Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  4,  11  (1973)  KSZTAŁTOWANIE  RUROCIĄ GU  O ZMIENNEJ  Ś REDNICY,  WYKAZUJĄ CEGO  PEŁNE  UPLASTYCZNIENIE  W  STADIUM  ZNISZCZENIA  ZDZISŁAWA  K O R D A S  (KRAKÓW)  1.  Wstęp  Metody  optymalnego  projektowania  konstrukcji  z  uwagi  na  n o ś n o ść  graniczną  (mini­ mum  obję toś ci  przy  ustalonej  noś noś ci  granicznej)  b u d z ą  w  ostatnich  latach  szczególne  zainteresowanie.  Omawiane  są mię dzy  innymi  w pracach  WASIUTYŃ SKIEGO  i  BRANDTA  [7],  RETMANA  i  SZAPIRO  [5],  SHEU  i  PRAGERA  [6].  W  podstawowych  pracach  DRUCKERA  i  SHIELDA  [1],  [2]  oraz  MROZA  [4]  stwierdzono,  że w  optymalnej  konstrukcji  w  stadium  zniszczenia  uplastycznione  być powinno  bą dź  całe  ciało,  bą dź  też moż liwie  wielki pod­ obszar  tego  ciała.  W  pracy  KORDAS  i  Ż YCZKOWSKIEGO  [3]  badano  problem  pokrewny  do  problemu  optymalnego  k s z t a ł t o w a n i a .  Zajmowano  się  mianowicie  poszukiwaniem  k s z t a ł t ó w  ciał  podlegają cych  c a ł k o w i t e m u  uplastycznieniu  w  stadium  zniszczenia.  D o  analizy  wybrano  stosunkowo  prosty  nietrywalny  przypadek,  poszukując  takich  k s z t a ł t ó w  niekołowych  cylindrów  g r u b o ś c i e n n y c h,  k t ó r e  w  warunkach  płaskiego  stanu  o d k s z t a ł ­ cenia  wykazują  pełne  uplastycznienie  przy  wyczerpaniu  noś noś ci  granicznej  pod  działa­ niem  stałego  ciś nienia  zewnę trznego  i  w e w n ę t r z n e g o.  W  niniejszej  pracy  zaję to  się również  problemem  k s z t a ł t o w a n i a  k o ł o w y c h  cylindrów  g r u b o ś c i e n n y c h.  Zagadnienie  dotyczy  jednak  cylindrów  niepryzmatycznych,  tzn.  ruro­ cią gów  o  ś rednicy  zmieniają cej  się wzdłuż  osi r u r o c i ą g u,  poddanych  działaniu  zmiennego  ciś nienia  w e w n ę t r z n e g o.  Tego  typu  r u r o c i ą g  m o ż e  być  odcinkiem  łą czą cym  dwa rurocią gi  pryzmatyczne  o  r ó ż n y ch  ś r e d n i c a c h.  Podobnie jak w pracy  [3] dla uzyskania  poszukiwa­ nego,  optymalnego  k s z t a ł t u  zastosowano  kryterium  całkowitego  uplastycznienia  przy  wyczerpaniu  n o ś n o ś ci  granicznej.  2.1.  R o z w a ż a my  poziomy  r u r o c i ą g  g r u b o ś c i e n ny  o  osi  geometrycznej  pokrywają cej  się  z  osią  z,  o  promieniu  w e w n ę t r z n ym  a(z) i promieniu  z e w n ę t r z n ym  b(z), poddany  dzia­ łani u  zmiennego  ciś nienia  p(z)  =  p  (rys. 1). Z a k ł a d a m y ,  że w  przekroju  z  = 0,  ciś nienie  i  p r ę d k o ść  przepływają cego  p ł y n u  o k r e ś l o ne  są  odpowiednio  przez  p0  i  v0,  natomiast  wymiary  cylindra  przez  p r o m i e ń  w e w n ę t r z ny  a0  i  zewnę trzny  b0.  R o z k ł a d  ciś nień  wzdłuż   osi  r u r o c i ą gu  z a k ł a d a m y  zgodnie  z  prawem  Bernoulli'ego  oraz  z  r ó w n a n i e m  cią głoś ci  strugi  dla  p ł y n u  idealnego,  mianowicie:  2.  