Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z3.pdf


M E C H A N I K A 
TEORETYCZNA 
I  STOSOWANA 

3,  11 (1973) 

ZWIĄ ZKI  P O M I Ę D ZY  RÓŻ NICZKOWYMI  I  CAŁKOWYMI  ZASADAMI  MECHANIKI 

N .  J A .  C Y G A N O W A  ( W O Ł G O G R A D ) 

Decydują ce  znaczenie  dla k i e r u n k ó w  rozwoju  b a d a ń  w  omawianej  dziedzinie  m i a ł a 

praca  O .  H O E L D E R A 1 ) ,  w  której  c a ł k o w a  wariacyjna  zasada  mechaniki  wyprowadzona 
została  dla ogólnego  przypadku  wariacji  ruchu.  W szczególnych  przypadkach  z  zasady 
tej  wynikają  zasady  H a m i l t o n a  lub  Lagrange'a  w zwykłej,  wzglę dnie  u o g ó l n i o n e j  postaci. 

Ogólną  zasadę  całkową  wyprowadza  Hoelder  w y c h o d z ą c  z zasady  d'Alemberta­Lagran­

ge'a.  Dalsze  uogólnienie  zasady  Hoeldera  podane jest  w  pracy  A .  V O S S A 2 > . 

U o g ó l n i o n a  zasada  c a ł k o w a  Hoeldera­Vossa  oraz  prace  o  charakterze  krytycznym, 

jakie  zaczę ły  p o j a w i a ć  się  po ukazaniu  się  publikacji  O .  H O E L D E R A  i  A .  V O S S A ,  dotyczą ce 

w  szczególnoś ci  kwestii  analizy  definicji  przemieszczeń  wirtualnych,  podanej  przez  O .  H O E L ­

D E R A  i  A .  VOSSA, 3 >,  są  wyczerpują co  zreferowane  w  ksią ż ce  L .  C .  P O L A K A 4 *  na  temat 

wariacyjnych  zasad  mechaniki  i  w pracy  doktorskiej  B . N .  F R A D L I N A 5 * . 

W  niniejszej  pracy  zastanowimy  się jeeynie  nad  r ó ż n y mi  postaciami  f o r m u ł o w a n i a 
zasady  Hoeldera­Vossa  oraz  nad  jej  zwią zkami  z róż niczkowymi  zasadami  w  mechanice. 

W  podstawowych  pracach  H O E L D E R A  i  V O S S A  okre ś lo ny  został  zwią zek  p o m i ę d zy  ogól­

ną  zasadą  całkową  a  zasadą  d'Alemberta­Lagrange'a;  badania  w  n a s t ę p n y ch  latach, 

w  szczególnoś ci  prace  H .  B R E L L A  (1913),  C .  S C H A E F F E R A  (1919),  L .  N O R D H E I M A  (1919), 

p o d k r e ś l i ły  ten  zwią zek  jeszcze  wyraź niej. 

W  pracach  H .  B R E L L A  (1913) i R .  L E I T I N G E R A  (1913)  wykazano  zwią zek  mię dzy  zasadą  

Hoeldera­Vossa,  a  zasadami  Gaussa  i  Jourdaina. 

1 )  O. Hoelder, Ober die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis,  Nachricht.  d. Gesellsch.  d. Wiss. 
Góttingen,  II  zeszyt,  1896,  s.  122­157. 

2 )  A .  Voss, Ober die Prinzipe von Hamilton und Maupertuis,  Nachricht. d.  Gesellsch. d. Wiss.  Góttingen, 
1900,  s.  322­327. 

3 >  P. Jourdain, The derivation of equations in generalized coordinates from the pronciple of least action 
and allied principles,  Math.  Ann.,  t.  62,  1906, s.  413̂ *18. 

P.  Jourdain, On those principles of mechanics which depend upon processes of variation,  Math.  Ann. 
t.  65,  1908,  s.  513­527. 

M .  Rethy, Ober das Prinzip der Kleinsten Action und das Hamilton'sche Prinzip,  Math.  Annalen, 
t. 48,  1897, s.  514­547. 

*'  Л .  С.  П о л а к, В а р и а ц и о н н ы е п р и н ц и п ы м е х а н и к и , и х р а з в и т и е и п р и м е н е н и е в ф и з и к е .  М .,  1960 
5 >  Б. Н .  Ф р а д л и н, Н е г о л о н о м н а я м е х а н и к а и е ё п р и л о ж е н и я в е с т е с т в о з н а н и и и т е х н и к е . 

Д и с с е р т а ц и я,  К и ев  1965. 



246  N .  J A .  CYGANOWA 

1.  Ogólne  przekształcenie  zasady  d'Alemb erta ­ La gra nge'a  do  postaci  całkowej.  Róż ne  postacie  uogólnionej 

zasady  najmniejszego  działania 

O g ó l n e  przekształcenie  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a  do  postaci  całkowej  dokony­

wane  jest  za  p o m o c ą  asynchronicznej  wariacji  ruchu  i  c a ł k o w a n i a  po  czasie.  W  pracy 

O .  H O E L D E R A  (1896)  wariacja  ruchu  s k ł a d a  się  z  dwu  niezależ nych  e t a p ó w . 

K a ż d e mu  punktowi  począ tkowej  trajektorii  ruchu  nadaje  się  najpierw  dowolnie  m a ł e 

przemieszczenie  Axt  (zwane  wariacją  p o ł o ż e n i a ),  otrzymując  w  ten  s p o s ó b  nową  trajek­

t o r i ę  wariacyjną,  której  punkty  odpowiadają  punktom  trajektorii  wyjś ciowej.  N a s t ę p n ie 

k a ż d e mu  punktowi  trajektorii  wariacyjnej  nadaje  się  p r ę d k o ś ć,  k t ó r a  m o ż e  być  dowolna, 

ale  moż liwie  m a ł o  róż nią cą  się  od  p r ę d k o ś ci  w  odpowiednim  punkcie  trajektorii  począ t­

kowej.  P r ę d k o ść  m o ż na  okreś lić  dwiema  metodami  —  izochroniczną  lub  izoenergetyczną. 

H O E L D E R  okreś la  wariację  energii  kinetycznej  AT,  zakładając  wariację  czasu,  s k ą d 

w y n i k a  zależ ność  

.  /  dxi  \  d  ,  .  .  .  dAt 

A\­dT) =  s^­^sr­
Z a k ł a d a j ą c  poza  t y m ,  że  położ enie  u k ł a d u  w  c h w i l i  począ tkowej  i  koń cowej  nie  ulega 

zmianie,  w  w y n i k u  c a ł k o w a n i a  w z g l ę d em  czasu  wariacji  A T  H O E L D E R  otrzymuje  n a s t ę p u­

j ą ce  r ó w n a n i e : 
' i  ' I  3«  li 

(1.1)  JATdt  =  ­  f  mi(xiAxi)dt­2  f  TdAt. 
'o la  /=1  ro 

Wprowadzenie  w y r a ż e n ia 
Зл  

A'A  =  ^XiAXi, 

c a ł k o w a n i e  tego  w y r a ż e n ia  i dodanie  do  r ó w n a n i a  (1.1)  pozwala  m u  u z y s k a ć  r ó w n a n i e 

'i  'i  Зл  

(1.2) j {2TdAt + (AT+A'A)dt}  =  /  dt  Ł  {Xi­mixl)Axl 
'o  'o '=1 

s t a n o w i ą ce  p o d s t a w ę  wyprowadzenia  c a ł k o w y c h  zasad  mechaniki. 

Prawa  strona  r ó w n a n i a  (1.2),  k t ó r a  uzyskała  w  literaturze  naukowej  n a z w ę  t o ż s a m o ś ci 

Hoeldera,  wzglę dnie  transformacji  Hoeldera,  jest  o k r e ś l o n e,  przy  danych  siłach  i  danym 

rzeczywistym  ruchu  u k ł a d u ,  wyłą cznie  przez  wariacje  p o ł o ż eń  Axt.  W y k o n u j ą c  wariację  

ruchu  u k ł a d u  w  ten  s p o s ó b ,  by  wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch  były  przemieszczeniami  wirtual­

n y m i  i  korzystają ĉ  z  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a  otrzymuje  H O E L D E R  Z  r ó w n a n i a 

(1.2)  nastę pują cą  p o s t a ć  całkowej  zasady  m e c h n i k i : 
'i 

(1.3)  f {2TdAt+(AT+A'A)dt}  =  0 . 
'o 

Transformacja  Hoeldera  (1.2)  i  wynikają ca  z  niej  o g ó l n a  zasada  c a ł k o w a  (1.3)  jest  jednym 
z  najwybitniejszych  w y n i k ó w  uzyskanych  w  dziedzinie  zasad  dynamiki  w  pierwszej 

ć wierci  X X wieku.  W  zwią zku  z  tym  należy  szczególnie  p o d k r e ś l ić  znaczenie prac  C .  S C H A ­

E F F E R A  i  L .  N O R D H E I M A . 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  247 

1.1.  Najbardziej  klarowne  i  ś cisłe  wyprowadzenie  t o ż s a m o ś ci  Hoeldera p o d a ł  C .  S C H A ­

E F F E R 6 ) .  Z a  punkt  wyjś cia  przyjmuje  S C H A E F F E R  wyraż enie 

Зл  

(1.4)  ^[(Xi­nii'xdAxi], 
i= I 

k t ó r e  uzyskuje  się  z  lewej  czę ś ci  r ó w n a n i a ,  opisują cej  z a s a d ę  d'Alemberta­Lagrange'a, 
przez  zastą pienie  przemieszczeń  wirtualnych  p e ł n y m i  wariacjami  w s p ó ł r z ę d n y c h.  P e ł n a 
wariacja  w s p ó ł r z ę d n y ch  rozumiana  jest  p o c z ą t k o wo  j a k o  z u p e ł n i e  o g ó l n a  w a r ­
i a c j a ,  z a w i e r a j ą ca  w a r i a c j e  p o  c z a s i e . 

