Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z3.pdf


M E C H A N I K A 
TEORETYCZNA 
I  STOSOWANA 

3,  11  (1973) 

DRGANIA  ŁOPAT  Ś MIGŁA* 

J E R Z Y  M A R Y N I A K ,  W A C Ł A W  MIERZEJEWSKI,  J Ó Z E F  K R U T U L  ( W A R S Z A W A ) 

1.  Wstęp 

N a  p r z y k ł a d z i e  ł o p a t y  ś migła  ogonowego  ś migłowca  (rys.  1)  przedstawiono  obliczenia 
czę stoś ci  i  postaci  d r g a ń  własnych.  Stosując  szereg  u p r o s z c z e ń  przyję tego  modelu  dy­

skretnego,  otrzymane  w y n i k i  obliczeń  analitycznych  [8]  p o r ó w n a n o  z  wynikami  d o ś w i a d­
czalnymi  [6]. 

Zbadano  również  wpływ  o b r o t ó w  ś migła  na  czę stoś ci  i  postacie  d r g a ń  w ł a s n y c h  [9] 

i  p o r ó w n a n o  z  otrzymanymi  postaciami  dla  ł o p a t y  utwierdzonej  sztywno. 

Z n a j o m o ś ć  czę stoś ci  i  postaci  d r g a ń  własnych  m o g ą  służ yć  j a k o  dane  wyjś ciowe  do 

obliczeń  dynamicznych,  np.  okreś lenia  krytycznej  p r ę d k o ś ci  flatteru,  j a k  również  jako 

dane  p o r ó w n a w c z e  dla  nowych  konstrukcji  lub  weryfikacji  j u ż  gotowych  p r o d u k t ó w . 

Ł o p a t y  ś migła  posiadają ce  identyczne  r o z k ł a d y  wę złów  i  te  same  czę stoś ci  dla  szeregu 

postaci  d r g a ń  własnych  muszą  nie  tylko  p o s i a d a ć  p o d o b i e ń s t wo  geometryczne,  ale  i  z b l i ­

ż o ny  r o z k ł a d  mas  i  sztywnoś ci. 

Czę stoś ci  i postacie  d r g a ń  w ł a s n y c h  m o ż na  wyznaczyć  na  drodze  eksperymentu  poprzez 

p r ó b y  rezonansowe  stosując  metody  przedstawione  w  pracach  [1],  [2],  jak  również  na 

drodze  obliczeń  analitycznych. 

*'  Fragment niniejszej pracy byl  przedstawiony na  VII  Polsko­Czechosłowackiej  Konferencji Dynamiki 
Maszyn,  Gliwice  1971. 

Rys.  1.  Ś migło  ogonowe  ś migłowca 



230  J .  M A R Y N I A K ,  W .  M I E R Z E J E W S K I ,  J .  K R U T U L 

Przy  wykonywaniu  obliczeń  dane  dotyczą ce  geometrii  mas  i  r o z k ł a d u  sztywnoś ci 

zostały  przyję te  z  p o m i a r ó w  wykonanych  w  Katedrze  M e c h a n i k i  Wydziału  M e c h a n i ­

cznego  Energetyki  i  Lotnictwa  Politechniki  Warszawskiej  [7].  D o  obliczeń  stosowano 
znane  metody  przedstawione  mię dzy  innymi  w  [5]  i  [10].  Wyznaczanie  czę stoś ci  i  postaci 
d r g a ń  własnych  ł o p a t y  ś migła  s p r o w a d z a ł o  się  do  obliczeń  wartoś ci  własnych  i  w e k t o r ó w 

w ł a s n y c h  macierzy  symetrycznych  otrzymanych  po  odpowiednich  przekształceniach 

z  r ó w n a ń  opisują cych  swobodne  drgania  ś migła. 

Drgania  gię tne  wirują cej  ł o p a t y  ś migła  [9]  przeprowadzono  stosując  m e t o d ę  trzech 
m o m e n t ó w  z a s t o s o w a n ą  przez  MORRISA  i  T Y E ' A  [5]. 

2.  Pomiary rezonansowe 

Pomiary  rezonansowe  wykonano  na  sztywno  utwierdzonej  łopacie  ś migła  za  p o m o c ą  

w z b u d n i k ó w  elektrodynamicznych  wzbudzają cych  sinusoidalne drgania  w zakresie  czę stoś ci 

3­800  H z .  Pomiaru  amplitud  i  faz  w  poszczególnych  punktach  ł o p a t y  dokonano  przy 
pomocy  czujników  indukcyjnych.  W  celu  d o k ł a d n e g o  wyznaczenia  l i n i i  wę złów  na  ł o ­

Rys.  2.  Wizualizacja  linii  wę złów  postaci  drgań  własnych  łopaty  ś migła  przy  czę stoś ci  176  Hz:  a)  łopata 
nieruchoma pokryta trocinami dę bowymi,  b) łopata  wzbudzona — widoczne przemieszczenia się trocin do  linii 
wę złów,  c)  łopata  wzbudzona — tworzenie się linii wę złów,  d)  łopata  wzbudzona —  linie wę złów  uformowane 

pacie  ś migła  zastosowano  wizualizację  postaci,  p o k r y w a j ą c  ł o p a t ę  r ó w n o m i e r n i e  suchymi 

trocinami  d ę b o w y mi  (rys.  2).  K a ż da  z  otrzymanych  postaci  z o s t a ł a  sfotografowana, 
co  u m o ż l i w i ło  p o r ó w n a n i e  z  postaciami  otrzymanymi  na  drodze  p o m i a r ó w  amplitud 

i  faz.  W  ten  s p o s ó b  wyznaczono  10  kolejnych  postaci  d r g a ń  własnych  i  o k r e ś l o no  ich 
czę stoś ci  [6];  przedstawione  one  są  w  tablicy  1  i  na  rys.  6­11. 



