3.2)  u o g ó l n i o n ą  t r a n s f o r m a c j ę  Fouriera,  problem  r ó w n o w a ż ny  w  przestrzeni  ^"o  —  obrazu  bę dzie  miał  p o s t a ć   (3.3)  [cl2­a2]2w  =  1,  fr|r.=  й '( 1 ) | г „  =  0,  (3.4)  w^­a.2vw\ri  =  0 ,  w< 3 >­(2­j>)a 2 H> ( 1 ) | A  =  0 .  PRZYKŁADY  ROZWIĄ ZAŃ  PASMA  PŁYTOWEGO  105  Wykorzystując  pierwsze  z  przytoczonych  w  punkcie  2  twierdzeń,  przyję to  całkę   r ó w n a n i a  (3.3)  w  postaci  (3.5)  iv =  A ch axi + BaXi  ch axt  + C s h a.xx  + Docxt  sh ax, .  Wyznaczając  n a s t ę p n ie  stałe  m e t o d ą  wariacji  otrzymuje  się   A  =  — ­^r[a.x1sha.x1­2chaxl]  +  Cl,  В  =  2 ^ s h a x , + C 2 ,  С  =  ­ y i ­  [2sh axj  ­  a x Ł  ch ax,] +  C3,  (3.6)  Z)  =  ­ 2 ^ c h a x 1  + C 4 .  Podstawiając  znalezione  funkcje  do  (3.5) stwierdzimy,  że  całka  szczególna  m a  p o s t a ć   (3.7)  Wi(xi,  a) = ­ 4 ,  s k ą d  c a ł k a  r ó w n a n i a  (3.3)  wyraża  się  wzorem  (3.8)  w  =  + d  c h +  C 2 axj ch a x x 4­ C 3 sh a x x + C 4 a x x sh )]  ­ 1  1  (  (1— v)shx  a 4  \  (1 + v)sh.x — (1 —v)xchx  ( 3 — v 2 ) s h « c h « + v [ ( l  +v)shx  — (1 —v)«ch«] — (1 — v)[(2—v)ch2x  — 1]  ( 3 ­ ^ ) c h 2 x ­ ( l ­ v ) ^ 2  +  ( l + v )  2 c h x ­ ( 1  — v)xshx ) ( l + v ) s h «  — (1— v)xchx  J '  gdzie  oznaczono x  = a£>.  106  J.  GRABACKI,  G .  SZEFER  Ostatecznie  więc  transformata  rozwią zania  ma  p o s t a ć   (3.10)  w(x,,  a)  =  ­ j ­ +  —  [ch axy  ­  sh xx,]  +  1  I  ( 3 ­ r 2 ) s h x c h « + i ' [ ( l + r ) s h « ­ ( l ­ v ) « c h ! > < ; ] ­ ( l ­ v ) x [ ( 2 ­ v ) c h 2 x ­ l ]  +  "oF\  ( 3 ­ г ) с Ь2 к ­ ( 1 ­ т 02 * 2  +  ( 1 + г )  a ^ c h a ^ ł  ^ l  (!  —  i')sh  *  (1 +v)sh>i — (1 — r ) x c h x  (3 ­  v 2 ) sh ж ch и +v  [(1 + v) sh и ­  (1 ­v)  x ch «] ­  (1 ­  v) [(2 ­  v) ch2x  ­ 1 ]  ( 3 ­ v ) c h 2 x ­ ( 1  ­ r ) 2 * 2  +  (1  +v)  2ch ж — (1  — »>) x sh x  X  X  a x x  sh а л: i (1 +v)shx — (1 —r)xch?<  T r a n s f o r m a t ę  tej  funkcji  znajdziemy  w  s p o s ó b  podobny  j a k  w  zadaniu  I ;  z a u w a ż my  przy  tym,  że  drugi  s k ł a d n i k  sumy  m o ż na  z a p i s a ć  w  postaci  —j­  [cha*! — sh а л­ ,]  =  X X l ,  a e ( + o o ,  — oo).  M a m y  więc  " ° " I ^ J = T 2 Z J S g n Z '  Podobnie  jak  poprzednio,  t r a k t u j ą c  retransformaty  j a k  funkcjonały  analityczne,  otrzy­ mamy  f s g n x 2 ,  (3.11)  ^ o ­ 1 [ ^ r e ­ « « |  =  l 2 ­ ( x 2 + x 2 ) 3 ' 2 .  