Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z2.pdf




136  M .  PISZCZEK,  G .  SZEFER 

2.  Sformułowanie  i  rozwią zanie  problemu 

A n a l i z a  płaskiego  stanu  n a p r ę ż e n ia  jakiegokolwiek  zagadnienia  brzegowego  niesy­

metrycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  może  być, jak  wiadomo  [4],  sprowadzona  do dyskusji  d w ó c h 

funkcji  naprę ż eń  F i naprę ż eń  momentowych  Ф ,  które  w dogodnym  dla  nas,  biegunowym 

układzie  współrzę dnych  (OrO)  winny  spełniać  r ó w n a n i a 

AAF  = 0, 

(2.1)  | г ( 1 ­ ^ ) Ф  =  ­A­^­AF, 

^ ( l ­ W  =  A^AF, 

gdzie 

A  = Л  + ­ i A  +  J L  ­3­2­  / 2  =  ( « + ^ ) ( y + Ј ) 
dr2  r  dr  г2  д в2 '  4/ua 

У +  Ј 
a, y,  e,  ju,v  —  stałe  m a t e r i a ł o w e ;  A ~  2^(1  +v) 

Funkcje  F(r,  в ) i  Ф (г ,  в )  okreś lają  naprę ż enia  znanymi  zwią zkami 

(2.2) 

a. = 
1  dF 1  d2F 

r  dr  г2  д в2 
­ ­

1  д2Ф  

г  д г д в  + 

d2F 1 

dr2  +  ~7 

д2Ф   1 д Ф  d2F 1 

dr2  +  ~7  г2  д в ' 

1  B2F  1 
+  У2' 

dF  1  д Ф  
Tr()  '  T  д г д в  

1 
+  У2'  С О   г  д г  

= 
1  82F 

'  ~r  д г д в  

1 
+  T2 

dF 

"д в  

д2Ф  
+  ~д гг' 

д Ф  
И в  = 

1 д Ф  

~  dr' 
И в  = 

г   W 

\_д ф  

7 2  ~д в  

r^lti2' 

Tutaj 

o"r,  ag,  т г в, т0г  —  zwyczajowe  oznaczenia  n a p r ę ż eń  normalnych  i  stycznych, 

fir,  Ц о  —  n a p r ę ż e n ia  momentowe. 

Zgodnie  z rys.  1 należy  spełnić  nastę pują ce  warunki  brzegowe: 

(2.3)  dla  r =  a  ar(a, 0)  =  0,  rr0{a, 0)  =  0,  /лг(а ,  в ) = 0; 

(2.4)  dla  r =  b  ar(b, 0)  =  0,  rr0(b,  0)  =  0,  цгф , в ) = 0; 

(2.5)  dla  0 =  0  /  r0rdr  =  —P,  cre(r, 0) =  0,  pe(r, 0) = 0; 

(2.6)  dla в =  j  a0dr  =  P,  T<Jr,  ^ j  =  0 ,  J  (fig  + a0r)dr = 0. 



ZGINANIE  PRĘ TA  Z  UWZGLĘ DNIENIEM  NAPRĘ Ż EŃ  MOMENTOWYCH  137 

Funkcji  F i Ф p o s z u k i w a ć  bę dziemy  w postaci 

F(r,Q)  =  Я г) sin 0, 
f 2 7) 
У  '  Ф ( г , 0)  =  c>(r)cos0. 

Dzię ki  temu  warunki  (2,5) 2 , 3  i (2.6)2  spełnione  są t o ż s a m o ś c i o w o. 

Obecnie  przystą pimy  do wyznaczenia funkcji  F(r, 0) i cp(r).  Podstawienie  (2.7)i  do (2.1)! 

daje  funkcję  n a p r ę ż eń  w postaci  identycznej, j a k w przypadku klasycznym 

(2.8)  F(r,6)=  (A1r+A2rln,r+A3r­
1  +  A4r

3)sinQ. 

