Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS73_t11z1_4\mts73_t11z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  4,  11 (1973)  STACJONARNE  ODDZIAŁYWANIE  UKŁADU  DWU  NIESKOŃ CZENIE  MAŁYCH  DOWOLNIE  Z O R I E N T O W A N Y CH  ELEMENTÓW,  PORUSZAJĄ CEGO  SIĘ  W  OŚ RODKU  S W O B O D N O ­ M O L E K U L A R N Y M  Z  D O W O L N Ą  PRĘ DKOŚ CIĄ   STANISŁAW  K O S O W S K I  (WARSZAWA)  Wstęp  Wyznaczanie  charakterystyk  aerodynamicznych  ciał,  tj.  oporu,  siły  noś nej  i  przeka­ zywania  ciepła,  należy  do  klasycznych z a g a d n i e ń  aerodynamiki.  W  zależ noś ci  o d  potrzeb  współczynniki  te  oblicza  się  w  r ó ż n y ch  r e ż i m a ch  p r z e p ł y w ó w ,  a  więc  w  reż imie  o ś r o d ka  cią głego,  w  reż imie  przejś ciowym  czy  wreszcie  swobodno­molekularnym.  W a r u n k i  swo­ bodno­molekularne  panują  w  o ś r o d ku  wtedy,  jeś li  ś r e d n ia  droga  swobodna  czą steczek  gazu jest znacznie  wię ksza  od  najwię kszej  ze wzajemnych  odległoś ci  ciał w nim zanurzonych.  M o ż na  u w a ż a ć,  że w  takich warunkach  czą steczki  gazu  praktycznie  nie  zderzają  się z  sobą,  zderzają  się  natomiast  z  obiektami  znajdują cymi  się  w  gazie.  O l b r z y m i  wzrost  zaintereso­ wania p r z e p ł y w a m i  w reż imie  swobodno­molekularnym i b l i s k i m  swobodno­molekularnego  nastą pił  wraz  z  otwarciem  moż liwoś ci  przeprowadzania  l o t ó w  i  e k s p e r y m e n t ó w  kosmicz­ nych.  Praktyka  l o t ó w  i  e k s p e r y m e n t ó w  kosmicznych domaga  się  g wałto wn i e  r o z w i ą z a n ia  bardziej  z ł o ż o n y ch  p r o b l e m ó w ;  podejmowane  są  zagadnienia  wyznaczania  charakterys­ tyk  dynamicznych  dla  ciał  bardziej  z ł o ż o n e go  k s z t a ł t u ,  dla  ciał  niewypukłych,  dla  ciał  znajdują cych  się  w  ruchu  obrotowym  i  wreszcie  dla  prostszych  u k ł a d ó w  ciał.  Zagadnienie  opływu  ciała  w y p u k ł e g o  zasadniczo  róż ni  się  od  zagadnienia  opływu  d l a  ciała  wklę słego  czy  też  u k ł a d u  ciał.  K o n i e c z n o ś ć  uwzglę dnienia  wielokrotnych  o d b i ć   czą steczek  gazu  p o m i ę d zy  r ó ż n y mi  czę ś ciami  powierzchni  ciała  wklę słego  lub  r ó ż n y mi  powierzchniami  dla  u k ł a d u  ciał  jest  ź r ó d ł em  p o w a ż n y ch  komplikacji  matematycznych.  F a k t  ten  m o ż e my  wyrazić  inaczej  w  ten  s p o s ó b ,  że  dla  ciał  niewypukłych  i  u k ł a d ó w  ciał  należy  uwzglę dniać  efekty  interferencji  swobodno­molekularnej.  Literatura  d o t y c z ą ca  jednak  samej  interferencji  ciał  w  gazie  lub  przepływie  swobodno­molekularnym  jest  z a ­ dziwiają co  uboga;  na  przestrzeni  ostatnich  kilkunastu  lat  u k a z a ł o  się  w  p i ś m i e n n i c t w ie  ś w i a t o w ym  (powszechnie  d o s t ę p n y m)  zaledwie  kilkanaś cie  prac,  z  czego  tylko  k i l k a  jest  sensu  stricto  zwią zanych  z  tematem  niniejszej  pracy.  W i ę k s z o ść  tych  prac  dotyczy  interferencji  najprostszych  ciał  i  w  najprostszej  geometrii  przy  założ eniu  hipersonicznoś ci  p r z e p ł y w u  i  dyfuzyjnego  lub  maxwellowskiego  o d d z i a ł y w a n i a  gazu  z  powierzchnią.  I  tak  w  pracy  [6]  r o z w i ą z a ne  jest  zadanie  o  aerodynamicznym  o d d z i a ł y w a n i u  d w u  płytek  p r o s t o k ą t n y c h,  tworzą cych  k ą t  prosty,  w  strumieniu  swobodno­molekularnym  nacierają cym  w z d ł u ż  wspólnej  k r a w ę d zi  płytek,  przy  z a ł o ż e n iu  modelu  dyfuzyjnego.  W  pracy  [4]  rozpatruje  się dwie jednakowe,  r ó w n o l e g ł e  do  siebie,  p r o s t o k ą t ne  płaszczyzny  418  St.  KOSOWSKI  0  tej  samej  temperaturze  w  strumieniu  swobodno­molekularnym,  napływają cym  p o d  ze­ rowym  k ą t em  natarcia  równolegle  do  jednej  z  k r a w ę d z i,  również  przy  założ eniu  modelu  dyfuzyjnego  —  siły  interakcji  starają  się  o d e p c h n ą ć  płaszczyzny.  Z  kolei  podobny  problem  dla  dwu  okrą głych  równoległych  płytek,  p o ł o ż o n y ch  w  pewnej  odległoś ci  od  siebie  na  wspólnej  osi,  rozwią zuje  autor  [5]  numerycznie  m e t o d ą  M o n t e ­ C a r l o ,  k o n t r o l u j ą c  takie  parametry,  jak  liczba  M a c h a  napływają cego  strumienia,  kąt  natarcia,  stosunki  promieni  1 temperatur,  współczynniki  akomodacji  i  dyfuzyjnoś ci.  Problem  o d d z i a ł y w a n i a  dwu  ciał  s k o ń c z o n y ch  r o z m i a r ó w  poruszają cych  się w  o ś r o d ku  swobodno­molekularnym,  tj.  problem  wymiany  p ę du  i  energii  p o m i ę d zy  ciałami  i  o ś r o d­ kiem  jest  na  tyle  z ł o ż o n y,  że  nie  daje  się  w  s p o s ó b  ś cisły  i  analityczny  rozwią zać  nawet  w  najprostszym  przypadku,  tj.  spoczywają cych  ciał  o  najwyż szej  symetrii  (kule),  przy  założ eniu  również  najprostszego—dyfuzyjnego  modelu  odbicia  [8].  Ś ciś le  analitycznie  u d a ł o  się  jedynie  rozwią zać  zagadnienie  wymiany  ciepła  dla  poruszają cego  się  u k ł a d u  dwu  k u l  o  r ó w n y c h  temperaturach  w  założ eniu  dyfuzyjnego  modelu  odbicia  [11].  Inne  szczególne  przypadki  np.  małyc h  p r ę d k o ś ci  ciał  (w  p o r ó w n a n i u  z  p r ę d k o ś c ią   termiczną  o ś r o d k a)  i  duż ych  odległoś ci  [9],  duż ych  p r ę d k o ś ci  i  duż ych  odległoś ci  [10]  lub  duż ych  p r ę d k o ś ci  i  dowolnych  odległoś ci,  m o ż na  rozwią zać  tylko  w  s p o s ó b  przybli­ ż o n y,  przy  czym  w  ostatnim  przypadku  rozwią zanie  nie  udaje  się  w  pełni  analitycznie  d o p r o w a d z i ć  do  k o ń ca  [13].  R o z w i ą z a n ie  to  wymaga  numerycznego  u z u p e ł n i e n i a .  Należy  w y r a ź n ie  p o d k r e ś l i ć,  że  problem  o d d z i a ł y w a n i a  ciał  w  o ś r o d ku  swobodno­molekularnym  w  ogóle  nie  nadaje  się  do  bezpoś redniej  analizy  numerycznej  (wią że  się  to  z  koniecznoś cią   obliczania  5­krotnych  całek  o  skomplikowanych  obszarach  c a ł k o w a n i a ,  wynikają cych  ze  złoż onej  geometrii  z a s ł a n i a n i a ) .  We  wszystkich  wspomnianych  wyż ej  przypadkach,  gdzie  uzyskanie  rozwią zania  analitycznego  lub  numerycznego  staje  się  moż liwe,  przyjmo­ wano  najprostszy  dyfuzyjny  model  odbicia.  K o n i e c z n o ś ć  przebadania  o d d z i a ł y w a n i a  ciał  ze  wzglę du  na  model  odbicia,  jak  również  odzyskania  dalszych  charakterystycznych  cech  o d d z i a ł y w a n i a  wymykają cych  się  p r z y b l i ż o n e mu  i  jednostkowemu  traktowaniu  zagad­ nienia,  skłoniło  do  zaję cia  się  o d d z i a ł y w a n i e m  nieskoń czenie  małyc h  elementów  i  analizy  tego  o d d z i a ł y w a n i a  w  moż liwie  jak  najbardziej  o g ó l n y m  aspekcie.  Z a u w a ż m y,  że  zasad­ niczo  są  do  p o m y ś l e n ia  dwa  uproszczenia:  a)  uproszczona  geometria  (jeden  kierunek  p r ę d k o ś c i ),  pełny  r o z k ł a d  m o d u ł u  p r ę d k o ś c i,  b)  zaniedbany  r o z k ł a d  m o d u ł u  p r ę d k o ś ci  (jedna  p r ę d k o ś ć ),  p e ł n a  geometria.  