Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  STOSOWANA  2,  11 (1973)  PEWIEN  S P O S Ó B  ROZWIĄ ZANIA  S T A T Y C Z N Y C H  ZAGADNIEŃ  LINIOWEJ  NIESYMETRYCZNEJ  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  J A N U S Z  D Y S Z L E  W  I C Z  ( W A R S Z A W A )  1.  Wprowadzenie  W  liniowy m  o ś r o d ku  mikropolarnym  stan  n a p r ę ż e n ia  opisują  dwa  niesymetryczne  tensory:  tensor  naprę ż eń  siłowych  a}l  oraz  tensor  n a p r ę ż eń  momentowych  ц ^.  S k ł a d o w e  tych  t e n s o r ó w  spełniają  róż niczkowe  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i ,  k t ó r e  — dla  zagadnienia  statycznego  bez  uwzglę dnienia  wektora  sił  i  wektora  m o m e n t ó w  masowych  i  w  u k ł a d z i e  kartezjań skim  л­; —  mają  p o s t a ć  [1],  [2],  [3]:  (1­1)  a]ui  =  0,  е цка}к+цм  =  0  к  =  1, 2,  3)>>.  Symbol eiJk oznacza  alternator  L e v i ­ C i v i t a .  Pole  przemieszczeń  w  o ś r o d ku  opisuje  wektor  przemieszczenia  u,  pole  o b r o t ó w  —  wektor  obrotu  а  = 0,  gdzie  £ a / ?  jest  symbolem  Ricciego;  zwią zki  konstytutywne  ^   5 ^     (2.8)  ( o , i 2 + a , 2 i ) , 2 2 ­ ( ^ i 2 + a , 2 i ) , i i  +  —­ (Ol2 — 0'2l).aa +  4м   + 2 ( c r ] 1 ­ a 2 2 ) , 1 2  + — — , м а з ,а  = 0 ,  / " T c  /"23,1  — /"13,2  3.  Zagadnienie pótprzestrzeni  Rozpatrzmy  problem  jednorodnej,  izotropowej  pótprzestrzen i  mikropolarnej  w  p ł a s ­ k i m  stanie  odkształcenia.  Pólprzestrzeń  orientujemy  przy  pomocy  kartezjań skiego  u k ł a d u  współrzę dnych,  przy  czym  x,e(0,  00),  x 2 e ( — c o , +  00).  Przyjmujemy,  że na brzegu  p ó ł p r z e ­ strzeni  (w  płaszczyź nie  хл  =  0) działa  obcią ż enie  p(x2)  zgodnie  skierowane  z  osią  0Xl.  (3.1)  o,i(0,x2)  =  ­p(x2),  al2(0,x2)  = 0,  fi13(0,x2)  = 0 .  Poszukujemy  takiego  r o z k ł a d u  n a p r ę ż eń  i  stanu  o d k s z t a ł c e n i a  w  p ó ł p r z e s t r z e n i ,  aby  były  spełnione  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  (2.4),  r ó w n a n i a  geometrycznej  z g o d n o ś ci  (2.6),  zwią zki  konstytutywne  (2.5) i warunki brzegowe  (3.1).  Przy  czym  bę dziemy  chcieli  poszuki­ wane  rozwią zanie  złoż yć  z  d w ó c h  czę ś ci  w taki  s p o s ó b ,  aby pierwsza jego  czę ść  b y ł a  for­ malnym  przeniesieniem  rozwią zania  klasycznego  problemu  (a'12  = o2i,  У12 = У2 1)»  analogicznego  do wyż ej  s f o r m u ł o w a n e g o ,  tzn.  problemu  półprzestrzeni  z warunkami  brze­ gowymi  postaci  'VS.  (3.2)  a[, (0,x 2 )  =  ­ P L f ^ g A x 2 )  = 0.  2  Mechanika  Teoretyczna  i  Stosowana  2/73  tu^^  ^  O T Q X  146  J .  DYSZLEWICZ  Przyjmujemy  zatem  (3.3)  а а в  =  о 'а В + О 'а 'й ,  /"сз  =  К з +К 'з   oraz  warunek  symetrii  tensora  n a p r ę ż eń   (3.4)  o'aB  = óBa.  •   R ó w n a n i a  (2.4)  н­ (2.8)  zapisane  dla czę ś ci«  p r i m o w a n e j »  zagadnienia,  wobec  założ enia  (3.3)  i  (3.4),  przyjmują  nastę pują cą  p o s t a ć :  warunki  r ó w n o w a g i  (3.5)  a'aB,a  = 0,  (3.5')  / 4 з ,« =  0;  zwią zki  konstytutywne  (3.6)  a'aB =  2tuy'llB + Ay'yydllB,  1**3 =  (у +  е Кз   lub  te  ostatnie  rozwią zane  wzglę dem  odkształceń   (3.6')  i  xx3  —  — ; —  /"яз '•>  y + e  r  r ó w n a n i a  geometrycznej  z g o d n o ś ci  У 12,  1  —  У \  1 ,2 —  1̂3  =  0,  (3­7)  У 2 2, l ­ V l 2 , 2 ­ « 2 3  =  °>  ^23,  1  ^13, 2  =  0.  