Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z3.pdf


M E C H A N I K A 
TEORETYCZNA 
I  STOSOWANA 

3,  11  (1973) 

UGIĘ CIE  OSIOWO­SYMETRYCZNE  PŁYTY  REISSNERA  O  Z M I E N N E J  GRUBOŚ CI 

A N D R Z E J  G A W Ę C KI  ( P O Z N A Ń ) 

1.  Wstęp 

Celem  niniejszej  pracy  jest  wyprowadzenie  r ó w n a ń  podstawowych  dla  osiowo­syme­

trycznego  zginania liniowo­spreż ystej  płyty  Reissnera  o zmiennej  g ru b o ś ci  oraz  p o r ó w n a n i e 

przedstawionej  teorii  z  teoriami  znanymi. 

Osiowo­symetryczne  zginanie  izotropowych, jednorodnych  płyt  Reissnera  o  zmiennej 

gruboś ci  rozważ ał  E S S E N B U R G  [3].  Zależ noś ci  mię dzy  siłami  w e w n ę t r z n y mi  a  przemiesz­

czeniami  przyjął  on  takie  same, j a k  dla  płyt  o  stałej  g r u b o ś c i. 

Pg 

ь  
Rys.  1 

W  pracy  niniejszej  u w z g l ę d n i o no  o r t o t r o p i ę  cylindryczną  i  p o d ł u ż ną  n i e j e d n o r o d n o ś ć  

m a t e r i a ł u  płyty  oraz  wpływ  zmiany  gruboś ci  na  zwią zki  mię dzy  siłami  w e w n ę t r z n y mi 

a  k ą t em  obrotu  i ugię ciem  płyty.  Zasadnicze  założ enia  i  s p o s ó b  p o s t ę p o w a n ia  przy  wypro­

wadzeniu  r ó w n a ń  podstawowych  przedstawiono  w  pracy  [5],  gdzie  r o z w a ż a ny  był  przy­

padek  dowolnej  zmiany  gruboś ci  i  n i e j e d n o r o d n o ś ć  m a t e r i a ł u  płyty. 

2.  Równania  podstawowe 

R o z w a ż a n ia  przeprowadzono  w  walcowym  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y ch  r,  rp, z.  Przyję to, 

że  współczynniki  sprę ż ystoś ci  m a t e r i a ł u ,  g r u b o ś ć  płyty  i  obcią ż enie  są  funkcjami  jednej 

zmiennej  r.  Stanowi to  pewne ograniczenie,  gdyż  ugię cie osiowo­symetryczne  m o ż e  wystą pić  

r ó w n i e ż  przy  innych  założ eniach.  R ó w n a n i a  podstawowe  m o ż na  by  o t r z y m a ć  wprost 

z  r ó w n a ń  podanych  w  pracy  [5]  p r z e c h o d z ą c  z  u k ł a d u  o r t o k a r t e z j a ń s k i e go  do  u k ł a d u 



268  A .  GAWĘ CKI 

walcowego.  Ze wzglę dów  rachunkowych  wygodniej jednak  bę dzie  od p o c z ą t ku  uwzglę dnić  

osiową  symetrię  zadania  przyjmując  fizyczne  w s p ó ł r z ę d ne  t e n s o r ó w  n a p r ę ż e n ia  i  o d k s z t a ł ­

cenia. 

Kosinusy  kierunkowe  dla górnej  i  dolnej  powierzchni  ograniczają cych  płytę  wyraż ają  

się  odpowiednio  wzorami 
,­1/2  ,  /  ,  V­1/2 

(2.1) „._ =  | 1  ­i­ j h 2 (  )., 
dr 

(  ) •  

Zgodnie  z  teorią  R E I S S N E R A  i  przy  uwzglę dnieniu  symetrii  osiowej  m o ż na  przyjąć  nastę­

pują ce  wzory  na  przemieszczenia  i  n a p r ę ż e n i a: 

ur  =  zę (r),  Ы ф  =  0,  u.  —  w(r), 
{2• ­>  !  е ж  _  б мф  

h2 'h/2'  a*~  <угф  — огф — 0 . * h2 h/2 ' 

We  wzorach  (2.2) q>(r) i  w(r)  oznaczają  ś redni  kąt  obrotu  i  ugię cie  płyty,  a  Mr  i  Мф  — 

promieniowy  i  obwodowy  moment  zginają cy. 