Zagadnienie  o d d z i a ł y w a n i a  nieskoń czenie  m a ł y c h  e l e m e n t ó w  d o k ł a d n i e  koresponduje  z  przypadkiem  a).  Ogólne  sformułowania  zagadnienia  R o z w a ż my  u k ł a d  dwu  n i e s k o ń c z e n ie  małyc h  e l e m e n t ó w  płaskich  dUt  ,  dE2  dowolnie  wzglę dem  siebie  zorientowanych,  poruszają cych  się  w  o ś r o d ku  swobodno­molekularnym  z  p r ę d k o ś c ią  q.  Z  u k ł a d e m  wią ż emy  dwa  rodzaje  u k ł a d ó w  w s p ó ł r z ę d n y c h:  globalny  x,  y,  z  i  lokalny  x',  y',  z'  (rys.  1).  U k ł a d  globalny  ustalamy  tak,  aby  jego  p o c z ą t ek  leż ał  na  elemencie  dZt,  oś  z  była  skierowana  prostopadle  do  elementu  i  w  s t r o n ę  elementu  dZ2,  natomiast  oś  x  leż ała  w  płaszczyź nie  (z,  q).  U k ł a d y  lokalne  x',  y',  z'  wybieramy  tak,  by  p o c z ą t ek  leż ał  na  elemencie  dEa  (a  =  1,  2).  by  o ś  z '  była  skierowana  wzdłuż  normalnej  STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE  DWU  ELEMENTÓW  419  Rys. 1  wewnę trznej  lub zewnę trznej  do  dZa,  zaś oś x'  leż ała  w  płaszczyź nie  (q, z').  N o r m a l n ą   do  elementu  dZt  skierowaną  w  s t r o n ę  dZ2z  oznaczamy  nlw  (wewnę trzna),  skierowaną   w  s t r o n ę  przeciwną  п 1 г  (zewnę trzna),  analogiczne  oznaczenia  n 2 l „ ,  n 2 z  przyjmujemy  dla  elementu  dE2.  Poszukujemy  sił i  wymiany  ciepła,  zwią zanych  z  ruchem  u k ł a d u .  A.  Zagadnienie sił  1.  Wyraż enia  na  siły.  Siłę  działają cą  na  element  dZa  (a  =  1,2)  m o ż e my  p r z e d s t a w i ć   j a k o  superpozycję  siły  niezaburzonej  F ^ , , j a k a  w y s t ę p o w a ł a by  pod  nieobecnoś ć  elementu  d£p  (8=1,  2 ; jeś li  a =  1 to  8 = 2 i na o d w r ó t )  i  siły  iterakcyjnej  F a i n ,  bę dą cej  wynikiem  obecnoś ci  elementu dZp.  Siłę  F „ 0 m o ż na  złoż yć  z  siły  F a 0 w  działają cej  na  w e w n ę t r z ną  powierzchnię  elementu  a  i z  siły  F a 0 z  działają cej  na  zewnę trzną  p o w i e r z c h n i ę  elementu  a  (1­1)  F e =  F a 0 +  F e l n .  0­2)  F l 0 =  F a 0 w  +  F a 0 z .  Siły  te,  r ó w n o w a ż ne  strumieniom  p ę d u,  przekazywanym  elementowi  d£a  wyraż ają  się   c a ł k a m i  po przestrzeni  p r ę d k o ś ci  z elementarnych  strumieni  p ę du  o k r e ś l o n y ch  odpowied­ n i m i  funkcjami  r o z k ł a d u :  (1­3)  F e 0 w = ­ w [  f  c0a(c0a­n,w)f0%d 3c0a+  J  сы(с „­0/о ­У 3С о а }^««­>  (1.4)  F a 0 l = ­ m [  / c 0 l ( c „ , ­ n , : ) / 0 « r f 3 c 0 „ +  J '  c e c i ( c c r a ­ n a z ) / 0 < : U 3 c J r f 2 7 « ,  gdzie  m — masa  czą steczek  gazu  o ś r o d k a,  c 0 ( Z — p r ę d k o ść  czą steczki  o ś r o d ka  wzglę dem  elementu  а, с в я — p r ę d k o ść  czą steczki  odbitej  od elementu  dZa  w układzie  tego  elementu,  fo­*  — funkcja  r o z k ł a d u  p r ę d k o ś ci  czą steczek  o ś r o d ka  w  u k ł a d z i e  elementu  a,  for\w  —  420  St.  KOSOWSKI  funkcja  r o z k ł a d u  p r ę d k o ś ci  czą steczek  o ś r o d ka  odbitych  od  wewnę trznej  powierzchni  elementu  a,f&rJ„  —funkcja  r o z k ł a d u  p r ę d k o ś ci  czą steczek  o ś r o d ka  odbitych  od  zewnę trz­ nej  powierzchni  elementu  a,  fĄ ,2—półprzestrzeń  p r ę d k o ś c i,  d 3c—  element  obję toś ci  w  przestrzeni  p r ę d k o ś c i.  Z  kolei,  siłę  interakcyjną  F , i n ,  m o ż e my  złoż yć  z  siły  interakcyjnej  F a , n / b  zwią zanej  b e z p o ś r e d n io  z  obecnoś cią  elementu  dZB  i  siły  F „ , n 0  zwią zanej  p o ś r e d n io  z  obecnoś cią   dZB,  mianowicie  w  taki  s p o s ó b ,  że  z  obecnoś cią  dSp  zmienia  się  funkcja  r o z k ł a d u  czą ste­ czek  odbitych  od  dZx  (1.5)  F  ,„  =  F  i n B  +  F „ ; n 0 .  Podobnie  jak  poprzednio,  siły  te  wyraż ają  się  przez  odpowiednie  całki  z  funkcji  r o z k ł a d u :  (1­6)  F*ine  =  m[  j  c8a(cBBngw)f0 ir al­Bwd 3cee­  j  c0x(cOBnfiw)f0%d 3cop]dZgw,  (1.7)  F e ( I I o  =  n j |  J  cxx(cxxnxw)f0%_xwd 3cxx­  j  c^ic^^f^J^c^dZ^,  af/2  асц 2  gdzie  cBx,  cBB—prę dkoś ć  czą steczek  odbitych  od  elementu  dZB  odpowiednio  wzglę dem  elementu  dSx,  dZB,  c0B—prę dkoś ć  czą steczki  o ś r o d ka  wzglę dem  elementu  dEB,  f0 (i}B  —  funkcja  r o z k ł a d u  p r ę d k o ś ci  czą steczek  o ś r o d ka  w  układzie  dZg,fkx>w_Bw,f0 i'B\,_xw  —  funkcje  r o z k ł a d u  czą steczek  odbitych  od  powierzchni  w e w n ę t r z n y ch  odpowiednio  e l e m e n t ó w  dSxw,  dSBw,  a  padają cych  z  o ś r o d ka  i  e l e m e n t ó w  a  lub  fJ odpowiednio,  Q c  — p r z e s t r z e ń   m o d u ł u  p r ę d k o ś c i.  W  wyraż eniu  na  siłę  FxinB  wystę puje  jedynie  c a ł k o w a n i e  po  przestrzeni  m o d u ł u  p r ę d­ koś ci,  gdyż  mamy  tylko  jeden  kierunek  p r ę d k o ś c i,  od  elementu  fJ do  a.  Funkcje  j  są  znane,  funkcje  f0 irJxw,fo (r­?*z,foVw­iiw,fo%­*w  nieznane.  O  o ś r o d ku  z a k ł a d a m y ,  że  znajduje  się  w  stanie  globalnej  r ó w n o w a g i  termodynamicz­ nej,  opisanym  funkcją  r o z k ł a d u  Maxwella­Boltzmanna.  Zgodnie  z  tym  mamy  № .  =  Л < ' > е х р { ­ / 4 ' ' Ч с оя  +  а ) 2 Ь   С1­8)  /  \­3/2  m  2kT0  gdzie  n0  —  gę stość  liczbowa  czą steczek  o ś r o d k a,  T0  —  temperatura  o ś r o d k a,  к  —  stała  Boltzmanna.  Funkcje  / ( r )  dla  czą stek  odbitych  m o ż e my  znaleźć  z  r ó w n a ń  cią głoś ci  (zachowania  liczby  czą stek)  postulując  model  odbicia  (model  o d d z i a ł y w a n i a  gazu  z  p o w i e r z c h n i ą ).  W  niniejszej  pracy  w  charakterze  modelu  odbicia  przyjmiemy  zmodyfikowany  model  M a x w e l l a  z  a n i z o t r o p o w ą  czę ś cią  dyfuzyjną,  mianowicie  (1.9)  / ( r )  =  (l­e)f№ >  +  efHDK  Czę ść  m o l e k u ł  ( 1 ­ е )  odbija  się  zwierciadlanie  z  funkcją  zwierciadlanego  o d b i c i a / ( r ) ( s ) ,  p o z o s t a ł a  czę ść  e —  odbija  się  dyfuzyjnie  anizotropowo  z  funkcją  r o z k ł a d u  / ( , ) ( f l ) .  Zatem  (1.10)  / M W  =  /'[c<°(c( r ))L  (1.11)  /< r ) ( D >  =  ADexp{­BD[oLC^­fJ(c^  • n)n­q*]2},  (1.12)  c«>(c<'>) =  c«­2(c<'> • n)n,  £D  =  2 ^ ( D J­ .  STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  421  gdzie njest  n o r m a l n ą  do  ś cianki,  T(D)  t e m p e r a t u r ą  ś c i a n k i;  а ,  8,  q*  —parametrami  modelu,  AD  —  nieokreś loną  stałą,  k t ó r ą  wyznaczyć  m o ż na  z  rozwią zania  r ó w n a n i a  cią głoś ci.  Przyjmując  w / ( r ) D  8  =  0  otrzymujemy  model  N o c i l l i ,  q*  =  0  model  odbicia  dyfuzyjnego  z  a n i z o t r o p i ą  n o r m a l n ą ,  przyjmując  wreszcie  8  =  0,  q*  =  0  dostajemy  zwykły  model  dyfuzyjny,  k t ó r y  w  połą czeniu  z  modelem  zwierciadlanym,  jak  w  (1.9),  daje  zwykły  model  M a x w e l l a .  M o d e l  typu  (1.9)  z  dyfuzyjną  funkcją  r o z k ł a d u  wydaje  się  być  wystarczają co  ogólny,  by  z  rozwią zania  zagadnienia  o d d z i a ł y w a n i a  w  tym  modelu  m o ż na  było  są dzić  o  zależ noś ci  o d d z i a ł y w a n i a  od  modelu  odbicia.  