Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf


M E C H A N I K A 
TEORETYCZNA 
I  STOSOWANA 

4,  11  (1973) 

O  U D E R Z E N I U  W  UKŁADACH  T Y P U  CZETAJEVVA  —  PRZEBORSKIEGO 

N .  Ja.  С  Y  G  A  N  o  w  A  ( W O L G O G R A D ) 

W  pracy  [1]  B O Ł O T O W  o t r z y m a ł  u o g ó l n i o n ą  formę  zasady  najmniejszego  s k r ę p o w a n ia 

dla  u k ł a d ó w  z  wię zami  holonomicznymi  i  anholonomicznymi  pierwszego  r z ę du  podda­

nych  d z i a ł a n i u  sił  impulsowych. 

W  niniejszej  pracy  u o g ó l n i o n ą  z a s a d ę  najmniejszego  s k r ę p o w a n ia  rozszerza  się  na  zja­
wisko  udaru  w  u k ł a d a c h  typu  Czetajewa­Przeborskiego. 

1.  W  pracy  B O Ł O T O W A  [1]  u o g ó l n i o n a  zasada  najmniejszego  s k r ę p o w a n ia  dla  u k ł a d u  n 

p u n k t ó w  materialnych  przy  działaniu  na  nie  sił  impulsowych  posiada  p o s t a ć  

gdzie  xid,  xid,  xi5  — rzuty  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  po  udarze  w  ruchu  rzeczywistym  (d), 

czę ś ciowo  zwolnionym  z  wię zów  (o)  i  m o ż l i w ym  (ó). 

U d a r  w  u k ł a d z i e  zachodzi  albo  pod  w p ł y w e m  d z i a ł a n i a  z e w n ę t r z n y ch  i m p u l s ó w  uda­

rowych,  lub  p o d  w p ł y w e m  nagłego  n a ł o ż e n ia  nowych  wię zów  (holonomicznych  lub 

anholonomicznych  pierwszego  rzę du)  lub  wskutek  w s p ó l n e g o  działania  obu  tych  czynni­

k ó w .  D o w ó d  p r a w d z i w o ś ci  zwią zku  (1.1)  w  pracy  B O Ł O T O W A  [1]  oparty  jest  na  d w ó c h 

z a ł o ż e n i a c h: 

1.  przemieszczenia  moż liwe  danego  u k ł a d u  zawarte  są  w  zbiorze  moż liwych  przemiesz­

czeń  u k ł a d u  czę ś ciowo  wyzwolonego  z  wię zów, 

2.  istnieją  moż liwe  przemieszczenia  p u n k t ó w  u k ł a d u ,  proporcjonalne  do  róż nicy 

p r ę d k o ś ci  po  udarze  w  ruchu  rzeczywistym  (d)  i  m o ż l i w ym  (6). 

Przy  okreś leniu  przemieszczeń  moż liwych  według  C Z E T A J E W A  i  P R Z E B O R S K I E G O ,  te 

dwa  warunki  są  spełnione,  a  więc  zwią zek  (1.1)  bę dzie  prawdziwy  i  dla  u k ł a d ó w  z  nie­

l i n i o w y m i  wię zami  pierwszego  r z ę d u. 

M a m y  u k ł a d  n  p u n k t ó w  materialnych  /г,  z  masami  mt.  Z a k ł a d a m y ,  że  do  udaru  u k ł a d 
miał  n a ł o ż o ne  idealne,  w  o g ó l n y m  przypadku  nieliniowe,  anholonomiczne  wię zy  pierwsze­
go  r z ę du 

3D  3n 

0.1) 

(1.2)  fj(t,Xi,Zi,yi,Xi,  j>,,z t, ,)  =  0  (j=  1 , 2 ,  i  =  1 , 2 ,  . . . , « ) 

(nie  wyklucza  się,  że  n i e k t ó r e  z  tych  wię zów  bę dą  liniowe,  anholonomiczne  lub  holono­
miczne). 



