Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf


M E C H A N I K A 
TEORETYCZNA 
I  STOSOWANA 

4,  11  (1973) 

ZWIĄ ZKI  K O N S T Y T U T Y W N E  PEŁZANIA  I  PLASTYCZNOŚ CI1 > 

J .  F .  B E S S E L I N G  ( D E L F T ) 

1.  Wstęp 

D l a  celów  projektowania  inż ynierskiego  konieczny  jest  iloś ciowy  opis  zachowania  się  

m a t e r i a ł ó w  poddanych  o k r e ś l o n ym  w p ł y w o m  zewnę trznym.  Teorie  pełzania  i  plastycznoś ci 

w  ramach  mechaniki  inż ynierskiej  są  teoriami  fenomenologicznymi,  p o n i e w a ż  fizykalny 

mechanizm  niesprę ż ystych  deformacji  jest  zbyt  skomplikowany  i , jak  d o t ą d,  nie  u d a ł o  się  

go  ująć  w  logicznie  spójny  opis  matematyczny.  Wspomniane  teorie  zbudowane  są  na  p o d ­

stawie  założ enia,  że  d r o g ą  dedukcji  potrafimy  matematycznie  s f o r m u ł o w a ć  prawa  fizyczne 

dla  standardowych  m a t e r i a ł ó w ,  t z n . :  w y c h o d z ą c  z  pewnych  specjalnych  —  w  ogólnoś ci 

mierzalnych  —  p r o g r a m ó w  obcią ż eń  m o ż e my  okreś lić  zachowanie  się  m a t e r i a ł ó w  dla 

p r o g r a m ó w  (historii)  dowolnych. 

Opisując  wpływ  otoczenia  na  ciało  z  reguły  ogranicza  się  go  do  wpływu  zewnę trznych 

sił  powierzchniowych,  sił  masowych  i  temperatury.  Należy  zaznaczyć,  że  nawet  przy  tych 

założ eniach  ograniczają cych  nie  ma  w  tej  chwili jedynej,  ogólnie  akceptowanej  teorii  p e ł z a ­

nia  i  plastycznoś ci. 

W  obszernej  literaturze  przedmiotu  publikowanej  na  przestrzeni  minionych  dwudziestu 

lat  daje  się  z a u w a ż yć  szczególną  tendencję  do  koncentracji  na  matematycznych  aspektach 

teorii,  lekceważ ą cą  czę sto  dane  eksperymentalne  opisują ce  rzeczywiste  zachowanie  się  

m a t e r i a ł ó w .  Współcześ nie  obserwuje  się  nacisk  na  rozwój  teorii  r ó w n a ń  konstytutywnych 

mechaniki,  a  ostatnio  —  termodynamiki,  na  bazie  apriorycznych  pojęć  n a p r ę ż e n ia  i  tem­

peratury,  przy  czym  prace  te  zaczynają  t r a k t o w a ć  o  zjawiskach  fizycznych  dopiero  po 

zbudowaniu  imponują cej  struktury  matematycznej  złoż onej  z  p o s t u l a t ó w ,  l e m a t ó w ,  twier­

dzeń  itd.  Z  drugiej  strony  wielu  m a t e m a t y k ó w  parają cych  się  zastosowaniami  usilnie  dą ży 

do  rozwią zania  szeregu  p r o b l e m ó w  brzegowych  i  p o c z ą t k o w y ch  na  bazie  zwią zków  fizycz­

nych  w  wię kszoś ci  nie  zweryfikowanych  eksperymentalnie. 

N a  obecnym  etapie—­moim  zdaniem—jedyny m  modelem  m a t e r i a ł u ,  dla  k t ó r e g o 

istnieje  dostateczna  podbudowa  eksperymentalna  dla  r ó ż n y ch  rzeczywistych  o ś r o d k ów 

jest  tzw.  model  idealnego  pełzania  i  idealnej  plastycznoś ci.  I  chociaż  model  ten  daje  opis 

daleko  niekompletny,  zawiera  on  te  elementy  mechaniki  o ś r o d k a,  k t ó r e  są  istotne  w  p r o ­

jektowaniu. 

C o  do  z a s t o s o w a ń  teorii  bazują cych  na  bardziej  wyrafinowanych  modelach  m a ­

teriałów  —  to  lepiej  byłoby  je  Zarzucić  do  czasu  potwierdzenia  przez  poprawny  ekspery­

1 }  Wykład  wygłoszony  w  Instytucie  Podstawowych  Problemów  Techniki  PAN  w  Warszawie, 
30.X.1972 r. 



352  J .  F .  BESSELING 

ment  ich  w a r t o ś ci  dla  opisu  iloś ciowego.  T u  właś nie  znajduje  się  szerokie  pole  b a d a ń  

d l a  tych  f i z y k ó w ­ e k s p e r y m e n t a t o r ó w ,  k t ó r z y  wolą  narzę dzi  racjonalnej  mechaniki  uż y­

w a ć  do  teorii  m e c h a n i z m ó w  poś lizgu  w  sieci  krystalicznej  w  celu  ich  przenoszenia  do 

rzeczywistej  trójwymiarowej  teorii  deformacji.  Tymczasem  zaś  inż ynier  dla  pragma­

tycznych  celów  musi  p o l e g a ć  na  stosowaniu  prostych  modeli  m a t e r i a ł ó w  i  na  rozsą dnej 

ekstrapolacji  danych  eksperymentalnych  oraz  na  zwykłym  doś wiadczeniu. 

2.  Podstawowe  równania  mechaniki  i  termodynamiki 

Fenomenologiczny,  czyli  kontynualny  opis  własnoś ci  mechanicznych  spełnia  nastę­

pują ce  postulaty  matematyczne: 

1.  Zasada  zachowania  masy 

dp  dp  dxt 

(1)  ­ir­+*«­r L+e­5­L  =  ° ­
w  dt  dxt  dxi 

2.  Zasada  zachowania  p ę du 

(2)  ­ *Ы +*­§£ 
3.  Zasada  zachowania  momentu  p ę du  (brak  n a p r ę ż eń  momentowych) 

(3)  t,j  =  tj,. 