P r z e k s z t a ł c o n e  r ó w n a n i a  (3.7)  po wykorzystaniu zależ noś ci  (3.6') 2  i r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  (3.5')  oraz  zależ noś ci  (3.4)  i  (3.6') t  (co prowadzi  do  równoś ci  y'aB  =  y'Bx)  przyjmą  p o s t a ć   У 2 2 ,1  1 + V i 1  ,22  =  2 y 1 2 , i 2 ,  (3.8)  У 1 2 . 2 2 — У 1 2 .И  =  ( У 2 2 ­ У 1 1 ) , 12  »  ^23,  ł  ~*  X13,  2 —  0  lub  (3.9)  ff22.11+ffń.22­  2 ( A + / ł )  ­ 2 * 1 2 . 1 2 ,  O 'l 2, 2 2 ­ O ' l 2 ,  11  + ( f f i l  ­0'22),12  =  0  oraz  ( 3 ­ 9 ')  ^23,1  =  /<13,2  •   Róż niczkując  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  (3.5) (dla  (3 =  1) po x 2  oraz  (3.5) (dla  /3 =  2) po  л ­[  i  odejmując  otrzymane  r ó w n a n i a  stronami,  uzyskujemy  zależ ność  (3.9) 2 .  Dlatego  w  dal ­ szych  r o z w a ż a n i a ch  zależ ność  tę, a co z ą , t ym  idzie  i  (3.8) 2 ,  bę dziemy  pomijali.  Z a u w a ż m y,  SPOSÓB  ROZWIĄ ZANIA  ZAGADNIEŃ  NIESYMETRYCZNEJ  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  147  że  w  r ó w n a n i a c h  r ó w n o w a g i  (2.4)  i  zwią zkach  (2.8)  nie b y ł o  rozseparowania  n a p r ę ż eń   siłowych  i  n a p r ę ż eń  momentowych;  teraz  r ó w n a n i a  (3.5)  i  (3.5')  oraz  (3.9)x  i  (3.9') są   rozseparowane.  Ponadto  funkcje  a'^  są  funkcjami  biharmonicznymi,  a a'xx  (zatem  i a'33)  jest  funkcją  h a r m o n i c z n ą  (rozpatrujemy  zagadnienie  statyczne  bez  temperatury  i sił  ma­ sowych) :  (3.10)  о 'с ф .ы п  = 0.  °з з ,««  = 0  oraz  (3.10')  а 'ы М  = 0.  Przy  uwzglę dnieniu  (3.10')  r ó w n a n i e  (3.9)!  m o ż e my  p r z e p i s a ć  w postaci  (3.11)  0­22,11 +ff'u, 22  =  2a'12,i2­ Uzyskaliś my  więc  dla  «pr imowa ne j »  czę ś ci  szukanego  rozwią zania  s f o r m u ł o w a n i e  n a p r ę ­ ż eniowe,  na k t ó r e  składają  się  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  (3.5),  r ó w n a n i e  geometrycznej  zgod­ •  noś ci  w  odkształceniac h  (3.8),  lub w  n a p r ę ż e n i a ch  (3.9)Ł  [bą dź  (3.11)  w  połą czeniu  z  (3.10')],  warunki  brzegowe  (3.2),  prawo  konstytutywne  (3.6)!  lub (3.6')x  oraz  warunki  konieczne,  jakie  muszą  spełniać  składowe  o'ap i a33,  tzn.  warunki  (3.10).  Wyż ej  wymienione  sformułowanie  jest  identyczne  z  n a p r ę ż e n i o w ym  s f o r m u ł o w a n i e m  z  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  dla płaskiego  zagadnienia  bez u d z i a ł u  temperatury  i  sił  masowych  (por.  W .  NOWACKI,  Teoria  sprę ż ystoś ci  [8]  ss.  285  н ­287).  Zagadnienie  powyż sze  m o ż na  rozwią zać  w s p o s ó b  b e z p o ś r e d ni  przy  uż yciu  w y k ł a d n i ­ czej  transformacji  Fouriera  1  + ° °  /(*i,  D =  J  f(Xl,x2)e^dx2,  (3.12)  1  + c °  — oo   co  prowadzi  do rezultatu:  1  +  °°  o'1i(x1,x2)=  ~­j=  \  p(.W+\C\xi)e­^­ tix*d£,  — OO  1  + ™  (3.13)  a'22(xx, x2)  =  ­—=•  J  p(S)(l­\e\x1)e­^­ l*x*dC,  —  00  +  00  a'izixi,  x2) =  (]С ,  1/  2 л:  J  —  00  Я  1  +­°°  (3.13')  (Г з з(*1,  *г)  =  _ l + ^ " | 7 f ^ ­  )  p($)e­^x>­iix>d£.  