Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z3.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

3,  11  (1973) 

M E T O D A  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH  W  M E C H A N I C E  GRUNTÓW  I  M E C H A N I C E 
GÓROTWORU 

JÓZEF  JOACHIM  T  E L E G  A  (GLIWICE) 

M e t o d a  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  stanowi  jeden  z najintensywniej  rozwijanych  działó w 

p r z y b l i ż o n e go  rozwią zywania  z a g a d n i e ń  mechaniki.  Z n a l a z ł a  więc  również  zastosowanie 

w  mechanice  g r u n t ó w  i  mechanice  g ó r o t w o r u .  Dlatego  też wydaje  się celowe  przedsta­

wienie  dotychczasowych  w y n i k ó w  zastosowania  tej metody  do rozwią zywania  p r o b l e m ó w 

stawianych przez te  dyscypliny. 

W  pracy  R A D H A K R I S H N A N A  i  REESE'A  [120]  przedstawiono  rozwój  interesują cej  nas 

problematyki  zasadniczo  do r o k u  1970,  przy  czym  autorzy  ograniczyli  się  tylko  do  litera­

tury  anglosaskiej  i  j a p o ń s k i e j.  Nasza  praca  stanowi  więc  k o n t y n u a c j ę  i  u z u p e ł n i e n i e 

pracy  [120]. 

P r a c ę  podzielono  na  cztery  punkty.  W  punkcie  pierwszym  przedstawiamy  ogólne 

w y n i k i  zastosowania  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  do  rozwią zywania  z a g a d n i e ń  

mechaniki  o ś r o d k ów  cią głych.  Wydaje  się,  iż zaprezentowane  w  tym  punkcie  prace  mog­

łyby  znaleźć  zastosowanie  w mechanice  g r u n t ó w  i mechanice  g ó r o t w o r u . 

Zastosowanie  metody  elementów  s k o ń c z o n y ch  do  mechaniki  g r u n t ó w  rozpatrujemy 

w  punkcie  drugim. 

Punkt  trzeci  poś wię cony  jest  mechanice  g ó r o t w o r u ,  natomiast  w  punkcie  ostatnim 
podajemy  k i l k a  uwag  k o ń c o w y c h. 

1.  Zagadnienia  ogólne 

M e t o d a  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  d o c z e k a ł a  się j u ż interesują cych  o p r a c o w a ń  mono­

graficznych  [108, 149]. Pierwsza  z  nich  ma  charakter  raczej  matematyczny,  natomiast 

druga  — inż ynierski  (por.  [8,  80,  136)].  W  pracach  przeglą dowych  [148, 153] przed­

stawiono  historię  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h,  jej  istotę  oraz  moż liwoś ci  zastosowania 

do  z a g a d n i e ń  mechaniki  ciała  o d k s z t a ł c a l n e g o  (por.  [83, 163]).  Popularyzatorskie,  a  przy 

tym  interesują ce  uję cie  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  z a p r o p o n o w a ł  KISIEL  [84а ]. 
O m ó w i ł  on  również  wady  i  zalety  tej  metody.  Jako  wady  wymienia  nastę pują ce  fakty: 

1)  jest  to  metoda  numeryczna,  a  nie analityczna,  2) z  p o d z i a ł e m  na  elementy  s k o ń c z o ne 

nie  m o ż na  iść zbyt  daleko,  3) i m bardziej  z ł o ż o ny  problem,  tym p a m i ę ć  maszyny  musi 

być  wię ksza. 

Proste  wprowadzenie  do  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  znaleźć  również  m o ż na 
w  pracach  PAULSENA  [114,  115,  116]. 



196  J .  J .  T E L E G A 

W  pracach  [6,  7]  r o z w a ż o no  teorię  metody  elementów  s k o ń c z o n y ch  i  zagadnienie 

zbież noś ci,  przy  czym  autor  wychodzi  z  twierdzenia  o  m i n i m u m  energii  potencjalnej 

u k ł a d u  (metoda  przemieszczeń ). 

W U N D E R L I C H  [141] jako  punkt  wyjś cia  przyjmuje  zasadę  wariacyjną  Reissnera  (metoda 
mieszana).  W ó w c z a s  n a p r ę ż e n ia  i  przemieszczenia  są  zmiennymi  niezależ nymi  danego 

zadania,  tzn.  traktujemy  te  wielkoś ci  r ó w n o c z e ś n ie  j a k o  poszukiwane  niewiadome 

(w  metodzie  przemieszczeń  niewiadomymi  są  tylko  przemieszczenia). 

T e o r i ę  metody  elementów  s k o ń c z o n y ch  r o z w a ż o no  t a k ż e  w  pracy  [1],  przy  czym  autor 

wychodzi  z  ogólnych  zasad  mechaniki  ciała  o d k s z t a ł c a l n e g o . 

Z w r ó ć my  u w a g ę  na  fakt,  iż jeś li  jako  punkt  wyjś cia  przyjmiemy  twierdzenie  o m i n i m u m 

energii  dopełniają cej,  w ó w c z a s  niewiadomymi  zadania  są  n a p r ę ż e n ia  (metoda  sił). 

H O D G E  [70]  eksplikuje  m e t o d ę  elementów  s k o ń c z o n y ch  korzystając  z  zasady  prac 

przygotowanych.  Takie  podejś cie  jest  ogólniejsze  od  s p o s o b ó w  poprzednich,  tzn.  metody 

przemieszczeń,  sił,  bą dź  mieszanej,  gdyż  nie  zależy  od  fizycznych  własnoś ci  m a t e r i a ł u . 

W  pracy  [122b]  wykazano,  że  m e t o d ę  elemetów  s k o ń c z o n y ch  m o ż na  t r a k t o w a ć  j a k o 

przypadek  szczególny  tzw.  metody  r e z i d u ó w  wagowych,  z  k t ó r y m  to  problemem  mamy 

do  czynienia  przy  p r z y b l i ż o n ym  rozwią zywaniu  z a g a d n i e ń  brzegowych. 

P o d o b i e ń s t wa  i  róż nice  m i ę d zy  m e t o d ą  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  a  m e t o d ą  r ó ż n ic 

s k o ń c z o n y ch  o m ó w i o n o  w  a r t y k u ł a c h  [40,  41,  43,  135,  148]. 

Zwią zki  p o m i ę d zy  m e t o d ą  Bubnowa­Galerkina  a  m e t o d ą  elemetów  s k o ń c z o n y ch 
r o z w a ż o no  w  pracach  [74,  162]. 

T e n s o r o w ą  interpretację  przemieszczeniowej  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  przed­

stawiono  w  [82].  M O R I N  [104]  w y k a z a ł ,  że  wykorzystanie  zapisu  tensorowego  pozwala 
z a s t o s o w a ć  bardzo  e k o n o m i c z n ą  m e t o d ę  iteracyjną  dla  rozwią zywania  z a d a ń  nieliniowych. 

Ś ciś le  matematyczne  podejś cie  do  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  zastosowano 

w  a r t y k u ł a c h  [13,  13a,  32,  33,  58,  64,  95,  103,  147,  151,  152].  Takie  podejś cie  wymaga 

uż ycia  aparatu  analizy  funkcjonalnej  (np.  przestrzeni  Sobolewa). 

Bardziej  praktyczne  r o z w a ż a n ia  przeprowadzono  w  [91],  gdzie  zastosowano  m e t o d ę  

Bubnowa­Galerkina  (szczególny  przypadek  metody  reziduów  wagowych),  w  p o w i ą z a n iu 

z  m e t o d ą  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  do  u k ł a d u  liniowych  r ó w a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  o  pochod­

nych  czą stkowych  (por.  [39]).  Przypadkiem  szczególnym  tych  r ó w n a ń  są  r ó w n a n i a  pola 

opisują ce  przepływ  gazów  lub  cieczy  (por.  [9, 46,  73, 90,  123,  130,  134]). 

Zagadnienia  zwią zane  z  doborem  elementów  s k o ń c z o n y ch  i  funkcji  a p r o k s y m u j ą c y ch 

przedstawiono  w pracach  [12, 22, 25, 47,  51, 54,  85, 86,  109,  146,  158,  165]. 

W z o r y  na  obliczanie sił  wę złowych  podano  w  [107,  113]. 

F o r m u ł u j ą c  dane zadanie  w terminach  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  należy  uwzglę d­

nić  sztywny  ruch  elementu.  Problem  ten  r o z w a ż o no  w  pracach  [62,  96,  149]. 

P r o b l e m a t y k ę  zwią zaną  z  rozwią zywaniem  na  maszynach  matematycznych  r ó w n a ń , 

k t ó r e  otrzymuje  się przy  stosowaniu  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  o m ó w i o n o  w  [10,  27, 

28,  42,  59,  60,  65,  77,  89,  119,  122,  126]. 

Okazuje  się,  iż  przemieszczeniowej  metodzie  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  odpowiada 

analogon  elektryczny wynikają cy  z  u o g ó l n i o n e g o  prawa  O h m a  [88]. Pozwala  to  na  przejś cie 

od  r o z w a ż ań  mechanicznych  do  r o z w a ż ań  elektrycznych  (por.  [3]). 



M E T O D A  E L E M E N T Ó W  S K O Ń C Z O N Y CH  197 

P r z y k ł a d y  zastosowania  metody  elementów  s k o ń c z o n y ch  do  o ś r o d k ów  opisywanych 

przez  bardziej  skomplikowane  r ó w n a n i a  konstytutywne  (np.  m a t e r i a ł ó w  nieliniowo­

­lepkosprę ż ystych)  podano  w pracach  [11, 19, 108, 110, 111, 121, 127, 128, 132,  166]. 

W  pracach  [13b,  112] przedstawiono  uogólnienie  metody  elemetów  s k o ń c z o n y ch  na 

sprę ż yste  o ś r o d ki  mikropolarne. 

H A R T  i  COLLINS  [68] rozważ yli  u k ł a d  poddany  obcią ż eniom  losowym.  P o dyskretyzacji 
zagadnienia  macierz  otrzymanego  u k ł a d u  r ó w n a ń  oraz  wyrazy  wolne  autorzy  rozpatrują  

jako  funkcje  pewnych  zmiennych  losowych,  k t ó r e  w ogólnoś ci  są  skorelowane. 

N a  tym  k o ń c z y my  przegląd  ogólnej  problematyki  zwią zanej  z  m e t o d ą  e l e m e n t ó w 

skoń czonych1 *.  Zdajemy  sobie  s p r a wę  z  faktu,  iż  przegląd  ten  nie  jest  wyczerpują cy. 

A l e  jest  on w zupełnoś ci  wystarczają cy  dla naszych  celów. 