4.  Zasada  zachowania  energii  (bez  ź r ó d eł  promieniowania) 

(4)  г , А _ _  =  е М )  gdzte  rfy  =  T ^ _  + 

5.  Zasada  wzrostu  e n t r o p i i 1 ' 

5l4 
(5)  o­  =  QTJ+  ^  ^  0,  gdzie  a  =  gy. 

Te  podstawowe  r ó w n a n i a  mechaniki  i  termodynamiki  są  bazą  wyjś ciową  w  kierunku 

fenomenologicznego  opisu  mechaniki  m a t e r i a ł u . 

Fakt  naszego  przyzwyczajenia  się  i  «oswojenia»  z  koncepcją  gę stoś ci  Q, n a p r ę ż e n ia  ty, 

temperatury  T,  siły  masowej  fj,  strumienia  ciepła  а{,  energii  wewnę trznej  u  i  entropii  ?j 

nie  czyni  tych  wielkoś ci  mniej  abstrakcyjnymi.  Ich  relacja  do  obserwowanego  zjawiska  jest 

na  tyle  prawdziwa,  na  ile  są  to  wielkoś ci  mierzalne  w  odniesieniu  do  pewnych  powtarzal­

nych  zjawisk  fizycznych. 

R ó w n a n i a  wią ż ą ce  abstrakcyjne  poję cia  z  obserwowanymi  miarami  długoś ci  i  czasu 

m o g ą  być  nazwane  r ó w n a n i a m i  konstytutywnymi  teorii.  Bez  tych  r ó w n a ń  c a ł a  struktura 

p o s t u l a t ó w  nie  tworzy  teorii  mechanicznej,  w  sensie  odpowiedzi  na  pytanie j a k a jest  reakcja 

u k ł a d u  na  z e w n ę t r z ne  działanie. 

"  We  wzorze  (5)  rj jest właś ciwą  entropią  na  jednostkę  masy; a  =  oy,  gdzie у  oznacza właś ciwą  prę d­
kość  powstawania  entropii  na  jednostkę  masy;  a  więc  odnosi  się  do  jednostki  obję toś ci  ciała  (przyp. 
tłum.). 



ZWIĄ ZKI KONSTYTUTYWNE  PEŁZANIA I PLASTYCZNOŚ CI  353 

3.  Materiały  proste  i  koncepcja  stanu lokalnego 

W  mechanice  continuum  ciało  jest  g ł a d k o  odwzorowane  na  obszary  przestrzeni 

euklidesowej.  Obszar  zajmowany  przez  ciało  stanowi  jego  konfigurację.  R u c h  ciała 

jest  wyszczególnieniem  miejsc  zajmowanych  przez  punkty  materialne  w  m i a r ę  upływu 

czasu  albo  czasowym  n a s t ę p s t w em  konfiguracji  ciała.  Mianowicie 

(6)  0 ­

Miejsce  |  jest  «współrzę dną  materialną *  czą stki  materialnej  w  stosunku  do  pewnej  k o n ­

figuracji  odniesienia. 

Szkoła  T R U E S D E L L A ,  N O L L A  i  i n .  [1]  wprowadza  poję cie  « m a t e r i a ł u  prostego»  w  celu 

uproszczenia  opisu  «reakcji» 2 >  m a t e r i a ł u  na  ruch  ciała.  Nazywają  oni  materia ł  m a t e r i a ł e m 

prostym,  jeś li  ze  znanego  zachowania  się  m a t e r i a ł u  w  procesach  jednorodnych  deformacji 

wynika  zachowanie  się  m a t e r i a ł u  we  wszystkich  dowolnych  procesach. 

W  procesie  jednorodnej  deformacji  historia  deformacji  w  f  jest  zbiorem  w a r t o ś ci 

д у •  
Fm  =  ­д 4­  stałych  w  całej  przestrzeni  dla  wszystkich  czasów  aż  do  c h w i l i  obecnej  t. 

W  m o i m  mniemaniu  ta  koncepcja  m a t e r i a ł u  prostego  jest  jednym  z  a s p e k t ó w  bardziej 

ogólnej  koncepcji  lokalnego  stanu  termodynamicznego. 

Ciało  jako  takie  m o ż na  podzielić  na  wiele  wzajemnie  sprzę ż onych  podcią ł.  Postuluje 

się,  że  podobnie  j a k  masa  i  energia  kinetyczna  —  energia  w e w n ę t r z na  i  entropia  są  wiel­

k o ś c i a mi  addytywnymi.  W y n i k a  stą d,  że  energia  w e w n ę t r z na  i  entropia  p o d u k ł a d u  są  

funkcjonałami  zmiennych  odniesionych  wyłą cznie  do  tego  p o d u k ł a d u .  Bę dzie  istnieć, 

oczywiś cie,  dolna  granica  wielkoś ci  p o d u k ł a d u ,  do  k t ó r e g o  ten  postulat jeszcze  się  stosuje. 

Podejś cie  termodynamiczne jest  z  góry  ograniczone  do  u k ł a d ó w ,  w  k t ó r y c h  sensowne 

są  statystyczne  u ś r e d n i e n i a. 

Jakkolwiek  więc  definicje  lokalnego  n a p r ę ż e n i a,  temperatury,  energii  wewnę trznej 

i  entropii  są  matematycznie  trywialne  dla  u k ł a d ó w  w  stanach  jednorodnych,  to  ich  przy­

d a t n o ś ć  do  opisu  s t a n ó w  niejednorodnych jest  oczywista.  W  stanach  tych  bowiem  r o z k ł a d y 

temperatury,  n a p r ę ż e n i a,  energii  wewnę trznej  i  entropii  m o g ą  p r z e d s t a w i a ć  statystyczne 

u ś r e d n i e n ia  dla  wszystkich  p o d u k ł a d ó w ,  aż  do  najmniejszych,  w  k t ó r y c h  dozwolona  jest 

procedura  uś redniają ca.  Jeś li  dalej  ograniczymy  nasz  opis  do  p r z y p a d k ó w ,  w  k t ó r y c h 

r ó ż n i ca  zmiennych—­w  tym  r ó w n i e ż  Fix—jest  niewielka  w  obszarze,  k t ó r y  jest  d u ż y 

w  p o r ó w n a n i u  z  najmniejszym  p o d u k ł a d e m  termodynamicznym,  to  m o ż e my  p r z y s t ą p ić  

do  poszukiwania  lokalnie  zdefiniowanych  r ó w n a ń  konstytutywnych. 

