Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  4,  11 (1973)  WIELOSTOPNIOWA  SYNTEZA  M A C I E R Z Y  SZTYWNOŚ CI  KRZYSZTOF  D E M S  (ŁÓDŹ)  1.  Wstęp  Stosowanie  metody  elementów  s k o ń c z o n y ch  do  rozwią zywania  z a g a d n i e ń  mechaniki  o ś r o d k ów  cią głych  prowadzi  w  efekcie  do  u k ł a d ó w  r ó w n a ń  liniowych  o  duż ej  liczbie  niewiadomych,  k t ó r y c h  wielkość  zależy  od  gę stoś ci  p o d z i a ł u  ciała  na  elementy  oraz  iloś ci  stopni  swobody  wprowadzonych  w  k a ż d ym  wę ź le  siatki  narzuconej  na  ciało.  Macierze  w s p ó ł c z y n n i k ó w  otrzymywanych  u k ł a d ó w  są  symetrycznymi  macierzami  pasmowymi  o  duż ej  liczbie  e l e m e n t ó w  zerowych.  R o z w i ą z a n ie  tych  u k ł a d ó w  m o ż e  być  przeprowadzone  dowolnymi  metodami  algebry  liniowej.  Niezależ nie  od  stosowanej  metody  proces  rozwią zania  wymaga  wykonania  duż ej  liczby  operacji  arytmetycznych.  Wymaga  ponadto  maszyn  cyfrowych  o  duż ej  p o j e m n o ś ci  p a m i ę c i.  Istotne  staje  się  zatem  opracowanie  a l g o r y t m ó w  rozwią zania  zmniejszają cych  liczbę  wykonywanych d z i a ł a ń  oraz  liczbę  n i e z b ę d n y ch  k o m ó r e k  p a m i ę ci  maszyny. W  litera­ turze  przedmiotu  zagadnienie  to  rozwią zywane  jest  r ó ż n y mi  metodami  [1],  [2],  [3],  [6].  Niniejsza  praca  przedstawia  pewną  m e t o d ę  tworzenia  i  rozwią zywania  u k ł a d ó w  r ó w n a ń   metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h.  R o z w i ą z a n ie  u k ł a d u  r ó w n a ń  postaci  0­1)  [ K ] . { 8 }  =  { R } ,  gdzie  [K]  jest  macierzą  w s p ó ł c z y n n i k ó w  u k ł a d u ,  { 8 } — w e k t o r e m  nieznanych  stopni  swobody,  a  {R}  wektorem  sił  p r z y ł o ż o n y ch  w  wę złach  elementów,  przeprowadzone  jest  m e t o d ą  eliminacji  Gaussa.  Symetria  macierzy  [K]  u k ł a d u  (1.1)  pozwala  d o k o n y w a ć  wszelkich  operacji  jedynie  na  w s p ó ł c z y n n i k a c h  leż ą cych  poniż ej  przeką tnej  macierzy.  Pasmowa  budowa  tej  macierzy  pozwala  dodatkowo  zmniejszyć  niezbę dną  ilość  operacji.  Eliminując  mianowicie  niewia­ d o m ą  z  A:­tego  r ó w n a n i a ,  p r z e k s z t a ł c e n i u  podlegają  jedynie  te  j­te  wiersze  macierzy,  k t ó r y m  o d p o w i a d a j ą  niezerowe  współczynniki  w  A>tym  r ó w n a n i u .  Powyż sze  powoduje,  że  n i e z b ę d na  ilość  operacji  wynosi  o k o ł o  3%  ilość  operacji  wykonywanych  na  pełnej  macierzy  w s p ó ł c z y n n i k ó w  u k ł a d u  [4].  Zmniejsza  się  r ó w n i e ż  konieczna  ilość  k o m ó r e k  p a m i ę ci  maszyny.  Dodatkowe  zmniejszenie  rozwią zywanego  u k ł a d u  r ó w n a ń  oraz  iloś ci  operacji  i  liczby  k o m ó r e k  p a m i ę ci  u z y s k a ć  m o ż na  stosując  specyficzną  m e t o d ę  tworzenia  i  rozwią zywania  u k ł a d u  (1.1),  n a z y w a n ą  wielostopniową  syntezą  macierzy  sztywnoś ci.  5*  408  К .  DEMS  2.  