W  dalszym cią gu  rozpatrujemy  zwią zek  (2.1)2  oznaczając 

(2.9)  ( 1 ­ / 2 Z 1 ) 0  =  xp(r,6). 

Uwzglę dniając  (2.8)  otrzymujemy 

(2.10)  4 r ­ =  ­ — ( 2 . 4 2 / ­
1 + 8 ^ 4 r ) c o s 6 , 

dr  r 

a  stąd 

(2.11)  y>(r, в ) =  (2AA2r­
1­?,AA4r  + C)cos6. 

Ł a t w o  sprawdzić,  że taka  p o s t a ć  funkcji  y>(r, 0) spełnia  p o z o s t a ł ą  relację  (2.1)3,  gdy С = 0. 

Wracając  do  (2.9)  mamy 

(2.12)  Ф ­Р А Ф  =  ­^2­(2AA2r­SAA4r
3)cose, 

a  uwzglę dniając  (2.7)  otrzymujemy 

(2.13)  7­.p^p"+  J _ c / _ J L c , J  =  yf(2AA2r­8AAĄr
3). 

Zajmiemy  się najpierw  całką  szczególną  (2.13).  Oznaczając  ją  przez (fi(r) otrzymujemy 

9>i+7­9>i­9>i(­^r  + j f ) =  ­^2­{2A2r­"­%AAr). 

W p r o w a d z a j ą c  zmienną  bezwymiarową  x =  r/l otrzymujemy  r ó w n a n i e 

(2.14)  y» + l . y ­ y \ i  +  ­ L j =  ­2A(A2l­
lx­l­AAJx) 

gdzie  oznaczono  y(x) =  <pi(lx). 

Jest  to  niejednorodne  r ó w n a n i e  Bessela  z  urojonym  argumentem.  Należy  ono  do 

r ó w n a ń  klasy  Fuksa,  dlatego  jego  rozwią zania  szukać  bę dziemy  w postaci  szeregu 

00 

(2.15)  y(x)  =  £  CjxK 

P o d s t a w i a j ą c  wyraż enie  (2.15)  do r ó w n a n i a  (2.14)  i p o r z ą d k u j ąc  je wzglę dem  p o t ę g  x, 

dochodzimy  do  wniosku,  że wszystkie  współczynniki  Cj z  wyją tkiem  C 2 , C 4 są  r ó w n e 

zeru.  W rezultacie  r o z w i ą z a n i em  (2.14)  jest  funkcja 

у  =  2AA2l­
lx~x­%AAJx. 



138  M .  PISZCZEK,  G .  SZEFER 

P o  powrocie  do  zmiennej  /• otrzymujemy  zatem  poszukiwaną  całkę  szczególną  

(2.16)  tpiir) =  2AA2r~
1­8AAAr. 

C a ł k a  o g ó l n a  r ó w n a n i a  jednorodnego  (2.19)  ma  z n a n ą  p o s t a ć  

(2.17)  <pQ(r)  =  C1Il(r/l)  + C2K1 (r/l). 

Tutaj  Л (/•//), Ky (r/1)  są  zmodyfikowanymi  funkcjami  Bessela  odpowiednio  I  i  II  rodzaju 
i  pierwszego  rzę du.  Zatem  funkcja  n a p r ę ż eń  momentowych  Ф (г ,0)  przyjmie  ostatecznie 
p o s t a ć  

(2.18)  Ф (г ,в )=  [ C 1 / 1 ( / ­ / / ) +  C 2 / r 1 ( / ­ / / ) + 2 / 4 ^ 2 r ­
1 ­ 8 / l ^ 4 / ­ ] c o s 0 . 