A b y  p r z e k o n a ć  się,  że  poję cie  najmniejszego  u k ł a d u  termodynamicznego  nie  ogranicza 

waż noś ci  koncepcji  lokalnego  stanu  termodynamicznego  w  zwykłych  warunkach,  z a u w a ż ­

my,  że  liczba  czą stek  w  powietrzu  na  poziomie  morza  wynosi  2,7  1 0 1 9  c m ­ 3 ,  a  w  stali  — 

8,6  1 0 2 2  c m ­ 3 . 

2 )  Termin  ((material response* tłumaczymy  dosłownie  jako  ((reakcja  materiału*  zgodnie  z  dosadnoś­
cią  i  precyzją  terminu  oryginalnego  rozumiejąc  przez  to  pole  naprę ż eń  generują ce  się  w  materiale jako 
dynamiczną  reakcję  na  proces kinematyczny (deformacji). 



354  J .  F .  BESSELING 

4.  Funkcjonalne  podejś cie  do  równań  konstytutywnych 

P r z e c h o d z ą c  do  teorii  r ó w n a ń  konstytutywnych,  podajemy  nastę pują ce  założ enie  — 

z a  C O L E M A N E M  i  N O L L E M  [2]:  Każ dy  zwią zek  konstytutywny  musi spełnić  zasadę  obiektyw­

noś ci  i  zasadę  wzrostu  entropii  dla  wszystkich  moż liwych  historii  deformacji  i  temperatury. 

Zasada  obiektywnoś ci  mówi  tutaj,  że  w  k a ż d ym  przypadku  d w ó c h  o b s e r w a t o r ó w  ciała 

stwierdza  ten  sam  zwią zek  konstytutywny.  Jeś li xa(ia,  t)  opisuje  ruch  obserwowany  przez 
pierwszego  obserwatora,  a  t)  jest  tym  samym  ruchem  widzianym  przez  drugiego, 

m o ż na  u d o w o d n i ć ,  że  zachodzi  zależ ność  

(7)  xl  =  QuXj+eu  t'  =  t­a, 

gdzie  Qij  jest  tensorem  ortogonalnym  zależ nym  od  czasu,  zaś  с ,­ jest  w e k t o r o w ą  funkcją  

czasu;  a—jest  stałą. 

P r z e c h o d z ą c  do  f o r m u ł o w a n i a  konkretnych zwią zków  konstytutywnych  — po  akceptacji 

powyż szych  zasad  ogólnych  — stoimy  przed  moż liwoś cią  przechodzenia  od  szczególnych 

p r z y p a d k ó w  do  ogólniejszych,  albo  odwrotnie.  Szkoła  Truesdella  preferuje  drugie  po­

dejś cie. 

W  duchu  czysto  kontynualnej  teorii  nie  wzglę dnia  się  czą steczkowej  albo  atomowej 

struktury  m a t e r i a ł u .  W  tym  sensie  u k ł a d  jest  «czarną  s k r z y n k ą »,  dla  której  zachowanie 

się  m a t e r i a ł u  definiuje  się  przy  pomocy  o d d z i a ł y w a ń  zewnę trznych  i  ich  historii.  Ogólną  

klasę  takich  m a t e r i a ł ó w  zdefiniował  Coleman  za  p o m o c ą  f u n k c j o n a ł ó w : 

x  I  dT\ 

d' 
e  lFUt­s),T(t­s);­,­  , 

s=0\  oxk  I 

bjFUt­s),T(t­sy,^. 

D o w o d z i  się,  że  • —­  musi  z n i k a ć  z  r ó w n a ń  na  u  i  n,  oraz  że  fy  i b  wyznacza  się  

z  e przez  r ó ż n i c z k o w a n i e,  uogólniając  w  ten  s p o s ó b  klasyczne  formy  zwią zków  naprę ż enie­

o d k s z t a ł c e n i e  i  temperatura­entropia.  DalsZa  procedura  p r z e k s z t a ł c a n i a  powyż szych 

zwią zków  opiera  się  na  zasadzie  zanikają cej  p a m i ę ci  [3]. 
Z  jednej  strony  wię c,  zamierzamy  w p r o w a d z a ć  do  r ó w n a ń  konstytutywnych  wielkoś ci 

mierzalne  niezależ ne  od  historii  procesu  fizycznego,  a  z  drugiej  mamy  współczesne  ten­

dencje  do  f o r m u ł o w a n i a  r ó w n a ń  konstytutywnych  za  p o m o c ą  funkcjonałów,  co  oznacza, 

ż e  w  ogólnoś ci  zachowanie  się  m a t e r i a ł u  m o ż e  być  jedynie  wyznaczone  na  podstawie 

z n a j o m o ś ci  aktualnych  i  przeszłych  o d d z i a ł y w a ń  z e w n ę t r z n y c h.  Podejś cie  to  wydaje  m i 

się  niezadowalają ce  dla  iloś ciowego  opisu  zachowania  się  m a t e r i a ł ó w ,  p o n i e w a ż  nie  zna­

my  eksperymentalnego  sposobu  jednoznacznego  wyznaczenia  tych  funkcjonałów  o p r ó c z 

p r z y p a d k ó w  trywialnych  — na  p r z y k ł a d  w  u k ł a d a c h  liniowych  — gdzie  działa  zasada 

superpozycji  (na  p r z y k ł a d  liniowa  teoria  lepkosprę ż ystoś ci). 