F i g u r u j ą ca  w  w y r a ż e n iu  (1.4)  suma 

Зл  

jest  n a s t ę p n ie  p r z e k s z t a ł c a n a  do  postaci,  wynikają cej  z  obliczenia  pełnej  wariacji  energii 

kinetycznej 

Зл  Зл  

(1.5)  ­  ŁmiXiAxi  =  AT+2T­^~  ­  ~  Łm,x,Axt. 
i=i  /=i 

C a ł k o w a n i e  r ó w n a n i a  (1.5)  wzglę dem  czasu  z  uwzglę dnieniem  tego,  że  na  k o ń c a ch  prze­
działu  c a ł k o w a n i a  pełne  wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch  Axt  są  r ó w n e  zeru,  prowadzi do  zależ­
noś ci 

<i  Зл  »i 

(1.6)  ­  fdt^PmiXtAx,  =  j\AT+2T­jf­\dt. 

to  f=l  /0 

K ł a d ą c  n a s t ę p n ie 
Зл  

^XiAxi  =  A'A, 

całkując  ostatni ą  z  r ó w n o ś ci  w z g l ę d em  czasu  i  d o d a j ą c  j ą  do  r ó w n a n i a  (1.6)  uzyskuje 

Schaeffer  t o ż s a m o ść  Hoeldera  (1.2).  O g ó l n a  p o s t a ć  figurują cych  w  niej  wariacji  pozwala 

w y p r o w a d z a ć ,  przy  odpowiednich  z a ł o ż e n i a ch  ograniczają cych,  r ó ż ne  zasady  dynamiczne. 

« Z n a c z e n i e  transformacji  Hoeldera  —  pisze  Schaeffer  —  polega  na  tym, że  wariacje, 

figurują ce  w  (116)  (w niniejszej  pracy  (1.2)  —  N . C . ) ,  są,  dzię ki  wprowadzeniu  At,  znacznie 

bardziej  o g ó l n e ,  niż  r o z w a ż a ne  poprzednio  (wirtualne  —  N . C . ) .  Dzię ki  temu  m o ż e my 

z a d a ć  d o d a t k o w o  j a k i e ś  r e l a c j e  p o m i ę d zy  Ax'\At,  t o  z n a c z y 

o g r a n i c z y ć  w  o d p o w i e d n i  s p o s ó b  o g ó l n e  w a r i a c j e  w  z a l e ż ­

n o  ś с i  (116).  D  1 a  k a ż d e go  p r z y p a d k u  o g r a n i c z e ń  o t r z y m u j e m y 

n o w ą  z a s a d ę  d y n a m i k i 7 > .  Najbardziej  radykalnym  ograniczeniem  b y ł o b y 

założ enie  At  =  0,  s k ą d  w y n i k a ł a b y  Harniltonowska  zasada  d z i a ł a n i a  s t a c j o n a r n e g o 8 ) . » 

6 )  C.  Schaeffer, Die Prinzipe der Dynamik,  Berlin,  Lipsk  1919. 
7 )  Podkreś lenie nasze —  N . C . 
8 )  op.  cit.,  str.  43. 



248  N .  J A .  CYGANOWA 

N a s t ę p n ie  Schaeffer  obiera  zależ ność  mię dzy  pełną  wariacją  w s p ó ł r z ę d n y ch Axt 
i  wariacją  czasu At  w postaci  r ó w n a n i a 

(1.7) Axt = dxi + XiAt, 

gdzie  symbol óxt  oznacza  wariację  w s p ó ł r z ę d n y ch  w  ustalonej  chwili  czasu,  nie  mają cą  

na  ogół  znaczenia  przemieszczenia  wirtualnego  (wariacje dxi  m o g ą  być  wielkoś ciami 

zupełnie  niezależ nymi).  Zależ ność  (1.7)  pozwala  Schaefferowi  s p r o w a d z i ć  t o ż s a m o ść  
Hoeldera  (1.2)  do  postaci 

/i  Зл  <i  Зл  г,  Зл  

(1.8)  Г dt ^ (Xi­mixi)dxi + [dt ^X;kiAt­ j dt ^ miCiik^At = 
(o  1=1  'o  '=1  'o 

' '  Г  1 
= j dAAT+A'A + lT^­ , 

lo 

k t ó r ą  nazwiemy  toż samoś cią  Hoeldera  w formie  Schaeffera.  Jeż eli óxt  oznacza  przemiesz­

czenia  wirtualne,  to z t o ż s a m o ś ci  (1.8)  wynika  o g ó l n a  zasada  c a ł k o w a  w formie  Schaeffera 

„ С , л г г , л, . ^^dAt d'A . dT . n 
(1.9)  J dt AT+A'A + 2T—j( dT W } 

'o 
gdzie 

Зл  

R ó ż n i ca  mię dzy  formami  Hoeldera  i  Schaeffera  dla  toż samoś ci  podstawowej  i  wynikają cej 

z  niej  ogólnej  zasady  całkowej  zwią zana  jest  z  róż nicą  mię dzy  r o z w a ż a n y mi  procesami 

wariacyjnymi.  O  ile Hoelder  traktuje  na  ogół  wariacje  p o ł o ż e n ia  j a k o  niezależ ne  od  wa­

riacji  czasu,  Schaeffer  okreś la  mię dzy  nimi  zwią zek  (1.7). 

1.2.  Jak w y k a z a ł  A .  Voss,  o g ó l n a  zasada  c a ł k o w a  w formie  Hoeldera  (1.3)  jest  słuszna 
jedynie  dla  u k ł a d ó w  o  wię zach  stacjonarnych.  Analizując  problem  w u o g ó l n i o n y c h  współ­

r z ę d n y ch  Lagrange'a  dla  stacjonarnych  wię zów  holonomicznych  i  liniowych  anholono­

micznych  r z ę du  pierwszego,  Voss  wyprowadza  z a s a d ę  w formie  Hoeldera,  dla  wię zów  zaś  

niestacjonarnych  — w  formie  u o g ó l n i o n e j .  Wariacja  zależ noś ci  wraz  z  c a ł k o w a n i e m 

po  czasie  prowadzi  w  przypadku  wię zów  niestacjonarnych  do  r ó w n a n i a 

(o  'o  fc­1 

zwanej  t o ż s a m o ś c ią  Vossa. 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  249 

Jeż eli  wariacje  6qk,  At  spełniają  warunek 

<ui>  [2TA t+S­w8qk 
к   * 

' l 

= o, 
'o 

to  z  r ó w n a n i a  (1.10)  wynika 

' i  . 

(1.12)  j  [AT+2T^  +  w  +  6A)dt  =  j  * 2  Ж ­ * Ж
+ а Г ' ­

(o 'e  *=1 

R ó w n a n i a  Lagrange'a drugiego  r z ę du  dla u k ł a d ó w  holonomicznych  oraz  r ó w n a n i a  Ferrre­

rsa 

(1­13)  ­м ­Й Г —а ;—& 
i = 

d  д Т  д Т  V i 
W ж ~ж ~в к~  л  ,p,k 

dla  u k ł a d ó w  o  wię zach  holonomicznych i  liniowych  anholonomicznych pierwszego  r z ę du 

s 

(1.14) Łp,kdqk+p,dt  =  0  ( / =  1 , 2 ,  . . . , r ) 

A: =  l 

pozwalają  w y p r o w a d z i ć  z  r ó w n a n i a  (1.12)  nastę pują cą  ogólną  p o s t a ć  zasady  całkowej 

w  formie  V o s s a : 

'i 

(1.15)  j l ń T+ l T ^  +  ^­At  + dAJdt  =  0 . 

'o 

Wobec  tego,  że  dla  wię zów  holonomicznych i  liniowych  anholonomicznych pierwszego 

r z ę du  mamy  zależ ność  

'o  k=\  (o  '=1 

t o ż s a m o ść  (1.10)  m o ż e my  p r z e p i s a ć  w  postaci  n a s t ę p u j ą c e j: 

I 
(Xt  — m{* xt)  dxi  dt + 

lo  '  '  'o  Ł  1 

(1.17)  j  ( A T+2  T  +  *L  A t + SA )  dt  = Д  ^  W  ­  nu xt)  dx^dt­

9 )  Istotnie, dla układów  o  wię zach  spełniają cych  (1.14), w  toż samoś ci 

Зл  

Ł (mixi­xo6Xi =  J ; [±  ­  £  ­  2
1  « n 

1=1  * =  i  L  v  /=i 
5 

suma  V 1 pik6qk  =  0, co  w konsekwencji  prowadzi do  toż samoś ci  (1.16). 