Zwią zki  fizyczne  dla przypadku  ortotropii  cylindrycznej  i  symetrii  osiowej  mają  nastę­

pują cą  p o s t a ć  ( p o r ó w n a j  np. [8]): 

(2.3) 

er  =  а11аг+а12О ф+а13аг, 
1 

£ф =  a 1 2 o­ P + a 2 2 o­^­t­a 2 3 o­ z ,  ег ф  =  еф г  =  0, 

ez  =  а13аг  + а23(У ф  +  a33az, 

gdzie  aKL(K,  L  =  1, 2, 3) są technicznymi  w s p ó ł c z y n n i k a m i  sprę ż ystoś ci  m a t e r i a ł u . 

R ó w n a n i a  podstawowe  otrzymano  na podstawie  zasady  E .  R E I S S N E R A  [10].  W  omawia­

nym  przypadku  z zasady  tej  wynika  r ó w n a n i e  wariacyjne: 

(2.4)  б {f  [2 W(a,  e) ­  W  (a)] dV­  f  pg wdSg +  f  pd wdSd +  j  mtpdS­

­  /  /  (afz<p+a*xw)dzdc\ =  0 , 
С  ­ A / 2 

w  k t ó r y m  W(a, e) oraz  W{a) oznaczają  energię  sprę ż ystą  właś ciwą  w y r a ż o ną  odpowiednio 

przez  n a p r ę ż e n ia  i  o d k s z t a ł c e n i a  oraz  tylko  przez  n a p r ę ż e n i a,  symbol  S  oznacza  obszar 

zajmowany  przez  płaszczyznę  ś r o d k o wą  płyty  ograniczony  linią  C.  G w i a z d k a  przy  n a p r ę ­

ż eniach  dotyczy  w a r t o ś ci  brzegowych,  k t ó r e  nie podlegają  wariacji. 

Po  podstawieniu  znanych  w z o r ó w  na  energię  sprę ż ystą  właś ciwą  [1, 8] oraz  po  wyko­

naniu  wariacji  i  c a ł k o w a n i a  przez  czę ś ci  otrzymano  nastę pują ce  r ó w n a n i e : 

(2­5)  f[(**­jk)ÓMr+  [т ­^д*1  +  Ь  ­  №  

+  I ­Mr>r­  jMr+  у М ф  + Q + m) dcp+  l­Q,r­  jQ+P j dw  dS+ 

+  jl(Mr­M*)d<p+(Q­Q*)dw]dC  =  0 , 



UGIĘ CIE  OSIOWO­SYMETRYCZNE  PŁYTY  269 

gdzie  Q jest  siłą  poprzeczną, 

(2.6) 

H / 1  1/2 

1  =  Л (МГ,  М ф ,  Q)  =  f  W(p)dz,  p  =  (Pi­pĄ  1  +  jh
2}  . 

-A/ 2  '  ' 

Z  r ó w n a n i a  (2.5)  otrzymujemy  zależ noś ci  wią ż ą ce  przemieszczenia  z  siłami  w e w n ę t r z n y mi 

(2.7)  <P.r  = 
д Л   1 

9 

д Л  

д Мф' 
<p+w>r  = 

д Л  

dQ  •  д М ,  '  г  

r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  płyty 

(2.8)  (rMr\r­M*  =  (Q +  m)r 

oraz  warunki  brzegowe  Mr  =  M*,  Q  =  Q*. 

W  celu  wyznaczenia  funkcji  Л (МГ,  М ф ,  Q)  należy  obliczyć  nie  znane jeszcze  n a p r ę ż e n ia 

azr  i  az.  N a p r ę ż e n ia  te  wyznaczono  przy  wykorzystaniu  róż niczkowych  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i 

n a p r ę ż e ń,  w a r u n k ó w  na  powierzchniach  Sg  i  Sd  oraz  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  płyty  (2.8). 

Wzory  na  a.r  i  a.  mają  nastę pują cą  p o s t a ć : 

(2.9)  Oz  = 
31 

4 \ ­*[Ш_т( h/2  A / 2 ) 
z 

Jj2 
­2Mr 

Jeż eli  przy  c a ł k o w a n i u  funkcji  W(<x)  w  obszarze  g ru b o ś ci  płyty  u w z g l ę d n i my  wzory 

(2.9)  i  zróż niczkujemy  funkcję  Л (МТ,  М ф ,  Q)  zgodnie  z  r ó w n a n i e m  (2.7),  to  otrzymamy 

r ó w n a n i a  wią ż ą ce  przemieszczenia  z  siłami  w e w n ę t r z n y mi  w  postaci  jawnej, 

М г /и +М ф /^+С /и  =  fw  P +  <p,r, 

(2­10)  Mrf2i  + Mtf22+Qf23  =  f20p+<pjr, 

мг/31+М ф /32+с >/33  =f30p+<p+w,r, 
gdzie  współczynniki fAB  =  fBA  oraz fAo  (A,  B,  =  1,  2,  3)  są  funkcjami  zmiennej  r : 