D o  efektywnego  obliczenia  siły  F a  konieczna  jest  z n a j o m o ś ć  stałej  AD  w  funkcjach  r o z k ł a d u  czą stek  odbitych.  M o ż e my  ją  o d z y s k a ć  z  rozwią zania  r ó w n a n i a  cią głoś ci,  przy  czym  rozwią zania  te  znajduje  się  inaczej  na  zaburzonych  powierzchniach  e l e m e n t ó w ,  inaczej  na  niezaburzonych;  a  z r ó ż n i c o w a n ie  to  jest  p r o s t ą  konsekwencją  faktu,  że  na  powierzchnie  « n i e z a b u r z o n e »  padają  tylko  czą steczki  z  o ś r o d k a,  natomiast  na  « z a b u ­ rzone»  czą steczki  z  o ś r o d ka  i  z  e l e m e n t ó w  i  w  tych  przypadkach  zagadnienie  staje  się   znacznie  bardziej  z ł o ż o ne  ze  wzglę du  na  efekty  interakcji.  2.  Rozwią zanie  równań  cią głoś ci  (obliczenie stałych  A D ) .  a)  Powierzchnie  elementów  «niezabu­ rzone».  R ó w n a n i e  cią głoś ci  jest  równoś cią  strumieni  czą stek  padają cego  N0'lxV  i  odbi­ tego  N0 r2x(V)  ,  mianowicie  (2.1)  tf*V>  =Wla(V).  W s k a ź n ik  0—a(V)  oznacza,  że  czą steczki  padają  z  o ś r o d ka  na  powierzchnię  a  (1  lub  2)  wewnę trzną  lub  zewnę trzną,  czemu  odpowiada  znak  alternatywy  w  nawiasie  (V  =  zVw)  Wyraż ając  strumienie  przez  funkcje  r o z k ł a d u  mamy  (2.2)  J  ( ­ C o e n . ( K ) ) / o ( ' ­ V ) r f 3 c o « =  J  ( < W ­ n ^ n)/o­ V ) r f 4 « ­ af/2  aci,2  Przyjmując  w  charakterze  f(r)  zmodyfikowany  model  Maxwella  (1.9),  m o ż e my  n a p i s a ć   (2.3)  (1 ­  sa(V))N^_a(V)  +  =  (1 ­  + £ « ( к ) В Д < к) >  gdzie  е „(к) —jest  współczynnikiem  mieszania  dla  powierzchni  a ( K ) ,  (2­4)  N№iV)  =  j  ( c «  • na(K))/o<:>aV// 3c(r),  =  j  (c(r)  •  п в ( П)/о ( г Л ( к )^ 3 с ( г ).  OT/2  01/2  P o n i e w a ż   (2.5)  (1­ев (к ))М'2«(к)  =  ( 1 ­ е « ( К ) ) д а «( к ).  także  (2­6)  ^ o V ) = M r 2 ? ( K ) ­ 6  Mechanika  Teoretyczna  4/73  422  St.  KOSOWSKI  Rozpisują c  w y k ł a d n i k  w  wyraż eniu  n a / ( r ) D ( l . l l ) ,  m o ż na  stwierdzić,  że we  w s p ó ł r z ę d n y ch  p r o s t o k ą t n y ch  wyraż enie  p o d c a ł k o w e  daje  się  rozdzielić,  wobec  czego  dostajemy:  (2.7)  T V o ' i V )  =  ^ o , ­ a ( K ) / ^ K ) ( l ) / o D i v a l v ) ( 2 ) / o 5 l ^ K ) ( 3 ) e x p { ­  B°rq$łaV},  00  Io!­a{v)(l) —  j  e X p { — Ba(V)[°la(V)cŹ{­B%(V)[xkv)Cl*y­2axiV)Cmygo*Lavy]}dcaay,  — 00  00  IoLl\v)0)  = /  c a « e x p { ­ 5 ° ( K ) [ ( a a ( K ) ­ / 3 C [ ( K ) ) 2 c 2 0 [ Z ­ 2 ( a ( I ( K ) ­ ^ ( K ) ) ( n a ( K )  •  ({o­^v))c^z]}dcaaz.  o  Korzystając  z  tego  samego  faktu  m o ż e my  podobnie  wyrazić   (2.9)  m i a l Y )  =  А ^ М ­ ^ Ч 2 } Ш Н ^ Ш2 Ш Ш̂   00  I^JvKl)  =  J е х р {­В Р [с2,х   +  2с0а хд 'х]}с с0а х,  —  00  00  (2.10)  (2)  =  /  exp { ­  A ' ) [ c g « , +  2 c 0 „ q ' y ] } d c 0 x y ,  —  00  00  =  J  ­ С о , к х е х р { ­ Д0 | > [ с §в К 2+ 2 с 0 . к * ( а ­ п ( 1 к ) ] } « С о « к х­ o  N a  podstawie  (2.6),  (2.7)  i  (2.9)  znajdujemy  ostatecznie  ^ o , ) e x p { ­ Ą ' ) ^ № .K ( l ) 7 0 ' ) . F ( 2 ) Ą ' )e F ( 3 )  _  ^ e x p t ­ W K C T )  4?.  / о э ­ ^ ( 1 ) / о , ­ а к( 2 ) / о , _ с < к( 3 ) е хр { ­  BSv&y}  exp { ­  B°rqtlaY}l№ y  (2.11)  b)  Powierzchnie  elementуw  «zaburzone».  Korzystając  z  r o z w a ż ań  w  p.  a)  m o ż e my  n a p i s a ć   (2.12)  N№w_Pw  =  Ntf>w­fw,  =  | ( c ( ' 4 * ) / o ( ; t D ­ f ^ 3 c ( " .  Of/2  Symbol  OaW—fJW  oznacza,  że  czą stki  padają  z  o ś r o d ka  i  z  wewnę trznej  powierzchni  elementu  a  (a  =  1 V2)  na  wewnę trzną  p o w i e r z c h n i ę  elementu  (3 (fj  =  2  F I ) ,  przy  czym  jeś li  a  =  1 to  (3 =  2  i  odwrotnie.  S t r u m i e ń  czą stek  p a d a j ą cy  na  w e w n ę t r z ną  p o w i e r z c h n i ę   elementu  (3­  N%lv_fiw  m o ż e my  złoż yć  z  strumienia  Nj\ llpw,  padaj ą cego  tylko  z  o ś r o d ka  i  strumienia  interakcyjnego  N^_fW,in)  p o c h o d z ą c e go  z  wewnę trznej  powierzchni  elemen­ tu  a :  (2.13)  A L * . =  + Л ^ ­ / м , „) •   STACJONARNE  ODDZIAŁYWANIE  DWU ELEMENTÓW  423  Strumienie  te  wyraż ają  się poprzez  funkcje  r o z k ł a d u  n a s t ę p u j ą c o:  (2.14)  N0%»=  J  ( ­ C o ^ n ^ V ^ ,  of/2  (2.15)  N&­i)wm =  J  ( ­ c a p n ^ w ) / ^ _ p w d 3 c e p ­  J  ( ­ c O 0 t y J / o ( i V ć /3 c o / b  gdzie  fiw­fw  J e s t  funkcją  r o z k ł a d u  m o l e k u ł  padają cych  z  wewnę trznej  powierzchni  ele­ mentu  ot na wewnę trzną  p o w i e r z c h n i ę  elementu  /3. Tę samą  funkcję  m o ż na  t r a k t o w a ć  j a k o  funkcję  r o z k ł a d u  m o l e k u ł  odbitych  od  wewnę trznej  powierzchni  elementu  ot,  przy  czym  m o l e k u ł y  odbite  p o c h o d z ą  z  kolei  z  padają cych  na  element  a  z  o ś r o d ka  i  z  wewnę trznej  powierzchni  /?. Fakt  ten  m o ż na  wyrazić  zwią zkiem  (2.16)  W  strumieniu  N^2­pW(tn)  c a ł k o w a n i e  zachodzi  tylko  po  przestrzeni  m o d u ł u  p r ę d k o ś c i.  Z a u w a ż a j ą c,  że  (2.17)  с  =  с Й» =  4 r M K ) ,  znajdujemy  (2­18)  c/3cxP  =    =  ?­^LdZaw,  gdzie  Ć/ —  odległość  e l e m e n t ó w  1, 2,  d ' K )  —  wektor  jednostkowy w  kierunku  od elementu  a  do elementu p\  Podstawiając  w poszczególnych  strumieniach  funkcje  rozkładu/o(™L/»w,/o (!­V>/o%>­etw"  (2.20)  Л  V  =  itf> е хр { ­  [cifł ^  +  q ] 2 } ,  /• (r)  ­  f i — *  W(')s  i f  A(j)D iO/lw­Jw  _  V1  W / O ­ r o  '  e4«'./0/Iw­«w  i  obliczając  strumienie  N0r^_Pw  oraz  N 0 '!pw  we w s p ó ł r z ę d n y ch  p r o s t o k ą t n y ch  (w  wyra­ ż en iach  p o d c a ł k o w y c h  m o ż na  w  tych  w s p ó ł r z ę d n y ch  d o k o n a ć  seperacji  zmiennych),  natomiast  s t r u m i e ń  N^_fiw(in)  we  współrzę dnych  sferycznych  (w  strumieniu  tym  c a ł k o w a n i e  przeprowadza  się tylko  po  przestrzeni  m o d u ł u  p r ę d k o ś c i)  dostajemy:  (2.21)  NoJw­iiw  =  ^o«w­/iw^oew­/iw(l)^oew­  (2.22)  N0%w  =  A Qexp{­S^^}Ą ^(})Ą ^2ą )^f2(?)  =  4 f > I $ $ ,  (2.23)  /  ( ­ C o , n , J / 0 < V 3 C o ,  =  ­с Ю со р(^п ^1о '^х р {­В0'^ 2}  =  A^J d̂Ê ,  c/Qcop  =  dQc<£),  6*  424  St .  KOSOWSKI  (2.24)  + e U C 4 « W ­ . w ^ o V « w e x P  { "  Д й . в й « » }]  ^ a * " ' *  ^  =  —  л О   • ' O ­o r w  u ­ ' j u ' T ^ o | | № _ T O J o ­ Jn i ­ ™" ' J « » ' >  oo  (2.25)  «  =  f  c< f ) 3 exp(­^'4^ ( r ) 2 +2c(')[(d K q)­(d K iL, w )(n e w q)]})rf C ('),  0  oo  (2.26)  / # ™ w =  /  c ( ' ) 3 e x p { ­ 5 e D w C < ' ) 2 [ a „ 2 w . + ( j f ? e 2 w ­ 2 a e w j f f e w ) ( d K  • nIH,) 2]} x  о   x  e x p { 2 ^ H , c ( r ) [ a a M , ( d K q g / ) H , _ a w ) ­ / 3 a „ . ( d ^  • O f o o * * ­ ™ .  * " . w ) ] ^ 0 } .  Wielkoś ci  I§aw­fw  m o ż na  uzyskać  z wielkoś ci  1о _х {У ),  figurują cych  w (2.8)  przez  formalną   z a m i a n ę  symboli  0 — a ( K )  na  OaW—BW;  podobnie  wielkoś ci  I0'lpw  z  wielkoś ci  I0'lxiV)  [wzór  (2.10)]  przez  z a m i a n ę  O ­ a ( K )  na  0 — 8(V).  Stałe  Aoxw­Pw  i  A'ollw_xw  są  nieznane.  