Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z2.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  2,  11 (1973)  ZASTOSOWANIE  OPERATORÓW  MIKUSlNSKlEGO  D O  ZAGADNIEŃ  TEORII  KONSTRUKCJI  N O Ś N Y CH  J E R Z Y  B O B L E W S K I ,  K A R O L  H .  B O J D A  ( G L I W I C E )  Operatory  M i k u s i ń s k i e go  są  poż yteczne  głównie  tam,  gdzie  rozwią zuje  się  liniowe  r ó w n a n i a  r ó ż n i c z k o w e,  zwyczajne  lub  czą stkowe,  niejednorodne,  o  prawej  stronie  zawiera­ ją cej  funkcje  Heaviside'a,  D i r a c a  oraz  ich  pochodne  u o g ó l n i o n e .  Tego  rodzaju  r ó w n a n i a  pojawiają  się  stale  w  zagadnieniach  teorii  konstrukcji  n o ś n y c h.  Rozwią zywanie  tych  r ó w n a ń  napotyka  czę sto  p o w a ż ne  t r u d n o ś ci  rachunkowe,  wynika­ ją ce  mię dzy  innym i  z  koniecznoś ci  r o z w a ż a n i a,  w  wielu  zagadnieniach  praktycznych,  obcią ż eń  niecią głych,  skupionych  oraz dyslokacji.  Siły  skupione r o z w a ż a ne  w zagadnieniach  d ź w i g a r ów  sprę ż ystych  o d p o w i a d a j ą  formalnie  impulsom  napię cia  w  zagadnieniach  elektro­ technicznych.  M i m o  tej  formalnej  analogii  rachunek  operatorowy  powszechnie  stosowany  w  lite­ raturze  elektrotechnicznej,  w  tym  r ó w n i e ż  w  literaturze  p o d r ę c z n i k o w e j,  był  rzadko  sto­ sowany  do  rozwią zywania  z a g a d n i e ń  teorii  konstrukcji.  Wyją tek  stanowi  tu  k i l k a  zaledwie  prac,  w  k t ó r y c h  jednak  stosowano  rachunek  operatorowy  oparty  na  transformacji  L a p l a ­ ce'a.  Są  więc  one  d o s t ę p ne  dla  czytelników  znają cych  teorię  funkcji  analitycznych.  Poza  tym  r o z w a ż a n ia  ograniczono  na  ogół  do  z a g a d n i e ń  jednowymiarowych.  Chcąc  w  pełni  w y k o r z y s t a ć  rachunek  oparty  na  transformacji  Laplace'a,  należy  z n a ć   t a k ż e  teorię  dystrybucji,  aby  m ó c  s t o s o w a ć  transformację  dystrybucyjną,  konieczną  przy  uwzglę dnianiu  obcią ż eń  skupionych  oraz dyslokacji.  Ponadto  przy  rozpatrywaniu  z a g a d n i e ń   dwuwymiarowych  zachodzi  czę sto  k o n i e c z n o ś ć  stosowania  wraz  z  dystrybucyjną  transfor­ macją  Laplace'a  dystrybucyjnej  transformacji  Fouriera.  A  zatem  uję cie  takie  jest  skom­ plikowane  z a r ó w n o  pod  wzglę dem  teoretycznym,  jak  i  w  zastosowaniach  praktycznych.  N a  podstawie  prac  prowadzonych  ostatnio  w  o ś r o d ku  ś lą skim  m o ż na  stwierdzić,  że  w  szeregu  z a g a d n i e ń  waż nych  z  punktu  widzenia  praktyki  inż ynierskiej,  znacznie  k o ­ rzystniejsze  jest  stosowanie  o p e r a t o r ó w  M I K U S I Ń S K I E GO  [1].  Stanowią  one  obok  teorii  dystrybucji  a l t e r n a t y w n ą  teorię  funkcji  u o g ó l n i o n y c h ,  a  o p r ó c z  tego dostarczają  wygodnego  podejś cia  do  rozwią zania  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  tak  zwyczajnych,  jak  i  c z ą s t k o w y c h.  