4i  = 

(8) 

u  = 



ZWIĄ ZKI KONSTYTUTYWNE  PEŁZANIA I PLASTYCZNOŚ CI  355 

Kolejny  problem  zwią zany  z  czysto  kontynualnym  podejś ciem  wynika  z  faktu,  że  ruch 

czą stek  elementarnych  u k ł a d u  nie  m o ż e  być  w  ogólnoś ci  opisany  ruchem  continuum, 

w  k t ó r y m  k a ż da  czą stka  z a j m o w a ł a b y  punkt  materialny.  M o l e k u ł y  i  atomy  nie  mają  przy­

pisanego  miejsca  w  continuum.  Idąc  dalej  z a u w a ż a m y,  że  u k ł a d  s k ł a d a ć  się  m o ż e  Z  czą stek 

r ó ż n e go  typu.  Jeś li jednak  w  danej  chwili  p r a w d o p o d o b i e ń s t w o,  że  czą stka jest  o k r e ś l o n e go 

typu jest  niezależ ne  o d  jej  p o ł o ż e n ia  w  układzie,  w ó w c z a s  u ś r e d n i o ny  ruch  masy  wewną trz 

u k ł a d u  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  przy  pomocy  ruchu:  л­;  =  0­  W  przeciwnym  razie  po­

winny  być  r o z w a ż a ne  zagadnienia  dyfuzji.  Trzeba  wtedy  zdefiniować  u ś r e d n i o ny  ruch 

masy  dla  k a ż d e go  typu  czą stek  osobno. 

Jeś li jednak  wystarczy  r o z w a ż ać  tylko jeden  ruch  xt  =  #,•(£,> 0>
t0  identyfikacja  czą stek 

materialnych  continuum  z  miejscem  |  ma,  według  mnie,  znaczenie  fizyczne  tylko  wtedy, 

jeś li  otoczenie  |  stanowi  w  całym  procesie  jeden  i  ten  sam  p o d u k ł a d  termodynamiczny. 

Jeś li  identyfikacja  czą stek  materialnych,  k t ó r e  wypełniają  mał e  otoczenie  punktu  £, 

ulega  zmianie  —  a  tak  dzieje  się  w  gazach,  cieczach,  metalach  deformowanych  plastycz­

n i e —  wówczas  konfiguracja  odniesienia  w  opisie  kontynualnym  traci  w  trakcie  procesu 

wszelkie  znaczenie  fizyczne  w  odniesieniu  do  stanu  termodynamicznego  m a t e r i a ł u .  Zasada 

zanikają cej  p a m i ę ci  w  formie  zaproponowanej  przez  C O L E M A N A  [3]  jest  w  tym  przypadku 

fizykalną  koniecznoś cią,  jeś li  funkcjonały  konstytutywne  mają  być  w a ż n e. 

S.  Koncepcja  naturalnego  stanu  odniesienia 

Ograniczając  się  do  r ó w n a ń  konstytutywnych  p e ł z a n i a  i  plastycznoś ci  w  metalach, 

p o w i n n i ś m y,  j a k  są dzę,  wycią gnąć  pewne  wnioski  z  faktu,  że  poś lizg  w  sieci  krystalicznej 

w y w o ł a n y  ruchami  dyslokacji  jest  g ł ó w n y m  czynnikiem  niesprę ż ystych  deformacji.  P o z w o l ę  

sobie  z a c y t o w a ć  fragment  pracy  Y .  H O R I E  [4],  przedstawionej  na  M i ę d z y n a r o d o w ym 

Sympozjum  Podstaw  Plastycznoś ci  w  Warszawie  w  1972  г .,  dotyczą cy  dyslokacji  w  krysz­

tałach : 

a)  C a ł k o w i t a  energia  zdeformowanego  kryształu  zawierają cego  stacjonarną  dyslokację  

jest  sumą  energii  odkształcenia  siatki  i  energii  dyslokacji.  Jest  ona  niezależ na  od  p o ł o ż e n ia 

dyslokacji. 

b)  O b e c n o ś ć  stacjonarnych  dyslokacji  nie  wpływa  na  sprę ż yste  własnoś ci  kryształu. 

M i e r ż ąc  zachowanie  się  ciała  p o d  w p ł y w e m  p r z y ł o ż o n y ch  obcią ż eń  nie  m o ż e my  stwierdzić  

o b e c n o ś ci  dyslokacji,  d o p ó k i  nie  nastą pi  ich  ruch. 

c)  N a p r ę ż e n ia  uplastyczniają ce  są  to  przede  wszystkim  n a p r ę ż e n ia  wymagane  dla 

w y w o ł a n i a  ruchu  dyslokacji  w  k r y s z t a ł a c h . 

H O R I E  wycią ga  stąd  wniosek,  że  wpływ  chwilowych  w a r t o ś ci  o d k s z t a ł c e ń  plastycznych 

na  t e r m o d y n a m i k ę  m a t e r i a ł u  jest  bardzo  mały.  Ich  w k ł a d  — j e ś li  istnieje  —jest  p o ś r e d n i: 

poprzez  całkowitą  p r a c ę  plastyczną. 

N a  tym  samym  sympozjum  K .  H A V N E R  [5]  wskazał  na  moż liwość  opisania  p r o c e s ó w 

mechanicznych  w  metalach  przy  pomocy  d w ó c h  kinematycznie  niezależ nych  m e c h a n i z m ó w 

deformacji,  k t ó r e  stanowią  fenomenologiczne  przybliż enia  z ł o ż o n y ch  p r o c e s ó w  w  siatce 

krystalicznej zajmują cej  obję tość  w  otoczeniu punktu  continuum materialnego.  Mechanizmy 

te  są  n a s t ę p u j ą c e: 

a)  Sprę ż yste  (mechanicznie  odwracalne)  infinitezymalne  odkształcenie  siatki; 



356  J .  F .  BESSELING 

b)  prosty  poś lizg  zgodnie  z krystalograficznie  dopuszczalną  geometrią  poś lizgu,  k t ó r e g o 

rezultatem  jest  wzglę dne  przesunię cie  materialnych  elementów  liniowych,  pozostawiają ce 

jednak  niezmieniony  typ  struktury  krystalicznej. 