D R G A N I A  Ł O P A T  Ś M I G ŁA  231 

3.  Obliczenia  analityczne  czę stoś ci  i  postaci  drgań  swobodnych  łopaty 

Obliczenia  przeprowadzono  dla modelu  ł o p a t y  ś migła  z  dyskretnie  r o z ł o ż o n y mi  para­

metrami  dynamicznymi. 

1 2 3 4 5 6 7 8 9  W  11 

Rys.  3.  Podział  łopaty  ś migła  na segmenty i rozkład  mas punktowych 

Ł o p a t ę  ś migła  podzielono  na  11  s e g m e n t ó w  (rys.  3),  k t ó r e  z a s t ą p i o no  punktowymi 

masami  skupionymi  m  przypisując  i m  momenty  bezwładnoś ci  s e g m e n t ó w  Jv  wzglę dem 
osi  p o d ł u ż n ej  oraz  u w z g l ę d n i o no  wpływ  bezwładnoś ci  o b r o t ó w  poprzecznych  / „  i  od­

kształceń  postaciowych  w  płaszczyź nie  ugię cia  (rys.  4). 

oi podtuina 

Rys.  4.  Układ  osi,  przyję tych  przemieszczeń  
ugię cia  Yi skrę cenia  (pi i  obrotu poprzecznego  a ; 
oraz  położ enie  masy  skupionej  m(  i  momentów 
bezwładnoś ci  wzglę dem  osi podłuż nej Jfp i  osi po­

przecznej  Ja 

Rys.  5.  Układ  przyję tych  przemieszczeń  i  s i ł 
działają cych  na  dwa  są siednie  segmenty  łopaty 
ś migła,  M—moment  zginają cy,  L — moment 

skrę cają cy,  Q — siła  tną ca 

W  przyję tym  modelu  u w z g l ę d n i o no  przez  odpowiednie  współczynniki  w p ł y w o w e 

sztywnoś ci  gię tne  C",  s k r ę t ne  (У ,  obrotowe  С "  oraz  sprzę ż enie  sztywnoś ciowe  g i ę t n o­

obrotowe  C "  =  Cz.  P o m i n i ę to  wpływ  t ł u m i e n i a  w e w n ę t r z n e go  i  sprzę ż enia  s z t y w n o ś c i o­

we  g i ę t n o ­ s k r ę t ne  С **  =  С  =  0  oraz  s k r ę t n o ­ o b r o t o we  С  =  C * =  0. 

Odpowiednie  przyję cie  osi  p o d ł u ż n y ch  i  poprzecznych  s e g m e n t ó w  (rys.  4)  j a k o  osi 

głównych  s p o w o d o w a ł o  wyeliminowanie  m o m e n t ó w  dewiacji.  W  przyję tym  o g ó l n y m 

modelu  u w z g l ę d n i o no  sprzę ż enia  b e z w ł a d n o ś c i o we  d r g a ń  g i ę t n o ­ s k r ę t n y c h. 



232  J .  M A R Y N I A K ,  W .  M I E R Z E J E W S K I ,  J .  K R U T U L 

D l a  tak  przyję tego  dyskretnego  modelu  ś migła  (rys.  3,  4,  5)  na  podstawie  [5]  i  [10] 
otrzymano  u k ł a d  r ó w n a ń  w  postaci: 

(1) 

Y 

+ 

[C'­] 

[0] 

[ - с ч  

[0]  [ ­ С Ч  

[ C w ]  [0] 

[0]  [С ] 

[m] 

l-s] 

[0] 

[­S]  [0] 

Ш  [0] 

[0]  Ш  

Y 

9  =  o, 

a 

gdzie  Y  —  wyrazy  macierzy  kolumnowej  ugię ć,  7p  —  wyrazy  macierzy  kolumnowej  k ą t ów 

skrę ceń,  a  —  wyrazy  macierzy  kolumnowej  k ą t ów  obrotu  poprzecznego,  Czz,  C",  C*z, 

Cm,  C w —  współczynniki  wpływowe  ugię ć,  o b r o t ó w  i  skrę ceń,  [m] —  macierz  diagonalna 
mas  s e g m e n t ó w  ł o p a t y  ś migła,  [S]  —  macierz  diagonalna  m o m e n t ó w  statycznych  wzglę­

dem  osi  p o d ł u ż n e j, [ Jv ] , [ Jx ] —  macierze  diagonalne  m o m e n t ó w  bezwładnoś ci  s e g m e n t ó w 

wzglę dem  osi  p o d ł u ż n ej  i  poprzecznej,  przy  czym  zgodnie  z  [10]  i  [8] 

(2)  [/«]  =  (1  +k)[Jg], 

£ 
gdzie  к  =  ­y—­,E —  m o d u ł  Y o u n g a ,  G—moduł  o d k s z t a ł c e n i a  postaciowego,  к  —  współ­

k(j 
czynnik  zależ ny  od  kształtu  poprzecznego  ł o p a t y  ś migła. 