(2.11) 

/ 11 

/ 12 

У 13 

/ 10 

/ 22 

1 2 я ц   9a  6a, 
+  ^ A , r + ^ ( A > r r A  +  Afr)  + 

З а, 

=  / 21  = 

=  / з !  = 

6 а 1 3 

5/г3 

1 2 а 1 2 

140/г3 
(2h2rh

2  +  Uh%­2h,„h2rh), 

З а  s: 

'  5h2 

З а3 3 

+ 4^А .,+  ^ ­ ( А ,  rrh+h2r)+  J ^ { 2 h r r h r h ­ h % 5h2r' 
! ­ A , r  + 

6а ts 
А.г  + 

З а, 

5А  +  140А  

1 2 а 2 2  6а23  З а33 

5Л 2 г  

5А2  " • г  '  70А2 

(З А ,Г ГА +  2 А
2 ) , 

Afr. 

140A2r 

( 2 A , r r A , r A ­ A
3

P ) , 

70Ar 2 



270  A .  GAWĘ CKI 

(2.11) 

[ C d.] 

fu 

/20 

/ з з  

6a23  9a33 
5A 

6 5̂5 

140r 

5h  +  35h  ,r' 

9o, 
/30  yQ  n,r  • 

R ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  płyty  (2.8)  łą cznie  z  r ó w n a n i a m i  (2.10)  stanowią  r ó w n a n i a 

podstawowe  omawianego  problemu. 

3.  Równania  róż niczkowe  płyty 

P o n i e w a ż  w  zadaniu  osiowo­symetrycznym  budowa  wzoru  na  siłę  p o p r z e c z n ą  jest 

znana,  r ó w n a n i a  róż niczkowe  płyty  otrzymuje  się stosunkowo  prosto.  Jeś li  w  wyraż eniu 

na  siłę  p o p r z e c z n ą  wystę puje  nieznana  reakcja,  którą  wyznacza się z w a r u n k ó w  brzegowych, 

to  reakcja  ta  pełni  rolę  stałej  c a ł k o w a n i a .  W  celu  wyprowadzenia  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch 

płyty  w  pierwszej  kolejnoś ci  rozwią ż emy  u k ł a d  r ó w n a ń  algebraicznych  (2.10)!  i  (2.10)2 
ze  wzglę du  na Mr  i М ф .  Rozwią zanie  to napiszemy  w postaci: 

(3.1) 

gdzie 

(3.2) 

М ф  

I  d  . 
ygi2+gii­^)<p­Bi3Q+B10p, 

­ « 2 2 + # 2 1  'd).  l '
  / ;  °  A  ' / ' ' 

Ł 11  = 
/ 2 : 

fllf22~fl2 
g\2  = gzi  =  ­

2 

/ l l / 2 2 — / l 2 2 
^22  = 

ft  \f22~fi2 

/ П / 2 2 ­ / 12  Ф 0,  BtJ  = ^gufif,  0  =  1, 2 ; j  =  0, 3). 

R ó w n a n i e  r ó ż n i c z k o we  funkcji  k ą ta  obrotu  otrzymuje  się po  podstawieniu  r ó w n a ń  

(3.1)  do  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  ( 2 . 8 ) t : 

(3.3) 
, 1  d\  / 1  d' 
\~gl2+g^)9[r­[­g22+g2l­dy)4> 

=  (rBl3Q),r­B23Q  + (Q +  m)r­(rBl0p)ir+B20p. 

R ó w n a n i e  (2.10)3  służy  do  wyznaczenia  ugię cia  płyty.  Uwzglę dniając  wzory  (3.1) 

otrzymano  nastę pują ce  r ó w n a n i e  r ó ż n i c z k o we  funkcji  ugię cia: 

(3.4) 

w, f  ­  j ­ 1  +  jB23+B13  ­ ^ ­ j <p+(/33  ­ / i s ­ B i s  ­ / 2 3  B23)Q  +  ( ­ / 3 0  + / 1 3 5 , o + / 2 3  B20)p. 

R ó w n a n i a  (3.3) i  (3.4) są poszukiwanymi  r ó w n a n i a m i  r ó ż n i c z k o w y mi  płyty. 

file:///f22~fi2


UGIĘ CIE  OSIOWO­SYMETRYCZNE  PŁYTY  271 

Z  budowy  wyraż enia  opisują cego  p r a c ę  sił  na  brzegu  płyty  (2.5)  wynika  s p o s ó b  formu­
ł o w a n i a  w a r u n k ó w  brzegowych.  W a r u n k i  te,  j a k  w i d a ć ,  są  takie  same,  j a k  w  teorii 

klasycznej.  N a  brzegu  płyty  m o ż e my  spełnić  dwa  warunki  ustalając  siłę  p o p r z e c z n ą  Q* 

lub  ugię cie  w*  oraz  moment  promieniowy  M*  lub  k ą t  obrotu  ę *.  L i c z b a  stałych  c a ł k o ­

wania  bę dzie  o d p o w i a d a ł a  liczbie  w a r u n k ó w  brzegowych,  jeś li  uwzglę dnimy,  że  rolę  

czwartej  stałej  pełni  nieznana  reakcja  wystę pują ca  w  w y r a ż e n iu  na  siłę  poprzeczną. 

