Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  4,  11 (1973)  O S O B L I W O Ś Ć  NAPRĘ Ż EŃ  W  LINIOWYM  OŚ RODKU  M I K R O P O L A R N Y M  SPOWODOWANA  NIECIĄ GŁYMI  OBCIĄ Ż ENIAMI  (II)  JANUSZ  D Y S Z L E W I C Z ,  STANISŁAW  M A T Y S I A K  (WARSZAWA)  1.  Wprowadzenie  W  pracy  rozpatrzymy  osobliwość  n a p r ę ż eń  siłowych  i  n a p r ę ż eń  momentowych  w  p ó ł ­ przestrzeni  mikropolarnej  Q  (1.1)  Q  =  {(*!,  x2):  Xi  ^  0,  ­  co  <  x2  <  oo},  s p o w o d o w a n ą  niecią głymi  obcią ż eniami  statycznymi  Pi(x2),  ( / = 1 , 2 , 3 )  r o z ł o ż o n y mi  na  jej  brzegu.  R o z w a ż a n ia  dotyczą  płaskiego  stanu  odkształcenia  (w  ramach  liniowej  teorii  niesymetrycznej  sprę ż ystoś ci)  reprezentowanego  przez  wektor  przemieszczenia  u  i  wektor  obrotu  «p postaci  [1].  (1.2)  n(Xl,x2)  s  ( W , , H 2 , 0 ) ,  3).  0  funkcjach  obcią ż eń  pi(x2)  z a k ł a d a ć  bę dziemy,  że  są  nieparzyste,  p r z e d z i a ł a m i  cią głe  1  bezwzglę dnie  c a ł k o w a l n e  w  przedziale  ( — oo,  oo):  (1.3)  Pi(­x2)  =  ­Pi(x2),  (1.4)  limiP i(x2)  =  pf  Ф  0,  *2­>­0  00  0­5)  /  \pt(x2)\dx2  <  o o ,  (i  =  1 , 2 , 3 ) .  —  00  W  pracy  k o r z y s t a ć  bę dziemy  z  naszych  poprzednich  w y n i k ó w  [10],  gdzie  badając  wpływ  n a p r ę ż eń  momentowych  na  osobliwoś ci  n a p r ę ż eń  p o c h o d z ą ce  o d  skupionych  obcią ż eń  p o d a l i ś m y,  w  oparciu  o  [1]  i  [2],  podstawowe  r ó w n a n i a  i  o g ó l n e  rozwią zanie  dla  stanu  n a p r ę ż e n ia  w  p ó ł p r z e s t r z e n i .  W  ramach  teorii  n a p r ę ż eń  momentowych  zagadnie­ nie  rozwią zań  osobliwych  posiada  b o g a t ą  l i t e r a t u r ę  (patrz  [1],  [3]).  Obecna  praca,  jak  r ó w n i e ż  praca  [10],  zrodziły  się  niejako  na  podstawie prac  [4]  i  [5].  2.  Ogólne  rozwią zanie  dla  składowych  stanu  naprę ż enia  N a  podstawie  [10]  dwuwymiarowy  stan  n a p r ę ż e n ia  w  półprzestrzeni  wyznaczamy  ze  w z o r ó w  (2.1)  aaB  =  a'ap  +   a'a'fi,  033  =  « 3 3 +  033,  (2­2)  /Ля 3  =  / 4 > + / ^ ' з ,  i"3a  =  / 4 а  +  <«3«  (CC,  в  =  1,2).  394  J.  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  D l a  wyznaczenia  r r 3 J ,  а '33, а33  oraz ц3х,  /л '3х,  ц3х  pozostają  słuszne  wzory  (2.3)  С Т 33  Щ Щ < . °"  + ° ^ >  ^ = у + ­ ^ з ,  ( «  = 1 , 2 ) .  Wielkoś ci a'a!i,  a'3i  są  s k ł a d o w y m i  tensora  n a p r ę ż eń  dla  odpowiedniego  rozwią zania  klasycznego.  « P r i m o w a n e »  n a p r ę ż e n ia  momentowe /u'x3 wyliczamy  ze  w z o r ó w  (2.4)  A*i3  — •  2  ­\а1г л ~°\  1,2  +  ^33,2)­ / «23  =  (022,1 ­  ^з з, 1  ­ 0 1 2 , 2 ) ­ 2/ł  D l a  rozwią zania  uzupełniają cego  obejmują cego  s k ł a d o w e  n a p r ę ż eń  siłowych  а 'я'р ,  a33  i  naprę ż eń  momentowych  /л 'х'3,  /i3x  pozostają  słuszne  wzory  w  postaci  całek  Fouriera  (2.5)  oraz  • (2.6)  a,, = 00  ?L­/ £l[<|­A°<0),l+ra  + 2a0C 2  \e 2 I p-pxi __ JILe­1*1*1) e-* x* d£f 00  Q  e­iix*dŚ ,  ,/2лГ  .'  Ill  Д о ( 1)  ( l ­ A 0 ( f ) ) | f | . v 1 e ­ ! ^ '  +  +  2 e „ f 2 ­ ­  ( e ­ < w » ­ e ­ | ł | * 0 e-' d̂t, Q  i  1 у  2л   СО  г   e U 2  e­,ix*dS  /«13  =  ­ | £  Г I ^ T t O  ­Ao(0)e­^­e­"x']e­^di,  \/2л  J  Д о («  ­00  2 я 0  r™  ^ 2 3  "  ^  J  Д о( 0 J  A 0 (  (1  ­ A o ( 0 ) e ­ i « i * . _  JH­e­" x'je­'f X j^,  i4  ! Ł V \  =  « E » ,  OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ  W  OŚ RODKU  MIKROPOLARNYM  395  gdzie  wprowadzono  oznaczenia  (2.7)  ,  li1  r  4i]  '  ,  A­o(f)  =  l + 2 a 0 l 2 ( l  ­  Щ ,  ,2  _  (У  +  « ) ( Р +  а)  .  _  (у +  е )(Я + 2//>  (2.8)  / 2  =  v ,  ,  ^  ,  ^  Symbole  ot,  Я,  y,  £  oznaczają  stałe  m a t e r i a ł o w e .  W i e l k o ś ć  />*(£)  oznacza  wykładniczą   transformację  Fouriera  [7]  w y k o n a n ą  na  funkcji  p *(x2),  00  (2.9)  p4£)  =  ­ L ­  Г  p *(x2)e^*d i.  v  2л  J  — oo  3.  Półprzestrzeń  pod  działaniem  rozłoż onych  obcią ż eń  normalnych  (1),  stycznych (2)  i momentowych (3)  P r z y p a d e k  1.  Obcią ż enie  normalne  ( / ' = 1 ) .  Warunki  brzegowe  zapisujemy  tu  w  postaci  (3.1)  О ц(0,  x2)  =  ­Pi{x2),  o l2(0,x2)  =  O,  (i13(0,  x2)  =  0.  Ponadto  od  rozwią zania  okreś lają cego  o­I/?,  <У33,  / г а 3,  ц3а  wymaga się, aby  dla  (xf + xl) 112  ­*  ­>  co  odpowiednie  składowe  dą ż yły  do  zera.  Warunek  w  n i e s k o ń c z o n o ś ci  uwzgl ę dni ony  jest  w  rozwią zaniu  o g ó l n y m  (2.1)­ь  (2.9),  wobec  czego  przy  f o r m u ł o w a n i u  w a r u n k ó w  brzegowych  bę dziemy  go  p o m i j a ć .  Rozwią zanie  klasyczne  cr^  spełnia  dwa  pierwsze  warunki  (3.1).  Z  uwagi  na  nieparzys­ tość  f u n k c j i р { ( х 2 )  ma  ono  p o s t a ć  [por.  [6],  287]  У 2л  J  2  °°  (3.2)   a'22=~~i?wf ̂ i(l)(1~^i)e~fx,sin^)^!  0 2д г,  ° 2 1  =  ~ I  ^ ( D ^ ' c o s ^ x , ) ^ .  | / 2 T E  J  '  о   « P r i m o w a n e »  n a p r ę ż e n ia  momentowe  wyznaczamy  z  (2.4)  przy  uż yciu  (2.3)  i  (3.2)  oo  • _  fi\ 3  =  Г  u ( f ) & ­ f * « c o s ( £ j c 2 ) r f £ ,  1/27Г   J  '  о   (3.3)  00  /"23  =  4 а °  f ^ , ( D f e ­ « X l s i n ( f * 2 ) r f f .  