Przy  obliczeniach  przyję to,  że  współczynnik  к  =  const  jest  stały  dla  wszystkich  se­

g m e n t ó w  ł o p a t y .  Ze  wzglę du  na  złoż oną  b u d o w ę  i  m a t e r i a ł ,  nie  m o ż na  było  d o k ł a d n i e 

wyznaczyć  właś ciwego  okreś lenia  i  zmiany  w s p ó ł c z y n n i k a  к  wzdłuż  ł o p a t y  ś migła. 

W  zwią zku  z  p o w y ż s z ym  obliczenia  wykonano  dla  k i l k u  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a . 

Rozwią zując  numerycznie  u k ł a d  r ó w n a ń  wyznaczono  9  kolejnych  postaci  d r g a ń  

własnych  i  ich  czę stoś ci,  k t ó r e  przedstawiono  w  tablicy  1  na  rys.  6­11. 

D o  przyję tego  modelu  wprowadzono  szereg  kolejnych  u p r o s z c z e ń  otrzymują c  n a s t ę ­

pują ce  p r z y p a d k i : 

a)  Drgania  gię tno­skrę tne  z  uwzglę dnieniem  bezwładnoś ci  obrotu  poprzecznego  —po­

minię to  przy  tym  odksztalcalnoś ć  postaciową .  Z a k ł a d a j ą c  к  =  0  p o m i n i ę to  o d k s z t a ł c a l n o ś ć  

postaciową.  U k ł a d  r ó w n a ń  (1)  otrzymano  w  postaci: 

[­S] 

(3) 

Y 

+ 
a 

[C"] 

[0] 

[­C*] 

[0]  [ ­ C " ] 

[ C w ]  [0] 

[0]  [C™] 

[m] 

[­S] 

[0]  [0] 

[0] 

[0] 

Ш  

Y 

V  =  0 

a 

b)  Drgania  gię tne  z  uwzglę dnieniem  bezwładnoś ci  obrotu poprzecznego  i  odkształcalnoś ci 

postaciowej.  Z a k ł a d a j ą c  Ję  =  5  =  C
w  =  0  p o m i n i ę to  drgania  s k r ę t ne  y.  U k ł a d  r ó w n a ń  (1) 

otrzymano  w  postaci: 

•"  [ C " ]  [ ­ C ­ J I  I  [m]  [0] 

[­c"]  [ e n  J l [0]  [/; 
c)  Drgania  gię tne  z  uwzglę dnieniem  bezwładnoś ci  obrotu  poprzecznego.  Z a k ł a d a j ą c 

J9  =  S  =  (У *  =  к  =  0  p o m i n i ę to  drgania  s k r ę t ne  ~cp  i  o d k s z t a ł c a l n o ś ć  p o s t a c i o w ą  prze­

k r o j ó w  poprzecznych  s e g m e n t ó w  к  =  0.  U k ł a d  r ó w n a ń  (1)  otrzymano  w  postaci: 

(4) 

- " 

Y 
+ 

a 

]][[>»]  M l p l 
J L  [0]  [/;]J UJ 0 . 

(5) 
Y 

+ 
a 

[Czz]  [­Cza] 

[­C°z]  [ C M ] 

И  [0] 

[0]  Ш  
0. 



D R G A N I A  Ł O P A T  Ś M I G ŁA  233 

Podczas  d r g a ń  gię tnych  elementy  ł o p a t y  o p r ó c z  r u c h ó w  pionowych  wykonują  o b r ó t  a 

w  płaszczyź nie  ugię cia. 

d)  Drgania  gię tno­skrę tne.  Z a k ł a d a j ą c  Jx  =  C"  =  C
az  =  к  =  0  p o m i n i ę to  bezwład­

n o ś ć  obrotu  poprzecznego  a  i  o d k s z t a ł c a l n o ś ć  postaciową  к  =  0.  U k ł a d  r ó w n a ń  (1)  otrzy­

mano  w  postaci: 

(6) 
Y 

+ 
[Czz]  [0]  [w]  [­S]  Y 

[0]  [ en 
[­S]  w  

0 . 

W  modelu  tym  u w z g l ę d n i o no  sprzę ż enia  bezwładnoś ciowe  d r g a ń  gię tnych  ze  s k r ę t n y m i, 

w y w o ł a n e  tym,  że  ś rodki  mas  e l e m e n t ó w  ł o p a t  nie  leżą  na  osi  ł o p a t y . 

a)  Drgania  skrę tne.  Ł o p a t ę  ś migła  potraktowano  jako  belkę  z  p r o s t o l i n i o w ą  osią  z g i ­

nania,  na  które j  znajdują  się  ś r o d ki  mas  elementów  ł o p a t y  z  o k r e ś l o n y mi  momentami 

bezwładnoś ci  J<p  i  sztywnoś ciami  C * .  P o m i n i ę to  sprzę ż enia  gię tno­skrę tne  eliminując 

zginanie y;  Czz  =  0,  b e z w ł a d n o ś ć  obrotu  poprzecznego  a;  Cz  =  C*  =  / „  =  0  i  o d k s z t a ł ­

c a l n o ś ć  postaciową  к  =  0.  U k ł a d  r ó w n a ń  (1)  otrzymano  w  postaci: 