Zasady  podziału  ciała  na elementy  W  wię kszoś ci  spotykanych  w  literaturze  prac  przyjmuje  się  p o d z i a ł  ciała  na  elementy  niepodlegają ce  dalszemu  p o d z i a ł o w i .  W  pewnych  przypadkach  p o d z i a ł  ciała  na  elementy  m o ż e  być  generowany  automatycznie  przez  maszynę  cyfrową  [5].  W  niniejszej  pracy  wprowadzono  wielostopniowy  p o d z i a ł  obszaru,  dzieląc  każ dy  element  na  szereg  podele­ m e n t ó w .  P o d z i a ł  ten  dokonuje  się  n a s t ę p u j ą c o:  Rozpatrywany  obszar  dzielony  jest  na  s k o ń c z o ną  liczbę  elementów  dowolnego  kształtu,  p o ł ą c z o n y ch  ze  sobą  w  wę złach  leż ą cych  na  liniach  (lub  powierzchniach)  p o d z i a ł u .  Elementy  te  nazwano  elementami  rzę du  I.  K a ż dy  element  rzę du  I  dzielony jest  na  d o w o l n ą  liczbę  elementów  rzę du  II  zawierają cych  wę zły  na  swoich  liniach  p o d z i a ł u .  Z  kolei  każ dy  element  rzę du  II  dzielony  jest  na  elementy  rzę du  III  itd.  Stopnie  swobody  wę złów  leż ą cych  na  liniach  (powierzchniach)  p o d z i a ł u  mię dzy  ele­ mentami  tego  samego  rzę du  zebrano  w  grupy  własnych  stopni  swobody  elementów  odpo­ wiedniego  r z ę d u,  i tak  np.  stopnie  swobody  wę złów  leż ą cych  na  liniach  granicznych  mię dzy  elementami  r z ę du  I  nazwano  własnymi  stoniami  swobody elementów  rzę du  I  i  analogicznie  dla  e l e m e n t ó w  wyż szych  r z ę d ó w.  Osobno  wydzielona została  grupa  stałych  stopni swobody  o  okreś lonych  w a r t o ś c i a c h.  T a k  więc  wektor  stopni  swobody  wszystkich  wę złów  ciała  p r z e d s t a w i ć  m o ż na  jako  bt  (2.2)  f S l  =  <5,  A  gdzie  {di}  jest  grupą  własnych  stopni  swobody  e l e m e n t ó w  r z ę du  /',  a  {ds}  jest  grupą   stałych  stopni  swobody.  3.  Wielostopniowa synteza macierzy sztywnoś ci  R o z w i ą z a n ie  u k ł a d u  r ó w n a ń  liniowych  (1.1)  m e t o d ą  Gaussa  s k ł a d a  się  z  d w ó c h  e t a p ó w .  W  pierwszym,  d r o g ą  eliminacji  kolejnych  niewiadomych  z  u k ł a d u  (1.1)  macierz  w s p ó ł c z y n n i k ó w  tego  u k ł a d u  prz e ksz t a ł c a  się  na  macierz  trójką tną.  W  etapie  drugim  na  drodze  p o s t ę p o w a n ia  odwrotnego  wyznacza  się  w a r t o ś ci  nieznanych  stopni  swobody.  Zgodnie  z  ogólną  teorią  metody  elementów  s k o ń c z o n y ch  u k ł a d  r ó w n a ń  (1.1)  tworzą   r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  wszystkich  wę złów  ciała.  Macierz  w s p ó ł c z y n n i k ó w  tego  u k ł a d u  powstaje  przez  odpowiednie  zsumowanie  macierzy  sztywnoś ci  wszystkich  e l e m e n t ó w  na  k t ó r e  podzielono  ciało.  T r a k t u j ą c  w s p o m n i a n ą  macierz  j a k o  macierz  sztywnoś ci  całego  ciała  m o ż na  j ą  p r z e d s t a w i ć  j a k o  o d p o w i e d n i ą  s u m ę  macierzy  sztywnoś ci  wszystkich  ele­ m e n t ó w  r z ę du  I,  k t ó r e  z  kolei  powstają  przez  zsumowanie  macierzy  sztywnoś ci  e l e m e n t ó w  r z ę du  II  w  k a ż d ym  elemencie  rzę du  I.  