250  N .  J A .  CYGANOWA 

Stąd  na mocy  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a  i warunku  (1.11)  dla wariacji  otrzymujemy 

ogólną  z a s a d ę  całkową  w postaci  (1.15).  T o ż s a m o ść  Vossa  z o s t a ł a  wyprowadzona w  po­

staci  (1.17)  w  ksią ż ce  L .  N O R D H E I M A  Zasady  dynamiki10''.  N O R D H E I M  wychodzi  ze  wzoru 

na  T we  w s p ó ł r z ę d n y ch  kartezjań skich  i najpierw  otrzymuje  r ó w n a n i e 

Зл  Зл  

(1.18)  A T + 2 T ^  ­  ~  ^  mtXiAxi  =  ­  ^ т ^ А х, 

;=i  i=i 

P r z e c h o d z ą c  do  w s p ó ł r z ę d n y ch  u o g ó l n i o n y c h ,  czyli  quasi­współrzę dnych,  oraz  uwzglę d­

niając  zależ noś ci  spełniane  w o g ó l n y m  przypadku  wię zów  niestacjonarnych  przy  przejś ciu 

do  tych  w s p ó ł r z ę d n y ch 

xi =  ^ccikqt  + cti,  Axt=  Y  ctikAqk  +  aiAt, 
A=l  Л =1 

2T  =  mlaikcii,qkql+  2mi<xikct,qk+  ^т(<х ?, 

N O R D H E I M  wyprowadza  nastę pują cą  t o ż s a m o ść  

Зл  J 

(1.19)  £m,x,Axt  =  2TAt+  £^Ś Ldqk. 
1=1  *r=l  q k 

Z  r ó w n a ń  (1.18),  (1.19)  i  r ó w n a n i a 

Зл  Зл  

^ m i ' x i A x i  =  ^Pmi'xidxiA­  *^At 

/=1  /=i 

wynika  z a l e ż n o ść  

Зл  

0.20)  л т + г т * *+ « *  ­  ­  i > , ^ , +  4 ( 2 г А + 
/=1  Х  А = 1 

D o d a j ą c  r ó w n a n i e  (1.20)  do  r ó w n a n i a 

Зл  

OA =  ^X,dXl 
i­i 

i  całkując  tę zależ noś ć,  otrzymuje  N o r d h e i m t o ż s a m oć  Vossa  (1.17).  R ó w n a n i e ,  wynikają ce 

z  t o ż s a m o ś ci  (1.17),  na  mocy  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a,  w  postaci 

*  T i 

(1.21)  flAT+2T™*+  §At+6A)  dt =  [ i T A t + ^ ^ l 

w y r a ż a  twierdzenie  r ó w n o w a ż ne  zasadzie  d'Alemberta­Lagrange'a.  Jest  ono  punktem 

wyjś cia  do  wyprowadzenia  wszystkich  c a ł k o w y c h  zasad  wariacyjnych. 

1 0 )  L . Nordheim, Die Prinzipe der  Dynamik.  Berlin,  Lipsk  1919, s. 83. 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  251 

1.3.  Rozpatrzmy  obecnie  dwie  inne  postacie  u o g ó l n i o n e j  zasady  najmniejszego  dzia­
łania,  wyprowadzone  przez  H .  B R E L L A 1 1 ' .  Z o s t a ł y  one  wyprowadzone  przez  niego  przy 
pomocy  prostego  przekształcenia  w y r a ż e n ia  p o d c a ł k o w e g o  w  lewej  czę ś ci  t o ż s a m o ś ci 

Vossa  (1.10).  W y r a ż a j ąc  funkcję  p o d c a ł k o w ą  

(1.22)  ATdt+2T­­^­dt+^Atdt+dAdt 

w  postaci 

AT+­J­  (2TA t)dt­  —  Atdt+ÓAdt, 
dt  dt 

Brell  wyprowadza  z  t o ż s a m o ś ci  Vossa  nastę pują cy  zwią zek: 

f o  to  K =  1  к = 1 

wynika  stąd  zasada  c a ł k o w a  w pierwszej  formie  Brella 

\А т ­
dt 

(1.23)  j^AT­Ę:At+  6 A )dt  =  0 
to 

z  warunkami  granicznymi 

« = 1 

Przedstawiając  n a s t ę p n ie  wyraż enie  (1.22)  w  postaci 

ATdt+ T^­  dt + 4­  (TAt)dt+ bAdt, 
dt  at 

Brell  otrzymuje  analogicznie  d r u g ą  formę  zasady  całkowej 

AT+T^  + dA\dt =  0 

z  warunkami  granicznymi w postaci 

1 1 }  H .  Brell,  Ober  eine  neue  Fassung  des  Prinzips  der  kleinsten  Aktion,  Wien.  Ber.,  122 (2a), (1913), 
s. 1031­1036. 



252  N .  J A . CYGANOWA 

2.  Równoważ ność  uogólnionej  zasady  najmniejszego  działania  i  zasady  Gaussa 

D o w ó d  r ó w n o w a ż n o ś ci  u o g ó l n i o n e j  zasady  najmniejszego  d z i a ł a n i a  Hoeldera­Vossa 

zasady  Gaussa  dla u k ł a d ó w  holonomicznych  o  wię zach  niestacjonarnych  p r z e p r o w a d z i ł 

B R E L L 1 2 > ,  korzystając  z  r ó w n a n i a  G i b b s a ­ A p p e l a . 
D o  wyraż enia  p o d c a ł k o w e g o  w całce  Vossa 

'i 

J  (ATdt  + dTAt  +  2TdAt+ÓAdt) 

wprowadza  B R E L L  energię  przyspieszeń  5.  U ż y wa  przy  tym  zwią zku,  wią ż ą cego  energię  

przyspieszeń  z  energią  kinetyczną  T,  k t ó r y  w  przypadku  wię zów  niestacjonarnych  ma 

p o s t a ć  

3,: 

_  ,„  dT  V  d $  •  V  ••  3ft 
(2Л )  *  =1жд к +2;т'Х'­з Т > 

A. =  l  ™  1=1 

gdzie 

xi  =Ш х ,  q2,  4s, 0­
W ó w c z a s  dla  wirtualnych  wariacji  pochodnej  energii  kinetycznej  po  czasie  dTjdt 

otrzymuje  B R E L L  nastę pują cy  zwią zek; 

. . . .  dT  d2T  d  V  dS  .  d2  V > , . 
(2­2)  A S  ~ HFAt ­  " s  Z  ж dqk+~d? Z  ф* dqk> 

k­i  *"  fc.i 
gdzie 

Зл  

'  8qk ' 
dqk  = Aqk­qkAt,  Фк =  £ 

i  =  i 

d2 

D o d a j ą c  do  obydwu  stron  r ó w n a n i a  (2.2) w y r a ż e n ia  2  (TAt)  i  całkując  o d  tQ  do  tr 

przy  założ eniu,  że na  brzegach  wszystkie  wariacje  zerują  się,  otrzymujemy  r ó w n a n i e 

J r + ­ 3 ­ / l f ­ r ­ 2 r 
dt  dt 

k = l  4 = 1 
Z  kolei,  d o d a j ą c  do tego  r ó w n a n i a  nastę pują ce 

s 

d A  =  ^Qk(Aqk­qkAt) 

1 2 >  H . Brell, Nachweis  der Aquivalenz  des  veralgem.  Prinzipes der kleinsten Aktion mit  dem Prinzipe 
d. kleinsten Zwanges.­Wiea.  Sitz.  Ber.,  tom 122 (2a), V zeszyt, Wien 1913. 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  253 

i  całkują c,  otrzymujemy 

j  (ATdt  + dTAt  + 2TdAt+6Adt)  = ­  J  dt  J T" l ­ Ę ­­ Q k \ ( A q k ­ q k A t ) . 

to  »o  * = 1 

N a  mocy  r ó w n a ń  A p p e l a  wynika  stąd  zwią zek 
' i 

f  (Atdt+dTAt+2TdAt+eAdt)  = 0 , 

'o 

k t ó r y  wyraża  z a s a d ę  Hoeldera­Vossa.  Wobec  tego,  że r ó w n a n i a  A p p e l a  wyprowadza się  
z  zasady  Gaussa  powyż sze  rozumowanie  dowodzi  r ó w n o w a ż n o ś ci  tej  zasady  z  zasadą  
Hoeldera­Vossa. 

3.  Równoważ ność  uogólnionej  zasady  najmniejszego  działania  i  zasady  Jourdaina 

L E I T I N G E R  (1913)  wykazał  zwią zek  p o m i ę d zy  zasadą  Jourdaina  i  u o g ó l n i o n ą  z a s a d ą  
najmniejszego  d z i a ł a n i a  Hoeldera­Vossa  dla u k ł a d ó w  o  wię zach  holonomicznych  i  l i n i o ­
wych  anholonomicznych,  w  o g ó l n y m  przypadku  niestacjonarnych. 

L E I T I N G E R  wyprowadza  z a s a d ę  Hoeldera­Vossa  b e z p o ś r e d n io  z  zasady  Jourdaina 
przekształcając  odpowiednio  wyraż enie  p o d c a ł k o w e  w  całce  Vossa.  Jeż eli  wię zy  holono­
miczne,  n a ł o ż o ne  na  u k ł a d ,  są niestacjonarne,  to  asynchroniczne  wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch 
u o g ó l n i o n y c h  Aqk  zwią zane  są z  wariacjami  wirtualnymi  tych  w s p ó ł r z ę d n y ch  6qk  zależ­
n o ś c i a mi 

(3.1)  Aqk  =  óqk  +  qkAt, 

zaś  dla A  —  wariacji  p r ę d k o ś ci  u o g ó l n i o n y c h  mamy  zwią zek 

(3­2)  Aqk=,^(Aqk)­q^­. 