4.  Równania  róż niczkowe  płyty  izotropowej  przy  pominię ciu  wpływu  poprzecznych  naprę ż eń  normalnych 

G A N O W I C Z  [4]  rozważ ając  działanie  siły  skupionej  na  płytę  Reissnera  o  stałej  g ru b o ś ci 

w y k a z a ł ,  że  rozwią zanie  osobliwe  nie  jest jednoznaczne.  W a r u n k i  j e d n o z n a c z n o ś ci  spełnia 

jedynie  pewna  czę ść  rozwią zania.  P o z o s t a ł a  czę ść  rozwią zania  spełnia  r ó w n a n i a  r ó w n o ­

wagi,  r ó w n a n i e  r ó ż n i c z k o we  płyty  i  warunki  brzegowe,  nie  spełnia  natomiast  r ó w n a n i a 

wyraż ają cego  treść  twierdzenia  Bettiego  o  wzajemnoś ci  prac.  Z  dalszych  r o z w a ż ań  wynika, 
że  n i e j e d n o z n a c z n o ś ć  rozwią zania  nie  wystę puje,  jeż eli  pominiemy  wpływ  n a p r ę ż eń  az, 

j a k  to  m a  miejsce  na  p r z y k ł a d  w  płycie  trój warstwowej.  W a r t o  d o d a ć ,  że  wielu  a u t o r ó w , 

np.  K A C Z K O W S K I  [7],  również  przyjmuje  a.  =  0 . 

Przejdziemy  obecnie  do  szerszego  o m ó w i e n i a  uproszczonego  modelu  izotropowej 

płyty  Reissnera,  w  k t ó r y m  pominiemy  wpływ  poprzecznych  n a p r ę ż eń  normalnych. 

We  wzorach  (2.11)  trzeba  wówczas  założ yć,  że  funkcje  aB3  =  a3B  =  0  (B  =  1,  2,  3). 
Ostatecznie  uzyskujemy  nastę pują ce  r ó w n a n i a : 

(4.1) 

(4.2) 

^  1 2 ( 1 + » )  _  4pT 

E(r)  i v(r)  oznaczają  odpowiednio  m o d u ł  Y o u n g a  i w s p ó ł c z y n n i k  Poissona.  W s p ó ł c z y n n i k a 

u w z g l ę d n ia  w p ł y w  sił  poprzecznych  na  ugię cie.  W  naszym  przypadku  % =  1.  W a r t o  z w r ó ­
cić  u w a g ę ,  że  jeż eli  w  r ó w n a n i a c h  (4.1)  i  (4.2)  przyjmiemy  /л  =  0  i  % =  0 ,  to  otrzymamy 
r ó w n a n i a  dla  płyty  klasycznej.  Jeż eli  natomiast  ц  =  0  i  % =  1,  to  r ó w n a n i a  (4.1)  i  (4.2) 
przyjmują  p o s t a ć  p o d a n ą  przez  E S S E N B U R G A  [3]  dla  przypadku,  gdy  p  =  m  =  0  oraz 

E,  v  =  const 



272  A .  GAWĘ CKI 

P o n i e w a ż  c a ł k o w a n i e  r ó w n a n i a  (4.2)2  przy  znanej  funkcji  <p(r) sprowadza  się  do  kwa­

dratur,  przeanalizujemy  bliż ej  r ó w n a n i e  (4.2),.  W celu  zapisania  tego  r ó w n a n i a  w postaci 

bezwymiarowej  wprowadzimy  nastę pują ce  oznaczenia: 

0  =  ^ ­ ;  (R  =  const);  E(Q)  =  EI  ф );  h(o)  =  h^ig);  D(Q)  =  B.Bio); 

(4.3) 

*<e) =  i y i
e ) r  s ;  ^  = 4^;  * . ­ A ( D ;  A  =  D ( i ) . 