3+4  N .  Ja.  CYGANÓW A 

Udar  spowodowany jest  zewnę trznymi  impulsami  udarowymi  S,­  (At,  Bh  Ct)  i  momen­
talnym  n a ł o ż e n i em  nowych  wię zów,  k t ó r e  zachowują  się  przy  póź niejszym  ruchu  u k ł a d u . 

W ś r ód  tych  wię zów  są  idealne  holonomiczne jednostronne  wię zy 

(1.3)  ł>,(f,  * i , y „ z , )  >  0  (v  =  1 , 2 ,  ...,p,  / = 1 , 2 , . . . , и ) 

i  idealnie  anholonomiczne  pierwszego  rzę du  w  o g ó l n y m  przypadku  nieliniowe,  jedno­

stronne  wię zy 

(1.4)  yx(t,  xt,  y i ,  z „ Xi,  y,,  ż ,)>0  (A  =  1,  2 ,  . . . , / ,  i  =  1 , 2 ,  . . . ,  и ). 

Przez  ruch  czę ś ciowo  wyzwolony  bę dziemy  r o z u m i e ć  ruch  u k ł a d u  pod  d z i a ł a n i e m 

zewnę trznych  impulsów  udarowych  St  i  prZy  nałoż eniu  nowych  wię zów  (1.3),  (1.4)  jak 

w  ruchu  rzeczywistym,  lecz  p o d  warunkiem  wstę pnego  wyzwolenia  u k ł a d u  od  dowolnej 

liczby  wię zów  (1.2). 

Zgodnie  z  zasadą  D'Alemberta­Lagrange'a  dla  sił  impulsowych  mamy 

n 

(1.5)  JT"  [Aimi(xid­Xi0)]dxi+[Bi­mi(yid­y,0)dyi]+[Ci­mi(żid­ż i0)]ż i, 

;=i 

gdzie  xi0,  yi0,  ż l 0  —  rzuty  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  do  udaru, 

*id,  У id,  zu  —  rzuty  p r ę d k o ś ci  rzeczywistych  p u n k t ó w  u k ł a d u  po  udarze, 

dxt,  ó y i ,  dzi  —  rzuty  moż liwych  przemieszczeń  p u n k t ó w  u k ł a d u  poczas  udaru. 

Moż liwe  przemieszczenia  rozpatrywanego  u k ł a d u  według  C Z E T A J E W A  [2]  i  P R Z E B O R ­

S K I E G O  [3]  okreś lone  są  zwią zkami 

0  0 =  1 , 2 ,  . . . , * ) , 

0  (v  =  1 , 2 ,  ...,p), 

О  (Я  =  1 , 2 , . . . , / ) . 

D l a  ruchu  czę ś ciowo  wyzwolonego  zasada  D'Alemberta­Langrange'a  przyjmie  p o s t a ć : 

n 

(1.9)  2J  [Ai­niiiXit­x^dXi+lBt­miiyu­yioWyi+lCi­miiZit­ZioyidZi, 
i =  i 

gdzie  xid,  yid,  żid  —  rzuty  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  po  udarze  w  ruchu  czę ś ciowo  wy­

zwolonym,  dxt,  dyt,  dz{  —  rzuty  przemieszczeń  moż liwych  p u n k t ó w  u k ł a d u  czę ś ciowo 

wyzwolonego. 

P o n i e w a ż  dla  u k ł a d ó w  typu  Czetajewa­Przeborskiego  moż liwe  przemieszczenia 

danego  u k ł a d u  znajduje  się  w ś r ód  moż liwych  przemieszczeń  u k ł a d u  czę ś ciowo  wyzwolo­

nego,  to  r ó w n a n i e  (1.9)  przyjmie  p o s t a ć  
n 

(1­10)  2J  [Ai­iniix^­x^dxi  +  lBi­miiy^­yio^dyi+iCi­miiz^­Zio^dz  =  0. 

i= 1 

i =i 



O  UDERZENIU  W UKŁADACH TYPU  CZETAJEWA  345 

Odejmując  r ó w n a n i e  (1.10)  od r ó w n a n i a  (1.5) otrzymamy: 

n 

(1.11)  2jmi  K*,d ­  xu)  dxt + (yid  ­  у u) dyi + (ż n ­  zu)  dzt]  =  0. 
;=i 

Udowodnimy,  że istnieją  moż liwe  przemieszczenia  u k ł a d u  podczas  udaru,  proporcjonalne 

do  róż nicy  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  w  ruchu  rzeczywistym  i  moż liwym. 