Uwzglę dniając  r ó w n a n i a  (3.1)  i (3.2) oraz  wyraż enie  na  p r a c ę  w i r t u a l n ą  działają cych  sił 
s 

&A =  ^Qkóqk, 

m o ż e my  p r z e d s t a w i ć  wyraż enie  p o d c a ł k o w e  w  całce  Vossa  w  nastę pują cej  postaci: 

s 

(3.3)  ATdt  + 2TAdt  + dTAt+6Adt  =  óqk­  ~^Cjdqk  + Qkdqk  + 

Róż niczkując  wzglę dem  czasu  r ó w n a n i e  (3.3) i  kładąc  n a s t ę p n ie  w  wyprowadzonej 
zależ noś ci  dqk  =  0 zgodnie  z zasadą  Jourdaina, j a k również  uwzglę dniając  s f o r m u ł o w a n i e 
zasady  Jourdaina  dla u k ł a d ó w  holonomicznych  i  liniowych  anholonomicznych  w postaci 



254  N .  J A .  CYGANOWA 

L E I T I N G E R  uzyskuje  nastę pują ce  r ó w n a n i e : 

V f  d2  (dT IdT  .  \  d2  IdT  .  . W  d2  m „ .  ч  —  [ATdt  + 2TAdt+dTAt+6Adt]  =  ^  \ 

R ó w n a n i e  to  m o ż na  t r a k t o w a ć  j a k o  jedno  z  analitycznych  wyraż eń  zasady  Jourdaina. 

Całkując  ostatnie  z  r ó w n a ń  dwukrotnie  wzglę dem  t  w  o k r e ś l o n ym  przedziale  czasu,  od­

p o w i a d a j ą c ym  ustalonemu  p o c z ą t k o w e mu  i  k o ń c o w e mu  położ eniu  u k ł a d u ,  L E I T I N G E R 

otrzymuje  r ó w n a n i e ,  wyraż ają ce  z a s a d ę  Hoeldera­Vossa  w  przypadku  wię zów  niestacjo­

narnych 

f  (ATdt  + dTAt  + 2TdAt  + dAdt)  =  0. 

Powyż sze  wyprowadzenie  upraszcza  się  znacznie  w  przypadku  wię zów  stacjonarnych. 

M a m y  w ó w c z a s 

(3.4)  Aqk  =  6qk 

oraz 

«  л  dqk  ,.  .  A dt 
(3.5)  A ^ ^ b q ^ q ^ , 

energia  zaś  kinetyczna  u k ł a d u  T jest j e d n o r o d n ą  funkcją  k w a d r a t o w ą  p r ę d k o ś ci  u o g ó l n i o ­

nych.  Zgodnie  z  twierdzeniem  Eulera  o  funkcjach  jednorodnych  m o ż e my  n a p i s a ć  

dT  . 
(3.6)  2 Г  =  ^ 

*=i 

U o g ó l n i o n a  zasada  najmniejszego  d z i a ł a n i a  dla  u k ł a d ó w  o  wię zach  stacjonarnych  opi­

sana jest  r ó w n a n i e m 
' i 

(3.7)  f  (ATdt  + 2TAdt+ÓAdt)  =  0. 
to 

Pochodna  wzglę dem  czasu  z  w y r a ż e n ia  p o d c a ł k o w e g o  po  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (3.4), 

(3.5)  i  (3.6)  przejmie  p o s t a ć : 

­£(£M(£)****+4­
Zgodnie  z  z a s a d ą  Jourdaina  otrzymujemy  stąd  r ó w n a n i e 

d l .  ,\  d2  l  dT  .  \ 
Dwukrotnie  całkując  to  r ó w n a n i e  otrzymujemy  z a l e ż n o ść  (3.7),  to  znaczy  wyraż enie 

analityczne  zasady  Hoeldera­Vossa  d l a  u k ł a d ó w  o  wię zach  stacjonarnych. 

• 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  255 

4.  Zwią zek  zasady  energetycznej  G.  Heima  z  zasadą  d'Alemberta­Lagrange'a  w  badaniach  A.  Vossa 

W  pracy  pod  t y t u ł e m  Uwagi  o  zasadach  mechaniki13''  (1901)  A .  Voss  analizuje  p r ó b y 

n i e k t ó r y c h  badaczy  wyprowadzenia  z  zasady  energetycznej  zasady  d ' A l e m b e r t a ­ L a ­

grange'a  lub  jakiejkolwiek  innej  r ó w n o w a ż n ej  do  niej  postaci  r ó w n a ń  ruchu.  Szczegółowo 

analizuje  Voss  z a s a d ę  energetyczną  H E L M A 1 4 ) ,  k t ó r a  m a  p o s t a ć  wariacyjną:  zmiana  energii 

w  k a ż d ym  z  m o ż l i w y ch  k i e r u n k ó w  r ó w n a  się  zeru.  W y n i k i  analizy  V O S S A  ś wiadczą  o  tym, 

że  proces  wariacyjny  w  zasadzie  H e i m a  nie  prowadzi  do  r ó w n o w a ż n o ś ci  z  zasadą  d ' A l e m ­

berta­Lagrange'a.  Istotnie,  okreś lmy  wariację  energii  całkowitej  T+V,  odpowiadają cą  

izochronicznym  wariacjom  w s p ó ł r z ę d n y c h,  to  znaczy  przejś ciu  od  punktu  o  współrzę d­

nych  xt(t),  yt(t),  Zj(0  do  punktu  o  w s p ó ł r z ę d n y ch  xt(t)+eSt(t),  J>i(r) +  e»?j (0.  *i(0+«&('). 
gdzie  s  jest  d o w o l n ą  m a ł ą  liczbą  stałą,  zaś  C;—  dowolnymi  r ó ż n i c z k o w a l n y mi 

funkcjami  czasu.  Otrzymamy  w y r a ż e n i e: 
л  л  

d(T+v)  =  ^mtiXiSi+ytVt+kO­  ^t»i(xiŁi+yir}i  + ziCi)  + 
i=i  i=i 

Wobec  tego,  że  wyraż enie  to  oczywiś cie  nie  r ó w n a  się  w y r a ż e n iu 

stwierdzamy,  że  dla  danego  sposobu  wprowadzenia  wariacji  zasada,  wyraż ają ca  się  r ó w ­

naniem  d(T+V)  =  0,  nie  jest  r ó w n o w a ż na  zasadzie  d'Alemberta­Lagrange'a. 

N a s t ę p n ie  Voss  wykazuje,  że  proces  wariacyjny  należy  zmienić  tak,  by  o p r ó c z  współ­

r z ę d n y c h,  wariacji  podlegał  r ó w n i e ż  czas:  dopiero  w ó w c z a s  obydwie  zasady  stają  się  

r ó w n o w a ż n e.  Wariacja  pełnej  energii,  odpowiadają cą  przejś ciu  od  Xi,yi,Zi,t  do  J C , + 

+  £ £ i > J i +  « ? ь  Z ( +  t +  er,  gdzie  f f ,  r ? b  т  są  dowolnymi  r ó ż n i c z k o w a l n y mi  fun­

kcjami  czasu,  r ó w n a  się  w e d ł u g  V O S S A  nastę pują cemu  w y r a ż e n i u: 

в  л  

i=i  /=  i 

D o b i e r a j ą c  odpowiednio  funkcję  r(t)  (co  jest  zawsze  moż liwe,  gdyż  T  Ф  0),  m o ż e my 

powyż szą  zależ ność  s p r o w a d z i ć  do  postaci 

л  

1 3 )  A .  Voss,  Bemerkungen  iiber  die  Prinzipien  der  Mechanik,  Munch.  Bericht  math.­phys.  kl.  1901. 
1 4 )  G .  Helm,  Die  Energetik  in  ihrer geschichtlichen  Entwicklung,  Lipsk  1918. 



256  N .  J A .  CYGANOWA 

skąd  wynika  r ó w n o w a ż n o ść  zasady  H e i m a  z zasadą  d'Alemberta­Lagrange'a.  «Jest  to 

j e d n a k — j a k  dodaje  V o s s — n i c  innego,  j a k  tylko  abstrakcyjny  formalizm»,  po  czym 

konkluduje:  «Wydaje  się, że  czynione  d o t ą d  p r ó b y  wyprowadzenia  zasady  d'Alemberta 

lub  zasady  Gaussa  z  zasady  energii  nie  zostały  u w i e ń c z o ne  s u k c e s e m . » 1 5 ) 

W  tym  samym  artykule  Voss  formułuje  ogólną  z a s a d ę  całkową  mechaniki  w  nastę­

pują cej  postaci: 

«przy  odpowiednim  doborze  procesu  wariacji  wariacja  całki 

' i 

(4.1)  / =  f  (<xT+pu)dt, 
'o 

gdzie  a. i /? są dowolnymi  stałymi,  jest  r ó w n a  zeru  ze  wzglę du  na r ó ż n i c z k o we  r ó w n a n i a 
ruchu.  Odwrotnie,  założ enie,  że wariacja  r ó w n a  się zeru  przy  wszystkich  dopuszczalnych 
przemieszczeniach  wirtualnych,  prowadzi  do  róż niczkowych  r ó w n a ń  r u c h u » .  N i e  m a 
przy  tym  istotnego  znaczenia  warunek  znikania  wariacji  w s p ó ł r z ę d n y ch  na  k o ń c a ch 
p r z e d z i a ł u  c a ł k o w a n i a . 

