Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  4,  11  (1973)  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH  I M O M E N T O W Y C H  W CIELE  M I K R O P O L A R N Y M  WYWOŁANA  OBCIĄ Ż ENIAMI  SKUPIONYMI  (I)  JANUSZ  D Y S Z L E W I C Z ,  STANISŁAW  M A T Y S I A K  (WARSZAWA)  1.  Wprowadzenie  Przedmiotem  r o z w a ż ań  w pracy  b ę d z ie  o s o b l i w o ś ć  n a p r ę ż eń  s i ł o w y c h  i  n a p r ę ż eń mo­ mentowych  w  liniowym  o ś r o d ku  mikropolarnym  [1]. Rozpatrzymy  p ó ł p r z e s t r z e ń  s p r ę ­ ż y s tą  w  p ł a s k i m  stanie  o d k s z t a ł c e n i a  (zagadnienie  statyczne  bez u w z g l ę d n i e n ia  o b c i ą ż eń   masowych  i  temperatury)  na  brzegu  k t ó r e j ,  w  p o c z ą t ku  w s p ó ł r z ę d n y c h,  d z i a ł a ć  b ę dą   skupione,  ograniczone  o b c i ą ż e n i a.  Zagadnienie  p ó ł p r z e s t r z e n i  poddanej  na brzegu  r o z ł o ż o n ym  o b c i ą ż e n i om  n i e c i ą g ł ym  rozpatrzone  b ę d z ie  w drugiej  c z ę ś ci  pracy.  Wnioski  w y n i k a j ą ce  z  rozpatrzenia  tych za­ g a d n i e ń  m o g ą  b y ć wykorzystane  przy  rozpatrywaniu  p r o b l e m ó w  d o t y c z ą c y ch  koncen­ tracji  n a p r ę ż eń  w  ciele  mikropolarnym  (np.  zagadnienia  szczelin,  zagadnienia  kontakto­ we itp.)  Zagadnienia  p o w y ż s ze  w ramach  niesymetrycznej,  liniowej  teorii  s p r ę ż y s t o ś ci  dla c i a ł a  ze  z w i ą z a n y mi  obrotami  rozpatrzone  s ą s z c z e g ó ł o w o  w  pracach  [2] i  [3].  W y c z e r p u j ą ce  o m ó w i e n i e  z a g a d n i e ń  p r o w a d z ą c y ch  do  koncentracji  n a p r ę ż eń  w  ciele  ze  z w i ą z a n y mi  obrotami  wraz  z podaniem  literatury  d o t y c z ą c ej  tych  p r o b l e m ó w  z n a l e ź ć  m o ż na  w  mono­ graficznych  pracach  [4],  [5] oraz w pracach  [14+ 17].  W  pracy  oprzemy  s i ę na  n a s t ę p u j ą c ym  u k ł a d z i e  z w i ą z k ów  o p i s u j ą c y ch  d e f o r m a c j ę   i  stan  n a p r ę ż e n ia  w  ciele  mikropolarnym  zapisanym  w  p r a w o s k r ę t n ym  k a r t e z j a ń s k im  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y ch  xt  (i =  1, 2 , 3)  [1].  Przemieszczeniowe  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i :  (li + aL)ui,jj + (X + ix­a)ujji  + 2; są s k ł a d o w y m i  odpowiednio  wektora  przemieszczenia  u i  wektora  obrotu  cp.  Symbol eiJk  oznacza  alternator  Levi­Civita.  Z w i ą z ki  geometryczne:  (1­2)  У л =  Uij­ekJi(xi,x2) =  (0,0,(р з ).  W  tym  zagadnieniu  stan  deformacji  opisują  macierze  Ум   Y\2  0  0  0  «13 1 (2.2)  У »  =  72 1  Y22 0  9  — 0  0  ^23  o  0  0  0  0  0  przy  czym  (2.2')  Ун  =  (Э, u i >  У 22  — d2  U2,  у   2  =  дхи2  (2.2')  У 21 —  d2u !+3  n a s t ę p u j ą c o:  e r, !  =  {2ix +  X)dyUi  +  Xd2u2,  a22  =  (2u  +  К ) d2 u2  +  Xdi  u x ,  (2  5)  f i  2  =  (/м +  а ) 31 м 2  +  ( ( « ­ я ) 52 1 / 1 ­ 2 а 9 9 з,  CT2i  =  (/* +  а ) 52 М !  +  ( и —  а ) 5,  u2  +2а с р ъ   oraz  (2.6)  ^„з  =  (у  +  е )да <р 3  (а  = 1 , 2 ) .  S k ł a d o w e  с т3з ,  /­*3i  i  /"зг  wyznacza  się  ze  w z o r ó w  ff33=  2(1+7)   +  (2.7)  у — e  =  /А*з  («  =  1,2);  w z o r ó w  tych  w  dalszym  cią gu  pracy  nie  bę dziemy  p o w t a r z a ć .  3.  Ogólne  rozwią zanie  równań równowagi  (2.4)  dla  półprzestrzeni  {x,  >  0,  — oo  <  x2  <  co}  W  punkcie  tym  podamy  ogólne  rozwią zanie  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  (2.4)  dla  półprzestrzeni  bę dą ce  sumą  d w ó c h  rozwią zań  czę ś ciowych,  z  k t ó r y c h  jedno  o d p o w i a d a ć  bę dzie  zagadnie­ niu  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci,  a  drugie  s t a n o w i ć  bę dzie  rozwią zanie  uzupełniają ce.  R o z w i ą z a n ia  czę ś ciowe  wią zać  się  bę dą  ze  sobą  poprzez  warunki  brzegowe.  W p r o w a d ź ­ my  w  tym  celu  wektor  С przy  pomocy  zwią zku  [6]  (3.1)  C  =  ^ ­ r o t u ­ < p .  D l a  rozpatrywanego  zagadnienia  płaskiego  (2.1)  podstawienie  (3.1)  prowadzi  do  zależ­ noś ci  (3.2)  q>3  =  y ( 5 l M 2 ­ 3 2 W l ) ­ C 3 ­ W p r o w a d z a j ą c  (3.2)  do  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  (2.4)  otrzymujemy:  1 a V 1 M 1  +  (A + Ja)aie  =  2<х д2С з ,  nV\u2  +  (X + n)d2e  =  ­2adlC3,  (3.3)  2  (у  +  в Ш д1и 2­д2и 1)  =  [(у +  Ł ) У 2 ­ 4 а ] С з.  R o z w i ą z a n ie  u k ł a d u  r ó w n a ń  (3.3)  przyjmujemy  w  postaci  (3.4)  w,  =  iti+u'i,  u2  =  u2+u2,  Сз  =  Сз +  Г з­ Podstawiając  teraz  (3.4)  do  (3.3)  i  przyjmując  f 3  =  0,  widzimy,  że  (3.3)  bę dzie  s p e ł n i o n e ,  jeś li  bę dą  spełnione  dwa  u k ł a d y  r ó w n a ń   1г Ч \и [  +  (1  +  1л )д1е '  =  0,  (3.5)  ^\и '2  +  (Х +  (л )д2е '  =  0,  V f (З х Иг — йг uf)  =  0,  e'  =  dlu'1  +  d2u2  366  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  oraz  fiVWi'+  (*+(*) die"  =  2а д2С з ,  ц Ч \и'1  +  (Х+1л)д2е "  =  ­2x8^3,  (3.6)  ­2{y  +  e)V 2(diu'l­d2u';)  =  [(y  +  e ) V f ­ 4 a ] C 3 ,  e"  =  3,  <  +  5 2 и 2 ' .  