2.  Mechanika  gruntów 

2.1.  O g ó l n e  problemy  zwią zane  z  zastosowaniem  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch 
w  mechanice  g r u n t ó w  przedstawiono  w  pracach  [53, 57,  84, 94,  99,  133].  EISENSTEIN 
[53]  twierdzi,  iż główną  p r z e s z k o d ą  w zastosowaniu  tej metody jest  p o s t a ć  r ó w n a ń  konsty­

tutywnych.  Mianowicie  zwią zki  mię dzy  n a p r ę ż e n i a mi  i  odkształceniami  w  gruntach 

zależą  od  duż ej  liczby  c z y n n i k ó w ,  a  ponadto  pierwotny  stan  n a p r ę ż e n ia  w  gruntach  jest 

przede  wszystkim  wynikiem  p r o c e s ó w  geologicznych.  Są dzimy,  że  t r u d n o ś ć  pierwsza 

objawia  się w  tym,  iż do  rozwią zywania  konkretnych  p r o b l e m ó w  potrzebna  jest  wię ksza 

p a m i ę ć  maszyny  matematycznej.  Czę ś ciowo  m o ż na  tego  u n i k n ą ć  stosując  wię ksze  elementy 

s k o ń c z o n e,  ale za to  bardziej  d o k ł a d n ą  a p r o k s y m a c j ę ,  np. za p o m o c ą  w i e l o m i a n ó w Her­

mite'a.  Ponadto  nie  należy  z a p o m i n a ć  o tym, iż do uż ytku  oddawane  bę dą  maszyny  o coraz 

wię kszych  moż liwoś ciach.  Przeglą dając  prace  a m e r y k a ń s k ie  zwią zane  z  zastosowaniem 

programowania  matematycznego  do  z a g a d n i e ń  optymalizacji  konstrukcji  (por.  [128]) 

wysunę liś my  wniosek,  iż  pod  koniec  lat  siedemdziesią tych  oddane  zostaną  do  u ż y t ku 

maszyny  matematyczne,  k t ó r e  pozwolą  rozwią zywać  — oczywiś cie  numerycznie  —  nawet 

bardzo  skomplikowane  zadania  optymalizacyjne.  Wydaje  się, iż  podobne  stwierdzenie 

m o ż na  odnieść  do  z a g a d n i e ń  mechaniki  g r u n t ó w  i  g ó r o t w o r u . 

2.2.  Przedstawimy  obecnie  zastosowanie  metody  elementów  s k o ń c z o n y ch  do  z a g a d n i e ń  

r ó w n o w a g i  p o d ł o ż a. 

M I L O V I C  [100] (por.  t a k ż e  [84, 97, 98]) przedstawił  numeryczne  rozwią zanie  zadania 
o  r ó w n o w a d z e  statycznej,  sprę ż ystej,  jednorodnej  (izotropowej  lub  anizotropowej)  war­

stwy  o  stałej  gruboś ci  H.  Warstwa  ta,  w  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y ch  walcowych,  zajmuje 

obszar:  0 ^  z  ^  H,  0 <  r  <  oo. Poddana  ona jest  obcią ż eniu  r ó w n o m i e r n i e  r o z ł o ż o n e m u, 
o k r e ś l o n e mu  w  obszarze  z  =  0,  0 ^  r <  Djl,  p r z y ł o ż o n e mu  do  górnej  płaszczyzny 

warstwy.  Płaszczyzna  dolna  jest  sztywnie  utwierdzona.  Zbudowano  macierz  sztywnoś ci 

oraz  program  obliczeń,  k t ó r y  zrealizowano  na maszynie  « I B M  360­40».  W y n i k i  obliczeń, 
dla  r ó ż n y ch  w a r t o ś ci  p a r a m e t r ó w ,  przedstawiono  w postaci  w y k r e s ó w  i tablic. W  szczegól­

"  Ś ciś lejsze byłoby okreś lenie «metody  elementów skoń czonych)),  gdyż  istnieje  metoda  przemieszczeń, 
mieszana, itd. 



198  J .  J .  T E L E G A 

noś ci  podano  zależ ność  n a p r ę ż e ń:  promieniowego  o> i  normalnego  az  wzdłuż  osi symetrii, 

od  r ó ż n y ch  wartoś ci  parametru HjD.  Parametr  ten  p r z y j m o w a ł  w a r t o ś c i:  1,00,  ,  2,00, 

3,00,  oo.  Obliczenia  przeprowadzono  dla  dwu  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  Poissona  ц :  0,23, 
0,30.  Parametr  /;  = EvjEh,  charakteryzują cy  a n i z o t r o p i ę  m a t e r i a ł u ,  przyjmował  w a r t o ś c i: 

0,25,  0,50,  1,00,  2,00;  gdzie Ev, Eh  oznaczają  odpowiednio  m o d u ł  sprę ż ystoś ci  w kierunku 

pionowym  i poziomym . 

Podano  wykres  przemieszczeń  pionowych w(0,0)  [punkt  (0,0)  oznacza  począ tek  u k ł a d u 

współrzę dnych]  w  zależ noś ci  od  parametru H/D,  dla  fi  =  0,15,  0,25,  0,30,  0,40,  0,45. 

Obliczenia  wykazały,  że  anizotropia  wpływa  na  znaczny  wzrost  n a p r ę ż eń  ar  w  utwier­

dzonej  płaszczyź nie z = H. 

W  pracy  [63]  rozwią zano  zadanie  o  p ł a s k i m  stanie  o d k s z t a ł c e n i a  w  sprę ż ystej  warstwie, 

spoczywają cej  na  n i e o d k s z t a ł c a l n y m  p o d ł o ż u.  Przemieszczenia  w  płaszczyź nie  kontaktu 

są  r ó w n e  zeru.  W  pierwszej  czę ś ci  pracy,  przy  pomocy  szeregów  Fouriera,  r o z w i ą z a no 

zadanie  o  przemieszczeniach.  Natomiast  w  drugiej  czę ś ci  pracy,  wykorzystując  m e t o d ę  

e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h,  wyznaczono  n a p r ę ż e n ia  w  warstwie.  W y n i k i  obliczeń,  podane 

w  postaci  tablic  i  wykresów,  przedstawiają  zależ ność  poszukiwanych  wielkoś ci  od  współ­

czynnika  Poissona,  gruboś ci  warstwy  i  w y m i a r ó w  obszaru,  na  k t ó r y  działa  obcią ż enie. 

W  pracy  [102]  r o z w a ż o no  nastę pują ce  zadanie:  n i e o d k s z t a ł c a l n e  pasmo  poddane  jest 

działaniu  siły  nachylonej  pod  pewnym  ką tem,  pasmo  to  spoczywa  na  sprę ż ystej  warstwie, 

k t ó r a  z  kolei  leży  na  n i e o d k s z t a ł c a l n y m  p o d ł o ż u  (czyli  o ś r o d ek  trójwarstwowy).  Sprę ż ystą  

warstwę  zamieniono przez p r o s t o k ą t ne  i t r ó j k ą t ne  elementy  s k o ń c z o n e.  Zbudowano  macierz 

sztywnoś ci.  Otrzymano  p r z y b l i ż o ne  wzory  na  okreś lenie  n a p r ę ż eń  kontaktowych  i  prze­

mieszczeń  pasma  w  zależ noś ci  od  gruboś ci  warstwy  sprę ż ystej  i  ką ta  nachylenia  siły  dzia­

łają cej  na  pasmo. 

Zagadnienie  r o z k ł a d u  n a p r ę ż eń  i  odkształceń  w  gruncie  (bę dą cym  półprzestrzenią) 

poddanym  działaniu  nieruchomego  lub  ruchomego  obcią ż enia  w postaci  k o ł o w e g o  stempla 

rozpatrzono  w  pracy  [117].  Stempel  m o ż e  być  sztywny  lub  o d k s z t a ł c a l n y .  R o z w a ż o no 

z a r ó w n o  liniowo­sprę ż ysty,  jak  i  nieliniowo­sprę ż ysty  m a t e r i a ł  półprzestrzeni.  W  tym 

drugim  przypadku  zależ ność  mię dzy  n a p r ę ż e n i a mi  i  o d k s ztałcen iam i  przyję to  na  podstawie 

w y n i k ó w  b a d a ń  d o ś w i a d c z a l n y c h.  Otrzymano  pewną  r o z b i e ż n o ść  w y n i k ó w  numerycznych 

w  p o r ó w n a n i u  z  laboratoryjnymi  rezultatami  pomiaru  n a p r ę ż e ń.  R ó ż n i ce  te,  zdaniem 

a u t o r ó w ,  spowodowane  są  b ł ę d a m i,  j a k i m i  obarczone  są  d o ś w i a d c z e n i a.  Stwierdzono 

ponadto,  iż  korzystając  z  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h,  m o ż na  stosunkowo  ł a t w o 

uwzglę dnić  nieliniowość  zależ noś ci  naprę ż enie­odkształcenie,  j a k  i  z ł o ż o ne  warunki 

brzegowe. 

DESAI  [44]  również  rozważ ył  nieliniową  zależ ność  p o m i ę d zy  n a p r ę ż e n i a mi  a  o d k s z t a ł ­
ceniami.  Konstruuje  on  rozwią zanie  p r z y b l i ż o ne  stosując  m e t o d ę  elementów  s k o ń c z o n y ch 

w  p o w i ą z a n iu  z  funkcjami  typu spline  (por.  [93a,  153a,  159)]. 

Obliczenia  n a p r ę ż eń  w  lessowym  gruncie,  przy  zastosowaniu  metody  bę dą cej  k o m b i ­

nacją  metody  r ó ż n ic  s k o ń c z o n y ch  i  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h,  dokonano  w  [164]. 

THOMAS  i  A R M A N  [129]  zbadali  stan  n a p r ę ż e n ia  i  o d k s z t a ł c e n i a  w  p o d ł o ż u  torfowym. 
Dane  d o ś w i a d c z a l ne  p o r ó w n a n o  z  wynikami  obliczeń  otrzymanych  przy  zastosowaniu 

metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  i  uwzglę dnieniu  geometrycznej  nieliniowoś ci.  Obliczenia 

numeryczne  przeprowadzono  m e t o d ą  p r z y r o s t ó w  przy linearyzacji zadania,  tzn. na  k a ż d ym 





200  J.  J.  T E L E G A 

2.5.  W  pracach  [30,  43a,  55,  61,  76,  123,  142,  143,  144]  rozpatrzono  zastosowanie 
metody  elementów  s k o ń c z o n y ch  do  z a g a d n i e ń  konsolidacji,  czyli  p r z y p ł y w u  p ł y n u  przez 

o ś r o d ki  porowate.  Interesują ce  wydają  się  uję cia  wariacyjne,  k t ó r e  pozwalają  na  stosun­

kowo  łatwe  s f o r m u ł o w a n i e  problemu  konsolidacji  w  terminach  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń ­

czonych.  W  cyklu  a r t y k u ł ó w  [142,  143,  144]  s f o r m u ł o w a n e  zostały  zasady  wariacyjne  — 
dla  trójwymiarowej  konsolidacji  —  przy  nastę pują cych  z a ł o ż e n i a c h:  1)  grunt  (szkielet) 

jest  niejednorodny,  anizotropowy  i  zachowuje  się  sprę ż yś cie,  2)  pory  wy p ełn io n e  są  nie­

ś ciś liwą  cieczą  (wodą ),  3)  deformacja  szkieletu  nie  zależy  od  ciś nienia  wody,  lecz  wyłą cznie 

od  n a p r ę ż eń  efektywnych,  4)  przepływ  wody  odbywa  się  zgodnie  z  prawem  Darcy'ego. 