Podobnie  tworzyć  m o ż na  macierze  sztywnoś ci  ele­ WIELOSTOPNIOWA  SYNTEZA  MACIERZY  SZTYWNOŚ CI  409  m e n t ó w  rzę du  II jako  sumę  macierzy  sztywnoś ci  elementów  rzę du  111 w danym  elemencie  rzę du  II. W ten s p o s ó b  tworzy  się macierze  sztywnoś ci  wszystkich  elementów  do r z ę du  N— 1 włą cznie.  Macierze  sztywnoś ci  elementów  najwyż szego  rzę du  okreś lone  są zgodnie  z  ogólną  teorią  metody  elementów  s k o ń c z o n y c h.  Wydzielając  z  ciała  /­ty element  /­­tego  rzę du,  jego  r ó w n o w a g ę  m o ż na  opisać  zależ­ noś cią   (3.1)  [K]'.{8}'= {F}',  gdzie  [K]1 jest  macierzą  sztywnoś ci  tego  elementu,  {8}'—wektorem  stopni  swobody  zwią zanych  z rozpatrywanym  elementem,  a  {F}1 wektorem  sił wę złowych  tego  elementu.  W  o g ó l n y m  przypadku w elemencie  tym wystę pują  stopnie  swobody  należ ą ce  do  wszystkich  grup  wprowadzonych  w pkt.  2.  R ó w n a n i e  (3.1) zapiszemy  więc  w postaci:  (3.2)  K u  К  K 2 2  symetryczne  K r l  K r 2  Ki+i,i  K r + i , 2  Ksi  K s 2  Kr+br  K r + 1 > r + 1  K,  8,  82  8,  5, +  i  8,  F ,  F r  F ,  Jeż eli  znana  jest  grupa  stałych  stopni  swobody  {8S.}' m o ż na  r ó w n a n i e  (3.2) przekształcić   do  postaci  (3.3)  g  symetryczne  l _ K r + i , r  К г + i . r + iJ  ( 8 r +  8,  8 2  F 2  F r + ,  gdzie  nowy  wektor  sił wę złowych  {F}'  bę dzie  dany  przez  (3­4)  {F;}'=  { F j ' ­ f A ^ M S * } ' ­ U s u n i ę te  w  ten  s p o s ó b  r ó w n a n i a  odpowiadają ce  stałym  stopniom  swobody  p o z w o l ą   w  toku  p o s t ę p o w a n ia  odwrotnego  wyznaczyć  nieznane  siły  reakcji w wę złach  o  z a ł o ż o n y ch  pierwotnie  w a r t o ś c i a ch  stopni  swobody.  Z a u w a ż my  dalej,  że  wystę pują ce  w  r ó w n a n i u  (3.3)  niewiadome  stopnie  swobody  {8 r + ] }'  nie wystą pią  w r ó w n a n i a c h  opisują cych  r ó w n o w a g ę  p o z o s t a ł y c h  elementów  ciała,  p o n i e w a ż  są one stopniami  swobody  wę złów  w e w n ę t r z n y ch  rozpatrywanego  elementu.  M o ż na  więc  z r ó w n a n i a  (3.3) wyeliminować  tę g r u p ę  stopni  swobody.  Wyznaczając  przy  pomocy  ostatniego  wiersza  (3.3) niewiadome  {8 r + ł }'  otrzymamy  (3.5)  {8r+1}<  =  [ K r + l r + 1 ] ­ ' ( { F r + I } ­ V [ K r + 1 „ ­ ] { 8 , . } ' ) .  410  К .  DEMS  Wstawiając  (3.5)  do  (3.3)  po  przekształceniach  otrzymamy  u k ł a d  r ó w n a ń  postaci:  (3.6)  K ,  K 2 1  K 2 2 5,  S 2  .  F 2  A  F r K r 2  •  •  K r , r _ !  K r r  J  gdzie  nowy  wektor  sił  wę złowych  okr e ś lony  jest  przez  (3.7)  { F ( } ' =  {F;}'—  [ K r + 1 , i ] r [ K r + ! , r + J ] _ 1  { F r + , } ' ,  a  nowe  podmacierze  macierzy  [K]' dane  są  przez  (3.8)  [ K , ; ] =  P y ] ­ P K r + , . d T P K r + l l , + 1 ] ­ 1 [ K r + 1 , J ] .  W  wyniku  opisanego  powyż ej  p o s t ę p o w a n ia  w  r ó w n a n i a c h  r ó w n o w a g i  elementu  /• ­tego  r z ę du  j a k o  niewiadome  wystę pują  jedynie  własne  stopnie  swobody  e l e m e n t ó w  do  rzę du r  włą cznie.  