Operatory  te  stosowane  wraz  z  szeregami  lub  c a ł k a m i  Fouriera  umoż liwiają  o g ó l n e  i  przej­ rzyste  f o r m u ł o w a n i e  z ł o ż o n y ch  z a d a ń  teorii  konstrukcji,  a  n a s t ę p n ie  ich  proste  rozwią zanie.  N i e k t ó r e  z  tych  moż liwoś ci  z o s t a n ą  o m ó w i o n e  w  dalszych  punktach  pracy.  166 J.  BOBLEWSKI,  К.  H .  BOJDA  1.  Zagadnienia jednowymiarowe  Zagadnienia  jednowymiarowe  opisywane  są  zwyczajnymi  r ó w n a n i a m i  r ó ż n i c z k o w y m i.  Są  to  zagadnienia  statyki  belek,  ł u k ó w ,  cienkoś ciennych  d ź w i g a r ów  n o ś n y c h,  zagadnienia  obliczania  ugięć  walcowych  płyt,  ugięć  p o w ł o k  walcowych  osiowo  symetrycznie  obcią ż o­ nych  itp. Opisują ce  je  r ó w n a n i a  są  z  reguły  r ó w n a n i a m i  liniowymi,  o  stałych  współczyn­ nikach,  w postaci  4  (1.1)  У а ;у <%х )  = д .  1=0  R ó w n a n i e  (1.1) obejmuje  jako  przypadki  szczególne,  w zależ noś ci  od  wartoś ci  współczyn­ n i k ó w  a i oraz  od  wielkoś ci  q,  prawie  wszystkie  praktycznie  waż ne  zagadnienia  jednowy­ miarowe  teorii  d ź w i g a r ów  sprę ż ystych.  N a  przykład,  gdy q  zawiera  obcią ż enie  r o z ł o ż o n e,  siły  skupione,  momenty  skupione,  dyslokacje  ką towe  oraz  liniowe,  to  i  j  к  L  (1.2)  q  =  {q(x)} + ]?Pihx'+  ^Mjsh^  + EJ  Ł  Aks 2hx"  + EJ Ł  J,s3h*>,  /=1  j=l  /Ł=l  /=1  gdzie  5 jest  operatorem  r ó ż n i c z k o w y m.  N  N.  1/2  1/2  Rys . 1 W  innych  przypadkach  q  m o ż e  p r z e d s t a w i a ć  inne  wielkoś ci.  N a  p r z y k ł a d  dla  p r ę ta  ś ciskanego  o  małej  wstę pnej  krzywiź nie,  w  r ó w n a n i u  (1.1)  współczynniki  a,­  przyjmują   w a r t o ś ci  a0  = k 2,  O j  =  аъ  — aA  = 0,  a2  — 1,  po  prawej  zaś  stronie  należy  p o d s t a w i ć   q=  ­k2{f(x)},  przy  czym  X  El  '  gdzie  N jest  siłą  ś ciskają cą  p r ę t,  a  {f(x)}  jest  funkcją  okreś lają cą  p o c z ą t k o wy  kształt  osi  p r ę t a.  •   Funkcja  ta  m o ż e  p r z e d s t a w i a ć  także  linię  ł a m a n ą ,  na  przykład  1  \  .  1 / 2 1  (1.3)  {/(*)}  = a  h  \2s  \  K s z t a ł t  p r ę ta  o osi danej  wzorem  (1.3) przedstawia  rys. 1.  0  <  a  <=  1.  ZASTOSOWANIE  OPERATORÓW  MIKUSIŃ SKIEGO  DO  ZAGADNIEŃ  KONSTRUKCJI  167  Stosowanie  do  omawianych  r ó w n a ń  o p e r a t o r ó w  M i k u s i ń s k i e go  daje  duże  korzyś ci.  N i e  wymaga  ono  poszukiwania  osobnych  s p o s o b ó w  rozwią zywania  w  przypadku  dowol­ nych  «obcią ż eń »,  sprowadzając  je  automatycznie  w  k a ż d ym  przypadku  do  zwykłych  r ó w n a ń  algebraicznych.  T a k  wię c,  zalety  metody  operatorowej  w  p o r ó w n a n i u  z  metodami  klasycznymi  polegają  na  uproszczeniu  obliczeń,  czę sto  bardzo  ucią ż liwych,  a  także  na  i c h  ujednoliceniu.  Zalety  te  wystę pują  tym  wyraź niej,  i m  bardziej  skomplikowane  jest  roz­ patrywane  zadanie.  