Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z3.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  3,  11  (1973)  WPŁYW  WSTĘ PNYCH  UGIĘĆ  NA  PRACĘ  PŁYTY  PROSTOKĄ TNEJ,  ZGINANEJ  W  SWEJ  PŁASZCZYŹ NIE  W s t ę p ne  ugię cia  grają  znaczną  rolę  w  zagadnieniach  statecznoś ci  płyt  cienkoś ciennych  i  mają  p o w a ż ny  wpływ  na  p r a c ę  tych  płyt  w  warunkach  obcią ż eń  ponadkrytycznych.  Dotyczy  to  tych  p r z y p a d k ó w  obcią ż enia,  gdy  —  o p r ó c z  obcią ż enia  poprzecznego  —  istnieją  również  siły  działają ce  w  płaszczyź nie  ś r o d k o w ej  płyty,  bą dź  też  gdy  stanowią  one  jedyne  obcią ż enie  tych  płyt.  Wpływ  tych  sił  na  k o ń c o wy  stan  n a p r ę ż e n ia  i  odkształcenia  zależy  bowiem  nie  tylko  od  ugię cia  dodatkowego  wx  w y w o ł a n e g o  p r z y ł o ż o n ym  obcią ż e­ niem,  lecz  r ó w n i e ż  od  ugię cia  wstę pnego  и '0 .  Z  tego  też  wzglę du  przeprowadzenie,  w  przy­ padkach  takiego  obcią ż enia,  analizy  wpływu  ugięć  wstę pnych  na  stan  n a p r ę ż e n ia  i  o d k s z t a ł ­ cenia  płyty  wydaje  się  n i e z b ę d n e.  Praca  cienkoś ciennej  płyty  p r o s t o k ą t n ej  po  utracie  statecznoś ci,  wywołanej  zginaniem  w  płaszczyź nie  płyty,  z o s t a ł a  szczegółowo  przeanalizowana  przy  założ eniu  płaskiej  postaci  tej  płyty  w  stanie  p o c z ą t k o w ym  [3].  Celem  niniejszej  pracy  jest  zbadanie  wpływu  w s t ę p­ nego  ugię cia  takiej  płyty  na  jej  stan  k o ń c o wy  dla  przypadku  takich  samych  w a r u n k ó w  obcią ż enia,  to  znaczy  zginania  płyty  w  jej  płaszczyź nie  ś r o d k o w e j.  Przyjmują c,  że  k o ń c o we  ugię cia  płyty  są  rzę du  jej  gruboś ci,  zagadnienie  rozpatrzono  w  oparciu  o  nieliniową  teorię   płyt.  Przedmiotem  r o z w a ż ań  jest  cienka,  p r o s t o k ą t n a,  izotropowa  p ł y t a  o  stałej  g r u b o ś ci  //,  swobodnie  podparta  na  c a ł y m  swym  obwodzie.  Z a k ł a d a  się  ponadto,  że  przy  o d k s z t a ł ­ ceniach  płyty  jej  k r a w ę d z ie  p o z o s t a n ą  zawsze  prostoliniowe.  M a  to  miejsce  w  przypadku  wzmocnienia  tych  k r a w ę d zi  odpowiednimi  listwami  usztywniają cymi.  Obcią ż enie  płyty  przyję to  w  postaci jednokierunkowego  r o z k ł a d u  sił  liniowo  zmiennych  w z d ł u ż  krawę dzi  x  =  0  i  x  =  a,  p r z y ł o ż o n y ch  w  płaszczyź nie  ś r o d k o w ej  płyty.  Stan  taki  da  się  okreś lić  nastę pują cym  w y r a ż e n i em  o  ogólnej  postaci  Obcią ż enie  przedstawione  na  rys.  1  odpowiada  w a r t o ś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  a  =  2,  dla  któ­ rego  zachodzi  przypadek  czystego  zginania.  W Ł A D Y S Ł A W  W A L C Z A K  ( Ł Ó D Ź )  1.  Wstęp  2.  Przyję te  założ enia  oraz  podstawy teoretyczne  (2.1)  2*  212  W Ł .  W A L C Z A K  D l a  parametru  k0  przyję to  założ enie,  że jest  on  liczbowo  wię kszy  od  wartoś ci  odpowia­ dają cej  obcią ż eniu  krytycznemu.  Z a ł o ż o n o,  że  powierzchnia  ś r o d k o wa  płyty  nie  jest  po­ wierzchnią  idealnie  płaską,  lecz  ma  p o c z ą t k o wą  krzywiznę.  W  k a ż d ym  jej  punkcie  istnieje  zatem  pewne  wstę pne  ugię cie  и 0 .  Przyję to,  że  jest  ono  m a ł e  w  p o r ó w n a n i u  z  gruboś cią   płyty.  Rys.  1.  Schemat  obcią ż enia  płyty  Najmniej  korzystna  —  z  punktu  widzenia  pracy  płyty  przy  obcią ż eniach  ponadkry­ tycznych  — jest  taka  p o s t a ć  wstę pnego  ugię cia,  j a k ą  pierwotnie  p ł a s k a  p ł y t a  przyjmuje  po  utracie  statecznoś ci.  W  rozpatrywanym  przypadku  podparcia  i  obcią ż enia  p o s t a ć  t a k ą   m o ż na  p r z e d s t a w i ć  j a k o  wynik  n a ł o ż e n ia  się  jednej  półfali  sinusoidy  w  kierunku  osi  0x  z  u k ł a d e m  i  półfal  w  kierunku  poprzecznym.  Z a ł o ż e n ie  takie  w e d ł u g  [4] jest  słuszne  w  od­ niesieniu  do  płyt,  dla  k t ó r y c h  stosunek  długoś ci  krawę dzi  ajb  <  0,95.  Z a k ł a d a  się  ponadto,  że  w  m i a r ę  wzrostu  w a r t o ś ci  parametru  obcią ż enia  k0  powyż ej  wartoś ci  krytycznej,  zmiana  pierwotnie  płaskiej  postaci  płyty  zachodzi  stopniowo:  w  pierwszym  przybliż eniu  p ł y t a  przyjmuje  po  wyboczeniu  kształt  bę dą cy  wynikiem  kombinacji  jednej  półfali  sinusoidy  w  kierunku  osi  0.v  z  dwiema  półfalami  w z d ł u ż  osi  Oy,  w  drugim  przybliż eniu  —  jednej  półfali  wzdłuż  osi  0x  z  trzema  półfalami  wzdłuż  osi  Oy itd.  [3].  W  rozpatrywanym  zagadnieniu  z a ł o ż o no  kształt  w s t ę p n e go  ugię cia  powierzchni  ś r o d k o w ej  płyty  w  postaci  odpowiadają cej  pierwszemu  przybliż eniu.  M o ż e  on  być  zatem  opisany  za  p o m o c ą  nastę pują cej,  dwuparametrowej  funkcji  wstę pnej  ugię cia  (2.2)  щ  =  s i n ­ ^  / < ° > s i n ­ ^  + / 2 ° > s i n ­ C .  .  