Podano  szczegółowo  s f o r m u ł o w a n i e  w  terminach  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  (czyli 

rozwią zanie  przybliż one).  R o z w a ż a n ia  o g ó l n e  zilustrowano  na  k i l k u  p r z y k ł a d a c h  (konsoli­

dacja  jednowymiarowa,  osiowo­symetryczna). 

Korzystając  z  dynamicznej  teorii  konsolidacji  Biota,  w  pracy  [61]  przedstawiono 

wariacyjne  s f o r m u ł o w a n i e  problemu.  N a s t ę p n ie  dokonano  dyskretyzacji  zagadnienia 

stosując  m e t o d ę  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h.  Podano  p r z y k ł a d y  obliczeń  numerycznych  dla 

półprzestrzeni . 

3.  Mechanika  górotworu 

3.1.  Ogólną  p r o b l e m a t y k ę  zwią zaną  z  zastosowaniem  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch 
do  mechaniki  g ó r o t w o r u  przedstawiono  w  pracach  [31,  79,  79a,  79b,  94a,  125,  125a, 

133,  150]. 

MARTINETTI  i  RIBACCHI  [94a]  przedstawili  zagadnienia,  k t ó r e  r o z w a ż a no  na  II  K o n ­
gresie  M i ę d z y n a r o d o w e go  Towarzystwa  M e c h a n i k i  G ó r o t w o r u .  Kongres  ten  odbył  się  

w  dniach  21—26  wrześ nia  1970  r o k u  w  Belgradzie.  O t ó ż  na  kongresie  tym  o m ó w i o n o 

również  metody  obliczeń  w  mechanice  g ó r o t w o r u .  P o d k r e ś l o n o,  iż  należy  wię cej  uwagi 

poś wię cić  metodzie  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h. 

STEPHANSSON  [125a]  omawia  treść  oś miu  prac  doktorskich  zrealizowanych  na  Uniwer­
sytecie  Uppsala  w  Szwecji.  W jednej  z  nich  przedstawiono  moż liwoś ci  zastosowania  metody 
e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  do  analizy  p r o c e s ó w  tektonicznych.  Inna  praca  omawia  zastoso­

wania  tej  metody  do  z a g a d n i e ń  stabilnoś ci  wyrobisk. 

W  pracy  [150]  przedstawiono  model  o ś r o d ka  blokowo­warstwowego,  a  więc  takiego 
z  j a k i m  mamy  do  czynienia  w  g ó r o t w o r z e  szczelinowatym.  R o z w a ż o no  moż liwoś ci  stoso­

wania  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h. 

W  monografii  JAEGERA  i  C O O K A  [79a],  poś wię conej  podstawom  mechaniki  g ó r o ­
tworu,  rozpatrzono  również  m e t o d ę  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  (rozdz.  10).  P o d k r e ś l o no 

zalety  tej  metody  wyraż ają ce  się  w :  1)  moż liwoś ci  rozpatrywania  u k ł a d ó w  o  nieregular­

nych  brzegach,  2)  tym,  że  siły  masowe  i  powierzchniowe  m o g ą  być  zmienne,  3)  fakcie, 

ż e  m a t e r i a ł  m o ż e  p o s i a d a ć  własnoś ci  reologiczne  lub  plastyczne,  4)  moż liwoś ci  uwzglę d­

nienia  tarcia  mię dzy  blokami  skalnymi  (na  powierzchniach  uskoku). 

W  pracy  [31]  (por.  [79b])  podano  s f o r m u ł o w a n i e  macierzy  sztywnoś ci  dla  o ś r o d ka 
liniowo­sprę ż ystego.  Podano  ogólny  schemat  programu  rozwią zują cego  podstawowy 

u k ł a d  r ó w n a ń  liniowych  j a k i  otrzymuje  się  w  tym  przypadku. 



M E T O D A  E L E M E N T Ó W  S K O Ń C Z O N Y CH  201 

W  pracy  [79b]  autorzy  niesłusznie  twierdzą,  iż  metoda  elementów  s k o ń c z o n y ch  jest 

szczególnym  przypadkiem  metody  róż nic  s k o ń c z o n y c h.  Jest  akurat  na  o d w r ó t :  metoda 

róż nic  s k o ń c z o n y ch  jest  szczególnym  przypadkiem  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h. 

3.2.  Rozpatrzmy  obecnie  prace  poś wię cone  zagadnieniom  okreś lania  n a p r ę ż eń  i  od­

kształceń  w o k ó ł  wyrobisk  górniczych,  o t w o r ó w  strzelniczych  i  tuneli. 

B A R L A  [15]  rozwią zał  statyczne  zadanie  o  koncentracji  n a p r ę ż eń  w o k ó ł  pojedynczego 

wyrobiska  w  masywie  gruntu.  Wyrobisko  znajduje  się  na  skoń czonej  odległoś ci  od  po­

wierzchni  swobodnej.  Przyję to  model  ciała  liniowo­sprę ż ystego,  izotropowego  oraz  płaski 

stan  odkształcenia .  Przedstawiono  rozwią zania  numeryczne  dla  wyrobisk  o  kształcie : 

o k r ę g u,  elipsy,  kwadratu,  p r o s t o k ą ta  i  p r o s t o k ą ta  o  jednym  boku  w  postaci  ł u k u  o k r ę g u. 

T e n ż e  autor  [16]  (por.  [75,  79])  przedstawił  rozwią zania  numeryczne  dla  koncentracji 

n a p r ę ż eń  w o k ó ł  wyrobiska  znajdują cego  się  w  nieograniczonym  sprę ż ystym  o ś r o d ku 

warstwowym. 

D U N S  i  B U T T E R F I E L D  [49]  (por.  [48,  50]),  stosując  m e t o d ę  elementów  s k o ń c z o n y c h, 

przedstawili  rozwią zanie  zadania  o  o d d z i a ł y w a n i u  fal  harmonicznych,  r o z c h o d z ą c y ch  się  

w  gruncie,  z  nieskoń czenie  długą  p o w ł o k ą  walcową  o  s k o ń c z o n ym  promieniu.  P o w ł o k a  ta 

znajduje  się  w  gruncie  na  skoń czonej  głę bokoś ci.  Przyję to,  że  otaczają cy  p o w ł o k ę  grunt 

jest  o ś r o d k i em  liniowo­sprę ż ystym.  Stosując  m e t o d ę  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  podano 

przejś cie  od  r ó w n a ń  róż niczkowych  do  r ó w n a ń  algebraicznych.  Podano  p r z y k ł a d  licz­

bowy. 

W  pracy  [21]  przedstawiono  zastosowanie  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  do  obli­

czania  r o z k ł a d u  n a p r ę ż eń  w  o ś r o d ku  sprę ż ystym  o s ł a b i o n y m  k i l k o m a  równoległymi 

wyrobiskami. 

W I N K E L ,  G E R S T L E ,  K O  [140]  rozpatrzyli  zagadnienie  obliczania  n a p r ę ż eń  i  odkształceń  

w o k ó ł  wyrobisk  w  o ś r o d k a ch  modelują cych  sole.  Przyję to,  iż  o ś r o d ek  taki  jest  sprę ż ysto­

­lepkoplastyczny.  Przy  zastosowaniu  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  podano  algorytm 

rozwią zywania  z a d a ń  brzegowych  dla  płaskiego  stanu  odkształcenia. 

Analizę  podziemnych  wyrobisk,  przy  zastosowaniu  metody  elementów  s k o ń c z o n y ch 

i  kryterium  r ó w n o w a g i  granicznej  C o u l o m b a  przedstawiono  w  [138]  (por.  [57]). 

H E U Z E ,  G O O D M A N ,  B O R N S T E I N  [69]  (por.  [35])  analizują  moż liwoś ci  uwzglę dnienia 

szczelinowatoś ci  skał  przy  okreś laniu  n a p r ę ż eń  w o k ó ł  o t w o r ó w  wiertniczych.  R o z w a ­

ż o no  dwie  metody:  1)  « z a b u r z e n i a  szczeliny» (joint perturbation)  i  2)  «zerowego  rozcią­

gania» (no-tension).  M e t o d a  «zerowego  rozcią gania»  uwzglę dnia  fakt,  iż  praktycznie 

rzecz  b i o r ą c,  w y t r z y m a ł o ś ć  skał  szczelinowatych  na  rozcią ganie  jest  zerowa.  Podano 

istotę  tych  dwu  metod  oraz  w y n i k i  obliczeń  numerycznych  (por.  [78a]). Obydwie  te  metody 

dają  w y n i k i  podobne,  natomiast  istnieje  znaczna  rozbież ność  w  p o r ó w n a n i u  z  wynikami 

otrzymanymi  przy  założ eniu,  że  o ś r o d ek  jest  liniowo­sprę ż ysty. 

W  pracy  [18]  przedstawiono  wyniki  obliczeń  n a p r ę ż eń  i  o d k s z t a ł c e ń  w o k ó ł  tunelu 

k o ł o w e g o  o  ś rednicy  8  m  przeprowadzonego  na  głę bokoś ci  500  m  (por.  [87]).  Przyję to 

płaski  stan  odkształcenia.  R o z w a ż a n ia  przeprowadzono  dla  dwu  p r z y p a d k ó w . 

W  przypadku  pierwszym  traktuje  się  o ś r o d ek  jako  kontinuum  sprę ż yste,  natomiast 

w  drugim  j a k o  szczelinowaty.  W  tym  drugim  przypadku  autorzy  mówią  o  « p s e u d o p l a ­

stycznym  d i s k o n t i n u u m » . 



202  J .  J .  T E L E G A 

D l a  o ś r o d ka  szczelinowatego  przyję to,  iż  szczeliny  tworzą  j e d n ą  r o d z i n ę ,  okreś loną  

przez  równolegle  płaszczyzny.  Podano  w y n i k i  obliczeń  dla  nastę pują cych  w a r t o ś ci  ką ta 

nachylenia  szczelin  do  p o z i o m u :  30°, 45°, 60°, 90°. W y n i k i  w  obydwu  przypadkach,  tzn. 

dla  kontinuum  w  p o r ó w n a n i u  z  « d i s k o n t i n u u m » ,  znacznie  się  róż nią.  O m ó w i o n o  t a k ż e 

problem  stabilnoś ci  wyrobisk  (por.  [124,  145]). 