1 — VZ(Q)+IU(Q)  12 

Uwzglę dniając  powyż sze  oznaczenia  r ó w n a n i e  (4.2)x  przyjmuje  p o s t a ć  

cp  =  n(Q,Q), (4.4)  [(QB)<pJ,P+  (VB),P­^(\ 
Q 

gdzie  n(o,  Q) = A J ^ g + m ) ­  g ­ 3 ( 1 ^ Г *  j  б   v 3 ( 1 _ y 2 + i t ł )
  y J 

Jeż eli  wprowadzimy  n o w ą  funkcję  Z(Q),  zwią zaną  z  funkcją  <p(o)  zależ noś cią  cp = 

=  (BQ)~ZI2  (por.  [9] s. 391),  to otrzymamy  r ó w n a n i e ,  w k t ó r y m  z n i k a  pierwsza  pochodna: 

(4.5)  z,PP  +  J(Q)z  =  TC(Q,Q). 

Funkcja  J(Q)  jest  niezmiennikiem  r ó w n a n i a  i w y r a ż a  się  wzorem 

(4.6)  Ą Q)  =  ­  |  [ln(ei?)],pp - I  DnfeiflU  +  у  \ln(vB)lP­  . 
Z 4  Q  Q 

Przedstawimy  obecnie  dwa  przypadki,  w  k t ó r y c h  m o ż na  o t r z y m a ć  ś cisłe  rozwią zanie 

r ó w n a n i a  (4.4). 

(1)  Jeś li  współczynnik  przy  funkcji  cp jest  r ó w n y  zeru,  a  więc  gdy 

In^­B)  =  Г ̂ L d Q ;  v Ф  O, 
J  vp 

to 

^ )  =  C 1 / ^ + C 2 > 

gdzie  Ci i C 2 są stałymi  c a ł k o w a n i a . 

(2)  Jeś li  g r u b o ś ć  płyty  zmienia  się liniowo ,  tzn. gdy  T(Q)  =  ^r^j£  (no  =  A(0)), 

v  =  const,  а . В =  QS,  gdzie  s  jest  liczbą  rzeczywistą,  to  r ó w n a n i e  (4.4)  m o ż na  z a p i s a ć  

w  nastę pują cej  formie: 

(4.7)  e 2 9 \ p p + ( l + * ) e 9 \ , + [ w ­ ( 1  +l*)]<p  =  Q ­ s + 1 ­ n ( Q , Q ) . 

Jest  to  r ó w n a n i e  Eulera,  dla k t ó r e g o  r ó w n a n i e  charakterystyczne  przybiera  niż ej  p o d a n ą  

p o s t a ć : 

k2+ks+[sv­(l+fi)]  =  0 . 



UGIĘ CIE  OSIOWO­SYMETRYCZNE  PŁYTY  273 

P o n i e w a ż  w y r ó ż n ik  tego  r ó w n a n i a  A  = s2— 4sv+4(l+fz)  jest  zawsze  dodatni  (fi ^  0; 

0  ^  v <  0,5),  pierwiastki  kt  i k2  są  rzeczywiste.  Rozwią zanie  o g ó l n e  r ó w n a n i a  (4.7)  jest 

n a s t ę p u j ą c e: 

(4.8)  <P(Q) = cV'+c2e**+c>0(e), 
gdzie 

(4.9) 
1 

­ y j ± \ Q , 2 5 s 2 — v s + l + f i  , 

a  cpoic) jest  całką  szczególną. 
Funkcja  m o d u ł u  Y o u n g a  r](g)  musi  z m i e n i a ć  się  według  wzoru 

(4.10)  г /(0)  =  e s ( l ­ " 2 + / " ) 
ho  T+R 
h0 T+  RQ 

Należy  zwrócić  u w a g ę ,  że  wiele  ś cisłych  rozwią zań  r ó w n a ń  liniowych  o  specjalnej 

budowie  zmiennych  w s p ó ł c z y n n i k ó w  p o d a ł  K A M K E  [6].  W  bardziej  złoż onych  przypad­

kach,  o  ile rozwią zanie  jest  regularne,  m o ż na  s t o s o w a ć  metody  p r z y b l i ż o n e.  Jeś li  w s p ó ł ­

czynniki  r ó w n a n i a  są analityczne,  to  rozwią zanie  p r z y b l i ż o ne  uzyskuje  się  m e t o d ą  współ­

c z y n n i k ó w  nieoznaczonych,  k t ó r ą  do  potrzeb  inż ynierskich  p r z y s t o s o w a ł  W I E R Z C H O L S K I 

w  pracy [11]. 