Zastosowania  o p e r a t o r ó w  Mikusiń skiego  do  statyki  belek  podano  w  ó s m y m  rozdziale  pracy  [1].  Rozdział  ten  z  koniecznoś ci  zawiera  jednak  zaledwie  w s t ę p  do  moż liwych  z a s t o s o w a ń .  N i e k t ó r e  dalsze  moż liwoś ci  podano  w  pracach  [2,  10].  2.  Zagadnienia  dwuwymiarowe  Rachunek  o p e r a t o r ó w  Mikusiń skiego  m o ż na  w  zasadzie  s t o s o w a ć  b e z p o ś r e d n io  do  wszelkich  liniowych  r ó w n a ń  róż niczkowych  c z ą s t k o w y ch  o  stałych  w s p ó ł c z y n n i k a c h .  W  zastosowaniu  do  d ź w i g a r ów  powierzchniowych  (głównie  płyt)  zasadniczą  korzyś cią   jest  to,  że  za  p o m o c ą  pojedynczych  szeregów  lub  całek  Fouriera  uwzglę dnia  się  prosto  i  jednolicie  wszelkiego  rodzaju  obcią ż enia  i  dyslokacje.  R ó w n a n i e  liniowe  o  stałych  w s p ó ł c z y n n i k a c h  ( 2 Л )  Z  Z  dx'dyJ  ­  =  q  m o ż na  przekształcić  do  nastę pują cej  postaci  operatorowej:  (2.2)  ^ e ,  *<• ">(*) =  Ф ),  i­o  gdzie  l=o  i  j  j ­ \  (2.3)  ф )  =  q+  ] ?  J Ł  Е ^ ' ^ ^ с Ш0 1 '  W ( X )  =  Wx>yft­ (=0  ; = i  /=0  Jeż eli  dane  zagadnienie  opisuje  r ó w n a n i e  (2.1)  przy  warunku  brzegowym  l i m  w  =  0  X­*­±  00  oraz  dowolnych  cią głych  warunkach  brzegowych  na  prostych  у  =  0  i у  == Ь , a  rozwią zanie  ma  być  okreś lone  w  obszarze  przy  założ eniu,  że  całka  Q  J  —  co  <  x  <  +oo  \ 0 ^ y ^ b ,  •  168  J.  BOBLEWSKI,  К .  H .  BOJDA  ma  w a r t o ś ć  o g r a n i c z o n ą  oraz,  że  r ó w n a n i e  charakterystyczne  (2.4)  •  ^ а ; " '  =  0  1=0  nie  ma  p i e r w i a s t k ó w  l o g a r y t m ó w ,  to  m o ż na  je  ł a t w o  o t r z y m a ć  za  p o m o c ą  operatorowych  całek  Fouriera,  przedstawiając  w(x)  i  q>(x) w  postaci  00 w(x)  =  j  (w(a)cos[a] sinax)rfoc.  o  Operatory  ww  i  w m  są  wielkoś ciami  szukanymi,  a  operatory  i  O P m traktujemy  j a k o  dane.  P o s t a ć  o p e r a t o r ó w  <  6,  przy  warunkach  w(0,y)  =  w{a,y)  =  0,  д2"  d2"  ­foiT  w(0,y)  = ­^w(a,y)  =  0,  n  =  1, 2,  m  oraz  dowolnych,  poprawnie  s f o r m u ł o w a n y c h  warunkach  na  prostych  у  =  0  i  у  — b,  to  m o ż n a je  o t r z y m a ć  za  p o m o c ą  pojedynczych  operatorowych  szeregów  sinusowych,  za ś   przy  warunkach  J­ihTT  и'(°> У ) = ­ ^ т г w(o,  У ) =  0,  и =  0, 1, 2,  т   za  p o m o c ą  pojedynczych  operatorowych  szeregów  cosinusowych,  przy założ eniu,  że  r ó w n a ­ nie  charakterystyczne  (2.4)  nie  ma  p i e r w i a s t k ó w  l o g a r y t m ó w ,  a  r ó w n a n i e  operatorowe  (2.2)  zawiera  tylko  parzyste  pochodne  szukanej  funkcji  operatorowej.  