W  wyraż eniu  tym  stałe  a  i  b  są  długoś ciami  krawę dzi  płyty,  zaś  f{0)  i f2 0)  są  nieznanymi  parametrami  ugię cia.  Parametr / } 0 )  r ó w n y  jest  przesunię ciu  (wzdłuż  normalnej  z)  ś r o d ka  płyty  z  płaszczyzny  xy,  wyznaczonej  przez  k r a w ę d z ie  jej  powierzchni  ś r o d k o w e j.  W P Ł Y W  U G I Ę Ć  N A  P R A C Ę  P Ł Y T Y  P R O S T O K Ą T N EJ  213  Postawione  zagadnienie  zostanie  rozwią zane  w  oparciu  o  nieliniową  teorię  płyt.  P o d  wpływem  p r z y ł o ż o n e go  obcią ż enia  powierzchnia  ś r o d k o wa  płyty  ulega  odkształceniu,  a  jej  poszczególne  punkty  odpowiednim  przemieszczeniom.  S k ł a d o w e  stanu  przemiesz­ czenia  dowolnego  punktu  A  powierzchni  ś r o d k o w ej  płyty  wzdłuż  k i e r u n k ó w  л ', у  oraz  z  oznaczono  odpowiednio  przez  u  =  u(x,y),  v  =  v(x,y)  oraz  »v =  w(x,  y).  S k ł a d o w a  w  przemieszczenia  w  kierunku  normalnej  do  powierzchni  ś r o d k o w ej  płyty  odpowiada  peł­ nemu  ugię ciu  płyty  w  stosunku  do  płaszczyzny  xy,  a  więc  w s t ę p n e mu  w0  z w i ę k s z o n e mu  o  dodatkowe  ugię cie  w , ,  w y w o ł a n e  danym  obcią ż eniem.  Odpowiednio  s k ł a d o w e  stanu  odkształcenia  oznaczono  przez  ex,  ey  i  yxy.  S k ł a d o w e  te  wyraż ają  się  za  p o m o c ą  s k ł a d o w y c h  stanu  przemieszczenia  u,  v  i  w  zwią zkami,  k t ó r e  przy  uwzglę dnieniu  duż ych  ugięć  płyty  mają  nastę pują cą  p o s t a ć  [2]:  du  1  / З и Л2  1  /dw0  £*  =  —  +  —  I —  I  (2.3)  dx 2  \dxj 2  \  dx  dv  1  / <З и Л2  ~dy~+2\8j) ' 1  ldw0\ 2  2  \  dy j ' du  dv  dw  dw  dwQ  dwQ  ^xy  dy  dx  dx  dy  dx  dy  Jeż eli  z  otoczenia  dowolnego  punktu  A  wydzielimy  element  płyty  o  dowolnie  m a ł y c h  długoś ciach  dx  i  dy  k r a w ę d z i,  wycię ty  płaszczyznami  równoległymi  do  płaszczyzn  zx  i  zy,  to  do k r a w ę d zi  tego  elementu  należy  przyłoż yć  nastę pują ce  siły  przekrojowe:  siły  normalne  NX  i NY,  siły  styczne TXY = TYX = T,  siły  poprzeczne QX  i QY,  momenty  gną ce MX  i MY oraz  momenty  skrę cają ce MXY  i MYX.  Siły  te,  zredukowane  do  powierzchni  ś r o d k o w ej  wycię tego  elementu  i  odniesione  do  jednostki  długoś ci  jego  k r a w ę d z i,  przedstawiono  na  rysunkach  2a  i 2b.  214  W Ł .  W A L C Z A K  Momenty  gną ce  i  skrę cają ce  oraz  siły  poprzeczne  zależą  od przyrostu  ugię cia  płyty  i  wyraż ają  się  nastę pują cymi  wzorami  [1,2]:  Г д2  д2  1  Mx  =  ­D  (w­ w0)+v~^2~  (w­ w0)J  ,  (2.4) My =  ­ я [ ­ |г  ( v ­ O + x s^^­^o)], d2 Mxy  = Myx  =  ­ ( l ­ v ) Z » ^ ­ ^ ­  Ov­iv0),  (2.5)  oraz  QX = ­DTX{V 2(W­WO)], Qy  =  — D  ~  \V 2(w  — w0)].  We  wzorach  tych  D oznacza  płytową  sztywność  zginania  Fh3 (2.6)  D=  U ' 12(1 ­v2)  '  Natomiast  b ł o n o w e  siły  w e w n ę t r z ne  Nx,Ny  i  Г  o k r e ś l o no  za  p o m o c ą  funkcji  na­ p r ę ż eń  A i r y ' e g o  Ф = Ф [х , у ) wzorami  [1, 2]  д2Ф  д2Ф  д2Ф   (2.7)  Nx  = h ° ,  Ny  = h ^ ,  Г =  с у2  '  " »  "  d x 2 '  "  "  д х д у "  W  ten s p o s ó b  wszystkie  siły  w e w n ę t r z ne  wyraż ają  się za p o m o c ą  bą dź  funkcji  n a p r ę ż eń   Airy'ego  Ф =  Ф (х ,у ),  bą dź  funkcji  (w—w0)  przyrostu  ugię cia  płyty,  w y w o ł a n e g o  przy­ ł o ż o n ym  obcią ż eniem.  Funkcje  te zwią zane  są ze sobą  u k ł a d e m  d w ó c h  nieliniowych  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  czą stkowych  noszą cych  n a z w ę  r ó w n a ń  K a r m a n a  [1,2].  D l a rozpatrywanego  zagadnienia  r ó w n a n i a  te mają  p o s t a ć   ч  д 2Ф  d2w  82Ф  82w  .  д2Ф  d2w  h  v  °'  д у2  д х2  д х2  д у2  д х д у  д х д у   oraz  (2.9)  V2V2 =  ­  Ł  [L(w,  w)­L(w0,  w0)].  W  r ó w n a n i a c h  powyż szych  symbolem  V 2 V 2  oznaczono  p o d w ó j n y  operator  r ó ż n i c z k o wy  Laplace'a  (2  10)  V 2 V 2 (  ) ­ ­Ш  i 2  a 4 ( ­ }  l g 4 ( ­ }  symbol  zaś L w r ó w n a n i u  (2.9)  jest  operatorem  r ó ż n i c z k o w ym  drugiego  r z ę du  o  postaci  ( 2 ­ П )  В Д Ц^Р   з а ( . . . )  , ' 5 2(...)  '  5 j 2  '  W P Ł Y W  U G I Ę Ć  N A  P R A C Ę  P Ł Y T Y  P R O S T O K Ą T N EJ  215  Zwią zki  (2.8)  i  (2.9)  stanowią  podstawowy  u k ł a d  nieliniowych  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  czą stkowych,  służ ą cy  do  rozwią zywania  z a g a d n i e ń  płyt  o  duż ych  ugię ciach,  z  uwzglę dnie­ niem  ich  ugię cia  w s t ę p n e g o.  Rozwią zanie  tego  u k ł a d u  r ó w n a ń ,  k t ó r e  na  ogół  daje  się   u z y s k a ć  jedynie  metodami  p r z y b l i ż o n y m i,  pozwala  na  okreś lenie  funkcji  n a p r ę ż eń  Ф  =  =  Ф(х ,у )  oraz  funkcji  ugię cia w = w(x, y).  Wyznaczenie  zaś  n a s t ę p n ie  z  ich  p o m o c ą   wszystkich  wielkoś ci  okreś lają cych  stan  n a p r ę ż e n ia  i  o d k s z t a ł c e n i a  rozpatrywanej  płyty  daje  m o ż n o ść  oceny  wpływu  w s t ę p n e go  ugię cia  płyty  na  jej  stan  k o ń c o w y.  3.  