2*  148  .Г.  DYSZLEWICZ  P a m i ę t ać  należ y,  że rozpatrywany  stan  r ó w n o w a g i  w zakresie  «primowancj»  czę ś ci  tensora  n a p r ę ż eń  siłowych  jest  stanem  r ó w n o w a g i  w  o ś r o d ku  mikropolarnym, w  k t ó r y m  o p r ó c z  stałych  L a m ć go  A, fi wystę pują  stałe  а, у , e (stała  (i w rozpatrywanym  płaskim  zagadnieniu  nie  wystę puje).  Wią że  się z tym  wystę powanie  tensora  n a p r ę ż eń  momentowych,  przy  czym  « p r i m o w a n a »  jego  czę ść  spełniać  musi  r ó w n a n i e  r ó w n o w a g i  (3.5')  i  r ó w n a n i e  zgodnoś ci  odkształceń  (3.8)3  wyraż one  w  n a p r ę ż e n i a ch  (3.9').  Prawo  konstytutywne  okreś la  się   wzorem  (3.6),  lub (3.6')2.  Składowe  fi'a3  (iwwnież  /г '3а)  są  tu  funkcjami  harmonicznymi,  otrzymujemy  bowiem z (3.5') i (3.9')  r ó w n a n i e  Laplace'a  (3.14)  //; 3 ,до  = о .  Przejdź my  do  wyznaczenia  « p r i m o w a n y c h »  składowyc h  tensora  n a p r ę ż eń  momento­ wych.  W tym  celu  do r ó w n a ń  (3.7), , 2  podstawiamy  zwią zki  (3.6')  i  uwzglę dniamy  zależ­ n o ś ć  (2.5')!,  otrzymując  odpowiednio  /  У ~ł~G  ,  ,  ,  i"'i3  =  —2  ( ° i 2 , i  ~ ° i i , 2  + < 7 з з , г ),  (3.15)  И   Y  +  s  >  '  \  r*23  =  ~2^~  V*12,\  ­^33, l ­ f f l  l,2>­ B e z p o ś r e d n im  podstawieniem  do (3.14)  sprawdzamy,  że  /и 'х 3 są funkcjami  harmonicznymi  i  że spełniają  r ó w n a n i e  r ó w n o w a g i  (3.5')  oraz  r ó w n a n i e  z g o d n o ś ci  odkształceń  w  n a p r ę ­ ż eniach  (3.9').  Uwzglę dniając  (3.13)  i  (3.13')  wyznaczamy  2ia0  (3.16)  2a0  Ц г з {х ,,х2)  =  J  ż >(f)|f|e­l*l*»­***tf*f,  w p r o w a d z i l i ś my  oznaczenie:  a0  =  (у + е )(2ц  + A)/4^(A+/z).  D l a  Л ']  =  0  otrzymujemy  z  (3.16)!  wartość  ju'13  na brzegu  p ó ł p r z e s t r z e n i  (3­17)  ^'13(0, x2)  =  2a0^p{x2).  Przejdź my  teraz  do  wyznaczenia  drugiej  czę ś ci  rozwią zania.  Zależ noś ci,  k t ó r y m i  tu  dysponujemy,  są  identyczne  w swej  postaci  ze  zwią zkami  (2.1)  ­=­(2.8).  W celu  ustalenia  uwagi  czę ś ciowo  je  tu  przepiszemy.  R ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  (3.18)  ff^«  =  0,  е . 0 о й ­ г Х ' э ,«  = О.  Zwią zki  konstytutywne  ( 3  j „  o'a't>  =  (M +   ­  2(1+7)  a'Ą   (a nie sum ow ać )'  (3.19')  Yafi  =  y ^ f ) + 25"°Î I'  a  #  0»  1  »  Symbole  ( )  i  []  oznaczają  odpowiednio  czę ść  symetryczną  i antysymetryczną  tensora a'x'ft.  R ó w n a n i a  geometrycznej  zgodnoś ci  y ź i .i  ­ y i i , 2 ­ * i 3  = 0 ,  (3.20)  У 2 2 . 