Wydaje  mi  się, że oba  punkty  widzenia nie  są  wzajemnie  niezgodne,  a  usprawiedliwiają  

wprowadzenie  koncepcji  naturalnego  stanu  termodynamicznego,  niezależ nie  od  koncepcji 

ruchu  continuum. 

N O L L  i  inni  słusznie  wskazują,  że  ś cisły  matematyczny  opis  m a t e r i a ł u  z  dyslokacjami 

w y m a g a ł b y  wprowadzenia  konfiguracji  odniesienia,  k t ó r a  nie  jest  konfiguracją  euklide­

sową,  ale  jest  zdefiniowana  przez  afiniczną  i  antysymetryczną  koneksję  Г .  N O L L  p o d a ł 

r ó w n a n i a  ruchu  dla  przypadku,  kiedy  ta  nieeuklidesowa  konfiguracja  odniesienia  jest 

znana. 

Wydaje  się,  że  przy  pomocy  r ó w n a ń  N O L L A  byłoby  moż liwe  udowodnienie  własnoś ci 

dyslokacji  stacjonarnych,  k t ó r e  wymienia  H O R I E .  A l e  właś nie  ze  wzglę du  na  te  własnoś ci 

w  procesie  sprę ż ystym,  m o ż e my  nie  b r a ć  p o d  u w a g ę  obecnoś ci  dyslokacji,  zaś w  przypadku 

ruchu  dyslokacj  m o ż l i w o ść  ś cisłego  podejś cia  matematycznego,  podobnego  do  podejś cia 

N O L L A ,  wydaje  się  problematyczna.  Dyslokacje  powstają  w  ź r ó d ł a ch  F r a n k a ­ R e a d a ; 

są  wzajemnie  sprzę ż one,  g r o m a d z ą  się w  grupy  przy  brzegach  c i a ł a ;  są  eliminowane  przez 

procesy  dyfuzji. 

W  m o i m  przekonaniu  bardziej  racjonalna  metodyka  w y n i k a  z  przyję cia  koncepcji 

naturalnego  stanu  odniesienia;  poję cie  takiego  stanu  w p r o w a d z i ł  E C K A R T  [6]  jeszcze 

w  1948  r.  W  uję ciu  E C K A R T A  stan  ten  opisany  przez  nieeuklidesową  m e t r y k ę  wyznaczany 

jest  przez  proces  termodynamiczny  i podlega  ewolucji. 

W  1966 r.  na  sympozjum  I U T A M ,  p o ś w i ę c o n ym  problemom  termodynamiki  p r o c e s ó w 
nieodwracalnych  w  Wiedniu,  r o z w a ż a ł em  [7]  bardziej  o g ó l n y  przypadek,  kiedy  bież ą ca 
konfiguracja  m a t e r i a ł u  w  każ dej  chwili,  w  k a ż d ym  punkcie  ciała  jest  odniesiona  do  k o n ­

figuracji  w  stanie  odniesienia  dla  aktualnego  m a t e r i a ł u  — tzw.  naturalnego  stanu  odnie­

sienia  — przez  o d w r a c a l n ą  t r a n s f o r m a c j ę  e l e m e n t ó w  l i n i o w y c h : 

(9)  daa  =  ba,dxt,  det(6e l)  >  0. 

Tutaj  dax  definiują  elementy  liniowe  w  l o k a l n y m  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y c h,  o k r e ś l o n ym 

przez  ortogonalne  trójki  w e k t o r ó w ,  k t ó r e  nie  doznają  o b r o t ó w  w  trakcie  ruchu  continuum. 

Z a c h o w u j ą c  stałe  kierunki  w  przestrzeni,  t w o r z ą  one  b a z ę  odniesienia  dla  anizotro­

powych  własnoś ci  m a t e r i a ł u . 

Powyż sza  transformacja  e l e m e n t ó w  liniowych  m o ż e  być  r o z ł o ż o na  na  sztywny  o b r ó t 

i  nastę pują cą  po  nim  czystą  deformację  o  symetrycznej  macierzy  transformacji,  trzeba 

tylko  z a s t o s o w a ć  twierdzenie  o  jednoznacznym  r o z k ł a d z i e  biegunowym  tensora,  k t ó r e g o 

macierz jest nieosobliwa. 

Trzeba  z d a ć  sobie  s p r a wę  z  faktu,  że  u t o ż s a m i e n ie  czą stek  materialnych,  k t ó r e 

w  naturalnym  stanie  odniesienia  zajmują  miejsce  £,  z  punktem  o  tych  w s p ó ł r z ę d n y ch 

dla  continuum  poruszają cego  się nie jest  w  o g ó l n o ś ci  konieczne. T a k  wię c, jeś li  r o z w a ż y my 

siatkę  krystaliczną,  w  które j  nastą pił  poś lizg,  w ó w c z a s  z a u w a ż a m y,  że  pewna  pojedyncza 

k o m ó r k a  posiada  w  swych  w i e r z c h o ł k a c h  atomy,  k t ó r e  przed  prześ lizgiem  tworzyły  z i n ­

nymi  atomami  inną  k o m ó r k ę .  Siatka pokazana  na  rysunku  1 w pewnym  punkcie  continuum 



ZWIĄ ZKI KONSTYTUTYWNE  PEŁZANIA  I PLASTYCZNOŚ CI  357 

okreś lają cym  oczko  siatki  jest  w  każ dej  chwili  taka  sama,  co  nie  znaczy jednak,  że  tworzą  

ją  te  same  atomy. 