Oznaczając  dla  uproszczenia  1  ( 3 ­ i > 2 ) s h x c h * + y [ ( l  +v)shx­(\  ­v)xchx]­  (1 ­v)x[(2­v)ch2x­  1]  1  ~  a 3  (b­v)ć h2x­{\­v)2x2  +  (\+v)  (3.12)  ф  _  1  j  ( l ­ r ) s h *  2  a 3  \ ( l + r ) s h x ­ ( l ­ v ) e ) * c h x  ( 3 ­ v 2 ) s h x c h x + v [ ( l  ­ f ^ s h x ­ C l  ­ i p x c h x ] ­ ( 1  ­ v ) [ ( 2 ­ v ) c h 2 « ­ 1 ]  (3 ­ r ) c h 2 * ­  (1 ­ v ) 2 * 2  +  (l+v)  X  2ch*:— (1— v)xshx  \  (1 +v)shx—  (1 — v)xchx  )'  PRZYKŁADY  ROZWIĄ ZAŃ  PASMA  PŁYTOWEGO  107  a  n a s t ę p n ie  (w  celu  zastosowania  metody  K r y l o w a )  Ф ,(1 + а )2  Ф?  Ф1  =  Ф 2  =  (1 +  а )2  (1 +  а )2  '  Ф 2 ( 1  +  а ) 2  Ф |  (1 +  а )2  (1 +  а )2  '  dostaniemy  (przy  zachowaniu  oznaczeń  p.  2.)  n ­ l  1=0  n ­ l  /=0  c z y l i :  n ­ l  ^ о Ч Ф . а ^ с Ь а х ,]  3  ^ 2 5 , l ­ / i , ­ 2 ( z ) ' ) f [ < 5 ( z  +  ^ l ) + у ( z ~ ' ^ ) ] '  (3.13)  л — 1  ^ o U ^ a ^ . s h a x J  3  ^~  У ]BfJl^iz^diz  +  ix,)­6{z­ix,)\.  1=0  Ostatecznie  więc  retransformata  funkcji  bę dą ca  rozwią zaniem  problemu  (3.1),  (3.2)  ma  p o s t a ć   (3.14)  w(Xlx2)  =  ­ 1 ^ x | s g n x 2 + ^ ­ ( x f + x | ) 3 / 2  + / ? ( x 1 , x 2 , 6 ) ,  gdzie przez  R(xt,  x2,  b)  oznaczono  s u m ę  retransformat  (3.13)  (po  uwzglę dnieniu  własnoś ci  splotu).  4.  Zadanie  Ш   Z a c h o w u j ą c  poprzednie  oznaczenia,  przy  przyję ciu  sztywnoś ci  płytowej  К  =  1  zadanie  sprowadza  się  do  rozwią zania  problemu  brzegowego  (4.1)  V 2 V 2 H ­  =  0 ,  dw  d2w I w  (4.2)  1Л d2w  ~~dx\  83w  8x\  =  0,  + v  д х \  n  0,  +  ( 2 ­ r )  d3w  dx,dxl  =  ­ < 5 ( x 2 ) .  108  J.  GRABACKI,  G .  SZEFER  R o z w i ą z a n ie  zadania  m o ż e  być  skonstruowane  rуwnież  metodami  klasycznymi  (patrz  np.  [4]). T y m  niemniej  utrzymano  w  mocy  wszystkie  założ enia  czynione  przy  rozwią zy­ waniu  poprzednich  z a d a ń .  P o s t ę p o w a n ie  to  ma na  celu  wykazanie  z u p e ł n e g o  p o d o b i e ń ­ stwa  formalnego  samego  toku  p o s t ę p o w a n ia  oraz  stwierdzenie,  że otrzymany  wynik  jest  identyczny  z  wynikiem  znanym  z  literatury,  a  otrzymanym  przy  innych  założ eniach.  