1 ­ У 1 2, 2 ­ ^ 2 3  = 0,  II  II  f\  У­23, 1 —  ^13,2  —  U>  po  przekształceniach  i  uwzglę dnieniu  zwią zków  (3.19'),  przyjmują  p o s t a ć   II  II  ^  и  л  a  °~22Л \  +  ( 71 1, 2 2  2(X+jj)  CT"°t'^  =  (12)'  1 2  '  (3.21)  2[a^2)tl2­ali)tl,]  +   2>A­a'{l2­i,^+2(a[[~a'2'2)il2  +­*t—/I"3  = 0,  /"23, 1  — #13.2  •  Zagadnienie  należy  rozwią zać  z warunkami  brzegowymi,  k t ó r e  otrzymamy  z  wyjś ciowych  w a r u n k ó w  brzegowych  (3.1)  po uwzglę dnieniu  podstawienia  (3.3),  w a r u n k ó w  brzegowych  dla  « p r i m o w a n e g o »  zagadnienia  (3.2) oraz  zależ noś ci  (3.17):  (3.22)  a[[(0, x2)  =  0,  a['2(0, x2)  =  0,  pi'3(0, x2)  =  ­2a0~p(x2).  dx2  Poszukując  rozwią zania  wyjdziemy z rozseparowanych  r ó w n a ń  róż niczkowych,  jakie  speł­ niają  składowe  a'Jp i /л 'а'3  (por.  [7]  (.l2o'dfi,a­^afi),ityy  = 0,  (  '  (l2^­^)  K  = 0 .  Ponadto  zachodzą  zwią zki  °"cra,/i/?  =  0,  '  а [12],о и~  "[12]  —  u ­ Wielkość  l2  jest  stałą  i  wynosi  I2  =  (jj, + tx)(y+e)jA[ia..  P o transformacji  r ó w n a ń  (3.23)  otrzymujemy  r ó w n a n i a  róż niczkowe  zwyczajne  postaci:  d2  Ł,\ 2/  d2  (3.24)  , 2 r r „  f 2 )  l ^ 2 ­ ­ e 2 ) ^  = o,  '  Ć /2  \ /  d2  \  I  O g ó l n ą  p o s t a ć  rozwią zania  r ó w n a ń  (3.25)  z  warunkami  fizycznymi  dla  p ó ł p r z e s t r z e n i  (°a/» ­» 0, у Ц д 'з ­> 0 dla ]/xxxa  ­>0 przyjmujemy  n a s t ę p u j ą c o:  ( 3  2 6 )  ^  =  ( ^  + ^ | | | x 1 ) e ­ i ^ .  + Q ^ ­ ^ ,  150  J .  DYSZLEWICZ  Wielkoś ci  А'а'в ,  В 'а'ц , С 'л'в, а 'х'3,  b'a'3  jako  funkcje  parametru  |  wyznaczamy  spełniając  kolejno  transformowane  warunki  (3.24),  (3.21)3,  (3.22),  (3.18),  (3.20)!.  P r z y r у w n u j ą c  teraz w  po­ szczegуlnych  r у w n a n i a c h  w s p у ł c z y n n i k i  przy  odpowiednich  w y r a ż e n i a ch  postaci  e _ | f | X l ,  xle~' ,(l[x,  e~pXl,  otrzymujemy  proste  u k ł a d y  liniowych  r у w n a ń  algebraicznych  do  wy­ znaczania  wyż ej  wymienionych  wielkoś ci.  W  ten  s p o s у b  uzyskujemy  rozwią zanie  dla a'^,  /л 'х 3  spełniają ce  wszystkie  r у w n a n i a  wyszczegуlnione  w s f o r m u ł o w a n i u  problemu.  M a ono  p o s t a ć :  ffii(*«;  0  i ~ г Jin  li­  o ­ ^ o ) ( i + i e i . v ­ ] > ­ ^ +  —  OO  + 2a0  Ј 2 | e ­ G X ' ­  i | i e'  l { l x ' |  j e ' 5 *  dЈ,  (3.27)  o'Ź 2ix,\  l) = ­4=  f  ­p­ \/2n  J  A0  ]/2n  J  A o  ( l ­ z J o ) ( ­ l  +  i l k 1 ) e ­ № '  +  + 2a0Ź 2\e­pXl­ i i i -e ~ ^ x ^ 11d Ј ,  +  2a0i 2~{e­<'x'­e­'iix4  e­Wx*dS,  о Х Л х .;  /)  =  ­ ~  Г  A  2n  J  A0 | / 2 я   (3.27')  ^ з з   +  2 л 0 f 2 у  e"'*1 ­  e"  • j J e~ ***  dЈ,  oraz  (3.28)  р "з (хл;1)=  ­­jf==­  j  ^ ­ | [ ( l ­ z J 0 ) e ­ № l­ e ­ " ^ ] e ­ ' ' ^ ^ ,  0  Oznaczyliś my  t u : Ј  =  /?(Ј),  z l 0 =  A0(!j)  =  l+2a0Ј 2  1 ­ III  SPOSÓB  ROZWIĄ ZANIA  ZAGADNIEŃ  NIESYMETRYCZNEJ  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  151  Ostatecznie  r o z k ł a d  n a p r ę ż eń  w  półprzestrzeni  uzyskujemy  sumując  a'^ z  (3.13)  i а 'х'р   z  (3.27)  oraz  /л 'х 3  z  (3.16)  i  /л 'а'3  z  (3.28).  D l a  przypadku  szczególnego  [a =  0]  otrzymujemy  rozwią zanie  z  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  dane wzorami  (3.13),  (3.13').  Uzyskaliś my  zatem  rozwią zanie  z ł o ż o ne z  d w ó c h  czę ś ci i spełniają ce  n a ł o ż o ne  na  nie  w punkcie  3 warunki, przy  czym jest  to  rezultat  zgodny  z  wynikami  pracy  W .  