Z a u w a ż m y,  że  r ó w n a n i e  (3.5)3  m o ż na  uzyskać  z  r ó w n a ń  ( 3 . 5 ) , i 2 ,  k t ó r e  są  przemiesz­ czeniowymi  r ó w n a n i a m i  klasycznej  elastostatyki  (por.  [7]).  Z  faktu,  że  Łś  =  0  w y n i k a  zależ ność   (3.7)  993  =  l ­  ( d i K 2 ­ d 2 M i ) >  k t ó r a  jest  również  słuszna  w  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci.  Z a l e ż n o ść  (3.7)  wraz  z  (2.6)  p o z w o l ą  na  wyznaczenie  u'a3  ze  zwią zku  (3.8)  (ia3  =  (y  +  e)v  <р з =  — (y  +  e)dx(dlu'2­d2u'i)  (a  = 1 , 2 ) .  Przejdź my  teraz  do  u k ł a d u  r ó w n a ń  (3.6).  Z  d w ó c h  pierwszych  r ó w n a ń  tego  u k ł a d u  uzyskujemy  r ó w n a n i e  Laplace'a  dla  dylatacji  (3.9)  V2e"  =  0,  natomiast  dla  funkcji  u\',  u2,  С 'з  uzyskujemy  rozseparowane  r ó w n a n i a  r ó ż n i c z k o we  postaci  (3.10)  V ? V ? ( / a V f ­ l ) i i l '  =  0,  (3.11)  V 2 V 2 ( / 2 V i ­ l > 2 ' = 0 ,  (3.12)  ( / 2 V f ­ l ) C 3 '  =  0,  gdzie  wielkość  l2  jest  stałą  i  wynosi  l2  =  (y  +  e)(fi  +  а )/4о с /г.  W p r o w a d ź my  wykładniczą  transformację  Fouriera  [8]  00  / ( * , ,  f )  =  —L­  f  f(Xl,  x2)e^dx2,  \'2n  J  У  —oo  (3.13)  f(xt,  x2)  =  ~±=­   j  f(Xl,  Ł)e­' ix*dC.  W y k o n u j ą c  t r a n s f o r m a c j ę  (3.13),  na  r ó w n a n i a c h  (3.10)н ­(3.12),  otrzymujemy  zwyczajne  r ó w n a n i a  r ó ż n i c z k o we  dla  funkcji  u{,  u2,  f 3 ' ,  (3.14)  OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH I  MOMENTOWYCH  367  Rozwią zanie  r ó w n a ń  (3.14)  dla  pólprzestrzeni  przyjmujemy  w postaci  Mi' =  (A';+B'^\x,)e­'B^  +  C;e­'­,x\  (3.13)  й '2' = (A'l+B'lW xJe­^  +  C'Je­^,  Сз  =  Ь "е ­е *К   A b y  spełnić  przetransformowane  r ó w n a n i e  (3.9)  oraz  wyjś ciowe  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  (3.6),  uzależ niamy  wzory  (3.15)  tylko  od trzech  statych  (np. od A", B'i, C ' / ) ,  u(  =  {A'l+B'mxJe­^+C'te­^,  (3.16)  «i' = ll̂ r­  ­ 3 £ ± A 2 ? i ' )  e ­ i ^ + - | Cl ' e ­ ­ ,  D l a  konkretnych  zagadnie ń  wielkoś ci  /1',',  C " wyznaczamy  z  trzech  w a r u n k ó w  brzegowych.  W a r u n k i  te  muszą  być takie,  aby w  połą czeniu  z  warunkami  brzegowymi  o d n o s z ą c y mi  się do r ó w n a ń  klasycznej  elastostatyki  (3.5) l 5  2  realizowały  całość  w a r u n k ó w  brzegowych  dla  p ó l p r z e s t r z e n i  mikropolarnej.  4. Przypadek pólprzestrzeni obcią ż onej rozłoż onym obcią ż eniem normalnym  Rozpatrzmy  półprzestrzeń  m i k r o p o l a r n ą  {(x,, x2):  xt  ^  0, — co  <  л '2 <  oo} w p ł a s ­ k i m  stanie  o d k s z t a ł c e n i a  (2.1),  na brzegu  które j  (dla  xt  = 0) działa  r o z ł o ż o ne  obcią ż enie  normalne  p(x2)  (zależ ne  tylko  od zmiennej  д г2) skierowane  zgodnie  z osią  Ox,.  W a r u n k i  brzegowe  (1.4)  przyjmują  tu p o s t a ć   (4.1)  ffn(0,  x2)  =  ­p(x2),  o­ 1 2 (0,  x2)  = 0,  / г ,3 ( 0 , x2)  = 0 .  0  funkcji  p(x2)  z a k ł a d a m y ,  że jest  bezwzglę dnie  c a ł k o w a l n a  w  przedziale  ( — oo, +co)  1 p r z e d z i a ł a m i  cią gła.  Z a ł o ż e n ia  powyż sze  (z wyją tkiem  w a r u n k ó w  brzegowych)  bę dą  również  odnosiły  się   do  p u n k t ó w  6, 8 i  10 pracy,  czego  wyraź nie  p o d k r e ś l ać  j u ż  nie  bę dziemy.  R o z w i ą z a n ie  klasyczne  odpowiadają ce  p o w y ż s z e mu  problemowi  (tzn.  rozwią zanie  r ó w n a ń  (3.5),,  2  z warunkami  brzegowymi  )­\е \х Л е ­*ъ ,  •If  l *i  368  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  Wielkość  q>3  wyznaczamy  ze zwią zków  (3.7) i (4.2)  (4.4)  ( f 3 = ­  ­t'  (l­rMe­­­.  fit;  W  zależ noś ciach  (4.2)­=­(4.4)  r  =  A/2(A+/*).  « P r i m o w a n e »  składowe  tensora  naprę ż eń  momentowych  wyznaczamy  ze  zwią zków  (3.8)  i  (4.2)  lub  (4.4)  u'13  =  ­2iia0p(i)e­' (  X l ,  ( 4 ­ 5 )  й23 =  2а Ж р ^)е ~^.  W p r o w a d z i l i ś my  tu  oznaczenie  a0  =  (y + е )(А  + 2/л )14/л (Х  +  /л ).  Przejdź my  do  u k ł a d u  r ó w n a ń  (3.6).  Odpowiednie  warunki  brzegowe  mają  p o s t a ć   (4.6)  a\\(0,  x2) = 0, ff'/2(0,  x2) = 0,  / / / 3 ( 0,  x2) =  2a0­^­  (x2).  O g ó l n e  rozwią zanie  tego  u k ł a d u  r ó w n a ń  dla  półprzestrzeni  przedstawiliś my  wzorami  (3.16).  Stałe  A'{,  B'l,  C['  wyznaczymy  spełniając  warunki  (4.6).  P o n i e w a ż  n a p r ę ż e n ia  z  dwiema  kreskami  wyraż ają  się  poprzez  funkcje  w'/,  u2,  cp3, jak w zwią zkach  (2.5)  i (2.6),  należy  zatem  do  zależ noś ci  (2.5), j 3  i  (2.6)  (dla  a  =  1)  p o d s t a w i ć  zwią zek  (4.7)  <Р з = 2  (8iU2~S2u'i)­C3  i  n a s t ę p n ie  spełnić  warunki  brzegowe (4.6)  P o  zastosowaniu  transformacji  (3.13),  otrzymujemy  algebraiczny  u k ł a d  trzech  r ó w n a ń   z  niewiadomymi  A'[,  В ",  C",  o\\ (0,  f)  =  \(2/i  +  Я) ­p­  ­  1Ш 2 = 0, ctx,  X l = o  (4.8)  a\'2(0,  f)  =  \fx[­"}  ­/IM'/)  +  2 a & '  = o, д ;'з (о, Й = (У +  в)  1*1=0  +  if и '/  po  rozwią zaniu  k t ó r e g o  uzyskujemy  (4.9)  T u  л 7 =  5'/ =  Ci' =  Wl  A+/t  l l er , !