Dysponując  funkcjami  (2.8)  i  (2.18)  m o ż e my  obliczyć  naprę ż enia  i naprę ż enia  momentowe 

ze  zwią zków  (2.2).  Otrzymujemy  wtedy 

(2.19) 

I  С  
or  =  \A.r­

1  ­2,­3(A3+2AA2)+2AĄr  +  [/0(/• //) + 

+ h(r/i)]­  [K0(r/l)  + K2(r/1)]­  Щ ­U(r/l)­  ­ p
2 ­ ^ ( r / / ) J s i n O ; 

тв  =  U2r­
1+2r­3(A3+2AA2)+6As­­^[I0(r/l)  + 

+ h(r/l)] + j ±  [K0(r/l)  + K2(r/l)]  +  / , (/• //) + ~f  Kx  (r/l)Jsin0; 

Tre =  {­A2,­
l+2(A3+2AA2)r­

3­2Atr­~±  • 

• [T0(r/l)+I2(r/l)l  + ^[K0  (r/l) + K2(r/l)]+  ^  /,(/• //) +  ~l  A',(r/l)JcosO  ; 

•A2r­
1+2(A3+2AA2)r­

3­2Atr+  л . Cj 
412 

С  ) 
[/_,(/•//) +2/ 1 (г //)+/3 (г //)Ц­  j^lK­MI)  +2А Г, (r/l)  +К3(г /1)Ц с о *6; 

­  2AA2r­
2  + %А А ь ­  /, (/•//)  (r/l) j sin0; 

fir  =  {­2AA2r­
2+8AAt­­C2

i

/  t/ o   W / ) + / 2  W O ] [ K 0 ( r / I ) + K 2 ( r / l Ą c o s O. 

Tutaj  / _ ! , I0,12,  /3 i  J5T_lf K0,  K2,  K3  — zmodyfikowane  funkcje  Bessela  I  i II  rodzaju, 

r z ę du  ­ 1 , 0,  2,  3. 

W z o r y  (2.19)  zawierają  p i ę ć  nie o k r e ś l o n y ch  d o t ą d  stałych  A2,  A3,  AĄ,  C , , C2. W y ­

znaczymy  je  z  w a r u n k ó w  brzegowych  (2.3) — (2.6).  W a r u n k ó w  tych  jest  w  sumie  12. 

T r z y  s p o ś r ód  nich,  mianowicie  ( 2 . 5 ) 2 , 3  oraz  (2.6) 2 ,  j a k  to j u ż wcześ niej  zaznaczyliś my, 

spełnione  są  t o ż s a m o ś c i o wo  dzię ki  postaci  (2.7).  D w a  n a s t ę p n e,  (2.6)x  oraz  (2.6) 3 ,  speł­

nione  są  na  mocy  z e w n ę t r z n y ch  w a r u n k ó w  r ó w n o w a g i  p r ę t a.  Ponadto  z a u w a ż a m y,  że 

file:///A.r-1


ZGINANIE  PRĘ TA  Z  UWZGLĘ DNIENIEM  NAPRĘ Ż EŃ  MOMENTOWYCH  139 

wzory  na <5r i тг в w czę ś ci  zależ nej  jedynie  od zmiennej  r róż nią  się tylko  znakiem — speł­

nienie  w a r u n k ó w  (2.3)j  i  (2.4)t  p o c i ą ga  za  sobą  r ó w n o c z e s n e  spełnienie  (2.3)2  i  (2.4) 2 . 

S p o ś r ód  12 w a r u n k ó w ,  niezależ nych  pozostaje  tylko  pięć — one też w zupełnoś ci  wystar­

czają  do jednoznacznego  obliczenia  brakują cych  pię ciu  stałych. 

Uwzglę dniając  kolejno  warunki  (2.3)!,  (2.3) 3 ,  ( 2 . 4 ) t ,  (2.4)3  i  (2.5)!  otrzymamy  u k ł a d 

r ó w n a ń  

А2(а ­*­4А а ­*)+Аъ(­2а ­
3)+АА­2а  + С а̂ 1\10<а  I) (­/,<</  /.] 