N O W A C K I E G O  por. [7].  4.  Równania  przemieszczeniowe  Przejdź my  do r ó w n a ń  przemieszczeniowych  o d p o w i a d a j ą c y ch  poszczególnym  zagad­ nieniom  (z  «jedną»  i  «dwiem a  k r e s k a m i » ) .  D l a  « p r i m o w a n e g o »  zagadnienia  z  (1.2) po  uwzglę dnieniu  (2.1)  i  (3.3)  uzyskujemy  (4­1)  y'ap  =  u'p>a­eafiq>3,  x'a3  =  (p'3>a.  Z  założ enia  (3.4)  wynika  (3.6')!  (tzn.  y'„e =  y'pa) i  dalej  z  (4.1)  zależ ność   (4.2)  9?з =  у б э д 5 " Л «­ W i d z i m y ,  że cp'3 pokrywa  się  teraz  ze  składową  co3 wektora  obrotu  co =  ­ ^ ­ y x v dla  płaskiego  zagadnienia  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci.  Podstawiając  (3.6)!  do  r ó w n a ń  r ó w n o ­ wagi  (3.5)  i uwzglę dniając  pierwszą  g r u p ę  zwią zków  z  (4.1)  oraz  (4.2),  uzyskujemy  n a s t ę ­ pują cy  u k ł a d  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  w  przemieszczeniach:  (4.3)  [ш 'а,р р + (Х +ц )е [х  = 0,  e' = u'PiP  oraz  ( 4 ­ 3 ' )  = 0.  W a r u n k i  brzegowe  (3.2)  pozostają  bez  zmiany,  tzn.  (4.4)  <У \Л 0,Х2)  =  ­p(x2),  oria(0, x2)  = 0 .  R ó w n a n i e  (4.3')  wynika  z  r ó w n a ń  (4.3),  natomiast  te  ostatnie  w połą czeniu  z  (4.4)  formułują  problem  klasycznej  sprę ż ystoś ci  ( r ó w n a n i a  zgodnoś ci  (3.7)  po wprowadzeniu  do  nich  zwią zków  (4.1)  spełnione  są t o ż s a m o ś c i o wo  (por. [8]).  Przejdź my  do  zagadnienia  z  « d w i e m a  k r e s k a m i » .  P o d s t a w i a j ą c  zwią zki  (3.19)  do  r ó w ­ n a ń  r ó w n o w a g i  (3.18)  i  uwzglę dniając  (4­ 5 )  у '«'р  = и £«­е «р 9>з  ,  К 'з  =  <Р з,а .  otrzymujemy  u k ł a d  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  w  przemieszczeniach —  obrotach  w  postaci  (zwią zki  (3.20)  spełnione  są  t o ż s a m o ś c i o w o ):  ^  (А* +  « ) и К с и + ( Л + / » ­ а ) е ^ + 2 а б| , г с ) ' з ,7  = 0,  (у +е )<р '3­а а­4с с (р з  +2aeafiu'p'ilt  = 0,  e" = < а ,  z  warunkami  brzegowymi  j a k  w  (3.22),  tzn.  (4­7)  cri'!(0, x2)  = 0,  с г '/2(0, x2)  = 0,  ^ ( O ,  x2)  =  ­2a0­^­p(x2).  152  J .  DYSZLEWICZ  Rezultat  k o ń c o wy  w przemieszczeniach  i  obrotach  uzyskujemy  zestawiając  (4.8)  ua  =  ua+u'a',  ?>з =  9>3+9>3.  Ostatecznie  więc  uzyskaliś my  s f o r m u ł o w a n i e  problemu  przedstawionego  na  p o c z ą t ku  [zarówno  w  n a p r ę ż e n i a c h,  jak  i  w  przemieszczeniach —  obrotach],  k t ó r e  s k ł a d a  się  ze  s f o r m u ł o w a n i a  (analogicznego  problemu  do  rozpatrywanego)  wynikają cego  z  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  oraz  s f o r m u ł o w a n i a  uzupełniają cego.  Rozpatrzmy  p o k r ó t c e  zagadnienie  termosprę ż yste.  W  tym  przypadku  należy  wyjść   z  podstawowych  r ó w n a ń  mikropolarnej  termosprę ż ystoś ci  dla zagadnienia  stacjonarnego  (por.  [1] lub  prace  ź r ó d ł o we  [9]).  D l a zagadnienia  płaskiego  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  i  zwią zki  geometrycznej  zgodnoś ci  pokrywają  się  odpowiednio  z  (2.4) i  (2.6),  natomiast  prawo  konstytutywne  okreś lają  zależ noś ci  cr*p  =  (,« + «)7<Ф + (И ~ °0У<8*  + (~A У у ,  ~ vO) й ц з,  (4.9)  <и *з  =  (У + Ф «1,  О зз =  л уу у­г О .  