Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z3.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  3,  11 (1973)  ZWIĄ ZKI  P O M I Ę D ZY  RÓŻ NICZKOWYMI  I  CAŁKOWYMI  ZASADAMI  MECHANIKI  N .  J A .  C Y G A N O W A  ( W O Ł G O G R A D )  Decydują ce  znaczenie  dla k i e r u n k ó w  rozwoju  b a d a ń  w  omawianej  dziedzinie  m i a ł a  praca  O .  H O E L D E R A 1 ) ,  w  której  c a ł k o w a  wariacyjna  zasada  mechaniki  wyprowadzona  została  dla ogólnego  przypadku  wariacji  ruchu.  W szczególnych  przypadkach  z  zasady  tej  wynikają  zasady  H a m i l t o n a  lub  Lagrange'a  w zwykłej,  wzglę dnie  u o g ó l n i o n e j  postaci.  Ogólną  zasadę  całkową  wyprowadza  Hoelder  w y c h o d z ą c  z zasady  d'Alemberta­Lagran­ ge'a.  Dalsze  uogólnienie  zasady  Hoeldera  podane jest  w  pracy  A .  V O S S A 2 > .  U o g ó l n i o n a  zasada  c a ł k o w a  Hoeldera­Vossa  oraz  prace  o  charakterze  krytycznym,  jakie  zaczę ły  p o j a w i a ć  się  po ukazaniu  się  publikacji  O .  H O E L D E R A  i  A .  V O S S A ,  dotyczą ce  w  szczególnoś ci  kwestii  analizy  definicji  przemieszczeń  wirtualnych,  podanej  przez  O .  H O E L ­ D E R A  i  A .  VOSSA, 3 >,  są  wyczerpują co  zreferowane  w  ksią ż ce  L .  C .  P O L A K A 4 *  na  temat  wariacyjnych  zasad  mechaniki  i  w pracy  doktorskiej  B . N .  F R A D L I N A 5 * .  W  niniejszej  pracy  zastanowimy  się jeeynie  nad  r ó ż n y mi  postaciami  f o r m u ł o w a n i a  zasady  Hoeldera­Vossa  oraz  nad  jej  zwią zkami  z róż niczkowymi  zasadami  w  mechanice.  W  podstawowych  pracach  H O E L D E R A  i  V O S S A  okre ś lo ny  został  zwią zek  p o m i ę d zy  ogól­ ną  zasadą  całkową  a  zasadą  d'Alemberta­Lagrange'a;  badania  w  n a s t ę p n y ch  latach,  w  szczególnoś ci  prace  H .  B R E L L A  (1913),  C .  S C H A E F F E R A  (1919),  L .  N O R D H E I M A  (1919),  p o d k r e ś l i ły  ten  zwią zek  jeszcze  wyraź niej.  W  pracach  H .  B R E L L A  (1913) i R .  L E I T I N G E R A  (1913)  wykazano  zwią zek  mię dzy  zasadą   Hoeldera­Vossa,  a  zasadami  Gaussa  i  Jourdaina.  1 )  O. Hoelder, Ober die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis,  Nachricht.  d. Gesellsch.  d. Wiss.  Góttingen,  II  zeszyt,  1896,  s.  122­157.  2 )  A .  Voss, Ober die Prinzipe von Hamilton und Maupertuis,  Nachricht. d.  Gesellsch. d. Wiss.  Góttingen,  1900,  s.  322­327.  3 >  P. Jourdain, The derivation of equations in generalized coordinates from the pronciple of least action and allied principles,  Math.  Ann.,  t.  62,  1906, s.  413̂ *18.  P.  Jourdain, On those principles of mechanics which depend upon processes of variation,  Math.  Ann.  t.  65,  1908,  s.  513­527.  M .  Rethy, Ober das Prinzip der Kleinsten Action und das Hamilton'sche Prinzip,  Math.  Annalen,  t. 48,  1897, s.  514­547.  *'  Л .  С.  П о л а к, В а р и а ц и о н н ы е п р и н ц и п ы м е х а н и к и , и х р а з в и т и е и п р и м е н е н и е в ф и з и к е .  М .,  1960  5 >  Б. Н .  Ф р а д л и н, Н е г о л о н о м н а я м е х а н и к а и е ё п р и л о ж е н и я в е с т е с т в о з н а н и и и т е х н и к е . Д и с с е р т а ц и я,  К и ев  1965.  246  N .  J A .  CYGANOWA  1.  Ogólne  przekształcenie  zasady  d'Alemb erta ­ La gra nge'a  do  postaci  całkowej.  Róż ne  postacie  uogólnionej  zasady  najmniejszego  działania  O g ó l n e  przekształcenie  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a  do  postaci  całkowej  dokony­ wane  jest  za  p o m o c ą  asynchronicznej  wariacji  ruchu  i  c a ł k o w a n i a  po  czasie.  W  pracy  O .  H O E L D E R A  (1896)  wariacja  ruchu  s k ł a d a  się  z  dwu  niezależ nych  e t a p ó w .  K a ż d e mu  punktowi  począ tkowej  trajektorii  ruchu  nadaje  się  najpierw  dowolnie  m a ł e  przemieszczenie  Axt  (zwane  wariacją  p o ł o ż e n i a ),  otrzymując  w  ten  s p o s ó b  nową  trajek­ t o r i ę  wariacyjną,  której  punkty  odpowiadają  punktom  trajektorii  wyjś ciowej.  N a s t ę p n ie  k a ż d e mu  punktowi  trajektorii  wariacyjnej  nadaje  się  p r ę d k o ś ć,  k t ó r a  m o ż e  być  dowolna,  ale  moż liwie  m a ł o  róż nią cą  się  od  p r ę d k o ś ci  w  odpowiednim  punkcie  trajektorii  począ t­ kowej.  P r ę d k o ść  m o ż na  okreś lić  dwiema  metodami  —  izochroniczną  lub  izoenergetyczną.  H O E L D E R  okreś la  wariację  energii  kinetycznej  AT,  zakładając  wariację  czasu,  s k ą d  w y n i k a  zależ ność   .  /  dxi  \  d  ,  .  .  .  