Macierz  [K]' jest  nową  macierzą  sztywnoś ci  tego  elementu,  zwią zaną   jedynie  ze  stopniami  swobody  wę złów  p o ł o ż o n y ch  na  liniach  granicznych  tego  elementu.  Obliczając  podobnie  macierze  sztywnoś ci  wszystkich  e l e m e n t ó w  /­­tego  r z ę du  tworzą cych  element  rzę du r—l i  d o d a j ą c  je  do  siebie  tworzymy  macierz  sztywnoś ci  elementu  rzę du  r—l  zwią zaną  ze  stopniami  swobody  elementów  do  r z ę du  /•  włą cznie.  Usuwając  z  niej  współczynniki  odpowiadają ce  własnym  stopniom  swobody  e l e m e n t ó w  r­tego  r z ę du  według  p o s t ę p o w a n ia  opisanego  p o w y ż e j,  otrzymuje  się  macierz  sztywnoś ci  tego  elementu  zwią zaną  jedynie  ze  stopniami  swobody  e l e m e n t ó w  do  r z ę du r—l  włą cznie.  Stosując  wielokrotnie  powyż szą  syntezę  macierzy  sztywnoś ci  wyznacza  się  macierze  sztywnoś ci  wszystkich  e l e m e n t ó w  r z ę du  I,  k t ó r y c h  współczynniki  zwią zane  są  jedynie  z  własnymi  stopniami  swobody  e l e m e n t ó w  r z ę du  I.  T w o r z ą c,  przy  pomocy  tych  macierzy,  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  całego  ciała  i  rozwią zując  otrzymany  u k ł a d  wyznacza  się  nieznane  stopnie  swobody  elementów  r z ę du  I.  N a s t ę p n i e,  d r o g ą  p o s t ę p o w a n ia  odwrotnego,  korzysta­ j ą c  z  w z o r ó w  podobnych  do  (3.5)  wyznaczyć  m o ż na  stopnie  swobody  wszystkich  grup  {ój}.  N a  k o ń cu  wreszcie  wyznacza  się  reakcje  {Fs}  o d p o w i a d a j ą ce  stałym  stopniom  swobody.  O m ó w i o n y  schemat  wielostopniowej  syntezy  macierzy  sztywnoś ci  wskazuje  d r o g ę   p o s t ę p o w a n i a,  pozwalają cą  na  prowadzenie  procesu  eliminacji  nie  dla  całego  u k ł a d u  r ó w n a ń  (1.1)  lecz  dla  jego  kolejnych  fragmentów  o d p o w i a d a j ą c y ch  elementom  kolejnych  rzę dów.  Stwarza  to  moż liwość  rozwią zywania  duż ych  u k ł a d ó w  r ó w n a ń  przy wykorzystaniu  małych  maszyn  cyfrowych.  Podstawowe  operacje  etapu  eliminacji  w  wielostopniowej  syntezie  macierzy  sztywnoś ci  sprowadzają  się  do  operacji  na  d w ó c h  macierzach  s z t y w n o ś c i:  macierzy  sztywnoś ci  ele­ mentu  rzę du  /­—1  oraz  macierzy  sztywnoś ci  elementu  /­­tego  rzę du  w c h o d z ą c e go  w  skład  elementu  rzę du r—l.  Schemat  blokowy  operacji  dokonywanych  na  tych  macierzach  przedstawiony  jest  na  rys.  1.  W  w y n i k u  eliminacji  wszystkich  stopni  swobody  rozwią zywanego  u k ł a d u  w  pamię ci  pomocniczej  maszyny  cyfrowej  zapisane  są  p r z e k s z t a ł c o n e  r ó w n a n i a  u k ł a d u .  Z a  ich  po­ mocą  w  drodze  p o s t ę p o w a n ia  odwrotnego  wyznacza się  wartoś ci  stopni  swobody  i  reakcji  w e d ł u g  schematu  z  rys.  2.  1 Macier z  szt yw noś ci  elementu  r­tego  rzę du  zal eży  od st af ych  st opni  swobody? Macier z  szt yw noś ci  elementu  r­tego  rzę du  zal eży  od st af ych  st opni  swobody?  T AK  NI E  Eliminuj  st ał e  st opnie  swobody  Pi sz  eliminowane  równania  do magazynu  st ał ych  st opni  swobody  Element  r­tego  rzę du  zal eży  od wł asnych  st opni  swobody  elementów  " r +1"  rzę du?  