P o s t ę p o w a n ie  analogiczne  do  przeprowadzonego  w  punkcie  3  pracy  prowadzi  do  u k ł a ­ d ó w  r ó w n a ń  w  przemieszczeniach — obrotach,  k t ó r e  kolejno  o m ó w i m y .  D l a  zagadnienia  klasycznej  termosprę ż ystoś ci  [por.  [8]]  (4.10)  И »'р ~ +  {Л +и У .г ­ri.fi,  (4.10')  а * и л«  =  ° ­ W  (4.9) i  (4.10)  v =  (3A+2/z)a ( ,  natomiast  a, jest  termicznym  współczynnikiem  liniowej  rozszerzalnoś ci  o ś r o d k a.  T e m p e r a t u r ę  0  wyznaczamy  z  r ó w n a n i a  przewodnictwa  ciepl­ nego  W  (4.11)  ©.aa =  jj—  ,  gdzie  W oznacza  intensywność  ź ródeł  ciepła,  A 0 — współczynnik  przewodnictwa  cieplnego.  D l a  wyznaczenia  wielkoś ci  u'J i (p'3' otrzymujemy  jednorodny  u k ł a d  r ó w n a ń  róż niczkowych  identyczny  z u k ł a d e m  (4.6).  Jeż eli  wyjś ciowe  warunki  brzegowe  mają  p o s t a ć :  (4.12)  ffi«(0,x2)  =  ­p*(x2),  fil3(p,x2)  = 0,  dla  obcią ż eń  mechanicznych  oraz  (4.12')  0(O,x2 ) =Д *2),  dla  temperatury,  to  wówczas  rozwią zujemy  r ó w n a n i e  przewodnictwa  cieplnego  (4.11)  z  warunkiem  (4.12'),  a  nastę pnie  z n a n ą  funkcję  в wprowadzamy  do u k ł a d u  r ó w n a ń  (4.10)  i  u k ł a d  ten  rozwią zujemy  z  warunkami  brzegowymi  (4.13)  a'la(0,x2)  =  ­pa(x2).  D l a  u k ł a d u  r ó w n a ń  z  u'x' i  993, tzn. dla (4.6) otrzymujemy  warunki  brzegowe  typu (4.7)  (tylko  /л [3(0,х2)  #  0)  i  teraz  wystarczy,  w  celu  uzyskania  pełnego  rozwią zania,  d o d a ć   do  uzyskanego  rozwią zania  klasycznego  rozwią zanie  problemu  brzegowego  mikropolarnej  sprę ż ystoś ci  danego  wzorami  (3.27),  zastę pując  tam  jednak  p(x2)  odpowiednio  dobranym  p*(x2).  http://ri.fi SPOSÓB  ROZWIĄ ZANIA  ZAGADNIEŃ  NIESYMETRYCZNEJ  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  153  Rozpatrzmy  p r z y k ł a d o w o  półprzestrzeń  ogrzaną  na  brzegu  [warunek  (4.12')]  i  wolną   od  obcią ż eń  mechanicznych.  Z a ł ó ż my  ponadto  brak  ź ródeł  ciepła  w półprzestrzeń  i .  W ó w ­ czas  rozkład  temperatury  okreś la  całka  i  +~  (4.14)  6(xltx2)  =  ­ =  I  / ( ф ? ­ " « ' * * ­ ' « х » < « ,  у  2л  J  — oo  natomiast  rozkład  n a p r ę ż eń  w przestrzeni  uzyskujemy  sumując  rozwią zanie  klasyczne  К р (х1,х2)  =  0,  ( 4 Л 5 )  '  (  \  ^  ш  л   ° з з ( *1  , x 2 ) = ­  6{Xi,  x2),  z  rozwią zaniem  danym  wzorami  (3.27)  i  (3.27')  oraz  sumując  + 00 A * i 8 ( * i ,  *a) =  2iimaQi­=  j  Л в ^ e ' 1 " * 1 " 1 * " * * .  (4.16)  + 00 И '23(х1,х2)=  ­2iimaQ­==  j'  A 0 | £ | e ­ l « i * « ­ « * » d f ,  —  СО   z  rozwią zaniem  danym  wzorami  (3.28),  przy  czym  za  obcią ż enie  p(x2)  w  (3.27),  (3.27')  i  (3.28)  podstawiamy  teraz  (4.17)  p(x2)  = p*(x2)  =  ­fimf(x2),  m =  л +  2/л   otrzymując  rezultat  zgodny  z  r o z w i ą z a n i em  tego  zagadnienia  w  pracach  [7], [10].  D l a  przypadku,  gdy w zagadnieniu  wystę pują  «obcią ż enia»  masowe, tzn.  (4.18)  X(X1,X2,0),Y(0,0,Y3),  gdzie  X  jest  wektorem  sił  masowych,  Y — wektorem  m o m e n t ó w  masowych,  pozostaje  w  mocy komplet  r ó w n a ń  z  punktu  2 [(2.1)­h(2.8)],  z  wyją tkiem  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  (2.4),  k t ó r e  teraz  mają  p o s t a ć :  (4.19)  « 0 ,  Uzyskujemy  stąd  klasyczne  s f o r m u ł o w a n i e  n a p r ę ż e n i o we  (por.  [8]), tj.  zwią zki  ( 3 . 6 ) 1 ;  (3.8)i  i  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  (4.20)  <в .*+Х в  =  0 .  T a k ż e  (4.20')  /,'а 3а  +  1 ^ ± е л Вх в , л  = 0  154  J .  DYSZLEWICZ  w  połą czeniu  ze zwią zkami  (3.6)2  i  (3.8)3.  Natomiast  dla  a'^  i /лх Ъ  uzyskujemy  tu  niejedno­ rodny  u k ł a d  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  w  postaci:  0 & «  =  0,  ( 4 2 1 )  P  rr"+u­  4­Y  Y  +  FIP  У  ­0  fca7?0a/3+,Mi3,a  +  ­<3  2/jT  ~  k t ó r y  łą czymy  ze zwią zkami  (3.19),  (3.20)  i  odpowiednimi  warunkami  brzegowymi.  P r z e c h o d z ą c  do  s f o r m u ł o w a n i a  w  przemieszczeniach  i  obrotach  otrzymujemy  odpo­ wiednio:  (4.22)  riu'p.a.+ib+ftKp+Xp  =  0,  (4.22')  е ^и '^+Х р ,.)  =  0,  j a k  dla teorii  klasycznej  (por.  [8])  [przy  czym  r ó w n a n i e  (4.22')  wynika  z  r ó w n a ń  (4.22)]  oraz  niejednorodny  u k ł a d  r ó w n a ń  dla  и 'а' i а х  +  (X+  [i ­    oraz  rozseparowane  r ó w n a n i a  dla u[  i  u'2:  « U W  =  ­ 2 ^ X ^ 1 . 1 1 ­ — ^ 1 . 2 2 ,  (4.26)  ;л1.12­ t  Z  (4.22')  przy  uwzglę dnieniu  (4.2)  otrzymujemy  r ó w n a n i e  dla  <р 'ъ =  co3,  mianowicie  (4.27)    (!  Ч >з,в а—<Р з ),*а  =  ­ ~—Xia№'  м 9  2./Л   W  celu  wyznaczania и ", и2'>  9>З   w  przestrzeni  nieskoń czonej  wystarczy  wyznaczyć  rozwią­ zanie  szczegуlne  r у w n a ń  (4.34),  tzn. znaleźć  rozwią zanie  dla  r у w n a ń :  (4.35)  (l 2u'2,„­U2),is  =  ­   V 4  /  х 1л г ,  l 23 =  ?'з +9з ,  co  prowadzi  do  rezultatu:  Ul(Xl,X2)  =  _ _ ^ _ _ / , i ł l + / , i a a ­ _ _ _ f t _ W > „  (4.39)  „ f c , ^  =  ­ Л ­  У4 ± в ­ ( Л ­ /2 )  p  W  powyż szy  s p o s ó b  uzyskujemy  również  rozwią zania  dla  siły  masowej  w  postaci  X2  =  =  Só(x1)d(.x2)  oraz  dla  skupionego  momentu  masowego  w  postaci  Y3  =  М д (х1)б (х2),  przy  czym  otrzymane  rezultaty  zgodne  są  z  wynikami  cytowanej  pracy  [7].  W  pracy  [6]  do  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  w  przemieszczeniach  i  obrotach  (1.6)  wprowadza  się  wektor  С za p o m o c ą  nastę pują cego  podstawienia:  (4.40)  С =  y V ­ u ­ 4 > ,  co  dla  przypadku  płaskiego  prowadzi  do  (4.40')  q>3 =  jeeaUe,,­^­ W ó w c z a s  u k ł a d  r ó w n a ń  (1.6)  przechodzi  w  u k ł a d  /и м р,«а+(Я +/*К (з  =  2txePyC3,y  ,  (4.41)  1  2 - ( у + £) е а. 4 " / з , а С £ = ( y +  £)C3,«­4af3  .  Przyjmując  n a s t ę p n ie  rozwią zanie  w  postaci  (4.42)  ua  =  u'a+u':  ,  C 3  =  C ś + Cs  oraz  =  0,  otrzymujemy  z  (4.41)  dwa  nastę pują ce  u k ł a d y  r ó w n a ń :  +  = o,  (4.43)  eot/3  aec  —  0.  oraz  /И »У ,«а+(Я +^)е"р  =  2 а ев у ? з > у ,  (4.44)  1  у О ' + в ^ и у , . , .­  ( y + e ) f t ' , „ ­ 4 « f t ' .  