dAt  A\­dT) =  s^­^sr­ Z a k ł a d a j ą c  poza  t y m ,  że  położ enie  u k ł a d u  w  c h w i l i  począ tkowej  i  koń cowej  nie  ulega  zmianie,  w  w y n i k u  c a ł k o w a n i a  w z g l ę d em  czasu  wariacji  A T  H O E L D E R  otrzymuje  n a s t ę p u­ j ą ce  r ó w n a n i e :  ' i  ' I  3«  li  (1.1)  JATdt  =  ­  f  mi(xiAxi)dt­2  f  TdAt.  'o la  /=1  ro  Wprowadzenie  w y r a ż e n ia  Зл   A'A  =  ^XiAXi,  c a ł k o w a n i e  tego  w y r a ż e n ia  i dodanie  do  r ó w n a n i a  (1.1)  pozwala  m u  u z y s k a ć  r ó w n a n i e  'i  'i  Зл   (1.2) j {2TdAt + (AT+A'A)dt}  =  /  dt  Ł  {Xi­mixl)Axl  'o  'o '=1 s t a n o w i ą ce  p o d s t a w ę  wyprowadzenia  c a ł k o w y c h  zasad  mechaniki.  Prawa  strona  r ó w n a n i a  (1.2),  k t ó r a  uzyskała  w  literaturze  naukowej  n a z w ę  t o ż s a m o ś ci  Hoeldera,  wzglę dnie  transformacji  Hoeldera,  jest  o k r e ś l o n e,  przy  danych  siłach  i  danym  rzeczywistym  ruchu  u k ł a d u ,  wyłą cznie  przez  wariacje  p o ł o ż eń  Axt.  W y k o n u j ą c  wariację   ruchu  u k ł a d u  w  ten  s p o s ó b ,  by  wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch  były  przemieszczeniami  wirtual­ n y m i  i  korzystają ĉ  z  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a  otrzymuje  H O E L D E R  Z  r ó w n a n i a  (1.2)  nastę pują cą  p o s t a ć  całkowej  zasady  m e c h n i k i :  'i  (1.3)  f {2TdAt+(AT+A'A)dt}  =  0 .  'o  Transformacja  Hoeldera  (1.2)  i  wynikają ca  z  niej  o g ó l n a  zasada  c a ł k o w a  (1.3)  jest  jednym  z  najwybitniejszych  w y n i k ó w  uzyskanych  w  dziedzinie  zasad  dynamiki  w  pierwszej  ć wierci  X X wieku.  W  zwią zku  z  tym  należy  szczególnie  p o d k r e ś l ić  znaczenie prac  C .  S C H A ­ E F F E R A  i  L .  N O R D H E I M A .  ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  247  1.1.  Najbardziej  klarowne  i  ś cisłe  wyprowadzenie  t o ż s a m o ś ci  Hoeldera p o d a ł  C .  S C H A ­ E F F E R 6 ) .  Z a  punkt  wyjś cia  przyjmuje  S C H A E F F E R  wyraż enie  Зл   (1.4)  ^[(Xi­nii'xdAxi],  i= I  k t ó r e  uzyskuje  się  z  lewej  czę ś ci  r ó w n a n i a ,  opisują cej  z a s a d ę  d'Alemberta­Lagrange'a,  przez  zastą pienie  przemieszczeń  wirtualnych  p e ł n y m i  wariacjami  w s p ó ł r z ę d n y c h.  P e ł n a  wariacja  w s p ó ł r z ę d n y ch  rozumiana  jest  p o c z ą t k o wo  j a k o  z u p e ł n i e  o g ó l n a  w a r ­ i a c j a ,  z a w i e r a j ą ca  w a r i a c j e  p o  c z a s i e .  F i g u r u j ą ca  w  w y r a ż e n iu  (1.4)  suma  Зл   jest  n a s t ę p n ie  p r z e k s z t a ł c a n a  do  postaci,  wynikają cej  z  obliczenia  pełnej  wariacji  energii  kinetycznej  Зл  Зл   (1.5)  ­  ŁmiXiAxi  =  AT+2T­^~  ­  ~  Łm,x,Axt.  i=i  /=i  C a ł k o w a n i e  r ó w n a n i a  (1.5)  wzglę dem  czasu  z  uwzglę dnieniem  tego,  że  na  k o ń c a ch  prze­ działu  c a ł k o w a n i a  pełne  wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch  Axt  są  r ó w n e  zeru,  prowadzi do  zależ­ noś ci  .  Najbardziej  radykalnym  ograniczeniem  b y ł o b y  założ enie  At  =  0,  s k ą d  w y n i k a ł a b y  Harniltonowska  zasada  d z i a ł a n i a  s t a c j o n a r n e g o 8 ) . »  6 )  C.  Schaeffer, Die Prinzipe der Dynamik,  Berlin,  Lipsk  1919.  7 )  Podkreś lenie nasze —  N . C .  8 )  op.  cit.,  str.  43.  248  N .  J A .  CYGANOWA  N a s t ę p n ie  Schaeffer  obiera  zależ ność  mię dzy  pełną  wariacją  w s p ó ł r z ę d n y ch Axt i  wariacją  czasu At  w postaci  r ó w n a n i a  (1.7) Axt = dxi + XiAt, gdzie  symbol óxt  oznacza  wariację  w s p ó ł r z ę d n y ch  w  ustalonej  chwili  czasu,  nie  mają cą   na  ogół  znaczenia  przemieszczenia  wirtualnego  (wariacje dxi  m o g ą  być  wielkoś ciami  zupełnie  niezależ nymi).  Zależ ność  (1.7)  pozwala  Schaefferowi  s p r o w a d z i ć  t o ż s a m o ść   Hoeldera  (1.2)  do  postaci  /i  Зл    [2TA t+S­w8qk к   *  ' l  = o,  'o  to  z  r ó w n a n i a  (1.10)  wynika  ' i  .  (1.12)  j  [AT+2T^  +  w  +  6A)dt  =  j  * 2  Ж ­ * Ж + а Г ' ­ (o 'e  *=1  R ó w n a n i a  Lagrange'a drugiego  r z ę du  dla u k ł a d ó w  holonomicznych  oraz  r ó w n a n i a  Ferrre­ rsa  (1­13)  ­м ­Й Г —а ;—&  i = d  д Т  д Т  V i  W ж ~ж ~в к~  л  ,p,k  dla  u k ł a d ó w  o  wię zach  holonomicznych i  liniowych  anholonomicznych pierwszego  r z ę du  s (1.14) Łp,kdqk+p,dt  =  0  ( / =  1 , 2 ,  . . . , r )  A: =  l  pozwalają  w y p r o w a d z i ć  z  r ó w n a n i a  (1.12)  nastę pują cą  ogólną  p o s t a ć  zasady  całkowej  w  formie  V o s s a :  'i (1.15)  j l ń T+ l T ^  +  ^­At  + dAJdt  =  0 .  