*i=0  =  2/'a0  £/>(£),  1  ­ III  1  >  a0  e  №   и  e  Ao(f)  00  Д 0  ЕЕ  Д 0 ( | )  =  1  + 2 a 0 f 2 | l  ­  J | ­ ' | ,  p=  p(C) =  ­p^=  j * p(*2)<  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH  I  MOMENTOWYCH  369  Podstawiając  (4.9)  do  w z o r ó w  (3.16) t , 2  otrzymujemy  (4.10)  =27ir t ( 1­ Ao ) H 2/л  Д 0 Г   i  I  ~p  2ft  | l |  Д 0  2ц  +  А  1  /­ +  ,«  "  III  9/7  A 2  ( 1 ­ Д о)  jf L III  eix.  ,  2 a 0 l 2 /  g  e  \ l l l  ­8*1.  2 ­  1*1*1 j | ,  Wielkość  <р 'з  uzyskujemy  ze  zwią zku  (4.7)  wykonując  na  nim  transformację  (3.13)!  i  wy­ korzystując  zależ noś ci  (3.16) 3 ,  (4.9)3  i  (4.10)  (4.11)  »­  m±$_   A_  i _ f ( 1  _ A o ) e - i * i * i _  L  Q 2fl(l +  Ll)  III  Д 0  O d p o w i a d a j ą cy  przemieszczeniom  u'{,  u2  i  obrotowi  tp'ź stan  n a p r ę ż e n ia  wyznaczamy  z  przetransformowanych  zwią zków  (2.5)  i  (2.6),  wykorzystując  (4.10)  i  (4.11)  Ol i   (4.12)  =  ­ ^ ­ | ( 1 ­ Д 0 ) ( 1  +  | | | х 1 ) г ­ 1 .̂  +  2 й г 0 | 2 | ^ ­ ^ ­  l|Le­№ l*.J  Ol2 = — 0"21  =  ­  ­ + \i\Xl)e­^+2a0P  \e  /I  P  \  III  Д 0  L  III  Д о   ni (1  ­ Д 0 ) ( I I I x , e ­ + 2 я 0 1 2 ^ ( e ­ ^ ­ e " № * 0  ,  ( 1 ­ Д о) | | | А ­ 1 е ­ 1 ^ Ч ­ 2 а0 1 2  III  Q  Q  \ l  = _ л ­ в * 1 _ л ­ ! 4 | *1  oraz  (4.13)  й 'з  =  ­ 2 / а 0 | ­ ^ [ ( 1 ­ Д 0 ) е ­ № ' ­е ­ ^ ] ,  Д о   Д2'з  =  2 f l 0 | | | ­ ( l ­ A o J e ­ 1 * ' "  III  D l a  uzyskania  całkowej ,  rzeczywistej  postaci  s k ł a d o w y c h  wektora  przemieszczenia  i  obrotu  oraz  dla  s k ł a d o w y c h  tensora  n a p r ę ż eń  siłowych  i  momentowych,  rozdzielamy  funkcję  obcią ż enia  p(x2)  na  czę ść  symetryczną  ps(x2)  i  czę ść  antysymetryczn ą  pa(x2)  wzglę dem  osi  Oxt.  W ó w c z a s  mamy  (4.14)  KI) =/3s(l) + '75a(D,  gdzie  (4.14)'  00  ps  =  Ps(£)  =  ­7==­  /  ps(x2)cos(Cx2)dx2,  У  —  00  00  l  r  i>e = /><,(!) =  ~i=­  pa(x2)sm(Cx2)dx2.  у 2л  • '  I  ­  00  370  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  Uwzglę dniając  (4.14)  oraz  stosując  twierdzenie  o  odwracaniu  transformacji  Fouriera  <3.13)2,  uzyskujemy  ze w z o r ó w  (4.2)  i (4.4)  « p r i m o w a n e »  przemieszczenia i  o b r ó t  " i  =  1  Г 1  [20 ­  v) + Ш  e~ t"a(£,  x2) di,  (г ]/2ж  J  f  (4.15)  u'2 =  1= f  {­[(\­2v)­ix,]e­ ix'b(i,x2)di,  <ń =  ,2  f  (\­v)e­'^b(i,x2)dC,  а У 2л  J  przy  oznaczeniach  (4.15)'  a(i,x2)  =  pscos(£x2)  + ~pas\n(ix2),  b(i,x2)  =  pssin(£x2)­pacos(£x2).  Natomiast  ze  w z o r ó w  (4.3)  i (4.5)  uzyskujemy  « p r i m o w a n e »  n a p r ę ż e n ia  00  j/2?r  J  co   (4.16)  < r 2 2 =  ­   2  I  (l­iXl)e­^a(i,x2)dS,  ]/2n  J  ,,,,  , r i |  ..Ц ±  j  ie­^b(i,x2)di  \/2я  J  oraz  4a0 (4.17)  \/2л  J  00  Funkcje  « i ' ,  w 2 , (7)3'  otrzymujemy  ze w z o r ó w  (4.10)  i  (4.11)  1  /г |/'2тг  „  9 J OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH  I  MOMENTOWYCH  371  CC  (4.18)  Г  J ­ | ( l ­ A 0 ) ( .  [c.d.]  ^ 2 7 Г  oJ  A °  l  \  2 o 0 l 2  /  Q  _  e  U  C>*1  _ p ­ t X i • e  ­Л1 — е   )}»«. x 2 )  9=>з  =  (2^ + Я)  (i(X + /л ) \/2n  CO  S k ł a d o w e  n a p r ę ż eń  z  «dwiema  kreskami»  w  postaci  całkowej  uzyskujemy  ze  w z o r у w  (4.12) i  (4.13)  Oli  =  У '2ж   co 0 Г ,,  =  (4.19)  O',  o  =  —  ( l ­ A o ) ( l +  Ј c , ) e ­ f x , +  + 2 e 0 f a ( e ­ ­ ­ | * ­ « ­ « ) ] a ( f , x 2 ) « .  =  ж / ^ [( 1 " А о ) И + а д <" & ' +  + 2 f l 0 f 2 ( e ­ ' " ' ­ i ­ e ­ ^ ) ] e ( f , j c 2 ) < / f ,  co  + 2 < i „ f ' | ( « ­ » . ­ e ­ « . ) J K { , ^ « ,  00  2  ]/2я  s  f —  +  2c70f ;  6 ( i ,  * 2 ) di  oraz  (4.20)  A*is  =  /  ­ | o  [ ( 1 ­ А 0 ) в ­ ^ ' ­ в ­ ^ ] Щ , х2 ) ^ ,  , « 2 3  =  ) / 2 »  0­ 4 a 0  ]/2т г Г Г  ­ i ­  [(1 ­  Д 0 ) е ­ «"  ­  е ­" ' l e ( f ,  o  0 L £ K o ń c o wy  wynik  dla  przemieszczeń  i  obrotu  uzyskujemy  sumując  wzory  (4.15) i  (4.18):  (4­21)  u*  =  < + < ,  ;+  0,  993'  ­+  0  (a  =  1,  2),  (4.23)  < U ­ » 0 ,  c r 3 ' 3 ^ 0  ( a , / 3 = 1 , 2 ) ,  /"«3  ­»  0,  / / 3 «  ­»  0  (a  =  1,  2).  W i d a ć  wię c,  że  przejś cie  a  ­»  0  prowadzi  do  rozwią zania  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  (wzory  (4.15),, 2  i  (4.16)).  W  pracy  [9]  płaskie  zagadnienie  niesymetrycznej  sprę ż ystoś ci  (2.1)  rozwią zuje  się   poprzez  wprowadzenie  p o t e n c j a ł ó w  sprę ż ystych.  Rezultat  uzyskany  w  naszej  pracy  zgodny  jest  z  wynikami  uzyskanymi  dla  zagadnienia  p ó ł p r z e s t r z e n i  w  wyż ej  cytowanej  pracy.  5.  Osobliwość  naprę ż eń  siłowych  i naprę ż eń momentowych spowodowana normalną  silą  skupioną   Rozpatrzmy  przypadek  szczególny  obcią ż enia  p(x2)  z  poprzedniego  punktu  pracy.  Przyjmujemy,  że  w  p o c z ą t ku  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y ch  działa  normalna  siła  skupiona  postaci  (5.1)  p(x2)  =  Pó(x2).  