Założ enia  i równania podstawowe  (2.1)  8  456  Zdz.  KORDAS  gdzie g  oznacza  przyspieszenie  ziemskie,  у  —  cię ż ar  właś ciwy  p ł y n u ,  F i F0  —  pole  prze­ kroju  strugi  odpowiednio  dla  dowolnego  z i  dla  z  = 0.  Rys.  1. Odcinek  łą czą cy  dwa  rurocią gi  pryzmatyczne o róż nych  ś rednicach  2.2.  R o z w a ż a ny  problem  wykazuje,  przy  p o m i n i ę c iu  cię ż aru  w ł a s n e g o ,  cechy  k o ł o w e  symetrii.  R ó w n a n i a m i  podstawowymi  bę dą  więc  nastę pują ce  r ó w n a n i a  zapisane  we  współ­ r z ę d n y ch  walcowych:  a)  dwa  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  wewnę trznej  ( r ó w n a n i a  n a p r ę ż e n i o w e ):  dor  orr2L  o y ­ o ­ ą  =  0  dr  dz  r  (2.2)  dffz  3TTZ  Jrz_ _  Q .  dz  dr  r  b)  dwa r ó w n a n i a  nierozdzielnoś ci  ( r ó w n a n i a  geometryczne):  ea+r­^­­er  =  0,  (2.3)  dz  dr  dz2  c)  warunek  plastycznoś ci  Hubera­Misesa­Hencky'ego,  o  k t ó r y m  założ ymy,  że ma  być  s p e ł n i o n y  w k a ż d ym  punkcie  c i a ł a :  (2.4) ( ( Tr -( T9 ) 2 + ( f f s ­ o ­ z ) 2  + ( f f z ­ ( T r ) 2  + 6T r 2 z  =  2Q 2;  d)  prawo  zmiany  obję toś ci  dla m a t e r i a ł u  nieś ciś liwego:  (2.5)  е г + е э + е :  = 0;  e)  trzy  r ó w n a n i a  prawa  zmiany  postaci,  k t ó r e  m o g ą  być interpretowane  bą dź  j a k o  r ó w n a n i a  Hencky­Iliuszyna,  bą dź  L e v y ­ M i s e s a :  ,  cr9,  a,,  rrz,  sr,  e 9 , ez,  yrz  oznaczają  s k ł a d o w e  n a p r ę ż eń   i  o d k s z t a ł c e ń  bą dź  p r ę d k o ś ci  o d k s z t a ł c e ń ,  cp  —  m o d u ł  zaawansowania  o d k s z t a ł c e ń  pla­ stycznych,  Q —  granicę  plastycznoś ci  przy  r o z c i ą g a n i u.  KSZTAŁTOWANIE  RUROCIĄ GU o ZMIENNEJ  Ś REDNICY  457  2.3.  Zwią zki  mię dzy  ciś nieniem  a  s k ł a d o w y m i  stanu  n a p r ę ż e n ia  na powierzchni  we­ wnę trznej  i  zewnę trznej  r o z w a ż a n e go  cylindra  okreś limy  z  n a p r ę ż e n i o w y ch  w a r u n k ó w  brzegowych:  ^2 ^ Pnr  =  anr  ar  +  anz  rrz,  Pnz  =  a n r r r z + a n z a z ,  gdzie  a„r  i a„z oznaczają  cosinusy  kierunkowe  normalnej  z e w n ę t r z n e j.  N a  brzegu  w e w n ę t r z n ym  (rys.  2)  s k ł a d o w e  ciś nienia  są  r ó w n e  odpowiednio  p„r =  Rys.  2. Rozkład  obcią ż eń  na  brzegu  wewnę trznym  =  pcosfi,  pnz  =  /?sinp\  Cosinusy  kierunkowe  normalnej  zewnę trznej  z osiami  r i z  wyrazi­ my  przez  funkcje  trygonometryczne  k ą ta  /?,  j a k i  tworzy  styczna  do  konturu  (brzegu)  z  osią  z,  mianowicie  anr  =  c o s ( w )  =  —cos/9,  cr„:  =  cos  (/zz)  =  —sin/9.  fifo(z)  (2.8)  P o n i e w a ż  tg/9 = — - j - dz  dz  ­a'(z),  warunki  brzegowe  (2.7)  mają  więc  p o s t a ć :  (2.9)  or­a'(z)rrz  + p  =  0,  %rz  — a'(z)az—a'(z)p  =  0.  