(7)  т +[с п ш т  =  о . 
Jest  to  najprostszy  model  stosowany  wyłą cznie  do  okreś lenia  postaci  s k r ę t y n ch 

i  traktowany  j a k o  pierwsze  przybliż enie. 

f)  Drgania  gię tne.  W  pierwszym  przybliż eniu  czę stoś ci  i  postaci  d r g a ń  gię tnych  obli ­

czono  przy  założ eniu  braku  sprzę ż eń  skrę tno­gię tnych  oraz  p o m i n i ę c iu  sztywnoś ci  i  bez­

władnoś ci  skrę tnej  Jc, =  S  =  C w  =  0,  bezwładnoś ci  obrotu  poprzecznego  Jx  =  C"  = 

=  caa  =  0  i  odkształcalnoś ci  postaciowej  к  =  0.  Konsekwencją  poczynionych  założ eń  

jest  przyję cie  modelu  ł o p a t y  w  postaci  prostoliniowej  belki  zmodelowanej  u k ł a d e m  jede­

nastu  mas  dyskretnych.  U k ł a d  r ó w n a ń  (1)  otrzymano  w  postaci: 

(8)  [Y] +  [Czz][m][Y]  =  0. 

Przyjmując  yt  =  j.sincof,  gdzie yt  jest  a m p l i t u d ą  ugię cia  /­tej  masy  oraz  po  wprowadzeniu 

do  u k ł a d u  r ó w n a ń  (8)  i  przekształceniu,  otrzymano  r ó w n a n i e  przedstawione  w  zapisie 

macierzowym 

(9)  Y  =  c o 2 C M Y , 

gdzie  Y — macierz  kolumnowa  amplitud  ugię ć,  С —  symetryczna  macierz  w s p ó ł c z y n n i k ó w 
wpływowych  С ",  M  =  [m] — p r z e k ą t na  macierz  mas  skupionych. 

Stosując  podstawienie 

(10)  Y  =  M ­ 1 / 2 r j , 

u k ł a d  r ó w n a ń  (9)  sprowadzono  do  postaci 

(11)  ( M 1 / 2 C M ­ 1 / 2 ­ A I ) Y )  =  0, 

gdzie  X  =  l/<y2,  I — m a c i e r z  jednostkowa. 



234  J .  M A R Y N I A K ,  W .  M I E R Z E J E W S K I ,  J .  K R U T U L 

Zagadnienie znalezienia czę stoś ci  i postaci  d r g a ń  gię tnych  ł o p a t y  sprowadza  się do  obli ­

czenia  w a r t o ś ci  w ł a s n y c h  Я  i  w e k t o r ó w  własnych  т) symetrycznej  macierzy  M 1 / 2 C M ~ 1 / 2 . 

Ze  zwią zku  (10)  w y n i k a ,  że amplituda  ugię cia  /­tej masy  m a  w a r t o ś ć  

(12)  y , =  ­ Ł 

Analogicznie  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  przebieg  rozwią zań  poprzednich  p r z y p a d k ó w . 

Wszystkie  powyż sze  przypadki  r o z w i ą z a no  numerycznie  na elektronowej  maszynie  G I E R 

w e d ł u g  p r o g r a m ó w  własnych  w j ę z y ku  G I E R ­ A L G O L  I V . 

Wyznaczono  9 kolejnych postaci  d r g a ń  g i ę t n o ­ s k r ę t n y ch  dla p r z y p a d k ó w  a) i d),  5  kolej­

nych  postaci  d r g a ń  gię tnych  dla  p r z y p a d k ó w  b),  c) i f) oraz  4 kolejne  postacie  d r g a ń  skrę t­

nych  dla przypadku  e).  W y n i k i  d o ś w i a d c z a l ne  i  obliczenia  numeryczne  przedstawiono 

w  tablicy  1 oraz  na  sześ ciu  wykresach  i  fotografiach  postaci  d r g a ń  własnych  (rys.  6­11). 

Tablica  1 

Model  drgań  łopaty  ś migła 
Czę stoś ci  drgań  własnych  łopaty  ś migła  [w Hz] 

!  I­g  I H­g  I  I­s  j Hl­g I H­s  !  IV­g  III­s  I V­g  I  IV­s 

wyniki  R  16,1  73,0  125,0  176  255  314  365  468  546 

m+I+B+Q  15,7  66,4  124,9  154  255  273  392  422  520 

a  m+I+B  16,3  71,8  125,2  169  258  305  395  471  525 

b  m+B+Q  16,5  74,1  174  305  452 

с   m+B  16,6  77,0  188  348  545 

d  m+I  16,6  78,3  125,5  191  264  361  411  597  530 

e  I  126,7  256  396  532 

f  m  16,6  78,4  195  372  604 

Oznaczenia:  m  ­
I­

B­

Q­

m+I+B+Q­

R ­

U­s 

• model dyskretny mas punktowych — drgania  gię tne, 
model dyskretny podłuż nych  momentów  bezwładnoś ci  — drgania  skrę tne, 
uwzglę dnienie  bezwładnoś ci  obrotu poprzecznego, 

• uwzglę dnienie  odkształcalnoś ci  postaciowej, 
model dyskretny parametrów dynamicznych opisują cy drgania  gię tno­skrę tne 
z  uwzglę dnieniem  bezwładnoś ci  obrotu  poprzecznego  i  odkształcalnoś ci 
postaciowej, 

• wyniki  otrzymane na drodze pomiarów rezonansowych. 
• postać  drgań  własnych  gię tnych, 
­ postać  drgań  własnych  skrę tnych, 
­ pierwsza  postać  drgań  własnych  gię tnych  łopaty  ś migła, 
­ druga  postać  drgań  własnych  skrę tnych  łopaty  ś migła. 