'o  Wobec  tego,  że  dla  wię zów  holonomicznych i  liniowych  anholonomicznych pierwszego  r z ę du  mamy  zależ ność   'o  k=\  (o  '=1  t o ż s a m o ść  (1.10)  m o ż e my  p r z e p i s a ć  w  postaci  n a s t ę p u j ą c e j:  I  (Xt  — m{* xt)  dxi  dt +  lo  '  '  'o  Ł  1  (1.17)  j  ( A T+2  T  +  *L  A t + SA )  dt  = Д  ^  W  ­  nu xt)  dx^dt­ 9 )  Istotnie, dla układów  o  wię zach  spełniają cych  (1.14), w  toż samoś ci  Зл   Ł (mixi­xo6Xi =  J ; [±  ­  £  ­  2 1  « n  1=1  * =  i  L  v  /=i  5  suma  V 1 pik6qk  =  0, co  w konsekwencji  prowadzi do  toż samoś ci  (1.16).  250  N .  J A .  CYGANOWA  Stąd  na mocy  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a  i warunku  (1.11)  dla wariacji  otrzymujemy  ogólną  z a s a d ę  całkową  w postaci  (1.15).  T o ż s a m o ść  Vossa  z o s t a ł a  wyprowadzona w  po­ staci  (1.17)  w  ksią ż ce  L .  N O R D H E I M A  Zasady  dynamiki10''.  N O R D H E I M  wychodzi  ze  wzoru  na  T we  w s p ó ł r z ę d n y ch  kartezjań skich  i najpierw  otrzymuje  r ó w n a n i e  Зл  Зл   (1.18)  A T + 2 T ^  ­  ~  ^  mtXiAxi  =  ­  ^ т ^ А х,  ;=i  i=i  P r z e c h o d z ą c  do  w s p ó ł r z ę d n y ch  u o g ó l n i o n y c h ,  czyli  quasi­współrzę dnych,  oraz  uwzglę d­ niając  zależ noś ci  spełniane  w o g ó l n y m  przypadku  wię zów  niestacjonarnych  przy  przejś ciu  do  tych  w s p ó ł r z ę d n y ch  xi =  ^ccikqt  + cti,  Axt=  Y  ctikAqk  +  aiAt,  A=l  Л =1  2T  =  mlaikcii,qkql+  2mi , ^ , +  4 ( 2 г А +  /=1  Х  А = 1  D o d a j ą c  r ó w n a n i e  (1.20)  do  r ó w n a n i a  Зл   OA =  ^X,dXl  i­i  i  całkując  tę zależ noś ć,  otrzymuje  N o r d h e i m t o ż s a m oć  Vossa  (1.17).  R ó w n a n i e ,  wynikają ce  z  t o ż s a m o ś ci  (1.17),  na  mocy  zasady  d'Alemberta­Lagrange'a,  w  postaci  *  T i  (1.21)  flAT+2T™*+  §At+6A)  dt =  [ i T A t + ^ ^ l  w y r a ż a  twierdzenie  r ó w n o w a ż ne  zasadzie  d'Alemberta­Lagrange'a.  Jest  ono  punktem  wyjś cia  do  wyprowadzenia  wszystkich  c a ł k o w y c h  zasad  wariacyjnych.  1 0 )  L . Nordheim, Die Prinzipe der  Dynamik.  Berlin,  Lipsk  1919, s. 83.  ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  251  1.3.  Rozpatrzmy  obecnie  dwie  inne  postacie  u o g ó l n i o n e j  zasady  najmniejszego  dzia­ łania,  wyprowadzone  przez  H .  B R E L L A 1 1 ' .  Z o s t a ł y  one  wyprowadzone  przez  niego  przy  pomocy  prostego  przekształcenia  w y r a ż e n ia  p o d c a ł k o w e g o  w  lewej  czę ś ci  t o ż s a m o ś ci  Vossa  (1.10).  W y r a ż a j ąc  funkcję  p o d c a ł k o w ą   (1.22)  ATdt+2T­­^­dt+^Atdt+dAdt  w  postaci  AT+­J­  (2TA t)dt­  —  Atdt+ÓAdt,  dt  dt  Brell  wyprowadza  z  t o ż s a m o ś ci  Vossa  nastę pują cy  zwią zek:  f o  to  K =  1  к = 1  wynika  stąd  zasada  c a ł k o w a  w pierwszej  formie  Brella  \А т ­ dt  (1.23)  j^AT­Ę:At+  6 A )dt  =  0  to  z  warunkami  granicznymi  « = 1  Przedstawiając  n a s t ę p n ie  wyraż enie  (1.22)  w  postaci  ATdt+ T^­  dt + 4­  (TAt)dt+ bAdt,  dt  at  Brell  otrzymuje  analogicznie  d r u g ą  formę  zasady  całkowej  AT+T^  + dA\dt =  0  z  warunkami  granicznymi w postaci  1 1 }  H .  Brell,  Ober  eine  neue  Fassung  des  Prinzips  der  kleinsten  Aktion,  Wien.  Ber.,  122 (2a), (1913),  s. 1031­1036.  252  N .  J A . CYGANOWA  2.  Równoważ ność  uogólnionej  zasady  najmniejszego  działania  i  zasady  Gaussa  D o w ó d  r ó w n o w a ż n o ś ci  u o g ó l n i o n e j  zasady  najmniejszego  d z i a ł a n i a  Hoeldera­Vossa  zasady  Gaussa  dla u k ł a d ó w  holonomicznych  o  wię zach  niestacjonarnych  p r z e p r o w a d z i ł  B R E L L 1 2 > ,  korzystając  z  r ó w n a n i a  G i b b s a ­ A p p e l a .  D o  wyraż enia  p o d c a ł k o w e g o  w całce  Vossa  'i  J  (ATdt  + dTAt  +  2TdAt+ÓAdt)  wprowadza  B R E L L  energię  przyspieszeń  5.  U ż y wa  przy  tym  zwią zku,  wią ż ą cego  energię   przyspieszeń  z  energią  kinetyczną  T,  k t ó r y  w  przypadku  wię zów  niestacjonarnych  ma  p o s t a ć   3,:  _  ,„  dT  V  d $  •  V  ••  3ft  (2Л )  *  =1жд к +2;т'Х'­з Т >  A. =  l  ™  1=1  gdzie  xi  =Ш х ,  q2,  4s, 0­ W ó w c z a s  dla  wirtualnych  wariacji  pochodnej  energii  kinetycznej  po  czasie  dTjdt  otrzymuje  B R E L L  nastę pują cy  zwią zek;  . . . .  dT  d2T  d  V  dS  .  d2  V > , .  (2­2)  A S  ~ HFAt ­  " s  Z  ж dqk+~d? Z  ф* dqk>  k­i  *"  fc.i  gdzie  Зл   '  8qk '  dqk  = Aqk­qkAt,  Фк =  £  i  =  i  d2  D o d a j ą c  do  obydwu  stron  r ó w n a n i a  (2.2) w y r a ż e n ia  2  (TAt)  i  całkując  o d  tQ  do  tr  przy  założ eniu,  że na  brzegach  wszystkie  wariacje  zerują  się,  otrzymujemy  r ó w n a n i e  J r + ­ 3 ­ / l f ­ r ­ 2 r  dt  dt  k = l  4 = 1  Z  kolei,  d o d a j ą c  do tego  r ó w n a n i a  nastę pują ce  s  d A  =  ^Qk(Aqk­qkAt)  1 2 >  H . Brell, Nachweis  der Aquivalenz  des  veralgem.  