1/2зг  J  '  о   R o z w i ą z a n ie  okreś lają ce  (тяд  i  / z ^  uzyskujemy  ze  w z o r ó w  (2.5),  (2.6)  p o d s t a w i a j ą c  (3­4)  /3*(1) = /5,(1)  396  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  i  uwzglę dniając  (1.3). W ten  s p o s ó b  otrzymamy  2  г  Щ )  V2T7  J  Ao(sł)L  + 2a0 e  \er~* ­  ­  «"­*"«jJ  sin(|x2)dS,  0"22  =  2  ]/2яГ   00  w  i  /  Ј щ [ о ­ л о ( 1 ) ) ( ­ 1 + ^ ) е ­ ^ +  ( 3 5 )  + 2 a 0 f 2 ^ " ' ' ' t l ­  ­ | e ­ f j c ' j j s i n ( | x 2 ) ^ ,  ' о   '  о   + 2я0121 ( | т е ­ " *1 ­  e ­ f x ' ) | cos (f*2) rf| oraz  со   ' ' " " W  /  ­A7(f­K1­A<>(f))e'te,­e"'x']cos<^>*'  '  d  '  o  P r z y p a d e k  2.  Obcią ż enia  styczne  (i =  2).  W a r u n k i  brzegowe  mają  tu  p o s t a ć   (3.7)  a „ ( 0 ,  x 2 )  =  0 ,  .  /•2  L  2 | / 2  8 f 2 / 2  U  j  I­ 1  dla £ -* co. T r a n s f o r m a n t ę  sinusową  obcią ż enia  pt(£) przedstawiamy  w postaci  wzoru  [8]  2  »?  (4.3)  Ш  =  ­j=  ­f  + 0 ( f " 3 ) ,  dla £ ­  co.  Symbol  0(f"")  oznacza  wyraż enie,  k t ó r e  przy £ -* co zachowuje  się j a k £~".  Wykorzystując  rozwinię cia  (4.1) +(4.3)  i  b i o r ą c  pod  uwagę  tylko  te  czę ś ci  funkcji  p o d c a ł k o w y c h ,  k t ó r e  przy  xt  =  x2  =  0  i  przy  £ ­> co  są  r z ę du  0 ( f ­ 1 )  lub  wię kszego  [por.  [3 + 5],  [7]],  oraz  korzystając  z  [9],  otrzymamy  P r z y p a d e k  1.  N a p r ę ż e n ia  siłowe  2/7?/  _  x2  xtx2\  4/??  a0  л ­,л ­2  =  " — ( t a n  i — +  ­ 7 T T J + —  — + T a ­ — + 0 0 ) .  c r 2 2 ( x 1 , X 2 ) =  ­ M l t a n ­  '  ­  ]  +  7Г   ^2  _  XjX2  \  Xi  r2 J  (4.4)  + M ­ $ 7 T ­ ^ ) + 0 ( D ,  N a p r ę ż e n ie  momentowe  tyl  QQ  я  а 0  +  /  (4.5)  ^1з (хих2)  =  ­ ­ „ "  ­  ° , 2 x , l o g r  +  0 ( l ) ,  * 2 )  = M  ­ ^ t a n ­ ­ ^  +0(1).  400  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  P r z y p a d e k  2.  N a p r ę ż e n ie  siłowe  2p°2  xj  4p°2  a0  xi  On(xl,x2)  =  ,  ­  ,2  ~r  +0(1),  n r  n  a0  + i  r  ( 4 . 6 )  „,<*„*,)­  _ М (м ­ . ^ ­ ^ ) _ М ^ _ +̂ 0 ( 1 ) ,  2pS  cr2,  ( x , ,  .v2)  =  ­  I t a n ­ 1  ­  I +  ­V  i  %2  x .  ­1  * 2  Xl  x2  '  *1  r 2  4p°  a0  I.  x 2  xtx2  I tan  ­ л;  а0  +  г  \  Xi  2r z  N a p r ę ż e n ia  momentowe  (4.7)  2p2  a0  xtx2  >• „(*,.«,) = —  +00),  P r z y p a d e k  3.  N a p r ę ż e n ia  siłowe  2A_ _ i  я  a 0 + f  ffn(x,,  * 2 )  =  z 1 ­  _  ,  t 2  * i l o g r + 0 ( l ) ,  e22(Xi  ,x2)=  ­  —J­  ——гT^"^!  