5.  Przykład 

R o z w a ż y my  szczegółowo  j e d n o r o d n ą  płytę  pierś cieniową  o  gruboś ci  zmieniają cej  się  

liniowo  w e d ł u g  funkcji  h(g) = —Q  ( p o r ó w n a j  rys. 2).  Obcią ż enie  płyty  stanowi  siła  P, 

b ę d ą ca  w y p a d k o w ą  sił  r ó w n o m i e r n i e  r o z ł o ż o n y ch  na obwodzie  w e w n ę t r z n ym  o  promieniu 

r  =  IR.  W z d ł u ż  g ru b oś ci  płyty  n a p r ę ż e n ia  styczne  zmieniają  się  zgodnie  z  prawem 

r o z k ł a d u  (2.9) X .  Podobny  przypadek  rozważ ali  C O N W A Y  [2]  i  E S S E N B U R G  [3].  Pierwszy 

z  wymienionych  a u t o r ó w  posłuż ył  się  teorią  klasyczną,  drugi  — pewną  u p r o s z c z o n ą  teorią  

R E I S S N E R A  (por.  p.  1). 

6  Mechanika Teoretyczna  3/73 



274  A .  GAWĘ CKI 

W  niniejszej  pracy  ograniczymy  się do podania  szkicu  rozwią zania,  p o n i e w a ż  sformu­

ł o w a n e  wyż ej  zadanie  jest  przedmiotem  innej  pracy  autora.  W  omawianym  zadaniu  siła 

poprzeczna  jest  znana  i  wynosi:  Q =  —PJITIRO.  R ó w n a n i e  r ó ż n i c z k o we  k ą ta  obrotu 

otrzymamy  k ł a d ą c  w r ó w n a n i u  (4.7) s =  3. W ó w c z a s  mamy  przypadek  płyty  jednorodnej 

(E  =  const).  W z o r y  na przemieszczenia i siły  w e w n ę t r z ne  są  nastę pują ce: 

P R 

<P(Q)  =  2^(CiQ­3­k+c2e
k+oce­2), 

мг(е )  =  ­^[­(3+k­v)c1Q­
1­k+(k+v)c2Q

2+k­p], 

M*(Q)  =  ­^[(l­3v­kv+fi)Cie­
i­k  +  (l­hkv+fi)C2Q

2+k+l­li], 
/ TT 

W(Q) 
PR'  Cy  /,  Ъ+k­v  \ . k  C2  L  ,  k+v 

2 + kY  r  3 ( 1 Г  l+k  Y  " r  3(l­v2+/n) 

i  (1+J»)  0 1 , 1 

a  = 
3(l­v)+p[  M3(l­v2+,u) 

R=  2 ~ v  4 .  1  /  ( 1 ­ y )  ( 2 ­ y ) 
P  3(1 ­ v ) +/,  + ^  3 ( 1 ­ v 2  H ­ ^ H  3(1­v)+fi  )' 

k ­ k  D  ­  E l h l 
* ­ k l '  D l  ~  12(l­v2+lu)­

R o z w i ą z a n ie  płyty  powinno spełniać trzy warunki brzegowe:  <р (ои) =  M r ( g i )  =  W(QU) = 

=  0, z k t ó r y c h  wyznaczono stałe  c a ł k o w a n i a  Ct,  C2 i C3.  Podane  wyż ej  wzory  umoż liwiają  

p o r ó w n a n i e  w y n i k ó w  teorii  Conwaya  (ji — % = 0)  i  teorii  Essenburga  (/л =  0,  % = 1) 

z  w y n i k a m i  niniejszej  pracy  (ц ф 0,  % =  1). Z  obliczeń  wykonanych  przez  autora  oraz 

z  budowy  w z o r ó w  na funkcję  ką ta  obrotu  i momenty  zginają ce  wynika,  ż e1 * 

<Pc  =  9>E  >  <P;  wc  < w < wE;  MRC  =  MRE  >  М /,  МФ С  =  МФ Е  >  МФ  

oraz  QC  =  g „ = (3. 

D l a  ilustracji  podanych  wyż ej  w y w o d ó w  przytoczymy  k i l k a  w a r t o ś ci  liczbowych 

(v =  1/3). 

T=  3,  6 l  =  1,  QU =  4 : y ( l )  =  45,0554  P\2nER
2 

9?c(l)  =  45,4736  P\2nER2 

M r ( 4 )  =  ­ 0 , 3 8 0 5  Р / л,  Л /к ;(4)  =  ­ 0 , 3 8 1 6  Р / л ;. 

1 }  Indeks  С — teoria  Conwaya  (klasyczna),  indeks  E — teoria  Essenburga.  Wartoś ci  bez  indeksu 
ą  obliczone  według  wzorów  podanych  w niniejszej  pracy. 