P o d  wielkoś cią  dU  autor  rozumie  tu  p r a c ę  sił z e w n ę t r z n y ch  Xf,  Yt, Z ;  na przemiesz­
czeniach  wirtualnych  u k ł a d u 

n 

ÓU =  ^(Xih+YtK+Zcd­

N a  ogół  funkcja  U ma jedynie  sens  symboliczny. 

Voss  rozpatruje  najpierw  w  ogólnej  postaci  wariację  całki 

' i 

(4.2)  / ' =  /  F(x,x,t), 
'o 

odpowiadają cą  przejś ciu  od  stanu  .v, y, z do  x + ef, y+  erj,  z +  eC, to znaczy,  gdy  wariacji 

ulega  argument  c a ł k o w a n i a . 

Podstawienie  t = ku+k0,  gdzie  к = Ц——,  k0  =  / 0 ­ т — —,  pozwala  s p r o w a d z i ć  
1 —  to  1— to 

całkę  (4.2) do  całki  o stałych  granicach 

(4.3)  J' = j  F\x,­^,ku+uAkdu. 
o  ' 

Obliczając  wariację  całki  (4.1),  odpowiadają cą  przejś ciu  od stanu  x,y,z,t  do x + ef, 

y+er),  z+eC,  t + sr,  gdzie  С ,г ],С ,т  są dowolnymi  r ó ż n i c z k o w a l n y mi  funkcjami  czasu, 

otrzymujemy  zależ ność  

' i 

(4.4)  6J= J  [(eU­aT)i+aŚ ­(tW+eV]dt, 
'o 

1 5 1  A.  Voss,  Bemerkungen  s. 170. 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  257 

gdzie 
л  

V=  ÓU=  ^Mh+Yw+Zód. 
i = l 

n 

i= 1 

n 

W  =  У т ,  {xi ii + 'y\ rji + z, £•). 
1=1 

W y r a ż e n ie  (4.4)  na  wariację  SJ  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  również  w  dwu  innych  postaciach 

' i  <i 

(I)  3J  =  (3 J'  (V—  W)dt+f  [{BU­  а Г )т +  (/5­  a)  W+  aŚ ]  dt, 

'o  'o 

' l  ' l 

(II)  c5/  =  a  J  (V­W)dt+  j  [(eU­aT)i+(8­0L)V+aŚ ]dt. 
'o  'o 

Przy  odpowiednim  doborze  funkcji  r,  mianowicie  takim,  przy  k t ó r y m  druga  z  całek  we 

wzorach  (I)  i  (II)  r ó w n a  się  zeru,  uzyskujemy  r ó w n o w a ż n o ść  zasady  d'Alemberta­Lagran­

ge'a  z  z a s a d ą  opisywaną  przez  r ó w n a n i e  6J  =  0.  Natomiast  odpowiedni  d o b ó r  stałych 

а  i  /5 prowadzi  do  uzyskania  róż nych  postaci  szczególnych  tej  u o g ó l n i o n e j  zasady  całkowej. 

A .  Voss  r o z w a ż a  nastę pują ce  cztery  przypadki  szczególne: 

1.  а  =  в .  Odpowiedni  w y b ó r  funkcji  т  prowadzi,  na  mocy  r ó w n a n i a  (I),  do  n a s t ę ­

pują cego  warunku 

(U­T)i+S  =  0. 

Całkując  wzglę dem  czasu  t  i  z a k ł a d a j ą c,  że  wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch  na  brzegach  prze­

działu  c a ł k o w a n i a  są  r ó w n e  zeru,  otrzymujemy  т  =  const,  a  w  szczególnym  przypadku 

T  =  0.  Jeż eli  T—U  =  h,  to  dla  т  mamy  nastę pują cy  zwią zek:  hr  + s  =  0.  W  tym  przy­

padku  uzyskujemy  z a s a d ę  H a m i l t o n a . 

2.  Jeż eli  в  =  0,  to  z  r ó w n a n i a  (II)  w y n i k a  nastę pują ca  p o s t a ć  warunku,  okreś lają cego 

funkcję  T : 

Ti+V­S  =  0. 

Wobec  tego,  że  T  ф  0,  funkcję  т  m o ż e my  zawsze  okreś lić.  W  tym  przypadku  mamy  do 

czynienia  z  rozszerzoną  postacią  zasady  najmniejszego  działania . 

3.  Jeż eli а  =  0,  to  z  r ó w n a n i a  (I)  mamy 

ui+w  =  0 

przy  czym  założ enie  co  do  charakteru  wariacji  na  brzegach  przedział u  nie jest  konieczne. 

N a  to,  by  m o ż na  było  okreś lić  funkcję  т  z  ostatniego  r ó w n a n i a ,  trzeba  założ yć,  że 

w  obszarze  c a ł k o w a n i a  U  nie  r ó w n a  się  zeru.  Przy  takim  założ eniu  zasada,  wyraż ają ca 

się  r ó w n a n i e m 
' i 

б f  Udt  =  0 , 
'o 

prowadzi  r ó w n i e ż  do  r ó ż n i c z k o w y ch  r ó w n a ń  ruchu. 

5  Mechanika  Teoretyczna  3/73 



258  N  J A  CYGANOWA 

4.  Jeż eli  fJ =  —a,  to  c a ł k a  (4.1)  m a  w  tym  przypadku  p o s t a ć  

' i  ' i 

J  =  j  a.(T­U)dt  lub  J  =  J  Edt. 
'o  'o 

D l a  okreś lenia  funkcji  т  otrzymujemy  z  r ó w n a n i a  (II)  zwią zek 

(T+U)'x+2V­Ś  =  0. 

Jedynie  w  pierwszych  dwu  z  rozpatrywanych  p r z y p a d k ó w  uzyskuje  się  tą  drogą  wy­

godne  postacie  u o g ó l n i o n e j  zasady  całkowej.  W  obydwu  p o z o s t a ł y c h  przypadkach,  j a k 

też  w  o g ó l n y m  przypadku  dowolnych  a  i  fi,  interpretacja  sensu  mechanicznego  symbo­

licznej  wielkoś ci  U jest  utrudniona,  nie  m ó w i ą c  j u ż  o  tym,  że przy  dowolnych znaczeniach 

a  i  /3  nie  m o ż na  na  ogół  w  obszarze  c a ł k o w a n i a  spełnić  warunku 

fJU­х Т Ф  0 

n i e z b ę d n e go  dla  okreś lenia  funkcji  т. 

Jeż eli  zamiast  symbolicznego  wyraż enia  U  wprowadzimy  funkcję  

г  л  

'о  1=1 

wobec  tego  zamiast  całki  (4.1)  rozważ ymy  całkę  
' i 

/  (aT+fJA)dt, 
'o 

to  z  wariacji  tej  całki  uzyskamy  nastę pują ce  postacie  c a ł k o w e  zasady  d ' A l e m b e r t a ­ L a ­

grange'a: 

' i  ' i  »i  ' i 

ó f  (T+A)dt  =  0,  óf  Tdt  =  0,  dj  Udt=0,  д j'  Edt  =  0, 
'o  'o  'o  'o 

' l 

ó f  (oiT+f3A)dt  =  0. 
'o 

5.  Całkowa  postać  zasady  Gaussa  dla  układów  holonomicznych.  Praca  Б.  Schenkla 

Myśl  o  poszukiwaniu  zasady,  mają cej  p o s t a ć  całki  wzglę dem  czasu  w  o k r e ś l o n y ch 

granicach  c a ł k o w a n i a  i  r ó w n o w a ż n ej  zasadzie  Gaussa,  z o s t a ł a  po  raz  pierwszy  s f o r m u ł o ­

wana  przez  profesora  Wassmutha.  Jako  p o d s t a w ę  swych  b a d a ń  w  tej  dziedzinie  przyjął 

E .  S C H E N K L ,  zgodnie  z  ideą  Wassmutha,  nastę pują cą  a n a l o g i ę .1 6 ' 

R ó w n o w a ż n o ść  zasady  H a m i l t o n a  i  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a  wynika  z  t o ż ­

s a m o ś ci 
'i  h  3n 

(5.1)  /  (ÓT+dU)dt  =  f  ^(Xi­miX^dxidt. 
' i  »i  '=i 

1 6 )  E .  Schenkl,  Ober  eine  dem  Gaufischen  Prinzipe  des  kleinsten  Zwanges  entsprechende  Integralform, 
Sitz. bericht. d.  k.  Academie d.  Wiss.  in Wien,  t.  122.  Wiedeń  1913. 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  259 

Zasada  H a m i l t o n a jest  całkową  postacią  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a.  Jeż eli  zbudujemy 

t o ż s a m o ś ć,  formalnie  analogiczną  do  t o ż s a m o ś ci  (5.1),  której  prawa  czę ść  przyjmuje 

p o s t a ć : 

t2  Зл  

(5.2)  /  £(Х ,­щ х ,)д х ,&, 
h  i=i 

to  m o ż e my  dojść  do  całkowej  postaci  zasady  Gaussa.  W  zasadzie  Gaussa  nie  z a k ł a d a 

się  ż a d n e go  zwią zku  p o m i ę d zy  wariacjami  przyspieszeń,  o d p o w i a d a j ą c y mi  r ó ż n ym  chwilom 

czasu  t  i  t'.  Wariacje  m u s z ą  jedynie  spełniać  warunki  z g o d n o ś ci  z  w i ę z a m i;  natomiast 

przy  przejś ciu  od  jednej  chwili  podczas  ruchu  u k ł a d u  do  innej  wariacje  m o g ą  zmieniać  

się w  s p o s ó b  dowolny, w  tym  również  skokowo,  skąd  wynika,  że ciąg  przyspieszeń,  w  czasie 

podlegają cych  wariacji,  m o ż e  nie  być  cią gły. 