Tensor  bxi  jest  poję ciem  fizycznym,  k t ó r y  należy  w p r o w a d z i ć  do  r ó w n a ń  konstytutyw­

nych.  Podobnie  jak  wprowadzony  przez  E C K A R T A  [6],  a  póź niej  S I E D O W A  [8]  tensor 

metryczny  naturalnego  stanu  odniesienia  gtj  =  bxibxJ,  przy  czym  tensor  bxi  nie  spełnia 

kinematycznych  zwią zków  nierozdzielnoś ci  wyprowadzonych  z  ruchu  continuum,  a  więc 

ruchu  opisują cego  u ś r e d n i o ny  ruch  rzeczywisty  masy  wewną trz  ciała. 

Rys.  1.  Pojedyncza  komórka  w naturalnym stanie  odniesienia 

Jest  oczywiste,  że  dla  m a t e r i a ł u  polikrystalicznego,  o  przypadkowej  orientacji  poszcze­

gólnych  k r y s z t a ł ó w ,  jedno  r ó ż n i c z k o w a l ne  pole  bxi  nie  wystarczy,  aby  zdefiniować  natu­

ralny  stan  odniesienia  m a t e r i a ł u .  W  tym  miejscu  rodzi  się  istotna  t r u d n o ś ć.  P r o p o n u j ę  

p o s t ę p o w a n ie  idą ce  w  kierunku  dyskretyzacji  własnoś ci  u k ł a d ó w  mechanicznych  i  precyzji 

r ó w n a ń ,  mianowicie  a p r o k s y m a c j ę  naturalnego  stanu  odniesienia  przez  s k o ń c z o ną  liczbę  

pólbkai(k=  1,2,  . . . ,  N). 

Przystę pując  do  f o r m u ł o w a n i a  r ó w n a ń  konstytutywnych  przyjmujemy  nastę pują ce 

relacje: 

tlj  =  tij(bkxi,  7]), 

(10)  T  =  T(bkxi, TJ), 

u  =  u{bai,  rj). 

Musimy  z a c h o w a ć  zasadę  o b i e k t y w n o ś c i.  Elementy  dax  są  z  definicji  niezmiennicze 

wzglę dem  transformacji 

(")  x!  =  QuXi+ct­

Stąd  wynika,  że 

daa  =  bxidxi  =  baiQijdxj  =  b'xidx), 

albo 

bai  =  bxJQji. 

S k ł a d o w e  tensora  bxi  definiują  tensor 

(12)  CxP  =  b^bfn =  bXjQjib'pkQki  =  Kjbfi 

niewraż liwy  na  t r a n s f o r m a c j ę  (11). 

W i d a ć ,  że  tensor  metryczny  naturalnego  stanu  odniesienia 

(13)  del  =  daxdax  =  bxibxjdxidxj;  gu  =  bxibx] 

nie  jest  niezmiennicży  wzglę dem  (11).  M o ż na  jednak  odpowiednie  wielkoś ci  tu,  T,  u, 

uzależ nić  od  tensora  gy  poprzez jego  niezmienniki;  oznacza  to  i z o t r o p i ę  m a t e r i a ł u .  Dalej 

przyjmuje  się  powyż sze  założ enie  w  przypadku  pojawienia  się  tensora  metrycznego  na­

turalnego  stanu  odniesienia  w  zwią zkach  fizycznych. 

2  Mechanika  Teoretyczna  4/73 



358  J .  F .  BESSELING 
! 

6.  Odkształcenie  sprę ż yste  i  niesprę ż yste 

M ó w i ą c  o  p r ę d k o ś ci  zmian  naturalnego  stanu  odniesienia,  oznaczonej  przez  daa 
m o ż na  stwierdzić,  że  p r ę d k o ść  tę  r ó w n i e  dobrze  okreś lają  wielkoś ci  zwią zane  z  lokalną  

p r o p a g a c j ą  dyslokacji,  jak  i  zmiana  tensora  bxi  oraz  pole  p r ę d k o ś ci  poruszają cego  się  

c o n t i n u u m ;  mamy  więc 

(14)  daa  =  p,tdx,  =  (*«<+*«./­|~­)
  d x ' ' 

albo 

д х ­
(15)  bat  =  peJ­b.j­^­. 

W  celu  zwią zania  t e n s o r ó w  bai  i C,p  ze znanymi  p o j ę c i a m i,  takimi  jak gradient  defor­

macji  i  tensor  o d k s z t a ł c e n i a ,  r o z w a ż my  na  chwilę  przypadek  m a t e r i a ł u  sprę ż ystego.  D l a 

takiego  m a t e r i a ł u  pxi  =  0  i  m o ż na  u t o ż s a m ić  naturalny  stan  odniesienia  z  konfiguracją  

odniesienia  continuum. 

Zachodzi  w ó w c z a s 

dax 

(16)  daa  =  ­fa­<*Xi,  Xi =  xt(aa, ł) 

oraz 

(17)  del  =  bapdaxdaf,  de
2  =  dijdxtdxj  =  • —  da^da^, 

albo 

(18)  de2  =  b^bk/da^dap  =  c^da^dap 

i  dalej 

(19)  Ą * ­у  
gdzie  E p jest  tensorem  o d k s z t a ł c e n i a  Lagrange'a 

D l a  deformacji  niesprę ż ystej  m o ż e my  przyjąć  

(20)  ^  =  y ( c « / ­ 3 « A ) , 

j a k o  tensor  o d k s z t a ł c e ń  sprę ż ystych,  nie  spełniają cy  wówczas  w a r u n k ó w  nierozdzielnoś ci 

narzuconych  przez  k o n c e p c j ę  ruchu  continuum. 

W  o ś r o d ku  cią głym  tensor  całkowitych  odkształceń  zdefiniowany  jest  n a s t ę p u j ą c o: 

^=­2­(ж 1;­4  * 
Z n a n a jest  koncepcja  przyjmują ca  tensor  o d k s z t a ł c e ń  sprę ż ystych jako  r ó ż n i cę  p o m i ę d zy 

tensorem  c a ł k o w i t e g o  o d k s z t a ł c e n i a  continuum  i tensorem  o d k s z t a ł c e ń  niesprę ź ystych  Exp  . 