l o g r  +  0 ( l ) ,  2pg  1  Л  a 0 + / 2  <4.8)  o12(xltx2)=  ­   2 p l  L  v , t a n ­ ^ + 0 ( l ) ,  n  a 0 +l  Xi  o21(Xl,x2)  =  L  v l t a n ­ ^ + 0 ( l ) .  N a p r ę ż e n ia  momentowe  fi3(xi,x2)=  ­ M t a n ­ ' ^ + 0 ( l ) ,  . £  Л]  (4.9)  f*23(xi,x2)  =  ­ ­ ^ ­ l o g r  +  0 ( l ) .  We  wzorach  ( 4 . 4 ) ( 4 . 9 )  symbol  0(1) oznacza  czę ść  r e g u l a r n ą  rozwią zania.  Ponadto  zachodzi  ­ ­ ^ < t a n ­ ' * 2 ­ <  *  г  =  > / л Т + Т Г.  2  X i  2  OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ Ż EŃ W OŚ RODKU  MIKROPOLARNYM  401  W  przypadku  1 ze  w z o r ó w  (4.4)  i  (4.5)  w i d a ć ,  że  dla  r ­» 0 o s o b l i w o ś ć  rzę du  O(logr)  wykazuje  s k ł a d o w a  c r 2 1 .  P o z o s t a ł e  n a p r ę ż e n ia  są r z ę du  0(1).  W  przypadku  2  osobliwość  logarytmiczn ą  wykazują  s k ł a d o w e  a22,  a33  (wzory  (2.3)  i  (4.6) 2 ).  Natomiast  p o z o s t a ł e  s k ł a d o w e  pozostają  s k o ń c z o n e.  W  przypadku  3  (wzory  (4.8)  i  (4.9))  s k ł a d o w e  n a p r ę ż eń  siłowych  oraz  fil3  są  r z ę du  0(1),  natomiast  dla  r ­*• 0 fi23  i  fi32  wykazują  osobliwość  logarytmiczną  (wzór  (2.3) 2  i  (4.9) 2 ).  W p r o w a d ź my  biegunowy  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  (г,  в ):  (4.10)  x1=rs'md,  х2  =  г с о &в ,  tan"­ 1 — ­  = ~  ­  в  (0 <  0 ̂  л )  i  zapiszmy wzory  (4.4)­"­ (4.9)  w  tym  u k ł a d z i e .  P r z y p a d e k  1.  N a p r ę ż e n ia  siłowe  аы(г ,  в ) =  ­ ^ ( ^ ­ 2 6  + s i n 2 0 ) + ­ 2 ^  — ^ T 2 ­ s i n 2 e + 0 ( l ) ,  л  л  a0 + l~  a22{r,  0)  =  ­  ^ ° ­ f a ­ 2 g ­ s i n 2 0 )  +   a°  , ,  ( 7 r ­ 2 f l ­ s i n 2 0 ) + O ( l ) ,  л  л  а0 +  г   (4.11)  ffl2(r,0)  =  M s i n 2 e _ M _ ^ _ s i n 2 6 + o ( 1 ) ,  a a i ( r ,  0) = ̂   s i „ 2 0 ­ M _ ^ _ ( l o g r + | s i n 2 e ) + o ( 1 ) .  N a p r ę ż e n ia  momentowe  f *i 3(r ,  0)  =  ­   2 / > 1  "1, 2  r s i n e i o g r + 0 ( l ) ,  (4.12)  ^ е )  =  ­ | 1 ^ ( т ­ ° ) " 1 п е + 0 ( 1 ) ­ P r z y p a d e k  2.  N a p r ę ż e n ia  siłowe  ffu(r,  0)  =  M 8 i n 2 f l _ M _ f ° ^ i n ­ ­ 0 + o ( l ) ,  Ti  л  a0 + l  (4.13)   0,  z a r у w n o  dla przypadku  (i =  1) jak i  dla (/  =  2)  zachodzi  (4.18)  < # ­ > 0 ,  ^ з ^О  ( a , / 3 = 1 , 2 ) .  We  wzorach  (4.4),  (4.6),  (4.11),  (4.13)  pozostają  tylko  n a p r ę ż e n ia  a'^ reprezentują ce  od­ powiednie  rozwią zania  klasyczne  (por.  [6]).  G d y    л  i  — Lv  ff»(r'fi)=4p27logf+0(,)'  ffi 2(r,  0)  =  ­ ^ j  ^ ­ 2 0 + ~ £ ^ s i n 2 2 f 3 j + 0 ( 1 ) ,  ff2i(r,  в)  =  ­  — l~l V  (­7g+2e+sin2e)+0(l).  