T u  symbol  6(...) oznacza  p s e u d o f u n k c j ę  Diraca.  Podstawiając  (5.1)  do  zwią zków  (4.14')  otrzymujemy  00  1  Г  P  Ps  =  ­ 7 =  Pd(x2)cos(Cx2)dx2  =  , (5.2)  Pa  =  0.  Oznaczenia  (4.15')  mają  teraz  p o s t a ć   P  a(i,x2)  =  pscos(S,x2)  =  —==­coe(f,  x2),  V2n  (5.2')  p  b((,  x2)  =  pss\n(C,  x2)  =  —  s i n ( g ,  x2).  Z a k ł a d a j ą c,  że  p o z o s t a ł e  warunki  na  brzegu  p ó ł p r z e s t r z e n i  nie  ulegają  zmianie  (tzn.  ffi2  =  ^ i 3  =  0 dla  X ,  =  0),  m o ż e my  rozwią zanie  dla  stanu  n a p r ę ż e n ia  otrzymane  w  punk­ cie  4  w y k o r z y s t a ć  tu  uwzglę dniając  zwią zki  (5.2').  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH  I MOMENTOWYCH  373  D l a  primowanych  składowych  n a p r ę ż eń  z  (4.16) i (4.17)  mamy  p  r  Gij  =  J  (1 +Cxl)e­* Xicos(Cx2)dC,  o  00  P  г   (5.3)  a'21  =  ­  J  (1  ­ f A ^ ) e ­ ­ v ' c o s ( c ? x 2 ) < : / f ,  0  oo ­  P X l  I  s i n ( Ј t 2 ) #  л   J  a12  =   a 2 i  o  oraz  (5.4)  ;3  =  _  ł a  0,  — 00  <  x2  <  co}  poza  punktem  p r z y ł o ż e n ia  siły  skupionej  P,  a  więc z wyją tkiem  p o c z ą t ku  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y c h.  Ich  osobliwoś ci  zaletą  od  zachowania  się  funkcji  p o d c a ł k o w y c h  w punkcie  (0,  0 ; | )  przy  f  ­ *  00,  mianowicie  od  tych  czę ś ci  funkcji  p o d c a ł k o w y c h ,  k t ó r e  przy  Xt  =  x2  =  0 i przy  |  ­» 00 są rzę du  0 ( £ ­ 1 )  lub  wię kszego  [por.  prace  [2 +  4, [8]].  W  celu  wyznaczenia  charakteru  osobliwoś ci  całek  (5.5) i  (5.6)  wykorzystamy  nastę­ pują ce  rozwinię cie  asymptotyczne  Г  .  _1_  W2  K o r z y s t a j ą c  z  (5.9)  otrzymamy  Д 0 ( | )  =  i + 2 e 0 f 2 ( l ­ ­ ^ ) =  1 + ^ 1  + 0 ( f " 2 )  (5.10)  Г   0­ Я Х  _  p­ i xi   1 _   x l   ~  \  2 f / 2  (5.9)  o  =  ] / ś 2 + j 2 ­  =  )  dla  :  •  ,  4.  ­ 1  +  !1L_  4­otf­ 4 )  dla  f  ­>•  00,  dla  f  ­*  00.  .v2  6 / 2 x ,  +  " ^ P f 3  We  wzorach  (5.9)  i  (5.10)  symbol  0 ( | _ n )  oznacza  wyraż enie,  k t ó r e  przy  f  ­»  co zachowuje  się  j a k funkcja­^­  (n  —  liczba  naturalna).  W y k o r z y s t u j ą c  rozwinię cia  (5.9),  (5.10)  i  o b l i ­ czając  explicite  czę ść  osobliwą  całek  (5.5)  i  (5.6)  oraz  oznaczając  przez  0(1)  ich  czę ść re­ g u l a r n ą ,  otrzymujemy  „  _  2P  a0  Xj(xj­x 2)  0 1 1  "1Г  a0 + l 2  (xi+x22) 2  + U ( 1 ) '  2P  a0  2x\   o22  =  (5.11)  ° 2 2  =  ~л  ~ 4 x J ^ x J f  „ ч _  а0  2xix 2  ....  ° 1 2  л "а о ~+12  ~&i+̂ W   i h  2P  a0  x 2(xi— x 2)  я  а 0 + 2  (xi  +  xj)2  +  0(1)  OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ Ż EŃ SIŁOWYCH I MOMENTOWYCH  375  oraz  2a0P  2Xl  x2  ^  "  *  (xl+xlY  + 0 ( 1 ) '  (5.12)  "  2a0P  Xy—x2  P  a0  f,/~2~,—2\  ,  =  ­ —  a­+iT^(Vxl+xi)+oo).  Poniż ej  zestawiamy  całki  wykorzystane  do otrzymania  w z o r ó w  (5.11)  i  (5.12)  oraz  całki,  k t ó r e  bę dziemy  w y k o r z y s t y w a ć  w dalszych  czę ś ciach  pracy  [10]:  K 2  x\  x\  (5.12')  j  e­(Xlcos(£x2)dł;  o  00  /  f 0  oraz  /  e­«««8in(f* 2 )rff  =  ­ ^ f ­ ,  o  r  co /  f e ­ e " » s m ( f * a ) «  =  o  r  (5.12")  J  f V ^ s i n t f j c , ) * / *  =  ^{Ъ х Х ­х Ь  ^  o  r  00  /  f ­ ^ ^ r i n t f x a ) *  =  t a n ­ 1 ­ ^ 2 ­ ,  o  • X l  ­ y  <  t a n ­ 1 ­ ^  < y ,  r =  j / x f + x f 1 .  Zestawiając  wzory  (5.7)  z  (5.11)  oraz  (5.8)  z (5.12)  m o ż na  zauważ yć,  że w punkcie  przy­ łoż enia  siły  P  składowe  tensora  n a p r ę ż eń  siłowych  posiadają  osobliwość  postaci  0 ( r ­ 1 ) .  Natomiast  s k ł a d o w e  tensora  n a p r ę ż eń  momentowych  zachowują  się inaczej:  fil3  i /л31  posiada  w a r t o ś ć  s k o ń c z o ną  0(1),  a fi23  i fi32  posiada  o s o b l i w o ś ć  logarytmicznąO  (log/­):  (5.13)  "  1̂3 =  0(1),  <"»  = ­ ­ ­­^iog(i/Sf+^D+o(i). 3»  376  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  Przechodząc  do granicy  ze stałą  materiałową  a(a ­> 0),  uzyskujemy  (5.14)  lim  = 0,  „^o  a0 + l­ co  prowadzi  do  rozwią zania  klasycznego  danego  wzorami  (5.7),  p o n i e w a ż  składowe na­ prę ż eń  z  (5.11)  i  s k ł a d o w e  n a p r ę ż eń  z  (5.13)  dą żą  do zera.  D l a  p r z y k ł a d u ,  gdy a ­>  co  otrzymujemy  fl0  2(1 ­ r )  ( 5 Л 5 )  . ! I N : « „ I F  ­  3 ­ 2 ­  •  gdzie  r jest  stałą  Poissona.  P r z e c h o d z ą c  we wzorach  (5.7),  (5.8) i (5.11),  (5.12)  do granicy, gdy a ­» oo otrzymamy  2P  1 . Y1 f A­ 2 + 2 ( l ­ ) ' ) . V 2 j  =  ~  я  Ъ ­Ъ ­  (.vf + .vf)2  + 0 ( l ) ­ (5.16)  2P  l ­ 2 i '  Xi xl  .T  3 ­ 2 ) '  (Xi+xl)  2Р  1—2)'  * 2 x 2  ffl2  =  Т ^Ъ  (х \+х \У  + 0 ( 1 ) '  oraz  (5.17)  2Р  1  *2[.v?  + 2 ( I ­ v ) * f ]  я "  " 3 ­ 2 . ­  (xj+xl)2  ftl3  = 0(1),  f*23  =  ­  —  J ~ ' '  log(|/.vf  +xl  ) +0(1).  я  3 — 2)'  Jest  to  wynik  dla niesymetrycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  o ś r o d ka  ze  zwią zanymi  obrotami  [por.  [2],  [4]].  6.  Półprzestrzeń poddana  rozłoż onym  obcią ż eniom  stycznym  Rozpatrzmy  zagadnienie  półprzestrzeni  z warunkami  brzegowymi  postaci  (6.1)  T , , ( 0 , . V 2 )  =  0,  al2(0,x2)  =  ­s(x2),  /i13(0,  x2)  = 0 .  Rozwią zanie  « p r i m o w a n e » ,  tzn.  rozwią zanie  r ó w n a ń  (3.5),, 2  z  warunkami  brzegowymi  (6.2)  o­;,(0,  x2)  =  0,  r / 1 2 ( 0 ,  x2)  =  ­ s ( * 2 )  ma  p o s t a ć  [por. [7] str. 290]:  dla  przemieszczeń   " i  =  [ ( l ­ 2 , 0 + | f | . v , ] e ­ ^ . ,  (6.3)  _ ̂   «2  =  [ 2 ( 1 ­ r ) ­ \ £ \ X l ) e ­ M * ' ;  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ SIŁOWYCH  I MOMENTOWYCH  377  dla  naprę ż eń   51,  =  ­ifs(Ę )Xie­^,  (6.4)  a'22  =  ­  I  ł ^ P ­ l f l * , ) * ­ ' " * ' ,  5 ' 1 2  =  5 2 ]  =  ­ ś ( f ) ( l ­ | f l * i K : f i x * ­ N a  podstawie  zwią zku  (3.7)  i  (6.3)  wyznaczamy  (6.5)  ф '3  =  ­j№ ­(l­v)e­W'*.  Wykorzystując  powyż szy  w z ó r  i  zwią zki  (3.8)  mamy  Д '.з  =  2a0№ H$)e­ 1(1X1,  (6.6)  jj,'23  =  2ia0£ś (C)e­   : X i .  Drugą  czę ść  rozwią zania  (z  dwiema  kreskami)  uzyskamy  rozwią zując  układ  r ó w n a ń   (3.6)  z  warunkami  brzegowymi  postaci  (6.7)  0­7,(0,  x2)  =  0,  а ','2 (0,  x2)  =  0,  /<7з (0,  x2)  =  ­fi'13(0,  x2).  Z a u w a ż my  jednak,  że  tego  typu  pomocniczy  problem  brzegowy  rozwią zaliś my  w  punkcie  4 pracy.  Zatem  wyniki  dla  rozwią zania  z  dwiema  kreskami  należ ą ce  do  zagadnienia  z  tego  punktu  uzyskujemy  ze  w z o r ó w  (4.10),  (4.11),  (4.12)  i  (4.13),  podstawiając  w  nich  (6.8)  m  =  i ^ l  są ).  Ostatecznie  przemieszczenia,  o b r ó t  i  stan  naprę ż enia  w  pólprzestrzeni  uzyskujemy  zesta­ wiając  rozwią zania  czę ś ciowe jak  we  wzorach  (4.21)  i (4.22).  W  tym przypadku  dla  przejś cia  granicznego  (oc ­»  0)  również  zachodzą  zależ noś ci  (4.23)  i  otrzymujemy  rezultat  klasyczny  (wzory  (6.3)  i  (6.4)).  Przejdź my  do  całkowej  rzeczywistej  postaci  rozwią zania.  W  tym  celu,  podobnie  jak  w  punkcie  4,  r o z k ł a d a m y  obcią ż enie  na  czę ść  symetryczną  i  antysymetryczną  wzglę dem  osi  Qx,  (6.9)  S(S)  =  +  gdzie  uu s (f)  =  /  i  Ą ( x2 ) c o s ( f * 2 ) < / f ,  [/2л  J  (6.9')  OO  у  2л  J  W y k o n u j ą c  o d w r o t n ą  transformację  (3.13)2  i  uwzglę dniając  (6.9)  rozwią zanie  zapisujemy  ostatecznie  w  postaci  n a s t ę p u j ą c e j:  378  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  ze  w z o r ó w  (6.3),  (6.5)  otrzymujemy  00  1  Г 1  ih =  f— I  j. [ ( l ­ 2 i O  +  f Y , ] e ­ ^ 6 ( £ , x 2 ) < / f ,  00  (6.10)  u'2 =  =­  Г i -p a-^ -f x Jl e-' -eCf , x2)#, о  "  00  /«1  2 л  J  gdzie  (6.10')  а (£,  х2)  =  ś ,cos(Cx2)  +  sasm(£x2),  Hi,  x2)  =  Ą s i n ( f,  A ­ 2 ) ­ f a c o s ( | A ­ 2 ) ;  ze  w z o r у w  (6.4),  (6.6)  otrzymujemy  <»ii  J = Г  Ј * i « r f X l * ( f , * 2 ) # ,  CC (6.11)   *а )#,  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH  I  MOMENTOWYCH  379  00  (6.13)  ,  [c.d.]  PV^o  ­4­9/7­ Q U + 2£/0­C­(­|­e­ №­e­e,t,)}e(f,*a) * ­ Ze  w z o r ó w  (4.12),  (4.13) i (6.8) otrzymujemy  +  2 a 0 1 2  | e ­ p J C ' ­  i ­ g ­ f * . J | б ( |,  *2)<#,  2 2 (6.14)  Г f(l ­AoK­l+f*!)*­*'' +  у In {  д о L  2  0 " l 2  =  = T ­ 1/27Г o1  00  1  ^ ­ f ( l ­ A 0 ) | x 1 e ­ J » '  + 2a0f2­C­(e­ex'­e­«*o]a(f,  x 2 ) d | ,  00  2  "у /Ъ г J oraz  p i ' 3  =  i  ­i­[(l­^)e­^­e­^]a(i,x2)dS,  \f2n  J Д о (6.15)  0 0  Г  1  7.  Osobliwość  naprę ż eń  siłowych  i naprę ż eń  momentowych spowodowana  styczną  siłą  skupioną   Kolejny  szczególny  s p o s ó b  obcią ż enia  p ó ł p r z e s t r z e n i  dotyczy  przypadku  d z i a ł a n i a  w  p o c z ą t ku  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y ch  stycznej  siły  skupionej  ( 7 ­ l )  s(x2) =  Sd(x2).  380  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  Wobec  (7.1)  wzory  (6.9')  i  oznaczenia  (6.10')  przyjmują  p o s t a ć   GO 1  Г  S'  s s   =  ­  ­­­­­  Sd( x 2 ) cos ( Cx 2 ) dx 2   =  ——  \2ж  {  у 2ж   oraz  S  a( £,  x 2 )   =  SsCos(fx2)  =  7=  cos ( i x2) ,  \2ж   (7.2')  _  s  b( £,  x 2 )   =  Ś \sin  ( | x 2 )  =  ­ —  s i n ( Ј . v 2 ) .  ) / 2 я   Podstawiając  zwią zki  (7.2)  i  (7.2')  do  w z o r ó w  (6.11)  i  (6.12)  wyznaczamy  primowane  n a p r ę ż e n ia  CO a', t  =  —  f  f x , е ­ 4 ' * 1 sin  ( f x 2 ) a f ,  ж  i  o  (7.3)  o' 22 =­ ­ S ­ (   ( 2 ­ f x , ) e ­ « ' s i n ( f x 2 ) c ­ / | ,  Ж  J  0  co  o'i2=  ff2i  = ­  ­  Г  ( 1 ­ f x , ) < r f x ' c o s ( f x 2 ) ć /f  oraz  (7.4)  2#  S  С   ц [ 3   =  ­ ­ ­ ­ ­   Ce­ SXi cos ( £x 2 ) d£,   TC  J  И 23  =  2 a ° S  f  f ? ­ t J C ' s i n ( f x 2 ) < / f .  ж  J  o  W z o r y  (7.3)  i  (7.4)  przy  pomocy  całek  (5.12')  i  (5.12")  przedstawimy  w  postaci  zamknię tej  (por.  [7]).  ,  25'  x\  x>i  "ж "  Jxf +xl ) 2  2S  xi   (7.5)  a'22  =  ж  ( xj  +  x 2 ) 2  2S  x ,  x 2  oraz  (7.6)  "12  ­  *21  ­  ~  ( Х 2 + Л . 