Ciąg  przyspieszeń  podlegają cych  wariacji  w  czasie  musi  spełniać  warunek,  nadają cy 

sens  całce  (5.2).  Innymi  słowy,  trzeba  przejść  od  wariacji  ruchu  w  danej  chwili  czasu  do 

wariacji  ruchu  w  całoś ci,  to  znaczy  w  s k o ń c z o n ym  przedziale  czasu.  W  zasadzie  H a m i l t o n a 

przejś cie  to  jest  dokonywane  w  nastę pują cy  s p o s ó b . 

N i e c h  ruch  u k ł a d u  holonomicznego  w  k a r t e z j a ń s k im  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ą d n y ch  bę dzie 

opisany  zwią zkiem  xf  =  /К О­  W  pewnej  ustalonej  chwili  czasu  t  nadajmy  u k ł a d o w i  prze­

mieszczenie  wirtualne,  k t ó r e  jest  zgodne  z  n a ł o ż o n y mi  na  u k ł a d  wię zami.  Uzyskamy  dla 

tej  c h w i l i  wariację  p o ł o ż e n ia  u k ł a d u ,  okreś loną  przez  w s p ó ł r z ę d ne  xt  + <5x;. 

W  dowolnie  bliskiej  są siedniej  chwili  czasu  t'  w s p ó ł r z ę d ne  u k ł a d u  równają  się  x\  = 

— fi(t').  Jeż eli  nadamy  u k ł a d o w i  w  chwili  t'  przemieszczenie  wirtualne  д х \,  to  dla  tej 

chwili  uzyskamy  wariację  p o ł o ż e n ia  u k ł a d u ,  opisaną  w s p ó ł r z ę d n y mi  xl+Sx^. 

W  ten  s p o s ó b ,  p r z e c h o d z ą c  od  chwili  czasu  do  n a s t ę p n e j,  wszę dzie  zastosujemy  wska­

zaną  m e t o d ę  wariacji  w  punkcie.  Wielkoś ci  wariacji  <5A­;,  o d p o w i a d a j ą ce  r ó ż n ym  chwilom 

czasu,  są  zupełnie  n i e p o w i ą z a ne  ze  sobą;  spełniając  warunki  z g o d n o ś ci  z  wię zami  m o ż e my 

o d  jednej  chwili  do  innej  z m i e n i a ć  wariacje  w  s p o s ó b  dowolny,  dzię ki  czemu  ciąg  w  czasie 

wariacji  p o ł o ż eń  u k ł a d u  m o ż e  nie  być  cią gły,  c a ł k a  zaś  

h 

J  dxidt 
' i 

m o ż e  nie  m i e ć  sensu.  Z a ż ą d a my  więc  od  cią gu  p o ł o ż eń  u k ł a d u  cią głoś ci  wzglę dem  czasu, 

przyjmując  zależ ność  

dxt  =  sfi(t), 

gdzie  e jest  infinitezymalnie  m a ł y m  parametrem  niezależ nym  od  czasu, /;(/)  zaś  d o w o l n ą  

cią głą  i  s k o ń c z o ną  funkcją  czasu.  W ó w c z a s  wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch  bę dą  infinitezymalnie 

m a ł y m i  funkcjami  czasu.  C a ł k a 

ii 

j  dxidt 
' i 

b ę d z ie  m i a ł a  obecnie  sens,  j a k o  c a ł k a  funkcji  cią głej, 

s* 



260  N .  J A .  CYGANOWA 

Ciąg  p o ł o ż eń  wariacyjnych  u k ł a d u  X ; + eft(t)  bę dzie  reprezentował  pewien  ruch,  k t ó r y 
nazywamy  wariacją  ruchu.  E .  S C H E N K L  dowodzi,  że  w  metodzie  Gaussa  nie  m o ż na  do­

k o n a ć  w  analogiczny  s p o s ó b  przejś cia  od  wariacji  ruchu  punktu  do  wariacji  ruchu  całego 

u k ł a d u . 

Istotnie,  jeż eli  założ ymy,  że  wariacje  przyspieszeń dxt  są  cią głymi  funkcjami  czasu
1 7>, 

to  wariacje  p r ę d k o ś ci  i  wariacje  współrzę dnych  nie  m o g ą  być  w  każ dej  chwili  r ó w n e  zeru, 

j a k  ż ą da  się  w  metodzie  wariacyjnej  Gaussa.  W y n i k a  to  stą d,  że  w  przypadku,  gdy  wiel­

k o ś ć  óxi  jest  cią głą  funkcją  czasu,  powinna  ona  z a c h o w y w a ć  znak  w  dostatecznie  m a ł y m 

przedziale  czasowym.  W ó w c z a s  ze  wzglę du  na  relację  

(5.3)  Ц  ­  . 

wielkość  óki  zwię ksza  się  lub  zmniejsza  w  tym  przedziale  czasu,  co  oznacza,  że  gaussowska 

metoda  wariacji  w  punkcie  zostaje  naruszona.  Z a u w a ż m y,  że  relacja  (5.3)  jest  słuszna 

przy  założ eniu,  że  czas  nie  podlega  wariacji. 

N a s t ę p n ie  E .  S C H E N K L  analizuje  jeszcze  j e d n ą  p r ó b ę  przejś cia  do  wariacji  ruchu  w  ca­

łoś ci  przy  uż yciu  metody  Gaussa  wariacji  ruchu  w  punkcie. 

W  myśl  zasady  Gaussa  stan  ruchu  podlega  w  każ dej  chwili  nastę pują cej  wariacji: 

dXi  =  0,  dXi  =  0,  <53ćj ф   0.  Niech  punkt  materialny M  opisuje  w  ruchu  rzeczywistym 

dany  tor  z  d a n ą  prę dkoś cią.  Ustalmy  d o w o l n ą  chwilę  ruchu.  M ó w i ą c  o  wariacji 

stanu  ruchu  w  tej  chwili  według  Gaussa,  mamy  na  myś li  punkt M,  leż ą cy  na  innym  torze, 

mają cym  z  danym  torem  w s p ó l n y  punkt M  (óxi  =  0);  tor  ten  nazwiemy  wariacją  toru. 

We  w s p ó l n y m  punkcie M  tor  rzeczywisty  i  wariacja  toru  mają  wspólną  styczną (d'Xi =  0), 

natomiast  krzywizna  wariacji  toru  w  punkcie M  jest  r ó ż na  od  krzywizny  toru  rzeczy­

wistego,  co  oznacza,  że  normalne  s k ł a d o w e  przyspieszenia  punktu  w  danej  c h w i l i  czasu 

są  inne  na  torze  rzeczywistym,  niż  na jego  wariacji  (<5X, ф   0).  D l a danej  chwili  czasu  mamy 

nieskoń czenie  wiele  wariacji  stanu  ruchu.  Zasada  najmniejszego  przymusu  stwierdza, 

że  w  n i e s k o ń c z o n ej  r ó ż n o r o d n o ś ci  s t a n ó w  ruchu  w  danej  chwili  czasu  rzeczywistym  ru­

chem  jest  ten,  dla  k t ó r e g o  wariacja  przymusu  r ó w n a  się  zeru. 

R o z w a ż my  z  kolei  przejś cie  od  jednej  chwili  czasu  / ,  do  innej t2.  Wariację  trajektorii, 

odpowiadają cą  przedziałowi  czasu t2 — ti,  przedstawimy  j a k o  n i e s k o ń c z o ną  s u m ę  i n f i ­

nitezymalnych  czę ś ci,  o d p o w i a d a j ą c y ch  opisanemu  powyż ej  sposobowi  konstruowania 

wariacji  w  punkcie.  Geometrycznie  m o ż e my  to  w y o b r a z i ć  sobie  w  nastę pują cy  s p o s ó b . 

N i e c h  z  k a ż d e go  punktu  rzeczywistej  trajektorii  wychodzi  p ę k  t o r ó w ,  wynikają cych 

z  dokonania  wariacji  w  punkcie.  Wariację  toru,  odpowiadają cą  przedziałowi  czasu  o d 

fj  do t2,  wyobrazimy  sobie  j a k o  s u m ę  nieskoń czenie  wielkiej  liczby  infinitezymalnie 

m a ł y c h  trajektorii  czą stkowych,  o d p o w i a d a j ą c y ch  wariacji  w  punkcie.  Wariacje  przy­

spieszeń,  o d p o w i a d a j ą c y ch  tak  skonstruowanemu  torowi,  nie  m o g ą  m i e ć  stałego  znaku 

w  ż a d n y m,  dowolnie  m a ł y m ,  przedziale  czasu,  gdyż  w  przeciwnym  przypadku  j a k  z o s t a ł o 

stwierdzone  poprzednio,  nie  m o g ł y b y  r ó w n a ć  się  zeru  wariacje  p r ę d k o ś c i,  o d p o w i a d a j ą ce 

dowolnej  chwili  czasu. 