Zapiszemy  warunki,  k t ó r e  spełniają  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  po  udarze  w  ruchu 

rzeczywistym  i  moż liwym.  Jeś li  w  ruchu  rzeczywistym  u k ł a d u  w  k o ń cu  udaru  słabnie 

jakikolwiek  z wię zów  (1.3), to  wielkość  

1= 1 

k t ó r ą  B O Ł O T O W  [1]  nazywa  prę dkoś cią  osłabiania  wię zów,  nie  m o ż e  być  ujemną  [4]: 

(3V>  0. 

Jeś li  słabnie  w  k o ń cu  udaru  jakikolwiek  z  wię zów  (1.4),  to  p r ę d k o ś ci  w  chwili,  kiedy 

u k ł a d  odrzuca  wię ź,  spełniają  warunek  [4] 

(1.13)  f>.(t,Xi, у i, z i, ku,  у u ,  żu)  =  0. 

Bę dziemy  r o z p a t r y w a ć  tylko  takie  moż liwe  ruchy,  w  k t ó r y c h  p r ę d k o ś ci  osłabiani a  wię zów 

(1.3)  bę dą  r ó w n e  takim  samym  p r ę d k o ś c i om  w  ruchu  rzeczywistym.  D l a takich  r u c h ó w 

moż liwych  p r ę d k o ś ci  spełniają  nastę pują ce  w a r u n k i : 

(1.15)  rpx(t, xt,  у i, z\,  ku.  У 16, ż u)  =  0. 

Odejmując  odpowiednie  zwią zki  (1.14)  i  (1.15)  od  zwią zków  (1.12)  i  (1.13)  otrzymujemy: 

n 

(1.16)  ^ ' d x
1 { k i d ~ k i i ) + d 8 < ( y i d ~ y i 6 ) + ^  (*«­*»)  = °> 

i =  i  '  ' 

(1.17)  fiit,  Xi,  у i, z i, xid,  у u,  żu)  ­y>x(t,xt, у i, z i, ku  ,уи,  żis)  =  0. 

R o z k ł a d a j ą c  funkcję  ipx(t,  Xiy tZiXU,  yu,  żid)  na  róż nice  ku—ха;  yid~yid,  źid­'ziS,  i  ogra­

niczając  się  do  c z ł o n ó w  pierwszego  rzę du  o d n o ś n ie  tych  róż nic  — ż  r ó w n o ś ci  (1.17) 

otrzymamy 

(1.18)  ^ • ^ ( ^ ­ * « )  + ^ С л ­ ^ + ^ ­ ( * ­ 4И )  =  0. 
/=i 

Jeś li  chodzi  o  wię zy  dwustronne  (1.2),  k t ó r e  były  n a ł o ż o ne  na  u k ł a d  do  udaru  i  k t ó r e 

pozostają  w  czasie  udaru,  to  dla  nich  widocznie  spełnia  się warunek 

n 

(L19)  S  Ąк;(*ы~*1°)+ж{У ш~  У")+Ж  {iu~'Za)  =  °­



346  N .  Ja. CYGANOWA 

P o r ó w n u j ą c  warunki  (1.16)  z  warunkami  (1.7),  warunki  (1.18)  z  warunkami  (1.8),  wa­

runki  (1.19)  z  warunkami  (1.6)  wnioskujemy,  że 

(1.20)  dxt  =  к (хи­ха),  d.vi =  k(yid­yid),  dzt  =  k(żu­zit) 

(k  — dowolny  współczynnik  dodatni),  co  oznacza  istnienie  moż liwych  przemieszczeń  

podczas  udaru,  proporcjonalnych  do  róż nic  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  po  udarze  w  ruchu 

rzeczywistym  i  m o ż l i w y m. 