O t ó ż  w  teorii  przyjmują cej  poję cie  naturalnego  stanu  odniesienia,  ta  koncepcja  addytyw­

noś ci  jest  do  przyję cia  tylko  p o d warunkiem,  że dewiacja  naturalnego  stanu  odniesienia 

do  konfiguracji  odniesienia  continuum  pozostaje  m a ł a . 



ZWIĄ ZKI KONSTYTUTYWNE PEŁZANIA  I PLASTYCZNOŚ CI  359 

M o ż e my  n a p i s a ć  

dx •  
(22)  dax =  bxidxi  =  bxi­  '­ d£k. 

o?k 
Niech  bę dzie 

/ i v . 
(23)  Ьа 1­^­=да  + в л ;  \P*\<1. 

oh 
W  tym  przypadku  zachodzi 

(24)  =  Ekl  +~  (Blk +fi„  + 0ak fi„) = Ekl  + Ek{ . 

Ograniczenie  wielkoś ci  (}а к  (tym  samym  \Ekl' \ <\)  jest  naturalne w teorii,  gdzie  wszyst­

kie  zmiany  mają  być  z  góry  o k r e ś l o ne  wzglę dem  niezdeformowanej  konfiguracji  o ś r o d ka 

cią głego.  P r z y  znacznych  róż nicach  mię dzy  naturalnym  stanem  odniesienia  i  konfiguracją  

odniesienia  continuum,  ta  ostatnia  traci  swój  sens  fizyczny.  Teoria  duż ych  deformacji 

niesprę ż ystych  jest  raczej  teorią  płynię cia  niż deformacji.  Wymaga  ona opisu  we  współ­

r z ę d n y ch  przestrzennych.  Niniejsze  r o z w a ż a n ia  ograniczamy  do  zwią zków  konstytutyw­

nych  opisują cych  m a ł e  deformacje  niesprę ż yste. 

7.  Równania  konstytutywne  dla  pełzania  i  plastycznoś ci  w przypadku  małych  odkształceń  niesprę ż ystych 

W  przypadku  małyc h  deformacji  niesprę ż ystych  przyjmujemy  f , ,  | 2 . £з j a k o  zmienne 

niezależ ne  i  m o ż e my  p r o w a d z i ć  obliczenia  w  geometrii  odniesienia  ciała.  Zasada  zacho­

wania  masy  jest  t o ż s a m o ś c i o wo  s p e ł n i o n a ,  a  p o z o s t a ł e  r ó w n a n i a  podstawowe  są  nastę­

p u j ą c e: 

1.  Zasada  zachowania  p ę du 

(25)  ­4(ж )̂ = е°Х" 
(26) 

g  dxk  dxt 
=  To"81  "Щ  S'J' 

gdzie  Sij jest  drugim  tensorem  P i o l i ­ K i r c h h o f f a  (symetrycznym). 

2.  Zasada  zachowania  momentu  p ę du 

(27)  su  =  sj,. 

3.  Zasada  zachowania  energii 

п я л  £•  •  .  Qo d£k  dqi 
(28)  S i j  bu  =  g 0 u +  —  ­  ­ т у ­. 

g  dxi  d£k 
4.  Zasada  wzrostu  entropii 



360  J .  F. BESSELING 

5.  R ó w n a n i a  konstytutywne 

(30)  и =  ii(Ei'j,  rj),  su  = o0  ­,  T  =  ~ . 
8Eij  dtj 

Ostatnie  dwa zwią zki  pozwalają  przekształcić  z a s a d ę  entropii  do postaci  nastę pują cej: 

31)  Ta0  =  T~ź F­­fT  +SUEU 

P o n i e w a ż  n i e r ó w n o ś ć  p o w y ż s za  musi  z a c h o d z i ć  dla  wszystkich  wirtualnych  historii 

deformacji  i temperatury,  otrzymujemy,  że 

(32)  SijEi/^O. 

Powracamy  teraz do modelu, w k t ó r y m  naturalny  stan  odniesienia jest  aproksymowany 

przez  s k o ń c z o ny  szereg  p ó l  tensorowych  bkxi  a l b o — c o  jest  r ó w n o w a ż ne  w  przypadku 

m a ł y c h  o d k s z t a ł c e ń  n i e s p r ę ż y s t y c h — p r z ez  s k o ń c z o ny  szereg  pól  Elf,  mianowicie 

N  N 

(33)  u  =  ^yWiElf,  n), Łv>k  =  1­
к  = 1  A:  =  l 

Z  powyż szego  wynika,  że 

/V  N 

A  =  l  i J  k=l 

Postulat  wzrostu  entropii  wymaga, aby 
(35)  4jE;/k  > o 

albo,  p o n i e w a ż  Ei/k  =  0  (odkształcenie  obję toś ciowe  jest  sprę ż yste), aby 

stjkElj'k*  >  0, 

gdzie  .s?­ i Efi są  s k ł a d o w y m i  d e w i a t o r ó w 

1  л  
SU  — SU  yskk°ij, 

Щ  =  Eij — \  ^kk bij • 
1 

3 

Podstawowym  problemem  dla  pełzania  i  plastycznoś ci  pozostaje  okreś lenie  zwią zku 

konstytutywnego  dla p r ę d k o ś ci  dewiatora  Postaram  się zwię ź le  p r z e d s t a w i ć  własne 

podejś cie. 

Definiuję  funkcję  dysypacji  dla pełzania  w  postaci 

(38)  ś ffElffi  =fk(sV,T). 

Przyjmuję,  że  obszar  sprę ż ystego  zachowania  się  m a t e r i a ł u  jest  ograniczony  przez 

funkcję  płynię cia 

(39)  g* =  * * t o f  ,T,h), 

gdzie  /; jest  parametrem  wzmocnienia. 



