Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  4,  11  (1973)  O  A N H O L O N O M I C Z N Y C H  UKŁADACH  PIERWSZEGO  I DRUGIEGO R Z Ę DU Z  T A R C I E M  N .  Ja.  С  Y G  A N o w  A  (WOŁGOGRAD)  W  mniejszej  pracy  ustala  się ekstremalne  własnoś ci  reakcji  wię zów  dla u k ł a d ó w ma­ terialnych  typu  Czetajewa­Przeborskiego  i u k ł a d ó w  z anholonomicznymi wię zami  drugiego  r z ę d u,  w y c h o d z ą c  z  ogólnej  definicji  Painleve'go  u k ł a d ó w  z  tarciem.  Otrzymano  zależ ność   mię dzy  odchyleniami ruchu  rzeczywistego  od moż liwego  w u k ł a d z i e  z tarciem  i w  u k ł a d z i e  bez  tarcia,  a  t a k ż e  pewne  wnioski  wynikają ce  z tej  zależ noś ci.  1. Ekstremalne  właś ciwoś ci reakcji  wię zów  R o z w a ż my  u k ł a d  n  p u n k t ó w  materialnych  z  anholonomicznymi, w  przypadku  ogól­ nym,  nieliniowymi  wię zami  pierwszego  r z ę du  z  tarciem:  (1.1)  fj(xt,yt,  z„  Z,},,  ż i,  0  =  0  (j  =  1, 2,  k;  i  =  1,2,  ń ).  W y c h o d z ą c  z  ogólnej  definicji  Painleve'go  u k ł a d ó w  z  tarciem  [1], bę dziemy  u w a ż a ć,  że  suma  prac  elementarnych  reakcji  wię zów  Rt  na  moż liwych  przemieszczeniach  u k ł a d u  nie  zawsze  bę dzie  r ó w n a  zeru.  Z a ł ó ż m y,  że suma  ta na  moż liwym  przemieszczeniu  r ó w n a  jest  T  Ф 0  П   (1.2)  ^Rtbr,  =  т  ( т ^ О ).  i =  i  M o ż l i we  przemieszczenia  u k ł a d u  okreś la  się  według  Czetajewa  [2] i  Przeborskiego  [3]  nastę pują cym  wzorem:  n  < I J >  U ­  1.2  *>•   R o z w a ż my  s u m ę   n  (1.4)  Adi  =  у  mi(Wi­Vi) 2,  gdzie  w,­ oznacza  m a s ę  /'­tego  punktu,  wt—przyspieszenie  tego  punktu  w  okreś lonej  chwili  czasu  t w trakcie  ruchu  rzeczywistego  p o d  działaniem  danej  siły  Ft  i  reakcji  Rt;  y,—jedno  z  moż liwych  przyspieszeń  dla  danych  wię zów  przy  stałych  p o ł o ż e n i a ch  i  p r ę d k o ś c i a ch  punktu  w  okreś lonej  chwili  czasu.  Suma  Adi  okreś la  m i a r ę  odchylenia  rzeczywistego  ruchu  {d) danego  u k ł a d u  p u n k t ó w  materialnych  od  ruchu  moż liwego  (8).  468  N .  Ja.  CYGANOWA  W  charakterze  ruchu,  z  k t ó r y m  bę dziemy  p o r ó w n y w a ć  ruch  rzeczywisty  (d)  w e d ł u g  wielkoś ci  odchylenia  o d  ruchu  m o ż l i w e go  (d),  przyjmiemy  ruch  (d')  przy  tych  samych  danych  siłach  F , i  dowolnych  reakcjach  R't,  róż nią cych  się od  rzeczywistych  reakcji,  lecz  spełniają cych  warunek  (1.2), tj.  (1.5)  £ в д = т.  i— 1 U k ł a d ó w  sił R\ posiadają cych  właś ciwoś ci  (1.5)  istnieje  n i e s k o ń c z o na  ilość [4].  