I I I 1_J I I I L_ 

ISO  д ]Э д }6[) 

[235] 



[236] 



[237] 



238  J .  M A R Y N I A K ,  W .  M I E R Z E J E W S K I ,  J .  K R U T U L 

4.  Wpływ  obrotów  ś migła  na  czę stoś ci  i  postacie  drgań  własnych łopat 

Obliczenia  przeprowadzono  w e d ł u g  metody  trzech  m o m e n t ó w ,  k t ó r ą  opracowali 

w  r o k u  1938  MORRISS  i  T Y E  [5],  przedstawionej  w  [10].  Biorąc  pod  u w a g ę  współczesne 

moż liwoś ci  zastosowania  elektronowej  techniki  obliczeniowej, metoda  ta  u w a ż a na  jest  za 

najlepszą,  bowiem  wykazuje  dużą  stateczność  w  procesie  obliczeń.  Jest  stosowana  do 

wyznaczania  z  dużą  d o k ł a d n o ś c ią  czę stoś ci  i  postaci  d r g a ń  własnych  wirują cych  ł o p a t 

r o t o r ó w  n o ś n y ch  ś migłowców.  M e t o d a  ta  m o ż e  być  stosowana  r ó w n i e ż  przy  obliczeniach 

innych  e l e m e n t ó w  drgają cych  konstrukcji  nielotniczych. 

Poniż ej  w  skrócie  podano  powyż szą  m e t o d ę  przy  nastę pują cych  z a ł o ż e n i a c h: 

—  oś  zginania  ł o p a t y  przechodzi  przez  oś  obrotu  ś migła, 

—  ł o p a t y  przyję te  j a k o  u k ł a d  mas  dyskretnych  rozmieszczonych  wzdłuż  osi  zginania, 

—  sztywnoś ci  gię tne  poszczególnych  s e g m e n t ó w  ł o p a t y  są  stałe. 

Rys.  12. Układ przyję tych przemieszczeń,  sił i momentów działają cych na segmenty wirują ce łopaty ś migła 

N a  rys.  12 wprowadzono  odpowiednie  oznaczenia:  wij — masa  skupiona  w i­tym  przekroju, 

у i—przemieszczenie  i­tej  masy,  M~i—moment  gną cy,  — s i ł a  t n ą ca  w  przekroju 

ł o p a t y ,  Nlil+1  siła  o d ś r o d k o wa  w  przekroju  ł o p a t y . 

R ó w n a n i a  m o m e n t ó w  sił  dla  segmentu  0—1  wzglę dem  punktu  0  i  segmentu  1—2 

w z g l ę d em  punktu  1  (rys.  12) mają  p o s t a ć : 

0, 12 

(13) 

(14) 

gdzie 

Mi­M0­N0tlOJ.  ~y0)  +  Qo,ik.i 

M2­Ml­NU2  (y2­yi)+Qll2lu2 

0 , 

0 , 

u  u 



DRGANIA  ŁOPAT  Ś MIGŁA  239 

Dzieląc  r ó w n a n i e  (13)  przez  N0,il0A  i  r ó w n a n i e  (14)  przez  N1,2/ 1,2  oraz  odejmując  stro­
nami,  otrzymano  r ó w n a n i e  r ó w n o w a g i  elementu  w  postaci: 

(15)  b0y0+a1y1+b1y2  =  k0M0+n1Ml+klM2+%±­^­, 

gdzie 

A  1  Ir  1  f  1 
"o — ~ao ; »  Ko — ­Tf—1  ,  O i  — '0,1 -<vO,l'0,l  '1,2 

Oi  '  ~bo — bl,  kx  =  —  ­  ,  tli ~  —k0—ki. 
« 1 , 2 ' 1 , 2 

R o z p a t r u j ą c  male  przemieszczenia  e l e m e n t ó w  ł o p a t y ,  deformację  elementu  /, i+1 
opisano  r ó w n a n i e m : 

(16)  (EJ)u+iy
lv­NUi+iy'  = 0 . 

Z a k ł a d a j ą c,  że n a  długoś ci  przyję tego  segmentu  zachodzi  (EJ)iti+1  =  const  i Nlii+1  =  const 
oraz  że  EJy" = M,  otrzymano 

(17)  ­ l £ ­ r f " ­ 0 . 

gdzie 

R o z w i ą z a n ie  r ó w n a n i a  (16) i  uwzglę dnienie  w a r u n k ó w  brzegowych  dla elementu  1­2, 

tj.  p r z y :  x  = 0 ,  M x =  A f ! ;  л: =  / 1 > 2 ,  Mx  =  M 2 ,  otrzymano  w  postaci: 

(18)  Mx  =  (EJ)U2y"  =  | ­ ^ ­ ­ ^ L _ J s h O U i x )  +  M i C h ( > i x ) , 

gdzie  (Xi = ^1/ 1,2. 