N a p r ę ż e n ia  momentowe  (4­22)  P i s f r ,  в) =  0(1),  p „ ( r ,  0) = 0(1).  Dyskusja  w z o r ó w  (4.15)  i  (4.16)  dotyczą ca  przypadku  (3) wymaga  zanotowania  granic  (4­23)  l i m  —pr­ =  0,  l i m  =  — — —  * .  :  a ­ o  a0  + l 2  a­oo a0  + l 2  ( 3 ­ 2 v ) ( / * ) 2 '  /*  oznacza  tu  w y m i a r o w ą  stałą  sprę ż ystoś ci  z  teorii  ze  zwią zanymi  obrotami.  D l a a  ­+ 0  otrzymujemy  o ś r o d ek  mikropolarny  przenoszą cy  tylko  n a p r ę ż e n ia  momentowe  (wzory  (4­16)).  Podstawiając  (4.23)2  do  w z o r ó w  (4.15)  otrzymujemy,  w  połą czeniu  z  niezmienionymi  wzorami  (4.16),  rozwią zanie  teorii  ze  zwią zanymi  obrotami  w  u k ł a d z i e  (r,  6) lub  wzory  (4.8),  (4.9) w u k ł a d z i e  (JC, ,  x2).  5.  Uwagi  koń cowe  W  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  w  punkcie  niecią głoś ci  obcią ż enia  px(x2)  (a  =  1,2)  wszystkie  s k ł a d o w e  n a p r ę ż eń  są  s k o ń c z o ne  dla przypadku  1,  natomiast  dla przypadku  2  tylko  s k ł a d o w e  a22  i  a33  wykazują  osobliwość  logarytmiczną  przy  r ­* 0.  Wszystkie  skła­ dowe  natomiast  (w  obu  przypadkach)  są  niecią głe  w  p o c z ą t ku  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y ch  w  tym sensie,  że przy  ustalonych  0 dla r ­» 0  otrzymujemy  róż ne  w a r t o ś ci  n a p r ę ż e ń.  W  teorii  mikropolarnej,  analizując  przypadek  1  i  2,  o p r ó c z  niecią głoś ci  n a p r ę ż eń   w  punkcie  skoku  obcią ż enia  px(x2)  i  osobliwoś ci  logarytmicznej  s k ł a d o w y c h  a22,  a33  (przypadek  2),  zwraca  u w a g ę  logarytmiczna  o s o b l i w o ś ć  składowej  cr 2 i  (przypadek  1)  przy  r ­> 0.  Stanowi  to  istotną  róż nicę  w  odniesieniu  do  rozwią zania  klasycznego.  P o z o ­ stałe  s k ł a d o w e  n a p r ę ż eń  z a r ó w n o  siłowych  jak  i  momentowych  są  r z ę du 0(1).  W  stosunku  do  teorii  ze  zwią zanymi  obrotami  teoria  mikropolarnej  sprę ż ystoś ci  nie  wnosi  ż a d n y ch  róż nic  o d n o ś n ie  rzę du  osobliwoś ci  składowyc h  n a p r ę ż e ń.  R ó ż n i ca  tkwi  we  w s p ó ł c z y n n i k a c h  intensywnoś ci  i  w  moż liwoś ci  otrzymania  p r z y p a d k ó w  granicznych  (a  =  0, a  =  oo). Jak w i d a ć  ze w z o r ó w  (4.4)­н (4.7)  oraz  ze w z o r ó w  (4.11)н ­(4.14),  w s p ó ł ­ 404  J .  DYSZLEWICZ,  St.  MATYSIAK  czynniki  intensywnoś ci  osobliwoś ci  teorii  mikropolarnej  o d p o w i a d a j ą ce  n a p r ę ż e n i om  аФ  /4'з  są bezwymiarowe  i  zależą  od stałych  m a t e r i a ł o w y c h .  