Rozwią zanie  zagadnienia  Celem  uzyskania  rozwią zania  postawionego  zagadnienia  w  oparciu  o  r ó w n a n i a  (2.8)  i  (2.9)  z a ł o ż o no  t a k ą  p o s t a ć  funkcji w — w(x, y)  okreś lają cą  k o ń c o we  ugię cie  płyty  w  sto­ sunku  do  płaszczyzny xy,  aby  opisywała  ona  — z  moż liwie  dobrym  przybliż eniem  —  kształt,  j a k i  przyjmie  p ł y t a  p o d  w p ł y w e m  danego  obcią ż enia.  Zgodnie  ze  w s t ę p n y mi  uwagami  dla  funkcji  tej  przyję to  identyczną  p o s t a ć , ' j ak  dla  funkcji  ugię cia  w s t ę p n e go w0 .  л х  Г,  .  л у  .  . 2т е у   (3.1)  w =  sin —  / ,  sin —  +f2  sin  — у  .  Współczynnikif t  i f2  wystę pują ce  w  powyż szym  wyraż eniu  są  nieznanymi  parametrami  ugię cia,  przy  czym  współczynnik fx  przedstawia  ugię cie  ś r o d ka  płyty.  Przyję ta  funkcja  w s t ę p n e go  ugię cia w0 = wQ(x, y),  j a k  i  funkcja  k o ń c o w e go  ugię cia  płyty  w  = w(x, y),  spełniają  z a ł o ż o ne  warunki  swobodnego  podparcia  k r a w ę d zi  płyty.  Jak  w y n i k a  bowiem  z  wyraż eń  (2.2)  i (3.1),  (w0)x=0  =  (łv0)x=« =  (w0)y=o  =  (w0)y=b  =  0,  (3 2)  (w)x=o  = (w)x=a =  ( ł v ) , = 0  = (W)y=b  =  0,  na  podstawie  zaś  zwią zku  (2.4)  zachodzi  (3.3)  (Mx)x=0  =  (Mx)x=a  =  0,  ( M , ) J = 0  =  ( M ,) , = e  =  0.  D l a  wyznaczenia  przybliż onej  postaci  funkcji  n a p r ę ż eń  Ф  =  Ф(х ,  у ),  za  p o m o c ą   które j  o k r e ś l o ne  są  b ł o n o w e  siły  przekrojowe  /V*, Ny  i  T,  wykorzystano  r ó w n a n i e  (2.9),  k t ó r e  — przy  uwzglę dnieniu  wyraż eń  (2.2)  i  (3.1)  — przyjmie  p o s t a ć   (3.4)  ­ ^ Д ­ /̂   +  8 ( / l ­ / ^ ) ( c o s ^ + C o s ^ ) } .  Jeż eli  do  powyż szego  r ó w n a n i a  w p r o w a d z i ć  nastę pują ce  współczynniki  bezwymiarowe:  X =  ajb  — w s p ó ł c z y n n i k  k s z t a ł t u  p ł y t y ;  f 0  = f[°^jh  —  współczynnik  w s t ę p n e go  ugię cia  płyty,  zredukowanego  w  stosunku  do  jej  g r u b o ś c i;  (3.5) i = fi/ft—współczynnik  k o ń c o w e go  ugię cia  płyty,  zredukowanego  w  stosunku  do  jej  g r u b o ś c i;  П  = / 2 0 ) / / l 0 ) ,  V = / 2 / / i ,  216  W Ł .  W A L C Z A K  to  funkcja  n a p r ę ż eń  Ф  =  Ф (х ,  у ),  k t ó r a  jest  o g ó l n y m  rozwią zaniem  tego  r ó w n a n i a ,  bę dzie  m i a ł a  p o s t a ć :  Ф (х ,у )  =  ^ { ^ t ( l 2 ­ f a ) + 4 ( I V ­ f o > § ) ] c o s ^  +  ^ ! ^ c o s ^  +  + (£2y>-£oy>o)  ­ c o s ­ ^ ­  +  — c o s ­ ^ ­  +  b  9 b (3.6)  / 9  jry  1  З л у \  2л х   + I  /1  •  . M 2 V 2  COS  ­ j ­  ­ ,QA_,n2,2  COS  —  )COS ( 1 + 4 / Я 2 ) 2  Z>  (9 +  4 Д 2 ) 2 ^  Ь  / w ° a Ostatni  człon  powyż szego  wyraż enia  jest  rozwią zaniem  r ó w n a n i a  jednorodnego  ,  , ^  d40>  „  5 4 Ф  дАФ  „  ^  v 2 v 2 < ?  = ̂ + 2 w  +  ^  =  0­ B ł o n o w e  siły  przekrojowe  / V x ,  TV, i  T  wyraż ają  się  za  p o m o c ą  funkcji  n a p r ę ż eń  Ф (х ,  у )  z w i ą z k a mi  (2.7).  Wykorzystując  zatem  wyraż enie  (3.6)  otrzymujemy  л2Е 1г3  f ( £ 2 ­ £ o )  2я у  , . ,  h 2  . Г  л у  ,  З лу   ^  =  ~ ­4я ф ­{  2   0 0 5 ~/ Г  +  ( |  У   " ^ ° У о ) [ ­ c o s ­ ^  + c o s ­ ^  +  „ , . /  1  7Tv  1  З т г у\  2 я х   + 9 Я  h * W c o s i r ­  W W C O S T ) C O S T |   +   _2  22E'Ł3  (  +  8 ( ^ ­ f 2 v o ) [ W W o o . T ­  ­  ^ ^ c o s ­ ^ j j c o s — ,  А  3  .  л у  1  .  З л у Л  .  2л х   ( ^ ­ * 4 ( I W S M T ­ W W S M T ] S , N T '  (3.8)  т  =  2вй   Trzecie  z  otrzymanych  powyż ej  wyraż eń  staje  się  r ó w n e  zeru  dla  x  =  0  i  x  =  a  oraz  у  == 0  i  у  — b.  Stąd  wynika,  że  na  obwodzie  płyty  nie  ma  sił  stycznych  T  zgodnie  z  przy­ j ę t y mi  uprzednio  z a ł o ż e n i a mi  dotyczą cymi  jej  podparcia  i  obcią ż enia.  Siły  normalne  Nx  i Ny  spełniają  warunki  obcią ż enia  k r a w ę d zi  płyty  w  s p o s ó b  całkowy.  D l a stanu  począ t­ kowego,  to  znaczy  gdy  £  =  f 0  oraz  y>  =  y>0,  jest  Nx=  ­koh\l­­jy\;  Ny  =  0.  Obcią ż enie  k r a w ę d zi  płyty  siłami  Nx  i Ny  sprowadza  się zatem  do  pierwotnego,  liniowo  zmiennego  r o z k ł a d u  sił  p r z y ł o ż o n y ch  jedynie  do  k r a w ę d zi  x  = 0  i  x  =  a  (rys.  1).  N a t o ­ miast  po  utracie  statecznoś ci,  gdy  w a r t o ś ć  liczbowa  parametru  k0  obcią ż enia  tych  k r a w ę d zi  przekroczy  w a r t o ś ć  krytyczną,  stan  obcią ż enia  wszystkich  k r a w ę d zi  p ł y t y  ulega  zmianie.  W P Ł Y W  U G I Ę Ć  N A  P R A C Ę  P Ł Y T Y  P R O S T O K Ą T N EJ  217  M i a n o w i c i e  r o z k ł a d  sił Nx  wzdłuż  k r a w ę d zi x =  0  i x = a  zachowuje  liniowy  charakter  pierwotnego  obcią ż enia  jedynie w rozcią ganej  czę ś ci  płyty.  W czę ś ci  ś ciskanej  zaś  wystę puje  w y r a ź ne  o d s t ę p s t wo  o d  r o z k ł a d u  liniowego,  rosną ce  wraz  ze  wzrostem  ugię cia  płyty.  