Całkując  dwukrotnie  r ó w n a n i e  (18)  i  w p r o w a d z a j ą c  warunki  brzegowe  dla  elementu 
1­2,  mianowicie 

У \х =о =У 1,  / | » ­ o ­  fiu 

y\x = ll.2  — У **  / | * ­ « 1 . 2  =  fiu 

otrzymano  nastę pują cy  zwią zek: 

(19)  bi(y2­yi)  = diM2  +  eiMi+pi, 

lub  zwią zek  r ó w n o w a ż ny 

(20)  bi(y2­yi)  =  ­eiM2­diMi+p2, 

gdzie 



240  J .  MARYNIAK,  W .  MIERZEJEWSKI,  J .  K R U T U L 

Analogicznie  do r ó w n a n i a  (20)  otrzymano  r ó w n a n i e  deformacji  dla elementu  0­1  w postaci: 

(21)  b0(yt­y0)  =  ­e0Ml­(f0M0+fi1. 

Odejmując  stronami  r ó w n a n i e  (21) od  r ó w n a n i a  (19),  mamy 

(22)  b0y0+a1yi+b1y2  =  d0M0  +  c1Ml+d1M2, 

gdzie  Ci  =  <?0 + <?ł,  oraz  p r z y r ó w n u j ą c  do siebie prawe  strony  r ó w n a ń  (22) i (15)  otrzymano 

r ó w n a n i e  n a s t ę p u j ą c e: 

(23)  A 0 M o + g , M 1 + / i 1 M 2  = 

gdzie:  hQ = d0­k0,  /z, = d l ­ k l ,  g, =  C i ­ « i . 
P r z e p r o w a d z a j ą c  analogiczne  r o z w a ż a n ia  dla p o z o s t a ł y c h  e l e m e n t ó w  ł o p a t y  uzyskano 

u k ł a d  r ó w n a ń  wzglę dem  nieznanych  funkcji  czasu j ; ( / ) i Mi(i). U k ł a d  ten s k ł a d a  się z  d w ó c h 
czę ś ci:  pierwsza  zawiera  r ó w n a n i e  typu  (23) oraz  r ó w n a n i e  typu  (21) wypisane  dla  skraj­

nych  o d c i n k ó w  ł o p a t y ,  druga  natomiast  r ó w n a n i e  typu (22). 

Z a k ł a d a j ą c,  że 

yi(f)  = yisin(pt);  Mi(t)  =  Miń n(pt), 

m o ż e my  rozpatrzony  u k ł a d  r ó w n a ń  s p r o w a d z i ć  do u k ł a d u  r ó w n a ń  algebraicznych  wzglę dem 

wielkoś ci  amplitud  przemieszczeń  i  m o m e n t ó w . 

U k ł a d  ten rozwią zujemy  m e t o d ą  kolejnych  przybliż eń  w nastę pują cy  s p o s ó b :  Z a k ł a ­

damy  w zerowym  przybliż eniu  w a r t o ś ci  y10  szukanej  postaci,  przy  czym  niech  spełniony 

bę dzie  warunek  ylx  =  1. Z  kolei  m o ż e my  z  d o k ł a d n o ś c ią  do stałego  w s p ó ł c z y n n i k a  p
2 

obliczyć  wystę pują ce  z  prawej  strony  pierwszej  czę ś ci  u k ł a d u  r ó w n a ń  amplitudy  sił  bez­

w ł a d n o ś c i. 

Przyjmując  p2  =  1  obliczamy  w a r t o ś ci  m o m e n t ó w  gną cych  M oraz  k ą t / ? 0 .  W y k o r z y ­

stując  te wielkoś ci,  z drugiej  czę ś ci  u k ł a d u  r ó w n a ń  obliczamy  o d p o w i a d a j ą ce  i m wielkoś ci 

deformacji  щ .  Ponieważ  _y; = p
2u{,  mając  wielkoś ci  u­,  obliczamy  kwadrat  czę stoś ci 

Un  UH 

a  n a s t ę p n ie  w a r t o ś ci  deformacji  pierwszego  przybliż enia 

0 .)i  =  P2(Ut)i­

Proces  ten powtarzamy  do uzyskania  ż ą danej  d o k ł a d n o ś c i. 

Przy  obliczaniu  kolejnej  г '­tej  postaci  własnej,  należy  spełnić  warunek  jej  ortogonal­

noś ci  do postaci  poprzednich,  mianowicie 

u 

(24) 

gdzie  y\J\  y\m)  — znalezione j u ż  postacie  własne. 
Stosując  powyż sze  metody  obliczono  kolejne  czę stoś ci  i  postacie  d r g a ń  gię tnych. 

N a  rys.  13, 14, 15 czę stoś ci  i postacie  d r g a ń  w ł a s n y c h  ł o p a t y  wirują cej  p o r ó w n a n o  z wiel­

k o ś c i a mi  otrzymanymi dla ł o p a t y  sztywno  utwierdzonej. 