M o ż e my  je  wyznaczyć  z  r ó w n a n i a  (2.12),  k t ó r e  w  rzeczywistoś ci  reprezentuje  sobą  u k ł a d  dwu  r ó w n a ń :  jedno  dla  a  =  1,  8 =  2,  drugie  dla  a  =  2,  / 5 = 1 .  Rozwią zując  u k ł a d  (2.12)  znajdujemy  ostatecznie:  (2.27)  AQIW_2W  —  (2.28)  ­ t f a w ­ i w  =  b\a2+c,  b2  a, a2 — c, c 2  a t  b2 + c2bj  axa2­cxc2  '  gdzie  (2­29)  a,  =  7 g l w _ 2 w ,  c,  =  l № g>VwdZlw,  a2,  b2,  c2  zaś otrzymujemy  przez  formalną  z a m i a n ę  w s k a ź n i k ów  1 <=•  2.  Fakt,  że u k ł a d  r ó w n a ń  cią głoś ci  (2.12)  daje  się ś ciś le  analitycznie  rozwią zać,  wią że się   z  tym,  że w naszym  zagadnieniu  odpada  cała  geometria  zwią zana  ze s k o ń c z o n y mi  rozmia­ rami  ciał.  W przypadku  ciał  o  rozmiarach  s k o ń c z o n y ch  w  strumieniu  (2.15)  w  pierwszej  całce  nie m o ż na  wynieść  stałej  AQPW­XW  przed  znak  całki  (stała  ta  zależy  od punktu  na  powierzchni  ciała,  a  r ó ż n ym  kierunkom  c"p o d p o w i a d a ł y b y  r ó ż ne  punkty)  i w ten  s p o s ó b  u k ł a d  r ó w n a ń  cią głoś ci  (2.12)  stanowi  u k ł a d  dwu skomplikowanych  r ó w n a ń  c a ł k o w y c h  w  4  zmiennych  (punktowi  na  powierzchni  jednego  ciała  o d p o w i a d a j ą  dwie  zmienne),  k t ó r y  praktycznie  m o ż na  p r ó b o w a ć  rozwią zać  jedynie  w  s p o s ó b  p r z y b l i ż o n y.  Z a n i e d b u j ą c  w  rozwią zaniach  r ó w n a ń  cią głoś ci  (2.27)  i  (2.28)  nieskoń czenie  m a ł e  uzyskujemy:  (2.30)  AB1W­2V  =  ~ ,  A%2W_UL.  =   b­2~,  bt  =  APIVŁ2W,  ~b2  =  A ^ I 0 4 l w , a\  a2  co  odpowiada  r o z w i ą z a n i om  przy  p o m i n i ę c iu  drugiego  elementu.  Z a n i e d b u j ą c  natomiast  w  rozwią zaniach  nieskoń czenie  mał e  drugiego  r z ę du  dostajemy:  « ł n  i D  bia2  + Cib2  D  _alb2  +  c2bl  \l­jl)  л 0 1 » ' ­ 2 »  —  >  ^ * 0 2 и ­ 1 и>  —  •  axa2  a1a2  STACJONARNE  ODDZIAŁYWANIE  DWU  ELEMENTÓW  425  Jest  oczywiste, że dla  uchwycenia  o d d z i a ł y w a n i a  nieskoń czenie  małyc h  elementów  musimy  w  r o z w i ą z a n i a ch  r ó w n a ń  cią głoś ci  z a c h o w a ć  co najmniej  wyrazy  proporcjonalne  do dZ,  gdyż  one, mię dzy  innymi,  są  odpowiedzialne  za to  o d d z i a ł y w a n i e .  Przyję cie  w  c a ł k a c h  o d d z i a ł y w a n i a  (1.3),  (1.4),  (1.6),  (1.7) rozwią zań  niezaburzonych  (2.30)  p r o w a d z i ł o b y  do  b ł ę d n e go  wyniku,  gdyż  nie uzyskalibyś my  wszystkich  p r z y c z y n k ó w  do  o d d z i a ł y w a n i a  interakcyjnego  proporcjonalnych  do dZ, na  ten fakt  z w r ó c i m y  jeszcze  u w a g ę  przy  oblicza­ niu  całek  o d d z i a ł y w a n i a .  3.  Specyfikacja  całek  oddziaływania.  Całki  o d d z i a ł y w a n i a  w y r a ż a my  najpierw  w  u k ł a d a c h  lokalnych  xili,y^l),  z( , ), oś — z ( , ) takiego u k ł a d u jest skierowana  wzdłuż normalnej do  elementu,  oś  leży  w  płaszczyź nie  (z(,),  z), a  n a s t ę p n ie  transformujemy  do  u k ł a d u  globalnego  x, y, z  w e d ł u g  macierzy  transformacyjnej a u :   ( — cosftny  coscpnV,  s'mcpnV,  s'md„v  cosq9„y\ — c o s # „ K  sinc9„ K ,  —cosc?„ K ,  sin&nVsmcpaV  ,  sinfrnV,  0,  cosd„v  /  gdzie  0, l o t V ,  (р „л У  są k ą t a mi  azymutalnym  i  biegunowym  normalnej  nxV  (wewnę trznej lub  zewnę trznej  elementu  1 lub  2) w u k ł a d z i e  absolutnym x, y, z. Całki  typu  F 1 0 w ,  F 1 0 z  o k r e ś ­ lone  w e w n ą t rz  i  zewną trz,  dla elementu  1 i  2,  m o ż e my  p r z e d s t a w i ć  w  postaci  jednej  c a ł k i :  (3.2)  F &  =  Л § _в Уе х р { ­ В ? к К к С0 г 2 . к ­ / ? « к ( с( г )  • n^)n^­q*_aF] 2},  znajdujemy  (3.11)  F'oV =  ­ ш ( 1 ­ еа К) ^ 2 7 а ^ 0 ; ) е х р{ ­ г о г ) с 72 } [ 1 ^ ­ 2 п а И/ ( 0 > ^ ]  +  ­  mexV  dZxV A§_xV  exp { ­  B\\  qtlaV}  I 0 r 2 ? F ,  (3.12)  =  / & ( l ) / & ( 2 ) / 0 r 2 ? K , ( 3 ) ,  00  =  /  ( с < ' > ) ' " е х р{ ­ 2 С к [ а 2 к 4 г ) 2­ 2 ^ ^ г )^ 1 , ^ } Л М,  ­  CO  CO  (3.13)  /0'2<7>)*(2) =  {  ( c W ) " t e x p { ­ ^ K [ a 2 K C W 2 ­ 2 c W a a V q g L a ^ ] } r f 4 r ) !  —  CO  с о   /ог2с?к*(3)  = /  ( 4 ) 1 + " t e x p [ ­ ^ { ( o c 2 K + /? 2 K­2a^a F)4'­> 2}]x  о   x exp { ­  2B°y  c< r>[ ­  axVą $_aVz  + Pavfav ' qo­.и )]} ̂ 4 r> •   W  całce  Fxi„p  wystę puje  tylko  c a ł k o w a n i e  po  przestrzeni  m o d u ł u  p r ę d k o ś c i;  zachodzi  więc  k o n i e c z n o ś ć  obliczenia  e l e m e n t ó w  k ą t ów  bryłowych  dQcp?, dQcopp.  Jeś li  przez  dv ozna­ czyć  wersor  w kierunku  od elementu  1 do 2, to wektory  p r ę d k o ś ci  (skierowany do  elementu  /9  do a) i copp  (skierowany  również  do elementu  p 1 do a)  m o ż na  p r z e d s t a w i ć   w  postaci:  (3.14)  cfll = c ^ d K ( ­ l ) 1 + ^ ,  c w =  c w .  N a  podstawie  tych  zwią zków  mamy  (3.15)  dQc„  = dQco„  = (­ lyS^^A  dZxw.  P o d s t a w i a j ą c  (3­16)  f&tż w­Pw  — (1—e(Jw)/oaw­/)w+Јctw/ot(w^­/Sw,  gdzie  (3.17)  / O I W ­ 0 H .  =  ^0 aw ­ Pwe Xp { —  Bpw[(XpwCpp — Р^(С рРПр„)Щю  —  4oaw­fiw] 2} • >  znajdujemy:  (3.18)  F % =  00  (3.19)  / $ д  = Л 0 '>е х р {­Я0 <>«г 2 }  /  4 / , e x p { ­ J B o i ) [ c g / ,  +  2 c 0 / , ( ­ l ) 1 + ; , ( d K ­ q ) ] K o / ) )  0  co  (3.20)  = A8aw_fwv)(n „̂. •  q*aw­0w)­  K/IwC^K ­  q*aw­^w),  00  (3.21)  / j $ = /  Ąff№ S­,„dc„.  S T A C J O N A R N E  O D D Z I A Ł Y W A N I E  D W U  E L E M E N T Ó W  427  W  funkcji  r o z k ł a d u  / o «w­ pw  kierunek  cpp  od elementu  /? do elementu  a  musi  m i e ć  odpo­ wiednik  w  p r ę d k o ś ci  c z ą s t ki  p a d a j ą c ej  c0'lfw  z  otoczenia  na element  /? w (c0'lpw  nie  m o ż e  p o c h o d z i ć  z elementu  a  , bo element jest  n i e s k o ń c z e n ie  m a ł y ) .  M a m y  zatem  fS%­fw  =П %Л <$Ы ф ]  =  ^ о ° е х р{ ­ 5 0 ' ' ) [ с 0 ^ ( с «)  +  а ]2},  (3.22)  b̂pwK p̂p  K o r z y s t a j ą c  z  relacji  (3.14),  otrzymujemy  w postaci  jawnej  co'/)w(ce/j)  —  cprp  2 ( c » e  •  n « w ) i i / ( W .  (3.23)  J & j =  Л 0 ' > е х р { ­ Я < / Ч 2 } /  с ^ е х р { ­ 50 ' ) { с 2 / ) +  2 ( ­ l ) 1 + % , [ ( d r . q ) ­ o  ­ 2 ( d K  • nfiw)(n0v>  • <0]}dcfip.  O k r e ś l e n ie  F a i B 0  Podstawiamy  f(r)  ­  (\—p  \f(r)s  i  _  /­(r)D  (3  24)  У 0—aw  V.1  COLW)J Q­XW  ~  cawJ  0—lwi  ­  (1 — V < » s  4­p  f(r)D  JOPw­aw  V 1  caw)Jopw—xw~  cawJ0Pw—aw  P a m i ę t a j ą c, ż e  (3.25)  / о ( г = / о ( ^ ( с ( " ( с « ) ),  c<'>(c<'>) =  0 0 ­ 2 ( ^ 0 ^ ,  dostajemy  (3.26)  ~ m  I  c « « ( c « «  • **,Ш Л .<Р* ш  =  ­ F o ' l a w ^ 1  ­Im^ipj^AWtxpi­B̂ q2},  gdzie  (3.27)  J0'2* w =  J  ( с 0 ' 1 в и, п а и, ) 2 е х р { ­ . В0 ^  Podobnie  funkcja  r o z k ł a d u  m o l e k u ł  odbitych  f£$_xw  z w i ą z a na  jest  z  f u n k c j ą  r o z k ł a d u  m o l e k u ł  p a d a j ą c y ch  / o ( 0 ) w _ e w ( c ( i ) ( c { r ) ) ) •  M o ż e my  n a p i s a ć   (3.28)  J cU^^W&fS­mw&bm  =  —  J  [Copw­ttw~~2(c0'pw_aw  • И я и, ) П 0 1 л , ] У о̂и , _ в и, ( с и̂ , _ 0 , и , ) ( — C0pw_xw  '  x̂w)d 3CQaw_pw.  «1/2  C a ł k o w a n i e  po  p у ł p r z e s t r z e n i  p r ę d k o ś ci  Q\l2  prowadzimy  w  ten  s p o s у b ,  ż e obszar  c a ł ­ kowania  Qclj2  rozbijamy  na  dwa:  jeden  (Q\l2—Qzpw),  w  k t у r y m  na  element  OLW  pizy­ c h o d z ą  tylko  c z ą s t e c z ki  z  otoczenia  o  funkcji  r o z k ł a d u  / o ­ I W ,  drugi  Q%pw,  w  k t у r y m  na  element  otw  p r z y c h o d z ą  c z ą s t e c z ki  z  elementu  fi  o  funkcji  r o z k ł a d u  fp$-xw.  Zgodnie  z  tym  mamy  j  с е т( с я а  • nXK)f^_xwd 3cax  =  /  [ c ^  ­ 2 ( c $  • i w ) n a w ] / 0 ( L ) a w ( ­  c 0 o t  •  П а »,)d 3 c 0 a +  ni/2  n i ; 2 ­ n i / j w  (3­29)  +  /  [ c # ­ 2 ( c & n „ ) i U ( ­ c y ^  428  St.  KOSOWSKI  Funkcja  r o z k ł a d u  czą stek  padają cych f$­tw  (cp'ł*)  r ó w n o w a ż na  jest  funkcji  r o z k ł a d u  m o l e k u ł  odbitych  od elementu  Bw,  a  p r z y c h o d z ą c y ch  z otoczenia  i z elementu  a w ,  miano­ wicie  (3.30)  f£w­aw(cfiet)  ~  fSaw­fiw(cfia.)•   D l a  funkcji  tej mamy  (3.31) foaw­llw(Cpr­tx) ~  (1 —  f/)nO/oaw­/Iw(Cj(eO  +  £ /lw/o«w­/Iw( C P« > )­ W  odbiciu  zwierciadlanym,  p r ę d k o ś ci  «odbitej»  odpowiada  wektor  p r ę d k o ś ci  czą steczki  padają cej  c0'lpw(Cp rJ)  p o c h o d z ą c ej  z  otoczenia  według  relacji:  (3.32)  = cfcMCcfc)  • n ^ ) ^ , , . .  Funkcja  r o z k ł a d u / o ( Jw _ p w  m o l e k u ł  odbitych  zwierciadlanie  jest  więc  n a s t ę p u j ą c a:  (3.33)  = А ф е х р{­Й 1Р [е $­г <№  •  n ^ n ^ + q ] 2 } .  Dalej  mamy  (3­34)  / < Ц * „,  =  ^ § a w ­ / ! W e x p { ­ J S ^ [ a p № c ^ ) ­ ^ „ , ( c ^ >  •  n ^ n ^ . +  q * , ^ , , , ] 2 } .  Uwzglę dniając  jeszcze, że  c t f  =  ejg =  ( ­ l ) 1 + % a d v ,  (3.35)  f d  .  oraz,  podstawiając  znalezione  wielkoś ci  do  (3.29),  znajdujemy  (3.36)  J '  с и ( с и  • i U / o ( # ­ « w r f 3 c « «  =  F < O a H 7 ( W 2 : ^ . ) +  2 n „ ^ o ' ' ) e x p ( ­ 5 0 ' V 2 ) / 0 ^ M . +  Of/2  ­  ( d „  • O W r  ­  2 n a K ( d K  • O K ­ ­ " j 1 / ^ ­  x  x  {^ 0 '>exp(­2? 0 V)«»­  ( 1 ­ ^ M ^ P ( ­ Ą ^ q 2 ) Ą ^ %+  — e ^ w ^ 0 « w ­ ^ w e x p ( — ^ w ? o « w ­ ^ w ) ^ o « w ­ } i w } .  gdzie  00  (3.37)  i g r ,  =  /  с £«е х р <­2й '>[<& + 2 ( ­  l ) 1 + % , ( d K  • q)]>  {4;) 2 +  2 ( ­ l ) 1 + V ^  0  oo   (3.39)  /0 ГЖ  =  /  cUxVi­B D Pw{[oilw  +  B}w(uv­n^­2a^  o  x  e x p < ­ 2 5 ^ , ( ­  l ) 1 + % , [ ­ a , w ( d v  •  q J _ p w ) + ^ « ( d K  ' О С 0 * »  •  ^­pj^dc^.  Pierwsze  dwa  wyrazy  (3.36)  i  pierwszy  wyraz  w  nawiasie  klamrowym  o d p o w i a d a j ą  stru­ mieniowi  czą stek  odbitych  zwierciadlanie  o d  powierzchni  a w  w  obszarze  b r y ł o w y m  ( i 3 1 / 2  — Qzpw),  dwa  p o z o s t a ł e  wyrazy  w nawiasie  klamrowym  o d p o w i a d a j ą  strumieniowi  czą stek  odbitych  zwierciadlanie  od powierzchni  a w  w obszarze  b r y ł o w y m  iiZpw.  Warto  STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE  DWU  ELEMENTÓW  42°  zwrócić  u w a g ę  na fakt,  że  dwa  pierwsze wyrazy  (przed  nawiasem  klamrowym) są identyczne  z  wyrazami  w całce  (3.26),  co nie powinno  być  zaskoczeniem,  gdyż  reprezentują  s t r u m i e ń   odbity  od powierzchni  a„, pod n i e o b e c n o ś ć  drugiego  elementu  p\  P o z o s t a ł e  całki  w  wyra­ ż eniu  na  F a ; „ o  znajdujemy  bez trudu.  M a m y  (3.40)  /  с в я( с в а  • О / о ^ Ч*  =  AE­awoxp(­BSwq^M^w,  O l / l  (3.41)  J  Cax(Cxx  • n e w )/o ( piJL a w rf 3C0 , a  =  ­4 o0 w ­ot w e x P (  — BxwQoPw­a*)t$w­aw>  Ql/2  gdzie  wektor  10 г2а „. jest  wektorem,  k t ó r y  wystę pował  j u ż  przy  obliczaniu  ~F(0 r±aV,  natomiast  wektor  I $ w ­ a w  daje  się  u t w o r z y ć  z wektora  r o r 2 ° w  przez  z a m i a n ę  ą $_xw  na  ą *Pw­xw.  W ten  s p o s ó b  otrzymujemy  (3­42)  F ^ o =  ­ m { ­  (1 ­sxw)(dv  • ^[dy­ln^idy  • nxw)] x  ~  ep w A  Oorw ­  Pw e x P  ( — Bpw a*aw­Pw) ­^О а»  ­/Iw]  +  +  sxwA.opw­xw^Xp( — Bxwq*jjw_xJ)l0 rlxw{(l*pw_xw)— £х к   ^ 0 _ а » 6 х Р (  —^cm>?0­aw)Io­ć  „к  =  ^ o ° e x p (  ­  B^q 2)I04ev  dZa,  (3.47)  F 0 r 2 a F  =  ­ / n ( l  ­  e e t F ) c f 2 7 e K ^ 0 ' > e x p ( ­ J o V ) P S ­ 2 i W # o V J  +  ­  mexV  dZxVA%_xV  exp(  ­  B D xV  qt 2 xV)  ,  (3­48)  F%  =  ­mdZfw(­1)   ( d ^ 2 n , w )  * T a w ( d K  • D f w ) d F x  [ ( i ­ e ^ ) i S 2 S + e # w i S 2 ? ­ J S U I ,  (3­49)  F a i „ 0  =  ­m  ­(\­exĄ {dv  • O [ d „ ­ 2 n a K ( d , ­ n g w ) ] ( ­ 1 ) 1 + p  ( d ^ " " w )  dZ,wx  x  И о ° е х р( ­ 5 0 ' > с 7 2 ) / 0 ' ) ^ ­ ( 1  ­ £ , B . ) ^ o i , e x p ( ­ Ą 42 ) / o ' , ) i f ) F ­ — e/)w^o­p>ve xP(— В fnq*2.  p^Itf­jsH]  j +  e i w ^ o p w ­ a w e x P ( —  Bxwq*pw_xw)I0 rlxw((i*pw­xw)  +  £aw^0­aw^XP( —  ^atvfo­lw)Io­awJ  dZaw.  St.  KOSOWSKI  Wielkoś ci  wektorowe  Ij/iV  i  ^o­av' m o ż e my  uzyskać  z  wyspecyfikowanych  uprzednio  w  układzie  lokalnym  wielkoś ci  wektorowych  I 0 a V   1  ^o­Iy,  przez  transformację  z  u k ł a d u  lokalnego  do globalnego  według  reguły  transformacji  t e n s o r ó w :  (3.50)  loaVm  =  Qmnlb'Ivn,  gdzie  amn  j : s t  macierzą  transformacyjną  przejś cia  ( — cos §nV  cos cpnV,  smcpnV,  sin#„KcoS9>„j/\ ­ c o s i 9 n K s i n c ) n F ,  ­coscp„v,  s\n&nVsmcpnV  J,  s i n # „ v ,  0,  cosft„v  J  zaś  &>  (1),  (2),  (3),  (2),  IZLVV  (3).  Wyraż ają  się one  n a s t ę p u j ą c o:  л  =  1,2  / » ' , ( « )  =  j / ^ o  expfo,'22tf>),  (4.1)  я  =  3  Ą 0 ^ ( 3)  =  gdzie  Ф — c a ł k a  p r a w d o p o d o b i e ń s t wa  oraz  n  =  l , 2  Jg<»? (//)  =  1 / ­ ^ ­  е х р ( ^ :2 к „ ^ к ),  (4.2)  ,  r D ( V) / / , 4   1  ,  1  ( П «к­д *к )   ЯГ   2В°у («в Г­ра Г) 2~г2  хлу ­рлу  V  B?y(ctaV­fJaV) 2  х  е х р ( 2 & ( ч .и  •  q* K ) 2 )  х { l ­  Ф |/̂ Г{̂ f̂ 0 V •  <&)]}•   Wielkoś ci  /01 (С >, 1^Л у są skalarami i dlatego w u k ł a d a c h  lokalnym  i  globalnym  wyraż ają   się  tak samo.  W oparciu o (4.1),  (4.2) uzyskujemy  (4.3)  W  = 1^д у2^Р Щ'К я 2­(Ч ­пау ) 2)]  +  +  у  ( Ч ­ М ( ^ ) ­)  3 e x p ( Ą V ) { 1­ Ч  ~ vWfr* у )]},  (4.4)  =  . _ D 2 ,   Я Д  e x p [ Ą ' ) ( ^ i .K ­ ( q J _ , K . n e K ) ) ] 4 ­ 2  <хху ­рху  У  В?у {<х <,у ­р *у )  «а УВау   X  1 ­ Ф   STACJONARNE  ODDZIAŁYWANIE  DWU  ELEMENTÓW  4 3 1  Z  kolei  stalą  Aft w_pw jest  o k r e ś l o na  przez  całki  7^  w _ p w ( l ) ,  IOXK­PW(2),  /oiw­0w(3),  ^0­/?и >0)>  /o­/»w(2)>  Io­pWQ)  oraz  7(r)s  j r(r)D  Całki  typu  Ioal-pw  (")> / ?  =  1,2,3,  m o ż na  uzyskać  z  całek  typu  Ą ^^fn)  przez  for­ malną  z a m i a n ę  symboli  0­_,, = ^)­2 Г ( 4 ) е х р (||^)^(^)­ =  ^ K 2 w + ( ­ 2 a a w r 5 a w  +  / 3 2 w ) ( d K ­ n a w ) 2 ] ,  y^>  =  ­ 2 5 f K [ a a w ( d K ­ q ^ w _ e J ­ ^ e w ( d K . 0 ( 4 o / 3 W ­ « w ­ n a W ) ] ,  gdzie  Ј>_„  jest  funkcją  walca  parabolicznego.  Całki  wystę pują ce  w wyraż eniu  F a ' 0 V  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  n a s t ę p u j ą c o:  « = 1 , 2  j  n ф к  I$yk{n)  =  j / ­ J * y  ex p ( r i M i f > ) ,  n  =  Л  / < o W « )  =  ~а'"У^­Щ )  е х р ( ^„ Д о °) ,  и  =  3  х е х р В о ' ^ Й Л»  (4­8)  _  ,  ,  '  я  =  к  1%(к ){Ъ )  =  ~ Ц ­  ­  | / ­ | ­  | ( 2 у 3 ^ 2 ^ г + ^ ) 2 )  х   X  exp(2* 0 V«k) [1  ­ Ф (  ­  V / ^ F ^ K Z ) ]  •   P o  prostych  p r z e k s z t a ł c e n i a c h ,  wektor  IJ/ÓK  m o ż na  z a p i s a ć  w  postaci:  gdzie  J ^ ,  są skalarami,  za ś   (4.10)  J #  =  ­ ^ e x p { i № ­ ( q ­ n̂   X  { 1 ­ Ф [ ­ ^ ( а ­ п . к ) ] },  (4.11)  =  ­ ^ ^ ^ e x p ( Ą V) { l ­ < P [ ­ l / 5 F ( q ­ n « K) ] } .   