M a k s y m a l n a  w a r t o ś ć  obcią ż enia  w  tej  czę ś ci  płyty  jest  wię ksza  od  w a r t o ś ci  wynikają cej  z  r o z k ł a d u  liniowego.  N a  p o z o s t a ł y c h  k r a w ę d z i a ch  płyty  pojawia  się natomiast  z r ó w n o ­ w a ż o ny  r o z k ł a d  sił Ny,  zmieniają cych  się  wzdłuż  k r a w ę d zi  według  funkcji  cos2nx/a. Maksymalne  w a r t o ś ci  tych  sił na krawę dzi  у  =  0 są kilkakrotnie  wię ksze  od odpowiednich  w a r t o ś ci  na  krawę dzi  у — b [3].  O m ó w i o n e  powyż ej  siły  powstają  na  skutek  zachowania  p r o s t o l i n i o w o ś ci  k r a w ę d zi  płyty.  M o ż na  w y k a z a ć ,  że  przy  z a ł o ż o n y ch  postaciach  funkcji  ugię cia  w s t ę p n e go  (2.2)  i  k o ń c o w e go  (3.1)  oraz  otrzymanej  postaci  funkcji  n a p r ę ż eń  (3.6),  przyję te  na  wstę pie  założ enie  zachowania  p r o s t o l i n i o w o ś ci  tych  k r a w ę d zi  jest  w rozpatrywanym  zagadnieniu  spełnione.  O d p o w i a d a j ą ce  p o w y ż s z ym  siłom  przekrojowym  s k ł a d o w e  ax, ay i r xy  stanu  n a p r ę ż e­ nia  w  powierzchni  ś r o d k o w ej  płyty  m o ż na  wyrazić  za p o m o c ą  nastę pują cych  bezwymiaro­ wych  w s p ó ł c z y n n i k ó w  [3]:  (3.9)  a*  =  oy  r *  =  r   a2 Nxa 2 Eh2 Eh3 b2 Nyb 2 Eh2 Eh3 b2 Tb2 *У   >*У   E H 2  ~  E H 3  •  Jeś li  ponadto  dla parametru  obcią ż enia k 0  przyjąć  r ó w n i e ż  bezwymiarowy  współczynnik  o  postaci  [3]  (З Л О)  к *0 = к 0 ­ ^ ,  to  bezwymiarowe  współczynniki  (3.9)  b ł o n o w e g o  stanu  n a p r ę ż e n ia  bę dą,  przy  wyko­ rzystaniu  zwią zków  (3.8),  o k r e ś l o ne  nastę pują cymi  w z o r a m i :  * _ _  n 2  f ( £ 2  —  £o)  2ny  „ ,  .  Г  ny  ,  Ъ п у   ~4~ i  2  ° O S  ­jr  +  tfV­t°  V>o) | ­ c o s ­ ^ ­ +  cos  —g­  +  „ , . /  1  ny  1  З я у\  2nx 1  Ч 4 )2  ™°  b  (9P+4)2  —  b  / ~ "  a j  +  ( f V ­ W ) C 0 S ^ } _ ^ . ^ a ^  (3.11)  a*  =  ­n 2{j[(e­ti)  +  4 C 2 y > 2 +  Г  9  ny  1  З я у 1\  2т гх   т ^ Ч о Ч ) ^ »^  ­  w c o S T ) j c o s T ,  3  Г  з  nv  1  З я у!  .  2 ж с   218  W Ł .  W A L C Z A K  Momenty  gną ce  Mx  i My  oraz  moment  skrę cają cy  Mxy,  powstają ce  w wyniku  zmiany  krzywizny  płyty  wywołanej  p r z y ł o ż o n ym  obcią ż eniem,  d a d z ą  się również  wyrazić  za  po­ m o c ą  bezwymiarowych  w s p ó ł c z y n n i k ó w  o  postaci  [3]  V.U) Mx E h 2 \ h ] >  У  Eh 2\hl'  x y  Eh2\ht  N a  podstawie  w z o r ó w  (2.4) oraz  wyraż eń  (2.2)  (3.1) i  (3.5)  powyż sze  współczynniki  okreś lone  bę dą,  po wprowadzeniu  do  nich  w s p ó ł c z y n n i k ó w  zdefiniowanych  w y r a ż e n i a mi  (3.5),  nastę pują cymi  wzorami  M * = T 2 ^ b ­ ^ ( 1 + ^ ) s i n T L  +  i  71Х   +  (bp ­  io y>o) O + 4vA 2 ) sin  sm  —  a  (3.13)  U  ^  (i­i0)(P+v)Sm^­  +  12(1­v2)  2  Ь   +  (Cy>­£0y>0)(4P+v)sm^^­  sin  —  a  M*y  ж   ( I  ­  f о) cos  —  +  2 ( f у  ­  i о ip о) cos  — у ­  cos  —  1 2 ( 1 ­ v 2 )  Momenty  Мх,  Му  i М х у są  wypadkowymi  odpowiednich  s k ł a d o w y c h  dodatkowego,  zgię ciowego  stanu  n a p r ę ż e n i a,  a  ich  maksymalne  w a r t o ś ci  o k r e ś l o ne  są za  p o m o c ą  w z o r ó w  n  i^n  (  \  6 M x  (n  л  ­   6 M y  (  \  ­  6 M x y  D l a  powyż szych  wielkoś ci  m o ż na  również  w p r o w a d z i ć  bezwymiarowe  współczynniki  o  postaci [3]  i*  *  _  V"*g/mŁx I " I (3.15)  a*  =  (°*»)max  r E  U  (°J>e)max  К   E  U  (Te)m»»  /  "  E  \ h)  k t ó r e ,  przy  wykorzystaniu  w y r a ż eń  (3.6),  o k r e ś l o ne  bę dą  nastę pują co  [3]:  o*  = х в  Eh2  '  £ Л 2 ' л  /  W P Ł Y W  U G I Ę Ć  N A  P R A C Ę  P Ł Y T Y  P R O S T O K Ą T N EJ  219  W p r o w a d z a j ą c  współczynniki  C0>y>0,Ciip  do  w y r a ż eń  (2.2)  i  (3.1),  m o ż na  funkcje  w0  i  w,  z a r ó w n o  w s t ę p n e go  jak  i  k o ń c o w e go  ugię cia  płyty,  wyrazić  również  bezwymiaro­ wymi  w s p ó ł c z y n n i k a m i  o  postaci  [3]  (3.17)  oraz  (3.18)  л  w0  .  т е х  .  я у   wg  =  ­ у ­  =  f 0 s i n  s i n — ­  ­bwosm  li  a  l  b  .  2я у   w  w  .  .  т е х Г .  т ъ у  .  2л у   =  ­ г ­  =  £ s m  s i n — — b v s i n ­ ­ ­ —  h  a  L  b  b  A  zatem  dla  pełnego  okreś lenia  stanu  n a p r ę ż e n ia  i  odkształcenia  płyty  konieczne  jest  wyznaczenie  bezwymiarowych  w s p ó ł c z y n n i k ó w  ip  i  k*  w  ż ależ onś ci  od  w s p ó ł c z y n n i k ó w  w s t ę p n e go  ugię cia  f 0  i  V>o  —  dla  r ó ż n y ch  w a r t o ś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  f  ugię cia  k o ń c o w e go  płyty.  Wykorzystamy  w  tym  celu  r ó w n a n i e  (2.8),  k t ó r e  rozwią ż emy  stosując  m e t o d ę   Galerkina.  