Rys.  14.  Druga  postać  gię tna  Il­g 

Rys.  15.  Trzecia  postać  gię tna  IH­g 

Mechanika  Teoretyczna  3/73  [241] 



242  J .  MARYNIAK,  W .  MIERZEJEWSKI,  J .  K R U T U L 

5.  Wnioski 

Z  analizy  w y n i k ó w  otrzymanych  dla  danej  ł o p a t y  ś migła  m o ż na  w n i o s k o w a ć ,  że przy­

ję cie  o k r e ś l o n e go  modelu  m a  wię kszy  wpływ  na  czę stoś ci  (tablica  1), niż na  charakter 

postaci  d r g a ń  w ł a s n y c h  (rys. 6­11).  Biorąc  pod  u w a g ę  6  pierwszych  kolejnych  postaci 

widzimy,  że w zależ noś ci  od postaci  i przyję tego  modelu,  róż nice  mię dzy  wynikami  ekspe­

rymentu  a  obliczonymi  dla  czę stoś ci  d r g a ń  w ł a s n y c h  wynoszą  od 0,1%  do 30%,  natomiast 

maksymalne  odchylenia  l i n i i  wę złów  wynoszą  5% w stosunku  do  długoś ci  ł o p a t y  ś migła. 

Najlepsze  przybliż enie  w  zakresie  obliczeń  pierwszych  sześ ciu  postaci  uzyskano  sto­

sując  model  «a»  ł o p a t y  (tablica  1) dla  d r g a ń  g i ę t n o ­ s k r ę t n y ch  z uwzglę dnieniem  o b r o t ó w 

poprzecznych  przy  p o m i n i ę c iu  odkształcalnoś ci  postaciowej. 

Najprostsze  modele  dyskretne  (e  i  f,  tablica  1),  opisują ce  wyłą cznie  drgania  s k r ę t ne 

i  drgania  gię tne  z  p o m i n i ę c i em  sprzę ż eń  g i ę t n o ­ s k r ę t n y ch  sztywnoś ciowych  i  b e z w ł a d n o ś ­

ciowych  oraz  nieuwzglę dniają ce  bezwładnoś ci  o b r o t ó w  poprzecznych  i  odkształcalnoś ci 

postaciowej,  m o g ą  być  stosowane do obliczeń  I i II postaci,  z a r ó w n o  skrę tnej  j a k i  gię tnej. 

Odpowiednie  róż nice  wynoszą  poniż ej  2% dla  d r g a ń  s k r ę t n y ch  oraz  3% dla  I­gię tnej 

i  8% dla II­gię tnej. 

Jak  wynika  z  rys.  13, 14, 15 obroty  ś migła  w niewielkim  stopniu  wpływają  na postacie 

d r g a ń  gię tnych  natomiast  mają  decydują cy  wpływ  na czę stoś ci  d r g a ń .  D o  obliczeń  flatteru 

przy  n i e o k r e ś l o n y ch  w s p ó ł c z y n n i k a c h  sztywnoś ci  m o ż na  przyjąć  postacie  d r g a ń  w ł a s n y c h 

wyznaczonych  z  p r ó b  rezonansowych  dla ł o p a t y  niewirują cej,  natomiast  czę stoś ci  d r g a ń  

własnych  wyznaczyć  na podstawie  [3]  ze wzoru 

(25)  cof  =  co2el+S,Q
2, 

gdzie co i — c z ę s t o ść  d r g a ń  i­tej  postaci  gię tnej  ł o p a t y  wirują cej,  cogi  — c z ę s t o ść  d r g a ń Mej 

postaci  gię tnej  ł o p a t y  niewirują cej,  Q —  p r ę d k o ść  k ą t o wa  ś migła  wirują cego. 

W s p ó ł c z y n n i k  Si we wzorze  (25) uwzglę dniają cy  wpływ  o b r o t ó w  ś migła  m a  p o s t a ć : 

R  x 

Jm(x)x f  ­^­dxdx 
(26)  St  =  , 

Jm(x)f2(x)dx 
г  

gdzie m(x) —  funkcja  r o z k ł a d u  mas wzdłuż  ł o p a t y  ś migła,  za ś fi(x)  —  funkcja  ugię cia  i­tej 

postaci  d r g a ń  gię tnych. 

W y n i k i  uzyskane  w  niniejszej  pracy  posłuż yły  j a k o  dane  wyjś ciowe  do  obliczeń  kry­

tycznych  o b r o t ó w  ś migła  ogonowego  ś migłowca. 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1.  R.  ALEKSANDROWICZ,  W.  SZEMPLIŃ SKA,  J .  MARYNIAK,  Ground  resonance  resting  of  saiplace,  Aero 

Revue, 4 (1959). 
2.  M .  BOSSAK, J . PIETRUCHA,  W.  POTKAŃ SKI,  Metodyka  prostych  rezonansowych  badań   szybowców.  Prace 

Instytutu  Lotnictwa,  49 (1972). 
3.  J.  L I P K A ,  Czę stoś ć   drgań   własnych  wirują cych  łopat  wirników  noś nych  ś migłowca,  Arch.  Bud.  Masz., 

3,  4 (1956). 



D R G A N I A  Ł O P A T  Ś M I G ŁA  243 

4.  J.  M A R Y N I A K ,  W.  M I E R Z E J E W S K I ,  J.  K R U T U L ,  Wpływ  przyję tego  modelu  na  dokładnoś ć  obliczeń  czę ­
stotliwoś ci  i postaci  drgań  własnych  łopaty  ś migła  ogonowego  ś migłowca,  VII  Polsko­Czechosłowacka 
Konferencja Dynamiki  Maszyn,  Zbiór  referatów,  Tom 2, Gliwice  1971. 