Korzystając  z  reguły  transformacyjnej  dla  t e n s o r у w  mamy  (4.12)  1%х  = с х„ 4Й •  a ^ ^ I ^ W S 4 •   (4.7)  к  =  1,2,3  432  St.  KOSOWSKI  Z a u w a ż a j ą c, że  (4.13)  axnq'aY„  =  qx,  dostajemy  (4.14)  I%x  =  qxI^+naVxIi'\  bez  dodatkowej  koniecznoś ci  transformowania  q'xVn  do u k ł a d u  globalnego.  Okazuje  się, że analogicznie  (4.15)  l!8r, = qyI^  +  naVyI< l>,  (4.16)  I%z  = qjy  +  n^y.Ji'K  Ogólnie  zatem  (4.17)  Ii'oV  =  q i W + n . v f l ' ) .  Całki  okreś lają ce  F & V są  typu podobnego do wystę pują cych  w wyraż eniu  FD+n.WS,)D. gdzie  (4.21)  /<;"> =  exp { 5 a D K  b S i . K  ­ (q&_«K • i w ) 2 ] } +  л   Ч о ­  к­n у  _  +  2  а 1у ф ,у ­*а у )В °у  \  В ? у ( аа У ­ в а у ) 2  x l i ­ ­ 0  / i r ) D  =  » 2 ­ 4 г Л Я о * ­ « к­ п а к ),  4й 8г.  =  /ог^кг(1)/о г2?кг(2)/0 г2?к2(3).  STACJONARNE  ODDZIAŁYWANIE DWU  ELEMENTÓW  433  P o z o s t a ł e  całki,  wystę pują ce  w  s k ł a d o w y c h  ¥xinp  i  F i n 0  i  wyraż ają  się  n a s t ę p u j ą c o:  (4.22)  1%  =  Л о ') е х р ( ­ Д о ° «2 ) ( 2 / 5 « ) ­ 5 / 2 Д 5 ) е х р | | ^ ) р _5 | ­ ^ ) )  y «  =  2 7 i 0 ' ) ( ­ l ) 1 + ' J [ ( d K . q ) ­ 2 ( d r . n ^ ) ( n / i l v . q ) ] ,  =  A ' ) ,  /  V(D)2  >  ;  UD)  s  (4.23)  =  Л в ™ ­ / ь , , е х р { ­ У а д2 „ _ ^ ^ ^ ^  U^fT))'  y,  y<«> =  2 S 0 i ) ( ­ l ) 1 + " ( d K . q ) ,  (4.25)  7 0 ' 2 L  s  7 < ! » / ( / ( ^ o 0 e x p { ­ J B o i V 2 } ) ,  (4.26)  В ДР  =  / < $ / ( ^ > e x p { ­ i ? < ' V } ) ,  (4­27)  =  1а%»К А Еа„_,„е х р  { ­ B f ,  (4.28)  mw(ą tfiw­xw)  =  (tóPw­,Jiry)D(^­aw  ­>  q S p w ­ « J + n « w / z r ) D ( q S ­ « w  ­  q ? / i w ­ « w ) ­ 5.  Dyskusja  wyraż enia  na  siły.  Siłę  działają cą  na  element  „ a "  u k ł a d u  m o ż na  przedsta­ wić  jeszcze  w innej,  dogodnej  do interpretacji  postaci:  (5.1)  =  ( F 0 ' ł  « w +  E % )  + (F0<)  „ + F0'2«) +  F # w _ « w .  Pierwsze  dwa  wyrazy  przedstawiają  składową  siły,  p o c h o d z ą cą  od czą stek  padają cych  na  wewnę trzną  p o w i e r z c h n i ę  elementu  a  z  otoczenia  i  z  elementu  /3,  n a s t ę p ne  dwa wyrazy  przedstawiają  składową  siły,  p o c h o d z ą cą  od czą stek  padają cych  na  zewnę trzną  powierz­ chnię  elementu  a  i od niej  odbitych;  ostatni  wyraz  jest  składową  p o c h o d z ą cą  od  czą stek  odbitych  od  wewnę trznej  powierzchni  elementu a.  Ostatnią  składową  F$w_ew  podobnie  jak  funkcję  r o z k ł a d u  m o l e k u ł  odbitych  m o ż na  rozbić  na  s k ł a d o w e :  «odbitą»  zwierciadlanie  i  «odbitą»  dyfuzyjnie,  mianowicie  (5.2)  FoJ5 w _ I W  —  — (l — Saw)F(ypw_ctw  eavvFo/Jw­aw,  gdzie  (5.3)  4%­aw  =  F 0 ' i a w + F% ­  2 [ ( Ą 'ł « w + *%)  п я J  i W ,  (5.4)  F D  =  mAEPw_awoxp{­B%wą $$w_xw}I ( 0 ri%w(ą %_aw  ­ *  4*fW­aw)dZaw.  Wektor  składowej  «odbitej»  zwierciadlanie  ma  analogiczną  p o s t a ć  do wektora  p r ę d k o ś ci  «odbitej»  zwierciadlanie.  Pojawienie  się  z n a k ó w  minus  w  w y r a ż e n iu  na F 0 p ) w _ t t w  (w  f $ w _ x w  wystę pują  znaki  + )  zwią zane  jest  z faktem,  że impuls  przekazywany  ś cianie  przez  czą stki  odbite  jest  w  odbiciu  zwierciadlanym  tak  samo  skierowany  j a k  impuls  p o c h o d z ą cy  od  czą stek  padają cych  na ś ciankę  (podczas  gdy  wektor  p r ę d k o ś ci  odbitej  skierowany  jest o d  ś cianki).  O d d z i a ł y w a n i e  iterakcyjne  zawarte jest  w  wyrazach  F r n a w ) n a w ] ,  (5­7)  „  3  . „  d ,  STACJONARNE  ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  435  W  szczególnoś ci  dla  zwykłego  modelu  dyfuzyjnego  (5.8)  F a  =  F­Pw  (1.10)  =  е хр ( ­  Д 0 ° ? 2 ) e x p ( ­ Я 0 < >  { с 2 , + 2 ( ­  l ) 1 + % „ [ ( d „  • q) ­ 2 ( d „ • n , J  (nPw.  q)]}),  (1.11)  =  ^ ^ e x p t ­ A ^ ^  x  (dy•  npw) 2]­2B^wcpp(­iy +l>[Ppw(^v•  npw)(np„ą Lw-pw)~Xpw(uv4*Xw-pw)]},  to  Qxinp  daje  się  p r z e d s t a w i ć  w  postaci  (1­12)  Qxmp  =  mdEPK(­])»   (Uv d a 2* w)  dZ.J­l)1+'(d„.n„w)  x  X  {( 1  —  £Pw)Joxw­Pw + EPw^olw­Pvi ~~ Jxinp\>  oo   co   (1.13)  Joaw­Pw  =  /  cppfoxw-pwdCpp,  Jojw-pw  =  f  Cppfoxw-PwdCpp,  0  0  co   /((>  _  Г  „ 5  J  •'ain/S  —  J  'o o r. / 0 ­ P z <'Ł O o f  0  W  charakterze  funkcji  r o z k ł a d u  f^_fw  czą steczek  odbitych  zwierciadlanie  o d  elementu  /9  wzię liś my  funkcję  r o z k ł a d u  m o l e k u ł  padają cych  na  element  /9 z  otoczenia,  dla  takiej  p r ę d k o ś ci  «padają cej»,  k t ó r a  po  zwierciadlanym  odbiciu  od  elementu  /9 osią gnie  element  STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU  ELEMENTÓW  437  a ( / ó ™ ­ / » w ( c ( r ) )  = /o%w(c <0(c(p)))  ( m o ż na  tak  postą pić,  gdyż  w  0«/„л  znamy  tylko  moż liwy  jeden  kierunek  p r ę d k o ś ci  mianowicie  od  fi do a — w  przypadku  o g ó l n y m ,  kiedy  dopusz­ czony  jest  o k r e ś l o ny  z b i ó r  k i e r u n k ó w  p r ę d k o ś ci  « o d b i t y c h »  (np.  przy  liczeniu  Qxin0  z b i ó r  ten  jest  półprzestrzenią  k i e r u n k ó w )  w charakterze  f&x».­pw  musimy  wziąć  funkcję  r o z k ł a d u  czą steczek  padają cych,  nie  tylko  z otoczenia,  ale również  z  elementu  a : /ó*ts­/fK>(c(r)) =  =  /o««.­pw(c( , )(c( , )))­  Podstawiając  dalej  do Qxin0  funkcję  fo%-»v  w postaci  jawnej  (1.14)  fofiw-xw  — 0  —  Exw)foPw-xw  +  exwfofllv-xw  >  dostajemy  (1.15)  QxinO  =  —  m \  j  cxx(cxx x̂v)\.(\  ~~ exw)fo^w-xw '̂exwfofl>w-xw]d3Cax  +  ° l / 2  Korzystając  z  właś ciwoś ci  funkcji  zwierciadlanej  f0 irJaw  mamy  natychmiast  (1.16)  m  / d ( c l A K ) / „ ' t r f 3 c M  =  e ,  Of/2  co  m o ż e my  z i n t e r p r e t o w a ć  w ten s p o s ó b ,  że s t r u m i e ń  energii  «odbitej»  zwierciadlanie  jest  r ó w n y  strumieniowi  energii  «padają cej».  Nietrudno  również  u d o w o d n i ć ,  rozbijając  półprzestrzeń  p r ę d k o ś ci  Q\l2  na dwa  obszary  Q\l2  — d 3cxxi2:,)  1  ^ 3 c a « ( ^ )  0  uwzglę dniają c,  że  fś jti­aw = / o % ­ « w ( 4 w ( c ( i ) ) )  = f&l­fw  oraz  fakt,  że funkcja  № JZ_Bv>  dla  p r ę d k o ś ci  c ( r )  o kierunku  od fi do a jest  zwią zana  z funkcją  r o z k ł a d u  f0 a2pw  czą steczek  padają cych  tylko  z otoczenia),  że  zachodzi  zwią zek  m  J  cj| e (c e .­iv)/oVw­«»^ 3 c «  =  б о'1««+е*1н л,  ° l / 2  (1.17)  б о'1«и. = >и  J  cg.C­Co.­H.vl/'^rf'co..  «Т /2  D l a  p o z o s t a ł y c h  całek  w  w y r a ż e n iu  Qxin0  dostajemy:  (1.18)  /  cUcxxnxV)№x D wd 3cxx  =  AE^expi­BUSlM'l^,  « 1 / 2  (1.19)  ĄrlDxw  =  f  cl(cxxnxw)exv{­£?A« 2 w+(fi^  ­  T i 0 , ,  [ ­  2 a I W  (с "» • qS_« w ) + 2ft,w(c<". ą ,w )  ( n ^ . q § _ a w ) ] Й Р С^ ,  (1.20)  J  cxx(cxx'nxv)forB)w­xwd3Cxx  =  Alopw­xwexp(  —  Bxwg*pw_xw)Jb rlxw(ą opw_xw).  « 1 / 2  ­ Uwzglę dniając  (1.16),  (1.17),  (1.18)  i  (1.19)  m o ż e my  p r z e d s t a w i ć  Qxin0  w postaci  (1.21)  QAIN0  =  ­m{{\­eXW)[Q«lxw  + Qxinp]  +  eXVA%pw_xwQ^  X /o­ć w^O/Jw­aw) —  (1 —  exw) Qo'­xw — sxw AQ_я № е ХР (  —  BXWJo r­xw]  dZxw  .  7  Mechanika  Teoretyczna 4/73  438  St.  KOSOWSKI  Wreszcie  dla  ostatniej  komponenty  Qx0y   w  o g ó l n y m  wyraż eniu  na  ciepło  w  lokalnym  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y ch  o osi z ( , ) || n,^**,  znajdujemy  (1.22)  QaOV  =  ­m{APexp(­Bpq 2)[Ą 4aV­(l­eaV)Ą 4ay]  +  + exVA8_xVexV( ­  B°vą *0łxV)J№Y},  gdzie  (1.23)  k = l 3  (1.24)  (1.25)  (1.26)  r(r)D  _  V  T(r)D  Jo­я У  — Ј j  JOaV(k)>  A'«W>  =  4'«V*(l)4iV*(2)/0 i«V*(3),  к =  1 , 2 , 3 = x, у , z;  00  AaVxU)  =  J  С о а х е х р {­А ' ' >[ с о ̂+  2 с 0 „ ^ ] } ( / с о в ; ,   —  00  CO  4;,Vx(2)  =  f  cxr,{­B^[c2xy  + 2coXyq'y]}dcoxy,  Л %х О )  =  ­  /  cg«exp{­^ , ) [cg ( 2 z ­2cS a 2 ^]}^cS 0 ( z ,  = ­ c 0 « .  o  (1.27)  70'aVy(l) =  Л'1г Л 2)Ю ,  Л*уу(2)  = Г0хух(Ш ),  4'«V,(3)  =  / o i k ( 3) ,  4'aVzd)  =  4'«V,(i),  4 ' W 2 ) =  4'.Vx(2),  00  4^z(3)  =  ­  /  с ^ е х р{ ­ 5 0 г > М 2 2 ­ 2 С ^ ^ ] } Л *а 2,  o  Jo*V(k)  =  Д а>К(*)(1)^О я)К(*:)(2)7о 1)И (к )(3),  oo  =  f  c 2 „ e x p { ­ 5 f K [ a 2 K 4 ' ' ) 2 ­ 2 a a K 4 r ) ^ : c i K ; c ] } ( / c a „ ,  (1.28)  (1.29)  (1.30)  (1.31)  (1.32)  4;VD*(i) =  Ж ( 2 )  =  /  ^M­^v^lyC2y­2aayCyqt_xVy]}dcxxy,  —  00  00  • / Ш З)  =  /  ^ « е х р{ ­ 5 ^ [ ( а 2 к + Д а2 к ­ 2 а ^ ^ к ) с2 2 ] +  o  ­  2 5 ° v c2( ­  a a F + p V )  ("ак • <&­*v)} dcz,  AWyO)  = Ą %Q),  /<;VD2(1) =  Ą rX(2)  (q&yx),  Ж ( 2 ) =  4 ^ ( 2 ) ,  00  / о #х(3)  =  /  4 „ е х р { ­ В Д а2 к + Ј 2 к ­ 2 ^  *> Ze wzglę du  na  to, że liczone wielkoś ci  są skalarami,  wyniki  w lokalnym  układzie  wspуłrzę dnych  są  takie same, jak w globalnym  układzie  odniesienia (nie zachodzi  konieczność  transformacji).  STACJONARNE  ODDZIAŁYWANIE  DWU  ELEMENTÓW  439  W  wyraż eniu  QaQV  mamy  więc  do obliczenia  nastę pują ce  c a ł k i :  Ą'aVx(l),  Aavx(2),  A'ivxQ),  4«Vz(3), Ąr$x(l),  A'tfxV),  Ąr$x(3),  Ąrtfz(3).  Faktycznie  ilość  całek  do  obliczenia  jest o  po­ łowę  mniejsza,  gdyż  n i e k t ó r e  całki  są znane  z zagadnienia  sił;  mamy  mianowicie  jj{,V«(2)  =  /o'«Vx(2),  JSŁVx(3)  =  ­ / o ' « V , ( 3 ) ,  70;V D,(2)  =  № ( 2 ),  Ж ( 3 )  =  i & & ( 3 ) .  2.  Obliczenie  całek  oddziaływania  energetycznego.  P o z o s t a ł e  do  obliczenia  całki  z  wyraż enia  Qaov  są  n a s t ę p u j ą c e:  (2.1)  4 ^ х ( 1 )  = щ ,г /  exp{B^q'2}(\  +2B0'>q'x2),  (2.2)  /$g F ,(3)  =  ­(2 / 9)­ 2 r(4)exp||^Ji)­ 4 ^­J,  /8 = Ą «>,  у  =  2 Ą V„  (2.3)  « ( 1 ) =  , J „ 2  l / 7 ^ 2  ­ е х р { 2 & * Ш (1  +  2 2 > ? к « г Ш,  70;V D 2(3)  =  ( 2 / 9 * ) ­ 2 r ( 4 ) e x p ( ^ \ y j _ 4 ( ­ ^ ) ,  (2.4)  W'!  WW  I  (3*  =  ^ ( O C K  ­  f3xV) 2,  y* =  2BDv(j3xV  ­  a x V )  (nxy  . q g _ a K ) .  Wszystkie  całki  wystę pują ce  w  wyraż eniu  Qxi„p  dają  się z a p i s a ć  w  postaci  (2.5)  J  =  A c x p { ­ B q 2 } ( 2 f 3 ) ­ 4 \ 6 ) e x p ^ D - Ą - ^ ,  przy  czym  wielkoś ci  A , B, q, f3, у  dla  poszczególnych  całek  J  wynoszą  odpowiednio:  dla  całki  Л = Д ' >,  2? =  £{/>,  9 =  с /,  /? =  Я 0 °  у  =  2 ( ­ l ) 1 + " 5 0 , ) [ ( d K . q ) ­ 2 ( d K . n ^ . ) ( n / i w . q ) ] ,  (2.6)  dla  całki  • / £ £ _ „ , ,  A  =  Aoaw­fiwi  В  =  Bj}w,  q  =  q*aw_pw,  [3  =  Bpw[a. 2­W+  (f3pw  — 2a.Pw(3Pw)  x  (2.7)  x ( d K . n „ w ) 2 ] ,  у  =  2 ( ­ l ) l + ^ w [ Ą w ( d K . n ^ w ) ( n ^ w q * c t K , _ < t w ) ­ a / ( w ( d K . q J c t w _ p w ) ] ;  dla  całki J%, (2.8)  Л = Л0 ; > ,  B =  B%\  q =  q,  B =  B%\  у  =  2 ( ­ l ) 1 + ' * 0 ' > ( d K ­ q ) .  Całki  wystę pują ce  w  w y r a ż e n iu  £?«;ло  nie  wychodzą  poza  z b i ó r  całek  w  wyraż eniach  б а ОИ  i  Qain0  •  3.  Dyskusja  wyraż enia  na  wymianę  ciepła.  Ostateczne  wyraż enie  na  w y m i a n ę  ciepła  p o m i ę ­ dzy  o ś r o d k i em  swobodno­molekularnym  i u k ł a d e m  dwu  nieskoń czenie  małych  e l e m e n t ó w ,  dowolnie  zorientowanych,  p o r u s z a j ą c ym  się  w  o ś r o d ku  z  d o w o l n ą  prę dkoś cią,  jest  nastę­ p u j ą c e:  (3­1)  Q*  =  № Vl™  + Q%)  +  (Qtila,­Qłl«)­Q(o%­.w,  440  St.  KOSOWSKI  gdzie  (3.5)  (3.2)  (3.3)  (3.4)  QainP  (3.6)  Pierwsze  dwa wyrazy  w  nawiasie  m o ż e my  i n t e r p r e t o w a ć  jako  s t r u m i e ń  energii  padają cy  na  wewnę trzną  s t r o n ę  elementu  a,  z  otoczenia  i  od  elementu  fi; dwa n a s t ę p ne  wyrazy,  w  drugim  nawiasie,  jako  strumienie  energii:  padają cy  na  zewnę trzną  s t r o n ę  elementu  a  i  odbity  od zewnę trznej  strony  a;  wreszcie  wyraz  ostatni  j a k o  s t r u m i e ń  energii  odbity od  wewnę trznej  strony  a  (strumień  ten m o ż e my  u w a ż ać  za złoż enie  strumienia  energii  odbitego  zwierciadlanie  i strumienia  energii  dyfuzyjnego).  O d d z i a ł y w a n i e  interakcyjne  zawarte  jest  w  wyrazach  Qxinp  i  6o r/rw­«w  Interakcja  znika  jeś li  k t ó r y k o l w i e k  z  e l e m e n t ó w  leży  na  l i n i i  łą czą cej  elementy  (w  szczególnoś ci  również  wtedy,  gdy elementy  są  p r o s t o p a d ł e  do  siebie).  W y r a z  QainP,  k t ó r y  decyduje  0  interakcji  (oddziaływanie  interakcyjne  zawarte  w Qopw­xw  przejawia  się również  poprzez  w y s t ę p o w a n ie  w tym wyrazie  Qxinlt  jest  proporcjonalny  do  dSpvi  ^ v — ,  czyli  do  ele­ mentarnego  k ą ta  bryłowego  p o d j a k i m  widać  element  dSp  z  elementu  a — tym  samym  jest  to  z a l e ż n o ść  o d d z i a ł y w a n i a  o d  odległoś ci.  R o z w i ą z a n ie  zagadnienia  o d d z i a ł y w a n i a  nieskoń czenie  m a ł y c h  e l e m e n t ó w  dostarcza  informacji  o  wpływie  na o d d z i a ł y w a n i e  takich  p a r a m e t r ó w  jak  p r ę d k o ść  u k ł a d u  w  o ś r o d k u,  wzajemna  orientacja  ciał  u k ł a d u  i  model  «odbicia»  gaz­powierzchnia.  Ze  wzglę du  na  skomplikowany  charakter  o g ó l n e g o  wyraż enia,  analizę  wpływu  po­ szczególnych  p a r a m e t r ó w  m o ż na  p r z e p r o w a d z i ć  w  nastę pują cy  s p o s ó b :  1) dla zbadania  wpływu  p r ę d k o ś ci  na  o d d z i a ł y w a n i e — p r z y j ą ć  najprostszą  orientację  e l e m e n t ó w  (ele­ menty  równoległe)  i  najprostszy  model  odbicia  g a z — p o w i e r z c h n i a  (model  dyfuzyjny);  2)  dla  zbadania  wpływu  orientacji  e l e m e n t ó w — p o ł o ż yć  q  — Q  i  przyjąć  najprostszy  model  odbicia;  3) dla zbadania  wpływu  m o d e l u — p o ł o ż yć  q =  0  i  przyjąć  najprostszą   orientację  elementów .  W y n i k ó w  tej analizy  nie przytaczamy,  gdyż  zaję łoby  to d u ż o  miejsca  1 byłoby  w znacznej  mierze  p o w t ó r z e n i e m  szeregu  relacji  ogólnych,  s f o r m u ł o w a n y c h  tylko  w  bardziej  fragmentarycznej  formie,  w  szczególnoś ci  zaś b y ł o b y  p o w t ó r z e n i e m  podobnej  dyskusji,  przeprowadzonej  dla zagadnienia sił.  1.  