Z a k ł a d a j ą c,  podobnie  j a k  poprzednio,  we££*  i  wykonując  na  r ó w n a n i u  (4.1)  oraz  na  warunkach  brzegowych  (4.2)  u o g ó l n i o n ą  t r a n s f o r m a c j ę ,  otrzymuje  się  r ó w n o w a ż ne  zadanie  w  przestrzeni  J * 0  — obrazu,  (4.3)  [d2­a2]2w  = 0,  w\r0  =  =  0,  (4.4)  wm­a2vw\r,  =  0,  V V ( 3 ) _ ( 2 _ V ) A 2 ^ ( D | R I  =  W y k o r z y s t u j ą c  znowu  pierwsze  z  twierdzeń  cytowanych  w  punkcie  2  i  przyjmując  całkę  r ó w n a n i a  (4.3) w  postaci  (4.5)  w(xt,  a) =  Achax1+Baxlchaxl+Cshax1+Dax1shax1,  n a s t ę p n ie  wyznaczając  stałe  w  zwykły  s p o s ó b  z  w a r u n k ó w  (4.4) otrzymuje się   A(a)  =  0,  ­ 1  2chA +  ( l ­ y ) A s h A  ( ) 2 A 2 ­ 4 c h 2 A  '  (4.6)  C(a) =  ­B(a),  J _  ( l + r ) s h A ­ ( l ­ v ) A c h A  ( a )  ~  ~aJ  ( l + j < ) 2 s h 2 A ­ ( l ­ j 0 2 A 2 ­ 4 c h 2 A  '  л  —  ab.  Transformata  rozwią zania  w y r a ż a  się więc  wzorem  .  1  f  2 c h A + ( l ­ v ) A s h A  _ ,  ,  .  (4.7)  W(Xl  a)  =  ­ i \ ( l + v y s h 2 ? L _ ( l _ v y P _ 4 c h 2 i  [ s h a x 1 ­ a x 1 c h a A ­ ł ] +  ( l + v ) s h A ­ ( l ­ v ) A c h A  a x s h a „ |  +  " T l  +  v) s h 2  A ­  (1 ­v)2P  ­  4 c h 2 T "  a ^ s n a * i j ­ I  w tym przypadku  r e t r a n s f o r m a t ę  znaleźć  m o ż na  m e t o d ą  K r y l o w a ,  z  tym jednak,  że  m o ż e  b y ć  ona tutaj  stosowana  w postaci  oryginalnej,  p o n i e w a ż  funkcja  j a k o  całość  (a  nie  jeden  tylko  z  c z y n n i k ó w  iloczynów)  spełnia  warunki  dopuszczają ce  stosowanie  metody;  oznacza  to,  że  rozwią zanie  (4.7) jest  dystrybucją  t e m p e r o w a n ą .  Jeż eli  jednak  mimo  to  pozostaniemy  przy  dotychczasowym  trybie  p o s t ę p o w a n i a,  otrzymamy  w(Xi,  x2)  =  &o4w]  = J ^ o 1  ­ T f ^ o T s h a * ! ] ­ ­  Г Ц[­ат ф]  " Х ­1  [choocj + J ^ ó 1  [~Ф2]  *&o 1  [ s h « * , ]  PRZYKŁADY  ROZWIĄ ZAŃ  PASMA  PŁYTOWEGO  109  i  dalej  (4.8)  w{x1,x2)  =  ^ r o 1 [ ^ 3 ­ ^ i ] ­ X ­ ^ [ < 5 ( z ­ f x 1 ) ­ 5 ( z + / x 1 ) ] ­ _  i  0 i J  *  _ L  [S (z _  i X l )  +  8{z+ix,)]  +  +  jr­i  ]^ф21 *  _ L  _  /Д ­,) ­  (5 (z +  /  V,)],  4л   gdzie  ф  _  2chA +  ( l ­ v ) A s h A  ( l + r ) 2 s h 2 A ­ ( l ­ v ) 2 A 2 ­ 4 c h 2 A '  ( l + y ) s h A ­ ( l ­ v ) A c h A  2 _  ( l + * ) 2 s h 2 A ­ ( l ­ » > ) 2 A 2 ­ 4 c h 2 A  *  K ł a d ą c  (4.9)  Ф 2  =  Ф х ( 1  +  а ) 2  ф *  (1 +  а О2  ~~  (1 +  а ) 2 '  Ф 2 ( 1  +  а ) 2  ф *  (1 +  а )2  (1 +  а )2 '  bę dzie  ostatecznie  л­ 1  (4.10)  w(xi,x2)  =  ^ ­ { ^ A 1 y i l _ 2 ( z ) ^ ­ [ ( 5 ( z ­ w 1 ) ­ ( 5 [ z + f x 1 ) ] ­ z=o  л­ 1  ­ X i  V  (z)­)f  [ у ( z ­ / x 0  +  у ( z + i X l ) ]  +  n­1  +  x ,  ^  B3JU­2(z)*[у(z­/x1)­у(z  +  / x 1 ) ] } .  Tutaj  oznaczono  л­ 1  R l  V