N a  brzegu  z e w n ę t r z n ym  (rys.  3)  s k ł a d o w e  ciś nienia  są  r ó w n e  zeru,  natomiast  cosinusy  kierunkowe  normalnej  zewnę trznej  są odpowiednio  r ó w n e :  (2.Ю)  a„r  ­ cos  (nr)  =  c o s y ,  anz  =  cos(/tz)  =  s i n y .  Rys.  3. Brzeg zewnę trzny  rurocią gu  458  Zdz.  KORDAS  P o n i e w a ż  tgy  =  —  — —b'(z), warunki  brzegowe  (2.7)  otrzymujemy  w  postaci:  dz  ar­b'(z)xrz  =  0,  (2.11)  , , ,  .  n  x„­b\z)at  =  0.  3. Rozwią zanie  problemu metodą  małego parametru  3.1.  Poszukujemy  rozwią zania  w  postaci  szeregu  parametru  a,  k t ó r y  charakteryzuje  mał e  o d s t ę p s t wo  promienia  w e w n ę t r z n e go  cylindra  o d  w a r t o ś ci  stałej  a0  ( p r o m i e ń  we­ w n ę t r z ny  dla z  =  0, por. rys. 1). Z a k ł a d a m y  mianowicie  (3.1)  a(z)  =  tf0  +  3 t f i +  • ••   oraz  nastę pują ce  rozwią zania  r ó w n a ń  (2.2),  (2.3),  (2.4),  (2.5) i  (2.6):  (3.2)  X=  Г ­0  gdzie  X  =  ar,  o­9, az,  rrz,  er,  e 9 ,  е .,  tp.  Zerowe  przybliż enia  funkcji  X  są  s k ł a d o w y m  stanu  n a p r ę ż e n ia  i  o d k s z t a ł c e n i a  dla  cylindra  pryzmatycznego  p o d  d z i a ł a n i e m  stałego  ciś nienia  p0,  w  przypadku  p ł a s k i e g o  stanu  odkształcenia .  M i a n o w i c i e  2Q  .  г  С   2Q  ,  r  2Q  С   o­So  =  ­Po+—~­  In —  +  e3o  =  ­ 7 T ,  (3.3)  у з  a°  J/3  2Q  ,  r  Q  C ) / 3  ­Po  +  ­~r  l n  +  ­=f=,  (po =  ' 2  ,  у З  a0 j/3  Qr2  gdzie  С  oznacza  d o w o l n ą  stałą.  W p r o w a d z a j ą c  z a ł o ż o ne  r o z w i ą z a n ia  (3.2)  do  r ó w n a ń  podstawowych  i  p o r ó w n u j ą c  współczynniki  przy  pierwszych  p o t ę g a ch  a, otrzymujemy  u k ł a d  dziewię ciu  r ó w n a ń ,  w  k t ó ­ rych  niewiadomymi  są pierwsze  poprawki  s k ł a d o w y c h  stanu  n a p r ę ż e n i a,  o d k s z t a ł c e n i a  i    fi  dz  dr  dz2  KSZTAŁTOWANIE  RUROCIĄ GU o  ZMIENNEJ Ś REDNICY  459  (3.4)  ° V , ­ o » ,  = 0 ,  he,  Q  [ < 5 d l  еГ 1+е91  + еЯ 1  = 0 ,  V3  9 ? o ( f f e 1 ­ ° ' x 1 ) + 9'i—7=­ =  e 9 l ­ e Z l ,  2^о  т Г Ж1  = у Г Я 1.  W  szereg  parametru  a  rozwiniemy  r ó w n i e ż  ciś nienie  w e w n ę t r z ne  p  i  funkcję  b(z),  okreś lają cą  k s z t a ł t  powierzchni  zewnę trznej  cylindra.  Zapiszemy  mianowicie  "  }  b{z) = a 0 + o 6 i ( z ) + . . . .  gdzie ^ !  wynika  z prawa  r o z k ł a d u  ciś nienia  (2.1) i r ó w n a się   (3.6)  P l  =  ­a^z),  b0  jest  promieniem  z e w n ę t r z n ym  cylindra  w przekroju  z  =  0, a  ^ ( z ) jest  pierwszą p o ­ p r a w k ą  tego  promienia.  W a r u n k i  brzegowe  (2.9) i  (2.11)  (wobec  założ eń  (3.3) i  (3.5))  dla  pierwszego  przy­ bliż enia  przyjmują  nastę pują cą  p o s t a ć :  na  powierzchni  w e w n ę t r z n e j,  dla r = a(z)  ,  2(2  aAz)  ' ' • i » . !+ 7 T ­ i r + ' ' ­ 0 '  (3'7) , a r'T1\r^ao­­^~a[(z)  =  0;  na  powierzchni  z e w n ę t r z n e j,  dla r = b(z)  (3.8)  T „ I U ­ ^ ( Z )  =  0 .  