1 7 )  L.  Boltzmann,  Vorlesungen  iiber  die  Prinzipien  der  Mechanik,  I  Czę ś ć,  1897,  s.  211. 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  261 

W y n i k a  stą d,  że  wariacje  przyspieszeń  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  tylko  j a k o  takie  funkcje 

czasu,  k t ó r e  w  k a ż d y m,  dowolnie  m a ł y m ,  przedziale  czasu  zmieniają  swój  znak  w  s p o s ó b 

dowolny.  J e d n a k o w o ż  funkcje  tego  typu  nie są  c a ł k o w a l n e .  Oznacza  to,  że  obie  p r ó b y 

przejś cia  do wariacji  ruchu  w całoś ci  skoń czyły  się  niepowodzeniem,  gdyż  z a r ó w n o  w pier­

wszym,  jak i w drugim  przypadku,  czas  nie podlegał  wariacji  i  obowią zywała  relacja  (5.3). 

« Т ак  więc  — k o ń c zy  swe  r o z w a ż a n ia  Schenkl — nie  m o ż na  ustalić  o d p o w i e d n i o ś ci 

mię dzy  punktami  toru  rzeczywistego  i jego  wariacji  w  taki  s p o s ó b ,  by  wzajemnie  odpo­

wiadają ce  sobie  p o ł o ż e n ia  w  obydwu  ruchach  zajmowane  były  jednocześ nie.»  T o  stwier­

dzenie  prowadzi  autora  do  konkluzji,  że  wariację  ruchu  należy  b u d o w a ć ,  d o k o n u j ą c 

jednocześ nie  wariacji  czasu. 

Z a ł ó ż m y,  że  wzajemnie  o d p o w i a d a j ą c ym  sobie  stanom  ruchu  rzeczywistego  i  jego 

wariacji  odpowiadają  r ó ż ne  chwile  czasu  t i  t + dt.  Przy  tym  założ eniu  m o ż e my  skonstruo­

wać  t a k ą  wariację  ruchu,  dla  której  wariacje  przyspieszeń  dxt  (w  o d r ó ż n i e n iu  od  wa­

riacji  przyspieszeń  dxl3  k t ó r e  dokonywane  są  bez  wariacji  czasu)  są  c a ł k o w a l n y m i  fun­

kcjami  czasu.  Wariacje  przyspieszeń  dx;, j a k j u ż  z o s t a ł o  stwierdzone,  należy  p r z e d s t a w i ć  

jako  takie  funkcje  czasu,  k t ó r e  w  k a ż d ym  dowolnie  m a ł y m y  przedziale  czasu  dowolnie 

czę sto  zmieniają  znak.  Funkcja  taka  z o s t a ł a  zbudowana  przez  Schenkla  w  nastę pują cy 

s p o s ó b .  Podzielmy  przedział  czasu  [tlt  t2],  w  k t ó r y m  funkcję  tę  bę dziemy  rozpatrywali, 

na  n  r ó w n y c h  czę ś ci  r.  N i e c h  wariacje  przyspieszeń  dxt,  w  chwilach  czasu  t+  =  t^+ц т , 

[л  — 0 , 2 , 4 ,  n,  są  r ó w n e  w a r t o ś c i om  dowolnej,  danej  z  góry,  cią głej,  dodatniej 

funckji  czasu  fi(t),  zaś  w  chwilach  czasu  =  t, +vr,  v  =  1 , 3 , 5 ,  ...,n—1,  w a r t o ś ci 

tych  wariacji  są  ujemne  i  r ó w n e  co do  m o d u ł u  ś r e d n im  arytmetycznym  od  wartoś ci wa­

riacji  w  są siednich  (parzystych)  chwilach  czasu.  W ó w c z a s  przy  n ­* oo  (lub т ­> 0)  wiel­

k o ś ć  dx­, jest  reprezentowana  przez  funkcję  o  ż ą danej  własnoś ci,  to  znaczy  dowolnie 

czę sto  zmieniają cą  znak. 

N a s t ę p n ie  wprowadza  się wariację  czasu  dt.  Wariacja  czasu  jest  t a k ą  funkcją  czasu, 

k t ó r a  przybiera  wartoś ci  zerowe  w  każ dej  chwili  t+  =  t^+fiT,  dla  której  wariacje  przy­

spieszenia  dxt  są  dodatnie,  oraz  w a r t o ś ci  т  w  każ dej  chwili  /_ =  tY+vT,  dla której  wa­

riacja  d'Xi jest  ujemna.  Wreszcie,  wykonując  pełną  wariację  m o ż e my  zastą pić  wariację  

przyspieszenia  w  chwili  t  wariacją  przyspieszenia  w  chwili  t+dt.  W ó w c z a s  chwilom  cza­

su  t­  bę dą  o d p o w i a d a ł y  wariacje  przyspieszeń  dla  chwil  t+  =  t­ + r.  A  więc  wszystkim 

chwilom  czasu  o d p o w i a d a ć  bę dą  dodatnie  wartoś ci  wariacji  przyspieszeń  <5х; (w ten  s p o s ó b 

oznaczymy  wariacje  przyspieszenia,  z  wariacją  czasu  t).  M a m y  więc  relację  dxt  =  f,(t). 

T r a k t u j ą c  wariacje  przyspieszenia  j a k o  wielkoś ci  infinitezymalne  m o ż e my  je  p r z e d s t a w i ć  

w  postaci  dxt  =  efi(t),  gdzie  e  oznacza  nieskoń czenie  mał y  parametr. 

Przy  takim  okreś leniu  wariacji  przyspieszenia  c a ł k a  (5.2) ma  sens.  Z a u w a ż my  przy 

tym,  że wariacja  czasu  dt nie jest  w ż a d en  s p o s ó b  zwią zana  z  wariacją  przyspieszenia  dxh 
dlatego  m o ż na  ją  t r a k t o w a ć  (jak  to  czyni  Schenkl)  j a k o  wielkość  nieskoń czenie  m a ł ą  

wyż szego  r z ę du  niż wariacja  dxh  a  więc  również  niż wariacja  dxt. 

Dzię ki  wprowadzeniu  wariacji  czasu  dt,  wariacje  współrzę dnych  i p r ę d k o ś ci  przyjmują  
p o s t a ć  

dx; =  xtdt,  dkj  —  Xidt, 



262  N .  J A .  CYGANOWA 

gdzie  xt  i  xt  są  wielkoś ciami  s k o ń c z o n y m i,  dt  zaś jest  nieskoń czenie  małą  wyż szego  rzę du 

niż  <53ć j.  W  takim  razie  dxt  i  dxt  są  wielkoś ciami  nieskoń czenie  m a ł y m i  wyż szego  rzę du 

w  p o r ó w n a n i u  z  dxt.  Dlatego  dalej  bę dziemy  je  p r z y r ó w n y w a l i  do  zera: 

d Xi  =  0,  d k i  =  0. 

Wariację  ruchu  konstruujemy  więc  przy  nastę pują cych  warunkach: 

(1)  Wariację  dx­t i  <5x; są  r ó w n e  zeru  w  dowolnej  chwili  czasu  Z r o z w a ż a n e go  p r z e d z i a ł u . 

(2)  Wariacja  przyspieszenia  <5'v;  ^  0  i jest  c a ł k o w a l n ą  funkcją  czasu. 

(3)  Dodatkowo  z a k ł a d a  się,  że 

8xt  = ~dT 
co  oznacza,  że  symbole  d  i  ó  są  przemienne. 

(4)  W  s k o ń c z o n y ch  chwilach  czasu  t,  i  t2  wariacje  przyspieszeń  równają  się  zeru: 

(6xi)tl  =  0,  (д х д ,2  =  0. 

Spełnienie  tych  w a r u n k ó w  dla  wariacji  ruchu  j a k o  całoś ci  zapewnia  jednoczesne  speł­

nienie  poprzednich  w a r u n k ó w  wariacji  w dowolnej  chwili  czasu  oraz  istnienie  całki 

t2  3n 

J  \  (Xt — mi'Xi)d'Xidt. 
r,  /=1 

Zbadajmy  z  kolei  kwestię  f o r m u ł o w a n i a  całkowej  postaci  twierdzenia  Gaussa.  W  tym 

celu  obliczmy  wariację  ^ ( " ^ i  )•   Uwzglę dniając  warunek  dxt  =  0  otrzymujemy  dla  niej 

wyraż enie 
Зл  

(5.4)  «5  =  2J  >»i (2XidXi  +  Xi  dx)). 