Prinzipes der kleinsten Aktion mit  dem Prinzipe  d. kleinsten Zwanges.­Wiea.  Sitz.  Ber.,  tom 122 (2a), V zeszyt, Wien 1913.  ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  253  i  całkują c,  otrzymujemy  j  (ATdt  + dTAt  + 2TdAt+6Adt)  = ­  J  dt  J T" l ­ Ę ­­ Q k \ ( A q k ­ q k A t ) .  to  »o  * = 1  N a  mocy  r ó w n a ń  A p p e l a  wynika  stąd  zwią zek  ' i  f  (Atdt+dTAt+2TdAt+eAdt)  = 0 ,  'o  k t ó r y  wyraża  z a s a d ę  Hoeldera­Vossa.  Wobec  tego,  że r ó w n a n i a  A p p e l a  wyprowadza się   z  zasady  Gaussa  powyż sze  rozumowanie  dowodzi  r ó w n o w a ż n o ś ci  tej  zasady  z  zasadą   Hoeldera­Vossa.  3.  Równoważ ność  uogólnionej  zasady  najmniejszego  działania  i  zasady  Jourdaina  L E I T I N G E R  (1913)  wykazał  zwią zek  p o m i ę d zy  zasadą  Jourdaina  i  u o g ó l n i o n ą  z a s a d ą   najmniejszego  d z i a ł a n i a  Hoeldera­Vossa  dla u k ł a d ó w  o  wię zach  holonomicznych  i  l i n i o ­ wych  anholonomicznych,  w  o g ó l n y m  przypadku  niestacjonarnych.  L E I T I N G E R  wyprowadza  z a s a d ę  Hoeldera­Vossa  b e z p o ś r e d n io  z  zasady  Jourdaina  przekształcając  odpowiednio  wyraż enie  p o d c a ł k o w e  w  całce  Vossa.  Jeż eli  wię zy  holono­ miczne,  n a ł o ż o ne  na  u k ł a d ,  są niestacjonarne,  to  asynchroniczne  wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch  u o g ó l n i o n y c h  Aqk  zwią zane  są z  wariacjami  wirtualnymi  tych  w s p ó ł r z ę d n y ch  6qk  zależ­ n o ś c i a mi  (3.1)  Aqk  =  óqk  +  qkAt,  zaś  dla A  —  wariacji  p r ę d k o ś ci  u o g ó l n i o n y c h  mamy  zwią zek  (3­2)  Aqk=,^(Aqk)­q^­.  Uwzglę dniając  r ó w n a n i a  (3.1)  i (3.2) oraz  wyraż enie  na  p r a c ę  w i r t u a l n ą  działają cych  sił  s  &A =  ^Qkóqk,  m o ż e my  p r z e d s t a w i ć  wyraż enie  p o d c a ł k o w e  w  całce  Vossa  w  nastę pują cej  postaci:  s  (3.3)  ATdt  + 2TAdt  + dTAt+6Adt  =  óqk­  ~^Cjdqk  + Qkdqk  +  Róż niczkując  wzglę dem  czasu  r ó w n a n i e  (3.3) i  kładąc  n a s t ę p n ie  w  wyprowadzonej  zależ noś ci  dqk  =  0 zgodnie  z zasadą  Jourdaina, j a k również  uwzglę dniając  s f o r m u ł o w a n i e  zasady  Jourdaina  dla u k ł a d ó w  holonomicznych  i  liniowych  anholonomicznych  w postaci  254  N .  J A .  CYGANOWA  L E I T I N G E R  uzyskuje  nastę pują ce  r ó w n a n i e :  V f  d2  (dT IdT  .  \  d2  IdT  .  . W  d2  m „ .  ч  —  [ATdt  + 2TAdt+dTAt+6Adt]  =  ^  \  R ó w n a n i e  to  m o ż na  t r a k t o w a ć  j a k o  jedno  z  analitycznych  wyraż eń  zasady  Jourdaina.  Całkując  ostatnie  z  r ó w n a ń  dwukrotnie  wzglę dem  t  w  o k r e ś l o n ym  przedziale  czasu,  od­ p o w i a d a j ą c ym  ustalonemu  p o c z ą t k o w e mu  i  k o ń c o w e mu  położ eniu  u k ł a d u ,  L E I T I N G E R  otrzymuje  r ó w n a n i e ,  wyraż ają ce  z a s a d ę  Hoeldera­Vossa  w  przypadku  wię zów  niestacjo­ narnych  f  (ATdt  + dTAt  + 2TdAt  + dAdt)  =  0.  Powyż sze  wyprowadzenie  upraszcza  się  znacznie  w  przypadku  wię zów  stacjonarnych.  M a m y  w ó w c z a s  (3.4)  Aqk  =  6qk  oraz  «  л  dqk  ,.  .  A dt  (3.5)  A ^ ^ b q ^ q ^ ,  energia  zaś  kinetyczna  u k ł a d u  T jest j e d n o r o d n ą  funkcją  k w a d r a t o w ą  p r ę d k o ś ci  u o g ó l n i o ­ nych.  Zgodnie  z  twierdzeniem  Eulera  o  funkcjach  jednorodnych  m o ż e my  n a p i s a ć   dT  .  (3.6)  2 Г  =  ^  *=i  U o g ó l n i o n a  zasada  najmniejszego  d z i a ł a n i a  dla  u k ł a d ó w  o  wię zach  stacjonarnych  opi­ sana jest  r ó w n a n i e m  ' i  (3.7)  f  (ATdt  + 2TAdt+ÓAdt)  =  0.  to  Pochodna  wzglę dem  czasu  z  w y r a ż e n ia  p o d c a ł k o w e g o  po  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (3.4),  (3.5)  i  (3.6)  przejmie  p o s t a ć :  ­£(£M(£)****+4­ Zgodnie  z  z a s a d ą  Jourdaina  otrzymujemy  stąd  r ó w n a n i e  d l .  ,\  d2  l  dT  .  \  Dwukrotnie  całkując  to  r ó w n a n i e  otrzymujemy  z a l e ż n o ść  (3.7),  to  znaczy  wyraż enie  analityczne  zasady  Hoeldera­Vossa  d l a  u k ł a d ó w  o  wię zach  stacjonarnych.  • ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  255  4.  Zwią zek  zasady  energetycznej  G.  Heima  z  zasadą  d'Alemberta­Lagrange'a  w  badaniach  A.  Vossa  W  pracy  pod  t y t u ł e m  Uwagi  o  zasadach  mechaniki13''  (1901)  A .  