N i e  m o ż na  tego  powiedzieć   o  osobliwoś ciach  teorii  ze  zwią zanymi  obrotami,  gdzie  współczynniki  intensywnoś ci  osobliwoś ci  n a p r ę ż eń  zależą  (przypadek  1,2) od wymiarowej  stałej  sprę ż ystoś ci  /*  (por.  [3­:­5]). W teorii  tej przejś cie  z /*  ­» 0 nie  prowadzi  do rozwią zania  klasycznego.  Szczegó­ łowe  o m ó w i e n i e  i  wyjaś nienie  tego  faktu  znaleźć  m o ż na  w pracy  [3] na  41.  Oddzielnego  o m ó w i e n i a  wymaga  przypadek  3.  Nieklasyczny  charakter  obcią ż enia  (warunki  brzegowe  (3.13))  powoduje,  że rozwią zanie  klasyczne jest  t o ż s a m o ś c i o we  r ó w n e  zeru  i rozwią zanie  teorii  mikropolarnej jest  o k r e ś l o ne  przez  n a p r ę ż e n ia  z dwiema  kreskami.  R o z w i ą z a n ie  to  dla  a ­> 0 nie  dą ży  do zera  jak  w przypadku  1 i 2  (pozostają  n a p r ę ż e n ia  momentowe r ó ż ne  od  zera) i nie  prowadzi  do  rozwią zania  dla  klasycznego  o ś r o d ka  Hooke'a,  lecz  do pewnego  o ś r o d ka  hipotetycznego,  w  k t ó r y m  moż liwe  są  tylko  obroty  cp3.  R e ­ zultat  ten  jest  usprawiedliwiony  tym,  że obcią ż enie  momentowe  na brzegu  p ó l p r z e s t r z e n i  powinno  być  z r ó w n o w a ż o ne  pewnym  polem  n a p r ę ż eń  momentowych  w  jej  w n ę t r z u.  Zwraca  tu  r ó w n i e ż  u w a g ę  fakt,  że współczynnik  intensywnoś ci  osobliwoś ci  n a p r ę ż eń   momentowych  [wzory  (4.9)  lub  (4.16)] jest  bezwymiarowy  i  nie  zależy  od stałych  materia­ łowych,  natomiast  dla  n a p r ę ż eń  siłowych  w s p ó ł c z y n n i k  ten [wzory  (4.8)  lub  (4.15)]  zależy  od  stałych  m a t e r i a ł o w y c h  i przestaje  być  bezwymiarowy.  Przejś cie  do teorii  ze  zwią zanymi  obrotami  (a ­+ oo) daje  dla n a p r ę ż eń  siłowych  współczynnik  intensywnoś ci  zależ ny  od  stałej  sprę ż ystoś ci  /*. Z a u w a ż my  wreszcie,  że dla r ­>• 0  wzory  (4.15)  i  (4.16)  implikują   osobliwość  logarytmiczną  dla ц г з   i JU32  oraz  o s o b l i w o ś ć  rzę du  0(1)  dla ц 13  i /u3l. Literatura cytowana  w  tekś cie  1.  W.  NOWACKI,  Teoria niesymetrycznej sprę ż ystoś ci,  PWN,  Warszawa 1971.  2.  W.  NOWACKI, Plane problems of micropolar elasticity,  Arch.  Mech. Stos., 5, 23 (1971), 587—611.  3.  M .  SOKOŁOWSKI,  O teorii naprę ż eń  momentowych,  PWN,  Warszawa 1972.  4.  D .  B.  BOGY  and ELI  STERNBERG,  The  effect  of  couple­stresses  on singularities  due  to  discontinuous  loadings,  Int. J . Solids Structures, 3, 757 (1967).  5.  ROKURO  MUKI  and ELI STERNBERG,  The  influence  of couple­stresses  on  singular  stress  concentrations  in elastic solids,  Z.  angew.  