I  ;=i 

N a s t ę p n ie  r o z w a ż my  pracę  wirtualną  sił aktywnych,  oddziałują cych  na  u k ł a d 

Зл  

SA  =  ^XfdXi. 

i=i 

D r u g a  pochodna  wzglę dem  czasu  z  pracy  wirtualnej  przyjmuje  p o s t a ć : 

(5.5,  £ м _ 2 ( т £ « * + 2 Т * + * 4 
1=1  V 

Przyję te  warunki  wariacji  umoż liwiają  obliczenie  wariacji  d  w  ten  s p o s ó b ,  jak  gdyby  czas 

nie  ulegał  wariacji.  Dlatego  w  r ó w n a n i u  (5.5)  m o ż e my  formalnie  zastą pić  symbol  ó  przez 

symbol  d. 

W ó w c z a s  z  r ó w n a n i a  (5.5)  otrzymamy  zależ ność  

/=1 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  263 

wobec  tego  zaś,  że  d xt  =  d xt  =  0,  otrzymujemy 

Зи  

(5.6)  ­~T  ­ = 2j
X*dx" 

1=1 

Odejmując  stronami  r ó w n a n i e  (5.6)  od  r ó w n a n i a  (5.4)  uzyskamy 

Зл  

v  i = i  x  ' 

C a ł k o w a n i e  ostatniej  z  tych  zależ noś ci  w  o k r e ś l o n ym  przedziale  czasowym  od  tt  do  t2, 

z  uwzglę dnieniem  w a r u n k ó w  brzegowych,  prowadzi  do  r ó w n a n i a 

(5­7) /  [Ą ^Pl ­ ™]dt  ­ / 2 
h  J  ' l  <=1 

z  k t ó r e g o  wynika  c a ł k o w a  p o s t a ć  zasady  Gaussa 

'i 

Z a s a d ę ,  opisywaną  przez  r ó w n a n i e  (5.8),  nazwiemy  zasadą  Schenkla.  R ó w n o w a ż n o ść  

zasady  Schenkla  i  zasady  Gaussa  wynika  z  r ó w n a n i a  (5.7).  Rzeczywiś cie,  z a ł ó ż m y,  że 

s p e ł n i o n a  jest  zasada  Schenkla.  W ó w c z a s  z  r ó w n a n i a  (5.7)  otrzymujemy  zależ ność  

(5.9) J  (nhх ,­Х д Щ Л  =  0 
r,  (=1 

dla  dowolnych  w a r t o ś ci  tt  i  t2.  Jest  to  moż liwe  jedynie  wtedy,  gdy  funkcja  p o d c a ł k o w a 

r ó w n a  się  zeru.  M a m y  więc  relację  

Зл  

(mCXi­X^d Xi  =  0, 
;=i 

co  oznacza,  że  wariacje  przymusu  są  według  Schenkla  r ó w n e  zeru 

(5.10)  ~ÓZ =  0 . 

N o w e  (zgodne  z  podejś ciem  Schenkla)  i  stare  (gaussowskie)  warunki  wariacji  w  punkcie 

pokrywają  się.  Dlatego  z  r ó w n a n i a  (5.10)  wynika,  że  również  wariacje  przymusu  w e d ł u g 

Gaussa  równają  się  zeru  ó Z  =  0,  a  więc  s p e ł n i o n a  jest  zasada  Gaussa. 

Odwrotnie,  z a ł ó ż m y,  że  zachodzi  zasada  Gaussa,  to  znaczy 

'2 

/  ZQniXi­Xddxtdt  =  0 . 
' i 

W ó w c z a s  z  r ó w n a n i a  (5.7)  wynika  o d  razu  spełnienie  zasady  Schenkla  w  postaci 

'2 
d2ÓA  .  , 

­ a p ­ i A ­ o . 



264  N .  J A .  CYGANOWA 

6.  Postać  całkowa  zasady  Jourdaina 

R ó ż n i c z k o wa  zasada  Jourdaina 1 8 >  jest  w y r a ż o na  przez  r ó w n a n i e 

3/. 

(6.1)  У  (Xi—ntiX^OXi  =  О  

i  odpowiada  takiemu  procesowi  wauacyjnemu,  w  k t ó r y m  w  dowolnej  chwili  czasu  ulegają  

wariacji  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  materialnego  (ói,­ Ф  0), zaś ich współrzę dne  nie  ulegają  
zmianom  (óXi  =  0).  C a ł k o w a  p o s t a ć  zasady  Jourdaina  m o ż e  być  wyprowadzona  analo­
gicznie  do  tego,  j a k  S C H E N K L  w y p r o w a d z i ł  całkową  p o s t a ć  zasady  Gaussa.  Zbudowanie 

całkowej  postaci  zasady  Jourdaina  wymaga  skonstruowania  t o ż s a m o ś c i,  w  której  jedna 

ze  stron  ma  p o s t a ć  nastę pują cej  c a ł k i : 

C a ł k a  ta  istnieje,  gdy  założ ymy,  że funkcje  Ó A ' ;  są  cią głe.  P r z y p u ś ć m y,  że  <5x; jest  cią głą  

funkcją  czasu,  w  ten  s p o s ó b  przechodzimy  od  wariacji  ruchu  w  ustalonej  chwili  czasu  do 

wariacji  tego  ruchu  w  s k o ń c z o n ym  przedziale  czasu.  Z a u w a ż m y,  że  warunki  wariacji 

w e d ł u g  Jourdaina  nie  są  spełnione.  Istotnie,  z  równoś ci 

w y n i k a ,  że wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch  bx{  rosną  lub  maleją  (dxt  ф  0),  gdyż  warunek  cią głoś ci 
oki  oznacza  zachowanie  znaku  funkcji  ók,  w  dostatecznie  m a ł y m  przedziale  czasu. 

R ó w n a n i e  (6.3)  z a k ł a d a ,  że czas  nie  ulega  wariacji.  Oznacza to,  że spełnienie w  dowolnej 

c h w i l i  czasu  w a r u n k ó w  wariacji  według  Jourdaina  wymaga  wariacji  czasu.  Przechodzimy 

wię c,  zgodnie  z  m e t o d ą  Schenkla  w  zastosowaniu  do  wariacji  p r ę d k o ś c i,  od  ó­procesu 

wariacji  izochronicznej  do  ó­procesu  wariacji  asynchronicznej.  D z i ę ki  temu  dokonujemy 

przejś cia  od  n i e c a ł k o w a l n y c h  funkcji  czasu  dki  do  c a ł k o w a l n y c h  funkcji  dxt. 

Funkcje  dki  są  konstruowane  podobnie,  j a k  funkcje  u  S C H E N K L A .  Z a k ł a d a  się, 

że  wariacje  czasu  są  wielkoś ciami  nieskoń czenie  m a ł y m i  wyż szego  r z ę d u,  niż  wariacje 

dki  lub  dki.  Dzię ki  wprowadzeniu  wariacji  czasu  w s p ó ł r z ę d ne  doznają  wariacji  6xi  = 

=  kidt.  Ze  wzglę du  jednak  na  to,  że  dt jest  wielkoś cią  nieskoń czenie  mał ą  wyż szego  rzę du, 

niż  ~6ki,  m o ż e my  z a k ł a d a ć ,  że  dxt  =  0.  W  ten  s p o s ó b  wariacja  w  s k o ń c z o n ym  przedziale 
czasu  jest  dokonywana  przy  nastę pują cych  warunkach: 

(1)  Wariacja  dxt  jest  w  dowolnej  chwili  czasu  r ó w n a  zeru:  dxt  =  0. 
(2)  Wariacja  dxt  Ф  0  i jest  c a ł k o w a l n ą  funkcją  czasu. 

(3)  Spełniona  jest  zależ ność  =  dxt,  k t ó r a  oznacza  p r z e m i e n n o ś ć  operacji 

(4)  N a  k o ń c a ch  przedziału  spełnione  są  warunki  (<3x,)»,  =  0 ,  (<5х;),2  =  0 . 

1 8 )  P.  Jourdain,  Note on an analogue  of  Gauss principle  of  least  constraint,  Quarterly  Journal  of  Pure 
and  Applied  Mathematics,  t.  40,  Londyn  1909. 

/ 2  ЗЛ  

(6.2) 

di  д . 



ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  265 

P r z e j d ź my  do  budowania  całkowej  formy  zasady  Jourdaina.  W  tym celu  najpierw 

obliczamy  wariację  

Зл  Зл  

(6.4)  ( dT  \  ~ l  3 " 

(6.5)  7/7 

Зл  

8A  =  У (XidXi+XidXi). 

Przyję te  przez  nas warunki  wariacji  pozwalają  na zastą pienie  w r ó w n a n i u  (6.5)  symbolu  <5 

symbolem  ó.  W ó w c z a s  otrzymamy  zwią zek 

(6.6)  d_ 

~di 

Зл  

6 A  =  /Xidki. 

Odejmując  stronami  r ó w n a n i e  (6.6)  od r ó w n a n i a  (6.5)  mamy 

i = i  i = i  i = i 

Całkując  tę zależ ność  i  uwzglę dniając  warunki  wariacji  2­4 uzyskujemy  t o ż s a m o ść  

№  '  i=i 
l2  Зл  

dt  =  J  X  (triiXi—X^dXidt, 
r,  .=1 

z  które j  wynika  c a ł k o w a  forma  zasady  Jourdaina,  mają ca  p o s t a ć  warunku  zerowania  się  

nastę pują cej  c a ł k i : 

Зл  

dt 
6A+  /  т&д ъ  dt = 0. 

POLITECHNIKA,  WOŁGOGRAD 

Praca została  złoż ona  w Redakcji  dnia 14 lipca 1972  r.