5.  G .  M O R R I S ,  W.  T Y E ,  The stressing of rotor blades,  Aircraft  Eng.,  10,  112 (1938). 
6.  Próby  rezonansowe  łopaty  Ś migla ogonowego ś migłowca  Mi­2,  Sprawozdanie Nr  68B Katedry Mechaniki 

Wydziału  M E i L  PW,  Warszawa 1960 (nie publikowane). 
7.  Pomiary  sztywnoś ci  i geometrii  mas  łopaty  laminatowej Ś migla ogonowego  Mi­2, Sprawozdanie Katedry 

Mechaniki  Wydz.  M E i L  PW,  Warszawa 1970 (nie  publikowane). 

8.  Obliczenia  czę stoś ci  i postaci  drgań  własnych  łopaty  ś migła  ogonowego  Mi­2, Sprawozdanie Nr  68C 
Katedry  Mechaniki  Wydz.  M E i L  PW,  Warszawa 1970 (nie  publikowane). 

9.  Obliczenia  czę stoś ci  i postaci  własnych  drgań  gię tnych  wirują cej  łopaty  Ś migla ogonowego  Mi­2, Sprawo­
zdanie Nr 69 Zakładu  Mechaniki Instytutu  Mechaniki  Stosowanej Wydz.  M E i L  PW,  Warszawa 1970 
(nie publikowane). 

10.  M .  Л .  М и л ь,  А .  Б.  Н Е К Р А С О В,  А .  С.  Б Р А В Е Р М А Н,  Л .  H .  Г Р О Д К О,  М .  А.  Л Е Й К А Н Д,  В е р т о л е т ы  — 

к о л е б а н и я  и  д и н а м и ч е с к а я  п р о ч н о с т ь ,  т. 2,  М о с к ва  1967. 
11.  С П.  Т И М О Ш Е Н К О,  К о л е б а н и я  в и н ж е н е р н о м  д е л е ,  М о с к ва  1967. 

Р е з ю ме  

К О Л Е Б А Н ИЯ  Л О П А С Т ЕЙ  В И Н ТА  

В  с т а т ье  п р и в е д е ны  в ы ч и с л е н ия  ч а с т от  и  ф о рм  с о б с т в е н н ых  к о л е б а н ий  л о п а с т ей  х в о с т о в о го  
в и н та  в е р т о л е та и их с р а в н е н ия  с р е з у л ь т а т а ми  э к с п е р и м е н т а.  Д ля  в ы ч и с л е н ий  у п о т р е б л е ны  п о л у­
ч е н н ые  из о п ы т ов  д а н н ые  о т н о с и т е л ь но  р а с п р е д е л е н ия  м а с с,  и н е р ц и а л ь н ых  м о м е н т ов  и  к о э ф ф и­
ц и е н т ов  у п р у г о с т и.  Л о п а с ти  в и н та  р а с с м а т р и в а ю т ся  к ак с и с т е ма  с  д и с к р е т но  р а с п р е д е л е н н ы ми  
п а р а м е т р а м и,  п р и ч ем  у ч и т ы в а ю т ся  и н е р ц ия  п о п е р е ч н ых  в р а щ е н ий  и п е р е р е з ы в а ю щ ие  с и л ы,  д е й­
с т в у ю щ ие  в  с е ч е н ии  э л е м е н та  л о п а с т и. 

Д ля  п р и н я т ых  м о д е л ей  в ы ч и с л е ны  с о б с т в е н н ые  ч а с т о ты  и  ф о р мы  и з г и б н ы х,  к р у т и л ь н ых  
и  и з г и б н о ­к р у т и л ь н ых  к о л е б а н и й;  п ри э т ом  в в о д я т ся  р а з л и ч н ые  д о п о л н и т е л ь н ые  у п р о щ а ю щ ие  
п р е д п о л о ж е н и я.  В ы ч и с л е н ия  в ы п о л н е ны  д ля  д е в я ти  п о с л е д о в а т е л ь н ых  ф о рм  с о б с т в е н н ых  к о л е­
б а н ий  л о п а с т ей  в и н т а. 

Р е з у л ь т а ты  в ы ч и с л е н ий  д ля р а з л и ч н ых  п р и н я т ых  м о д е л ей  с р а в н и в а ю т ся  с  в е л и ч и н а ми  с о б­
с т в е н н ых  ч а с т от  и  ф о р м,  п о л у ч е н н ы ми  п ри р е з о н а н с н ых  и з м е р е н и я х. 

В ы в о д ы,  в ы т е к а ю щ ие  из в ы ч и с л е н и й,  м о г ут  н а й ти  п р и м е н е н ие  в о п р е д е л е н ии  д и н а м и ч е с к их  
х а р а к т е р и с т ик  д р у г их  м е х а н и ч е с к их  с и с т е м. 

S u m m a r y 

PROPELLER  B L A D E  VIBRATION  PROBLEMS 

First  nine natural modes and frequencies of a helicopter tail rotor blade are calculated and  compared 
with results of resonance tests. Experimentally determined distributions of mass, moments of inertia and 
stiffnesses  are used as input data. The blade is divided into eleven segments and considered as a system 
of  discrete parameters. Six mathematical models of the blade are analysed, the effects of rotational inertia 
of  individual  segments being taken  into account. 

Conclusions  drawn from  the analysis concerning the propeller blade  mechanics  may also be applied 
to  determine  the dynamic characteristics of other  mechanical systems. 

POLITECHNIKA WARSZAWSKA 

Praca została  złoż ona  w Redakcji  dnia  3 stycznia  1973  r. 

4*