Rozwinię cie  r ó w n a ń  podstawowych  i  w a r u n k ó w  brzegowych  przeprowadzono  w e d ł u g  schematu przedstawionego w pracy  [3].  N a l e ż y  zaznaczyć,  że warunki  brzegowe w zerowym  przybliż eniu  okreś lają  stosunek  promieni  cylindra  pryzmatycznego,  mianowicie  (3.9)  Ь ­  =  e ­ 4 P ° .  a0  3.2.  R ó w n a n i a  podstawowe  (3.4) stosunkowo  ł a t w o  dają  się rozwią zać  przy  z a ł o ż e n iu  p ł a s k i e g o  stanu  o d k s z t a ł c e n i a .  Z a ł o ż y my  mianowicie  ezl  — 0. Z prawa  zmiany  obję toś ci,  prawa  zmiany  postaci  oraz  warunku  plastycznoś ci  wynika,  że pierwsze  poprawki  n a p r ę ż eń   normalnych  są  sobie  r ó w n e ,  tzn.  crrl  =  0) +  C2  Y0(Mo)]  sin(Az),  gdzie  C i  =  BtA2  pozostaje  do  k o ń ca  nieokreś loną  stałą,  spełniają cą  rolę  parametru.  Pierwsze  poprawki  składowyc h  stanu  n a p r ę ż e n ia  są  ostatecznie  nastę pują cymi  funkcja­ m i r  i  z'.  Ti  =  TiO", z)  =  C ,  [71(Ar)  +  C 2 r 1 ( A r ) ] c o s ( A z ) ,  '  o*i  =  ffi(r,z)  =  ­ C ,  [70(А г) +  С 2 Г 0 ( А г ) ] s in  (Az).  4.  Zestawienie  wzorów  koń cowych  i  przykład  liczbowy  4.1.  Wykorzystując  w y n i k i  uzyskane  w  p.  3.3,  przedstawimy  w y r a ż e n ia  na  p r o m i e ń   zewnę trzny  i  w e w n ę t r z ny  k s z t a ł t o w a n e g o  cylindra,  k t ó r y  zostanie  całkowicie  uplastycznio­ ny  w  stadium  zniszczenia.  Są  to  nastę pują ce  funkcje  z   (z  d o k ł a d n o ś c ią  do  pierwszego  p r z y b l i ż e n i a ):  a(z)  =  a0  +  aa0rj[I0(Xao)  +  C2Y0(Aa0)]s\n(Xz)+  (  "  }  b(z)  =  b0  +  «b0[I0W0)  +  C2Y0(M0)]sm(te)  +  ...  gdzie  (4.2)  «  =  ­ g ­ O  jest  nowym  parametrem,  c h a r a k t e r y z u j ą c ym  niepryzmatyczny  kształt  cylindra.  KSZTAŁTOWANIE  RUROCIĄ GU o  ZMIENNEJ Ś REDNICY  463  S k ł a d o w e  stanu  n a p r ę ż e n i a,  z  d o k ł a d n o ś c ią  do  pierwszego  przybliż enia,  o k r e ś l o ne  są  nastę pują cymi  funkcjami  r  i  z.  o­,(r,z)  = ^ J ł n ~ ­ ­ a [ / 0 ( A r )  +  C 2 F 0 ( A r ) ] s i n ( A z ) 4 ­  . . . j ,  oa(r,z) = y = - {  l n - T  ̂+  l j ­ a [ / o ( A r )  +  C 2 7 0 ( A / ­ ) ] s i n ( z z ) . . . j ,  (4.3)  oz{r,z)  2g  1/3  JL  1  &o~  +  2  l n +  ^  ­  o[/ 0 (Ar) +  C 2 Fo(Ar)]sin(Az)  +  . . . ) ,  r r z ( r ,  z)  =  ^ { S [ / 1 ( A r )  +  C 2 r 1 ( ; . r ) ] c o s ( A z ) +  . . . } .  1/3  R ó w n a n i a  (4.1)  m o g ą  być  wykorzystane  po  uprzednim  wyliczeniu  w a r t o ś ci  własnej  X  z  r ó w n a n i a  (3.9),  stałej  c a ł k o w a n i a  C 2  z  (3.20),  oraz parametru  a.  Parametr  a  powinien  być   wyznaczony  z  warunku  z g o d n o ś ci  ś rednic  w  przekrojach  łą czą cych  pryzmatyczne  czę ś ci  cylindra  z  k s z t a ł t o w a n ą  czę ś cią  niepryzmatyczną.  