UGIĘ CIE  OSIOWO­SYMETRYCZNE  PŁYTY  275 

T  =  2 ] / 2 , (?[ =  1,  QU =  \Z2:w/wc  = 2,04 

nu  =  2:  и '/и 'с  =  1,33 

g„  =  4:  vv/ivc  = 1 , 1 7 

o „ ­ >  oo: w/tvc  =  1,07; 

g u  ­>  1:  и '/и 'с  ­» co; 

T=2,Qi  =  1,  g „ ­ >  GO:  И '/И ­С  =  1,25; 

W9»c  =  0,965 

T  =  I,  Qi =  1,  Qu ­*  с о: и '/и 'с  — 1,76; 

<p/c>c =  0,805 

H ^ / W C  = 2,23, 

Wf/vvc  =  1,41, 

и ­£ / и 'с  =  1,19, 

wE/wc  =  1,11, 

WE/WC  ­*  co. 

M r / M r C  =  0,0972, 

M P / A f r C  =  0,992, 

6.  Podsumowanie 

1. R ó w n a n i a  podstawowe  dla osiowo­symetrycznego  zginania  ortotropowej  płyty  Reis­

snera  o  zmiennej  gruboś ci  mają  złoż oną  b u d o w ę .  U k ł a d  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  płyty 

s k ł a d a  się z  r ó w n a n i a  zwyczajnego  drugiego  r z ę du  o  zmiennych  w s p ó ł c z y n n i k a c h  i z  rów­

nania  zwyczajnego  pierwszego  r z ę d u.  W a r u n k i  brzegowe  formułuje  się  tak  samo,  j a k 

w  teorii  klasycznej. 

2.  P o m i n i ę c ie  wpływu  n a p r ę ż eń  normalnych  az  upraszcza  w  s p o s ó b  istotny  r ó w n a n i a 

podstawowe  zagadnienia.  W s p ó ł c z y n n i k i  r ó w n a ń  podstawowych  w  takim  przypadku 

zależą  od funkcji  gruboś ci  płyty  i jej pierwszej  pochodnej. 

3.  P r z y k ł a d  podany  w p. 5 niniejszej  pracy  ilustruje  fakt,  że dla  modelu  płyty  Reissnera 

o  zmiennej  gruboś ci,  w  k t ó r y m  p o m i n i ę to  wpływ  poprzecznych  n a p r ę ż eń  normalnych, 

w a r t o ś ci  m o m e n t ó w  zginają cych  i  k ą t ów  obrotu  odbiegają  od  w a r t o ś ci  wyznaczonych  na 

gruncie  teorii  klasycznej.  Jest  to  zasadnicza  r ó ż n i ca  w  nawią zaniu  do  teorii  płyt  o  stałej 

g r u b o ś c i,  gdzie  momenty  i  ką ty  obrotu  w obu teoriach  są identyczne  (por.  [7],  s.  213). 

4.  Uproszczenie  wprowadzone  przez  E S S E N B U R G A  [3],  polegają ce  na  przyję ciu  zależ­

noś ci  p o m i ę d zy  siłami  w e w n ę t r z n y mi  a  przemieszczeniami,  tak j a k  w  p ł y t a c h  o  gruboś ci 

stałej,  daje  nieco  wyż sze  w a r t o ś ci  m o m e n t ó w  zginają cych,  ką ta  obrotu  i ugię cia  od  w a r t o ś ci 

wyznaczonych  w  s p o s ó b  ś cisły.  U w a g a  powyż sza  wynika  z p r z y k ł a d u  płyty  pierś cieniowej, 

r o z w a ż a n e go  w p.  5. W  innych  przypadkach,  np. w  p ł y t a c h  o  duż ej  zmianie  gruboś ci  lub 

innych  warunkach  brzegowych,  uproszczenie  Essenburga  m o ż e  p r o w a d z i ć  do  wię kszych 

róż nic. 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1.  C A .  А М Б А Р Ц У М Я Н,  Т е о р и я  а н и з о т р о п н ы х  о б о л о ч е �,  Г о с.  И з д.  Ф Л з . ­ М а т.  Л Л т .,  М о с к ва  1961. 
2.  Н . D .  C O N W A Y ,  77ie bending of symmetrically loaded circular plates of variable thickness,  J .  Appl.  Mech., 

1, 1­6  (1948). 
3.  F .  ESSENBURG, On axially symmetrical plates of variable thickness,  J .  Appl. Mech.,  25,4, 625­626 (1958). 
4.  R.  GANOWICZ,  Wybrane  zagadnienia  teorii  płyt  Reissnera  i teorii  płyt  trójwarstwowych,  Mech.  Teor. 

i  Stos., 4, 3, 55­95 (1966). 
5.  A . G A W Ę C K I,  Statyka podłuż nie  niejednorodnej płyty  Reissnera  o zmiennej  gruboś ci,  Rozpr.  Inż yn., 20, 

4,  555­576, (1972). 