N a  podstawie  zwią zku  (1.20)  r ó w n a n i e  (1.11)  zapiszemy  w  postaci: 

m, 

2]  m ,[(xid  ­  xid)(xid  ­  ku)  + (У \д ­У 1с )(У и ­У а )  + ( г м ­  żid)(żid­zi6)]  =  0. 
/= 1 

Skąd  otrzymamy 

(1­21)  Tdó  =  Tió—Tdi, 

gdzie  Tdó  = —  £mi{(xid­xid)
2  + (yid­yidy­  + (zid­zid)

2]  odchylenie  ruchu  rzeczywistego 

u k ł a d u  po  udarze  od  ruchu  czę ś ciowo  wyzwolonego. 

T&d  i  Tu  — o k r e ś la  się analogicznie.  Ze  zwią zku  (1.21)  wynikają  dwie  nierównoś ci 

(1.22)  Tdd<Tdd, 

(1.23)  T6d  <  T3Ó, 

z  k t ó r y c h  pierwsza  wyraża  u o g ó l n i o n ą  zasadę  najmniejszego  s k r ę p o w a n i a,  a  druga  — 

twierdzenie  C Z E T A J E W A  [2]  dla  udaru. 

2.  N a podstawie  nierównoś ci  (1.22)  i  (1.23)  m o ż na  o t r z y m a ć  zwią zek  mię dzy  energiami 

kinetycznymi  w  (d),  (Ó) i  (<3)  — ruchach  po  udarze. 

D o d a j ą c  nierównoś ci  (1.22)  i  (1.23),  podstawiając  otrzymane  nierównoś ci  do  w z o r ó w 

na  Tdt,  Tda,  Tsd  —  otrzymamy 

Зл  З /1  Зл  

(2.1)  У  m i(xid­xid)
2  + 2J  mi(xid­xidy  <  2  ^  m i(xid­xid)

2. 
1=1  /=1  /=1 

W p r o w a d z a j ą c  energię  kinetyczną  dla  ruchu  rzeczywistego  moż liwego  i  wyzwolonego 

i  oznaczając  je  odpowiednio  Td,  Tt,  Tó,  n i e r ó w n o ś ć  (2.1)  zapiszemy  w  postaci 

3/i  Зл  
7л  +  Ta  I  Г  V  1  V "1  "I 

(2.2)  Td  <
  д

2  . +  ­­у 2^»и 'х!д(хы­х1а)  +  m iXis(xu­Xia )y 
/=1  1=1 

Sumy  w  nawiasach  kwadratowych  w  ostatniej  nierównoś ci  mają  o k r e ś l o ny  sens  me­

chaniczny. 

Rozpatrzymy  pierwszą  s u m ę .  W c h o d z ą ce  w  nią  róż nice  m o ż na  u w a ż ać  z a  prze­

mieszczenia  moż liwe.  W ó w c z a s  suma  ta  bę dzie  miała  p o s t a ć  

3/1 

(2.3)  У т:х1ддХ1. 





348  N .  Ja.  CYOANOWA 

Jeś li  ograniczymy  się tylko  do  takich  moż liwych  r u c h ó w ,  w  k t ó r y c h  p r ę d k o ś ci  są  ortogo­

nalne  do impulsów  sił reakcji  wię zów  odrzuconych,  to z nierównoś ci  (2.10)  otrzymamy 

( 2 . П )  TA  < 

to  znaczy,  że  jeż eli  udar  w  układzie  p u n k t ó w  materialnych  znajdują cych  się w  bezruchu 

nastę puje  wskutek  n a ł o ż e n ia  nowych  wię zów,  to  energia  kinetyczna  ruchu  rzeczywistego 

u k ł a d u  po  udarze  jest  mniejsza  od  p o ł o w y  sumy  energii  kinetycznych  ruchu  czę ś ciowo 

wyzwolonego  i  takiego  ruchu  m o ż l i w e g o,  w  k t ó r y m  p r ę d k o ś ci  p u n k t ó w  są  ortogonalne 

do  i m p u l s ó w  odrzuconych  reakcji  wię zów  przy  wyzwoleniu  u k ł a d u . 