Przyjmijmy,  że  stosunek  promieni  w e w n ę t r z n y ch  cylindró w  pryzmatycznych  wynosi к  =  ajae  (rys.  4)  oraz  że  d ł u g o ś ć  kształ­ towanego  odcinka  wyznaczona  jest  długoś cią  p r z e d z i a ł u  — л /2  <  z/a0  <  л/2.  N a  grani­ cach  tego  przedział u  styczne  do  uzyskanych  k o n t u r ó w  są  poziome,  bowiem  z  r ó w n a ń   (4.1)  wynika,  że  dla  —  =  ± y ,  ­т ­  =  ­~  =  0.  Wyliczając  z pierwszego  z  r ó w n a ń  (4.1)  promienie  w e w n ę t r z ne  k s z t a ł t o w a n e g o  odcinka  dla  z/a0  =  ±л /2  oraz  p r z y r ó w n u j ą c  i c h  stosunek  do  z a ł o ż o n ej  w a r t o ś ci  k,  otrzymujemy  nastę pują cy  w z ó r  na  parametr  a :  (4.4)  a  =  —  ł/(l  + k)[I0(hi0)  +  C 2 F o ( A a 0 ) ] s i n  I  Xa0  2  4.2.  Zbadamy  teraz  kształt  r u r o c i ą g u,  wykazują cego  pełne  uplastycznienie  w  stadium  zniszczenia  na  konkretnym  p r z y k ł a d z i e  liczbowym.  Przy  projektowaniu  r u r o c i ą g ów  zwykle  znane  jest  ciś nienie  p0  i  p r ę d k o ść  v0  przepły­ wają cego  p ł y n u  w  przekroju  z  =  0.  W i e l k o ś ć  ciś nienia  p0  o k r e ś la  stosunek  b0ja0  [wzór  (3.9)].  Jedynie  bowiem  kształty  odbiegają ce  od  pryzmatycznych  o  tak  wyznaczonym  sto­ sunku  ulegną  c a ł k o w i t e m u  uplastycznieniu.  D l a  ułatwienia  obliczeń  założ ymy  a0  =  1,  2 Q  b0  =  1,5,  co  odpowiada  ciś nieniu  p0  =  —%=r­ln  1,5.  1/3  K s z t a ł t  r u r o c i ą g u,  czyli  zmienne  ś rednice  w  funkcji  z,  okreś lilimy  z  w z o r ó w  (4.1).  Wcześ niej  jednak  należy  wyznaczyć  A,  C 2  oraz  w a r t o ś ć  parametru  a.  W  celu  wyznaczenia  w a r t o ś ci  własnej  Я  należy  rozwią zać  r ó w n a n i e  (3.29)  dla  ustalonej  p r ę d k o ś ci  v0  czyli  parametru  щ .  P r ę d k o ść  v0  jest  bowiem  zwią zana  z  parametrem  r\  wyraż eniem  (3.26).  P o n i e w a ż  r ó w n a n i e  (3.29)  jest  trudnym  do  r o z w i ą z a n ia  r ó w n a n i e m  p r z e s t ę p n ym  na  Я,  dla  wygody  rachunkowej  przyjmiemy  więc  A, wyliczając  wielkość  r\  (co  odpowiada  pewnej  p r ę d k o ś ci  v0  przepływają cego  p ł y n u ) .  464  Zdz.  KORDAS  Mianowicie  dla  /.  =  l/a0,  rj  =  0,6239  [z  r ó w n a n i a  (3.29)]  oraz  J2(Xb0)  c ,  =  =  0,2490.  Y2(?.b0)  D l a  powyż szych  danych,  funkcje  okreś lają ce  kształt  cylindra  z  d o k ł a d n o ś c ią  do  pierwszego  przybliż enia  mają  nastę pują cą  p o s t a ć :  a(z)  =  1+0,4911asinz+  b(z)  =  l , 5 + 0 , 9 1 5 0 a s i n z + . . . .  (4.5)  W  dalszym  cią gu  przyjmujemy  ujemną  w a r t o ś ć  parametru  a,  mianowicie  a  =  —0,4330,  co  odpowiada stosunkowi ś rednic wewnę trznych  cylindrów pryzmatycznych к  =  ajcip  = 1 , 5 .  Znaleziony  kształt  dla  powyż szych  danych  zilustrowano  na  rys.  4.  r/a0  Cylinder  pryzmatyczny  '/ / / W//  8  a  ­го   о   a  i  7 -1.0  !