R u c h  (d')  nie  bę dzie,  m ó w i ą c  ogólnie,  m o ż l i w ym  przy  n a ł o ż o n y ch  wię zach.  Odchylenie  ruchu  (d') od ruchu  moż liwego  (d)  jest  r ó w n e  n  1  \ ^  (1­6)  Ad,t  =  ~  2J  mi(w'i­yd 2,  ;=i  a  przyrost  odchylenia  przy  przejś ciu  od ruchu  rzeczywistego  (d) do ruchu  (d')  jest  r ó w n y  n  n  (1.7)  AA  =  m^Wi  ­  у д А щ +  ~  ^  m,(Aw,)2,  Aw,  =  w\ ­  щ .  i=i  i=i  D l a  rozpatrywanych  u k ł a d ó w  typu  Czetajewa  istnieją  moż liwe  przemieszczenia  p u n k t ó w  u k ł a d u ,  proporcjonalne  do  r ó ż n ic  ich przyspieszeń  w  ruchu  rzeczywistym  i  moż liwym  (przy jednakowych  w s p ó ł r z ę d n y ch  i p r ę d k o ś c i a ch  p u n k t ó w  w ruchu  rzeczywistym  i  moż li­ w y m  rozpatrywanym  w  danej  chwili  czasu  t).  A  więc  r ó ż n i ce  wt— yt  we  wzorze (1.7)  są  przemieszczeniami  moż liwymi.  Przyrost  przyspieszeń  w  p o r ó w n y w a n y c h  ruchach  A i v ;  r ó w n y  jest  (1.8)  Aw, =  J*Z3L.  P o n i e w a ż  Rt i R\ spełniają  warunki  (1.2)  i  (1.5), to  n  n  Z  m  ̂ ­  У д  д ^  =  Z  (*' ~ ̂   D?I  = °­ (=i  /=i  W  ten s p o s ó b  z r ó w n a n i a  (1.7)  mamy  n  (1.9)  AA  =  T jT V. ( A u V ) 2  >  0,  /=i  skąd  wynika, że  (1.10)  Ada  >  Ad,s;  innymi  słowy,  w przypadku  rzeczywistych  reakcji  wię zów  R{  suma  (1.4),  traktowana  j a k o  funkcja  reakcji  dla  ustalonych  sił Ft,  przyjmuje  w a r t o ś ć  minimalną .  O  ANHOLONOMICZNYCH  UKŁADACH I I II  RZĘ DU  469  Jeż eli  wię zy  n a ł o ż o ne  na  u k ł a d  są idealne, tj.  J £ j v > , = 0, gdzie  Ni jest  w y p a d k o w ą  reakcji  idealnych  wię zów  (1.1),  to  minimalizacja  sumy  (1.4)  dla  rzeczywistych  reakcji  wię zów  /V, wynika  b e z p o ś r e d n io  z  poprzedniego  o g ó l n e g o  rezultatu  dla  T = 0. Przypadek  wię zów  idealnych  był rozpatrywany  przez  autora  w  pracy [5]. Udowodnione  wyż ej  twierdzenie  m o ż na  rozcią gnąć  i na  u k ł a d y  z  idealnymi  i  nieideal­ nymi  anholonomicznymi  wię zami  drugiego  r z ę d u,  l i n i o w y m i  w z g l ę d em  przyspieszeń,  mianowicie  л   2}  (axiXi+bXiyi  + cxi'ż i)=  ax  (A =  1, 2,  k).  Współczynniki  aXi,  bxl,  cu,  ax  są  zależ ne  o d czasu,  w s p ó ł r z ę d n y ch  i p r ę d k o ś ci  ruchu  punk­ t ó w  u k ł a d u .  W  pracy  [3] Przeborski  po raz pierwszy  w p r o w a d z i ł  dla r o z w a ż a n y ch  u k ł a d ó w  definicję   moż liwych  przemieszczeń,  uogólniają cą  definicję  (1.3),  w  myśl  które j  przemieszczenia  moż liwe  są definiowane  z w i ą z k a m i:  л   2  (au  д ъ+Ьид у,+сид г ,) = 0  (Я =  1, 2, . . . ,  к ).  (=i  Ł a t w o  spostrzec, że r ó ż n i ca  przyspieszeń  p u n k t ó w  u k ł a d u  dla ruchu  rzeczywistego  i  moż li­ wego,  przy  jednakowych  w s p ó ł r z ę d n y ch  i  p r ę d k o ś c i a ch  p u n k t ó w  u k ł a d u  w  obu  ruchach  dla  ustalonej  chwili  czasu,  jest  przemieszczeniem  m o ż l i w y m.  Rozcią gając  na  r o z w a ż a ne  u k ł a d y  ogólną  definicję  Poinleve'go  u k ł a d ó w  z  tarciem  (1.2) oraz  p o w t a r z a j ą c  r o z w a ż a n ia  j a k  dla u k ł a d ó w  typu  Czetajewa,  m o ż na  u d o w o d n i ć ,  że  Adi < Ad's,  przy  zachowaniu  w a r u n k ó w  (1.2) i  (1.5) dla sił reakcji  wię zów  w ruchach  p o r ó w n y w a n y c h .  2.  Zwią zki  pomię dzy  niektórymi  charakterystykami  dynamicznymi  ruchu danego  układu  z  tarciem  i  bez  tarcia  N i e c h  bę dzie  dany  u k ł a d  n p u n k t ó w  materialnych,  z  n a ł o ż o n y mi  wię zami  holonomicz­ nymi  i anholonomicznymi  pierwszego  i drugiego  r z ę du  z  tarciem.  Przekształcimy  w z ó r  dla odchylenia  rzeczywistego  ruchu  u k ł a d u  o d  ruchu  moż liwego  n  (2.1)  Adi  =  у  *  mi(u>i­Vi)2>  ,=i  (2.2) ^ = Т 2 » Ц — —v i ) = т 2 \ — i — ' 9  Mechanika  Teoretyczna 4/73  470  N .  Ja.  CYGANOWA  gdzie  Ni  —  siła  wię zów,  zaś  Qt — siła  tarcia.  A  zatem  n  (2.3)  ^Nidh  =  0,  (2.4)  2h8r,=  i = i  Siła  wię zów  Ni  jest  tą  reakcją,  k t ó r a  w  okreś lonej  chwili  czasu  t  działałab y  na  punkt  w  przypadku  gdyby  u k ł a d  był  bez  tarcia,  z  tym  że  k a ż dy  punkt  fit  u k ł a d u  w  okreś lonej  c h w i l i  czasu  t  m i a ł b y  te  same  p o ł o ż e n i e,  tę  samą  p r ę d k o ść  i  p o d l e g a ł  d z i a ł a n i u  tej  samej  danej  siły  Ft,  j a k  w  ruchu  z  tarciem  [4].  N i e c h  bę dzie  dane  wid0  — przyspieszenie  punktu  u k ł a d u  w  ruchu  bez  tarcia,  a  Adoi  —  odchylenie  ruchu  bez  tarcia  (dO)  od  ruchu  moż liwego  (ó).  W ó w c z a s  (2.5)  Au^Ę Ą [­4^­rVt\­ A­ +  JLJ  nti  P o n i e w a ż   (2.6)  Wuo­yi  =  dr t,  to  zgodnie  ze  wzorem  (2.4)  otrzymamy  л   (2.7)  Au  =  Adol+r+~  ^  Trzeci  s k ł a d n i k  prawej  czę ś ci  r ó w n a n i a  (2.7)  stanowi  odchylenie  rzeczywistego  ruchu  z  tarciem  od  ruchu  rzeczywistego  bez  tarcia.  Rzeczywiś cie  (2.8)  Qt  =  rriiCwii­Wiio),  dlatego  też   (2.9)  4 ­ Ш  w=у  Ш m^­^2­ ы\  '  <=1  W  ten  s p o s ó b  w z ó r  (2.7)  dla  Adi  m o ż e my  zapisać  w  postaci  Л   (2.10)  А ц  =  Ad0i  +  mi(wid­  wid0) 2  / = i  lub  (2.11)  AdS  =  Ad0i+r+A i l l l O  '  О  ANHOLONOMICZNYCH  UKŁADACH I I II RZĘ DU  471  gdzie  л   I V 1  —  Add0  = у  2J   mi(^ld­Wido)  •  1 =  1  Znajdziemy  w z ó r  dla  Ad.s.  