6* 



276  A .  GAWĘ CKI 

6.  E .  К А М К Е,  Differentialgleichungen,  Lbsungsmethoden  und Lbsungen,  Leipzig  1951,  Akademische 
Verlagsgesellschaft  Geest  u.  Portig  K . ­ G . 

7.  Z.  KACZKOWSKI,  Płyty.  Obliczenia statyczne,  Arkady, Warszawa 1968. 
8.  С. Г.  Л Е Х Н Н Ц К Ц Й,  А н и з о т р о п н ы е  п л а с т и н к и ,  Г о с т е х и з д а т,  1957. 
9.  N . М.  MATWIEJEW,  Metody  całkowania  równań  róż niczkowych  zwyczajnych,  PWN, Warszawa  1970. 

10.  E . REISSNER,  On a variational theorem in elasticity,  J . Math. Physics,  29, 90­95, (1950). 
U . K .  WIERZCHOLSKI,  Rozwią zania  równań  róż niczkowych  n­tego  rzę du  wystę pują cych  w mechanice,  Roz­

prawy  Inż yn.,  20, 2,  153­165  (1972). 

Р е з ю ме  

О С Е С И М М Е Т Р И Ч Н ЫЙ  И З Г ИБ  П Л А С Т И Н КИ  Т И ПА  Р Е Й С С Н Е РА  
П Е Р Е М Е Н Н ОЙ  Т О Л Щ И НЫ  

О с н о в н ые  у р а в н е н и я,  о п и с ы в а ю щ ие  з а г л а в н ую  з а д а ч у,  п о л у ч е ны  на  о с н о ве  п р и м е н е н ия  в а р и а­
ц и о н н ой  т е о р е мы  Э.  Р е й с с н е ра  к  а н и з о т р о п н о м у,  л и н е й н о ­у п р у г о му  т е л у.  У р а в н е н ия  с в е д е ны  
к  у р а в н е н и ям  в  п е р е м е щ е н и я х,  в  к о т о р ых  н е и з в е с т н ы ми  ф у н к ц и я ми  я в л я ю т с я:  у г ол  п о в о р о та  
л и н е й н о го  э л е м е н та  н о р м а л ь н о го  к  с р е д и н н ой  п л о с к о с ти  и  п р о г иб  п л а с т и н к и. 

Д а л е е,  и с х о дя  из  р е з у л ь т а т ов  п о л у ч е н ых  Р.  Г а н о в и ч ем  [4],  п р е д п о л а г а е т с я,  ч то в л и я н и ем  
п о п е р е ч н ых  н о р м а л ь н ых  н а п р я ж е н ий  м о ж но  п р е н е б р е ч ь.  П р е д с т а в л е ны  н е к о т о р ые  м е т о ды р е­
ш е н ия  с и с т е мы  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  у р а в н е н и й,  о п и с ы в а ю щ их  д а н н ую  з а д а ч у.  П о л у ч е но  т о ч н ое  
р е ш е н ие  д ля п л а с т и н ки  с  л и н е й но  и з м е н я ю щ е й ся  т о л щ и н о й.  В з а к о н ч е н це  п р и в о д и т ся  ч и с л о в ой  
п р и м ер  д ля  к о л ь ц е в ой  п л а с т и н к и.  Р е з у л ь т а ты  в ы ч и с л е н ий  с р а в н е ны  с р е з у л ь т а т а м и,  п о л у ч е н н ы ми  
Г.  Д .  К о н в е й ем  [2]  и  Ф .  Э с с е н б у р г ем  [3]. 

S u m m a r y 

T H E  A X I A L L Y  S Y M M E T R I C A L B E N D I N G  O F  REISSNER'S  P L A T E  O F V A R I A B L E  THICKNESS 

The  fundamental  equations of the problem indicated in the title are derived by means of the E.Reissner 
variational  principle applied  to the anisotropic,  linearly  elastic  body.  The  equations are written  in terms 
of  «average  displacements»  (i.e.: angle of rotation  of the linear element  normal to the middle  surface of 
the plate and its deflection).  Starting from results obtained  by R. Ganowicz [4], the influence  of transversal 
normal  stress is neglected.  Methods  of solutions  of displacement  equations are disscussed. An exact so­
lution  for a particular case of linear  variation of plate thickness is given.  This solution  is applied  to the 
numerical  example  of the annular plate.  The comparison  with  results obtained  by H . D .  Conway  [2]  and 
F.  Essenburg  [3]  is  presented. 

POLITECHNIKA  POZNAŃ SKA 

Praca  złoż ona  została  w Redakcji  dnia  8  lutego  1973 r.