W  rozpatrywanym  przypadku  muszą  być  spełnione  nastę pują ce  dwa  r ó w n a n i a :  а  ь   (3.19)  J* j  Xsin^­sm^­dxdy  =  0 ,  )  o  a  ь   J"  J  Xsin^­sin^y­dxdy  —  0,  o  o  w  k t ó r y c h  symbolem  X  oznaczono  niż ej  podany  operator  róż niczkowy  wzglę dem  funkcji  Ф ,  w0  i  w,  (3.20)  X=  D­V2V2(w­w0)­h  д2Ф  d2w  •  д2Ф  d2w  82Ф  82w  д у2  д х2  д х д у  д х д у  д х2  д у2  P o  wstawieniu  do  r ó w n a ń  (3.19)  odpowiednich  pochodnych  funkcji  ugię cia  i v 0  i  w  oraz  funkcji  n a p r ę ż eń  Ф  i  wprowadzeniu  do  nich  bezwymiarowych  w s p ó ł c z y n n i k ó w  f 0 ,  y>0,  i,  y> i  k*,,  przyjmą  one  nastę pują cą  p o s t a ć :  (3.21)  я 2 ( 1 + А 2 ) 2  я   48(1 ­v2)  64  ^  ( 1 + A 4 )  ( I 2  ­ 1 2  + 4 ! У )  ­  4 £ 2 f0  (y> + A«v»o) +  225 „2  .  I  225  49  \1  , , , / 2 ­ a  4a  \  n  (3.22)  "щ ***^  ( f V ~ f o V o ) +  J l [ 4 A > ( i 2 ­ £ o ) +  d  +  1 6 A « ) V ( £ V ­ # v S )  +  +  0 Fv ­ $ ¥ b )  4.+  25  ( 1 + 4 / A 2 ) 2  ­  ( 9 + 4 / A 2 ) 2  )]  2 ­ a  ­y>+  4 a  9?r2  =  0 .  220  W Ł .  W A L C Z A K  P o  wyrugowaniu  z tych  r ó w n a ń  bezwymiarowego  współczynnika  obcią ż enia  k%  otrzymuje  się w przypadku  czystego  zginania  (a =  2) nastę pują ce  r ó w n a n i e  czwartego  stopnia  wzglę­ dem  w s p ó ł c z y n n i k a  ę :  (l + 16;. 4 )£V + f  4 ( 1 + 4 Я 2 ) 2  ­ 4 Л 4 Й ­ (3.23)  3 ( 1 ­ г 2 )  ­(1  +  1 6 А * ) ЙУ 8 ­ * 4 ! 2  4 ( 1 + 4 Я 2 ) 2  (Я2 + 4 ) 2  ( 9 Я 2 + 4 ) :  ­j  у2  +  Г 4 ( 1 + 4 Я2 ) 2  /  216  24  \1  o V o [  3(1 ­г ?  + А  " 0 \ а 2  + 4)а  +  (9Я2 + 4 ) 2 / ] ^ ­ oV 2 ]  =  0. ­f  (̂1 + Я 4 ) ( | 2 ­  Й ) +  з ^ ^ '  ­  « А 4 *  Bezwymiarowy  współczynnik  obcią ż enia  w  zależ noś ci  od  tych  samych  współ­ c z y n n i k ó w  bezwymiarowych  (3.5),  wyraża  się przy  a  =  2  nastę pują cym  wzorem:  k*  —  ­ 9л *  | 4 ( 1 + Я 2 ) 2  ( g ­ f 0 )  512v»l  3(1 —»­2)  "  I  +  ( 1 + Я 4 ) ( ^ 2 ­ Й ) ­ 4 Я4 Й у ,2  +  (3.24)  14 ( 1 + 4 / Я 2 ) 2  (9 + 4 / Я 2 ) 2  K ł a d ą c  w  powyż szych  r ó w n a n i a c h  (3.23)  i  (3.24)  | 0  =  0 oraz y>0 =  0  otrzymamy  n a s t ę ­ pują ce  zwią zki,  mają ce  zastosowanie  dla płyty  zginanej  w  swej  płaszczyź nie  lecz  pozba­ wionej  w s t ę p n e go  ugię cia w0: (1 +  1 6 Я 4 ) !  (3.25)  K  W  [  3 ( 1 ­ r 3  ­ A 4 ! 2  216  +  "7  24  (A 2 +4) 2  (9A2+4)2  4 ( 1 + Я 2 ) 2  3 ( 1 ­ v 2 )  —  +  С 1 + Л4 ) !  (3.26)  9 T I 4  } ( 1 + Я 2 ) 2  I 2  ,  „  i28 V ba­"2) +^  (fcS)fo­o  =  +  ­ V  ( 1 + Я 4 ) ( 1 + 4 у >2 ) +  W z o r y  te  o d p o w i a d a j ą  przypadkowi  rozpatrzonemu  w pracy  [3] dla pierwszego  przybli­ ż enia.  4.  Obliczenia liczbowe  Szczegółowe  obliczenia  liczbowe  dotyczą  płyty  o w s p ó ł c z y n n i k u  k s z t a ł t u  \  = a\b  — 0,9,  D l a  m a t e r i a ł u  płyty  przyję to  liczbę  Poissona  v = 0,3.  Obliczenia  przeprowadzono  z a k ł a ­ dając  szereg  w a r t o ś ci  dla w s p ó ł c z y n n i k a  |  (od |  =  0,1 do 3,0), a  n a s t ę p n ie  przyjmując  W P Ł Y W  U G I Ę Ć  N A  P R A C Ę  P Ł Y T Y  P R O S T O K Ą T N EJ  221  dla  każ dej  z  nich  k i l k a  kolejnych  wartoś ci  współczynnika  £„  ugię cia  wstę pnego  (od  f 0  =  =  0,01  do  0,5)  oraz  odpowiadają cych  i m  wartoś ci  współczynnika  ip0.  D l a  przyjmowanych  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k ó w  f 0  zachowano  warunek  £ 0  <  | ,  w a r t o ś ci  zaś  współczynników  ip0  wyznaczono  z  r ó w n a n i a  (3.25)  odpowiadają cego  przypadkowi  płyty  bez  ugię cia  w s t ę p n e g o.  Przyję to  zatem,  że  y>0  =  ( ^ ) f 0 = 0 .  Takie  przyję cie  odpowiada  najniekorzystniejszemu  Ф о  o  przypadkowi,  w  k t ó r y m  w s t ę p ne  ugię cie  powierzchni  ś rodkowej  płyty  ma  t a k ą   p o s t a ć ,  j a k ą  p o c z ą t k o wo  p ł a s k a  p ł y t a  przyjmuje  po  utracie  statecznoś ci.  W a r t o ś ci  liczbowe  współczynników  y>,  w  zależ noś ci  od  z a ł o ż o n y ch  w a r t o ś ci  współ­ czynnika  £,  wyznaczone  zostały  na  podstawie  r ó w n a n i a  (3.23)  dla  r ó ż n y ch  w a r t o ś ci  współ­ c z y n n i k ó w  £ 0  ugię cia  w s t ę p n e g o.  N a s t ę p n ie  w  taki  sam  s p o s ó b  wyznaczono  w a r t o ś ci  bezwymiarowego  w s p ó ł c z y n n i k a  k$  na  podstawie  r ó w n a n i a  (3.24).  Obliczenia  liczbowe  wykonane  zostały  na  maszynie  cyfrowej  Z A M ­ 2 ,  a  w y n i k i  przedstawione  na  wykresach.  08  0,5  W  1,5  2.0  2.5  (tio)  Rys.  3.  Wykresy  zależ noś ci  у  =  —10)  dla  róż nych  wartoś ci  współczynnika  £ 0  wstę pnego  ugię cia  płyty  N a  rys.  3  podano  wykresy  funkcji  y>  =  y ( f  — £ 0 )  dla  r ó ż n y ch  w a r t o ś ci  współczynni­ k ó w  | 0  ugię cia  w s t ę p n e g o.  Wszystkie  krzywe  charakteryzują  się  podobnym  do  siebie  przebiegiem  w  zakresie  zbadanej  zmiennoś ci  przyrostu  ugię cia  płyty,  o k reś lo n ego  odcię tą   (£ — £ 0 ) .  D l a  każ dej  wartoś ci  tej  odcię tej  rzę dne  krzywych  rosną  wraz  ze  wzrostem  war­ toś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  f 0  w s t ę p n e go  ugię cia  płyty.  