U k ł a d  (4.43)  zwią zany  jest  z  klasyczną  teorią  sprę ż ystoś ci,  natomiast  u k ł a d  (4.44)  daje  nam  rozwią zanie  uzupełniają ce  uwzglę dniają ce  efekty  brzegowe.  158  J .  DYSZLEWICZ  Z a u w a ż m y,  że  u k ł a d y  r ó w n a ń  w  przemieszczeniach  i  w  przemieszczeniach  —  obrotach,  k t ó r e  uzyskaliś my  w  tej  pracy  z  r ó w n a ń  n a p r ę ż e n i o w y c h,  tzn.  u k ł a d  (4.3)  i  (4.6),  pokrywają   się  odpowiednio  z  u k ł a d a m i  (4.43)x  i  (4.44).  Wystarczy  tylko  w  (4.44)  p o d s t a w i ć   (4.45)  Сз  =  y ą > e « A « ­ 9 s .  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  W.  NOWACKI,  T/wory  of non­symmetric elasticity  [in  Polish],  PWN,  Warszawa  1971.  2.  E .  V .  KUVSHINSKI,  E .  L .  A E R O ,  Continuum  theory  of  asymmetric elasticity  [in  Russian], Phis.  Tverd.  Tela,  5  (1963).  3.  M .  A.  PALMOV, Fundamental equations of asymmetric elasticity  [in  Russian], Prikl.  Mat.  Mekh.,28 (1964).  4.  N .  SANDRU,  On some problems of  the linear theory of asymmetric elasticity,  Int.  J . Engng.Sci.,4,  1  (1966).  5.  Z.  OLESIAK,  Stress  differential equations  of  the  micropolar  elasticity,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci.,  Ser.  Sci.  Techn.,  18,  5 (1970).  6.  H .  SCHAEFER,  Das  Cosserdt­Kontinuum,  Z A M M ,  8,  47  (1967).  7.  W.  NOWACKI,  Plane problems of micropolar elasticity,  Arch,  of  Mech.,  23,  5 (1971).  8.  W.  NOWACKI,  Teoria  sprę ż ystoś ci,  PWN,  Warszawa  1970.  9.  W.  NOWACKI,  Couples­stresses  in  the theory  of thermoelasticity,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci.,Ser. Sci. Techn.,  Part  I,  II,  14,  3  (1966): Part  III,  14,  8 (1966).  10.  W.  NOWACKI,  77ге plane problem  of  micropolar thermoelasticity,  Arch,  of  Mech., 22,  1 (1970).  11.  W.  NOWACKI,  Zagadnienia  termosprę ż ystoś ci,  PWN,  Warszawa  1960.  12.  J .  H A D A M A R D ,  Lectures  on  Cauchy's  problem  in partial  differential  equations,  Yale  Univeristy  Press,  1923.  Р е з ю ме   О  Н Е К О Т О Р ОМ  С П О С О БЕ  Р Е Ш Е Н ИЯ  С Т А Т И Ч Е С К ИХ  З А Д АЧ   Л И Н Е Й Н ОЙ  Н Е С И М М Е Т Р И Ч Н ОЙ  Т Е О Р ИИ  У П Р У Г О С ТИ   На  п р и м е ре  п л о с к ой  з а д а ч и,  о п и с ы в а е м ой  в е к т о р а ми  u (и ,,  иг,  0),  <р (0, 0,  <р3)  (с м.  р а б о ту  [7]).  р а с с м о т р ен  н е к о т о р ый  с п о с об  р е ш е н ия  с т а т и ч е с к их  з а д ач  л и н е й н ой  н е с и м м е т р и ч н ой  т е о р ии  у п р у­ г о с т и,  с о с т о я щ ий  в  н а л о ж е н ии  р е ш е н ия  д ля  а н а л о г и ч н ой  к л а с с и ч е с к ой  з а д а чи  и  д о п о л н я ю щ е го   р е ш е н и я.  В  к а ч е с т ве  и с х о д н ых  з а в и с и м о с т ей  п р и н я ты  ф о р м у лы  д ля  н а п р я ж е н ий  в  п л о с к ой  з а­ д а ч е,  п р и в е д е н н ые  в  р а б о те  [7].  S u m m a r y  O N  A  C E R T A I N  M E T H O D  O F SOLUTION  O F  STATIC  PROBLEMS  OF  T H E  LINEAR  T H E O R Y  O F  N O N ­ S Y M M E T R I C  ELASTICITY  The  plane  strain  problem represented  by  the  vectors  u(uy,  u2,  0),