Voss  analizuje  p r ó b y  n i e k t ó r y c h  badaczy  wyprowadzenia  z  zasady  energetycznej  zasady  d ' A l e m b e r t a ­ L a ­ grange'a  lub  jakiejkolwiek  innej  r ó w n o w a ż n ej  do  niej  postaci  r ó w n a ń  ruchu.  Szczegółowo  analizuje  Voss  z a s a d ę  energetyczną  H E L M A 1 4 ) ,  k t ó r a  m a  p o s t a ć  wariacyjną:  zmiana  energii  w  k a ż d ym  z  m o ż l i w y ch  k i e r u n k ó w  r ó w n a  się  zeru.  W y n i k i  analizy  V O S S A  ś wiadczą  o  tym,  że  proces  wariacyjny  w  zasadzie  H e i m a  nie  prowadzi  do  r ó w n o w a ż n o ś ci  z  zasadą  d ' A l e m ­ berta­Lagrange'a.  Istotnie,  okreś lmy  wariację  energii  całkowitej  T+V,  odpowiadają cą   izochronicznym  wariacjom  w s p ó ł r z ę d n y c h,  to  znaczy  przejś ciu  od  punktu  o  współrzę d­ nych  xt(t),  yt(t),  Zj(0  do  punktu  o  w s p ó ł r z ę d n y ch  xt(t)+eSt(t),  J>i(r) +  e»?j (0.  *i(0+«&(').  gdzie  s  jest  d o w o l n ą  m a ł ą  liczbą  stałą,  zaś  C;—  dowolnymi  r ó ż n i c z k o w a l n y mi  funkcjami  czasu.  Otrzymamy  w y r a ż e n i e:  л  л   d(T+v)  =  ^mtiXiSi+ytVt+kO­  ^t»i(xiŁi+yir}i  + ziCi)  +  i=i  i=i  Wobec  tego,  że  wyraż enie  to  oczywiś cie  nie  r ó w n a  się  w y r a ż e n iu  stwierdzamy,  że  dla  danego  sposobu  wprowadzenia  wariacji  zasada,  wyraż ają ca  się  r ó w ­ naniem  d(T+V)  =  0,  nie  jest  r ó w n o w a ż na  zasadzie  d'Alemberta­Lagrange'a.  N a s t ę p n ie  Voss  wykazuje,  że  proces  wariacyjny  należy  zmienić  tak,  by  o p r ó c z  współ­ r z ę d n y c h,  wariacji  podlegał  r ó w n i e ż  czas:  dopiero  w ó w c z a s  obydwie  zasady  stają  się   r ó w n o w a ż n e.  Wariacja  pełnej  energii,  odpowiadają cą  przejś ciu  od  Xi,yi,Zi,t  do  J C , +  +  £ £ i > J i +  « ? ь  Z ( +  t +  er,  gdzie  f f ,  r ? b  т  są  dowolnymi  r ó ż n i c z k o w a l n y mi  fun­ kcjami  czasu,  r ó w n a  się  w e d ł u g  V O S S A  nastę pują cemu  w y r a ż e n i u:  в  л   i=i  /=  i  D o b i e r a j ą c  odpowiednio  funkcję  r(t)  (co  jest  zawsze  moż liwe,  gdyż  T  Ф  0),  m o ż e my  powyż szą  zależ ność  s p r o w a d z i ć  do  postaci  л   1 3 )  A .  Voss,  Bemerkungen  iiber  die  Prinzipien  der  Mechanik,  Munch.  Bericht  math.­phys.  kl.  1901.  1 4 )  G .  Helm,  Die  Energetik  in  ihrer geschichtlichen  Entwicklung,  Lipsk  1918.  256  N .  J A .  CYGANOWA  skąd  wynika  r ó w n o w a ż n o ść  zasady  H e i m a  z zasadą  d'Alemberta­Lagrange'a.  «Jest  to  j e d n a k — j a k  dodaje  V o s s — n i c  innego,  j a k  tylko  abstrakcyjny  formalizm»,  po  czym  konkluduje:  «Wydaje  się, że  czynione  d o t ą d  p r ó b y  wyprowadzenia  zasady  d'Alemberta  lub  zasady  Gaussa  z  zasady  energii  nie  zostały  u w i e ń c z o ne  s u k c e s e m . » 1 5 )  W  tym  samym  artykule  Voss  formułuje  ogólną  z a s a d ę  całkową  mechaniki  w  nastę­ pują cej  postaci:  «przy  odpowiednim  doborze  procesu  wariacji  wariacja  całki  ' i  (4.1)  / =  f  (,  to  wariacje  p r ę d k o ś ci  i  wariacje  współrzę dnych  nie  m o g ą  być  w  każ dej  chwili  r ó w n e  zeru,  j a k  ż ą da  się  w  metodzie  wariacyjnej  Gaussa.  W y n i k a  to  stą d,  że  w  przypadku,  gdy  wiel­ k o ś ć  óxi  jest  cią głą  funkcją  czasu,  powinna  ona  z a c h o w y w a ć  znak  w  dostatecznie  m a ł y m  przedziale  czasowym.  W ó w c z a s  ze  wzglę du  na  relację   (5.3)  Ц  ­  .  wielkość  óki  zwię ksza  się  lub  zmniejsza  w  tym  przedziale  czasu,  co  oznacza,  że  gaussowska  metoda  wariacji  w  punkcie  zostaje  naruszona.  Z a u w a ż m y,  że  relacja  (5.3)  jest  słuszna  przy  założ eniu,  że  czas  nie  podlega  wariacji.  N a s t ę p n ie  E .  S C H E N K L  analizuje  jeszcze  j e d n ą  p r ó b ę  przejś cia  do  wariacji  ruchu  w  ca­ łoś ci  przy  uż yciu  metody  Gaussa  wariacji  ruchu  w  punkcie.  W  myśl  zasady  Gaussa  stan  ruchu  podlega  w  każ dej  chwili  nastę pują cej  wariacji:  dXi  =  0,  dXi  =  0,  <53ćj ф   0.  Niech  punkt  materialny M  opisuje  w  ruchu  rzeczywistym  dany  tor  z  d a n ą  prę dkoś cią.  Ustalmy  d o w o l n ą  chwilę  ruchu.  M ó w i ą c  o  wariacji  stanu  ruchu  w  tej  chwili  według  Gaussa,  mamy  na  myś li  punkt M,  leż ą cy  na  innym  torze,  mają cym  z  danym  torem  w s p ó l n y  punkt M  (óxi  =  0);  tor  ten  nazwiemy  wariacją  toru.  We  w s p ó l n y m  punkcie M  tor  rzeczywisty  i  wariacja  toru  mają  wspólną  styczną (d'Xi =  0),  natomiast  krzywizna  wariacji  toru  w  punkcie M  jest  r ó ż na  od  krzywizny  toru  rzeczy­ wistego,  co  oznacza,  że  normalne  s k ł a d o w e  przyspieszenia  punktu  w  danej  c h w i l i  czasu  są  inne  na  torze  rzeczywistym,  niż  na jego  wariacji  (<5X, ф   0).  