3.3.  Zastosowanie  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  do  obliczania  filarów  przedsta­
wiono  w  pracach  [21a,  52]. 

E D W A R D S  [52]  b a d a ł  stan  n a p r ę ż e n ia  i  odkształcenia  filarów  w  warunkach  laborato. 
ryjnych  jak  i  rzeczywistych.  W y n i k i  numeryczne  otrzymano  stosując  m e t o d ę  elementów 

s k o ń c z o n y c h.  Badania  laboratoryjne  przeprowadzono  m e t o d ą  polaryzacyjno­optyczną. 

Jeś li  eksploatacja  prowadzona  jest  w  okre ś l ony ch  warunkach  to  wyniki  z a r ó w n o  nume­

ryczne  jak  i  laboratoryjne  wykazują  o b e c n o ś ć  znacznej  koncentracji  n a p r ę ż eń  w  filarach. 

Badano  t a k ż e  wpływ  podsadzki  oraz  s p o s o b ó w  wybierania  filarów  na  panują cy  w  nich 

stan  n a p r ę ż e n i a. 

Przeprowadzono  pomiary  n a p r ę ż eń  i  o d k s z t a ł c e ń  w  warunkach  naturalnych.  Czas 

trwania  p o m i a r ó w  wynosił  p ó ł t o r a  roku.  Stwierdzono  rozbież ność  p o m i ę d zy  wynikami 

laboratoryjnymi  a  wynikami  otrzymanymi  w  warunkach  naturalnych. 

3.4.  W  pracach  [24,  26,  45,  92,  106]  przedstawiono  zastosowanie  metody  e l e m e n t ó w 
s k o ń c z o n y ch  do  analizy  p r ó b e k  cylindrycznych.  I  tak  celem  pracy  [106]  było  otrzymanie 

informacji  o d n o ś n ie  wpływu  tarcia  na  k o ń c a ch  p r ó b k i  poddanej  ś ciskaniu  oraz  w p ł y w u 

w s p ó ł c z y n n i k a  Poissona  na  tworzenie  się  szczelin  w  m a t e r i a ł a c h  skalnych  (por.  [24,  26, 

45]). 

L U C K S ,  CHRISTIAN,  B R A N D Ó W ,  H O E G  [92]  badali  na  specjalnym  u r z ą d z e n i u,  p r ó b k i 

cylindryczne  poddane  ś cinaniu  i ś ciskaniu.  Obcią ż enie  jest  tak  p r z y ł o ż o n e,  iż  otrzymuje  się  

niesymetryczny  r o z k ł a d  n a p r ę ż eń  wzglę dnie  osi  p r ó b k i .  A n a l i z ę  n u m e r y c z n ą  t r ó j w y m i a ­

rowego  stanu  n a p r ę ż e n ia  przeprowadzono  stosując  m e t o d ę  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h. 

Podano  wykresy  r o z k ł a d u  n a p r ę ż eń  dla  r ó ż n y ch  p r z e k r o j ó w  p r ó b k i . 

3.5.  G O L D I N  i  TROICKI  [156]  okreś lili  stan  n a p r ę ż e n ia  i  odkształcenia  u  podstawy  i  kra­
wę dzi  bocznych  skalnego  kanionu. 

W  pracy  [56]  rozpatrzono  zagadnienie  obliczania  podziemnych  tam  zaporowych 

zabezpieczają cych  wyrobiska  przed  zatopieniem. 

Moż liwoś ci  zastosowania  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  do  z a g a d n i e ń  kotwienia 

przedstawiono  w  pracach  [36,  71]. 

N A I R  [105]  p r z e p r o w a d z i ł  obliczenia  przemieszczeń  powierzchni  na  terenie  o b j ę t ym 
eksploatacją  górniczą.  W y n i k i  obliczeń  osiadania  niecki  przedstawiono  w postaci  w y k r e s ó w . 

Wciskanie  stempla  betonowego  w  o ś r o d ek  szczelinowaty  przedstawił  M A L I N A  [93]. 
Podano  istotę  s f o r m u ł o w a n i a  uwzglę dniają cego  warunek  graniczny  M o h r a  i  wpływ tar­

cia  mię dzy  blokami  skalnymi. 

B A R T H  [17]  p r z e d s t a w i ł  obliczenia  kawerny, w  k t ó r e j  z n a j d o w a ć  się bę dzie  hala maszyn 
podziemnej  siłowni.  Obliczenia  przeprowadzono  stosując  t r ó j k ą t ne  elementy  s k o ń c z o ne 

o siatce  zagę szczonej  w  p o b l i ż u  konturu. 

Zastosowanie  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  do  z a g a d n i e ń  kruszenia  (drobnienia) 

przedstawiono  w  [78].  Kruszenia  dokonuje  się  stosując  m a t e r i a ł y  wybuchowe. 



M E T O D A  E L E M E N T Ó W  S K O Ń C Z O N Y CH  203 

4.  Uwagi  koń cowe 

Wydaje  się, iż w  masie  prac  p o ś w i ę c o n y ch  zastosowaniu  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o­

nych  do  z a g a d n i e ń  mechaniki  ciała  stałego,  problemom  mechaniki  g r u n t ó w  i  mechaniki 

g ó r o t w o r u  p o ś w i ę c o no  zbyt  m a ł o  uwagi.  Stan  ten  wynika  mię dzy  innym i  ze  złoż onoś ci 

p r o b l e m ó w .  N i e  są  nam  znane  a r t y k u ł y ,  w  k t ó r y c h  stosowano  by  m e t o d ę  elementów 

s k o ń c z o n y ch  do  z a g a d n i e ń  t ą p a n i a. 

Istnieją ce  prace  z  dziedziny  mechaniki  g r u n t ó w  i  mechaniki  g ó r o t w o r u ,  k t ó r y c h  prze­

glą du  d o k o n a l i ś m y,  mają  raczej  charakter  inż ynierski,  praktyczny.  Dlatego  też  nie  prze­

prowadzono  w  nich  analizy  błę dów  i  nie  r o z w a ż o no  zagadnienia  zbież noś ci.  N a l e ż y  tutaj 

p o d k r e ś l i ć,  iż  istnieją  j u ż teoretyczne  opracowania  tych  z a g a d n i e ń  dla  kontinuum  mater­

ialnego  ( p o r ó w n a j  np.  [108]). 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1.  E .  A B S I ,  Methode des  element finis,  Ann.  Inst. techn. batim. et trav. publics, 262,  22  (1969),  1595­1621. 
2.  S.  L .  A G A R W A L ,  W.  R.  H U D S O N ,  Experimental  verification  of discrete­element  solutions for pavement 

slabs,  Highway Res. Rec.  No 329 (1971), 1­19. 
3.  H .  A L L I K ,  T.  J .  R.  H U G H E S ,  Finite  element  method for  piezoelectric  vibration,  Int.  J .  Num.  Meth. 

Eng.,  2  (1970),  151­157. 
4.  D .  J .  D ' A P P O L O N I A ,  T.  W.  L A M B E ,  Method for  predicting initial settlement,  Proc.  A S C E,  J .  Soil  Mech. 

and  Found.  Div.,  2, 96  (1970), 523­544. 
5.  D.  J .  D ' A P P O L O N I A ,  Н .  G .  P O U L O S ,  С .  C .  L A D D ,  Initial settlement  of structures  on clay,  Proc.  A S C E , 

J.  Soil  Mech.  and Found.  Div., 10, 97 (1971),  1359­1377. 
6.  E .  R.  de  A R A N T E S  e  O L I V E I R A ,  Theoretical foundations of the finite element method,  Int.  J .  Solids  and 

Structures,  4  (1968),  929­952. 

7.  E .  R.  de  A R A N T E S  e  O L I V E I R A ,  Completeness  and  convergence  in  the finite  element  method,  Tecnica, 
No  403, 33  (1970),  190­124. 

8.  J .  H .  A R G Y R I S ,  Recent  advances  in  matrix  methods  of structural analysis,  Pergamon Press, 1964. 

9.  J .  H .  A R G Y R I S ,  The impact of the digital computer on engineering sciences, Part I,  Aeronaut.  J . ,  No  709, 
74  (1970),  13­41. 

10.  J .  H .  A R G Y R I S ,  D.  E .  B R O N L U N D ,  J .  R.  R O Y ,  D .  W.  S C H A R P F ,  A  direct  modification  procedure for 
the  displacement  method,  AIAA  J . , 9, 9 (1971), 1861­1864. 

11.  J .  H .  A R G Y R I S ,  A .  S.  L .  C H A N ,  Applications  of the  method of finite  elements  in  space  and  time,  Ing. 
Archiv, 4, 41 (1972), 235­257. 

12.  S.  A T L U R I ,  A  new  assumed stress hybrid finite element model for solid  continua,  AIAA  J . ,  8, 9 (1971), 
1647­1649. 

13.  I.  B A B U S K A ,  The finite  element  method for elliptic  equations  with  discontinuous  coefficients,  Compu­
ting,  3,  5  (1970), 207­213. 

13a.  I.  B A B U S K A ,  M .  B .  R O S E N Z W E I G ,  A finite  element  scheme for  domains  with  corners,  Num.  Math.,  1, 
20  (1972),  1­21. 

13b.  M .  H .  B A L U C H ,  J .  E .  G O L D B E R G ,  S.  L .  K O H ,  Finite  element  approach  to  plane  microelasticity,  Proc. 
A S C E  J .  Struct.  Div.,  9,  98 (1972),  1957­1964. 

14.  R.  D .  B A R K S D A L E ,  Compressive  stress pulse  times  in flexible  pavements for  use  in dynamic  testing, 
Highway  Res. Rec., No  345  (1971), 32̂ 14. 

15.  G .  B A R L A ,  Stresses around a single underground opening near a traction­free surface,  Int.  J .  Rock Mech. 
and  Mining  Sci., 1, 9  (1972),  103­126. 



204  J .  J .  T E L E G A 

16.  G .  B A R L A ,  The  distribution  of  stress around a single  underground opening  in  a layered medium  under 
gravity  loading,  Int. J .  Rock  Mech.  and Mining  Sci.,  1, 9 (1972), 127­154. 

17.  S.  B A R T H ,  Felsmechanische  Probleme beim  Entwurf der  Kaverne  des  Pumpspeicherwerkes Waldecke II., 
Bautechnik,  3, 49 (1972), 73­83. 

18.  M .  B A U D E N D I S T E L ,  H .  M A L I N A ,  L .  M U L L E R ,  Einfluss  von  Diskontinuitdten  auf  die  Spannungen  und 
Deformationen  in der Umgebung  einer  Tunnelrdhre,  Rock  Mechanics,  1, 2  (1970), \7­40. 

19.  Z .  P.  B A Ż A N T,  Matrix differential equation and  higher — order numerical methods for  problems of non­
linear creep,  viscoelasticity  and  elasto­plasticity,  Int. J . Numer.  Meth.  Eng.,  1, 4 (1971), 11­25. 