NIE  TAK  >^  ^  1  ?  Eliminowano  st opnie  swobody?  Eliminuj  wł asne  st opnie  swobody  NI E  T AK  element ów  rzę du  "r+1"  Pi sz  eliminowane  równania  do magazynu  wł asnych  st opni  swobody  elementów  rzę du  " r + 1 " T  J L  Dodaj  macierz  szt yw noś ci  elementu  r­tego  rzę du  do  macier zy  szt yw noś ci  elementu  rzę du  " r  ­ 1 " Czy  j ak i ś  wt asny  st opień  swobody  poj awia  si ę po r az ost at ni?  TAK  NI E  Eliminuj  wł asny  st opień  swobody  poj awiaj ą cy  si e po raz ost at ni  I  Eliminowano  st opnie  swobody?  T AK  NI E  Pi sz  eliminowane  równania  do magazynu  wł asnych  st opni  swobody  element ów  rzę du  " r "  Rvs.  1. Schemat blokowy podstawowych operacji w etapie eliminacji stopni swobody  1411]  412  К .  DEMS  Pr zep i sz  modyfikowane  równania  danego  element u  z  magazynu  wł asnych  st opni  swobody  element ów  r­tego  rzę du  Wyznacz  wł asne  st opnie  swobody  element ów  r­tego  rzę du  w  danym  elemencie  na  drodze  post ę powania  odwrot nego  Czy  element  zależy  od st ał ych  st opni  swobody?  TAK  NI E  I  Pr zep i sz  równania  danego  element u  z  magazynu  st ał ych  st opni  swobody  Ob l i cz  si ł y  wę zł owe  w  elemencie  Czy  ob l i czen i a  zr ealizow ano  dla  w szyst ki ch  element ów  r­tego  rzę du?  NI E  TAK  f  Rys.  2.  Schemat blokowy podstawowych operacji  w etapie postę powania  odwrotnego  4.  Wnioski  Przedstawiona  metoda  wskazuje  p r o s t ą  d r o g ę  p o s t ę p o w a n ia  przy  u k ł a d a n i u  i  rozwią­ zywaniu  d u ż y ch  u k ł a d ó w  r ó w n a ń  liniowych  wystę pują cych  przy  stosowaniu  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h.  U m o ż l i w ia  ona  zmniejszenie  wymaganej  liczby  k o m ó r e k  p a m i ę ci  maszyny cyfrowej  oraz zmniejszenie  wymaganej  liczby  d z i a ł a ń  arytmetycznych,  szczególnie  w  etapie  eliminacji  niewiadomych.  M e t o d a  ta  jest  bardzo  korzystna  szczególnie  w  przypadku,  jeż eli  w  rozpatrywanym  ciele  dają  się  w y r ó ż n ić  elementy  geometrycznie  i  mechanicznie  podobne.  D l a  takich  ele­ m e n t ó w  macierz  sztywnoś ci  zwią zaną  z  własnymi  stopniami  swobody  e l e m e n t ó w  r z ę du  I  m o ż na  obliczać  jednokrotnie.  W  ten  s p o s ó b  zmniejsza  się  ilość  r ó w n a ń  k t ó r e  należy  rozwią zać.  M e t o d a  stwarza  ponadto  m o ż l i w o ść  r o z w i ą z y w a n ia  bardzo  d u ż y ch  p r o b l e m ó w  na­ wet  przy  zastosowaniu  m a ł y c h  maszyn  cyfrowych  d r o g ą  kilkukrotnego  wyznaczania  (  START  ")  I  Czytaj współrzę dne wę złów i stare sprę ż yste. Pisz do magazynu  1  Podział stopni swobody na 4 grupy: nie eliminowane st. swob., sL swob., elementów  I rzę du,  st. swob. elementów  II rzę du , stałe stopnie swobody.  1  _ _  Wczytano wszystkie dane  dla elementów?  NIE  TAK  Czytaj dane elementu  Wydawnictwo  rezultatów  (  STOP  )  Dane elementu należą do:  elementu  II  rzę du  i  typowego elementu 1  rzę du  elementu 1  rzę du niedzielą cego się na elementy rzę du  II  Pobierz współrzę dne wę złów i stałe  materiałowe z mag. 1.  