3.  W  pracy  [2]  C Z E T A J E W  w y p r o w a d z i ł  twierdzenie:  odchylenie  ruchu  rzeczywistego 

układu  z  wię zami  idealnymi  (w przypadku  ogólnym  nieliniowymi  anholonomicznymi)  od 

jakiegokolwiek  ruchu moż liwego  jest  mniejsze niż odchylenie  tego ostatniego od ruchu  czę ś cio­

wo  wyzwolonego. 

D l a  udaru  twierdzenie  Czetajewa  przyjmuje  p o s t a ć  nierównoś ci  (1.23),  k t ó r e  zapisujemy 
n a s t ę p u j ą c o: 

Зл  Зл  

(3.1)  £m,(xid­xt)
2  <  ^mi(xid­xi6)

2, 
i=I  i =  l 

gdzie  xid,  xid,  xi6—prę dkoś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  po  udarze  w  (d),  (d)  i  (<5) — ruchach, 

lub 

Зл  Зл  Зл  

(3.2)  2j^f~~2J~^T ~K 2jmiXd{Xii~Xid)­
i=i  /=i  ;=i 

T a  ostatnia  n i e r ó w n o ś ć  na podstawie  zwią zku  (2.7) bę dzie  sprowadzona  do  postaci 

Зл  

(3.3)  Tt­T»<  2 ? * » J i g ­ » , 
i=i 

gdzie  Rfx~
d)—impulsy  sił  reakcji  wię zów  odrzucanych  przy  czę ś ciowym  oswobodzeniu 

u k ł a d u . 

Jeż eli  p r ę d k o ś ci  ruchu  moż liwego  po  udarze  są  ortogonalne  do  i m p u l s ó w  sił  reakcji 

wię zów  odrzucanych  przy  czę ś ciowym  oswobodzeniu  u k ł a d u ,  to  b i o r ą c  p o d  uwagę  nie­

r ó w n o ś ć  (3.3) 

Tt  <  Td; 

w i d z i m y ,  że energia  kinetyczna  ruchu  rzeczywistego  po  udarze jest  mniejsza  od energii 

kinetycznej  ruchu  czę ś ciowo  wyzwolonego. 

Literatura  cytowana  w tekś cie 

1.  E . А .  Б о л о т о в,  О  п р и н ц и п е Г а у с с а ,  И з в.  ф и з .­м а т.  О б ­ва  п ри  К а з а н с к ом  у н и в е р с и т е т е, 1916, 
т.  2 1 ,  в .  3. 

2.  Н . Г .  Ч Е Т А Е В, О п р и н ц и п е  Г а у с с а ,  И з в. ф и з ­м а т.  О б ­ва  п ри К а з а н с к ом у н и в е р с и т е т е,  1932—33, 
с е р.  3, 6. 



O  UDERZENIU W  UKŁADACH  TYPU  CZETAJEWA  349 

3.  A .  PRZEBORSKI, Die  allgemeinslen  Gleichungen  der  relatiwistichen  Dynamik,  Math.  Zeitschrift.,  Bd. 
36,  Berlin  1933,  s.  184—194. 

4.  Г.  К .  С У С Л О В,  Т е о р е т и ч е с к а я  м е х а н и к а ,  Г о с т е х и з д а т,  1944,  с т р.  281. 

P O L I T E C H N I K A ,  W O Ł G O G R A D 

Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  9  lutego  1973  r.