M .  H .  К О Г А Н,  Д и н а м и к а  р а з р е ж е н н о г о  г а з а ,  М о с к ва  1961.  2.  S. A. SCHAAF,  P. L.  CHAMBRE,  Flow of rarefied gases,  Princeton, New Jersey (1961).  3.  Э.  Л А Р И Ш,  А э р о д и н а м и ч е с к и е  в з а и м о д е й с т в и е  п р и с в о б о д н о ­м о л е к у л я р н о м  о б т е к а н и и ,  И з в.  А Н   С С СР  О т д. т е х н.  и  м е х а н.  и  м а ш и н о с т р.  № 3  (1960),  117—120.  Literatura cytowana w  tekś cie  STACJONARNE  ODDZIAŁYWANIE DWU  ELEMENTÓW  441  4.  ABE KANZI,  On  the interaction between  two  rectangular plates  in a free molecule flow,  Trans. Japan  Soc.  Aeronaut,  and  Space Sci.,  No.  10,  7  (1964),  13—19.  5.  FAU  CHIEN, Aerodynamic forces  and  heat  transfer  on  shielded flat plates  in  a free molecule flow,  New  York—London  Rarefied  Gas  Dynamic,  1,  (1969),  551—560.  6.  WANI  TAKEKI,  Aerodynamic  interference  in  a free molecular flow, Trans.  Japan  Soc.  Aeronaut,  and  Space  Sci.,  No.  4,  3  (1960),  13—20.  7.  C . CERCIGNANI,  M .  LAMPIS, Influence  of gas­surface interaction  on drag  and  lift  in free­molecular flow,  Entropie,  No.  44  (1972),  40—46.  8.  S.  KOSOWSKI,  Stacjonarne  oddziaływanie  kul  spoczywają cych  w  oś rodku  swobodno­molekularnym,  Prace  IPPT,  36,  1973.  9.  S.  KOSOWSKI,  Stacjonarne  oddziaływanie  układu  dwu  kul  o  stałych  temperaturach,  poruszają cego  się   w oś rodku  Swobodno­molekularnym  wzdłuż  osi  łą czą cej  ś rodki  kul  w przybliż eniu  duż ych  odległoś ci  i  małych  prę dkoś ci,  Prace  IPPT,  36  1973.  10.  S.  KOSOWSKI, Stacjonarne  oddziaływanie  układu  dwu  kul,  poruszają cego  się  w oś rodku swobodno­moleku­ larnym  z  prę dkoś cią  hipersoniczną  wzdłuż  osi  łą czą cej  ś rodki  kul,  w przybliż eniu  duż ych  odległoś ci,  Prace  IPPT,  36,  1973.  11.  S.  KOSOWSKI,  Ustalona  wymiana  ciepła  dla  układu  dwu  kul  o  równych  temperaturach,  poruszają cego  się   w oś rodku  swobodno­molekularnym  z  prę dkoś cią  hipersoniczną  dowolnie  skierowaną ,  Prace  IPPT,  36.  1973.  12.  S.  KOSOWSKI,  Anizotropowy  model deterministyczno­probabilistycznego  oddziaływania  gazu  ze  ś cianką   Bull.  Acad.  Polon.  Sci.,  Ser.  Sci.  Techn.  (w  druku).  13.  S.  KOSOWSKI, Stacjonarne  oddziaływanie  układu  dwu  kul,  poruszają cego  się  w oś rodku swobodno­moleku­ larnym  z  prę dkoś cią  hipersoniczną  skierowaną  prostopadle  do  osi  łą czą cej  ś rodki  kul,  Prace  IPPT,  36,  1973.  Р е з ю ме   С Т А Ц И О Н А Р Н ОЕ  В З А И М О Д Е Й С Т В ИЕ  С И С Т Е МЫ  Д В УХ  Б Е С К О Н Е Ч НО  М А Л ЫХ   П Р О И З В О Л Ь НО  О Р И Е Н Т И Р О В А Н Н ЫХ  Э Л Е М Е Н Т ОВ  Т В Е Р Д О ГО  Т Е Л А,  Д В И Ж У Щ Е­ Г О СЯ  В  С В О Б О Д Н О ­ М О Л Е К У Л Я Р Н ОЙ  С Р Е ДЕ  С  П Р О И З В О Л Ь Н ОЙ  С К О Р О С Т ЬЮ   В  р а б о те  р е ш е на  з а д а ча  о  с о п р о т и в л е н ии  и  т е п л о о б м е не  в  с и с т е м е,  с о с т о я щ ей  из  д в ух  б е с к о­ н е ч но м а л ых п р о и з в о л ь но  о р и е н т и р о в а н н ых  п о в е р х н о с т н ых  э л е м е н т ов т в е р д о го т е л а,  н а х о д я щ е г о ся   в  с в о б о д н о ­м о л е к у л я р н ом  т е ч е н и и.  В  к а ч е с т ве  м о д е ли  о т р а ж е н ия  г а за  от  п о в е р х н о с ти  п р и н я та   м о д и ф и ц и р о в а н н ая  м о д е ль  М а к с в е л ла  с  а н и з о т р о п н ой  д и ф ф у з з и о н н ой  ч а с т ь ю.  В в и ду  т о г о,  ч то   д а н н ая  м о д е ль  с о д е р ж ит  к ак  ч а с т н ые  с л у ч аи  н е к о т о р ые  о б щ е и з в е с т н ые  м о д е ли  (д и ф ф у з и о н н у ю,  м о д е ли  М а к с в е л ла  и  Н о ч и л л и,  д и ф ф у з и о н н о ­а н и з о т р о п н ую  м о д е л ь ),  р е ш е н ие  з а д а чи  д а ет  в о з м о ж­ н о с ть  и с с л е д о в а н ия  в з а и м о д е й с т в ия  с и с т е мы  т е л,  д в и ж у щ е й ся  в  с в о б о д н о ­м о л е к у л я р н ой  с р е д е,  в  з а в и с и м о с ти  от  м о д е ли  о т р а ж е н ия  г а за  от  п о в е р х н о с т и.  Р е ш е н ие  п о з в о л я ет  т а к же  и с с л е д о в ат   в з а и м о д е й с т в ия  в  з а в и с и м о с ти  от  с к о р о с ти  с и с т е мы  и  от  о р е н т и р о в ки  её  э л е м е н т о в.  Д ля  т ел  к о н е ч н ых  р а з м е р о в,  д а же  в  с а м ом  п р о с т ом  с л у ч ае  с и с т е мы  д в ух  ш а р о в,  п о к о я щ и х ся   в  с р е д е,  и  в  п р е д п о л о ж е н ии  с а м ой  п р о с т ой  м о д е ли  о т р а ж е н ия  г а за  от  п о в е р х н о с т ей  т е л,  н е л ь зя   н а й ти  т о ч н о го  а н а л и т и ч е с к о го  р е ш е н и я.  В  о б щ ем  ж е  с л у ч ае  з а д а ча  о  в з а и м о д е й с т в ии  не  м о ж ет   б ы ть  р е ш е на  в  ч и с л е н н ом  в и д е.  С о п р о т и в л е н ие  и  т е п л о о б м ен  д ля  б е с к о н е ч но  м а л ых  э л е м е н т ов   м о ж но  о п р е д е л и ть  т о ч н ым  о б р а з ом  а н а л и т и ч е с к им  п у т е м.  О ни  в ы р а ж а ю т ся  ч е р ез  с п е ц и а л ь н ые   ф у н к ц ии  Ф  и  D­„  (и н т е г р ал  в е р о я т н о с т ей  и  ф у н к ц ию  п а р а б о л и ч е с к о го  ц и л и н д р а ).  S u m m a r y  STATIONARY  INTERACTIONS  OF  A  SYSTEM  CONSISTING  O F  TWO  INFINITESIMAL,  ARBITRARILY  O R I E N T E D  E L E M E N T S  M O V I N G  A T  A N  A R B I T R A RY  V E L O C I T Y  IN  A  F R E E ­ M O L E C U L A R  M E D I U M  In  the  paper  is  solved  the  problem  of  drag  and  heat  exchange  for  a  system  of  two  infinitesimal,  arbitrarily  oriented  surface  elements  in  a  free­molecular  flow.  Reflection  of  the  gas  from  the  surface  is  described  by  a  Maxwell  model with anisotropic diffusive  part.  442  St.  KOSOWSKI  Since  the  model  contains,  as  particular cases, a number of  models  being  in common  use,  such  as  the  diffusion  model,  Maxwell's, Nocilla's and the  anisotropic  diffusion  models,  the solution creates the possib­ ility of investigating of the interaction of bodies moving in  a free­molecular  medium from  the  point  of view  of  model of gas reflection  from the surface. The solution also enables us  to  investigate the  interaction  from  the  point  of view of  velocity  of  the system and orientation  of  its elements. As far finite  dimension bodies  are considered,  the  simplest  case of  two  spheres placed  in the  medium  can  not  be  solved  analytically  to  yield  an  accurate  result,  even  in the  case of  the  simplest,  diffusion  model  of  gas  reflection;  the problem  of  interaction  in a  general  form  is,  however,  not  suitable  for  numerical  analysis.  The  drag  and  heat  exchange  for  infinitely  small  bodies may  be  solved  analytically  in an  accurate  manner: the  solutions  are  expressed  in terms of special  functions  Ф and D­„ (error function and the  function  of  parabolic  cylinder).  POLSKA  AKADEMIA  NAUK  INSTYTUT  PODSTAWOWYCH  PROBLEMÓW  TECHNIKI  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia 2 marca  1973  r.