Oblicz macierz sztywnoś ci  Pobierz macierz sztywnoś ci  z magazynu 2  Dodaj  m. szt. elementu II  rz.  do macierzy sztywnoś ci  elementu rzę du  I   Pobierz współrzę dne wę złów  i  stałe materiałowe z mag.  1  Oblicz macierz sztywnoś ci.  Wczytano dane  dla wszystkich  elementów II rz. w danym elemencie 1  rzę du?"  NIE  TAK  1  *  Pisz macierz sztywnoś ci  j elementu do mag. 2  |  Dodaj  macierz sztywnoś ci  elementu rzę du I  do macierzy sztywnoś ci  całego ciała  Rys.  3. Schemat blokowy programu  wyznaczają cego  współczynniki  wpływu  1413)  414  К .  DEMS  kolejnych  grup  stopni  swobody  bez  koniecznoś ci  p a m i ę t a n ia  n i e k t ó r y c h  p r z e k s z t a ł c o n y c h  r ó w n a ń .  T o  ostatnie  uzyskiwane  jest  oczywiś cie  kosztem  dłuż szego  czasu  rozwią zania  zagadnienia.  Program  układają cy  i  rozwią zują cy  r ó w n a n i a  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  według  przedstawionej  metody  opracowany  został  w j ę z y ku  S A K O  na  m a s z y n ę  cyfrową  Z A M ­ 4 1 .  W  programie  wprowadzono  elementy  I  i  II  r z ę d u.  5.  Przykład  Jednym  z  p r z y k ł a d ó w  zastosowania  wielostopniowej  syntezy  macierzy  sztywnoś ci  jest  wykorzystanie  jej  do  wyznaczania  w s p ó ł c z y n n i k ó w  w p ł y w o w y ch  ciała  u z a l e ż n i o n y ch  od  stopni  swobody  pewnych  wybranych  wę złów  ciała.  typowy  element  I  rzę du  1  V  /  \  \ \  r i  L ­ X ­ J г   //]  !  \ V  i  / /  \  \ \  \  f / i 1 I  l  1  / V i  Л7  1  Й ­ 1 — i f ­ t­ \  \  Р Г Ш  i  /  \  ' i '  Н ­­Л А­ ­ ­H  Ц  !  / / \   !  / \\  typowy  element  1  rzą du  Rys.  4.  Zastę pczy  model walu  Opracowany  został  program  wyznaczają cy  współczynniki  w p ł y w o w e  przy  uwzglę dnieniu  p o d z i a ł u  ciała  na  elementy  I  i  II  r z ę d u.  D l a e l e m e n t ó w  r z ę du  I geometrycznie  i  mechanicz­ nie  podobnych  macierz  sztywnoś ci  wyznaczana  jest  jednokrotnie.  Schemat  blokowy  programu  napisanego  w  j ę z y ku  S A K O  dla  maszyny  Z A M ­ 4 1  przedstawiono  na  rys.  3.  Z a  p o m o c ą  wspomnianego  programu  wyznaczono  współczynniki  wpływu  dla  wału  korbowego  czterocylindrowego  silnika  spalinowego.  W a ł  p r z y b l i ż o no  modelem  zawiera­ j ą c ym  17  e l e m e n t ó w  I  r z ę d u.  8  e l e m e n t ó w  r z ę du  I  z a w i e r a ł o  po  20  e l e m e n t ó w  II  r z ę d u,  7  e l e m e n t ó w  1 r z ę du  zawierało  po  16  e l e m e n t ó w  r z ę du  II  i  2  elementy  I  r z ę du  zawierały  po  12  e l e m e n t ó w  r z ę du  II.  M o d e l  zastę pczy  w a ł u  (pokazany  na  rys.  4)  zawierał  2373  WIELOSTOPNIOWA  SYNTEZA  MACIERZY SZTYWNOŚ CI  415  stopnie  swobody.  Poprzez  wprowadzenie  8  typowych  e l e m e n t ó w  I  r z ę du  rozwią zywany  u k ł a d  zmniejszył  się  do  1227  niewiadomych. T a k  więc  poprzez  wprowadzenie  e l e m e n t ó w  geometrycznie  i  mechanicznie  podobnych  ilość  r ó w n a ń  zmniejszyła  się  o  o k o ł o  50%.  