20.  G .  B I R K H O F F ,  M .  H .  S C H U L T Z ,  R.  S.  V A R G A ,  Piecewise  Hermite interpolation  in  one  and  two  variables 
with  applications  to partial differential equations,  Num.  Math.,  11 (1968), 232­256. 

21.  J .  P.  B L A K E L E Y ,  The  stresses  around  openings  in  rocks,  N .  Z .  Eng.  4,  26  (1971), 105­110. 
21a.  W .  B L A K E ,  Destressing test  at  the  Galena  Mine Wallace,  Idaho. Trans.  Soc.  Min.  Eng.  A I M E .  3, 252 

(1972), 294­299. 
22.  J .  M .  B O I S S E R I E ,  Generation  of  two­  and  three­dimensional finite element,  Int.  J .  Num.  Meth.  Eng., 

3,  3  (1971), 327­347. 
23.  E .  B O T E A ,  I.  M A N O L I U ,  O aplicare  a metodei elemente  lor finite  la calculul  tasarilor  unei  constructii, 

Bui.  sti. Inst,  constr.  Bucuresti,  3,  13 (1970), 107­114. 
24.  В.  I.  B R A D Y ,  Initiation  of  failure  in radially  end­constrained  circular  cylinder  of  brittle  rock,  Int. 

J .  Mech.  and Mining  Sci., 4,  8  (1971), 371­387. 
25.  C .  A.  B R E B B I A .  Integration  of area  and  volume  coordinates  in  the finite­element  method,  AIAA  J . ,  6, 

7  (1969), 1212. 
26.  E . T.  B R O W N ,  J .  A.  H U D S O N ,  M . P.  H A R D Y ,  C .  F.  F A I R H U R S T ,  Controlled failure  of hollow  rock  cy­

linders  in  uniaxial compression.  Rock  Mechanics,  1, 4 (1972), 1­24. 
27.  P.  B U R T O N ,  The shifting roles  of computers; experiments and analysis  in applied mechanics,  Exp.  Mech., 

9,  11 (1971), 385­393. 
28.  G .  C A N T I N ,  An  equation solver  of  very  large  capacity,  Int.  J .  Num.  Meth.  Eng.  3, 3  (1971),  379­388. 
29.  A .  K .  C H O P R A ,  P.  R.  P E R U M A L S W A M ,  Dynamics  of  earth  dams  with  foundation  interaction.  Proc. 

A S C E,  J .  Eng.  Mech.  Div.,  2,  97 (1971),  181­191. 
30.  J .  T.  C H R I S T I A N ,  J .  W .  B O E H M E R ,  Authors  closure  to discussion  on  the  paper:  „Piane  strain  consoli­

dation  by  finite  elements",  Proc.  A S C E,  J .  Soil  Mech.  and Found  Div.,  11, 97  (1971), 1596­1597. 
31.  S.  C H W A Ł A ,  L .  G Ł A D Y S Z ,  Z .  K U R C Z A B I Ń S K I,  Moż liwoś ci  wykorzystania metody  elementów  skoń czonych 

w mechanice  górotworu,  Przegl.  Górniczy,  4,  28 (1972),  133­138. 
32.  P.  G .  C I A R L E T ,  M .  Н.  S C H U L T Z ,  R.  S.  V A R G A ,  Numerical methods  of  high­order accuracy for nonlinear 

boundary  value  problems.  II. Nonlinear  boundary  conditions,  Num.  Math.  4,  11 (1968), 331­345. 
33.  P.  G .  C I A R L E T ,  P.  A.  R A V I A R T ,  Interpolation  de Lagrange  sur  des  elements  finis combes  dans  Rn, 

C. R.  Acad.  Sc. Paris,  274  (21  fevrier  1972), A640­A643. 
34.  G .  W .  C L O U G H ,  J .  M .  D U N C A N ,  Finite element analyses  of retaining wall behavior,  Proc.  ASCE,  J .  Soil 

Mech.  and  Found.  Div., 12, 97 (1971), 1657­1673. 

35.  D .  F.  C O A T E S ,  Y.  S.  Y u ,  A note on  the stress concentrations at  the end of  a cylindrical hole,  Int.  J .  Rock 
Mech.  Min.  Sciences  6,  7  (1970), 583­588. 

36.  D.  F.  C O A T E S ,  Y.  S.  Y u ,  Rock  anchor  design  mechanics.  «Mines  Branch.  Dep.  Energy,  Mines  and 
Resour,  Ottawa  Res. Rept.»,  No R 223 (1971). 

37.  C O M S A  R A D U ;  P O P O V I C I  L A S C A R ,  Asupra  analizei prin  metoda  elementulni finit a starilor  de  eforturi 
si deformatii  din  masivele  de pamint,  Stud,  geotehn., fund,  si constr.  hidrotehn.,  15  (1970), 299­336. 

38.  M .  C O T E S  et  al. Stress  distribution  analysis in solids by  the finite element method: application  to  a tunnel 
with  a semicircular cross section  driven  at little depth  (in French),  Annales des Ponts et Chausses, 4, 
138  (1968), 211­223. 

39.  C R A S T A N ,  Eine  Verallgemeinerung  der  Elementenmethode,  Nucl.  Eng.  and  Des.,  2,  15 (1971), 113­120. 

40.  J .  G .  A.  C R O L L ,  A .  C.  W A L K E R ,  The finite  difference  and  localized Ritz  methods.  Int. J .  Num.  Eng. 
2,  3  (1971),  155­160. 

41.  J .  G .  A .  C R O L L ,  Boundary  simulation  in the  localised  collocation  and  localised  Ritz methods,  Wiss. 
Z .  Hochschule  fur Arch,  und Bauwesen,  Weimar,  2,  19 (1972),  145­150. 

file:///7-40


M E T O D A  E L E M E N T Ó W  S K O Ń C Z O N Y CH  205 

42.  J .  G .  C R O S E ,  Bandwidth  minimization  of  stiffness  matrices,  Proc.  A S C E,  J .  Eng.  Mech.  Div. 1, 
97  (1971),  163­167. 

42a.  R.  E .  D A V I S ,  A .  E .  B A C H E R ,  Concrete arch culvert behavior — phase 2,  Proc.  A S C E,  J .  Struct. Div.,  11, 
98  (1972), 2329­2350. 

43.  F.  H .  D E I S T ,  C.  D I M I T R I O U ,  The finite element  method,  S. Afric.  Mech.  Engr., 5, 19 (1969), 124­126. 
43a.  C H .  S.  D E S A I ,  Seepage  analysis  of earth  banks  under  drawdown,  Proc.  A S C E .  J . Soil  Mech.  Found. 

Div.,  11, 98  (1972), 1143­1162. 
44.  C H .  S.  D E S A I ,  Nonlinear  analyses  using spline  functions,  Proc.  A S C E ,  J .  Soil  Mech.  and  Found, 10, 

97  (1971),  1461­1480.  Closure  to discussion: 9, 98 (1972), 967­971. 
45.  C.  D I N I S  da  G A M A ,  Andlise  da  compressdo  uniaxial  de  provetes  de  rocha pelo  metodo  dos  elementos 

finitos, Tecnica,  403, 33  (1970),  143­155. 
46.  L . J.  D O C T O R S ,  An  application  of the finite element  technique  to boundary  value problems  of potential 

flow, Int. J .  Num.  Meth.  Enh.,  2  (1970), 243­252. 
47.  I.  J .  M A C ­ D O N A L D ,  A general matrix statement  of  multi­dimensional interpolation,  J .  Sound  and  Vibr., 

1,  14 (1971),  137­138. 
48.  C.  S.  D U N S ,  R.  B U T T E R F I E L D ,  Flexible  buried  cylinders.  Part  I. Static  response,  Int. J .  Rock  Mech. 

and  Mining  Sci., 6,  18 (1971), 577­600. 
49.  C.  S.  D U N S ,  R.  B U T T E R F I E L D ,  Flexible buried cylinders.  Part II.  Dynamic response,  Int.  J.  Rock  Mech. 

and  Mining  Sci., 6,  8  (1971), 601­612. 
50.  C.  S.  D U N S ,  R.  B U T T E R F I E L D ,  Flexible buried cylinders. Part III.  Buckling behavior,  Int.  J. Rock  Mech. 

and  Mining  Sci., 6,  8  (1971), 613­627. 
51.  G .  D U P U I S ,  J.  J.  G O E L ,  Finite element  with  high  degree  of regularity,  Int. J.  Num.  Meth.  Eng.,  4, 2 

(1970) ,  563­577. 
52.  D .  B.  E D W A R D S ,  Horizontal pillar extraction  on  Mt.  Isa  mines limited — some rock mechanics aspects, 

Proc.  1 st  Aust. — N .  Z .  Cont.  Geomech.,  Melbourne,  1971, vol. 1, Sydney  1971, 73­79. 
53.  Z .  E I S E N S T E I N ,  Metoda  koneć nych  prvku  v mechanice  zemin,  Inż.  stavby, 2,  19 (1971). 
54.  D.  J .  E W I N G ,  A .  J .  F A W K E S ,  J .  G R I F F I T H S ,  Rules  governing  the  numbers  of  nodes  and  elements  in 

a finite element  mesh,  Int. J. Num.  Meth.  Eng.,  2, 4 (1970), 597­600. 
55.  W .  D .  L .  F I N N ,  P.  M .  B Y R N E ,  F.  B U C H E R ,  Discussion  on  the  paper:  «Plane  strain  consolidation  by 

finite  e!ements»,  by  J .  T .  C H R I S T I A N ,  J .  W .  B O E H M E R ,  Proc.  A S C E,  J .  Soil  and  Found.  Div.,  5, 97 
(1971) ,  808­809. 

56.  W .  F O R S T E R ,  P.  S I T Z ,  Untersuchungen  zur  Beanspruchung  und  Gestaltung  von  untertatigen  Pfropfen 
und  Dammen,  Neue  Bergbautechnik,  8,  1  (1971),  595­603. 

57.  W .  F O R S T E R ,  Zur  Anwendung der  Methode finiter Elemente bei der Losung bodenmechanischer Probleme, 
Neue  Bergbautechnik,  2,  2  (1972),  134­138. 

58.  M .  F R E M O N D ,  Formulations duales des energies potentielles et  complementaires, Application a  la methode 
des elements finis, C . r .  Acad.  Sci., 17, 273 (1971), A 775­A 777. 

59.  I.  F R I E D ,  Discretization  and  computational errors  in high­order finite elements,  A I A A  J . ,  10,  9 (1971), 
2071­2073. 

60.  С.  C .  F u ,  On  the  stability of explicit methods for  the  numerical integration of the  equations of motion 
infinite element methods, Int. J .  Num.  Meth.  Eng.,  1, 4 (1972), 95­107. 