W a r t o ś ć  m  zależy  od  najwyż szego  rzę du  pochodnej  czą stkowej  wzglę dem  .r,  wystę pują cej  w  r ó w n a n i u  (2.1)  Szczególnym  przypadkiem  r ó w n a n i a  (2.1)  o d p o w i a d a j ą c ym  przedstawionym  warun­ k o m  jest  r ó w n a n i e  ortotropowej,  jednorodnej,  cienkiej  płyty  p r o s t o k ą t n ej  swobodnie  podpartej  na brzegach  x  =  0 i x  =  a oraz  o dowolnych warunkach  podparcia  na  krawę dzi  у  =  0 i у  =  b. W tym przypadku  mamy  I+J  =  4,  zaś m  =  1.  R o z w i ą z a n ia  należy  p o s z u k i w a ć  w postaci  w(x)  =  J S \ ' „ s i n o c „ . Y ,  przyjmując  V ~ l  .  rm  q)(x) =  >  c>„ sin  a„ x,  У .,, =  A  .  T o k  p o s t ę p o w a n ia  jest  tu  analogiczny  do  opisanego  poprzednio  sposobu  rozwią zywania  z a g a d n i e ń  pasma  p ł y t o w e g o .  R ó w n i e ż  w  omawianym  przypadku  m o ż na  o t r z y m a ć  w  spo­ s ó b  jednolity  rozwią zania  obejmują ce  obszerną  klasę  z a g a d n i e ń  takich, jak  zagadnienia  ZASTOSOWANIE  OPERATORÓW  MIKUSIŃ SKIEGO  DO  ZAGADNIEŃ  KONSTRUKCJI  171  płyt  cią głych,  przegubowych,  spoczywają cych  na  jednorodnym  sprę ż ystym  p o d ł o ż u  oraz  p ł y t  obcią ż onych  pewnymi  duż ymi  siłami  w  swej  płaszczyź nie.  We  wszystkich  przypa­ dkach  m o ż na  uwzglę dniać  w  ten  sam  s p o s ó b  poprzeczne  obcią ż enia  cią głe,  obcią ż enia  skupione  oraz  dyslokacje.  Operatorowe  rozwią zania  dla  płyty  izotropowej  przedstawiono  w  pracy  [3].  Jak  zatem  widać,  za  p o m o c ą  całek  lub  szeregów  operatorowych  nie  rozwią zujemy  bez­ p o ś r e d n io  r ó w n a n i a  czą stkowego  (2.1), lecz  o d p o w i a d a j ą ce  mu  r ó w n a n i e  operatorowe  (2.2).  Analogicznie  m o ż na  o t r z y m a ć  ogólne  rozwią zania  z a g a d n i e ń  dynamiki  p r ę t ów  w  po­ staci  szeregów  pojedynczych.  R o z w i ą z a n ia  te  mogą  o b e j m o w a ć  obcią ż enia  dowolnie  roz­ ł o ż o ne  oraz  dowolnie  zmienne  w  czasie  (siły  skupione  p r z y ł o ż o ne  w  s p o s ó b  nagły,  impulsy  itp.).  Operatory  Mikusiń skiego  stosuje  się  również  z  powodzeniem  do  z a g a d n i e ń  trójwymia­ rowych,  np.  do  z a g a d n i e ń  dynamiki  płyt.  R ó w n i e ż  ł a t w o  m o ż na  o t r z y m a ć  za  p o m o c ą  tych  o p e r a t o r ó w  rozwią zania  u k ł a d ó w  r ó w n a ń  róż niczkowych,  na  p r z y k ł a d  u k ł a d ó w  opisują­ cych  płyty  siatkowe,  k t ó r y c h  modelem  obliczeniowym  jest  dwuwymiarowy  o ś r o d ek  Cos­ s e r a t ó w  z  w y r ó ż n i o ną  włóknistą  s t r u k t u r ą  [8].  Rozwią zania  takie  przedstawiono  w  pra­ cach  [5,  7].  3.  Zagadnienia  opisane  za  pomocą  równań  róż niczkowych  o  zmiennych  współczynnikach  W  poprzednich  punktach  ograniczyliś my  r o z w a ż a n ia  do  r ó w n a ń  o  stałych  współczyn­ nikach,  opisują cych  mię dzy  innymi  dź wigary  jednorodne  (stała  sztywnoś ć ),  spoczywają ce  na  jednorodnym  p o d ł o ż u  sprę ż ystym.  Jednak  wiele  w a ż n y ch  z a g a d n i e ń  teorii  konstrukcji  wymaga  rozwią zania  r ó w n a ń  róż niczkowych  o  zmiennych  w s p ó ł c z y n n i k a c h .  