D l a danej  chwili  czasu  mamy  nieskoń czenie  wiele  wariacji  stanu  ruchu.  Zasada  najmniejszego  przymusu  stwierdza,  że  w  n i e s k o ń c z o n ej  r ó ż n o r o d n o ś ci  s t a n ó w  ruchu  w  danej  chwili  czasu  rzeczywistym  ru­ chem  jest  ten,  dla  k t ó r e g o  wariacja  przymusu  r ó w n a  się  zeru.  R o z w a ż my  z  kolei  przejś cie  od  jednej  chwili  czasu  / ,  do  innej t2.  Wariację  trajektorii,  odpowiadają cą  przedziałowi  czasu t2 — ti,  przedstawimy  j a k o  n i e s k o ń c z o ną  s u m ę  i n f i ­ nitezymalnych  czę ś ci,  o d p o w i a d a j ą c y ch  opisanemu  powyż ej  sposobowi  konstruowania  wariacji  w  punkcie.  Geometrycznie  m o ż e my  to  w y o b r a z i ć  sobie  w  nastę pują cy  s p o s ó b .  N i e c h  z  k a ż d e go  punktu  rzeczywistej  trajektorii  wychodzi  p ę k  t o r ó w ,  wynikają cych  z  dokonania  wariacji  w  punkcie.  Wariację  toru,  odpowiadają cą  przedziałowi  czasu  o d  fj  do t2,  wyobrazimy  sobie  j a k o  s u m ę  nieskoń czenie  wielkiej  liczby  infinitezymalnie  m a ł y c h  trajektorii  czą stkowych,  o d p o w i a d a j ą c y ch  wariacji  w  punkcie.  Wariacje  przy­ spieszeń,  o d p o w i a d a j ą c y ch  tak  skonstruowanemu  torowi,  nie  m o g ą  m i e ć  stałego  znaku  w  ż a d n y m,  dowolnie  m a ł y m ,  przedziale  czasu,  gdyż  w  przeciwnym  przypadku  j a k  z o s t a ł o  stwierdzone  poprzednio,  nie  m o g ł y b y  r ó w n a ć  się  zeru  wariacje  p r ę d k o ś c i,  o d p o w i a d a j ą ce  dowolnej  chwili  czasu.  1 7 )  L.  Boltzmann,  Vorlesungen  iiber  die  Prinzipien  der  Mechanik,  I  Czę ś ć,  1897,  s.  211.  ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  261  W y n i k a  stą d,  że  wariacje  przyspieszeń  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  tylko  j a k o  takie  funkcje  czasu,  k t ó r e  w  k a ż d y m,  dowolnie  m a ł y m ,  przedziale  czasu  zmieniają  swój  znak  w  s p o s ó b  dowolny.  J e d n a k o w o ż  funkcje  tego  typu  nie są  c a ł k o w a l n e .  Oznacza  to,  że  obie  p r ó b y  przejś cia  do wariacji  ruchu  w całoś ci  skoń czyły  się  niepowodzeniem,  gdyż  z a r ó w n o  w pier­ wszym,  jak i w drugim  przypadku,  czas  nie podlegał  wariacji  i  obowią zywała  relacja  (5.3).  « Т ак  więc  — k o ń c zy  swe  r o z w a ż a n ia  Schenkl — nie  m o ż na  ustalić  o d p o w i e d n i o ś ci  mię dzy  punktami  toru  rzeczywistego  i jego  wariacji  w  taki  s p o s ó b ,  by  wzajemnie  odpo­ wiadają ce  sobie  p o ł o ż e n ia  w  obydwu  ruchach  zajmowane  były  jednocześ nie.»  T o  stwier­ dzenie  prowadzi  autora  do  konkluzji,  że  wariację  ruchu  należy  b u d o w a ć ,  d o k o n u j ą c  jednocześ nie  wariacji  czasu.  Z a ł ó ż m y,  że  wzajemnie  o d p o w i a d a j ą c ym  sobie  stanom  ruchu  rzeczywistego  i  jego  wariacji  odpowiadają  r ó ż ne  chwile  czasu  t i  t + dt.  Przy  tym  założ eniu  m o ż e my  skonstruo­ wać  t a k ą  wariację  ruchu,  dla  której  wariacje  przyspieszeń  dxt  (w  o d r ó ż n i e n iu  od  wa­ riacji  przyspieszeń  dxl3  k t ó r e  dokonywane  są  bez  wariacji  czasu)  są  c a ł k o w a l n y m i  fun­ kcjami  czasu.  Wariacje  przyspieszeń  dx;, j a k j u ż  z o s t a ł o  stwierdzone,  należy  p r z e d s t a w i ć   jako  takie  funkcje  czasu,  k t ó r e  w  k a ż d ym  dowolnie  m a ł y m y  przedziale  czasu  dowolnie  czę sto  zmieniają  znak.  Funkcja  taka  z o s t a ł a  zbudowana  przez  Schenkla  w  nastę pują cy  s p o s ó b .  Podzielmy  przedział  czasu  [tlt  t2],  w  k t ó r y m  funkcję  tę  bę dziemy  rozpatrywali,  na  n  r ó w n y c h  czę ś ci  r.  N i e c h  wariacje  przyspieszeń  dxt,  w  chwilach  czasu  t+  =  t^+ц т ,  [л  — 0 , 2 , 4 ,  n,  są  r ó w n e  w a r t o ś c i om  dowolnej,  danej  z  góry,  cią głej,  dodatniej  funckji  czasu  fi(t),  zaś  w  chwilach  czasu  =  t, +vr,  v  =  1 , 3 , 5 ,  ...,n—1,  w a r t o ś ci  tych  wariacji  są  ujemne  i  r ó w n e  co do  m o d u ł u  ś r e d n im  arytmetycznym  od  wartoś ci wa­ riacji  w  są siednich  (parzystych)  chwilach  czasu.  W ó w c z a s  przy  n ­* oo  (lub т ­> 0)  wiel­ k o ś ć  dx­, jest  reprezentowana  przez  funkcję  o  ż ą danej  własnoś ci,  to  znaczy  dowolnie  czę sto  zmieniają cą  znak.  N a s t ę p n ie  wprowadza  się wariację  czasu  dt.  Wariacja  czasu  jest  t a k ą  funkcją  czasu,  k t ó r a  przybiera  wartoś ci  zerowe  w  każ dej  chwili  t+  =  t^+fiT,  dla  której  wariacje  przy­ spieszenia  dxt  są  dodatnie,  oraz  w a r t o ś ci  т  w  każ dej  chwili  /_ =  tY+vT,  dla której  wa­ riacja  d'Xi jest  ujemna.  