ZWIĄ ZKI KONSTYTUTYWNK  PEŁZANIA  I PLASTYCZNOŚ CI  361 

Stosując  do  przypadku  pełzania  prawo  stowarzyszone  z  potencjałem  / *  otrzymuję  

(40) 
t  и ли  

/ W ,  Л  

oraz  postę pując  podobnie  w  przypadku  odkształceń  plastycznych  przy  =  0,  g*  0, 

mamy 

(41)  p'  'k*  _  „ 

Jako  prawo  wzmocnienia  przyjmuję  

(42) 
Я р*  .  . 

ж "л  = " s5* Е ?™' 2 G ? ­'  g d z i e  ;­5 8 °­Stą d,  w przypadku  deformacji  izotermicznych,  m o ż e my  rozwinąć  warunek  dla  po­
tencjału 

(43)  ­%f*>(%­>$f­'%f)­™%?> 

Wyznaczamy  m n o ż n ik p 

0. 

(44) 
cgk  dgk  dg*  dg*  d/k 

R ó w n a n i e  na E{/*k jest  w ó w c z a s  nastę pują ce: 

dg^  dp 

df 
(45)  Eij  =  И  

1 

dsff  A + l  я ^  я ^  dsff 

CS 

+ 

dg^  dg* 
„*k 
3lj 

3sf,k  ds*jk 

A + l  8gk  dg4 

p o d  warunkiem,  że zachodzi 

(46)  gk  = 0, 

w  przeciwnym  razie 

dsfp  ! J  И  dstf  dstf  ' 

r*"k 

W  celu  zbadania  słusznoś ci  tych  zwią zków  w  przypadku  plastycznoś ci  i  pełzania 

p r z e p r o w a d z i l i ś my  szereg  d o ś w i a d c z eń  na rurach  g r u b o ś c i e n n y c h. 

W y c h o d z ą c  z funkcji  płynię cia  Misesa,  mianowicie 

(47)  g =  sfrf­h2, 

okreś liliś my  na podstawie  pomierzonych  historii  deformacji  historie  n a p r ę ż e n ia  i  p o r ó w ­

naliś my  je z  wynikami  uzyskanymi  z  p o m i a r ó w .  M o ż na  było  z a u w a ż y ć,  że (dla  przyję tej 

funkcji  płynię cia)  wszystkie  wielkoś ci  wystę pują ce  w  naszych  r ó w n a n i a c h  konstytutyw­

nych  dla plastycznoś ci  zostały  wyznaczone  w  oparciu  o  zwykłe  krzywe  n a p r ę ż e n i e — o d­

kształcenie  dla r o z c i ą g a n ia  albo  skrę cania.  W  ten  s p o s ó b  spełniliś my  nasze  pierwotne 



362  J.  F.  BESSELING 

ż ą danie  polegają ce  na  wyprowadzeniu  reakcji  m a t e r i a ł u  przy  złoż onej  historii  obcią ż enia 

z  pomierzonych  wielkoś ci  dla  pewnych  specjalnych  historii.  Są dzę,  że  nasze  pierwsze 

wyniki  sugerują  podejmowanie  dalszych  b a d a ń  w  oparciu  o  koncepcje  przedstawione 

wyż ej. 

Badaliś my  też  w a r t o ś ć  poję cia  s k o ń c z o n ej  iloś ci  naturalnych  s t a n ó w  odniesienia  przy 

pomocy  testów  p e ł z a n i a .  Rezultaty,  jakie  uzyskaliś my  do  tej  pory,  były  przedstawione 

na  sympozjum  Ш Т АМ  p o ś w i ę c o n e mu  pełzaniu  w  konstrukcjach  w  r.  1970  w  Gothen­

burgu  [9].  Rozrzuty  w y n i k ó w  b a d a ń  rzucają  cień  na  niezbyt  p o m y ś l ną  z g o d n o ś ć  mię dzy 

przyję tym  modelem  a  rzeczywistym  zachowaniem  m a t e r i a ł u . 

Litera tu ra  cytowana  w  tekś cie 

1.  C.  TRUESDELL,  W.  NOLL,  The  Non  ­ linear Field  Theories  of  Mechanics, Encyclopedia  of  Physics 
ed.  by  S.  FLUGGE, Vol.  111/3,  1965. 

2.  W.  NOLL,  A  Mathematical  Theory  of  the  Mechanical Behavior  of  Continuous  Media,  Arch.  Rat.  Mech. 
Anal.,  2,  (1958—59),  197—226. 

3.  B.  D.  COLEMAN, V.  J.  MIZEL, On  the  General  Theory  of  Fading  Memory,  Arch.  Rat.  Mech.  Anal.,  29, 
(1968),  18—31. 

4.  Y.  HORIE,  On  the  Thermodynamic States  of  Plastically  Deformed Solids,  Pap.  Contr,  to  the  Int.  Symp. 
on  Foundations  of  Plasticity, Warsaw,  1972,  preprint edition,  ed.  by  A.  SAWCZUK,  S.  219—233. 

5.  K .  S.  HAVNER,  An  Analytical  Model  of  Large  Deformation  Effects  in  Crystalline  Aggregates,  jw, 
s.  93—106. 

6.  C.  ECKART, The  Thermodynamics  of  Irreversible  Processes,  IV.  The  Theory  of  Elasticity  and Anelas­
ticity,  Phys.  Rev.,  2,  73  (1948),  373. 

7.  J . F.  BESSELING,  W Irreversible  Aspects  of  Cont.  Mech....,  1 U T A M  Symposium,  Vienna  1966,  ed  by 
H .  PARKUS,  L. I.  SEDOV,  Wien  1968. 

8.  L . I .  SEDOV, Introduction  to  the  Mechanics of  a  Continuous Medium, New  York  1965  (tłumaczenie  angiel­
skie),  Vvedenie  v  Mekhaniku  Sploshnoi Sredy,  Moscow  1962. 

9.  J . F.  BESSELING,  J . H .  LAMBERMONT,  An  Fxperimental  and  Theoretical  Investigation  of  Creep  under 
Uniaxial Stress  of  a  Mg­Alloy, Creep  in Structures,  I U T A M ,  Symp. Gothenburg  1970,  ed.  by  J. HULT, 
Berlin  1972.