Oznacza  to,  że  i m  wię ksze  jest  w s t ę p ne  ugię cie  płyty,  tym  odpowiednio  wię ksza  jest  amplituda  d w ó c h  półfal  sinusoidy  n a ł o ż o n y ch  na  ugię tą  powierzchnię  ś r o d k o wą  płyty  wzdłuż  osi  Oy,  reprezentowanych  drugim  c z ł o n e m  wyraż enia  (3.1).  A m p l i t u d a  ta  jest  najmniejsza  wówczas,  gdy  p ł y t a jest  p o c z ą t k o wo  p ł a s k a .  Przebieg  krzywych  k$  =  к $(£  — !;0)  dla  róż nych  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  £ 0  ugię cia  w s t ę p n e go  przedstawiono  na  rys.  4.  K r z y w a  g ó r n a  przedstawia  krytyczne  w a r t o ś ci  współ­ czynnika  obcią ż enia  (A:S)i0=o,oo  odpowiadają ce  płycie  bez  ugię cia  w s t ę p n e g o.  P o z o s t a ł e  krzywe,  odpowiadają ce  kolejnym  w a r t o ś c i om  w s p ó ł c z y n n i k a  | 0  =  0>01,  . . . ,  0,5,  od­ 222  W Ł .  W A L C Z A K  biegają  znacznie  od  siebie  aż  do  wartoś ci  odcię tej  (£ — £ 0 )  x  1,1.  Powyż ej  tej  wartoś ci  wszystkie  krzywe  asymptotycznie  dą żą  do  krzywej  f 0  =  0,00.  W y n i k a  stą d,  że  w  zakresie  zbadanej  zmiennoś ci  ugię cia  wstę pnego,  wpływ  tego  ugię cia  praktycznie  zanika j u ż  wów­ czas,  gdy  całkowit e  ugię cie  płyty  wynosi  nieco  powyż ej  p ó ł t o r e j  gruboś ci  płyty.  0  v  to  a­io)  Rys. 4. Wykresy zależ noś ci  współczynnika  obcią ż enia k*0 =  —£o) dla róż nych wartoś ci  współczynnika  f  0  wstę pnego  ugię cia  płyty  5.  Porównawcza  analiza  z  płytą  o  wstę pnym  jednostronnym wybrzuszeniu  Celem  p o r ó w n a n i a  otrzymanych  w y n i k ó w  rozpatrzono  drugi przypadek  płyty  podpartej  i  obcią ż onej  identycznie  j a k  p ł y t a  dotychczas  rozpatrywana,  dla  które j  z a ł o ż o no  kształt  w s t ę p n e go  ugię cia  powierzchni  ś r o d k o w ej  w  postaci  jednostronnego  wybrzuszenia,  W P Ł Y W  U G I Ę Ć  N A  P R A C Ę  P Ł Y T Y  P R O S T O K Ą T N EJ  223  najczę ś ciej  wystę pują cego  w  praktyce.  W  tym  przypadku  ugię tą  wstę pnie  p o w i e r z c h n i ę   ś r o d k o wą  płyty  m o ż na  opisać  w y r a ż e n i e m,  przedstawiają cym  nałoż enie  się jednej  półfali  sinusoidy  z a r ó w n o  wzdłuż  osi  0x,  j a k  i  osi  Oy  przyję tego  (rys.  1)  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y c h.  F u n k c j i  w0,  okreś lają cej  kształt  ugię tej  powierzchni  ś rodkowej  płyty  przed  jej  obcią ż e­ niem,  m o ż na  zatem  n a d a ć  p o s t a ć   .  .  т е х  .  ny  (5.1)  Щ  = / 0 s i n — ­ s i n — ,  g d z i e / о  jest  parametrem  r ó w n y m  w s t ę p n e mu  wychyleniu  ś r o d ka  płyty  z  płaszczyzny  xy.  Funkcja  ta  ma  p o s t a ć  identyczną  z  wyraż eniem  (2.2)  po  przyję ciu  f^0)  =  0.  D o  dalszych  r o z w a ż ań  przyję to,  że  pod  wpływem  p r z y ł o ż o n e go  obcią ż enia  powierzchnia  ś r o d k o wa  płyty  przyjmie  kształt  opisany  r ó w n a n i e m  (3.1).  W ó w c z a s  odpowiednie  zwią zki  i  r ó w n a n i a  dla  r o z w a ż a n e go  obecnie  przypadku  m o ż na  uzyskać  z  o d p o w i a d a j ą c y ch  zwią z­ k ó w  i  r ó w n a ń ,  otrzymanych  dla  przypadku  poprzednio  rozpatrzonego,  przyjmując  w  nich,  że  parametr  f2 0),  lub  o d p o w i a d a j ą cy  m u  współczynnik  bezwymiarowy  ip0  =  / i 0 ) / / i 0 )  są   r ó w n e  zeru.  W  szczególnoś ci  r ó w n a n i e  służ ą ce  do  wyznaczenia  bezwymiarowego  współczyn­ n i k a  tp, wystę pują cego  w  r ó w n a n i u  (3.18)  k o ń c o w e go  ugię cia  powierzchni  ś rodkowej  płyty,  przyjmie  p o s t a ć  nastę pują cego  dwukwadratowego  r ó w n a n i a  wzglę dem  tego  współczyn­ n i k a :  (5.2)  0  +  i e W + { i u + « V  _ ; , [ 4 й + ( ^ +  ^ ^ ф ­ Bezwymiarowy  współczynnik  obcią ż enia  fcjjj,  okre ś lo ny  poprzednio  zwią zkiem  (3.24),  w y r a ż ać  się  bę dzie  n a s t ę p u j ą c o:  (5.3)  . , i  225  49  4 +  л 4  1 +  „ ,  ,  +  ( л 2 + 4 ) 2  ( 9 Л 2 + 4 ) :  Obliczenia  liczbowe  tych  w s p ó ł c z y n n i k ó w  przeprowadzono  zakładając  te  same  j a k  poprzednio  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  kształtu  płyty  ). oraz  liczby  Poissona  v.  D l a  bezwymia­ rowego  w s p ó ł c z y n n i k a  ugię cia  w s t ę p n e go  f 0  przyję to  w a r t o ś ci  zmieniają ce  się  w  grani­ cach  od  l o  =  0,1  do  0,5.  D l a  w s p ó ł c z y n n i k a  f  k o ń c o w e go  ugię cia  płyty  przyję to  war­ toś ci  £  =  0 , 1 , 2 , 5 .  Obliczenia  przeprowadzono  przy  zachowaniu  warunku  f 0  <  S•  Otrzymane  w y n i k i  zilustrowano  na  nastę pują cych  d w ó c h  wykresach:  pierwszy  z  nich,  podany  na  rys.  5,  przedstawia  zależ ność  w s p ó ł c z y n n i k a  y> od  bezwymiarowo  potrakto­ wanego  przyrostu  ugię cia  płyty,  wywołanego  p r z y ł o ż o n ym  obcią ż eniem;  jest  to  więc  za­ leż ność  y>  =  y>(i—lo)­ 224  W Ł .  