2 ) 2  ,  _  2a0S  x\ ­ x\   M l 3 ~  ~n~  (xf+W  /"23  =  ­ 2a0  S  2Xi  x2  л  ( xj  +  xj ) 2  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH  I MOMENTOWYCH  381  N a p r ę ż e n ia  z  dwiema  kreskami  otrzymujemy  ze  w z o r ó w  (6.14),  (6.15)  oraz  (7.2) i  (7.2'):  OT,  i  =  ­ (1 ­  Д 0 ) ( 1  + S * , ) e ­ « * '  + 2 a 0 e  e~­  ­  ­ <*22  (1  ­ Д 0 ) ( ­ 1  + | x ] ) e ­ ^ ' + 2 a 0 l 2 | e ­ e J C l ­ ­ ^ ­ f x '  o  sin( fx 2) rff,  sin(fx2)  00  Dyskusja  w z o r ó w  (7.7) i  (7.8)  dotyczą ca  charakteru  osobliwoś ci  całek  w  nich  wystę­ pują cych  jest  taka  sama  jak  dla w z o r ó w  (5.5) i  (5.6) w  punkcie  5 pracy.  Wykorzystując  zatem  wzory  asymptotyczne  (5.9),  (5.10)  oraz  całki  (5.12'),  (5.12"),  otrzymujemy  25  a0  2x\x2  л  l2+a0  (x\  +  xl) 2  +  0(1),  ( 7 , ,  =  2S  a0  x2(x 2 2­x\)  (7.9)  0"l2  Ti  l2  + a0  (x 2  +  xj)2  2S  a0  х , ( х 2 ­ л : 2 )  ~n  l2  + a0  ~ ( x f + x | ) r  2iS"  a0  2X,X2  ~7t l2+a0  ( x 2 + x | ) 2  r  +0(1),  +  0(1),  +  0(1)  oraz  (7.10)  /"13  =  / « 2 3  =  ­ 71  (X? +  x | ) 2  2a0S  2 x , x 2  +  0(1),  71  (x\ +  X2)  r + 0 ( l ) .  382  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  Sumując  odpowiednio  wzory  (7.5) z (7.7) i wzory  (7.6) z  (7.10)  m o ż na  zauważ yć, że szukany  charakter  osobliwoś ci  n a p r ę ż eń  w punkcie  przyłoż enia  siły  Sjest  rzę du  0 ( r _ 1 )  dla  n a p r ę ż eń   siłowych,  n a p r ę ż e n ia  zaś  momentowe  ц х 3 ,  ц 3 х ,  (a =  1,2)  posiadają  w a r t o ś ć  s k o ń c z o ną   (7.11)  P « 3 = 0 ( l )  (*  = 1 , 2 ) .  D l a  przejś cia  granicznego  (a ­» 0) w a ż ny  jest  w z ó r  (5.14).  N a p r ę ż e n ia  we wzorach (7.9)  i  (7.11)  dą żą  do zera.  Pozostaje  tylko  rozwią zanie  klasyczne dane  wzorami  (7.5).  D l a  p r z y k ł a d u ,  gdy a  ­*• co ze w z o r ó w  (7.5) i (7.9)  oraz  (7.11)  po  uwzglę dnieniu  przejś cia  granicznego  (5.15)  otrzymujemy  wynik  z  niesymetrycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  dla  o ś r o d ka  ze  zwią zanymi  obrotami  <*ii  (7.12)  oraz  (7.13)  8.  Półprzestrzeń pod działaniem  rozłoż onych  obcią ż eń momentowych  m(x2)  W  punkcie  tym  podamy  rozwią zanie  dla  przypadku  półprzestrzeni  obcią ż onej  r o z ł o ż o­ nym  obcią ż eniem  momentowym  (8.1)  ff,,(0,.v2)  =  0,  or 1 2 (0, x2)  =  0,  / / 1 3 ( 0 ,  x2)  =  ­m(x2).  Zagadnienie  klasyczne  o d p o w i a d a j ą ce  p o w y ż s z e mu  zagadnieniu  prowadzi  do  jedno­ rodnego  u k ł a d u  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  ( 3 . 5 ) b 2  z  jednorodnymi  warunkami  na  brzegu  [ffi,(0,  x2)  = 0,  c r i 2 ( 0 ,  .v2)  = 0 ] ,  z  czego  wnioskujemy,  że m o ż e my  przyjąć   « i  =  0,  з  =  9»з  =  ­ N a p r ę ż e n ia  siłowe:  ( l ­ A 0 ) « ­ « « « ­ ­ ^ e ­ 0  «о  |/2т гГ  fAo  0" 2 2  —  <7 2 2  —  1  1  J '  (8.6)  a12  =   O prowadzi  do takiego  o ś r o d ka  C o s s e r a t у w ,  k t у r y  przy  danych  warunkach  brzegowych  o  postaci  (8.1)  ma  z d o l n o ś ć  przenoszenia  tylko  n a p r ę ż eń  momentowych,  natomiast  stan  deformacji  opisują  funkcje  9>з,  У 12, У н  ,  У ­а ъ  (а = 1, 2),  z a c h o d z ą  bowiem  na podstawie  w z o r у w  (2.2'),  (4.10) ­f­ (4.13) i (8.3)  zależ noś ci  (przy  а ­>  0,  e ­  III, д 0 ­  i)  (8.8)  У) i  =  0,  у 2 2  =  0,  у 1 2  =  ­ с > з ,  У 21  =  9>з>  ««з =  3„с>з  ( а  = 1 , 2 ) ;  Р«  =  0  (а =  1,2),  (8.9)  _ j  У + е  | / 2  со   Т з  =  \  Г  T Ł ­ « ( f ) e ­ ( l * l * , + ' & C j ) #  У +  Е  I/2JT  J  Ifl  oraz  (8.10) о .1>  = 0,  0 ­ 3 3 =0  ( а ,  / 3 =1, 2 )  С О ы 1 3  = --i—  Г  w ( | ) e ­ ( l f | X l + K j c * > r f f  ]/2л:  /̂ 23  =  у 2л   _­l  Isl  9. Osobliwość naprę ż eń spowodowana skupionym obcią ż eniem momentowym  Rozpatrzmy  szczegуlny  przypadek  w a r u n k у w  brzegowych  (8.1).  Niech  p у ł p r z e s t r z e ń   bę dzie  o b c i ą ż o na  (w p o c z ą t ku  u k ł a d u  w s p у ł r z ę d n y c h)  skupionym  momentem  Mu.  Indeks  /г  ma tu  w s k azy wa ć ,  że obcią ż enie  M„ nie pochodzi  od pary  sił skupionych  (jak w  teorii  klasycznej)  lecz  ma charakter  n a p r ę ż e n ia  momentowego JU13 (9.1)  m(x2) =  M„d(x2).  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH  I  MOMENTOWYCH  385  Ze  zwią zków  (8.4')  i  (8.7')  otrzymujemy  odpowiednio  (9.2)  oraz  (9.2')  у  2л   j  Mtld(x2)cos(Cx2)dx2  =  MŁ  ]/2n  m„  — 0  M  x2)  =  w s c o s ( f v 2 )  =  "  c o s ( f x 2 )  Y'2л   M  b(C,  x2)  =  mss'm(Cx2)  =  J L  s i n ( f x 2 ) .  |/2OT  Podstawiając  zwią zki  (9.2')  do  w z o r ó w  (8.6)  i  (8.7)  otrzymujemy  rozwią zanie  zagad­ nienia  w  n a p r ę ż e n i a ch  w  postaci  całek  (9.3)  .Mi  Ina  00  o j ~щ [ ­ _ ( 1 ­ Д 0 ) ( 1 +  2л а0  J  £ Д 0  а ,,  =  .  м„  Г  J _   2т Ш0  J  £ Д 0  о   +  2 а 0 | 2  е ­— ­  ­ <  о   ( 1 ­ Д 0 ) ( ­ 1 + ^ л ­ , ) е ­ ^ .+  ( 1 ­ Д о)  fж, « ­ « " '  +  s i n ( | x 2 ) ( / | .  