­ 1 F / 1 ( « / / ) J + C 2 { ­ ^ 7 [ / : 0 ( a / / ) + ^ 2 ( a / / ) ] ­ ^ 2 ­ A I ( , / / ) J  ­  (): 
er 

A2(­2Aa­
2)+AA(­8A)  +  C1~[I0(a/l)+I2(a/l)]­

•C2­^[K0(a/l)+K2(a/l)]  =  0; 

(2.20) 

A^b­'­AAb­^+AA­lb­^+A^b  + C^—jlhih  />+/,(/, ./>]­

+  ^ ­ / i ( 6 / / ) [  +C2  j ­  ­~[К о {Ъ Ц )  +K2(b/l)]­­~K1(b/lĄ  =  0 ; 

A2(­2Ab­
2)+AA(­%A)  +  Cl^l\IQ(bll)+I2{blI)\­

­C2~[K0(b/l)+K2(b/l)]  =  0, 

A2\\n  b/a+2A(b­
2­a­2)]+A3(b­

2­a­2)+A4.(b
2­a2)  + 

+ Ci  ~Uo(ą !l)  + I2(a/l)­  /„(*//)­12(b/l)]  + C2  i[K0(b/l)  +  K2(b/l)­

­K0(a/l)­K2(a/l)]  =  P. 

W  ten s p o s ó b  zadanie  z o s t a ł o  w zasadzie  rozwią zane.  N a k o ń c a ch  p r ę ta  otrzymujemy 

r o z k ł a d y  n a p r ę ż eń  i  n a p r ę ż eń  momentowych  ( т 9 г dla 6 =  0  oraz  т „,  цв  dla  в  = n/2) 

spełniają ce  warunki  brzegowe  tylko  w postaci  całkowej,  a  więc  podobnie j a k i w klasycznej 

teorii  p r ę t ó w.  N i e bę dziemy  rozwią zywali  u k ł a d u  (2.20)  w  postaci  ogólnej  p r z e c h o d z ą c 

od  razu  do  p r z y k ł a d ó w  liczbowych. 

3.  Przykłady  liczbowe 

D l a  iloś ciowego  zobrazowania  r o z k ł a d u  n a p r ę ż eń  przeprowadzono  obliczenia  dla 

r ó ż n y ch  w y m i a r ó w  p r ę t a.  Z  braku  odpowiednich  danych  dotyczą cych  stałych  а ,  у ,  e 

(jak  wiadomo,  brak  w tym zakresie  odpowiedniego  m a t e r i a ł u  d o ś w i a d c z a l n e g o)  przyję to 





ZGINANIE  PRĘ TA  Z  UWZGLĘ DNIENIEM  NAPRĘ Ż EŃ  MOMENTOWYCH  141 

stałą A  tak  jak  dla  o ś r o d ka  C o s s e r a t ó w  ze  zwią zanymi  obrotami.  Jest  wówczas A  =  2 / 2 / 

/(1 +v),  a  wszystkie  p o z o s t a ł e  wywody  pozostają  bez  zmian. 

Rozpatrzono  trzy  p r z y k ł a d y  liczbowe  dla  nastę pują cych  danych: 

1)  a  =  10  cm,  2)  a  =  5 cm,  3)  a  =  1 cm, 

6 = 1 5  c m ;  6 = 1 0  c m ;  6  =  6  cm. 

We  wszystkich  przypadkach  przyję to  P  =  1000  k G ,  /  =  0,1  cm,  v  =  1/6. 

"Na  podstawie  (2.20)  otrzymano  stałe,  zestawione  w  tablicy  1. 