Wreszcie,  wykonując  pełną  wariację  m o ż e my  zastą pić  wariację   przyspieszenia  w  chwili  t  wariacją  przyspieszenia  w  chwili  t+dt.  W ó w c z a s  chwilom  cza­ su  t­  bę dą  o d p o w i a d a ł y  wariacje  przyspieszeń  dla  chwil  t+  =  t­ + r.  A  więc  wszystkim  chwilom  czasu  o d p o w i a d a ć  bę dą  dodatnie  wartoś ci  wariacji  przyspieszeń  <5х; (w ten  s p o s ó b  oznaczymy  wariacje  przyspieszenia,  z  wariacją  czasu  t).  M a m y  więc  relację  dxt  =  f,(t).  T r a k t u j ą c  wariacje  przyspieszenia  j a k o  wielkoś ci  infinitezymalne  m o ż e my  je  p r z e d s t a w i ć   w  postaci  dxt  =  efi(t),  gdzie  e  oznacza  nieskoń czenie  mał y  parametr.  Przy  takim  okreś leniu  wariacji  przyspieszenia  c a ł k a  (5.2) ma  sens.  Z a u w a ż my  przy  tym,  że wariacja  czasu  dt nie jest  w ż a d en  s p o s ó b  zwią zana  z  wariacją  przyspieszenia  dxh  dlatego  m o ż na  ją  t r a k t o w a ć  (jak  to  czyni  Schenkl)  j a k o  wielkość  nieskoń czenie  m a ł ą   wyż szego  r z ę du  niż wariacja  dxh  a  więc  również  niż wariacja  dxt.  Dzię ki  wprowadzeniu  wariacji  czasu  dt,  wariacje  współrzę dnych  i p r ę d k o ś ci  przyjmują   p o s t a ć   dx; =  xtdt,  dkj  —  Xidt,  262  N .  J A .  CYGANOWA  gdzie  xt  i  xt  są  wielkoś ciami  s k o ń c z o n y m i,  dt  zaś jest  nieskoń czenie  małą  wyż szego  rzę du  niż  <53ć j.  W  takim  razie  dxt  i  dxt  są  wielkoś ciami  nieskoń czenie  m a ł y m i  wyż szego  rzę du  w  p o r ó w n a n i u  z  dxt.  Dlatego  dalej  bę dziemy  je  p r z y r ó w n y w a l i  do  zera:  d Xi  =  0,  d k i  =  0.  Wariację  ruchu  konstruujemy  więc  przy  nastę pują cych  warunkach:  (1)  Wariację  dx­t i  <5x; są  r ó w n e  zeru  w  dowolnej  chwili  czasu  Z r o z w a ż a n e go  p r z e d z i a ł u .  (2)  Wariacja  przyspieszenia  <5'v;  ^  0  i jest  c a ł k o w a l n ą  funkcją  czasu.  (3)  Dodatkowo  z a k ł a d a  się,  że  8xt  = ~dT  co  oznacza,  że  symbole  d  i  ó  są  przemienne.  (4)  W  s k o ń c z o n y ch  chwilach  czasu  t,  i  t2  wariacje  przyspieszeń  równają  się  zeru:  (6xi)tl  =  0,  (д х д ,2  =  0.  Spełnienie  tych  w a r u n k ó w  dla  wariacji  ruchu  j a k o  całoś ci  zapewnia  jednoczesne  speł­ nienie  poprzednich  w a r u n k ó w  wariacji  w dowolnej  chwili  czasu  oraz  istnienie  całki  t2  3n  J  \  (Xt — mi'Xi)d'Xidt.  r,  /=1  Zbadajmy  z  kolei  kwestię  f o r m u ł o w a n i a  całkowej  postaci  twierdzenia  Gaussa.  W  tym  celu  obliczmy  wariację  ^ ( " ^ i  )•   Uwzglę dniając  warunek  dxt  =  0  otrzymujemy  dla  niej  wyraż enie  Зл   (5.4)  «5  =  2J  >»i (2XidXi  +  Xi  dx)).  I  ;=i  N a s t ę p n ie  r o z w a ż my  pracę  wirtualną  sił aktywnych,  oddziałują cych  na  u k ł a d  Зл   SA  =  ^XfdXi.  i=i  D r u g a  pochodna  wzglę dem  czasu  z  pracy  wirtualnej  przyjmuje  p o s t a ć :  (5.5,  £ м _ 2 ( т £ « * + 2 Т * + * 4  1=1  V  Przyję te  warunki  wariacji  umoż liwiają  obliczenie  wariacji  d  w  ten  s p o s ó b ,  jak  gdyby  czas  nie  ulegał  wariacji.  Dlatego  w  r ó w n a n i u  (5.5)  m o ż e my  formalnie  zastą pić  symbol  ó  przez  symbol  d.  W ó w c z a s  z  r ó w n a n i a  (5.5)  otrzymamy  zależ ność   /=1  ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  263  wobec  tego  zaś,  że  d xt  =  d xt  =  0,  otrzymujemy  Зи   (5.6)  ­~T  ­ = 2j X*dx"  1=1  Odejmując  stronami  r ó w n a n i e  (5.6)  od  r ó w n a n i a  (5.4)  uzyskamy  Зл   v  i = i  x  '  C a ł k o w a n i e  ostatniej  z  tych  zależ noś ci  w  o k r e ś l o n ym  przedziale  czasowym  od  tt  do  t2,  z  uwzglę dnieniem  w a r u n k ó w  brzegowych,  prowadzi  do  r ó w n a n i a  (5­7) / [Ą ^Pl ­ ™]dt  ­ / 2 h  J  ' l  <=1  z  k t ó r e g o  wynika  c a ł k o w a  p o s t a ć  zasady  Gaussa  'i  Z a s a d ę ,  opisywaną  przez  r ó w n a n i e  (5.8),  nazwiemy  zasadą  Schenkla.  R ó w n o w a ż n o ść   zasady  Schenkla  i  zasady  Gaussa  wynika  z  r ó w n a n i a  (5.7).  Rzeczywiś cie,  z a ł ó ż m y,  że  s p e ł n i o n a  jest  zasada  Schenkla.  W ó w c z a s  z  r ó w n a n i a  (5.7)  otrzymujemy  zależ ność   (5.9) J  (nhх ,­Х д Щ Л  =  0  r,  (=1  dla  dowolnych  w a r t o ś ci  tt  i  t2.  Jest  to  moż liwe  jedynie  wtedy,  gdy  funkcja  p o d c a ł k o w a  r ó w n a  się  zeru.  M a m y  więc  relację   Зл   (mCXi­X^d Xi  =  0,  ;=i  co  oznacza,  że  wariacje  przymusu  są  według  Schenkla  r ó w n e  zeru  (5.10)  ~ÓZ =  0 .  