W A L C Z A K  G ó r n a  krzywa,  dla  £0  =  0,0,  odpowiada  wstę pnie  płaskiej  postaci  płyty.  P o z o s t a ł e  krzywe,  odpowiadają ce  kolejnym  w a r t o ś c i om  w s p ó ł c z y n n i k a  f 0  ugię cia  w s t ę p n e go  (dla  l o  =  0,1,  0,5),  przebiegają  poniż ej  tej  krzywej.  W y n i k a  stą d,  że  — w  przeciwień stwie  do  poprzednio  rozpatrywanego  przypadku  —  gdy  p ł y t a  m a  ugię cie  wstę pne  w  postaci  jednostronnego  wybrzuszenia,  to  amplituda  d w ó c h  półfal  sinusoidy  o k reś lo n y ch  drugim  członem  funkcji  (3.1)  k o ń c o w e go  ugię cia  płyty,  jest  mniejsza  niż  w  tym  przypadku,  gdy  p ł y t a  jest  p o c z ą t k o wo  idealnie  płaska.  0.5  0.4  OJ  Ł  ,­0.5  \  \   \ f c  ­­0.1  0  05  Ю  f f ­f o )  Rys.  5.  Wykres  zależ noś ci  y>  =  y(f—  f0)  dla  róż nych  wartoś ci  współczynnika  f 0  i  dla  przypadku  płyty  z  jednostronnym  wstę pnym  wybrzuszeniem  Wszystkie  omawiane  krzywe  dla  £ 0  Ф  0,0  zbliż ają  się  asymptotycznie  do  krzywej  dla  | 0  =  0,0,  przy  czym  róż nice  r z ę d n y ch  mię dzy  n i m i  praktycznie  znikają  począ wszy  od  wartoś ci  odcię tej  (f—  f 0 )  ~  1Л­  N a  rysunku  6  przedstawiono  przebieg  zmian  bez­ wymiarowego  w s p ó ł c z y n n i k a  obcią ż enia  k%  w  zależ noś ci  od  przyrostu  ugię cia  (Ł  —10)  dla  kolejnych  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  | 0  ugię cia  w s t ę p n e go  (linie  przerywane).  K r z y w e  te  przebiegają  podobnie  jak  krzywe  ip  =  y>{Ł — Ł 0 )  na  rys.  5.  K r z y w a  g ó r n a ,  dla  | 0  =  0,0,  odnosi  się  do  płyty  o  p o c z ą t k o wo  płaskiej  postaci.  P o z o s t a ł e  krzywe,  o d p o w i a d a j ą ce  p ł y t o m  z  ugię ciem  w s t ę p n ym  (f„  Ф  0),  przebiegają  poniż ej  tej  krzywej.  Przy  m a ł y c h  war­ toś ciach  przyrostu  ugię cia  płyty  róż nice  r z ę d n y ch  mię dzy  tymi  krzywymi  a  krzywą  g ó r n ą   W P Ł Y W  U G I Ę Ć  N A  P R A C Ę  P Ł Y T Y  P R O S T O K Ą T N EJ  225  są  znaczne.  Ze  wzrostem  zaś  ugię cia  płyty  róż nice  te  maleją,  a  wszystkie  krzywe  zbliż ają   się  do  krzywej  g ó r n e j .  D l a  mniej  wię cej  tej  samej  w a r t o ś ci  odcię tej  co  w  wykresie  poprzed­ n i m  dla  funkcji  y>  =  y ( |  — l0)>  róż nice  r z ę d n y ch  mię dzy  wszystkimi  krzywymi  fc*  =  k%  ( | — l o )  stają  się  pomijalnie  m a ł e .  Stąd  wynika,  że  w  zakresie  zbadanej  zmiennoś ci  ugię cia  35 30  25  20  10  5  i  0  /  ж   AW  w /   % 1  /// 1  /Ж   W  / /  /  A  * /4  Ж   f  с   /  /  /  /  '  h  U/t  '  l'.  i  4 / /  4  X  5  ,4  13  11"  if  li  1 V  & > • < 12  H  Ш l/J  0.5  ­  1.0  (i­i)  ­ Rys.  6. Wykresy zależ noś ci  współczynnika  obcią ż enia k%  — k% (f  — £ 0 )  dla  róż nych  wartoś ci współczynnika  f  0  i  dla  przypadku  płyty  z  jednostronnym  wstę pnym  wybrzuszeniem  w s t ę p n e g o,  wpływ  tego  ugię cia  również  i  w  rozpatrywanym  przypadku  zanika  mniej  wię cej  dla  tej  samej  wartoś ci  c a ł kow i t e g o  ugię cia  płyty  co  w  przypadku  poprzednio  roz­ patrzonym.  D l a  uwypuklenia  powyż szego  faktu  na  rys.  6  naniesiono  dodatkowo  krzywe  к $  =  k%  ($—  lo)  z  f y s ­  4  (linie  cią głe).  Jak  w i d a ć ,  wszystkie  krzywe  cią głe  leżą  poniż ej  odpowia­ 3  Mechanika  Teoretyczna  3/73  226  W Ł .  W A L C Z A K  dają cych  i m  krzywych  przerywanych  (dla  tych  samych  w a r t o ś ci  f 0 ) ­  A  zatem  osią gnię cie  o k r e ś l o n e go  ugię cia  k o ń c o w e go  płyty  nastę puje  przy  mniejszej  w a r t o ś ci  obcią ż enia  w ó w ­ czas,  gdy  p o s t a ć  w s t ę p n e go  ugię cia  powierzchni  ś r o d k o w ej  płyty  jest  bliż sza  tej  postaci,  j a k ą  pierwotnie  p ł a s k a  p ł y t a  przyjmuje  po  utracie  statecznoś ci.  N a  podstawie  przeprowadzonej  analizy  m o ż na  w n i o s k o w a ć ,  że  —  w  zakresie  zbada­ nych  w a r t o ś ci  ugię cia  w s t ę p n e go  —  wpływ  tego  ugię cia  praktycznie  zanika,  gdy  k o ń c o we  ugię cie  płyty  wynosi  o k o ł o  1,6  jej  gruboś ci.  W ó w c z a s  stan  n a p r ę ż e n ia  i  o d k s z t a ł c e n i a  r ó ż ni  się  pomijalnie  m a ł o  od  stanu  j a k i  (przy  danym  obcią ż eniu)  panuje  w  płycie  po­ c z ą t k o wo  płaskiej.  W  praktyce  p o c z ą t k o we  ugię cie  płyty  wynika  n a o g ó ł  z  przypadkowego,  mniej  lub  wię cej  nieregularnego  pofalowania  powierzchni.  Temu  pofalowaniu  m o g ą  o d p o w i a d a ć   z a r ó w n o  dodatnie  j a k  i  ujemne  w a r t o ś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  y>0.  Z  punktu  widzenia  pracy  płyty  w  warunkach  obcią ż enia  ponadkrytycznego  najbardziej  niekorzystne  są  takie  przy­ padki,  gdy  pofalowanie  zwią zane  jest  z  jednostronnym  wybrzuszeniem  powierzchni  ś r o d­ kowej  p ł y t y ;  zachodzi  to  dla  ip0  ^  0.  