Jak  wiadomo  z a  p o m o c ą  o p e r a t o r ó w  nie  da  się  s p r o w a d z i ć  takich  r ó w n a ń  do  r ó w n a ń  algebraicznych  i  m o ż e  dlatego  do  tego  typu  r ó w n a ń  o p e r a t o r ó w  prawie  nie  stosowano.  A l e  i  tu  również   m o ż n a,  za  p o m o c ą  omawianych  o p e r a t o r ó w ,  osią gnąć  w  n i e k t ó r y c h  przypadkach  duże  korzyś ci.  Rozpatrzmy  zwyczajne  liniowe  r ó w n a n i e  róż niczkowe  rzę du  //  o  zmiennych  współczyn­ nikach  n  (3.1)  2,ai{x)yM{x)  =  q.  1­0  Jeż eli  współczynniki  a;(.v)  d a d z ą  się  a p r o k s y m o w a ć  wielomianami  stopnia  m  (np.  uwzglę d­ niając  ni  pierwszych  w y r a z ó w  rozwinię cia  funkcji  a{(x)  w  szereg  p o t ę g o wy  lub  stosując  inne  znane  metody  aproksymacji),  a  q  wyraża  się  wzorem  (1.2),  to  w  wielu  wypadkach  udaje  się  rozwią zać  r ó w n a n i e  (3.1)  za  p o m o c ą  pochodnej  algebraicznej  PA  [1].  U w z ­ glę dniają c,  że  Л  [РА{Ф )}  =  {(­х У а (х )}],  gdzie  Ж  jest  pewną  klasą  funkcji  zdefiniowaną  w  pracy  [1],  r ó w n a n i e  n  m  (32)  Ł2<г ц х '/1)(х )  =  1,  i=o;=o  172  J.  BOBLEWSKI,  К .  H .  BOJDA  m o ż na  s p r o w a d z i ć  do  nastę pują cej  postaci  operatorowej:  n  m  (3.3)  £  Zaui­iyPWy  =  0  gdzie  W(s)  jest  wyraż eniem  wymiernym  operatora  r ó ż n i c z k o w e g o,  wartoś ci  Cok  i  C,k  m o ż na  wyznaczyć  m e t o d ą  w s p ó ł c z y n n i k ó w  nieoznaczonych,  p o r ó w n u j ą c  wyraż enia  przy  takich  samych  p o t ę g a ch  operatora  r ó ż n i c z k o w e go  oraz  przy  tych  samych  operatorach  prze­ sunię cia.  Przedstawiony  s p o s ó b  jest  szerokim  u o g ó l n i e n i e m  klasycznej  metody  szeregów  p o t ę ­ gowych  i nadaje  się  szczególnie  dobrze  do  rozwią zywania  z a g a d n i e ń  teorii  d ź w i g a r ów  n o ś ­ nych,  gdzie  mamy  stale  do  czynienia  z  r ó w n a n i a m i  o  prawej  stronie  równej  (1.2).  U o g ó l ­ nienie  tego  sposobu  na  zagadnienia  wielowymiarowe  nie  przedstawia  wię kszych  t r u d n o ś c i.  W  pracy  [4]  zastosowano  p r z e d s t a w i o n ą  m e t o d ę  do  obliczania  ugięć  płyt  ortotro­ powych  o  zmiennych  sztywnoś ciach.  Jak  wynika  z  kształt u  wyraż enia  (3.4)  nie  zawsze  po  prawej  stronie  r ó w n a n i a  (3.3)  wy­ stę puje  n  stałych  >­(,)(G"),  a  zatem  nie  zawsze  m o ż na  tym  sposobem  o t r z y m a ć  całkę  o g ó l n ą   rozpatrywanego  zagadnienia.  Jednak  przy  rozwią zywaniu  omawianych  r ó w n a ń  najtrudniej  znaleźć  całkę  szczególną   r ó w n a n i a  niejednorodnego.  C a ł k ę  o g ó l n ą  r ó w n a n i a jednorodnego  m o ż na  j u ż  na  ogół  ł a t w o  w y z n a c z y ć  j a k ą k o l w i ek  z n a n ą  m e t o d ą  klasyczną.  P r z y  r o z w i ą z y w a n iu  konkretnego  z a ­ gadnienia  należy  poza  tym  zwrócić  u w a g ę  na  to,  czy  otrzymane  szeregi  wyraż ają ce  rozwią­ zanie  są  zbież ne  w  ż ą d a n ym  przedziale.  