Ze  wzoru  (1.9)  mamy  л   (2.12)  Ad,s­Adó  = у  Z m'№ d2>  i =i   gdzie  Aw,­ =  wia.­wid.  M o ż na  u d o w o d n i ć , że  л и л   (2.13)  у  2?  nti(wid,­wu) 2  = у  ^V m i ( i v № ­ w M 0 ) 2 ­  у  JV  m , ( w w ­ w M 0 ) 2 .  / = 1  f=l  i=l  Istotnie  у  ^  W i ( w M . ­  w1 (,o) 2 ­  у  ^  w,­ (wid ­ wid0) 2  =  / = 1  /=i  =  у  ^  w,[(w l V „ ­  wid) 2 + 2(wid­ wid0) (wid.­ w,d)].  /=i  U d o w o d n i m y  również,  że  я (2.14)  Z  m(wu­wid0)(wid.­wid)  =  0.  W  rzeczywistoś ci  wu­w,d0  =  dr,,  mi{wid,­wid)  =  R'i­Ri.  A  wię c,  zgodnie z warunkami  (1.2)  i  (1.5),  r ó w n a n i e  (2.14) jest  spełnione.  W ten s p o s ó b  mamy  л   (2.15)  Ad.s =  Adoi  + r+ у  Z   »h(Wid.­wid0) 2.  1 =  1  N i e r ó w n o ś ć  (1.10)  wspólnie z wzorami  (2.10) i (2.15)  m o ż e my  z i n t e r p r e t o w a ć  n a s t ę p u j ą c o:  w  ruchu  rzeczywistym  u k ł a d u  z tarciem  p o d d z i a ł a n i e m  danych  sił F, i reakcji  Rt  w y k o ­ nują cych  tę samą  p r a c ę  w i r t u a l n ą  co  i reakcje  rzeczywiste,  odchylenie  od  ruchu  bez  tarcia  jest  minimalne.  Napiszemy  r ó w n a n i e  (2.11) w postaci  (2.16)  Ados  + Add0  ­  (AdS ­  т)  = 0.  9«  472  N .  Ja.  CYGANOWA  Stąd  wynikają  dwie  nierównoś ci :  (2.17)  (2.18)  Ados  <  А ­л ь —  г ,  Л ­ddo  <  Ads — x;  pierwsza  z  nich  (2.17)  w y r a ż a  zwią zek  mię dzy  odchyleniami  ruchu  moż liwego  od  rzeczy­ wistego  i  od  ruchu  uwolnionego  od  tarcia,  a  druga  (2.18) — zwią zek  mię dzy  odchyleniami  ruchu  rzeczywistego  od  moż liwego  i  od  ruchu  uwolnionego  od  tarcia.  1.  П . П Э Н Л Е В Е,  Л е к ц и и  о  т р е н и и ,  Г о с т е х и з д а т,  1954.  2.  П . Г . Ч Е Т А Е В,  О п р и н ц и п е  Г а у с с а ,  И з в. ф и з ­м а т.  О б ­ва  п ри К а з а н с к ом  у н и в е р с и т е т е,  1932—33,  т.  6,  с е р ия  3.  3.  A. PRZEBORSKI,  Die allgemeinsten  Gleichungen  der klassichen  Dynamik,  Math.  Zeitschrift,  В. 36, Berlin  1933, s.  184—194.  4.  В . В.  Р У М Я Н Ц Е В,  О  с и с т е м а х  с  т р е н и е м ,  П . М . М .,  т.  25,  № 6,  1961.  5.  Н . Я . Ц Ы Г А Н О В А,  О б о д н о м с в о й с т в е р е а к ц и й  с в я з е й  д л я н е о г о л о н о м н ы х  с и с т е м т и п а Н .Г .  Ч е т а е в а ,  Н а у ч.  т р у ды  В П И, В о л г о г р а д,  1970,  с т р. 104—109j  О pewnych  własnoś ciach  układów  anholono­ micznych typu Czetajewa—Przeborskiego,  Mech. Teoret. Stos., 1,  11 (1973).  POLITECHNIKA,  WOŁGOGRAD  Literatura cytowana w tekś cie  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  9 lutego  1973  r.