61.  J .  G H A B O U S S I ,  E . L .  W I L S O N ,  Variational formulation  of dynamics  of  fluid­saturated porous  elastic 
solid­,  Proc.  A S C E,  J .  Eng.  Mech.  Div.,  4, 98 (1972), 947­963. 

62.  C .  G I L L E S ,  Rigid body  motions  in  curved finite  elements,  AIAA  J . , 7, 8 (1970). 
63.  J .  P.  G I R O U D ,  H .  W A T I S S E E ,  A .  R A B A T E L ,  Tassements  et contraintes dans  une  couche  de  sol elastique 

supportant  une charge  uniformement ripartie,  Bull.  Liais.  Lab.  rout,  pont et chaussees, No 48 (1970). 
64.  J . J .  G O E L ,  Construction  of basic functions for  numerical utilisation  of Ritz's  method,  Numer.  Math., 

5,  12  (1968), 435­447. 
65.  H .  R.  G R O O M S ,  Algorithm for Matrix bandwidth  reduction,  Proc.  A S C E ,  J .  Struct.  Div.,  1, 98 (1972) 

203­214. 
66.  P.  G U E L L E C ,  A .  D U B O U C H E T ,  Programmes  de  calcul par  la  methode  des  elements finis  d  la  section  de 

mecanique  des  roches  du  L C P C ,  Bull.  Liais.  Lab.  ponts et chausees, No 57 (1972). 



206  J.  J.  T E L E G A 

67.  M . J.  H A D D I N ,  Mats  and  combined footings — analysis  by the finite  element  method,  J . Amer.  Con­
crete Inst. 12, 68 (1971), 945­949. 

68.  G .  C.  H A R T ,  J. D .  C O L L I N S ,  The  treatment  of randomness  in finite  elements  modelling,  SAE  Prepri­
nts,  No 700842. 

69.  F.  E .  H E U Z Ś ,  R.  E .  G O O D M A N ,  A .  B O R N S T E I N ,  Numerical  analyses  of deformability  tests  in jointed 
rock—  «joint  perturbationrt  and  «п о tensions finite element solutions,  Rock  Mech.,  1, 3 (1971), 13­24. 

70.  P.  G .  H O D G E ,  A  consistent finite element  model  for  the  two­dimensional  continuum,  Ing.  —  Archiv. 
39  (1970), 375­382. 

71.  G . W .  H O L L I N G S H E A D ,  Stress  distribution  in rock  anchors,  Can.  Geotechn.  J., 4, 8 (1971), 588­592. 
72.  K .  H O E G ,  Finite element analysis of strainsoftening clay,  Proc.  A S C E ,  J. Soil  Mech.  and  Found.  Div., 

1,  98  (1972), 43­58. 
73.  D .  A.  H U N T ,  Discrete element  structural theory  of fluids,  AIAA  J., 3, 9 (1971),  457̂ 164. 
74.  S. G .  H U T T O N ,  D .  L .  A N D E R S O N ,  The finite  element  method:  a  Galerkin  approach,  Proc.  3 rd  Can. 

Congr.  Appl.  Mech.,  Calgary,  1971, 733­734. 
75.  W.  H U L S ,  Die  Anwendung  der  Finite­Element­Methode  zur  Lbsung  geomechanischer  Aufgaben,  Ber­

gakademie,  10, 21  (1969), 600­604. 
76.  С. T.  H W A N G ,  N .  R.  M O R G E N S T E R N ,  D .  W.  M U R R A Y ,  On solutions  of plane  strain  consolidation 

problems  by  finite element  methods.  Can.  Geotechn.  J.,  1, 8 (1971), 109­118. 

77.  В.  M .  I R O N S ,  A  frontal  solution  program  for  finite  element  analysis,  Int.  J.  Num.  Meth.  Eng.,  1, 2 
(1970), 5­32. 

78  I T O  I T I R O ,  S A S A ,  K O Y T I ,  T A N I M O T O  T I K A O S A , Zastosowanie metody  elementów  skoń czonych  do  zagad­
nień strzelania,  J . Ind.  Explos. Soc. Jap.  1, 32 (1971), 13­17 (po japoń sku). 

78a.  I T O W  T O M I O ,  F U J I I  K I Y O S H I ,  U E S A K A  T S U N E O , NO tension  analysis  on  use  of  rock bolts,  Techn. Repts. 
Osaka  Univ.  22  (1972), 273­283. 

79.  F.  J A B U R E K ,  G .  H O F L E R ,  F.  S T U R M ,  Elementenmethode  zur Berechnung  ebener  Spannungs —  und 
Verformungszustande  —  ein  Hilfsmittel  der  Gebirgsmechanik,  Berg­—und  Huttenmann  Monatsh., 
2,  115  (1970),  32­35. 

79a.  J .  C.  J A E G E R ,  N .  G . W.  C O O K ,  Fundamentals  of  rock  mechanics,  Chapman  and  Hall  Ltd., 1971. 
79b.  J .  J E G I E R ,  M .  S T O P Y R A ,  Zarys  metody  elementów  skoń czonych  i  moż liwoś ci  jej zastosowania  w  górni­

ctwie,  Przegląd  Górniczy,  9  (1972), 389­394. 

80.  W.  M .  J E N K I N S ,  Matrix  and  digital  computer  methods  in structural  analysis,  London  (New York) 
McGraw­Hill,  1969. 

81.  M .  J .  K A L D J I A N ,  Torsional stiffness  of embedded footings,  Proc.  A S C E ,  J .  Soil  Mech.  and  Found. 
Div.,  7,  97  (1971), 969­980. 

82.  H .  K A R D E N S T U N C E R ,  K­tenSors  in discrete  mechanics,  Z A M M ,  1­4,  50 (1970). 

83.  K A W A I  T A D A F U K O ,  Współczesne  kierunki  badań  w metodzie  elementów  skoń czonych,  Seisan  Kenkyu, 
Mon.  J. Inst.  Ind.  Sci. Univ.  Tokyo,  1, 22 (1970), 33^4  (po japoń sku). 

84.  M .  K I N Z E ,  Berechnung ebener erdstatischer Probleme nach  der  Elementenmethode, Baup. — Bautechn., 
9,  24  (1970), 452­456. 

84a.  I.  K I S I E L ,  O podstawach  metody  elementów  skoń czonych,  Archiwum  Hydrotechniki  3,  19 (1972), 
341­358. 

85.  V.  K O L A R ,  The influence functions  in the finite element method,  Z A M M  Sonderheft,  50  (1970),  T 129­
T 131. 

86.  V.  K O L A R ,  The  influence  of  division  on  the  results  in  the finite  element  method,  Z A M M ,  Sonderheft, 
51  (1971),  T  59­T  60. 

87.  K .  K O V A R I , On the dimensioning of underground structures  (in  German), Schweizerische Bauzeitung,  37, 
87  (1969), 687­697. 

87a.  K W A N  Y.  Lo,  C.  F.  L E E ,  Discussion  of paper:  «Finite  element  analysis  of strain — softening  clay» 
by  K .  H O E G ,  Proc.  A S C E ,  J .  Soil  Mech.  Found.  Div.,  9, 98 (1972),  981­983. 

88.  C . A .  L A B E R G E ,  A .  P A Q U E T T E ,  An electrical analogy to the finite element method, Proc. 3 rd  Can. Congr. 
Appl.  Mech.,  Calgary  1971, 225­226. 



M E T O D A  E L E M E N T Ó W  S K O Ń C Z O N Y CH  207 

89.  P.  L A U N A Y ,  The threedimensional  thermoelastic  computer  code  «Titus»,  Prepr.  1 st  Int.  Conf.Struct. 
Mech.  React.  Technol.  Berlin,  1971, vol. 5,  Part  M ,  M 5 ^ t / 1 ­ M 5 ^ ł / 2 1 . 

89a.  I.  K .  L E E , J .  R.  H E R I N G T O N ,  Discussion  of paper:  «Finite  element analyses  of retaining wall behaviors, 
by  G .  W .  C L U O G H ,  J .  M .  D U N C A N ,  Proc.  A S C E,  J . Soil  Mech.  Found.  Div.,  9, 98  (1972),  973­974. 

90.  J .  W .  L E O N A R D ,  Discussion  of papers:  «A general theory  of finite elements, Parts  1­2»,  by  J . T.  O D E N , 
Int.  J .  Num.  Meth.  Eng.,  3, 2  (1970), 295—297. 

91.  J .  W .  L E O N A R D ,  Т .  T.  B R A M L E T T E ,  Finite  element  solutions  of  differential  equations,  Proc.  A S C E, 
J .  Eng.  Mech.,  Div.,  6,  96 (1970),  1271­1283. 

92.  A .  L U C K S ,  J .  T.  C H R I S T I A N ,  G . E .  B R A N D Ó W ,  H .  H O E G ,  Stress  conditions  in  NGI  simple  shear  test, 
Proc.  A S C E,  J . Soil  Mech.  and Found.  Div.,  1, 98  (1972), 155­160. 

93.  H .  M A L I N A ,  The  numerical  determination  of stresses  and  deformations  in rock  taking  into  account 
discontinuities,  Rock  Mech.,  1,  2  (1970),  1­16. 

93a.  L .  M A N S F I E L D ,  On  the  variational characterization  and  convergence  of bivariate splines,  Num.  Math., 
2,  20 (1972), 99­114. 

94.  S.  M A R T I N E T T I ,  G .  M O N T  A N I ,  R.  R I B A C C H I ,  R.  R I C C I O N I ,  Vimpiego  de element! finiti di alto  ordine 
nella  meccanica  dei  terreni e delle rocce,  Riv.  ital. geotecn.,  No 4 bis, 5 (1971), 328­335. 

94a.  S.  M A R T I N E T T I ,  R.  R I B A C C H I ,  Secondo  Congresso  delia  Societa internazionale  di  meccanica delle rocce. 
Riv.  Ital. Geotech. 1, 6 (1972), 37­67. 

95.  F.  M E L K E S ,  The finite  element  method for non­linear problems,  Applikace  Mat.,  3,  15 (1970). 
96.  P.  M .  M E B A N E ,  J .  A.  S T R I C K L I N ,  Implicit  rigid  body  motion  in curved finite  element,  A I A A  J . , 2,  9 

(1971), 344­345. 
97.  D .  M I L O V I C ,  Naponi i pomeranja  u sloju organieene debljine proizvedeni kruź nim  temeljem,  Gradevinar, 

8,  23 (1971), 247­252. 
98.  D .  M I L O V I C ,  Naponi  i pomeranja  и sloju  ogranić ene  debljine proizvedeni  kruź nim  temeljem,  Izgradnja, 

7,  25 (1971), 3­12. 
99.  D .  M I L O V I C ,  Mogucnost primene  metodę  koracnik elemenata  na nehe probleme mehanike  tla,  Tehnika, 

4,  26 (1971),  Nase  gradev,  4,  25 (1971), 649­653. 