N i e k t ó r e  typy  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  o  zmiennych  w s p ó ł c z y n n i k a c h  m o ż na  rozwią zać  t a k ż e  za  p o m o c ą  operacji  T"  [1].  ZASTOSOWANIE  OPERATORÓW  MIKUSIŃ SKIEGO  DO  ZAGADNIEŃ  KONSTRUKCJI  173  Jeż eli  współczynniki  a,(x) r ó w n a n i a  (3.1)  d a d z ą  się  a p r o k s y m o w a ć  funkcjami  w y k ł a d ­ niczymi  (3.6)  e,(x)  =  а с *'»,  gdzie x/b jest zmienną  bezwymiarową  okreś loną  w przedziale 0 <  x/b <  1, а  д odpowiednio  d o b r a n ą  stałą,  to  r ó w n a n i e  (3.1)  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  w postaci  (3.7)  ^ a ^ ' V ' W  = Я .  1=0  Uwzglę dniają c, że  Л  lT"{a(x)}  =  {e"fl  (*)}],  r ó w n a n i e  (3.7) sprowadza  się do  nastę pują cej  postaci  operatorowej:  (3.8)  ctiTb­^'s'y  =  0  wartoś ci  Cok  i  C,k  wyznacza  się  m e t o d ą  w s p ó ł c z y n n i k ó w  nieoznaczonych  p o r ó w n u j ą c  współczynniki  przy  tych  samych  p o t ę g a ch  wyraż enia  (3.9)  ^ ­ ­ ^ l n ó  oraz  przy  tych  samych  operatorach  przesunię cia.  Jeż eli  po  prawej  stronie  r ó w n a n i a  (3.8)  wystą pią  operatory  r ó ż n i c z k o w e,  w  wyrazach  k t ó r y c h  nie m o ż na  przekształcić  do  p o t ę g  wyraż enia  (3.9),  to  sposobem  tym  nie  m o ż na  o t r z y m a ć  rozwią zania.  Jeż eli  natomiast  у  przedstawiamy  w  postaci  n a s t ę p u j ą c e j:  г   к>0  ( = 1  Ij +  y l n O  to  m o ż na  w  k a ż d ym  przypadku  wyznaczyć  wartoś ci  Cok  i  C,k  p o r ó w n u j ą c  w y r a ż e n ia  przy  tych  samych  p o t ę g a ch  operatora  r ó ż n i c z k o w e go  oraz  przy  tych  samych  operatorach  przesunię cia.  R ó w n i e ż  i w tym  przypadku  uogólnienie  omawianego  sposobu  na zagadnie­ 174  J .  BOBLF.WSKI,  К.  H .  BOJDA  nia  wielowymiarowe nie  przedstawia  wię kszych  t r u d n o ś c i.  W pracy  [6]  zastosowano  oma­ wiany  s p o s ó b  do rozwią zania  zagadnienia  płyty  o jednokierunkowo  zmiennej  sztywnoś ci.  W  wielu  przypadkach  rozwią zanie  m o ż na  o t r z y m a ć  w  s p o s ó b  prosty,  wykonując  po  prawej  i  lewej  stronie  r ó w n a n i a  (3.8)  operację  T~h"4nd,  otrzymujemy  wtedy  r ó w n a n i e  na­ stę pują ce:  л   Xaisiy  = 9>  i=0  gdzie  Я  1­1  i=l  1 = 0  S p o s ó b  ten nadaje  się  szczególnie  dobrze  do tych  p r z y p a d k ó w ,  w któryc h  q zawiera  tylko  siły  skupione  q  =  ŁPihx',  gdyż  wtedy  / T ­ b 4 n d q  =  JT 1  8­x,lb  p./jXi  W i d a ć  wię c,  że rachunek  o p e r a t o r ó w  M i k u s i ń s k i e go  stanowi  skuteczne  i  nowoczesne  na­ rzę dzie.  Powinien  zatem  być powszechniej  stosowany  przez  inż ynierów  oraz  p r a c o w n i k ó w  naukowych  interesują cych  się zagadnieniami  konstrukcji  n o ś n y c h.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  J .  