8 Ш (Ј х 2 ) < / Ј ,  +  2а0Ł 2  — (е   COS(ć 7X2)(7df,.  С О e U cos  (f x 2 )  ^  oraz  (9.4)  His  =  —  \  ­ A ­ ­ r ( I ­ A 0 ) « ­ f o , ­ ^ ­ 0 X ' ] c o s ( f j f 2 ) < / f ,  0 0  Г  1  А*2з  f  ^ ­ [ ( ł ­ A 0 ) e ­ ^ ' ­ | e ­ ^ | s i n ( d A ­ 2 ) ^ .  386  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  P r z e n o s z ą c  na  całki  we  wzorach  (9.3)  i  (9.4)  dyskusję  z  punktu  5  pracy  i  wykorzystując  wzory  (5.12'),  (5.12"),  otrzymujemy  zwią zki  asymptotyczne  dla  n a p r ę ż eń   * n  =  0(1),  a22  =  0(1),  a12  =  0(1),  (9.5)  M„  1  л  a0  +  l 2  oraz  l o g r  +  0 ( l )  (9.6)  /"is  =  ­ ^ ­ 5 ­ + 0 ( 1 ) ,  ­"23  =  ­  —  ^ + 0 ( 1 ) .  Ze  w z o r ó w  (9.5)  i  (9.6)  w i d a ć ,  że  osobliwość  rzę du  0 ( r ­ 1 )  wykazują  n a p r ę ż e n ia JUX3, j " 3 « .  (<* =  1.  2).  Natomiast  p o ś r ód  n a p r ę ż eń  siłowych  tylko  s k ł a d o w a  a2l  wykazuje  osobli­ w o ś ć  rzę du  0(logr).  P o z o s t a ł e  s k ł a d o w e  (er,,,  a22,  al2,  a33)  mają  w a r t o ś ć  s k o ń c z o ną   w  punkcie  przyłoż enia  momentu  Af„.  D l a  p r z y p a d k ó w  szczególnych  (a  ­>  0)  i  (a  ­*  00) zachodzi  (9.7)  lim—^—pr­  =  0,  l i m  — — =  ­z­^—­  ­т —­,  a _ o  fir0  +  / 2  «х ^оо  a 0  +  / 2  3 ­ 2 v ( / * ) 2 '  gdzie  przez  /*  oznaczamy  stałą  sprę ż ystoś ci  /  z  niesymetrycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  dla  o ś r o d ka  ze  zwią zanymi  obrotami.  We  wzorach  (9.6)  współczynnik  intensywnoś ci  osobli­ woś ci  nie  zależy  od  ż adnej  stałej  m a t e r i a ł o w e j .  W z o r y  te  pozostają  słuszne  dla  wszystkich  trzech  p r z y p a d k ó w  (tzn.  dla  a  =  0,  a  =  00  i  dla 0  <  a  <  co). Natomiast  n a p r ę ż e n ia  siłowe  dla (a  ­»  0) dą żą  do zera, co  było  o m ó w i o n e  j u ż  poprzednio.  D l a  o ś r o d ka  ze  zwią zanymi  obrotami  (a  ­>  00)  wzory  (9.5)  przekształcają   się  na  wzory  I=0(1),  o ­ 2 2 = 0 ( l ) ,  o­1 2  =  0(1),  (9­8)  M  1  1  Zwraca  tu  u w a g ę  fakt  (w  o d r ó ż n i e n iu  od  p.  5,  7,  11)  pojawienia  się  we  w s p ó ł c z y n n i k u  intensywnoś ci  wymiarowego  parametru  /*.  10.  Przypadek obcią ż enia  pólprzestrzeni  momentem skupionym M  D l a  uzyskania  rozwią zania  w  przypadku,  gdy  na  brzegu  pólprzestrzeni  w  p o c z ą t ku  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y ch  działa  moment  skupiony  M  załóż my,  że w punkcie  o  w s p ó ł r z ę d n y ch  (0,  f 2 ) ,  ( f 2  >  0)  działa,  zgodnie  z dodatnim  kierunkiem osi  Oxt,  siła  skupiona  Pd(x2­C2)  i  niech  taka  sama  siła,  ale  przeciwnie  skierowana,  działa  w  punkcie  o  w s p ó ł r z ę d n y ch  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH  I MOMENTOWYCH  387  (0,  i2+Ai2):­P6[x2­(i2  + Ai2)], (AI2  >  0)­  R o z k ł a d  n a p r ę ż eń  w  p ó ł p r z e s t r z e n i  po­ chodzą cy  od działania  takiej  pary  sił uzyskujemy  drogą  superpozycji:  а  я =  ­Р [а *р(хг,  x2;  0, f 2  +AC2)­o*e(x1,  x2;  0,  f 2 ) ] ,  ( Ш Л )  / * з =  O . f a  + A f a ) ­ ^ * ! , * ^  0 , f a ) ,  ( а , в  =  1,2),  gdzie  wielkoś ci  Pa^ix,,  x2;  0, i2)  oraz  Р /л ^х ,,  x2;  0, f 2 )  uzyskujemy  z  rozwią zania  dotyczą cego  normalnej  siły  skupionej  (punkt  5 pracy)  dodając  odpowiednio  wzory  (5.3)  i  (5.5)  oraz  wzory  (5.4)  i  (5.6).  N a l e ż y  jednak  we wzorach  tych  zmienną  x2  zastą pić  teraz  przez  ( A ­ 2 ­ £ 2 ) .  M n o ż ąc  i  dzieląc  prawe  strony  w z o r ó w  (10.1)  przez  A f 2  i  przyjmują c,  że dla Д |2 ­*  0  zachodzi  (10.2)  l i m P\£2  =  M,  (gdzie  M  oznacza  moment  skupiony  działają cy  w punkcie  (0, £ 2 ) ) ,  otrzymujemy  rozwią­ zanie  w postaci  axp  =  ­M­Sira*B(xl,x2;  0, £2)|fc_o,  vc2  (Ю .З)  8  И «з =  ­M­gc^P*3(xi,  x2;  0,  f 2 ) l f 2 . 0 ,  (a  =  1, 2 ) ,  ( / 3 = 1 , 2 )  Korzystając  z  twierdzenia  o  r ó ż n i c z k o w a n iu  całki  z  funkcji  zależ nej  od  parametru,  ze  w z o r ó w  (5.3)ч ­(5.6)  i  zwią zków  (10.3)  otrzymujemy  kolejno:  rozwią zanie  « p r i m o w a n e »  ffn  =  ­ M  Г   —  f O +  ftOe­^einCfraMf,  71 J  0  M  Г   (10.4)  a'22=  f d ­ f x O ^ d n t f x a ) * ,  0  0 ­ J 2  =  <721  =  ~  (  f 2 e ~ { j t l C O S ( f x : 2 ) f i £  7Г   oraz  (10.5)  0 0 p i a  =  Г  f ^ ­ « ' " c o s ( f * 2 ) r f f ,  0  oo   ^ 3  =  ­  ­ 2a^K  (  ^e­^Sin(ix2)di.  71  J  388  .1.  DYSZLKWICZ,  St. MATYSIAK  rozwią zanie  z dwiema  kreskami  022 (10.6)  O'12  oraz  (10.7)  M n  f  l  J ( l ­ A o ) ( l + f * i ) e ­ * * ' +  2 a 0 f 2 ( e ­ № ­ | ­ « ­ ' x ­ ; i  ~  j '  I  J ( l ­ A 0 ) ( ­ l + | x 1 ) e ­ f " + 2 a 0 f 2 ( e ­ ' " : ' ­  le­«*«JJsin(f*2)rff,  C O M  I  . f  | ( l ­ A 0 ) | x 1 e ­ { x ' + 2 a 0 f 2 ­  (e­' T '­e­«*0|coetf* 2 )«/Ј,  M n  j  | ­  Г ( 1 ­ Д0 ) ^ 1 е ­ ^ + 2 а 0 | 2  ^ ( | ^ ­ ' * ­ ­ e ­ * ­ ) ] c o s ( f x 2 ) #  _  2 я 0 М  Г  С  г ( 1 _ д 0 ) ^ , _ е ­ ^ 1 ] с о 5( ^ 2 ) ^ ,  И ­23  2 а ° М  Г f  [ ( l ­ A o J c ­ ^ ' ­ ^ e ­ ^ ' l s i n d . v , ) ^ .  