Czas  rozwią zywania  zagadnienia  stanowił  o k o ł o  50%  czasu  niezbę dnego  na  rozwią zanie  problemu  przy  wprowadzeniu  jednokrotnego  p o d z i a ł u  na  elementy.  Podzię kowanie  A u t o r  chciałby  p o d z i ę k o w ać  Prof.  J .  SZMELTEROWI  Z Wojskowej  A k a d e m i i  Technicznej  w  Warszawie  za  Jego  uprzejmą  pomoc  przy  opracowaniu  tego  a r t y k u ł u .  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  G . GANTIN, An Equation Solver of Very Large  Capacity,  Int. J. Num. Meth.  Engng.  3, (1971), 379—388  2.  В. M .  IRONS,  A  Frontal  Solution  Program for  Finite  Element  Analysis,  Int.  J. Num.  Meth.  Engng.,  2,  (1970)  5—32.  3.  J. SZMELTER,  S. DOBROCIŃ SKI, Program  rozwią zują cy  rуwnania  metody  elementуw  skoń czonych,  Biuletyn  WAT,  6 (266), (1971), 43—51.  4.  O . C. ZIENKIEWICZ,  The Finite Element Method in Engineering Science,  London  1971.  5.  O . C . ZIENKIEWICZ, D . V. PHILLIPS, An Automatic Mesh Generation Scheme for Plane and Curved Surface  by Isoparametric'  Coordinates, Int. J. Num.  Meth.  Engng., 3, (1971), 519—528.  6.  K . DEMS,  Wielostopniowa synteza oraz  wielomiany  Hermite'a  w metodzie  elementуw  skoń czonych,  Roz­ prawa doktorska,  Politechnika  Łódzka,  Łódź  1971.  Р е з ю ме   М Н О Г О С Т А Д И Й Н ЫЙ  С И Н Т ЕЗ  М А Т Р ИЦ  Ж Е С Т К О С ТИ   П р е д с т а в л ен  м е т од  о б р а з о в а н ия  и  р е ш е н ия  с и с т ем  у р а в н е н ий  м е т о д ом  к о н е ч н ых  э л е м е н т о в.  В в е д ен  м н о г о с т а д и й н ый  р а з д ел  т е ла  п у т ем  р а з д е ла  к а ж д о го  э л е м е н та  на р яд п о д э л е м е н т о в.  П р е д­ с т а в л е ны  о с н о вы  м е т о да  и  б л о ч н ые  с х е мы  п р о г р а мм  д ля э л е к т р о н н о ­в ы ч и с л и т е л ь н ой  м а ш и ны   З АМ  41.  П р е д л а г а е м ый  м е т од  п о з в о л я ет  с о к р а т и ть  р а з м е ры  п а м я ти  м а ш и н ы,  а т а к же  у м е н ь ш и ть   ч и с ло  н е о б х о д и м ых  а р и ф м е т и ч е с к их  д е й с т в и й.  П р е д л а г а е м ым  м е т о д ом  м о ж но  р е ш а ть  б о л ь ш ие   з а д а чи  д а же  на  н е б о л ь ш их  э л е к т р о н н о ­в ы ч и с л и т е л ь н ых  м а ш и н а х.  S u m m a r y  A  M U L T I ­ S T A G E  SYNTHESIS  O F T H E STIFFNESS  MATRICES  The paper presents a method of constructing and solving the systems of equations of the finite element  method.  A multi­stage division  of the  space  is  introduced  by dividing  each element  into a series of sub­ elemets.  The  principles of the method are described and the flow diagrams of programs prepared for the  ZAM­41  digital  computer are given.  The method  presented  enables  us  to  reduce  the  required  number  of  digital computer storage words, as well as that of the arithmetical operations.  The method also creates  a  possibility of solving very extensive  problems by means of even relatively small  digital computers.  POLITECHNIKA  ŁУDZKA  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  19  lutego  1973 r.