Math.  Phys.,  16, 611 (1965).  6.  W.  NOWACKI,  Teoria  sprę ż ystoś ci,  PWN,  Warszawa 1970.  7.  I. N .  SNEDDON, Fourier transforms,  Mc  Graw­Hill  Book Company, Inc.  New  York—Toronto—London  1951.  8.  A.  ERDELYI, Rozwinię cie  asymptotyczne,  PWN,  Warszawa 1967.  9.  И . С. Г Р А Д Ш Т Е Й Н,  И . M .  Р И Ж И К,  Т а б л и ц ы  и н т е г р а л о в ,  с у м м ,  р я д о в ,  п р о и з в е д е н и й ,  И з д.  Н а у к а,  М о с к ва  1971.  10.  J .  DYSZLEWICZ,  S.  MATYSIAK,  Osobliwoś ć  naprę ż eń  siłowych  i  naprę ż eń  momentowych  w ciele  mikro­ polarnym  wywołana  obcią ż eniami  skupionymi (I), Mech. Teor. i Stos., 4,  11 (1973), 363—391.  Р е з ю ме   С И Н Г У Л Я Р Н О С ТИ  Н А П Р Я Ж Е Н ИЙ  В  Л И Н Е Й Н ОЙ  М И К Р О П О Л Я Р Н ОЙ  С Р Е Д Е,  В Ы З В А Н Н ЫЕ  Р А З Р Ы В А МИ  Н А Г Р У З ОК  (II)  В  р а м ах  л и н е й н ой  м и к р о п о л я р н ой  с р е ды  р а с с м о т р е на  с т а т и ч е с к ая  з а д а ча  об  у п р у г ом  п о л у п р о­ с т р а н с т ве  в п л о с к ом  д е ф о р м и р о в а н н ом  с о с т о я н и и,  о п и с ы в а е м ом  в е к т о р а ми  u ( « i ,  и2,  0)  и  <р (0,  0,  <р3)  на  к р ай  п о л у п р о с т р а н с т ва  в о з д е й с т в у ют  с т а т и ч е с к ие  р а с п р е д е л е н н ые  р а з р ы в н ые  н а г р у з ки  (к а с а­ OSOBLIWOŚĆ  NAPRĘ Ż EŃ W OŚ RODKU  MIKROPOLARNYM  405  т е л ь н ы е,  н о р м а л ь н ые  и  м о м е н т н ы е ).  Д ан а н а л из  х а р а к т е ра  о с о б е н н о с т ей  в  с и л о в ых  и  м о м е н т н ых   н а п р я ж е н и ях  в т о ч ке  р а з р ы ва  н а г р у з о к.  Р а с с м о т р е ны  п р е д е л ь н ые  с л у ч аи  к л а с с и ч е с к ой  у п р у г о с ти   (а  =  0)  и  с в я з а н н ых  в р а щ е н ий  (а = о о ).  S u m m a r y  STRESS  SINGULARITY  IN  A  L I N E A R  MICROPOLAR  M E D I U M  P R O D U C E D  BY  DISCONTINUOUS  LOADS  The static problem of a micropolar elastic half­space in a plane state of strain (represented  by the vectors  u  ( M J , u2,  0) and cp (0,0,  q>3)  due to discontonuous  (normal, tangential and couple) loadings at the bound­ ary  is  considered.  For these  loadings,  the singularites of stresses and couple­stresses are discussed. Two  limiting  cases  are  considered: а ­> 0  (classical  theory  of  elasticity)  and  а ­>  oo  (couple­stress  theory of  elasticity).  INSTYTUT  MECHANIKI  UNIWERSYTETU  WARSZAWSKIEGO  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia 5 marca  1973 r.  5  Mechanika  Teoretyczna  4/73