100.  D.  M I L O V I C ,  Naponi  i pomeranja  u izotropnom  iii anizotropnom  tlu  usled krutog  kruź nog  temelja,  Iz­
gradnja,  4,  26 (1972),  1­14. 

101.  D .  M I L O V I C ,  Stresses and displacements  in  an anisotropic layer  due to  a rigid circular foundation,  Geo­
technique,  1,  22 (1972), 169­174. 

102.  D .  M I L O V I C ,  J . P.  T O U R N I E R ,  G .  T O U Z O T ,  Une application  de  la mithode  des  elements finis a la  т ё с а ­
nique  des sols,  Ing.­constr.,  147, 68 (1970),  39­41. 

103.  A . R.  M I T C H E L L ,  Variational principles  and  the finite­element  method  in partial differential equations, 
Proc.  Roy. Soc. Lond.,  A  323  (1971), 211­217. 

104.  N .  M O R I N ,  Higher order stiffness tensors for  nonlinear finite element analysis,  Proc.  3  rd  Can.  Congr. 
Appl.  Mech.,  Calgary  1971, 221­222. 

105.  K .  N A I R ,  Analytical methods for  predicting subsidence,  «Land  subsidence. Proc.  Tokyo  Symp.,  1969», 
vol.  2,  Paris  1970, 588­595. 

106.  Y.  N I W A ,  S.  K O B A Y A S H I ,  K .  N A K A G A W A ,  The influence  of  end friction  and Poisson's ratio  on stresses 
in  compressed specimens,  J . Soc. Mat.  Sciences,  196, 19 (1970), 63­69. 

107.  J . T.  O D E N ,  Note on an approximate method for  computing nonconservative generalized forces on finitely 
deformed finite elements,  AIAA  J . , 11, 8 (1970), 2088­2090. 

108.  J . T.  O D E N ,  Finite elements  of nonlinear continua,  McGraw­Hill, 1972. 

109.  J . T.  O D E N ,  H .  J .  B R A U C H L I ,  On the calculation  of consistent stress distributions infinite element appro­
ximations,  Int. J .  Num.  Meth.  Eng.,  3, 3  (1971), 317­325. 

110.  J . T.  O D E N ,  В. E .  K E L L E Y ,  Finite  element  formulation  of general  electrothermoelasticity  problems, 
Int.  J .  Num.  Meth.  Eng.,  2,  3  (1971),  161­179. 

111.  J . T.  O D E N ,  T.  J .  C H U N G ,  J . E .  K E Y ,  Analysis  of nonlinear  thermoelastic  and  thermoplastic  behavior 
of solids of revolution by the finite element method,  Prepr.  1 st Int.  Conf.  Struct. Mech. React. Techn., 
Berlin  1971, vol. 5,  Part  M ,  M5­6/1­M5­6/19. 



208  J.  J.  T E L E G A 

112.  J.  T.  O D E N ,  D.  M .  R T G S B Y ,  D.  C O R N E T T ,  On  the  numerical  solution  a  class  of  problems  in  a  linear 
first strain­gradient  theory  of  elasticity,  Int.  J.  Num.  Meth.  Eng.,  2,  2  (1970),  159­174. 

113.  G .  O L T E A N U ,  Evaluarea fortelar noddle echivalente pentru elementele finite liniare,  Bui.  sti.  Inst, constr. 
Bucuresti,  1/2,  14  (1971), 227­250. 

114.  W.  C.  P A U L S E N ,  Finite  element stress  analysis,  Part  1,  Mach.  Des.,  24,  43  (1971), 46­52. 
115.  W.  С.  P A U L S E N ,  Finite element stress analysis, Part  2.  Mach.  Des.,  25,  43,  (1971), 146­150. 
116.  W.  С.  P A U L S E N ,  Finite  element stress  analysis,  Part  3.  Mach.  Des.,  26,  43  (1971), 90­94. 
117.  J.  V .  P E R U M P R A L ,  J.  B.  L I U E D A H L ,  W.  H .  P E R L O F F ,  The  finite  element  method  for  predicting  stress 

distribution  and  soil deformation  under  a  tractive device,  Trans.  A S A E ,  6,  14,  (1971), 1184­1188. 
118.  P.  E .  P I N T O ,  Sulla  dinamica  del  complesso  suolo  — struttura,  G .  del  Genio  Civile,  9­10,  108  (1970), 

601­636. 
119.  Programy  metody  elementów  skoń czonych.  Praca  zb.  pod  red.  J.  S Z M E L T E R A ,  Arkady  (w  druku). 
120.  N .  R A D H A K R I S H N A N ,  L .  C.  R E E S E ,  A  review  of  applications  of  the  finite  element  method  of analysis 

to problems  in soil and  rock mechanics,  Soils  and  Found.,  3,  10,  (1970), 95­112. 

121.  Y.  R.  R A S H I D ,  T.  Y.  C H A N G ,  Stress  analysis  of  two­dimensional problems  under  simultaneous  creep 
and plasticity, Prepr.  1.  st  Int.  Conf. Struct. Mech. React. Technol., Berlin,  1971,  vol.  5,  Part L , L4­5/1. 

122.  J.  R O B I N S O N ,  G .  W.  H A G G E N M A C H E R ,  Optimization  of  redundancy  selection  in  the finite­element force 
method,  AIAA  J.,  8,  8  (1970),  1429­1433. 

122a.R.  S.  S A N D H U ,  E .  L .  W I L S O N ,  Finite  element  analysis  of  land  subsidence,  «Land  subsidence.  Proc. 

Tokyo  Symp.,  1969.  vol.  2».  Paris,  1970,  393­400. 
122b.G.  S C H M I D ,  Die  Methode  der  finiten  Elemente  ais  Sonderfall  der  Methode  der  gewichteten  Residuen, 

Z A M M ,  9,  52  (1972), 461̂ *69. 
123.  R.  S.  S K J O L I N G S T A D ,  Y.  K .  C H E U N G ,  Three­dimensional field problems  by  higher order finite elements, 

Rev.  Roum.  Sci.  Techn.  Mec.  Appl.,  2,  16  (1971), 359­373. 
124.  T.  R.  S T A C E Y ,  Application  of  the finite  element  method  in  the  field  of  rock  mechanics  with particular 

reference  to  slope  stability,  S.  Afric.  Mech.  Eng.,  5,  19  (1969), 131­134. 
125.  K .  G .  S T A G G ,  О.  C.  Z I E N K I E W I C Z ,  Rock mechanics  in engineering practice,  N .  Y.  John Wiley  and  Sons, 

1968. 
125a.O.  S T E P H A N S S O N ,  Theoretical  and  experimental studies  in  tectonics  and  rock  mechanics.,  Acta  Univ. 

Uppsal.  Abstrs.  Uppsala  Diss.  Fac.  Sci,  197  (1972). 
126.  J.  S Z M E L T E R ,  M .  W I E C Z O R E K ,  Wykresy warstwicowe funkcji F(x,y)  wykonywane na  maszynie cyfrowej, 

Biul.  WAT,  5,  20  (1971), 21­36. 
127.  J.  J.  T E L E G A ,  Zastosowanie programowania  liniowego  do  wyznaczania  noś noś ci  granicznej konstrukcji, 

Mech.  Teor.,  Stos.  1,  9  (1971),  7­52. 
128.  J.  J.  T E L E G A ,  Wyznaczanie  noś noś ci  granicznej  konstrukcji  przy pomocy  programowania  matema­

tycznego,  Rozprawa  doktorska,  Gliwice  1972. 
129.  R.  L .  T H O M A S ,  A .  A R M A N ,  Photoelastic  and  finite  element  analysis  of  embankments  constructed over 

soft  soils,  Highway  Res.  Rec,  No  323  (1971), 71­86. 
130.  P.  T O N G ,  Y.  C .  F U N G ,  Slow particulate  viscous flow  in  channels  and  tubes —  application  to  biomecha­

nics,  Trans.  A S M E ,  J.  appl.  mech.,  4,  38  (1971), 721­728. 

131.  J.  UzNAN,  M .  LrvNEH,  E .  S H K L A R S K Y ,  Cracking  mechanism  of  flexible  pavements,  Proc.  A S C E, 
Transp.  Eng.  J.,  1,  98  (1972),  17­36. 

132.  C.  V A L E N T I N ,  Anwendung  eines  «Elementen­Methode»  Programmes  zur  Losung  von  Temperaturver­
teilungsproblemen,  Nucl.  Eng.  and  Des.,  1,  15  (1971),  56­64. 

133.  S.  V A L L I A P P A N ,  Nonlinear  stress  analysis  of  two­dimensional problems  with  special  reference  to  rock 
and  soil mechanics,  Ph.  D .  Thesis  University  of  Wales. 

133a.R.  S.  V A R S H N E Y ,  Effect  of  foundation  elasticity  on  stresses  in gravity  dams,  Cem.  and  Concr.  3,  12 
(1971), 239­254. 

134.  G .  de  V R I E S ,  D.  H .  N O R R I E ,  The  application  of  the finite­element technique  to potential flow problems, 
Trans.  A S M E ,  J.  appl.  mech.,  4,  38  (1971), 798­802. 

135.  J.  W A L S H ,  Finite­difference  and finite­element method of  approximation,  Proc.  Roy.  Soc.  Lond.,  A  323 
(1971),  155­165. 



M E T O D A  E L E M E N T Ó W  S K O Ń C Z O N Y CH  209 

136.  C H U ­ K I A  W A N G ,  Matrix methods  of structural  analysis,  Scranton,  Internat.  Textbook, 1970. 
137.  M . C.  W A N G ,  J .  K .  M I T C H E L L ,  Stress­deformation prediction  in cement­treated soil pavements, Highway 

Res.  Rec., 351  (1971), 93­111. 
138.  F.  D .  W A N G ,  L .  A .  P A N E K ,  M . C.  S U N , Stability  analysis  of underground openings  using  a  Coulomb 

failure  criterion,  Trans.  Soc. Mining  Eng.  A I M E ,  4,  250  (1971), 317­321. 
139.  S.  K .  W A N G ,  M .  S A R G I O U S ,  Y .  K .  C H E U N G ,  Advanced  analysis  of rigid pavements,  Proc.  A S C E, 

Transp.  Eng.  J . ,  1,  98  (1972), 37­44. 
140.  В.  V .  W I N K E L ,  К .  H .  G E R S T L E ,  H .  Y.  К О,  Analysis  of time­dependent  deformations  of openings  in 

salt media, Int. J . Rock  Mech.  and  Mining  Sci.,  2, 9 (1972), 249­260. 
141.  W.  W U N D E R L I C H ,  Ein  verallgemeinertes  Variationsverfahren  zur  vol len oder  teilweisen  Diskretisierung 

mehrdimensionaler  Elastizitatsprobleme,  Ing., Archiv.,  39  (1970), 230­247. 
142.  Y O S H I T S U R A  Y O K O O ,  K U N I O  Y A M A G A T A ,  H I R O A K I  N A G A O K A ,  Finite element method applied  to Biot's 

consolidation  theory,  Soils  and Found.,  1, 11 (1971), 29̂ 16. 
143.  Y O S H I T S U R A  Y O K O O ,  K U N I O  Y A M A G A T A ,  H I R O A K I  N A G A O K A ,  Variational principles for  consolidation, 

Soils  and Found,  4,  11  (1971), 25­35. 
144.  Y O S H I T S U R A  Y O K O O ,  K U N I O  Y A M A G A T A ,  H I R O A K I  N A G A O K A ,  Finite  element  analysis  of consolidation 

following  undrained  deformation,  Soils  and Found,  4,  11  (1971), 37­58. 
145.  Y.  S.  Y u ,  D .  F .  C O A T E S ,  Analysis  of  rock slopes,  using the finite element method,  Mines Branch.  Dep. 