N o w e  (zgodne  z  podejś ciem  Schenkla)  i  stare  (gaussowskie)  warunki  wariacji  w  punkcie  pokrywają  się.  Dlatego  z  r ó w n a n i a  (5.10)  wynika,  że  również  wariacje  przymusu  w e d ł u g  Gaussa  równają  się  zeru  ó Z  =  0,  a  więc  s p e ł n i o n a  jest  zasada  Gaussa.  Odwrotnie,  z a ł ó ż m y,  że  zachodzi  zasada  Gaussa,  to  znaczy  '2 /  ZQniXi­Xddxtdt  =  0 .  ' i  W ó w c z a s  z  r ó w n a n i a  (5.7)  wynika  o d  razu  spełnienie  zasady  Schenkla  w  postaci  '2  d2ÓA  .  ,  ­ a p ­ i A ­ o .  264  N .  J A .  CYGANOWA  6.  Postać  całkowa  zasady  Jourdaina  R ó ż n i c z k o wa  zasada  Jourdaina 1 8 >  jest  w y r a ż o na  przez  r ó w n a n i e  3/.  (6.1)  У  (Xi—ntiX^OXi  =  О   i  odpowiada  takiemu  procesowi  wauacyjnemu,  w  k t ó r y m  w  dowolnej  chwili  czasu  ulegają   wariacji  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  materialnego  (ói,­ Ф  0), zaś ich współrzę dne  nie  ulegają   zmianom  (óXi  =  0).  C a ł k o w a  p o s t a ć  zasady  Jourdaina  m o ż e  być  wyprowadzona  analo­ gicznie  do  tego,  j a k  S C H E N K L  w y p r o w a d z i ł  całkową  p o s t a ć  zasady  Gaussa.  Zbudowanie  całkowej  postaci  zasady  Jourdaina  wymaga  skonstruowania  t o ż s a m o ś c i,  w  której  jedna  ze  stron  ma  p o s t a ć  nastę pują cej  c a ł k i :  C a ł k a  ta  istnieje,  gdy  założ ymy,  że funkcje  Ó A ' ;  są  cią głe.  P r z y p u ś ć m y,  że  <5x; jest  cią głą   funkcją  czasu,  w  ten  s p o s ó b  przechodzimy  od  wariacji  ruchu  w  ustalonej  chwili  czasu  do  wariacji  tego  ruchu  w  s k o ń c z o n ym  przedziale  czasu.  Z a u w a ż m y,  że  warunki  wariacji  w e d ł u g  Jourdaina  nie  są  spełnione.  Istotnie,  z  równoś ci  w y n i k a ,  że wariacje  w s p ó ł r z ę d n y ch  bx{  rosną  lub  maleją  (dxt  ф  0),  gdyż  warunek  cią głoś ci  oki  oznacza  zachowanie  znaku  funkcji  ók,  w  dostatecznie  m a ł y m  przedziale  czasu.  R ó w n a n i e  (6.3)  z a k ł a d a ,  że czas  nie  ulega  wariacji.  Oznacza to,  że spełnienie w  dowolnej  c h w i l i  czasu  w a r u n k ó w  wariacji  według  Jourdaina  wymaga  wariacji  czasu.  Przechodzimy  wię c,  zgodnie  z  m e t o d ą  Schenkla  w  zastosowaniu  do  wariacji  p r ę d k o ś c i,  od  ó­procesu  wariacji  izochronicznej  do  ó­procesu  wariacji  asynchronicznej.  D z i ę ki  temu  dokonujemy  przejś cia  od  n i e c a ł k o w a l n y c h  funkcji  czasu  dki  do  c a ł k o w a l n y c h  funkcji  dxt.  Funkcje  dki  są  konstruowane  podobnie,  j a k  funkcje  u  S C H E N K L A .  Z a k ł a d a  się,  że  wariacje  czasu  są  wielkoś ciami  nieskoń czenie  m a ł y m i  wyż szego  r z ę d u,  niż  wariacje  dki  lub  dki.  Dzię ki  wprowadzeniu  wariacji  czasu  w s p ó ł r z ę d ne  doznają  wariacji  6xi  =  =  kidt.  Ze  wzglę du  jednak  na  to,  że  dt jest  wielkoś cią  nieskoń czenie  mał ą  wyż szego  rzę du,  niż  ~6ki,  m o ż e my  z a k ł a d a ć ,  że  dxt  =  0.  W  ten  s p o s ó b  wariacja  w  s k o ń c z o n ym  przedziale  czasu  jest  dokonywana  przy  nastę pują cych  warunkach:  (1)  Wariacja  dxt  jest  w  dowolnej  chwili  czasu  r ó w n a  zeru:  dxt  =  0.  (2)  Wariacja  dxt  Ф  0  i jest  c a ł k o w a l n ą  funkcją  czasu.  (3)  Spełniona  jest  zależ ność  =  dxt,  k t ó r a  oznacza  p r z e m i e n n o ś ć  operacji  (4)  N a  k o ń c a ch  przedziału  spełnione  są  warunki  (<3x,)»,  =  0 ,  (<5х;),2  =  0 .  1 8 )  P.  Jourdain,  Note on an analogue  of  Gauss principle  of  least  constraint,  Quarterly  Journal  of  Pure  and  Applied  Mathematics,  t.  40,  Londyn  1909.  / 2  ЗЛ   (6.2)  di  д .  ZWIĄ ZKI  POMIĘ DZY  ZASADAMI  MECHANIKI  265  P r z e j d ź my  do  budowania  całkowej  formy  zasady  Jourdaina.  W  tym celu  najpierw  obliczamy  wariację   Зл  Зл   (6.4)  ( dT  \  ~ l  3 "  (6.5)  7/7  Зл   8A  =  У (XidXi+XidXi). Przyję te  przez  nas warunki  wariacji  pozwalają  na zastą pienie  w r ó w n a n i u  (6.5)  symbolu  <5  symbolem  ó.  W ó w c z a s  otrzymamy  zwią zek  (6.6)  d_  ~di  Зл   6 A  =  /Xidki.  Odejmując  stronami  r ó w n a n i e  (6.6)  od r ó w n a n i a  (6.5)  mamy  i = i  i = i  i = i  Całkując  tę zależ ność  i  uwzglę dniając  warunki  wariacji  2­4 uzyskujemy  t o ż s a m o ść   №  '  i=i  l2  Зл   dt  =  J  X  (triiXi—X^dXidt,  r,  .=1  z  które j  wynika  c a ł k o w a  forma  zasady  Jourdaina,  mają ca  p o s t a ć  warunku  zerowania  się   nastę pują cej  c a ł k i :  Зл   dt  6A+  /  т&д ъ  dt = 0.  POLITECHNIKA,  WOŁGOGRAD  Praca została  złoż ona  w Redakcji  dnia 14 lipca 1972  r.