T a k i  rzeczywisty  kształt  w s t ę p n e go  ugię cia  płyty  j e d n a k ż e  tylko  w  pewnym  przybliż eniu  odpowiada  o m ó w i o n y m  w  pracy  przypadkom.  Z  tego  też  wzglę du  wydaje  się  właś ciwe,  by  stan  n a p r ę ż e n ia  i  o d k s z t a ł c e n i a  płyty,  przy  uwzglę dnieniu  jej  w s t ę p n e go  ugię cia,  okreś lać  na  podstawie  w z o r ó w  o d p o w i a d a j ą c y ch  przypadkowi  najbardziej  niekorzystnemu.  Jak  wynika  z  przeprowadzonej  analizy,  należy  zatem  p r e f e r o w a ć  wzory  mają ce  zastosowanie  w  przypadku,  gdy  kształt  ugię tej  wstę pnie  powierzchni  ś r o d k o w ej  płyty  odpowiada  postaci,  j a k ą  p ł y t a  przyjmuje  po  utracie  sta­ tecznoś ci.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  А .  С.  В О Л Ь М И Р,  Г и б к и е  п л а с т и н к и  и  о б о л о ч к и ,  Г о с.  И з д.  т е х .­т е о р.  л и т .,  М о с к ва  1956.  2.  А .  С.  В о л ь м и р,  У с т о й ч и в о с т ь  д е ф о р м и р у е м ы х  с и с т е м ,  И з д.  Н а у к а,  М о с к ва  1967.  3.  W .  W A L C Z A K ,  Analiza stanu  naprę ż enia  tarczy prostoką tnej  po  utracie  statecznoś ci,  wywołanej zginaniem  w płaszczyź nie  tarczy,  Arch.  Bud.  Maszyn,  12,  1 (1962).  4.  S.  T I M O S H E N K O ,  Theory  of  Elastic  Stability,  McGraw­Hill  Company,  1961.  Р е з ю ме   В Л И Я Н ИЕ  Н А Ч А Л Ь Н О ГО  П Р О Г И БА  Н А  Р А Б О ТУ  П Р Я М О У Г О Л Ь Н ОЙ   П Л А С Т И Н КИ  И З Г И Б А Е М ОЙ  В  С В О ЕЙ  П Л О С К О С ТИ   В  р а б о те  в ы п о л н ен  т е о р е т и ч е с к ий  а н а л из  в л и я н ия  н а ч а л ь н о го  п р о г и ба  на  н а п р я ж е н н ое  и  д е­ ф о р м и р о в а н н ое  с о с т о я н ия  п р я м о у г о л ь н ой  и з о т р о п н ой  п л а с т и н к и,  с в о б о д но  п о д п е р т ой  по  к о н т у ру   и  и з г и б а е м ой  в  с в о ей  п л о с к о с ти  п о с ле  п о т е ри  у с т о й ч и в о с т и.  В  р а с с у ж д е н и ях  у п о т р е б л я е т ся  ф у н к­ ц ия  н а п р я ж е н ий  А и ри  Ф (х ,у ).  П р и н я ты  с о о т в е т с т в у ю щ ие  в и ды  ф у н к ц ий  н а ч а л ь н о го  п р о г и ба   wo(x,  у ),  о к о н ч а т е л ь н о го  п р о г и ба  w(x,  у )  с р е д и н н ой  п о в е р х н о с ти  п л а с т и н к и,  у д о в л е т в о р я ю щ ие   к р а е в ым  у с л о в и ям  з а д а ч и.  Д ля  о п р е д е л е н ия  э т их  ф у н к ц ий  и с п о л ь з о в а ны  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ые  у р а в­ н е н ия  К а р м а на  н е л и н е й н ой  т е о р ии  п л а с т и н о к,  а  д ля  н а х о ж д е н ия  н е и з в е с т н ых  п а р а м е т р о в,  с о­ д е р ж а ю щ и х ся  в  п р и н я т ых  ф у н к ц и ях  п р о г и ба  п р и м е н ен  м е т од  Г а л е р к и н а.  П о л у ч е н н ые  т а к им   о б р а з ом  ф о р м у л ы,  о п р е д е л я ю щ ие  н а п р я ж е н ия  и  д е ф о р м а ц ии  в  с в е р х к р и т и ч е с к ом  с о с т о я н ии  п л а­ с т и н к и,  в ы р а ж е ны  з а т ем  ч е р ез  б е з р а з м е р н ые  в е л и ч и н ы.  Ч и с л е н н ые  п р и м е ры  в ы п о л н е ны  д ля   д в ух  р а з л и ч н ых  ф о рм  н а ч а л ь н о го  п р о г и ба  с р е д и н н ой  п о в е р х н о с ти  п л а с т и н к и;  д ля  э т их  с л у ч а ев   о п р е д е л е ны  у с л о в и я,  п ри  к о т о р ых  в л и я н и ем  н а ч а л ь н о го  п р о г и ба  м о ж но  п р е н е б р е ч ь.  W P Ł Y W  U G I Ę Ć  N A  P R A C Ę  P Ł Y T Y  P R O S T O K Ą T N EJ  227  S u m m a r y  I N F L U E N C E  O F  INITIAL  DEFLECTIONS  O N  T H E  W O R K  O F  A  R E C T A N G U L A R  P L A T E  SUBJECT  T O B E N D I N G  IN  ITS  P L A N E  This  paper presents a  theoretical  analysis  of  the  influence  of  initial  deflections  on  the state of stress  and  strain in an isotropic, rectangular plate  simply supported along  the edges and subject  to  bending in  its  plane — after  the stability loss. The Airy  stress function Ф (х , у )  is  introduced, and the  form  of initial  deflection  w0(x,  y)  and  final  deflection  w  (x, y)  is  assumed  to  satisfy  the  boundary conditions.  These  functions  are  then  determined  with the aid of the  Karman equations  of the  non­linear  plate  theory,  the  unknown parameters appearing in the  function of deflection  being  found by means  of the  Galerkin met­ hod.  The final formulas determining the stresses and strains in the post­critical state of the plate are written  in  terms  of  dimensionless  coefficients.  Numerical calculations  are performed  for two  different  forms of  the  initial  deflection  of  the  middle  surface  of  the  plate;  conditions  are  also  derived under which the  influence  of  initial  deflections  may be disregarded.  P O L I T E C H N I K A  Ł Ó D Z K A  Praca została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  14 paź dziernika  1972 r.