MIKUSIŃ SKI,  Rachunek  operatorów,  PWN, Warszawa 1957.  2.  A.  SŁOMKA,  K . H .  BOJDA,  O zastosowaniu  operatorów  Mikusiń skiego  do obliczania  ugię ć walcowych płyt  ś ciskanych  o malej  wstę pnej  krzywiż nie  walcowej,  Prace  Wydz.  Tech.  U . Ś l. (w druku).  3.  К . H . BOJDA,  Ugię cia  płyt  na  sprę ż ystym  podłoż u  o zmiennym  współczynniku  podatnoś ci,  Rozpr.  Inż .,  3  (1971).  4.  К . H . BOJDA,  Ugię cia  płyt  ortotropowych  o zmiennych  sztywnoś ciach  i pewnych  niecią głych  warunkach  brzegowych,  Rozpr.  Inż ., 4  (1971).  5.  К . H . BOJDA,  Pewne problemy statyki płyt  siatkowych,  Rozpr.  Inż ., 2  (1972).  6.  К . H . BOJDA,  Płyty  prostoką tne  o jednokierunkowo  zmiennej  sztywnoś ci,  Mech.  Teoret.  i Stosowana,  3  (1972).  7.  К . H . BOJDA,  Obliczanie perforowanych  płyt  cią głych.  Rozprawa  doktorska,  Pol.  Ś lą ska,  Gliwice  1972.  8.  Cz.  WOŹ NIAK,  Siatkowe  dź wigary  powierzchniowe,  P W N , Warszawa  1970.  9.  Z . K A C Z K O W S K I ,  Płyty,  Arkady,  Warszawa  1968.  10.  К . H . BOJDA,  Analityczno­wykreś lna  metoda  Mohra  w uję ciu  operatorowym,  Prace  Wydz.  Tech.  U.  Ś l.  (w  druku).  ZASTOSOWANIE  OPERATORÓW  MIKUSIŃ SKIEGO  DO  ZAGADNIEŃ  KONSTRUKCJI  1 7 5  Р е з ю ме   П Р И М Е Н Е Н ИЕ  О П Е Р А Т О Р ОВ  М И Н У С И Н С К О ГО  В  З А Д А Ч АХ   Т Е О Р ИИ  Н Е С У Щ ИХ  К О Н С Т Р У К Ц ИЙ   В  р а б о те  п р е д с т а в л е ны  п р и л о ж е н ия  о п е р а т о р ов  М и н у с и н с к о го  к  р е ш е н ию  з а д ач  т е о р ии н е­ с у щ их  к о н с т р у к ц и й.  О б с у ж д е ны  п р и м е н е н ия  э т их  о п е р а т о р ов  в о д н о м е р н ых  и д в у м е р н ых  з а д а ч а х,  а  т а к же  в  з а д а ч а х,  о п и с ы в а е м ых  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы ми  у р а в н е н и я ми  с  п е р е м е н н ы ми  к о э ф ф и ц и е н­ т а м и.  П р е д с т а в л е н н ые  с п о с о бы  о х в а т ы в а ют  к ак к л а с с и ч е с к ие  м е т о ды  в  ш и р о к ом  о б о б щ е н и и, т ак   и  н о в ые  м е т о ды  т е о р ии  н е с у щ их  с и с т е м.  Во  в с ех  р а с с м о т р е н н ых  с л у ч а ях  у к а з а на  з н а ч и т е л ь н ая   п о л ь з а,  д о с т и г а е м ая  п р и м е н е н и ем  р а с с м а т р и в а е м ых  о п е р а т о р о в.  S u m m a r y  APPLICATION  OF T H E  MfKUSlNSKI  OPERATORS  TO T H E  PROBLEMS  OF  ENGINEERING  STRUCTURES  The  paper presents the application of the  Mikusiń ski  operators to one­ and two­dimensional  problems  and  to problems which may be reduced to the differential equations  with variable coefficients.  The methods  presented  contain  broadly generalized  classical  methods  as  well  as  certain methods  which have  not  been  applied  so  far  in  the theory of structures. In all cases considerable advantages  of the operators are demon­ strated.  POLITECHNIKA  Ś LĄ SKA  Praca została  złoż ona  w Redakcji dnia  1 grudnia  1972  r.