Tablica  1 

Stałe 
A2  A,  A*  c ,  c2 

P r z y k ł a d ^ \ .  [kG/cm]  [kG/cm]  [kG/cm]  [kG]  [kG] 

1  523243  17817000  ­ 8 1 7 , 0 7  ­ 0 , 7 2 3 0 4 6 ­ 1 0 ­
6 3  ­ 0 , 1 4 1 9 6 8 ­ 1 0 4 6 

2  10740  107163  ­ 4 2 , 9  ­ 0 , 2 0 5 ­ 1 0 ­
4 2  ­ 0 , 2 3 3 4 9 ­ 1 0 " 

3  1161  545,9  ­ 1 5 , 6  ­ 0 , 1 7 9 1 0 ­ "  ­ 0 , 1 9 0 1 9 ­ Ю
6 

Odpowiednie  wykresy  n a p r ę ż eń  i  n a p r ę ż eń  momentowych  dla  przekroju  в  =  л /2  wraz 

z  odpowiednimi  w a r t o ś c i a mi  dla  teorii  klasycznej  podają  rys.  2,  3,  4. 

U d z i a ł  n a p r ę ż eń  momentowych  w  momencie  c a ł k o w i t y m  przekroju  wynosi  0,92% 

w  przykładzie  1,  0,86%  w  p r z y k ł a d z i e  2  oraz  1,34%  w  przykładzie  3. 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1.  W. BARAŃ SKI,  K . WILMAŃ SKI,  C Z . WOŹ NIAK,  Mechanika  oś rodkуw  cią głych  typu  Cosseratуw,  Mech. 
Teoret.  i  Stos.,  2  (1967). 

2.  N . W.  M C L A C H L A N ,  Funkcje  Bessela  dla inż ynierуw,  PWN,  Warszawa 1964. 
3.  R . D . MINDLIN,  Influence of couple­stresses on stress  concentrations, Experimental Mechanics,  1  (1963). 
4.  W. NOWACKI,  Teoria niesymetrycznej  sprę ż ystoś ci,  PWN, Warszawa  1971. 
5.  S.  TIMOSHENKO,  J. N .  GOODIER,  Teoria  sprę ż ystoś ci,  Arkady,  Warszawa  1962. 

Р е з ю ме  

И З Г ИБ  С И Л Ь НО  И С К Р И В Л Е Н Н О ГО  С Т Е Р Ж НЯ  С  У Ч Е Т ОМ  
М О М Е Н Т Н ЫХ  Н А П Р Я Ж Е Н ИЙ  

В  р а б о те  д а но  р е ш е н ие  з а д а чи  об и з г и бе  с и л ь но  и с к р и в л е н н о го  с т е р ж ня  с у ч е т ом  в л и я н ия м о­
м е н т н ых  н а п р я ж е н и й.  П р и м е н я е т ся  ф у н к ц ия  н а п р я ж е н ий  Э р и ­М и н д л и н а.  З а д а ча  р е ш е на  в  р а м­
к ах  о б щ ей  т е о р ии  со с в я з а н н ы ми  в р а щ е н и я м и.  Д а но  т о ч н ое  и  з а м к н у т ое  р е ш е н ие  з а д а ч и.  Д а ны  
т ри  ч и с л е н н ых  п р и м е ра  д ля р а з л и ч н ых  р а з м е р ов  с т е р ж н я. 



142  M .  PISZCZEK,  G .  SZEFER 

S u m m a r y 

B E N D I N G  O F  A  S T R O N G L Y  C U R V E D  B E A M  W I T H  T H E  I N F L U E N C E  O F  C O U P L E ­ S T R E S S E S 

In  order  so  solve  the  problem  outlined  in  the  title,  the  A i r y ­ M i n d l i n  stress  function  is  applied;  the 
problem  is  solved  witin  the  general  couple­stress  theory  with  independent  rotations.  A n exact,  closed­form 
solution  is  derived.  Numerical  examples  concerning  various  dimensions  of  the  beam  are  presented.  In 
absence  of  any  information  concerning  the  values  of  elastic  constants  in  Ihe  Cosserat  media  considered  i n 
the  paper, the  corresponding  values  for  the  media  with constrained  rotations  have  to  be  used. 

P O L I T E C H N I K A  KRAKOWSKA 

Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  30 sierpnia  1972 r.