я;  J  Д 0 L  е  J  Dodając  odpowiednio  wzory  (10.4)  i  (10.6)  oraz  (10.5)  i  (10.7)  otrzymujemy  r o z k ł a d  naprę ż eń  w pуłprzestrzeń  i .  D l a  przypadku,  gdy а ­> 0 otrzymujemy  rozwią zanie  klasyczne  dane  wzorami  (10.4),  zachodzi  bowiem  /л 'а 3+/г 'а'з  ­*  0  o r a z  ~* 0, ( а , P =  1,  2).  11.  Osobliwość  naprę ż eń  spowodowana momentem skupionym  M  Rozwią zanie  klasyczne  (10.4)  zapisujemy  w postaci  z a m k n i ę t ej  (por.  [11])  ,  8 M  x\x2  °u  =~h~\x\+xlf'  (11.1)  a'21  ­­ AM  xt x2(x 2  — x 2 )  rr  ( x 2 + x 2 ) 3  2M  x 2 ( x 2 ­ 3 x 2 )  0­12  "  <*2l  ­  ­ —  ( J C 2 + J C 2 ) 3  •  Podobnie  (wykorzystując  całki  (5.12'),  (5.12"))  zapisujemy  wzory  (10.5)  4 a 0 M  x , ( x 2 ­ 3 x i )  " л (xl+x2) 3 ' (11.2)  4<з 0 М  x 2 ( 3 x 2  —x|)  И ­23  =  ж  (х \Л ­х \)  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  SIŁOWYCH  I  MOMENTOWYCH  389  Dyskusja  w z o r ó w  (10.6)  i  (10.7)  (analogiczna  do przeprowadzonej  w punkcie  5 pracy  dla  rozwią zania  z dwiema  kreskami)  prowadzi do rezultatu  AM  a0  XiX2(3xj­xj)  |  _  ~~л 'а0  + 1 2  (xj+xir  ( П . З)  Ш  a0  х ,.х2(х 1­х 1)  ° 2 2  ~ IT  'a^+F (xl+xł)3 + 0 ( 1 ) ' „ _ 4M a0 x\(x\-3xl) n m „ _ IM a0 {x\-x 2 2) 2-Ax\xl ° 2 1 ~ i r a0 + l 2  "  ( х ? + * | )3  " + U U )  oraz  (11.4)  4a0M  Xi(x\  — 3x 2 2)  M  a0  X i ( * f  — xQ  л  (x\+x\)3  л  a0 + l 2  (x\+xl)2  „  4a0M  х2(Ъ х \­х \)  M  aQ  x2(bx\+xl)  И 2 3  л  (х \ + х \)ъ  л  a 0 + / 2  (x\+xl)2  +  K  h  Sumując  odpowiednio  wzory  (11.1)  i  (11.3)  oraz  (11.2)  i  (11.4)  uzyskujemy  poszukiwany  charakter  osobliwoś ci  n a p r ę ż eń  w tym  zagadnieniu.  D l a r ­* 0 (tzn. w punkcie  p r z y ł o ż e n ia  momentu M) n a p r ę ż e n ia  siłowe  r o s n ą  nieograniczenie jak  l / r 2 ,  n a p r ę ż e n ia  zaś  momentowe  są  r z ę du  0(/*_ 1)  M a0  XjjXj­x 2)  ~ ~ ~л  ~a~0W ~(?c\+xW~  С11 • 5)  M  a0  х2{Ъ х \+х \)  л  aQ + l 2  (x2+xl)  D l a  przypadku  granicznego  (a ­> 0), wobec  (5.14),  n a p r ę ż e n ia  o'x'p (a, j3 =  1,2) ze  wzoru  (11.3)  oraz  fixi  ze wzoru  (11.5)  dą żą  do zera.  Otrzymujemy  rozwią zanie  klasyczne  (wzory  (11.1)).  D l a przypadku,  gdy a ­> co  (uwzglę dniając  (11.1),  (11.3),  (11.5)  oraz  (5.15)),  otrzymujemy  (11.6)  4M \-2v  Xi X2(x\­xl)  ° 2 2 =  ~ж ~^Ъ  ~(xJTxW~  + 0 ( 1 ) '  2M  l­2v  xljxl­Sxl)  | П П Ч   ffl2  =  " ^ З ^ Г  ( * 2 + л ­2 ) 3  + 0 ( 1 ) >  2M  1  r * j + 3 ( 3 ­ 4 y ) * j  *I+2(1­v) X j]  ° 2 1  ж ^Ъ ^Ъ  (xJ+xW  + 0 ( 1 )  4  Mechanika  Teoretyczna  4/73  390  J.  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  oraz  2M  l­v  Xl(xj­x 2 2)  ^  =  ­ 1 T 3 ­ 2 v  (xl+xir  + 0 ( 1 ) '  (11.7)  2M  1 —v  x2(3x 2  +  xl)  W z o r y  (11.6)  i  (11.7)  o d n o s z ą  się  do  o ś r o d ka  ze  zwią zanymi  obrotami.  12.  Uwagi  koń cowe  Analizując  (na  p r z y k ł a d z i e  pólprzestrzeni)  n a p r ę ż e n ia  dla  ciała  mikropolarnego    /3  =  1,2)  widzimy,  że  rząd  ich  osobliwoś ci  w  punkcie  przyłoż enia  obcią ż eń   skupionych  (pkt.  5,  7,  11)  jest  taki  sam  jak  w  teorii  klasycznej  i  wynosi  0(/­ _ 1 ).  Również   zachowany  jest  rząd  osobliwoś ci  n a p r ę ż eń  ( z a r ó w n o  dla  n a p r ę ż eń  siłowych  jak  i  momen­ towych)  w  odniesieniu  do  modelu  ciała  ze  zwią zanymi  obrotami  (pkt.  5,  7,  9,  11).  Istotna  r ó ż n i ca  mię dzy  przedstawionymi  tu  osobliwymi  rozwią zaniami  tkwi  we  współ­ czynniku  intensywnoś ci  osobliwoś ci.  D l a  ciała  mikropolarnego  współczynnik  ten  jest  funkcją  p a r a m e t r ó w  m a t e r i a ł o w y c h  i pozwala  na  cią głe  przejś cie  z  wynikami  z  p.  4,  5,  6,  7,  10,  U  do  teorii  klasycznej  (a  =  0)  i  do  teorii  opisują cej  ciało  ze  zwią zanymi  obrotami  ( 0)  и  к  т е о р ии  со  с в я з а н н ы ми  в р а щ е н и я ми  (а ­>  о о ).  S  u m  m a r y  FORCE­STRESS  A N D  COUPLE­STRESS  SINGULARITIES  P R O D U C E D  BY  C O N C E N T R A T E D  L O A D S  IN  A  MICROPOLAR  M E D I U M  The problem of elastic half­space in the  plane strain state due  to static force  and  couple­forces loadings  for  linear micropolar  medium  is  considered.  Starting from  the  equations  of  displacements  (without body  force  terms)  we  define  the  strain  and  stress distributions  in  the  half­space.  The  solution  consists  of  two  parts:  the  classical  solution  and  a  typical  solution  of  the  boundary  problem  of  non­symmetric elasticity.  In  particular,  loadings concentrated  in  the  origin  and  acting on  the  half­space  are  considered  and  the  character  of  stress  and  couple­stress  singularities  is  examined.  In  all  the  cases  the  limiting results  а  ­»  0  (classical  theory  of  elasticity)  and  а ­ юо  (couple­stress  theory  of  elasticity)  are  evaluated.  INSTYTUT  MECHANIKI  UNIWERSYTETU  WARSZAWSKIEGO  Praca została  złoż ona  w  Redakcji  dnia 9  lutego  1973  r.  4'