Energy,  Mines and  Resour Ottawa. Res. Rept., No R 229, 1970(71). 
146.  A .  Z E N I S E K ,  Nektere typy prvku  a ndhradnich funkci  v metode  konecnych prvku,  Stavebn.  ć asop.,  1, 

18  (1970), 48­62. 
147.  A .  Z E N I Ś E K,  Interpolation  polynomials  on  the  triangle,  Numer.  Math.,  4,  15 (1970),  283­296. 
148.  О.  C.  Z I E N K I E W I C Z ,  The finite element method: from intuition  to generality,  Appl.  Mech.  Rev.,  3  (1970), 

249­256. 
149.  О.  C .  Z I E N K I E W I C Z ,  Metoda  elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa  1972  (tł.  z ję zyka  angiels­

skiego). 
150.  O.  C.  Z I E N K I E W I C Z ,  G .  C .  N A Y A K ,  D.  R.  J .  O W E N ,  Composite  and  overlay  models  in  numerical ana­

lysis of elasto­plastic  continua,  «Foundations  of  plasticity.  Warsaw  1972»,  Noordhoff  Int.  Publ. 
Groningen, 107­123. 

151.  M .  Z L A M A L ,  On  the finite  element  method,  Num.  Math.,  5, 12 (1968), 394­409. 
152.  M .  Z L A M A L ,  On  some finite element  procedures  for  solving  second  order  boundary  value problems, 

Num.  Math.,  1,  14  (1969), 42̂ 19. 
153.  Д .  В.  В А Й Н Б Е Р Г,  А.  С.  Г О Р О Д Е Ц К И Й,  В.  В.  К И Р И Ч Е В С К И Й,  А .  С.  С А Х А Р О В.  М е т о д  к о н е ч н о г о  э л е ­

м е н т а в м е х а н и к е  д е ф о р м и р у е м ы х  т е л ,  П р и к л.  М е х .,  8, 8 (1972), 3­28. 
153а.  В.  Л .  В И Л Е Н К И Н,  О н а и л у ч ш е м  п р и б л и ж е н и и  с п л а й н ­ф у н к ц и я м и  н а  к л а с с а х  }1е п р е р ы в н ы х  ф у н к ­

ц и й ,  М а т.  З а м е т к и,  8 (1970). 
154.  М .  В.  В И Т Е Н Б Е Р Г,  В л и я н и е  х а р а к т е р и с т и к  д е ф о р м и р у е м о с т и  и  ф а к т о р а  п о с т е п е н н о с т и  в о з в е ­

д е н и я  н а н а п р я ж е н н о ­д е ф о р м и р о в а н н о е  с о с т о я н и е  п о п е р е ч н о г о  с е ч е н и я  п л о т и н ы  с  я д р о м ,  « Т р. 
В Н ИИ  в о д о с н а б ж .,  к а н а л и з .,  г и д р о т е х.  coop,  и  и н ж.  г и д р о г е о л »,  34,  (1972), 37­42. 

155.  Х Р.  Г А Н Е В,  С Т.  Г Р И Г О Р О В,  Н я к о и  д о п ъ л н е н и я  к ъ м  р е ш а в а н е  н а  д ъ г о в и т е  я з о в и р н и  с т е н и  ч е р е з  
«п е т м о м е н т н и  у р а в л е н и я »,  И з в.  и н ­та  т е х н.  м е х.  Б ъ л г.  А Н .,  7 (1970), 157­176. 

156.  А .  Л .  Г о л ь д и н,  А .  П .  Т Р О И Ц К И Й,  И с п о л ь з о в а н и е  м е т о д а  к о н е ч н ы х  э л е м е н т о в  д л я  р а с ч е т а  н а ­
п р я ж е н н о ­д е ф о р м и р о в а н н о г о  с о с т о я н и я  т р е у г о л ь н о г о  к а н ь о н а ,  И з в.  В Н ИИ  г и д р о т е х н ., 95 (1971) 
98­107. 

157.  В.  П .  К А Н Д И Д О В,  Е .  П .  Х Л Ы Б О В,  О с х о д и м о с т и  м е т о д а  к о н е ч н ы х  э л е м е н т о в  п р и  р а с ч е т е  д и н а ­
м и к и  м е м б р а н ,  П р и к л.  М а т.  М е х .,  3 (1972), 561­565. 

158.  В.  Г.  К О Р Н Е В,  О  м е т о д е  к о н е ч н ы х  е л е м е н т о в  д л я р е ш е н и я  з а д а ч  у п р у г о г о  р а в н о в е с и я ,  В  с б. 
«С т р о и т,  м е х.  с о о р . »,  Л ., 1971, 28­46. 

159.  А . С. Л о г и н о в,  О б  о д н о м  п р е д е л ь н о м  с о о т н о ш е н и и  п р и б л и ж е н и я  с п л а й н ­ф у н к ц и я м и ,  У к р.  М а т. 
Ж у р н а л,  5,  24 (1972), 695­699. 

160.  Э .  Ш .  М Е Л А М Е Д,  Е .  А .  Э Р Е З,  М а т р и ч н ы й  а л г о р и т м  р а с ч е т а  к о н с т р у к ц и и  н а  у п р у г о м  о с н о в а н и и  
с  и с п о л ь з о в а н и е м  м е т о д а  к о н е ч н ы х  э л е м е н т о в ,  Т р.  М о с к.  и н ­та  и н ж.  ж . ­ д.  т р а н с п ., 342 (1969), 
81­87. 

2  Mechanika  Teoretyczna  3/73 



210  J .  J .  T E L E G A 

161.  Л .  H .  Р А С С К А З О В,  M .  В.  В И Т Е Н Б Е Р Г,  Н а п р я ж е н н о ­д е ф о р м и р о в а н н о е  с о с т о я н и е  п л о т и н  и з м е с т н ы х  
м а т е р и а л о в  и  и х у с т о й ч и в о с т ь ,  Т р. В Н ИИ  в о д о с н а б ж .,  к а н а л .,  г и д р о т е х н.  coop,  и и н ж. 
г и д р о г е о л .,  34,  (1972),  18­32. 

162.  Л . А.  Р о з и н,  О  с в я з и  м е т о д а  к о н е ч н ы х  э л е м е н т о в  с  м е т о д а м и  Б у б н о в а ­Г а л е р к и н а  и  Р и т ц а , 
В  с б. «С т р о и т,  м е х. с о о р . »,  Л ., 1971,  6­28. 

163.  Л . А. Р о з и н,  М е т о д  к о н е ч н ы х  э л е м е н т о в  в с т р о и т е л ь н о й  м е х а н и к е ,  С т р о и т,  м е х. р а с ч.  с о о р ., 
5 (1972),  1­7. 

164.  Э. М .  С А Д Е Т О В А,  Я . Д .  Г И Л Ь М А Н,  Ю .  Н .  М У З Ы Ч Е Н К О,  Р а с п р е д е л е н и е  н а п р я ж е н и й  в  л ё с с о в о м  
о с н о в а н и и в п р о ц е с с е е г о у в л а ж н е н и я ,  И з в.  в ы с ш.  у ч е б.  з а в е д .,  С т р ­о  и а р х и т .,  6 (1972), 36­40. 

165.  Ю. Е.  С К А Б И Ц К И Й,  М .  Ф .  Ф Е Д О С О В,  О п р е д е л е н и е  т е н з о р а  н а п р я ж е н и я  у п р у г о г о  т е л а  м е т о д о м  
к о н е ч н о г о  э л е м е н т а ,  С б. н а у ч н.  т р.  К и е в,  и н ­т и н ж. г р а ж д.  а в и а ц и и,  3 (1969),  161­166. 

166.  И . Г.  Т Е Р Е Г У Л О В,  О  м е т о д а х  с в е д е н и я  к о н т и н у а л ь н ы х  н е л и н е й н ы х  з а д а ч  м е х а н и к и  т в е р д о г о д е ­
ф о р м и р у е м о г о  т е л а  к  з а д а ч а м  д и с к р е т н ы м ,  М е х. т в. т е л а,  5 (1972),  21­27. 

167.  А. П .  Т Р О И Ц К И Й,  О п р е д е л е н и е  н а п р я ж е н н о г о  с о с т о я н и я  п л о т и н  и з  м е с т н ы х  м а т е р и а л о в  м е т о д о м  
к о н е ч н ы х  э л е м е н т о в ,  И з в. В Н ИИ  г и д р о т е х .,  95 (1971),  108­121. 

168.  А . П .  Т Р О И Ц К И Й,  П р и м е н е н и е  м е т о д а  к о н е ч н ы х  э л е м е н т о в  к р а с ч е т у  з е м л я н ы х  п л о т и н  н а  с е й с м и ­
ч е с к и е  в о з д е й с т в и я ,  Т р. к о о р д и н а ц.  с о в е щ.  по г и д р о т е х н .,  65 (1971),  130­138. 

Р е з ю ме  

М Е Т ОД  К О Н Е Ч Н ЫХ  Э Л Е М Е Н Т ОВ  В  М Е Х А Н И КЕ  Г Р У Н Т ОВ  
И  В  М Е Х А Н И КЕ  Г О Р Н ЫХ  М А С С И В ОВ  

В  р а б о те  д ан о б з ор  н о в е й ш их  р а б о т,  п о с в я щ е н н ых  п р и м е н е н и ям  м е т о да  к о н е ч н ых  э л е м е н т ов  
к  з а д а ч ам  м е х а н и ки  г р у н т ов  и  м е х а н и ки  г о р н ых  м а с с и в о в. 

S u m m a r y 

FINITE  E L E M E N T  M E T H O D  IN  SOIL  A N D  R O C K  MECHANICS 

The  paper  presents a review  of recent achievements  in the field  of application  of the finite elements 
method  to the problems of soil and rock  mechanics. 

P O L I T E C H N I K A  Ś L Ą S KA 

Praca została  złoż ona  w Redakcji  dnia  29 stycznia  1973 r.